高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章变化的快慢与变化率参考学案1

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高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章变化的快慢与变化率参考学案1

课题变化的快慢与变化率学习目标1．理解“变化率问题”，课本中的问题1,2。

2. 知道平均变化率的定义.学习过程一：教材梳理阅读课本26P 页平均变化率的概念回答下面的问题：1.（1)x ∆是相对于1x 的一个___________，它可以是_______，也可以是_________，可以用________ 代替2x 。

(2) 变化率是一个_________ ，分母x ∆可以很小，但不能为_____________。

2. 由平均变化率的概念可得求函数()y f x =的平均变化率的步骤：（1）求自变量的增量______________；（2）求函数的增量________________;（3)求平均变化率______________________.注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘;②Δf=Δy=y 2-y 1；二。

效果检测1。

函数()y f x =的自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量Δy 为（） A 。

()0f x x +∆ B 。

()0f x x +∆ C 。

()0f x x ⋅∆ D. ()()00f x x f x +∆-2．质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为．3. 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy . 三、合作探究在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m)与起跳后的时间t （单位:s ）存在105.69.4)(2++-=t t t h 的函数关系，如何计算运动员的平均速度？并分别计算0≤t≤0。

5，1≤t≤2,1.8≤t≤2,2≤t≤2。

2，时间段里的平均速度. h to思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，___________.；在21≤≤t 这段时间里，___________。

高中数学选修2-2 北师大版变化的快慢与变化率学生版学案

1.2变化的快慢与变化率（第二课时）一、学习目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。

3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。

二、学习重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。

三、学习难点：平均变化率到额瞬时变化率的实际意义四、学法指导：由于平均变化率不能精确反映函数在某一点的变化情况，因此，我们设想不断减少自变量的改变量，借助计算器、电脑等对平均变化率进行直接计算，体会随着t ∆的减小，st∆∆的值越来越趋于稳定状态，从而建立瞬时速度可以用平均速度逼近的直接体验，并最终形成用“平均变化率”逐渐“逼近”函数在某一点的变化率，即“瞬时变化率”的观念，并在计算过程中体会瞬时速度、瞬时变化率的实际意义。

五、学习内容：一)复习：函数平均变化率的计算公式.二)亲自计算，体会逐渐逼近的过程，理解瞬时速度，线密度的意义。

例1：一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为221gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

指导：教材的分析过程体现了用平均速度逼近瞬时速度的思想。

表2-2显示了时间1t 5s >且不断逼近5s 时，平均速度趋于49m/s.那么，当时间t 1<5s 且不断趋紧5s 时，平均速度的变化趋势是怎样的？填写下表,分析平均速度的变化趋势。

（教师用excel 计算）10时，平均速仍然趋于，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的为49m/s 。

从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s 的物理意义是，，每秒将要运动49m 。

例2：如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m 。

x （单位：m ）表示OX 这段棒长，y （单位：kg ）表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系：x x f y 2)(==。

高中数学北师大版选修2-2教案-§1 变化的快慢与变化率_教学设计_教案

教学准备1. 教学目标1、理解函数平均变化率的概念；2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。

2. 教学重点/难点教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。

教学难点：对平均速度的数学意义的认识3. 教学用具4. 标签教学过程(二)、探析新课问题1：物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s=s(t)在运动的过程中测得了一些数据，如下表：物体在0～2s和10～13s这两段时间内，那一段时间运动得快？分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢。

在0～2s这段时间内，物体的平均速度为；在10～13s这段时间内，物体的平均速度。

显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快。

问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如下图所示：比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？分析：根据图像可以看出：当时间x从0min到20min时，体温y从39℃变为38.5℃，下降了0.5℃；当时间x从20min到30min时，体温y从38.5℃变为38℃，下降了0.5℃。

两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段时间短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快。

我们也可以比较在这两段时间中，单位时间内体温的平均变化量，于是当时间x从0min到20min时，体温y相对于时间x的平均变化率为（℃/min）当时间x从20min到30min时，体温y相对于时间x的平均变化率为（℃/min）这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降的越快，这里体温从20min到30min这段时间下降的比0min到20min这段时间要快。

（四）、练习：P27页练习1，2，3，4题；习题2-1中 1（五）作业布置：1、已知曲线上两点的横坐标是和，求过两点的直线斜率。

2019-2020学年高中北师大版数学选修2-2学案：2.1变化的快慢与变化率含解析

本章内容编排上分为五部分：一是变化的快慢与变化率;二是导数的概念及其几何意义;三是计算导数；四是导数的四则运算法则；五是简单复合函数的求导法则。

教材通过实例分析,让我们经历从用变化率刻画事物变化的快慢、从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义．为了进一步理解导数就是瞬时变化率，从而解决瞬时变化率的问题，我们可以首先从平均变化率开始，通过对自变量的改变量取极限进而得到平均变化率的极限值——瞬时变化率，教材专门安排了一节“计算导数”，使我们学会利用平均变化率取极限的方法计算一些简单函数的导数，并给出了导数的概念．对于一般函数的导数的计算，教材没有进行推导，而是直接给出基本初等函数的导数公式表，并通过四则运算法则和复合函数求导法则计算相关函数的导数，这些运算法则的主要定位是应用，不要求严格的推导，只是通过一些实例产生感性的认识．对于复合函数，要求能求简单的复合函数(仅限于形如f（dx＋b））的导数．本章的学习重点是导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算;学习的难点是对导数定义的理解.Q错误!错误!你登过泰山吗？登山过程中,你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小"的豪迈．当爬到“十八盘”时,你感觉怎样？是平缓的山好攀登,还是陡峭的山好攀登？你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？X错误!错误!1．平均速度平均速度的定义:物体从某一时刻开始运动，设s(t)表示此物体经过时间t走过的路程，当时间从t变为t1时，物体所走的路程从s（t0)变为s(t1），这段时间内物体的平均速度是：平均速度＝错误!.2．平均变化率(1)定义:对于函数y＝f（x)，我们把式子f x2－f x1x2－x1称为函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1.可把Δx看作相对于x1的一个“增量”；类似的，Δy＝f （x2）－f（x1）．于是平均变化率可以表示为错误!＝错误!.(2）函数的平均变化率的几何意义：函数的平均变化率就是过(x1,f（x1））、（x2，f(x2））两点的直线的斜率．3．瞬时变化率定义：一般地，对于一个函数y＝f(x)，在自变量x从x0到x0＋Δx的变化过程中，平均变化率为错误!＝f x＋Δx－f x0Δx.当Δx趋于0时，平均变化率错误!＝错误!趋近的值称为函数y＝f(x)在x＝x0点的瞬时变化率．Y错误!错误!1．质点运动规律为s（t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为（ A ）A．6＋Δt B．6＋Δt＋错误!C．3＋Δt D．9＋Δt［解析］平均速度错误!＝错误!＝3＋Δt2＋3－32－3Δt＝错误!＝6＋Δt。

