北京市石景山2016届高三一模数学理科试题

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北京市石景山区高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．123．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．44．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命项式a n x n+a n﹣1名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+46．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．57．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．28．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于．+111．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=．12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是．（用数字作答）14．已知．①当a=1时，f（x）=3，则x=；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．16．（12分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．17．（14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．18．（14分）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．19．（14分）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=+m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．20．（14分）已知集合R n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，a n）∈R n，B=（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|=．（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ）设集合P⊆R n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明．2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜），B={x|0≤x≤1}∴A∩B={x|0≤x＜}故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解答】解：圆ρ=1的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=1．直线转化成直角坐标方程为：x=．所以：圆心到直线x=的距离为．则：弦长l=2=．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命项式a n x n+a n﹣1名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+4【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的k，S的值，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1，k=1，S=x+1，满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=（x+1）x+2=x2+x+2满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=（x2+x+2）x+3=x3+x2+2x+3满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=（x3+x2+2x+3）x+4=x4+x3+2x2+3x+4不满足条件k＜4，退出循环，输出能求得多项式x4+x3+2x2+3x+4的值．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；=×2×2=2，所以，S△ABCS△PAC=S△PBC=×1=，=×2=；S△PAB所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+=2+2．故选B．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题7．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x=1；∴F（1，2），；∴．故选C．【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算．8．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】三角形中的几何计算．【分析】设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．【解答】解：设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x﹣）×=﹣1；∴黑色菱形的面积S′=（x﹣）（﹣1）=（x﹣2）2，若m：n=47：25，则=，解可得x=12或x=（舍），所以，△ABC的边长是12；故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a的值．【解答】解：∵复数==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于﹣2．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1【考点】数列递推式．•a n=﹣2（n≥2），与原递推式两边作比可得【分析】由已知求得a2，且得到a n﹣1（n≥2），即数列{a n}中的所有偶数项相等，由此求得a8的值．【解答】解：由a1=1，a n•a n+1=﹣2，得a2=﹣2，•a n=﹣2（n≥2），又a n﹣1∴（n≥2），∴数列{a n}中的所有偶数项相等，则a8=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题．11．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=4．【考点】抛物线的标准方程．【分析】确定双曲线﹣y2=1的右顶点坐标，从而可得抛物线y2=2px的焦点坐标，由此可得结论．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右顶点坐标为（2，0），∵抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，∴=2，∴p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键．12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位，所得到y=sin[3（x+）+φ]=sin（3x++φ）的图象，若所得图象关于原点对称，则+φ=kπ，k∈Z，又﹣π＜φ＜0，∴φ=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是36．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏．14．已知．①当a=1时，f（x）=3，则x=4；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=．【考点】分段函数的应用．【分析】①当a=1时，f（x）=3，利用分段函数建立方程，即可求出x的值；②由f（x）=3，求得x=﹣1，或x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤﹣1，f（﹣6）=3，由此求得a的值．【解答】解：①x≥1，x﹣=3，可得x=4；x＜1，2﹣（x+）=3，即x2+x+4=0无解，故x=4；②由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x﹣=3，求得x=﹣1，或x=4．∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=﹣1，x3=4，x1 =﹣6，∴a≤﹣1．∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为﹣6，再根据f（﹣6）=2a+6+=3，求得a=，满足a≤﹣1．故答案为4，．【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）（2017•石景山区一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小．（Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2由余弦定理：cosC==，∵0＜C＜π，∴C=．（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=．∴B=，且A∈（0，）．那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（），∵A∈（0，）．∴，故得当=时，cosA+cosB取得最大值为1．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题．16．（12分）（2017•石景山区一模）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，得出；（Ⅱ）根据X的所有可能取值，计算对应的概率，写出分布列；（Ⅲ）由甲种和乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率和频数，计算在1200个数据中应抽取的数据个数．【解答】解：（Ⅰ）由图（乙）知，10（a+0.02+0.03+0.025+0.015）=1，解得a=0.01，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，∴；（Ⅱ）X的所有可能取值1，2，3；则，，，其分布列如下：（Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2+3+4+5+6=20个，其中有4个数据在区间（0，10]内，又因为分层抽样共抽取了1200×5%=60个数据，乙种酸奶的数据共抽取60﹣20=40个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率为0.1，故乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内有40×0.1=4个．故抽取的60个数据，共有4+4=8个数据在区间（0，10]内．所以，在1200个数据中，在区间（0，10]内的数据有160个．【点评】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列问题，是综合题．17．（14分）（2017•石景山区一模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥PD．BC⊥DC，从而BC⊥面PDC，进而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此能证明DE⊥面PBC．（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为PD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥PD．因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥DC．PD∩DC=D，所以BC⊥面PDC．DE⊂面PDC，DE⊥BC，在△PDC中，PD=DC，E为PC中点，所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，所以DE⊥面PBC．解：（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，其中，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（2，0，0），，，．设，则．DF⊥PB得，解得．所以．设平面FDA的法向量，则，令z=1得x=0，y=﹣3．平面FDA的法向量，平面BDA的法向量，，．二面角F﹣AD﹣B的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（14分）（2017•石景山区一模）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出斜率f'（1）=1，然后求解切线方程．（Ⅱ）化简=．求出，令，解得x=1．判断函数的单调性求出极小值，推出结果．（Ⅲ）设h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），依题意，对于任意x＞1，h（x）＞0恒成立．，a≤1时，a＞1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可．【解答】解：（Ⅰ），f'（1）=1，又f（1）=0，所以切线方程为y=x﹣1；（Ⅱ）证明：由题意知x ＞0，令=．令，解得x=1．易知当x ＞1时，g'（x ）＞0，易知当0＜x ＜1时，g'（x ）＜0．即g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，所以g （x ）min =g （1）=0，g （x ）≥g （1）=0即，即x ＞0时，；（Ⅲ）设h （x ）=x ﹣1﹣a1nx （x ≥1），依题意，对于任意x ＞1，h （x ）＞0恒成立．，a ≤1时，h'（x ）＞0，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，当x ＞1时，h （x ）＞h （1）=0，满足题意．a ＞1时，随x 变化，h'（x ），h （x ）的变化情况如下表：h （x ）在（1，a ）上单调递减，所以g （a ）＜g （1）=0 即当a ＞1时，总存在g （a ）＜0，不合题意．综上所述，实数a 的最大值为1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）（2017•石景山区一模）已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知b=1，e===，即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC丨及丨MN丨，丨BN丨2=丨AC丨2+丨MN丨2=，即可求得B，N两点间距离是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，过点（0，1），则b=1，由椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段中点M（x0，y0），则，整理得：x2+2mx+2m2﹣2=0，由△=（2m）2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，解得：﹣＜m＜，则x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则M（﹣m，m），丨AC丨=•=•=由l与x轴的交点N（﹣2m，0），则丨MN丨==，∴丨BN丨2=丨BM丨2+丨MN丨2=丨AC丨2+丨MN丨2=，∴B，N两点间距离是否为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．20．（14分）（2017•石景山区一模）已知集合R n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，a n）∈R n，B=（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|=．（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ）设集合P⊆R n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明．【考点】函数的最值及其几何意义；集合的包含关系判断及应用．【分析】（Ⅰ）根据集合的定义，写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即可求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和，根据，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B ∈R2，d（A，B）max=2．（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，集合M中元素个数最大值为4．（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和．设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t i个1，m﹣t i个0，则由于（i=1，2，…，n）所以从而【点评】本题考查新定义，考查函数的最值，考查集合知识，难度大．。

