唐山市2019-2020学年度高三摸底考试数学(文科)试卷答案

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河北省唐山市2020届高三第一次模拟考试数学(文)试题含答案

（1）证明：平面 BEF ⊥ 平面 BDF ；（2）求点 D 到平面 BEF 的距离．
20．（12 分）
已知 P 是 x 轴上的动点（异于原点 O），点 Q 在圆 O：x2 + y2 = 4 上，且|PQ|=2．设线段 PQ 的中点为
M. （1）当直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q，且点 Q 在第一象限，求直线 OM 的斜率: （2）当点 P 移动时，求点 M 的轨迹方程．
．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．）
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）
某高校艺术学院 2019 级表演专业有 27 人，播音主持专业 9 人，影视编导专业 18 人．某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取 6 人作为志愿者．
O 的表面积为 36 ，则 PA=
A．2
B． 6
C． 31
C． 33
12．已知
F
是双曲线
C：x a
2 2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的右焦点，M
是
C
的渐近线上一点，且
MF⊥x
轴，过
F
作直线 OM 的平行线交 C 的渐近线于点 N（O 为坐标原点），若 MN⊥ON，则双曲线 C 的离心率是
A．2
B． 3
C． 6 2
D． 2 3 3
2
二、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x − y +1 0 13．若 x, y 满足约束条件 x + y − 3 0 ，则 z = 2x − y 的最小值为

2019届河北省唐山市高三上学期第一次摸底考试数学(文)试题(解析版)