高中数学选修2-2 北师大版 §1变化的快慢与变化率学案

§1变化的快慢与变化率【学习目标】1.理解函数的平均变化率概念及意义，会求函数的平均变化率；2.了解函数的瞬时变化率与平均变化率的关系，理解瞬时变化率的意义，会估计函数的瞬时变化率.【重点难点】重点：求函数的平均变化率，估计函数的瞬时变化率难点：理解平均变化率与瞬时变化率的意义【导学流程】一、知识链接平面内，过点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率为1212x x y y k AB --=. 二、课前预习1.阅读课本第25-26页内容，理解函数的平均变化率及其意义，回答：（1）函数y=f(x)从x 1变为x 2的平均变化率：①自变量的改变量为____________，记为△x.②函数值的改变量为____________，记作△y. ③平均变化率为xy ∆∆=________________. ④平均变化率的意义：刻画函数值在区间[]21,x x 上__________________.（2）课本第27页练习1中服药后30min 内药物质量浓度的平均变化率为_________， 30~40min 内药物质量浓度的平均变化率为_________，80~90min 内药物质量浓度的平均变化率为_________.由此，这三段时间内哪段时间血液中药物质量浓度变化快？___________.2.阅读课本第27-30页内容，理解瞬时变化率的概念及其与平均变化率的关系，理解瞬时变化率的意义，回答：（1）瞬时变化率对函数y=f(x)，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中：①自变量的改变量△x=_________，函数值的改变量△y=__________. ②函数的平均变化率xy ∆∆=________________=_________________. ③在x 0点的瞬时变化率：当△x 趋于_____时，平均变化率趋于函数在x 0点的____________. ④瞬时变化率的意义：刻画的是函数在一点处____________.（2）在第27页例1中，小球从时刻5到5+△t 间的位移改变量△s=___________，平均速度ts v ∆∆==_________，则当△x 趋近于0时，得小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度为______. 3.结合知识链接，说说：函数y=f(x)在区间[]21,x x 上变化率的几何意义是：______________________________.同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容三、课堂探究【课堂小结】目标达成_______________________________________________________；收获新知_______________________________________________________；我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟）1.设函数y=f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0+△x 时，函数的改变量△y 为（）A.f(x 0+△x)B.f(x 0)+△xC.f(x 0)△xD.f(x 0+△x) -f(x 0)2.已知函数f(x)=2x 2-4的图像上一点(1,-2)及邻近一点(1+△x ，-2+△y)，则xy ∆∆等于（） A.4 B.4x C.4+2△x D.4+2(△x)23.质点运动规律s=t 2+3，求在时间(3,3+△t)中相应的平均速度.4.在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在函数关系s=10t+5t 2(s 的单位：m ，t 的单位：s)，求t=20，△x=0.1时的△s 与ts ∆∆及在t=20时的瞬时速度.5.如果一个质点从定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y=f(t)=t 3+1.求t=4时的瞬时速度.6.设圆的面积为S ，半径为r ，求面积S 关于半径r 的变化率.。

高中数学第2章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修2_2

§1 变化的快慢与变化率1．函数的平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.通常我们把自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．思考：函数的平均变化率是固定不变的吗？[提示] 不一定．当x 0取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值，x 0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定．2．函数的瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率． (2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．1．如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－33－1＝－1．]2．一质点运动规律是s ＝t 2＋3(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在t ＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.2 [Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2，∴ΔsΔt＝2Δt ＋(Δt )2Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于2．]3．一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)从x 1到x 2的平均变化率为________．a [一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变化率都等于常数a .]A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．思路探究：(1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔxB [(1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2．1)－f (2)＝2．12－22＝0.41．] (2)[解] 自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1．第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2C [∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx ，故选C.]12速度哪个快？思路探究：比较相同的时间Δt 内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果． [解] 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，但s 1(t 0－Δt )>s 2(t 0－Δt )，故s 1(t 0)－s 1(t 0－Δt )Δt <s 2(t 0)－s 2(t 0－Δt )Δt.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．平均变化率的意义1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．2．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s (单位：个)与时间t (单位：天)的关系如图所示，则接近t 0天时，下列结论中正确的是( )A ．甲的日生产量大于乙的日生产量B ．甲的日生产量小于乙的日生产量C ．甲的日生产量等于乙的日生产量D ．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小B [由平均变化率的几何意义可知，当接近于t 0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．]1．高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t＋10，求运动员在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，6549时间内的平均速度为多少？ [提示] 易知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＝h (0)，v －＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549－h (0)6549－0＝0.2．物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？[提示] 不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．3．如何描述物体在某一时刻的运动状态？[提示] 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度．【例3】一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度．(时间单位：s ；位移单位：m)思路探究：先求时间从3到3＋Δt 时的平均速度，再由Δt 趋于0求得瞬时速度． [解] 当时间从3变到3＋Δt 时， v －＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝3(3＋Δt )2＋1－(3×32＋1)Δt＝3Δt ＋18，当Δt 趋于0时，v －趋于常数18.∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.求函数f (x )在点x ＝x 0处的瞬时变化率的步骤1．求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；2．计算ΔyΔx ，并化简，直到当Δx ＝0时有意义为止；3．将Δx ＝0代入化简后的ΔyΔx即得瞬时变化率．3．求函数y ＝f (x )＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率． [解] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(3＋1)＝7Δx ＋3(Δx )2．∴Δy Δx ＝7Δx ＋3(Δx )2Δx＝7＋3Δx . ∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝7＋3Δx 趋于7＋3×0＝7.∴函数y ＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率为7.1．平均变化率与瞬时变化率之间的联系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”，当平均变化率ΔyΔx中Δx →0时，平均变化率变为瞬时变化率．2．瞬时速度与平均速度的区别和联系(1)区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．(2)联系：瞬时速度是平均速度的极限值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度．[答案] (1)× (2)√ (3)√2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6D ．－3Δt －6D [Δs Δt ＝5－3(1＋Δt )2－(5－3)Δt＝－6－3Δt .]3．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 21 200，其中x 为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．1912 [ΔC Δx ＝C (1 000)－C (900)1 000－900＝1912.] 4．在F1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时Δs 与Δs Δt ；(2)t ＝20时的瞬时速度．[解] (1)Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21．05(m)， Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)∵Δs Δt＝10(20＋Δt )＋5(20＋Δt )2－10×20－5×202Δt＝5Δt ＋210，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于210，所以在t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.。