高考数学3月石景山高三数学(理)答案.docx

石景山区2015—2016学年第一次模拟考试高三数学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(第9题第一空2分，第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）Q sin cos b A B =， ……………2分由正弦定理得sin sin cos B A A B =，在△ABC 中，sin 0A ≠，即tan B =，(0)B π∈，， ……………4分 3πB ∴=． ……………6分（Ⅱ）Q sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =， ……………8分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22942(2)cos3πa a a a =+-⋅⋅， ……………10分解得a =2c a == ……………13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题意得0.15100a=，所以15a =，又352510100a b ++++=，所以15b =． ……………3分（Ⅱ）设事件A 为“购买一部手机的3名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”， ……………4分由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1， ……………5分所以123()0.10.90.243P A C =⨯⨯=． ……………7分（Ⅲ）记分期付款的期数为ξ，依题意得(1)0.35P ξ==，(2)0.25P ξ==，(3)0.15P ξ==，(4)0.1P ξ==，(5)0.15P ξ==，因为X 可能取得值为1000元，1500元，2000元， ……………8分并且易知(1000)(1)0.35P X P ξ====， ……………9分(1500)(2)(3)0.4P X P ξP ξ===+==， ……………10分 (2000)(4)(5)0.25P X P ξP ξ===+==， ……………11分所以X 的分布列为所以X 的数学期望10000.3515000.420000.251450EX =⨯+⨯+⨯=．…13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：连接1B C ，与1BC 相交于O ，连接OD ．∵11BCC B 是矩形，∴O 是1B C 的中点．又D 是AC 的中点，∴OD ∥1AB ． ………2分 ∵1AB ⊄平面1BDC ，OD ⊂平面1BDC ， ………3分 ∴1AB ∥平面1BDC ． ………4分（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则1(000)C ，，，(032)B ，，，(030)C ，，，(230)A ，，，(130)D ，，， ………5分设111()n x y z =r，，是平面1BDC 的一个法向量，则1100n C B n C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u u r，，即111132030y z x y +=⎧⎨+=⎩，，令11x =，则11(1)32n =-r ，，， ………7分易知1(030)C C =u u u u r ，，是平面ABC 的一个法向量， ………8分 ∴11112cos 7736n C C n C C n C C ⋅-<>===-⋅⨯r u u u u rr u u u u r r u u u u r ，， ………9分由题意知二面角1C BD C --为锐角，∴二面角1C BD C --的余弦值为27． ………10分（Ⅲ）假设侧棱1AA 上存在一点(2,0)P y ，， (03y ≤≤)，使得CP ⊥平面1BDC ．则1100CP C B CP C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，，，即3(3)023(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩，，∴373y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，． ………12分∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱1AA 上不存在点P ，使CP ⊥平面1BDC ． ………14分 18．（本小题共13分）解：()cos (cos sin )sin f x x x x x x x '=--= ………1分（Ⅰ）()0f π'=，()f ππ=．所以切线方程为y π=． ………3分（Ⅱ）令31()()3g x f x x =-，则2()sin (sin )g x x x x x x x '=-=-， ………4分当(0)2x ∈，π时，设()sin t x x x =-，则()cos 10t x x '=-<所以()t x 在(0)2x ∈，π单调递减，()sin (0)0t x x x t =-<=即sin x x <，所以()0g x '<………6分所以()g x 在(0)2，π上单调递减，所以()(0)0g x g <=， ………7分所以31()3f x x <．………8分（Ⅲ）原题等价于sin x kx >对(0)2x ∈，π恒成立，即sin x k x <对(0)2x ∈，π恒成立，………9分令sin ()x h x x =，则22cos sin ()()x x x f x h x x x -'==-． ………10分易知()sin 0f x x x '=>，即()f x 在(0,)2π单调递增，所以()(0)0f x f >=，所以()0h x '<， ………11分故()h x 在(0)2，π单调递减，所以2()2k h ππ≤=．综上所述，k 的最大值为2π ．………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，，，解得2221a b ==，， ………2分故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ………3分（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立方程2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得222(12)4220k x kmx m +++-=． ………4分当228(21)0k m ∆=-+>，即2221k m >-时， ………5分122412kmx x k -+=+，21222212m x x k -⋅=+． ………6分所以1222212x x km k +-=+，122212y y m k+=+．当0k =时，线段AB 的垂直平分线显然过点1(0)2-，1122AOB S AB m m ∆=⋅=⋅⋅=因为(1,0)(0,1)m ∈-⋃,所以2(0,1)m ∈2AOB S ∆≤=，当212m =时，取到等号. ………8分当0k ≠时，因为线段AB 的垂直平分线过点1(0)2-，，所以12121()12202y y x x k +--=-+-，化简整理得2212k m +=． ………9分由22221221k m k m ⎧+=⎪⎨+>⎪⎩，，得02m <<． ………10分又原点O到直线AB的距离为d=．12AB x=-=所以12AOBS AB d∆=⋅=………11分而2212k m+=且02m<<，则2AOBS m∆=<<．………12分所以当1m=，即212k=时，AOBS∆取得最大值2．………13分综上，AOBS∆．………14分20．（本小题共13分）解:（Ⅰ）①∵2nnS=，作差法可得112nn n na S S--=-=(2)n≥，当1n=时，11S a=；当2n≥时，1n nS a+=，存在1m n=+，使得n mS a=∴数列{}n a是“回归数列”．………2分②∵2nb n=，∴前n项和2nT n n=+，根据题意22n n m+=∵(1)n n+一定是偶数，∴存在(1)2n nm+=，使得n mT b=∴数列{}n b是“回归数列”．………4分（Ⅱ）(1)2nn nS n d-=+，根据题意，存在正整数m，使得2mS a=成立即21(1)d m d+=+-，12dm=<-，2m<，*m N∈∴1m=，即1d=-．………8分（Ⅲ）设等差数列1(1)n a a n d =+-总存在两个回归数列11(1)n b a n a =--，1(1)()n c n a d =-+ 使得n n n a b c =+………9分证明如下：111(1)(1)(1)n n n b c a n a n a n d a +=--+-+-=数列{}n b 前n 项和11(1)2n n n B na a -=-， 1n =时，1m =；2n =时，1m =； 3n ≥时，(3)22n n -+为正整数，当(3)22n nm -=+时，m n b B =. ∴存在正整数(3)22n nm -=+，使得n m B b =，∴{}n b 是“回归数列”……11分数列{}n c 前n 项和1(1)()2n n n C a d -=+存在正整数(1)12n n m -=+，使得n m C c =，∴{}n c 是“回归数列”，所以结论成立．………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

北京市石景山区2016届高三一模考试数学(文)试卷 Word版含解析

石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷高三数学（文）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．1y x =+B ．3y x =- C ．1y x =D ．y x x =3．设数列{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从D 点出发，按字母顺序D A B C →→→沿线段DA ，AB ，BC 运动到C 点，在此过程中DE CD ⋅的最大值是( )A ．0B ．12C ．1D ．1-5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A ．8B ．C ．10D ．6．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕ<的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是( ) A ．23π-，B ．26π-，C ．46π-，D ．43π，7．已知抛物线24y x =的动弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．128．将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A 和B 所示的两个柱体，则柱体A 和B 的表面（不含地面）数字之和分别是( )A ．4748，B ．4749，C ．4950，D ．5049，第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线2212x y -=的焦距是________，渐近线方程是________． 10．若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最大值等于_______．A B1243665552313611．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，20，则输出的a ＝______． 12．设1sin 222a =，212sin 13b ︒=-，c =，则a b c ，，的大小关系是________．(从小到大排列)13．已知函数221()log 1x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，，，，若直线y m =与函数()f x 的图象只有一个交点，则实数m 的取值范围是____________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足*21()n n b n a n N =-+∈，求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题共13分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3sin 2sin b C A ==，，求a ，c 的值． 17．（本小题共13分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T ，其范围为[]010，，分别有五个级别：[)02T ∈，畅通；[)24T ∈，基本畅通；[)46T ∈，轻度拥堵；[)68T ∈，中度拥堵；[]810T ∈，严重拥堵．晚高峰时段(2T ≥)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．（Ⅰ）求出轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵路段各有多少个；（Ⅱ）用分层抽样的方法从交通指数在[)46，，[)68，，[]810，的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少1个路段为轻度拥堵的概率． 18．（本小题共14分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，BD BC =，BD AC ⊥，点M 是棱1BB 上一点．（Ⅰ）求证：11B D ∥平面1A BD ；（Ⅱ）求证：MD AC ⊥；（Ⅲ）试确定点M 的位置，使得平面1DMC ⊥平面11CC D D ．19．（本小题共14分）已知函数()2xf x e x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）证明：当0x >时，2x e x >；（Ⅲ）当0x >时，方程2()2f x kx x =-无解，求k 的取值范围．交通拥堵指数20．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点()0，)0的距离之和等于4，设动点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点()10E -，且与曲线C 交于A B ，两点．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时△AOB 的面积；若不存在，说明理由．答案及试题解析1【知识点】复数综合运算【试题解析】因为所以，对应的点位于第二象限故答案为：B 【答案】B2【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A ．不是奇函数，B ．不是增函数， C ．不是增函数，只有 D ．既是奇函数又是增函数故答案为：D 【答案】D3【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为数列是首项大于零的等比数列是大前提，数列是递增数列所以，充分必要条件故答案为：C 【答案】C4【知识点】数量积的定义【试题解析】因为图中与夹角为钝角，所以当在的射影的绝对值最小时，有最大值，所以，当与垂直时，的最大值是0.故答案为：A【答案】A5【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,故答案为：C【答案】C6【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为，，得所以，故答案为：A【答案】A7【知识点】抛物线【试题解析】因为当AB过焦点时，有最大值为故答案为：B【答案】B8【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为A的数字之和为，B的数字之和为故答案为：A【答案】A9【知识点】双曲线【试题解析】因为焦距渐近线方程是故答案为：，【答案】，10【知识点】线性规划【试题解析】因为如图为可行域，在取得最大值10故答案为：10【答案】1011【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为输出故答案为：2【答案】212【知识点】倍角公式两角和与差的三角函数【试题解析】因为，，，正弦函数在锐角范围内是增函数。

北京市石景山区2016届高三一模理综【物理答案】

2016北京市石景山区高三一模物理试题评分参考13—20单项选择题：（6分×8=48分）21．（18分）（1）（6分）如答图1所示（2）（3分）如答图2所示（3）（3分）a （4）（3分）AC （5）（3分）46 ~ 49 22．（16分）解析：（1）石块被抛出后做平抛运动水平方向 x = v 0t （2分）竖直方向 221gt h =（2分） h = L+sin L α （1分）解得 v 0 = 16m/s （1分）（2）落地时，石块竖直方向的速度v y = gt = 12m/s （1分）落地速度 =+=220y t v v v 20m/s （2分）设落地速度与水平方向间的夹角为θ，如答图3tan θ =v v y =43（2分）θ = 37 o或θ = arctan 43（1分）（3）长臂从初始位置转到竖直位置，根据动能定理 2021mv mgh W =- （3分）求出Ｗ = 2000J （1分） 23．（18分）解析：y答图3答图2（1）导体棒ab 向右做加速度减小的加速运动，当安培力与外力F 平衡时，导体棒ab 达到最大速度v 1BIL =F （3分）EI R=（1分） E =BLv 1 （1分）解得122FRv B L =（1分）（2）闭合开关后，导体棒ab 产生的电动势与电阻R 两端的电压相等时，导体棒ab 达到最大速度v 2EI R r=+ （1分） U IR = （2分） 2U BLv = （2分）解得2()ERv BL R r =+ （1分）（3）导体棒ab 向右加速运动，在极短时间△t 内，导体棒的速度变化△v ，根据加速度的定义 va t∆=∆（1分）导体棒产生的电动势变化△E =BL △v ，电容器增加的电荷△q =C △E =CBL △v 根据电流的定义qI t∆=∆（1分）解得I =CBLa （1分）导体棒ab 受到的安培力F 安=BIL =B 2L 2Ca （1分）根据牛顿第二定律F -F 安=ma （1分）解得22Fa m CB L =+（1分）24．（20分）解析：（1）a ．根据动量守恒定律 mv 0=(m +M ) v （2分）解得 0mv v m M=+ （2分）b. ①【法1】碰前第一次达到共同速度v 时，滑块相对木板移动的距离为x 1221011()22mgx mv m M v μ=-+ （1分）若m ≤M ，木板与挡板碰后，木板与滑块相互作用，二者达到共同速度，一起向左运动。