河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题1．已知集合，则A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意，求得集合，再根据交集的运算，即可得到答案.【详解】由题意，集合，又由，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中正确求解集合，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．设A．5 B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算，化简求得，再由复数模的计算，即可求解.【详解】由题意，复数，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数模的求解，其中根据复数的运算法则，正确求解复数，再由模的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3．命题“”的否定是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由全称命题与存在性命题的关系——全称命题与存在性命题互为否定关系，即可得到答案.【详解】由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，故选C.【点睛】本题主要考查了命题的否定，其中熟记全称命题与村行命题的互为否定关系是求解的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．双曲线的渐近线方程为，则的离心率为A．2 B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程的渐近线方程，求得，再由离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，即，所以双曲线的离心率为，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．=A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式化简，即可求解.【详解】由题意，可知，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，合理作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两个顶点间距离大于1的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】在在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，共有10种不同的取法，又由正五边形共有5条对角线满足两个顶点间距离大于1，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，在在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，共有10种不同的取法，又由正五边形共有5条对角线满足两个顶点间距离大于1，所以所求概率为，故选C.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中根据题意得到基本事件的总数，利用古典概型及概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 7．在长方体中，，则异面直线所成角的余弦值为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】在长方体中，连接，可得,得即为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理即可求解.【详解】在长方体中，连接，可得,所以异面直线与所成的角，即为直线与直线所成的角，即为异面直线与所成的角，在长方体中，设，则，在中，由余弦定理得，故选B.【点睛】本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面直线所成角的定义，得到为异面直线与所成的角，在中利用余弦定理即可求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.8．已知程序框图如右图所示则该程序框图的功能是A．求的值B．求的值C．求的值D．求的值【答案】C【解析】【分析】由题意，执行如图所示的程序框图，进行循环计算，即可得到计算的结果，得到答案.【详解】由题意，执行如图所示的程序框图可知：开始第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时终止循环，输出结果，所以该程序框图是计算输出的值，故选C.【点睛】利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.9．已知某几何体的三视图如图所示（俯视图中曲线为四二分之一圆弧），则该几何体的表面积为A．B．C．D．4【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体的表面公式，即可得到答案.【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积为，底面周长为，柱体的高为1，所以该柱体的表面积为.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应表面积与体积公式求解.10．设函数，则A．是奇函数，且在上是增函数B．是偶函数，且在上有极小值C．是奇函数，且在上是减函数D．是偶函数，且在上有极大值【答案】A【解析】【分析】由函数奇偶性的定义，可得函数为奇函数，再由导数，得到，判定函数在上的增函数，即可得到答案.【详解】由题意，函数，则，所以函数为奇函数，又由，当时，，所以且，即，所以函数在为单调递增函数，又由函数为奇函数，所以函数为上的增函数，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判定，其中熟记函数奇偶性的定义，以及利用导数判定函数的单调性的方法，以及指数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.11．已知,为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点为，若,，则椭圆的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，可知，求得,代入椭圆的方程，再由和，即可求解的值，得到椭圆的方程.【详解】由题意，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，且，且，则可知，设，则，即,代入椭圆的方程可得又由，则，解答，且，解得，所以椭圆的方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中根据题设条件，设出点A的坐标，代入椭圆的方程，以合理运用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12．已知函数，则的所有零点之和等于A．8π B．7π C．6π D．5π【答案】B【解析】【分析】根据函数的零点的定义，令，得，根据三角恒等变换的公式，求解方程的根，即可得到所有的零点之和，得到答案.【详解】由已知函数，令，即，即，即，解得或，当时，或或；当时，即，解得，又由，解得或或或，所以函数的所有零点之和为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题的综合应用，其中解答中熟记函数的零点的概念，以及熟练应用三角函数恒等变换的公式，求解方程的根是解得关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.二、填空题13．设函数，则___________.【答案】【解析】【分析】由函数的解析式，代入求解，即可求得答案.【详解】由题意，函数，所以，则.【点睛】本题主要考查了函数值的求解问题，其中解答中准确把握分段函数的分段条件，正确选择相应的对应关系计算求值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14．已知满足，则的最大值为__________.【答案】2【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，目标函数，化为，结合图象可知，直线过点A时，目标函数取得最大值，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，化为，结合图象可知，直线过点A时，目标函数取得最大值，由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最小值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.15．已知的两个单位向量，且，则__________.【答案】1【解析】【分析】由题意，向量的两个单位向量，且，求得两向量的夹角满足，再由模的计算公式和向量的数量积的公式，即可求解.【详解】由题意，向量的两个单位向量，且，则，所以，所以.【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．16．的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】在中，设，且，得处，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】在为锐角三角形，设，且，所以，所以，又由，则，所以，即的取值范围是.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中设，得到，利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.三、解答题17．已知数列是公差不为0的等差数列，，成等比数列.（1）求；（2）设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设数列的首项为，公差为，由成等比数列，列出方程，求得，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.【详解】（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），则a n＝a1＋(n－1)d．因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，化简得，a1d＝0，又因为d≠0，所以a1＝0，又因为a4＝a1＋3d＝3，所以d＝1．所以a n＝n－1．（2）b n＝n·2n－1，T n＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①则2T n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．②①－②得，－T n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，＝－n·2n＝(1－n)·2n－1．所以，T n＝(n－1)·2n＋1．【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18．某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸在[223,228]内（单位：mm）的零件为一等品，其余为二等品.在两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示：（1）分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数；【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据表中的数据，利用平均数的公式，即可求解甲乙的平均数；（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为，二等品的概率为，即可求解甲工艺生产的利润，应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为，即可求解乙工艺生产该零件每天取得的利润，比较即可得到结论.【详解】（1）甲＝ (217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；乙＝ (218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7；（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为，二等品的概率为，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：w甲＝300××30＋300××20＝7200元；应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：w乙＝280××30＋280××20＝7000元．因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高．【点睛】本题主要考查了统计知识的综合应用，其中解答中，认真审题，同时熟记数据平均数的计算公式和概率的应用求解甲乙两种公式一生产的利润是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19．在直角三角形中，的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置且.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）在直角三角形中，求得，再由题意得，利用线面垂直判定定理，即可求解；（2）利用等价法，把点到平面转化为三棱锥的高，即可求解.【详解】（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB⊥C D，BD∩PB＝B，∴CD⊥平面PBD，又因为PDxF0CC;平面PBD，∴PD⊥CD．（2）∵AD⊥BD，∴PD⊥BD．又∵PD⊥CD，BD∩CD＝D，∴PD⊥平面BCD．在直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，所以PD＝AD＝，PB＝PC＝BC＝2．S△ABC＝2，S△PBC＝，设A点到平面PBC的距离为d，由V P-ABC＝V A-PBC得，S△ABC×PD＝S△PBC×d，∴d＝＝．即A点到平面PBC的距离为．【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及点到平面的距离的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及利用等积法求解点到平面的距离是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化思想的应用.20．斜率为的直线与抛物线交于两点，且的中点恰好在直线上. （1）求的值；（2）直线与圆交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）设直线的方程为，代入抛物线的方程，利用韦达定理得到，由的中点在上，即可求解；（2）根据圆的弦长公式，分别求解，利用求得实数的值，进而得到答案.【详解】（1）设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，x2－2kx－2m＝0，＝4k2＋8m，x1＋x2＝2k，x1x2＝－2m，因为AB的中点在x＝1上，所以x1＋x2＝2．即2k＝2，所以k＝1．（2）O到直线l的距离d＝，|CD|＝2，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝2·，因为|AB|＝|CD|,所以2·＝2，化简得m2＋8m－20＝0，所以m＝－10或m＝2．由得－＜m＜2．所以m＝2，直线l的方程为y＝x＋2．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21．设（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，求得，利用导数得到函数的单调性，进而求解函数的最小值；（2）由，令，利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可得到证明.【详解】（1）fxF0A2;(x)＝2(lnx＋1)．所以当x∈(0，)时，fxF0A2;(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(，＋∞)时，fxF0A2;(x)＞0，f(x)单调递增．所以x＝时，f(x)取得最小值f()＝1－．（2）x2－x＋＋2lnx－f(x)＝x(x－1)－－2(x－1)lnx＝(x－1)(x－－2lnx)，令g(x)＝x－－2lnx，则gxF0A2;(x)＝1＋－＝≥0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又因为g(1)＝0，所以当0＜x＜1时，g(x)＜0；当x＞1时，g(x)＞0，所以(x－1)(x－－2lnx)≥0，即f(x)≤x2－x＋＋2lnx．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22．在极坐标系中，曲线方程为.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，直线：，（t为参数，）.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据公式，代入即可求得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由ρ2－2ρsin(θ＋)－4＝0得，ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0．所以x2＋y2－2x－2y－4＝0．曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6．（2）将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，t2－2(sinα＋cosα)t－4＝0，t1＋t2＝2(sinα＋cosα)，t1t2＝－4＜0．||OA|－|OB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝|2(sinα＋cosα)|＝|2sin(α＋)|因为0≤α＜，所以≤α＋＜，从而有－2＜2sin(α＋)≤2．所以||OA|－|OB||的取值范围是[0，2]．【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23．已知.（1）求不等式解集；（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式，得，平方即可求解不等式的解集；（2）由已知可得，恒成立，设，利用函数的单调性，求得函数的最大值，即可求解.【详解】（1）由题意得|x＋1|＞|2x－1|,所以|x＋1|2＞|2x－1|2,整理可得x2－2x＜0，解得0＜x＜2，故原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（2）由已知可得，a≥f(x)－x恒成立，设g(x)＝f(x)－x，则g(x)＝由g(x)的单调性可知，x＝时，g(x)取得最大值1，所以a的取值范围是[1，＋∞）.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