2019-2020学年北师大版选修2-2 变化的快慢与变化率学案

2019-2020学年北师大版选修2-2 变化的快慢与变化率学案对于函数y ＝f (x )，当x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，若记Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则1．Δx 可正，可负，可为零．( × ) 2．函数y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝fx 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1Δx .( √ )3．函数y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx＝fx 1－f x 2x 1－x 2＝f x 2－Δx －f x 2－Δx.( √ )4．当Δx 趋于0时，ΔyΔx就趋于函数在x 1处的瞬时变化率．( √ )题型一函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x 分别从1到1＋Δx,2到2＋Δx,3到3＋Δx 的平均变化率，当Δx 都为13时，哪一点附近的平均变化率最大？考点平均变化率的概念题点求平均变化率解在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大．反思感悟求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx ＝________.答案 Δx 解析 ΔyΔx＝f －1＋Δx －f －Δx＝－1＋Δx 2＋－1＋Δx －5－－Δx＝Δx .(2)求函数y ＝f (x )＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．解 Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝(x 0＋Δx )3－x 3＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3，∴函数y ＝f (x )＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为 Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2. 当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝194.题型二求函数的瞬时变化率例2 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻处的瞬时速度．考点瞬时变化率的概念题点瞬时速度解因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在t 0时刻处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思感悟 1.求瞬时速度的步骤(1)求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt.(3)当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度．2．求当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx的值(1)在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0，就是令Δx ＝0，求出结果即可．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2s 时的瞬时速度为8m/s ，求常数a 的值．考点瞬时变化率的概念题点瞬时速度解质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数s (t )在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt＝s ＋Δt －sΔt＝a＋Δt 2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.1．已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A ．在x 0处的变化率B ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上结论都不对考点平均变化率的概念题点平均变化率概念的理解答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率的定义可知，故选B.2．一物体的运动方程是s (t )＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3D ．0.2考点平均变化率的概念题点求平均速度答案 B 解析 s－s2.1－2＝3＋2×2.1－＋0.1＝2.3．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s (t )＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( ) A ．t ＝1 B ．t ＝2 C ．t ＝3D ．t ＝4考点瞬时变化率的概念题点瞬时速度答案 B解析设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.5．设函数f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较k 1，k 2，k 3的大小．考点平均变化率的概念题点求平均变化率解函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1．平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢． 2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义．一、选择题1．函数f (x )＝x 在1到4的平均变化率为( ) A.13B.12C ．1D ．3 考点题点答案 A解析 Δy ＝4－1＝1，Δx ＝4－1＝3，则平均变化率为Δy Δx ＝13.2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图像上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy Δx ＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－2Δx＝4＋2Δx .3．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A ．－3 B ．3 C ．6D ．－6考点瞬时速度与平均速度的关系题点瞬时速度答案 D解析由平均速度和瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.4.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案 B解析依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 5．一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s (t )＝18t 2，当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．2B ．1C.12D.14答案 C解析 Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝18[4＋4Δt ＋(Δt )2－4]＝18[(Δt )2＋4Δt ]，∴Δs Δt ＝18Δt＋12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于12.6．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A ．k 1<k 2 B ．k 1>k 2 C ．k 1＝k 2D ．无法确定考点平均变化率的概念题点平均变化率概念的理解答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1，k 2大小关系不确定．7．如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则( ) A ．a ＝－3 B ．a ＝3C ．a ＝2D ．a 的值不能确定考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案 B 解析Δy Δx＝f－f 2－1＝a ＝3.8．一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时的瞬时速度为3，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．7考点瞬时变化率的概念题点瞬时速度答案 A 解析 Δs Δt ＝s＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋a＋Δt ＋1－＋a ＋Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4，由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题9．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________________．考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，由图像知，k OA <k AB <k BC ，所以v 1<v 2<v 3.10．函数f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为________．考点瞬时变化率的概念题点瞬时速率答案－2 解析 ∵Δy ＝1＋Δx2＋2－(112＋2)＝1＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 2＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx ＋Δx 2，当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于－2. 11．若一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 答案114解析 Δs Δt＝t ＋Δt2＋8－t 2＋Δt＝7Δt ＋14t ，Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于14t ，即14t ＝1，t ＝114.12．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________. 考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案 5解析函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －t －－＝t 2－t －－2－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0，解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3， ①29＋t －2，0≤t <3， ②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．考点变化率的概念题点瞬时速度解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24m/s. (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18，即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12m/s.14．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围．考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用解 ∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f ＋Δx －fΔx＝－＋Δx2＋＋Δx －－4＋Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)．15．物体的运动方程是s ＝t ＋1(位移单位：m ，时间单位：s)，求物体在t ＝1s 时的瞬时速度．解 ∵Δs ＝＋Δt ＋1－1＋1＝2＋Δt －2，Δs Δt ＝2＋Δt －2Δt ＝2＋Δt －22＋Δt ＋2Δt2＋Δt ＋2＝12＋Δt ＋2，当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于24.∴物体在t ＝1s 时的瞬时速度为24m/s.。

北师大版高中数学选修高二第二章变化率与导数变化的快慢与变化率导学案

第二章变化率与导数第一节变化的快慢与变化率学习目标1．理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某个区间上变化的快慢；3．会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢；4．理解瞬时速度，线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题；学法指导平均变化率、瞬时变化率是本节中的重要概念，是学习导数的前提和基础，要通过例题讲解学会求平均变化率和瞬时变化率，理解平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系，并理解平均变化率、瞬时变化率的几何意义。