2016-2017年北京市石景山区高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

2016-2017学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．[0，1]2．（5分）若，则|z|=（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．5 B．3 C．9 D．74．（5分）下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=e﹣x B．y=ln（﹣x） C．y=x3 D．5．（5分）由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A．B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．67．（5分）将函数y=（x﹣3）2图象上的点P（t，（t﹣3）2）向左平移m（m＞0）个单位长度得到点Q．若Q位于函数y=x2的图象上，则以下说法正确的是（）A．当t=2时，m的最小值为3 B．当t=3时，m一定为3C．当t=4时，m的最大值为3 D．∀t∈R，m一定为38．（5分）六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（x﹣3）7的展开式中，x5的系数是（结果用数值表示）．10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，sinC=cosC，则△ABC的面积为．11．（5分）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是．12．（5分）等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．13．（5分）有以下4个条件：①；②||=||；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中∥的充分不必要条件有．（填正确的序号）．14．（5分）已知函数，①方程f（x）=﹣x有个根；②若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值．16．（13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18﹣36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量频数频率0至5个006至10个300.311至15个300.316至20个a c20个以上5b合计1001（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．17．（14分）如图1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于点A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如图2），使∠P'AD=90°．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P'AC；（Ⅱ）求二面角A﹣P'D﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段P'A上是否存在点M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知椭圆的离心率为，点（2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（1，0）的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A、B两点，设点B关于x轴的对称点为B'．直线AB'与x轴的交点Q是否为定点？请说明理由．19．（14分）已知函数，g（x）=x2e ax（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．20．（13分）集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，B⊆A，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定|ϕ|=0；表示对子集族D中所有成员A求和）；（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对∀A∈D，记k=max|A|，（其中max表示最大值），（ⅰ）求f（2）；（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．2016-2017学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．[0，1]【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，∴A∩B={0，1}，故选：C．2．（5分）若，则|z|=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：=，则|z|=．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．5 B．3 C．9 D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，k=3，a=8，b=9不满足条件a＞b，执行循环体，k=5，a=32，b=25满足条件a＞b，退出循环，输出k的值为5．故选：A．4．（5分）下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=e﹣x B．y=ln（﹣x） C．y=x3 D．【解答】解：由于函数y=e﹣x是减函数，但不是奇函数，故不满足条件．由于函数y=ln（﹣x）不是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，故不满足条件．由于函数y=x3是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，故不满足条件．由于函数y=是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，故满足条件，故选：D．5．（5分）由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A．B．C．D．【解答】解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．6【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是一个长，宽分别为3，4的矩形，故底面面积S=3×4=12，高为h，故这个几何体的体积为V=×12×h=8，解得：h=2，故选：B．7．（5分）将函数y=（x﹣3）2图象上的点P（t，（t﹣3）2）向左平移m（m＞0）个单位长度得到点Q．若Q位于函数y=x2的图象上，则以下说法正确的是（）A．当t=2时，m的最小值为3 B．当t=3时，m一定为3C．当t=4时，m的最大值为3 D．∀t∈R，m一定为3【解答】解：函数y=（x﹣3）2图象上，向左平移3个单位得到函数y=x2的图象，∴∀t∈R，m一定为3，故选：D．8．（5分）六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，所以与D赛过的是A、C、E、F四人；与C赛过的是B、D、E、F四人；又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局，所以与A赛过的是D、B、F；而与B赛过的是A、C、F；所以F共赛了4局．故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（x﹣3）7的展开式中，x5的系数是189（结果用数值表示）．=C7r x7﹣r（﹣3）r，当r=2【解答】解：因为（x﹣3）7的展开式的通项公式为：T r+1时，T3=C72x5（﹣3）2=189x5．所以（x﹣3）7的展开式中，x5项的系数为：189．故答案为：189．10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，sinC=cosC，则△ABC的面积为．【解答】解：∵sinC=cosC，∴tanC==∵C∈（0，π）∴∵AB=，BC=1，由余弦定理可得，=∴∴AC=2，==故答案为：11．（5分）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是．【解答】解：由题意知，∴m=3．∴c2=4+3=7，∴双曲线的焦点坐标是（）．故答案：（）．12．（5分）等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于4．【解答】解：设a1，a3，a11成等比，公比为q，则a3=a1•q=2q，a11=a1•q2=2q2．又{a n}是等差数列，∴a11=a1+5（a3﹣a1），∴q=4．故答案为413．（5分）有以下4个条件：①；②||=||；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中∥的充分不必要条件有①③．（填正确的序号）．【解答】解：若①=；则∥，但反之不一定成立，若③与的方向相反；则∥，但反之不一定成立，由此知①③为∥的充分不必要条件；故答案为：①③．14．（5分）已知函数，①方程f（x）=﹣x有1个根；②若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是．【解答】解：①函数，与y=﹣x的图象如图：可知方程f（x）=﹣x有1个根．②函数，∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）故答案为：①1，②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）…（1分）=…（2分）=，…（4分）因此f（x）的最小正周期为π．…（6分）（Ⅱ）当时，，…（8分）当，有最大值1．…（10分）即时，f（x）的最大值为2．…（13分）16．（13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18﹣36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量频数频率0至5个006至10个300.311至15个300.316至20个a c20个以上5b合计1001（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由已知得：0+30+30+a+5=100，解得a=35，∴，．…（3分）（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，则．所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为．…（7分）（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为．X的所有可能取值0，1，2，3．…（8分）则，，，．其分布列如下：X0123P所以，．…（13分）17．（14分）如图1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于点A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如图2），使∠P'AD=90°．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P'AC；（Ⅱ）求二面角A﹣P'D﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段P'A上是否存在点M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为∠P'AD=90°，所以P'A⊥AD．因为在等腰梯形中，AB⊥AP，所以在四棱锥中，AB⊥AP'．又AD∩AB=A，所以P'A⊥面ABCD．因为CD⊂面ABCD，所以P'A⊥CD．…（3分）因为等腰梯形BCDE中，AB⊥BC，PD=3BC，且AB=BC=1．所以，，AD=2．所以AC2+CD2=AD2．所以AC⊥CD．因为P'A∩AC=A，所以CD⊥平面P'AC．…（5分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P'A⊥面ABCD，AB⊥AD，如图，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P'（0，0，1）．…（5分）所以，．由（Ⅰ）知，平面P'AD的法向量为，设为平面P'CD的一个法向量，则，即，再令y=1，得．==．所以二面角A﹣P'D﹣C的余弦值为．…（9分）（Ⅲ）线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD．依题意可设，其中0≤λ≤1．所以M（0，0，λ），．由（Ⅱ）知，平面P'CD的一个法向量．因为BM∥平面P'CD，所以，所以，解得．所以，线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD…（14分）18．（13分）已知椭圆的离心率为，点（2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（1，0）的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A、B两点，设点B关于x轴的对称点为B'．直线AB'与x轴的交点Q是否为定点？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为点（2，0）在椭圆C上，所以a=2．又因为，所以．所以．所以椭圆C的标准方程为：．…（5分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），B'（x2，﹣y2），Q（n，0）．设直线AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．…（6分）联立y=k（x﹣1）和x2+4y2﹣4=0，得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．所以，．…（8分）直线AB'的方程为，…（9分）令y=0，解得…（11分）又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以．…（13分）所以直线AB'与x轴的交点Q是定点，坐标为Q（4，0）．…（14分）19．（14分）已知函数，g（x）=x2e ax（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．…（2分）当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，1）（1，+∞）f'（x）﹣+﹣f（x）↘↗↘所以，函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．…（5分）（Ⅱ）依题意，“对于任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”．由（Ⅰ）知，函数f （x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，因为f（0）=1，，所以函数f（x）的最小值为f（0）=1．所以应满足g（x）max≤1．…（7分）因为g（x）=x2e ax，所以g'（x）=（ax2+2x）e ax．…（8分）因为a＜0，令g'（x）=0得，x1=0，．（ⅰ）当，即﹣1≤a＜0时，在[0，2]上g'（x）≥0，所以函数g（x）在[0，2]上单调递增，所以函数．由4e2a≤1得，a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．…（11分）（ⅱ）当，即a＜﹣1时，在上g'（x）≥0，在上g'（x）＜0，所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减，所以．由得，，所以a＜﹣1．…（13分）综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．…（14分）20．（13分）集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，B⊆A，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定|ϕ|=0；表示对子集族D中所有成员A求和）；（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对∀A∈D，记k=max|A|，（其中max表示最大值），（ⅰ）求f（2）；（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．【解答】解：（Ⅰ）含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D={ϕ，{1}，{2}，{1，2}}…（2分）此时…（4分）（Ⅱ）设{1，2，3…n}的所有不超过k个元素的子集族为D k，（ⅰ）易知当D=D2时，达到最大值，∴…（6分）（ⅱ）设D是使得k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记D=D′∪D''，其中D′为不超过k﹣2元的子集族，D''为k﹣1元或k元的子集，则=…8 分现设D''有l（）个{1，2，3…n}的k元子集，由于一个k﹣1元子集至多出现在n﹣k+1个{1，2，3…n}的k元子集中，而一个k元子集中有个k﹣1元子集，故l个k元子集至少产生个不同的k﹣1元子集．由（ⅰ）得…（13分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