唐山市2019—2020学年度高三年级文科数学第二次模拟考试含答案

（1）根据直方图计算这 200 名志愿者中不适合献血的总人数；（2）估计男志愿者收缩压的中位数；（3）估计女志愿者收缩压的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
高三文科数学第 3 页共 4 页
19．（12 分）
如图，在梯形 ABCD 中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝2AB＝2BC＝2，AE⊥平面 ABCD，
唐山市 2019—2020 学年度高三年级第二次模拟考试
文科数学
注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
18．解：
（1）由(m＋0.010＋0.015＋2×0.020＋0.030)×10＝1 得 m＝0.005，
故这些男志愿者中有 5 人不适合献血；
由(0.005＋0.010＋2n＋0.020＋0.035)×10＝1 得 n＝0.015，
故这些女志愿者中有 15 人不适合献血．
综上所述，这些志愿者中共有 20 人不适合献血．
…2 分
从而|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝4，解得 p＝1，所以，抛物线 C 的方程为 y2＝2x
…4 分
（2）（ⅰ）设
l：x＝ty＋
1 2
，与
y2＝2x
联立得
y2－2ty－1＝0，
所以 y1＋y2＝2t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋1＝2t2＋1．
设点 N (x0，y0)，由题意可得，x1＋x2＝x0＋m；y1＋y2＝y0，
最终都会回到数字 1．若给出的数字是 X＝6，当第一次回到数字 1 时，经过的计算次