知识点归纳1．平均变化率对于函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，它的平均变化率为：。

通常我们把自变量的变化12x x -称作：，记为：。

函数值的变化()()21x f x f -称作：，记为：，这样，函数的平均变化率就可以表示为：；平均变化率的几何意义是：。

2．瞬时变化率对于一般的函数，在自变量x 从1x 变到2x 的过程中，若设,12x x x -=∆ ()()12x f x f y -=∆，则函数的平均变化率是，而当时，平均变化率就趋于函数在点的；瞬时变化率的几何意义是：。

重难点剖析重点：理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；难点：对平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系的正确理解；剖析：1．平均变化率在理解平均变化率时应注意以下几点：（1）1212)()(x x x f x f x f --=∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(11式子中的f x ∆∆,的值可正，可负，但x ∆的值不能为0，f ∆的值可以为0，若函数()x f 为常函数时，0=∆f 。

（2）平均变化率是指函数值的“增量”f ∆与相应自变量的“增量” x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。

2018-2019学年北师大版数学选修2-2教学案：第二章1变化的快慢与变化率

[对应学生用书P13]一、归纳和类比1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．2．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法．(1)综合法证明数学问题是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，二者一正一反，各有特点．综合法的特点是表述简单、条理清楚，分析法则便于解题思路的探寻．(2)分析法与综合法往往结合起来使用，即用分析法探寻解题思路，而用综合法书写过程，即“两头凑”，可使问题便于解决．2．间接证明主要是反证法．反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤．这两步缺一不可．第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(一) 见8开试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3,5,9,17,33，…的通项a n ＝( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D.2n ＋1答案：B2．用反证法证明命题“若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈Z)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是奇数B ．假设a ，b ，c 都不是奇数C ．假设a ，b ，c 至多有一个奇数D ．假设a ，b ，c 至多有两个奇数解析：命题“a ，b ，c 中至少有一个是奇数”的否定是“a ，b ，c 都不是奇数”，故选B.答案：B3．因为奇函数的图像关于原点对称(大前提)，而函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)， x >0，0， x ＝0，x (x －1)， x <0是奇函数(小前提)，所以f (x )的图像关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：因为f (1)＝f (－1)＝2，所以f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错．答案：B4．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“”：★★★★★★……依此规律继续打下去，那么在前 2 014个图形中的“★”的个数是( )A ．60B ．61。

北师大版高中数学选修2-2《变化的快慢与变化率》第二课时教案-新版

1变化的快慢与变化率第二课时变化的快慢与变化率——瞬时变化率一、教学目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。

3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。

二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。

教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：函数平均变化率的概念1、对一般的函数y =f （x ）来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从f （1x ）变为2()f x 。

平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为xy∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率。

2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。

（二）、探究新课例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为221gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式101)()(t t t s t s t s --=∆∆，可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度9.5315.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）。

我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。

为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度5.491.05.12245.12751.5)5()1.5(=-≈--s s （m/s ）。

用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。

如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

解：我们将时间间隔每次缩短为前面的101，计算出相应的平均速度得到下表：t 0/s t 1/s 时间的改变量（Δt ）/s 路程的改变量（Δs ）/m 平均速度⎪⎭⎫⎝⎛∆∆t s /（m/s ）5 5.1 0.1 4.95 49.5 5 5.01 0.01 0.49 49.049 5 5.001 0.001 0.049 49.0049 5 5.0001 0.0001 0.0049 49.00049 5…………可以看出，当时间t 1趋于t 0=5s 时，平均速度趋于49m/s ，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的瞬时速度为49m/s 。

高级中学高中数学(北师大版)选修2-2导学案：第二章变化的快慢与变化率(第1讲)

1．自变量x 从0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（）
A.在区间[0x ，1x ]上的平均变化率
B.在0x 处的变化率
C.在1x 处的变化量
D.在区间[0x ，1x ]上的瞬时变化率
2．在求平均变化率时，自变量的增量△x 满足（）
A. △x>0
B. △x<0
C. △x=0
D. △x ≠0
3.函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是（）
A.5
B.-5
C.4
D.-4
4.若质点A 按规律32t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（）
A.6
B.18
C.54
D.81
5.已知函数y=x 3-2,则当x=2时的瞬时变化率是。

6.已知物体运动的速度与时间的关系是v(t)=t 2+2t+2，则在时间间隔[1，1+△t]内的平均加速度是。

7.求函数y=x 1
在x=2处的瞬时变化率。

8.求函数y=x 在x=4处的瞬时变化率。

9.求函数y=x+x 1
在x=1处的瞬时变化率。

答案ADAC 5.12;6.4t +∆；7.14-；8.1
4；9.0。

高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章变化率与导数复习参考教案

变化率与导数复习一、教学目标：1、认识到平均变化率是刻画物体平均变化的快慢的量，瞬时变化率是刻画物体在一个瞬间的变化快慢的量；2、理解导数概念的实际背景和几何意义，并能用导数定义计算简单的幂函数的导数。

3、利用导数公式表和运算法则计算基本初等函数的导数，并能解决简单的求曲线的切线的问题。

二、教学重点：导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算教学难点：利用极限的语言刻画导数概念和讨论导数的运算法则三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导数概念的实际背景和几何意义，导数公式表和运算法则。

(二)、探究新课例1、求下列函数的导数：（1）233ln xx x x y ++=；（2）)3)(3(2+-=x x x y ；（3）)4,0(,2sin 1π∈-=x x x y ；（4）312)31(x e y x -=+。

解：（1）∵221233ln ln x x x x x x x x y ++=++=-， ∴3234223ln 211212ln 1121x x x x x x x x x y -++-=⋅-⋅++-='--。

（2）∵2429)3)(3(x x x x x y -=+-=∴x x y 1843-='（3）∵x x x x x x x x y cos sin )cos (sin 2sin 12-=-=-=，又∵)4,0(π∈x ，∴x x cos sin <，∴)sin (cos x x x y -= ∴x x x x x x x x x y sin )1(cos )1()cos sin ()sin (cos 1+--=--⋅+-⋅='。

（4）621231223312312)31()3()31(3)31(2])31[(])31[()31()(x x e x e x x e x e y x x x x --⋅-⋅--=-'---'='++++ 412)31()611(x x e x --=+ 例2、已知曲线C 1：2x y =与曲线C 2：2)2(--=x y ，直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程。