北京市石景山区2016-2017学年度高三第一学期期末考试数学(理科)试题及答案(word版)

石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共 6 页，150 分．考试时长 120 分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则M N = （）． A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D {1,2}2．若变量,x y 满足约束条件210x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）．A ． 0B ．2C ．3D ．4 3．右面的程序框图表示算法的运行结果是（）．A ．-2B ．2C ．-1D ．14．已知数列{}n a 是等差数列，348,4a a ==，则前n 项和n S 中最大的是（）． A ．3SB ．4S 或5SC ．5S 或6SD ． 6S5．“ 4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若曲线22(0)y px p =>上只有一个点到其焦点的距离为1，则p 的值为（）．A ． 4B ． 3C ． 2D ．17．如图，点O 为正方体ABCD A B C D ''''-的中心，点E 为面B BCC ''的中心，点F 为B C ''的中点，则空间四边形D OEF '在该正方体的面上的正投影不可能．．．是（）． A． B ．C ．D ．EF OD'B'C'A'DC BA8．如图，在等腰梯形ABCD 中，12A B C D =，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起，使得面BEFC 面ADFE ，若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面A D F E 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）．若12θθ=，则动点P的轨迹为（）． A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．在复平面内，复数2i1i-对应的点到原点的距离为________． 10．51x ⎫⎪⎭的二项展开式中x 项的系数为_________．（用数字作答）11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．15,10,60a b A ===︒，则cos B =________． 12．在极坐标系中，设曲线2ρ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则||AB =________．13．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________种．（用数字作答）14．股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为_______元，能够成交的股数为________．FD三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共 13 分）已知函数2()cos 2sin ,f x x x x x =-∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．16．（本小题共 13 分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：成绩88776680625267895根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形， //AB CD ，90ADC ∠=︒，1AB AD PD ===，2CD =．（Ⅰ）求证：BE ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45︒？若存在，求PQPC的值；若不存在，请述明理由． 18．（本小题共13分）已知函数()1e xaf x x =-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值． 19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点,P Q ．证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．（其中O 为坐标原点）C给定一个数列{}n a ，在这个数列里，任取(3,)m m m *≥∈N 项，并且不改变它们在数列{}n a 中的先后次序，得到的数列称为数列{}n a 的一个m 阶子数列．已知数列{}n a 的通项公式为1n a n a=+（,n a *∈N 为常数），等差数列236,,a a a 是数列{}n a 的一个3阶子数列．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）等差数列12,,,m b b b ⋅⋅⋅是{}n a 的一个(3,)m m m *≥∈N 阶子数列，且11b k=（k 为常数，,2k k *∈≥N ），求证：1m k ≤+；（Ⅲ）等比数列12,,,m c c c ⋅⋅⋅是{}n a 的一个(3,)m m m *≥∈N 阶子数列，求证：121122m m c c c -++⋅⋅⋅+≤-．石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．三、解答题共 6 小题，共 80 分． 15．（本小题共 13 分）解：()cos21f x x x =+-122cos 212x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭π2sin 216x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（Ⅰ）()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. 令πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ，解得ππππ36k x k -+≤≤+所以函数()f x 的单调区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z （Ⅱ）因为π04x ≤≤，所以ππ2π2663x ≤+≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭. 于是π12sin(2)26x ≤+≤，所以0()1f x ≤≤. 当且仅当0x =时，()f x 取最小值min ()(0)0f x f ==. 当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取最大值max π()()16f x f ==.16．（本小题共 13 分）解：（Ⅰ）这组数据的众数为86，中位数为86；（Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良” 的频率为34，故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为34，设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A ，则3033163()1C 1146464P A ⎛⎫=-⨯-=-= ⎪⎝⎭;（Ⅲ）由题意可得，ξ的可能取值为 0 ，1， 2 ， 3 ．33312C 1(0)C 220P ξ===,1293312C C 27(1)C 220P ξ===, 2193312C C 27(2)C 55P ξ===,39312C 21(3)C 55P ξ===,所以ξ的分布列为所以12727219012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.17．（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以//EF CD ，且112EF CD ==，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，所以//EF AB ,EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形，所以//BE AF ，因为BE ⊄PAD ，AF ⊂平面PAD ， BE ∥平面PAD ．（Ⅱ）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥．如图，D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -．则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B C P(1,1,0)DB = ,(1,1,0)BC =-所以0BC DB ⋅=，BC DB ⊥，所以BC ⊥平面PBD .（Ⅲ）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =- ，(0,2,1)PC =-设,(0,1)PQ PC λλ=∈所以(0,2,1)Q λλ-，设平面QBD 的法向量为(,,)a b c =n ，(1,1,0)DB = ，(0,2,1)DQ λλ=-由0,0DB DQ ⋅=⋅=n n ，得 02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩，令1b =所以21,1,1λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭n ，所以cos45BCBC⋅︒=⋅ nn ==注意到(0,1)λ∈，得1λ=.所以在线段PC 上存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45°，此时1PQPC=. 18．（本小题共 13 分）解：（Ⅰ）由()1e x a f x x =-+，得()1e xaf x '=-.又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，得(1)0f '=，即10e a-=，解得e a = （Ⅱ）()1ex af x '=-①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(,)-∞+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值.②当0a >时， ()0f x '=，得e xa =，ln x a =.(,ln )x a ∈-∞,()0f x '<；(ln ,)x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增,所以()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为(ln )ln f a a =，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值.(Ⅲ)当1a =时，1()1ex f x x =-+，令1()()(1)(1)ex g x f x kx k x =--=-+则直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >,此时(0)10g =>，1111()101e k g k -=-+<-，又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤. 又1k =时，1()0e xg x =>，知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1. 解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）和上一解法一致 (Ⅲ)当1a =时，1()1ex f x x =-+. 直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程111ex kx x -=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程： 1(1)ex k x -=（※）在R 上没有实数解.①当1k =时，方程（※）可化为10e x =，在R 上没有实数解. ②当1k ≠时，方程（※）化为1e 1x x k =-. 令()e xg x x =，则有()(1)e xg x x '=+. 令()0g x '=，得1x =-，当1x =-时，min 1()eg x =-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞， ()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.所以当11,1e k ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时，方程（※）无实数解，解得k 的取值范围是(1e,1)-. 综上，得k 的最大值为1.19．（本小题共 14 分）（Ⅰ）解：由已知可得224b c ===⎪⎩，解得226,2a b ==所以椭圆C 的标准方程是22162x y +=. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，F 的坐标是(2,0)-，设M 点的坐标为(3,)m -，则直线MF 的斜率03(2)MF m k m -==----.当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=.直线PQ 的方程是2x my =-. 当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x ，得22(3)420m y my +--=，所以12243m y y m +=+，12223y y m -=+， 1212212()43x x m y y m -+=+-=+. 设N 为PQ 的中点，则N 点的坐标为2262(,)33m m m -++. 所以直线ON 的斜率3ON m k =-，又直线OM 的斜率3OM m k =-，所以点N 在直线OM 上，即OM 经过线段PQ 的中点N .20．（本小题共 13 分）解：（1）因为236,,a a a 成等差数列，所以2336a a a a -=-. 又因为212a a =+，313a a =+，616a a=+，代入得11112336a a a a -=-++++，解得0a =. （2）设等差数列12,,,m a a a ⋅⋅⋅的公差为d . 因为11b k=，所以211b k ≤+，从而211111(1)d b b k k k k =-≤-=-++. 所以111+(1)(1)m m b b m d k k k -=-≤-+. 又因为0m b >，所以110(1)m k k k -->+. 即11m k -<+，所以2m k <+.又因为,m k *∈N ，所以1m k ≤+.(3)设11()c t t *=∈N ，等比数列123,,,,m c c c c ⋅⋅⋅的公比为q . 因为211c t ≤+，所以211c t q c t =≤+. 从而1111(1,)1n n n t c c q n m n t t --*⎛⎫=≤≤≤∈ ⎪+⎝⎭N .所以123m c c c c +++⋅⋅⋅+1211111+++1+1+1m t t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111m t t t t ⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 111m t t t t -+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 设函数11()m f x x x -=-，(3,)m m *≥∈N .当(0,)x ∈+∞时，函数11()m f x x x -=-为单调递增函数. 因为当t *∈N ，所以112t t +<≤.所以111()22m t f t -+≤-. 即1231122m m c c c c -+++⋅⋅⋅+≤-.【注：若有其它解法，请酌情给分】。

2016北京市石景山区高三(一模)数学(理)含答案

2016北京市石景山区高三（一模）数学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1] B．（0，1）C．（0，1] D．[0，1）2．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3C．D．y=x|x|4．（5分）如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞5 B．i＜5 C．i＞6 D．i＜65．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．6．（5分）在数列{a n}中，“|a n+1|＞a n”是“数列{a n}为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为（）A．y=sin2x B． C．D．y=cos2x8．（5分）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（）A．4 B．6 C．32 D．128二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值．11．（5分）如图，AB是半圆O直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=4，则点O到AC的距离OD= ．12．（5分）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（s为参数），曲线C的参数方程为（t为参数），若直线l与曲线C相交于A，B两点，则|AB|= ．13．（5分）已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．14．（5分）某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．第1 题第2题第3 题第4 题第5 题第6 题第7题第8 题得分甲××√××√×√ 5乙×√××√×√× 5丙√×√√√××× 6丁√×××√×××？丁得了分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．16．（13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数35 25 a 10 b已知分3期付款的频率为0.15，请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望．17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥平面BDC1？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣xcosx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）若f（x）＞kx﹣xcosx对恒成立，求实数k的最大值．19．（14分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．20．（13分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{a n}的前n项和S n=a m，则称{a n}是“回归数列”．（Ⅰ）①前n项和为的数列{a n}是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为b n=2n的数列{b n}是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{a n}是等差数列，首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“回归数列”，求d的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{a n}，总存在两个“回归数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立，请给出你的结论，并说明理由．2016北京市石景山区高三（一模）数学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）．故选D．2．【解答】=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．3．【解答】y=x+1不是奇函数，y=﹣x3在R上是减函数，y=在定义域上不是增函数，y=x|x|=，故y=x|x|是增函数且为奇函数．故选：D．4．【解答】∵S=，并由流程图中S=S+，故循环的初值为1，终值为5，步长为1，故经过5次循环才能算出S=的值，故i≤5，应不满足条件，继续循环，∴应i＞5，应满足条件，退出循环，填入“i＞5”．故选：A．5．【解答】三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选C．6．【解答】由“|a n+1|＞a n”⇔a n+1＞a n；或﹣a n+1＞a n充分性不成立，由数列{a n}为递增数列⇔|a n+1|≥a n+1＞a n成立，必要性成立，∴“|a n+1|＞a n”是“数列{a n}为递增数列”的必要不充分条件．故选：B．7．【解答】由函数的图象可得A=1，T=•=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得 2×+φ=，∴φ=，∴函数f（x）=sin（2x+）．∴将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故选：C．8．【解答】如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16，变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21或20，3则n的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128共6个，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．10．【解答】由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线过B（4，2）时直线在y轴上的截距最大，z最大，为z=2×4+2=10．故答案为：10．11．【解答】过O做AC的垂线，垂足是D，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵OD⊥AC，在△ABC与△ADO中，∴∠ADO=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADO，∴；在△ABC中，∠BAC=30°，∴AC=2BC=8 ，AB==12，∴OA=6=BO，∴OD=．故答案为：312．【解答】直线l的参数方程为（s为参数），消去参数s可得普通方程：x+y﹣2=0．曲线C的参数方程为（t为参数），消去参数化为：y=（x﹣2）2，联立，解得，或．．取A（2，0），B（1，1），则|AB|==．故答案为：．13．【解答】由f（x）+x﹣a=0得f（x）=﹣x+a，∵f（x）=，∴作出函数f（x）和y=﹣x+a的图象，则由图象可知，要使方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则a＞1，故答案为：（1，+∞）14．【解答】因为由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，所以，丁的得分也是6分．故答案为：6三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．16．【解答】（Ⅰ）由题意得，∴a=15，又35+25+a+10+b=100，解得b=15．（Ⅱ）设事件A为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1，∴P（A）==0.243．（Ⅲ）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，∵X的可能取值为1000元，1500元，2000元，P（X=1000）=P（ξ=1）=0.35，P（X=1500）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4，P（X=2000）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.25，∴X的分布列为：X 1000 1500 2000P 0.35 0.4 0.25∴EX=1000×0.35+1500×0.4+2000×0.25=1450．17．【解答】（Ⅰ）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点，又D是AC的中点，∴OD∥AB1，∵AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系如图，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0），设=（x，y，z）是平面BDC1的一个法向量，则，令x=1，则=（1，，），则=（0，3，0）是平面ABC的一个法向量，则cos＜，＞===﹣，由题意知二面角C1﹣BD﹣C是锐二面角，∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值为．假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0），（0≤y≤3）使CP⊥平面BDC1，则，即，即，此时方程组无解，∴假设不成立，即侧棱AA1上是不存在点P，使得CP⊥平面BDC1．18．【解答】（Ⅰ）f（x）=sinx﹣xcosx，f′（x）=xsinx，f′（π）=0，f（π）=π，故切线方程是y﹣π=0；（Ⅱ）证明：令g（x）=f（x）﹣x3，，g′（x）=x（sinx﹣x），令h（x）=sinx﹣x，h′（x）=cosx﹣1＜0，∴h（x）在递减，故h（x）＜h（0）=0，∴g′（x）＜0，g（x）递减，∴g（x）＜g（）=＜0，故当时，成立；（Ⅲ）若f（x）＞kx﹣xcosx对恒成立，即k＜对恒成立，令m（x）=，，m′（x）=＜0，∴m（x）在（0，）递减，m（x）＞m（）=，故k≤．k的最大值是．19．【解答】（Ⅰ）∵椭圆的短轴长为2，离心率为，∴由已知可得，解得a2=2，b2=1．故椭圆C的标准方程=1．（Ⅱ）联立方程，消y得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．当△=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2+1＞m2①时，x1+x2=，x1•x2=．∴=，=．又=﹣，化简整理得：2k2+1=2m②．代②入①得：0＜m＜2．又原点O到直线AB的距离为d=．|AB|=|x1﹣x2|=2•．∴S△AOB=|AB|d=，且0＜m＜2，所以当m=1，即k2=时，S△AOB取得最大值．20．【解答】（Ⅰ）①当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“回归数列”；②b n=2n，前n项和S n，S n=n2+n=n（n+1），∵n（n+1）为偶数，∴存在2m=n（n+1），即m=，数列{b n}是否是“回归数列”；（2）S n=na1+d=n+d，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即n+d=1+（m﹣1）d，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得m=2+，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=na1+（﹣a1），令T n=（2﹣m）a1，则m=+2．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为“回归数列”；．数列{c n}的前n项和R n=（a1+d），令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=+1．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为“回归数列”；．因此命题得证．。

北京市石景山区高三一模考试数学(理)试题及答案

北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．123．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4 4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+46．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．57．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．28．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为．=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+111．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p= ．12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是．（用数字作答）14．已知．①当a=1时，f（x）=3，则x= ；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a= ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．16．（12分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．17．（14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．18．（14分）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．19．（14分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．20．（14分）已知集合R n ={X |X=（x 1，x 2，…，x n ），x i ∈{0，1}，i=1，2，…，n }（n ≥2）．对于A=（a 1，a 2，…，a n ）∈R n ，B=（b 1，b 2，…，b n ）∈R n ，定义A 与B 之间的距离为d （A ，B ）=|a 1﹣b 1|+|a 2﹣b 2|+…|a n ﹣b n |=．（Ⅰ）写出R 2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M 满足：M ⊆R 3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M 中元素个数的最大值并写出此时的集合M ；（Ⅲ）设集合P ⊆R n ，P 中有m （m ≥2）个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为，证明．北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜），B={x|0≤x≤1}∴A∩B={x|0≤x＜}故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解答】解：圆ρ=1的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=1．直线转化成直角坐标方程为：x=．所以：圆心到直线x=的距离为．则：弦长l=2=．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，1可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+4【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的k，S的值，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1，k=1，S=x+1，满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=（x+1）x+2=x2+x+2满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=（x2+x+2）x+3=x3+x2+2x+3满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=（x3+x2+2x+3）x+4=x4+x3+2x2+3x+4不满足条件k＜4，退出循环，输出能求得多项式x4+x3+2x2+3x+4的值．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；=×2×2=2，所以，S△ABCS△PAC=S△PBC=×1=，S△PAB=×2=；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+=2+2．故选B．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题7．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x=1；∴F（1，2），；∴．故选C．【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算．8．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】三角形中的几何计算．【分析】设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．【解答】解：设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x﹣）×=﹣1；∴黑色菱形的面积S′=（x﹣）（﹣1）=（x﹣2）2，若m：n=47：25，则=，解可得x=12或x=（舍），所以，△ABC的边长是12；故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a 的值．【解答】解：∵复数==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于﹣2．【考点】数列递推式．【分析】由已知求得a2，且得到a n﹣1•a n=﹣2（n≥2），与原递推式两边作比可得（n ≥2），即数列{a n}中的所有偶数项相等，由此求得a8的值．【解答】解：由a1=1，a n•a n+1=﹣2，得a2=﹣2，•a n=﹣2（n≥2），又a n﹣1∴（n≥2），∴数列{a n}中的所有偶数项相等，则a8=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题．11．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=4．【考点】抛物线的标准方程．【分析】确定双曲线﹣y2=1的右顶点坐标，从而可得抛物线y2=2px的焦点坐标，由此可得结论．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右顶点坐标为（2，0），∵抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，∴=2，∴p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键．12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位，所得到y=sin[3（x+）+φ]=sin（3x++φ）的图象，若所得图象关于原点对称，则+φ=kπ，k∈Z，又﹣π＜φ＜0，∴φ=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是36．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏．14．已知．①当a=1时，f（x）=3，则x=4；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=．【考点】分段函数的应用．【分析】①当a=1时，f（x）=3，利用分段函数建立方程，即可求出x的值；②由f（x）=3，求得x=﹣1，或x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤﹣1，f（﹣6）=3，由此求得a的值．【解答】解：①x≥1，x﹣=3，可得x=4；x＜1，2﹣（x+）=3，即x2+x+4=0无解，故x=4；②由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x﹣=3，求得x=﹣1，或x=4．∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=﹣1，x3=4，x1 =﹣6，∴a≤﹣1．∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为﹣6，再根据f（﹣6）=2a+6+=3，求得a=，满足a≤﹣1．故答案为4，．【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）（2017•石景山区一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小．（Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2由余弦定理：cosC==，∵0＜C＜π，∴C=．（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=．∴B=，且A∈（0，）．那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（），∵A∈（0，）．∴，故得当=时，cosA+cosB取得最大值为1．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题．16．（12分）（2017•石景山区一模）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，得出；（Ⅱ）根据X的所有可能取值，计算对应的概率，写出分布列；（Ⅲ）由甲种和乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率和频数，计算在1200个数据中应抽取的数据个数．【解答】解：（Ⅰ）由图（乙）知，10（a+0.02+0.03+0.025+0.015）=1，解得a=0.01，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，∴；（Ⅱ）X的所有可能取值1，2，3；则，，，其分布列如下：（Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2+3+4+5+6=20个，其中有4个数据在区间（0，10]内，又因为分层抽样共抽取了1200×5%=60个数据，乙种酸奶的数据共抽取60﹣20=40个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率为0.1，故乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内有40×0.1=4个．故抽取的60个数据，共有4+4=8个数据在区间（0，10]内．所以，在1200个数据中，在区间（0，10]内的数据有160个．【点评】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列问题，是综合题．17．（14分）（2017•石景山区一模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥PD．BC⊥DC，从而BC⊥面PDC，进而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此能证明DE⊥面PBC．（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为PD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥PD．因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥DC．PD∩DC=D，所以BC⊥面PDC．DE⊂面PDC，DE⊥BC，在△PDC中，PD=DC，E为PC中点，所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，所以DE⊥面PBC．解：（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，其中，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（2，0，0），，，．设，则．DF⊥PB得，解得．所以．设平面FDA的法向量，则，令z=1得x=0，y=﹣3．平面FDA的法向量，平面BDA的法向量，，．二面角F﹣AD﹣B的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（14分）（2017•石景山区一模）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出斜率f'（1）=1，然后求解切线方程．（Ⅱ）化简=．求出，令，解得x=1．判断函数的单调性求出极小值，推出结果．（Ⅲ）设h （x ）=x ﹣1﹣a1nx （x ≥1），依题意，对于任意x ＞1，h （x ）＞0恒成立．，a ≤1时，a ＞1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可．【解答】解：（Ⅰ），f'（1）=1，又f （1）=0，所以切线方程为y=x ﹣1；（Ⅱ）证明：由题意知x ＞0，令=．令，解得x=1．易知当x ＞1时，g'（x ）＞0，易知当0＜x ＜1时，g'（x ）＜0．即g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，所以g （x ）min =g （1）=0，g （x ）≥g （1）=0即，即x ＞0时，；（Ⅲ）设h （x ）=x ﹣1﹣a1nx （x ≥1），依题意，对于任意x ＞1，h （x ）＞0恒成立．，a ≤1时，h'（x ）＞0，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，当x ＞1时，h （x ）＞h （1）=0，满足题意．a ＞1时，随x 变化，h'（x ），h （x ）的变化情况如下表：h （x ）在（1，a ）上单调递减，所以g （a ）＜g （1）=0 即当a ＞1时，总存在g （a ）＜0，不合题意．综上所述，实数a 的最大值为1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）（2017•石景山区一模）已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知b=1，e===，即可求得a 的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC 丨及丨MN 丨，丨BN丨2=丨AC 丨2+丨MN 丨2=，即可求得B ，N 两点间距离是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，过点（0，1），则b=1，由椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段中点M （x 0，y 0），则，整理得：x 2+2mx +2m 2﹣2=0，由△=（2m ）2﹣4（2m 2﹣2）=8﹣4m 2＞0，解得：﹣＜m ＜，则x 1+x 2=﹣2m ，x 1x 2=2m 2﹣2，则M （﹣m ， m ），丨AC 丨=•=•=由l 与x 轴的交点N （﹣2m ，0），则丨MN 丨==，∴丨BN 丨2=丨BM 丨2+丨MN 丨2=丨AC 丨2+丨MN 丨2=，∴B ，N 两点间距离是否为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．20．（14分）（2017•石景山区一模）已知集合R n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，a n）∈R n，B=（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|=．（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ）设集合P⊆R n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明．【考点】函数的最值及其几何意义；集合的包含关系判断及应用．【分析】（Ⅰ）根据集合的定义，写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即可求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和，根据，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R2，d（A，B）=2．max（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，集合M中元素个数最大值为4．（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和．设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t i个1，m﹣t i个0，则由于（i=1，2，…，n）所以从而【点评】本题考查新定义，考查函数的最值，考查集合知识，难度大．。