北师大版数学高二-【北师大版】选修2学案变化的快慢与变化率(1)

变化的快慢与变化率（第一课时）教学目标知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学重点平均变化率的含义教学难点会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

一、课前准备1、什么是函数的平均变化率？2、什么是自变量的改变量？记做什么？3、什么是函数值的改变量？记做什么？4、平均变化率刻画的是什么？二、新课导学课本上实例分析问题一：物体在2s-10s和5-10s内，那一段时间运动得快？问题二：在30-50分钟，40-60分钟体温的平均变化率是什么？拓展：1、在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为拓展：2、在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?在5.00≤≤t 这段时间里，v =在21≤≤t 这段时间里，v =在21t t t ≤≤这段时间里，v =探究：对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差。

（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。

（3）新知：平均变化率：2121()()f x f x f x x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值y x∆∆，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率.三、练习课本练习12、已知函数2()f x x ，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]四、学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测：练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.T(月)6 3 9 12 3.56.58.611。

2.1变化的快慢与变化率学案1(高中数学选修2-2 北师大版)

§1 变化的快慢与变化率课标解读1.了解函数的平均变化率及瞬时变化率．2.会求函数的平均变化率及瞬时变化率．(重点)(1)12x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.通常我们把自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.函数的瞬时变化率 (1)01Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率． (2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.求函数的平均变化率(1)求函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率．【思路探究】函数f (x )＝2x 2＋1→函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)→函数的平均变化率ΔyΔx【自主解答】 (1)由已知Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1 ＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx (2x 0＋Δx )Δx＝4x 0＋2Δx . (2)由(1)可知：ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ，当x 0＝2，Δx ＝0.01时， ΔyΔx ＝4×2＋2×0.01＝8.02.1．解答本题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy . 2．求平均变化率的步骤：通常用“两步”法：一作差，二作商，即： (1)先求出Δx ＝x 2－x 1，再计算Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)对所求得的差作商，即得 Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .在本例中，分别求函数在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值均为14，问哪一点附近的平均变化率最大？【解】由例题知，函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为4x 0＋2Δx .当x 0＝1，Δx ＝14时，函数在[1,1.25]的平均变化率为k 1＝4×1＋2×14＝4.5.当x 0＝2，Δx ＝14时，函数在[2,2.25]的平均变化率为k 2＝4×2＋2×14＝8.5.当x 0＝3，Δx ＝14时，函数在[3,3.25]的平均变化率为k 3＝4×3＋2×14＝12.5.∵k 1<k 2<k 3，已知函数f (x )＝2x －x ，求自变量x 在以下的变化过程中，函数值的平均变化率： x 从0变到0.1； x 从0变到0.01； x 从0变到0.001.估计当x ＝0时函数的瞬时变化率是多少？【思路探究】先算出函数在三个不同的变化过程中的平均变化率，再总结这些数值趋于哪个数，这个数就是瞬时变化率．【自主解答】 x 从0变到0.1时，函数值的平均变化率是2×0.01－0.10.1＝－0.8；x 从0变到0.01时，函数值的平均变化率是2×0.000 1－0.010.01＝－0.98；x 从0变到0.001时，函数值的平均变化率是2×0.000 001－0.0010.001＝－0.998.估计当x ＝0时，函数的瞬时变化率是－1.1．本题中不断减少自变量的改变量，用“平均变化率”逐渐“逼近”函数在某一点的变化率，即“瞬时变化率”，这就是“逼近”的思想．2．在总结平均变化率的趋势时，可以多算几个平均值，这样得出的瞬时变化率更准确．若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋1(0≤t ＜2)，2＋3(t －3)2(t ≥2).求此物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度．【解】当t ＝1时，s ＝3t 2＋1，Δs Δt ＝3(1＋Δt )2＋1－3×12－1Δt＝6＋3Δt ，当Δt →0时ΔsΔt→6，即t ＝1时，瞬时速度为6.当t ＝3时，s ＝2＋3(t －3)2.Δs Δt ＝2＋3(3＋Δt －3)2－2－3×(3－3)2Δt＝3Δt ，当Δt →0时，Δs→0，即t ＝3时，瞬时速度为0.12两人的速度哪个快？图2－1－1【思路探究】比较相同的时间Δt 内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果．【自主解答】在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，但s 1(t 0－Δt )>s 2(t 0－Δt )，故s 1(t 0)－s 1(t 0－Δt )Δt <s 2(t 0)－s 2(t 0－Δt )Δt.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．图2－1－2甲、乙两工厂经过排污治理，污水的排放流量(W )与时间(t )的关系如图2－1－2所示，则治污效率较高的是________．【解析】在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，然而W 2(t 0－Δt )<W 1(t 0－Δt )(Δt >0)，所以|W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt |>|W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt|，所以在相同时间内甲比乙的平均治污效率高．【答案】甲忽视函数的实际意义而致误已知一质点做直线运动，其速度v (t )＝t 2＋1，则当Δt 趋近于0时，v (2＋Δt )－v (2)Δt趋近于( )A ．t ＝2时的瞬时速度B ．t ＝2时的路程C ．t ＝2时的加速度D ．t ＝2时的位移【错解】由瞬时变化率的定义知，v (2＋Δt )－v (2)Δt趋近于t ＝2时的瞬时速度，故选A.【答案】 A【错因分析】本题的解答忽略了函数v (t )的实际意义．速度的瞬时变化率是加速度，而瞬时速度指的是位移的瞬时变化率．【正解】由题意可知v (2＋Δt )－v (2)Δt表示速度的变化率，故选C.【答案】 C1．平均变化率和瞬时变化率描述的是函数值变化的快慢． 2．平均变化率是函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)与自变量的增量Δx 的比；而瞬时变化率则指Δx 趋近于0时，瞬时变化率趋近的值.1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 应满足( ) A ．Δx >0 B ．Δx <0 C ．Δx ≠0 D ．Δx ＝0【解析】 Δx 可正、可负，但不能等于0. 【答案】 C2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 【解析】 Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．【答案】 D3．物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________．【解析】由题意可得，Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs ＝4.42＝2.2.【答案】 2.24．已知函数f (x )＝x 2＋x ，分别计算f (x )在区间[1,3]，[1,2]，[1,1.5]上的平均变化率．【解】函数f (x )在区间[1,3]上的平均变化率为f (3)－f (1)3－1＝32＋3－(12＋1)2＝5，函数f (x )在区间[1,2]上的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝22＋2－(12＋1)1＝4，函数f (x )在区间[1,1.5]上的平均变化率为f (1.5)－f (1)1.5－1＝1.52＋1.5－(12＋1)0.5＝3.5.一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44【解析】 Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝0.41. 【答案】 B2．函数y ＝f (x )＝3x 在x 从1变到3时的平均变化率等于( )。