北京市石景山区2016届高三数学一模考试试卷文(含解析)

2016-2017学年度北京市石景山区高三第二学期统一练习(一模)理综试卷及答案(精排版,含答案)

2017年石景山区高三统一练习理综试卷2017.03可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 S—32第Ⅰ卷（选择题共20小题共120分）1. 将甜菜碱、海藻糖等有机小分子的合成基因转入烟草细胞中，会使烟草的抗旱性增强。

下列关于这类转基因烟草及其培育过程的说法，不．正确的是A.细胞中甜菜碱等有机小分子的合成量增加B.细胞液渗透压增大，避免细胞过度失水C.将抗旱基因导入烟草细胞中常用农杆菌转化法D.在干旱条件下筛选出成功导入抗旱基因的烟草细胞2. 研究表明，胰岛素能迅速调节骨骼肌细胞膜上葡萄糖转运蛋白（GLUT4）的数目，从而影响细胞对葡萄糖的转运（如右图所示）。

下列说法不．正确的是A.胰岛素在核糖体合成，经囊泡运输B.胰岛素受体在核糖体合成，经囊泡运输C.贮存GLUT4的囊泡也可来自高尔基体D.葡萄糖以内吞的方式进入骨骼肌细胞3. 为探究不同光照强度对羊草光合作用的影响，研究人员在种植羊草的草地上随机选取样方，用透明玻璃罩将样方中所有羊草罩住形成密闭气室，并与二氧化碳传感器相连，定时采集数据，结果如下图。

下列说法正确的是A.整个实验过程中密闭气室内温度必须保持一致B.四条曲线分别表示在夏季某天中不同时段采集到的数据C.四条曲线分别表示羊草在不同光照强度下的光合速率D.200s时，曲线④和曲线①相应数值之差为净光合速率4. 池塘养鱼过程中，由于饲料中含N和P的营养物质未被鱼类全部摄取，成为废弃物，不仅影响鱼类生长速度，还加剧了水体的富营养化。

利用养殖废水进行水稻灌溉，可大大降低水中N、P的含量。

下列说法不．正确的是A.土壤颗粒对N、P有吸附作用B.这些废弃物有利于水稻的正常生命活动C.微生物分解含N和P的废弃物成为自身物质和能量来源D.这种措施主要遵循生态工程物种多样性的原理5. 将从种植烟草的土壤里分离得到的尼古丁（C10H14N2）降解菌株SC接种到尼古丁培养基中，30℃摇床培养并定时取样，测定并计算发酵液中的尼古丁浓度和菌体浓度，得到的结果如下图所示。

年市石景山区高三统一测试数学理科一模

年市石景山区高三统一测试数学理科一模TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】2009年石景山区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，}5,4,3{=A ，}6,3,1{=B ，那么集合}7,2{是2．函数)62cos()62sin(ππ++=x xy 的最小正周期是A ．2πB ．4πC ．π2D ．π3．已知数列}{n a 的前n 项和3n S n =，则65a a +的值为４．对于两条直线b a ,和平面α，若α⊂b ，则“b a //”是“α//a ”的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件５．用数字0，1，2，3，4组成五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有A ．480个B ．240个C ．96个D ．48个６．若抛物线px y 22=的焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则p 的值为 A ．A BB ．B AC ．()U C A BD ．()U C A B A ．91 B ．152 C ．218 D ．279A ．4B ．4-C ．2D ．2-7．若函数()cos 21f x x =+的图象按向量a 平移后，得到的图象关于原点对称，则向量a 可以是A ．(1,0)B ．(,1)2π-C ．(,1)4π-D ．(,1)4π8．设 ()11x f x x +=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则=)(2009x fA ．11x x +-B ．11x x -+C ．xD ．1x- 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若复数ii a 213++(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值是． 10．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的取值范围是．11．若9)222(-x 展开式的第7项为42，则)(lim 2n n x x x +++∞→ = ． 12．设地球半径为R ，在北纬 45圈上有甲、乙两地，它们的经度差为 90，则甲、乙两地间的最短纬线之长为，甲、乙两地的球面距离为．13．函数)2()21()1(22)(2≥<<--≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x x f ，则________)23(=-f ，若21)(<a f ，则实数a 的取值范围是．14．已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分13分) 已知A 为锐角，向量)cos ,(sin A A m =，)1,3(-=n ，且1=⋅n m ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数)(sin cos 42cos )(R x x A x x f ∈+=的值域．16．（本题满分13分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A 项技术指标达标的概率为43，有且仅有一项技术指标达标的概率为125．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率；（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求E ξ与D ξ． 17．（本题满分14分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角C BD A --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．18．（本题满分13分）已知等差数列}{n a 中，11-=a ，前12项和18612=S ．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足n a n b )21(=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，若不等式m T n < 对所有*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围． 19．（本题满分14分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，过其右焦点且倾斜角为 45的直线被双曲线截得的弦MN 的长为6．（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）若直线l ：m kx y +=与该双曲线交于两个不同点A 、B ，且以线段AB 为直径的圆过原点，求定点Q )1,0(-到直线l 的距离d 的最大值，并求此时直线l 的方程．20．（本题满分13分）已知),(y x P 为函数x y ln =图象上一点，O 为坐标原点．记直线OP 的斜率)(x f k =．（Ⅰ）同学甲发现：点P 从左向右运动时，)(x f 不断增大，试问：他的判断是否正确若正确，请说明理由；若不正确，请给出你的判断；（Ⅱ）求证：当1>x 时，231)(x x x f -<；（Ⅲ）同学乙发现：总存在正实数a 、b )(b a <，使a b b a =．试问：他的判断是否正确若不正确，请说明理由；若正确，请求出a的取值范围．以下为草稿纸。

年北京市石景山区高三统一测试数学理科一模

2009年石景山区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，}5,4,3{=A ，}6,3,1{=B ，那么集合}7,2{是2．函数2cos()62sin(ππ++=x x y 的最小正周期是A ．2π B ．4π C ．π2 D ．π3．已知数列}{n a 的前n 项和3nS n =，则65a a +的值为４．对于两条直线ba ,和平面α，若α⊂b ，则“b a //”是“α//a ”的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件５．用数字0，1，2，3，4组成五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有A ．480个B ．240个C ．96个D ．48个６．若抛物线px y 22=的焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则p 的值为 A ．4B ．4-C ．2D ．2-7．若函数()cos 21f x x =+的图象按向量a r平移后，得到的图象关于原点对称，A ．AB U B ．B A IC ．()U C A B ID ．()U C A B UA ．91B ．152C ．218D ．279则向量a r可以是 A ．(1,0)B ．(,1)2π- C ．(,1)4π- D ．(,1)4π8．设()11xf x x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===L 则=)(2009x fA ．11xx+- B ．11x x -+ C ．xD ．1x-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若复数iia 213++(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值是． 10．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的取值范围是．11．若9)222(-x展开式的第7项为42，则)(lim 2n n x x x +++∞→K = ．12．设地球半径为R ，在北纬ο45圈上有甲、乙两地，它们的经度差为ο90，则甲、乙两地间的最短纬线之长为，甲、乙两地的球面距离为．13．函数)2()21()1(22)(2≥<<--≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x xx x f ，则________)23(=-f ，若21)(<a f ，则实数a的取值范围是．14．已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分13分)已知A 为锐角，向量)cos ,(sin A A =，)1,3(-=，且1=⋅．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数)(sin cos 42cos )(R x x A x x f ∈+=的值域． 16．（本题满分13分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A 项技术指标达标的概率为43，有且仅有一项技术指标达标的概率为125．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率；（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求E ξ与D ξ．17．（本题满分14分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角C BD A --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．18．（本题满分13分）已知等差数列}{n a 中，11-=a ，前12项和18612=S ．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足n a n b )21(=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，若不等式m T n <对所有*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．19．（本题满分14分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，过其右焦点且倾斜角为ο45的直线被双曲线截得的弦MN 的长为6．（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）若直线l ：m kx y +=与该双曲线交于两个不同点A 、B ，且以线段AB 为直径的圆过原点，求定点Q )1,0(-到直线l 的距离d 的最大值，并求此时直线l 的方程．20．（本题满分13分）已知),(y x P 为函数x y ln =图象上一点，O 为坐标原点．记直线OP 的斜率)(x f k =．（Ⅰ）同学甲发现：点P 从左向右运动时，)(x f 不断增大，试问：他的判断是否正确? 若正确，请说明理由；若不正确，请给出你的判断；（Ⅱ）求证：当1>x 时，231)(xx x f -<；（Ⅲ）同学乙发现：总存在正实数a 、b )(b a <，使ab b a =．试问：他的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请求出a 的取值范围．以下为草稿纸。

月石景山区高三数学理科试题(一模)

2008年石景山区高三统一测试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，第10页为草稿纸，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,,A B C 是三个集合，那么“B A =”是“A C BC =”成立的2．若向量与向量)2,1(-=的夹角是18053=，则=A ．)2,1(-B ．)6,3(-C ．)6,3(-D ．)6,3(-或)6,3(-3．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是A ．π34 B ．π4 C ．π8 D ．π124．已知随机变量ξ的分布列为A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件且设12+=ξη，则η的期望值是A ．1B ．3629 C ．32 D ．61-5．从湖中打一网鱼，共m 条，做上记号再放回湖中，数天后再打一网鱼共有n 条，其中有k 条有记号，则能估计湖中有鱼A ．kmn条 B ．nkm 条 C ．knm 条 D ．mnk 条 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为1136n n S x -=⋅-，则x 的值为 A ．13B ．13-C ．12D ．12-7．已知函数)(x f y =（R x ∈）满足)()2(x f x f =+，且当]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，则)(x f y =与x y 5log =的图象的交点个数为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．对于平面直角坐标系内任意两点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ），定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱21x x -︱+︱21y y -︱．给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖；②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2； ③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖．其中真命题的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．从9,8,7,6,5,4,3,2,1中任取四个数，使其和为偶数的取法共有_________种（用数字作答）.10．复数322ii +的虚部为______． 11．92)21(xx -展开式中9x 的系数是___________，所有项的系数和是___________．12．若a x x x x =-+-→156lim 221，则=a ，=++++∞→)1111(lim 32n n aa a a ． 13．已知实数z y x ,,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-,0,3,05k y x x y x 且目标函数y x z 42+=的最小值为6-，则常数k =．14．在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：.222b ac +=设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMN O -，如果用321,,S S S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么你类比得到的结论是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分12分) 已知函数axx x x f ++-++=2cos 2)6sin()6sin()(2ππ（R a ∈，a 为常数）．(Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ)若)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的最大值与最小值之和为3，求a 的值.某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐，采用七场四胜制，即有一队胜四场，则此队获胜，且比赛结束．在每场比赛中，甲队获胜的概率是32，乙队获胜的概率是31，根据以往资料统计，每场比赛组织者可获门票收入为30万元，两队决出胜负后，问：（Ⅰ）组织者在总决赛中获门票收入为120万元的概率是多少？（Ⅱ）设ξ为组织者在总决赛中获得的门票收入数，求ξ的分布列．如图，在四棱锥ABCD P -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，1==DC PD ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：CD EF ⊥；（Ⅱ）求二面角B DE F --的大小；（Ⅲ）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．18．（本题满分14分）设数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和n S 满足关系式t S t tS n n =+--1)1(（0>t ，*N n ∈，2≥n ）．（Ⅰ）求证：数列}{n a 是等比数列；（Ⅱ）设数列}{n a 的公比为)(t f ，作数列}{n b ，使11=b ，)1(1-=n n b f b （*N n ∈，2≥n ），求数列}{n b 的通项公式；（Ⅲ）数列}{n b 满足条件（Ⅱ），求和：122212433221+--+-+-n n n n b b b b b b b b b b ．19．（本题满分14分）过点P )4,2(的直线l 与双曲线C ：22148x y -=交于A 、B 两点，且2OA OB OP +=．（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）过线段AB 上的点作曲线2812y x x =++的切线，求切点横坐标的取值范围；（Ⅲ）若过P 的另一直线1l 与双曲线交于C 、D 两点，且0CD AB ⋅=，则ABD ACD ∠=∠一定成立吗？证明你的结论．20．（本题满分14分）已知函数x xax x f ln 21)(2-+=)0(>x ．（Ⅰ）若在),1[+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若定义在区间D 上的函数)(x g y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、，总有不等式)2()]()([212121x x g x g x g +≥+成立，则称函数)(x g y =为区间D 上的“凸函数”.试证当0≥a 时，)(x f 为“凸函数”.2008年石景山区高三统一测试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：第11、12题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵1)6sin(21cos sin 3)(+++=+++=a x a x x x f π， …………4分∴π2=T . ……………………………5分（Ⅱ）∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+πππ32,36x .∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+1,23)6sin(πx . ……………………………8分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=+=.13)(,3)(min max a x f a x f ……………………………10分∴3133=++-+a a ，解得23-=a .……………………………12分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）门票收入为120万元的概率：8117)31()32(441=+=P . ……………………………4分（Ⅱ）ξ的可能取值为210,180,150,120. ……………………………5分8117)120(==ξP ； 27831)32()31(32)31()32()150(334334=⨯+⨯==C C P ξ； 72920031)32()31(32)31()32()180(23352335=⨯+⨯==C C P ξ； 72916031)32()31(32)31()32()210(33363336=⨯+⨯==C C P ξ. …………………11分 ξ的分布列为：…………………………12分17．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明：∵E 、F 分别是AB 、PB 的中点,∴PA EF //.∵ABCD 是正方形，∴CD AD ⊥.又 ⊥PD 底面ABCD ，∴AD 是斜线PA 在平面ABCD 内的射影.∴CD PA ⊥.∴EF CD ⊥. ……………………………4分（Ⅱ）连结AC 交BD 于O ，过O 作DE OK ⊥于K ，连结OF 、FK .∵F O ,分别为BD ，PB 中点，∴OF ∥PD .∵⊥PD 底面ABCD ，∴OF ⊥底面ABCD .∴OK 是斜线FK 在平面ABCD 内的射影.∴DE FK ⊥.∴FKO ∠是二面角B DE F --的平面角.……………………………7分经计算得：21=OF ，105=OK . ∴5tan ==∠OKOF FKO . 即二面角B DE F --的大小为5arctan . ……………………………9分（Ⅲ）取PC 的中点H ，连结DH .∵DC PD =，∴PC DH ⊥.又易证⊥BC 平面PDC ，∴BC DH ⊥.又 C BC PC = ，∴⊥DH 平面PBC . ……………………………11分取AD 中点G ，连结GF 、FH .∴DG BC FH ////，且DG FH =.∴ 四边形DGFH 为平行四边形.∴GF DH //.∴GF ⊥平面PCB .即当G 是AD 的中点时，GF ⊥平面PCB .……………………………14分解法二：以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），则)0,0,0(D 、)0,0,1(A 、)0,1,1(B 、)0,1,0(C 、)0,21,1(E 、)21,21,21(F 、)1,0,0(P . ……………………………2分（Ⅰ）∵)21,0,21(-=EF ，)0,1,0(=DC ， ∴0=⋅DC EF .∴.CD EF ⊥……………………………5分（Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，∴平面BDE 的法向量为)1,0,0(=DP . ……………………………6分设平面DEF 的法向量为).,,(z y x n = 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0DF n 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅,0)0,21,1(),,(,0)21,21,21(),,(z y x z y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++.021,0)(21y x z y x 令1=x ，则2-=y ，1=z ． ∴)1,2,1(-=n ． ……………………………9分∴6661,cos ==>=<. 即二面角B DE F --的大小为66arccos. ……………………………11分（Ⅲ）设),0,(n m G ，则∈G 平面PAD ． ∴)21,21,21(---=n m FG ．由0=⋅，得21=m ．由0=⋅，得0=n ． ∴G 点坐标为)0,0,21(，即G 为AD 中点时，GF ⊥平面PCB .………14分18．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵t S t tS n n =+--1)1(，)2(≥n ①t S t tS n n =+---21)1(，)3(≥n ②①－②，得 0)1(1=+--n n a t ta . ∴tt a a n n 11+=-（*N n ∈，3≥n ）. ……………………………4分又由 t t a t =+-+)1()1(2. 得 tt a 12+=．又∵11=a ，∴tt a a 112+=．……………………………6分所以}{n a 是一个首项为1，公比为tt 1+的等比数列.……………………………7分（Ⅱ）由)(t f tt 1+=，得)1(1-=n n b f b 11-+=n b (*∈≥N n n ,2)． ∴}{n b 是一个首项为1，公差为1的等差数列．于是n b n =. ……………………………10分（Ⅲ）由n b n =，可知}{12-n b 和}{2n b 是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，于是n b n 22=.∴122212433221+--+-+-n n n n b b b b b b b b b b)()()(12122534312+--++-+-=n n n b b b b b b b b b)(2242n b b b +++-= n n n n 222)22(22--=+⋅-=. ……………………14分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由题意,直线l 的斜率一定存在，可设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，则由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-).2(4,18422x k y y x 得2222(2)(48)416240k x k k x k k -+--+-=．设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，由2OA OB OP +=，知P 为AB 中点，所以12124,8x x y y +=+=． ……………………………3分由21224842k k x x k -+==-，得1k =．所以直线l 的方程为2y x =+． ……………………………5分（Ⅱ）由1282++=x x y ，得82+='x y ．设（0x ，0y ）为曲线1282++=x x y 上一点，过（0x ，0y ）的切线方程为))(82(000x x x y y -+=-，即128))(82(02000+++-+=x x x x x y ．与l 方程联立得⎩⎨⎧+=+++-+=,2,128))(82(02000x y x x x x x y 解得7210020+-=x x x . ……………9分又由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.2,18422x y y x 解得A )0,2(-、B )8,6(. …………………………10分 ∴]6,2[7210020-∈+-=x x x . 故 222622260+≤≤-x . ……………………………11分（Ⅲ）ABD ACD ∠=∠一定成立．由点P )4,2(和直线l 得1l ：6=+y x ．联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-,6,18422x y y x 得 C （546+-，5412-），D （546--，5412+）．……………………………12分所以0=⋅，即⊥．由对称性可知，⊥.所以A 、B 、C 、D 四点共圆，所以ABD ACD ∠=∠. ……………………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由x x ax x f ln 21)(2-+=，得x xax x f 212)(2--='. ………………2分由函数)(x f 为[1,)+∞上单调增函数，得0)(≥'x f 在[1,)+∞上恒成立，即不等式02122≥--x xax 在[1,)+∞上恒成立. 也即23121x x a +≥在[1,)+∞上恒成立.……………………………4分令=)(x g 23121xx +，上述问题等价于max )(x g a ≥．而=)(x g 23121xx +为在[1,)+∞上的减函数，则23)1()(max ==g x g ．于是23≥a 为所求. ……………………………6分（Ⅱ）证明：由x xax x f ln 21)(2-+=，得 )ln (ln )11(212)]()([212121222121x x x x x x a x f x f +-+⋅++⋅=+ )ln(222121212221x x x x x x x x a -+++⋅=． 2212122121)2ln(2)2()2(x x x x x x a x x f +-+++⋅=+．而2212122212221)2(]2)[(412x x x x x x x x +=++≥+ ． ① ∵0≥a ，∴2212221)2(2x x a x x a +⋅≥+⋅. ……………………………9分又2121222122142)(x x x x x x x x ≥++=+， ∴21212122x x x x x x +≥+．② ……………………………11分 ∵22121)2(x x x x +≤ ，∴22121)2ln()ln(x x x x +≤. ∴22121)2ln()ln(x x x x +-≥-. ③ ……………………………13分由①、②、③，得≥-+++⋅)ln(222121212221x x x x x x x x a 22121221)2ln(2)2(x x x x x x a +-+++⋅. 即)2()]()([212121x x f x f x f +≥+，从而由凸函数的定义可知函数)(x f 为凸函数. ……………………………14分注：若有其它解法，请酌情给分．。