《变换的快慢与变化率》学案1(北师大版选修2-2)

第二章变化率与导数1.1变化的快慢与变化率（第一课时）一、学习目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求确定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢.二、学习重点：从变化率的角度重新认识平均速度的意义，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化快慢的数量描述.三、学习难点：对平均变化率的数学意义的认识。

四、学法指导：通过具体问题，感受在现实世界和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率的实际意义。

五、知识链接：速度、平均速度、瞬时速度。

六、学习内容：一、微积分的发展简史：十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动物体的即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。

牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。

他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。

牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

1684年，德国的莱布尼茨他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，其中含有现代的微分符号和基本微分法则。

1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。

高中数学北师大版选修2-2二章《变化的快慢与变化率》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案

高中数学北师大版选修2-2第二章《变化的快慢与变化率》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程,体会从特殊到一般的数学思想,体现了数学知识来源于生活,又服务于生活。

2.通过函数平均变化率几何意义的教学,让学生体会数形结合的思想。

3.通过例题的解析,让学生进一步理解函数平均变化率的概念,了解平均变化率的几何意义,会计算函数在某个区间上的平均变化率;
2学情分析
本节课是北师大版高中数学(选修2-2)第二章变化率及导数第一节变化快慢及变化率。

本节内容通过分析研究记忆问题、温度变化问题,总结归纳出一般函数的平均变化率概念,在此基础上,要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。

平均变化率是个核心概念,它在整个高中数学中占有及其重要的地位,是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。

在这个过程中,注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

学生认知困难有两个:1.学生首次研究非线性的量的变化过程,需要“局部”以直代曲的辩证思维2.从粗糙的,生活的语言上升到定量的用符号的数学语言表达较难。

3重点难点
重点：平均变化率及应用
难点：对平均变化率的抽象概括
4教学过程
1【活动】变化快慢与变化率
一.新课讲授
(一)问题提出
创设情境,课题引入。

高中数学选修2-2 北师大版变化的快慢与变化率学案

课题 2.1.1 变化的快慢与变化率学习目标；1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。

体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

3. 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度学习重难点：平均变化率的实际意义和数学意义.学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法.学习过程一、课前预习指导：1．对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为ΔyΔx＝______________.2．对一般函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，函数的平均变化率为ΔyΔx＝_____________＝_________________；当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．3．平均变化率用来刻画函数值在某个范围内变化的快慢，瞬时变化率刻画的是函数_____________________二、新课学习：自主学习：课本51--56页问题探究一平均变化率1 物体运动过程中，s＝s(t)有以下数据t/s025101315…s/m069203244…物体在0～2 s和10～13 s这两段时间内，哪一段运动得快？如何刻画运动的快慢？2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？3 平均变化率也可以用式子ΔyΔx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？问题探究二瞬时变化率（课本53—56页）例1.一个小球从高空自由下落，其走过的路程S（单位:m）与时间t(单位:s)的函数关系式为S=21gt2,其中，g为重力加速度（g=9.8m/s2）.试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。

例2 一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动，估计汽车在t＝3 s时的瞬时速度．(时间单位：s；位移单位：m)1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？2 怎样求运动物体的瞬时速度？它和平均速度有什么关系？3 结合瞬时速度，说出对函数瞬时变化率的理解．三、当堂检测：1．已知函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于( )A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)22．质点运动方程为s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)内，相应的平均速度等于________．3．函数f(x)＝1x2＋2在x＝1处的瞬时变化率为________．四、课堂小结：五、课后作业：六．板书设计七．教（学）后反思。

高中数学第二章变化率与导数 1 变化的快慢与变化率教案(含解析)北师大版选修2-2-北师大版高二

1变化的快慢与变化率平均变化率下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：x (min) 0 10 20 30 40 50 60 y (℃)3938问题1：观察上表，每10分钟病人体温变化相同吗？提示：不相同．问题2：哪段时间体温变化较快？提示：从20 min 到30 min 变化快．问题3：如何刻画体温变化的快慢？提示：用单位时间内的温度变化的大小，即体温的平均变化率．平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.瞬时变化率一质点的运动方程为s ＝10t 2，其中s 表示位移，t 表示时间．问题1：求该质点从t 1＝1到t 2＝2的平均速度v 1. 提示：v 1＝10×4－10×12－1＝30.问题2：问题1中所求得的速度是t ＝1或t ＝2时的速度吗？提示：不是，是平均速度．问题3：求该质点从t1＝1到t1v2.提示：v2＝错误!＝21.问题4：v1，v2中哪一个值较接近t＝1时的瞬时速度？提示：v2，因为从t1＝1到t2＝1.1的时间差短．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是ΔyΔx＝f x1－f x0x1－x0＝f x0＋Δx－f x0Δx.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．(1)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．(2)平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．求函数平均变化率[例1] 2(1)求函数f(x)在[2,2.01]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[思路点拨] 先求Δx，Δy，再利用平均变化率的定义求解．[精解详析] (1)由f(x)＝2x2＋1，得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2，Δx＝2.01－2＝0.01，∴Δy Δx ＝0.080 20.01＝8.02. (2)∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1 ＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx 2x 0＋Δx Δx＝4x 0＋2Δx . [一点通] 求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)求平均变化率Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0.[注意] Δx ，Δy 的值可正，可负，但Δx ≠0，Δy 可为零，若函数f (x )为常值函数，则Δy ＝0.1．在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析：选C ∵x 1＝1，x 2＝1＋Δx ，即Δx ＝x 2－x 1，∴Δy ＝(x 22＋1)－(x 21＋1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋Δx .2．已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较在两个区间上变化的快慢．解：自变量x 从1变化到2时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx＝f2－f 12－1＝12.自变量x 从3变化到5时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f 5－f 35－3＝1415.由于12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在[1,2]的平均变化比在[3,5]的平均变化慢．运动物体的平均速度与瞬时速度[例2] 已知s (t )＝5t 2.(1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t ＝3秒时的瞬时速度．[精解详析] (1)当3≤t ≤3.1时，Δt ＝0.1， Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝5×(3.1)2－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)， ∴ΔsΔt＝,0.1)＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01， Δs ＝s (3.01)－s (3)，＝5×(3.01)2－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴ΔsΔt＝,0.01)＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个小时间段Δt ，即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32＝5·Δt ·(6＋Δt )， ∴Δs Δt ＝5Δt 6＋Δt Δt＝30＋5Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30.∴在t ＝3时的瞬时速度为30 m/s.[一点通] 在某一时间段内的平均速度与时间段Δt 有关，随Δt 变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt 是趋于0，而不是Δt ＝0，此处Δt 是时间间隔，可任意小，但绝不能认为是0.3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3解析：选DΔsΔt＝错误!＝4.1. 4．一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，求a . 解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2.∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·Δt 2Δt＝4a ＋a ·Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于4a .依据题意有4a ＝12，∴a ＝3.(1)瞬时变化率的绝对值度量函数在某点处变化的快慢．(2)当瞬时变化率大于0时，说明函数值在增加；当瞬时变化率小于0时，说明函数值在减小；其绝对值大小才能说明变化的快慢．(3)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) C ．2 D ．0解析：选AΔy Δx＝f 1.1－f 11.1－1＝,0.1)＝2.1.2．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，ΔsΔt为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B ．在t 时刻物体的瞬时速度C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度解析：选BΔsΔt中Δt 趋于0时得到的数值是物体在t 时刻的瞬时速度． 3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )A ．4B ．13C ．15D ．28解析：选C Δs ＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15. ∴Δs Δt ＝153－2＝15. 4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1C.12D.14解析：选C 因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt无限趋近于0时，12＋18Δt 无限趋近于12，因此t ＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为12，故选C.5．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为________．解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝－2＋Δx2－2－2＋Δx ＋1－4＋4＋1Δx＝Δx －6.答案：Δx －66．质点的运动方程是s (t )＝1t2，则质点在t ＝2时的速度为________．解析：因为Δs Δt ＝s2＋Δt －s 2Δt＝12＋Δt2－14Δt＝－4＋Δt 42＋Δt2，当Δt →0时，Δs Δt →－14，所以质点在t ＝2时的速度为－14.答案：－147．已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx .解：f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2×x 21＋3×x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx . (1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴Δy Δx ＝211＝21. (2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy 2＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴ΔyΔx＝,0.1)＝19.2. 8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋3t －32， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt＝29＋3×0＋Δt －32－29－3×0－32Δt＝3Δt －18，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－3×1－32Δt ＝3Δt －12，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.。