年石景山区高三统一测试数学理科一模参考答案

∴此正三棱柱的侧棱长为．………………4分
（Ⅱ）过作于，连结．
∵ 侧面，∴ 是在平面内的射影．
由三垂线定理，可知．
∴ 为二面角的平面角．………………6分
在中，，又，
，∴ ．
又，
∴在中，．………………8分
故二面角的大小为．………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面，
年石景山区高三统一测试数学理科一模参考答案
2009年石景山区高三统一测试
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
D
B
A
C
A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
,
①③④
注：第12、13题第1个空3分，第2个空2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分分）
解：（Ⅰ）由题意得：，……∵ 为锐角，
∴ ,即．………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
．………………9分
（Ⅲ）依题意知～，，．
………………13分
17．（本题满分分）
解法一：
（Ⅰ）设正三棱柱 — 的侧棱长为．取中点，连结．
∵ 是正三角形，∴ ．
又底面侧面，
且两平面交线为，
∴ 侧面．

北京市各城区2016届高三第一次统练(一模)数学理试题合集

北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．3一、选择题：（满分40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A B C D A C二、填空题：（满分30分）题号9 10 11 12 13 14 答案 10 21n a n =-,(3)(411)n n ++ (2,)4π 3(,]4-∞ 3(0,)4 121||i i i ab =-∑ 22（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1ω=时，213()sin 3cos 222x f x x =+- 13sin cos 22x x =+ sin()3x π=+．令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ．解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ．所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分（Ⅱ）由213()sin 3cos 222x f x x ωω=+- 13sin cos 22x x ωω=+ sin()3x ωπ=+．因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=．则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ．解得162n ω=+．又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>，所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4 ．由题意可知， 13+417()=12896P A ⨯⨯=⨯．………………………………………4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====； 2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====；44481(4)70C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为 X0 1 2 3 4 P 170 835 1835 835 170随机变量X 的均值116361610123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分（Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥．又因为1AC AA ⊥且1AB AA A =，所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ．因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知 11111222AB AC AA A B AC =====，所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ．易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ．设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ， y x AMPCB A 1C 1B 1 z由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以3317cos ,1717⋅〈〉===⋅m nm n m n ．所以二面角P AM B --的余弦值为31717．………………………………9分（Ⅲ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-，所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-．设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩ 取01y =，得02(1,1,)2λλ-=-n （显然0λ=不符合题意）．又1(2,0,2)AC =-，若1A C //平面AMP ，则10AC ⊥n ．所以10220AC λλ-⋅=--=n ．所以23λ=．所以在线段1BB 上存在点P ，且12BP PB =时，使得直线1A C //平面AMP ．…………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x a f x x x+'=+=．（1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）当0a <时，令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，． ……………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零；（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-．（3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数，所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==．依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-．综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分（Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+，切线方程为0000(ln )(1)()a y x a x x x x -+=+-．因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)a x a x x x -+=+-．即001(ln 1)20a x x +--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >，则 2211(1)()()a x g x a x x x-'=-=．（1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<．故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式．因此当0a <时，切线的条数为0．（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取21+1e e a x =>，则221112()(1e 1)2e 0a a g x a a a----=++--=>．故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2-1-21e<e a x =，则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]a a a +=-+．设21(1)t t a=+>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-．当1t >时，()e 2e 20t u t '=->->恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >．故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线．（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线．综上所述，当0a >时，过点P (13)，存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (13)，的切线．…………………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =．因为(2,1)P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=．所以12PF F ∆的周长为422+．易得椭圆的离心率2=2c e a =．………………………………………………………4分 (Ⅱ)由22220,1,42x y m x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩得2242280x mx m ++-=．因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1222x x m +=-，21284m x x -=, 1122x m y +=，2222x m y +=．显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1212121122y y k k x x --+=+-- 12211222(1)(2)(1)(2)22(2)(2)x m x m x x x x ++--+--=-- 122112(22)(2)(22)(2)2(2)(2)x m x x m x x x +--++--=-- 1212121222(4)()22422[2()2]x x m x x m x x x x +-+-+=-++ 2121222(8)(4)228216244442[2()2]m m m m x x x x ----+=-++ 2121222(8)(4)22821628[2()2]m m m m x x x x ----+=-++ 2212122216222828216208[2()2]m m m m x x x x --+-+==-++．因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠．所以PM PN =． ………………………………………………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）观察数列}{n a 的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…. 因为数列}{n a 是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是52，最小公比是4. （ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.（ⅱ）由（ⅰ）可知12b =，公比4q =，所以124n n b -=⋅.又31n n k n b a k ==-，所以13124,n n k n -*-=⋅∈N ，即11(241),3n n k n -*=⋅+∈N .再证n k 为正整数.显然11k =为正整数，2n ≥时，1222111(2424)24(41)2433n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅，即2124(2)n n n k k n --=+⋅≥，故11(241),3n n k n -*=⋅+∈N 为正整数. 所以，所求通项公式为11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . ……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列，且115k c a ==，22231k c a k ==-，所以公比2315k q -=.因为等比数列{}n c 各项为整数，所以q 为整数. 取252k m =+（m *∈N ），则13+=m q ，故15(31)n n c m -=⋅+.只要证15(31)n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项，即证31n k -15(31)n m -=⋅+. 只要证11[5(31)1]3n n k m -=++()n *∈N 为正整数，显然12k =为正整数. 又2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+，即215(31)n n n k k m m --=++，又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，故2n ≥时，n k 也都是正整数.所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列，其公比13+=m q 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个.…………………………………………………………………………………………13分DABC海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。