高中数学第2章变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化率学案北师大版选修2-2

§1 变化的快慢与变化率1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率.(重点)2.知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的平均变化率阅读教材P 25～P 27“练习1”以上部分，完成下列问题.1.定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.通常我们把自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.2.作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零.( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 函数瞬时变化率阅读教材P 27“练习1”以下至P 30“练习2”以上部分，完成下列问题.1.定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f （x 1）－f （x 0）x 1－x 0＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率. 2.作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.一质点运动规律是s ＝t 2＋3(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在t ＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.【解析】 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2，∴ΔsΔt＝2Δt ＋（Δt ）2Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于2.【答案】 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：[小组合作型]( ) A.0.40 B.0.41 C.0.43D.0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.【精彩点拨】 (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝f (2＋0.1)－f (2)可得.(2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f （x 2）－f （x 1）→计算Δy Δx【自主解答】 (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.【答案】 B(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝2＋12－（1＋1）1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f （5）－f （3）5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快.1.求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1). 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.2.求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx的形式.[再练一题]1.函数y ＝x 2＋1在[1，1＋Δx ]上的平均变化率是( )【导学号：94210031】A.2B.2xC.2＋ΔxD.2＋(Δx )2【解析】 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx ＝2＋Δx ，故选C. 【答案】 C12两人的速度哪个快？图211【精彩点拨】比较相同的时间Δt内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果.【自主解答】在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，但s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)，故s1（t0）－s1（t0－Δt）Δt<s2（t0）－s2（t0－Δt）Δt.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快.1.本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论.2.平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢.[再练一题]2.某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图212所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是( )图212A.甲的日生产量大于乙的日生产量B.甲的日生产量小于乙的日生产量C.甲的日生产量等于乙的日生产量D.无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小【解析】由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量.【答案】 B[探究共研型]探究1 h (t )＝－4.9t2＋6.5t ＋10，求运动员在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，6549时间内的平均速度为多少？【提示】易知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＝h (0)，v －＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549－h （0）6549－0＝0.探究2 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？【提示】不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.探究3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？【提示】可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt ，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度.(时间单位：s ；位移单位：m)【精彩点拨】先求时间从3到3＋Δt 时的平均速度，再由Δt 趋于0求得瞬时速度. 【自主解答】当时间从3变到3＋Δt 时，v －＝s （3＋Δt ）－s （3）Δt ＝3（3＋Δt ）2＋1－（3×32＋1）Δt ＝3Δt ＋18，当Δt 趋于0时，v －趋于常数18.∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.求函数f (x )在点x ＝x 0处的瞬时变化率的步骤： (1)求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)计算ΔyΔx ，并化简，直到当Δx ＝0时有意义为止；(3)将Δx ＝0代入化简后的ΔyΔx即得瞬时变化率.[再练一题]3.求函数y ＝f (x )＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率.【导学号：94210032】【解】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(3＋1)＝7Δx ＋3(Δx )2. ∴Δy Δx ＝7Δx ＋3（Δx ）2Δx＝7＋3Δx . ∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝7＋3Δx 趋于7＋3×0＝7.∴函数y ＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率为7.[构建·体系]1.在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1，2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx 为( )A.Δx ＋1Δx ＋2B.Δx －1Δx －2C.Δx ＋2D.2＋Δx －1Δx【解析】 Δy Δx ＝（1＋Δx ）2＋1－2Δx ＝2＋Δx ，故选C.【答案】 C2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A.3Δt ＋6B.－3Δt ＋6C.3Δt －6D.－3Δt －6【解析】 Δs Δt ＝5－3（1＋Δt ）2－（5－3）Δt ＝－6－3Δt .【答案】 D3.已知函数y ＝2x，当x 由2变为1.5时，函数的改变量Δy ＝________.【导学号：94210033】【解析】 Δy ＝21.5－22＝13.【答案】 134.设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 21 200，其中x 为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________.【解析】 ΔC Δx ＝C （1 000）－C （900）1 000－900＝1912. 【答案】19125.在F1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时Δs 与ΔsΔt ；(2)t ＝20时的瞬时速度.【解】 (1)Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)， Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s). (2)∵Δs Δt＝10（20＋Δt ）＋5（20＋Δt ）2－10×20－5×202Δt＝5Δt ＋210，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于210，所以在t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数y ＝f (x )＝3x在x 从1变到3时的平均变化率等于( ) A.12 B.24 C.2D.－12【解析】 Δy ＝f (3)－f (1)＝33－31＝24，则Δy Δx ＝243－1＝12.故选A. 【答案】 A2.函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A.3 B.2 C.1D.4【解析】由已知得m 2－1－（12－1）m －1＝3，∴m ＋1＝3，∴m ＝2. 【答案】 B3.将半径为R 的球加热，若球的半径增量为ΔR ，则球的表面积增量ΔS 等于( ) A.8πR ΔRB.8πR ΔR ＋4π(ΔR )2C.4πR ΔR ＋4π(ΔR )2D.4π(ΔR )2【解析】球的表面积S ＝4πR 2，则ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ΔR ＋4π(ΔR )2. 【答案】 B4.函数y ＝f (x )＝3x ＋1在点x ＝2处的瞬时变化率估计是( ) A.2 B.3 C.4D.5【解析】 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝3(2＋Δx )＋1－(3×2＋1)＝3Δx ，则Δy Δx ＝3ΔxΔx ＝3，∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于3.故选B.【答案】 B5.一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度为( )A.7 m/sB.6 m/sC.5 m/sD.8 m/s【解析】Δs Δt＝1－（3＋Δt ）＋（3＋Δt ）2－（1－3＋32）Δt＝Δt ＋5.当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于5，所以此物体在3 s 末的瞬时速度为5 m/s.【答案】 C 二、填空题6.物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________.【导学号：94210034】【解析】由题意可得，Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs Δt ＝4.42＝2.2. 【答案】 2.27.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率为94，则a ＝______.【解析】Δy Δx ＝f （a ）－f （2）a －2＝a 2－2a ＋3－（22－2×2＋3）a －2＝a 2－2a a －2＝a ＝94.【答案】 948.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图213所示.在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为-v 1，-v 2，-v 3，其三者的大小关系是________.图213【解析】 ∵-v 1＝s （t 1）－s （t 0）t 1－t 0＝k MA ，-v 2＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1＝k AB ，-v 3＝s （t 3）－s （t 2）t 3－t 2＝k BC ，由图像可知：k MA <k AB <k BC ， ∴-v 3>-v 2>-v 1. 【答案】 -v 3>-v 2>-v 1 三、解答题9.比较y ＝x 3与y ＝x 2在x ＝2附近平均变化率的大小.【解】当自变量x 从x ＝2变化到x ＝2＋Δx 时，y ＝x 3的平均变化率k 1＝（2＋Δx ）3－23Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12，y ＝x 2的平均变化率k 2＝（2＋Δx ）2－22Δx＝Δx ＋4.∵k 1－k 2＝(Δx )2＋5Δx ＋8＝⎝⎛⎭⎪⎫Δx ＋522＋74>0， ∴k 1>k 2.∴在x ＝2附近y ＝x 3的平均变化率较大.10.已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s). (1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求ΔsΔt ；(2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度. 【解】Δs Δt ＝s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt＝3（t ＋Δt ）2＋2－（3t 2＋2）Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时， ΔsΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03 cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ， ∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12 cm/s.[能力提升]1.以初速度为v 0(v 0>0)做竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，则物体在t 0秒到t 0＋Δt 秒间的平均速度为( )A.v 0－gt 0－12g ΔtB.v 0－gt 0C.v 0－12g ΔtD.gt 0－12g Δt 【解析】 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ， ∴物体在t 0秒到t 0＋Δt 秒间的平均速度为v 0－gt 0－12g Δt . 【答案】 A2.一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( ) 【导学号：94210035】A.at 0B.－at 0C.12at 0D.2at 0【解析】 ∵Δs Δt ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝12a Δt ＋at 0，∴Δt 趋于0时，Δs Δt趋于at 0. 【答案】 A3.(2016·临沂高二检测)设c 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为c ＝c (q )，当产量为q 0时，产量的变化Δq 对成本的影响可用增量比Δc Δq ＝c （q 0＋Δq ）－c （q 0）Δq刻画，如果Δq 无限趋近于0时，Δc Δq无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本，它表明当产量为q 0时，增加单位产量需付出的成本为A ，它是实际付出成本的一个近似值.若某一产品的成本c 与产量q 满足函数关系c ＝3q 2＋1，则当产量q ＝30时的边际成本是________.【解析】 ∵Δc ＝3(30＋Δq )2＋1－(3×302＋1)＝180Δq ＋3(Δq )2，∴Δc Δq ＝180Δq ＋3（Δq ）2Δq＝180＋3Δq . 当Δq 趋于0时，Δc Δq趋于180， ∴当产量q ＝30时的边际成本为180.【答案】 1804.(2016·南充高二检测)某一运动物体，在x (s)时离开出发点的距离(单位：m)是f (x )＝23x 3＋x 2＋2x . (1)求在第1 s 内的平均速度；(2)求在1 s 末的瞬时速度；(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s?【解】 (1)物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为f （1）－f （0）1－0＝113 m/s. (2)Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝23（1＋Δx ）3＋（1＋Δx ）2＋2（1＋Δx ）－113Δx＝6＋3Δx ＋23(Δx )2. 当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于6，所以物体在1 s 末的瞬时速度为6 m/s.(3)Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝ 23（x ＋Δx ）3＋（x ＋Δx ）2＋2（x ＋Δx ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3＋x 2＋2x Δx＝2x 2＋2x ＋2＋23(Δx )2＋2x ·Δx ＋Δx . 当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于2x 2＋2x ＋2，令2x 2＋2x ＋2＝14，解得x ＝2，即经过2 s 该物体的运动速度达到14 m/s.。

高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 变化的快慢与变化率 参考学案1