河北省唐山市2020届高三摸底考试数学(文)试题答案

唐山市2019~2020学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一．选择题：A卷：DACBD CDCCB AAB卷：DACBD ADCCB AC二．填空题：（13）(25，5)或(－25，－5) （14）0 （15）33（16）(1e，e)三．解答题：17．解：（1）通过茎叶图可以看出，A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中，B选手所得分数比较分散．…6分（2）A选手直接晋级的概率更大．用C A表示事件“A选手直接晋级”，C B表示事件“B选手直接晋级”．由茎叶图得P(C A)的估计值为(5＋3)÷20＝820＝2 5，P(C B)的估计值为(5＋2)÷20＝720，所以，A选手直接晋级的概率更大．…12分18．解：（1）由S＝12bc sin A＝16b2tan A得3c sin A＝b tan A．因为tan A＝sin Acos A，所以3c sin A＝b sin A cos A，又因为0＜A＜π，所以sin A≠0，因此b＝3c cos A．…4分（2）由（1）得b＝3c cos A＝35cos A，所以2bc cos A＝30cos2A．…6分由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以8＝45cos2A＋5－30cos2A，解得cos2A＝15，…10分因此sin2A＝45，即tan2A＝4．由（1）得cos A＞0，所以tan A＞0，故tan A＝2．…12分19．解：（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ．由题意可知，PE ＝EC ，AO ＝OC ，∴P A ∥EO ，又P A ⊄平面BED ，EO ⊂平面BED ， ∴P A ∥平面BED ． …4分（2）由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC ，又由题意可知CD ⊥BC ，且PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，则BC ⊥DE ．由PE ＝EC ，PD ＝DC ，则PC ⊥DE ，且PC ∩BC ＝C ， ∴DE ⊥平面PBC ，所以∠DBE 即为直线BD 与平面PBC 所成的角． …8分设AD ＝x ，在Rt △DBE 中，DE ＝2，BD ＝4＋x 2，则sin ∠DBE ＝DE BD ＝ 12，解得x ＝2． …10分∴四棱锥P −ABCD 的体积V ＝ 1 3×PD ×S 矩形ABCD ＝ 83． …12分20．解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将l 的方程代入C 得：x 2－12kx －48＝0，所以x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－48，即y 1y 2＝(x 1x 2)2122＝16，从而OA →•OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32． …6分（2）依题意得F (0，3)，设M (x 3，y 3)，因为F 为△ABM 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝9，从而x 3＝－(x 1＋x 2)＝－12k ， y 3＝9－(y 1＋y 2)＝9－x 21＋x 2212＝9－(x 1＋x 2)2－2x 1x 212＝1－12k 2． …10分因为M (x 3，y 3)在抛物线C 上，所以(－12k )2＝12(1－12k 2)，即k 2＝124．故k ＝612或－612．…12分21．解：（1）由f(π2)＝a π2＝π2得a ＝1． …2分f '(x )＝x cos x ＋(1－b )sin x ，由f '( π2)＝1－b ＝0得b ＝1．所以f (x )＝x sin x ＋cos x ．…4分（2）令g (x )＝mx 2＋1－f (x )＝mx 2－x sin x －cos x ＋1，AB C EDP O由g (x )≥0得g (2π)＝4π2m ≥0，所以m ≥0．显然g (x )为偶函数，所以只需x ≥0时，g (x )≥0． …6分 g '(x )＝2mx －x cos x ＝x (2m －cos x )，当m ≥12时，g '(x )≥0，即g (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (0)＝0，从而m ≥12时，f (x )≤mx 2＋1成立． …8分当0≤m ＜12时，因为y ＝2m －cos x 在(0， π2)上单调递增，又x ＝0时，y ＝2m －1＜0；x ＝ π2时，y ＝2m ≥0，所以存在x 0∈(0， π2]，使得2m －cos x 0＝0，因此x ∈(0，x 0)时，2m －cos x ＜0，g '(x )＜0，即g (x )在(0，x 0)上单调递减，所以x ∈(0，x 0)时，g (x )＜g (0)＝0，与g (x )≥0矛盾，因此0≤m ＜12时不成立．综上，满足题设的m 的取值范围是m ≥ 12． …12分22．解：（1）由圆C ：ρ＝4cos θ可得ρ2＝4ρcos θ，因为x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4．直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝－33＋t sin α（t 为参数，0≤α＜π）．…5分（2）设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ，将直线l 的方程代入C 并整理，得t 2－6t (3sin α＋cos α)＋32＝0，所以t A ＋t B ＝6(3sin α＋cos α)，t A ·t B ＝32．又A 为MB 的中点，所以t B ＝2t A ，因此t A ＝2(3sin α＋cos α)＝4sin (α＋ π 6)，t B ＝8sin (α＋ π6)，…8分所以t A ·t B ＝32sin 2(α＋ π 6)＝32，即sin 2(α＋ π6)＝1．因为0≤α＜π，所以 π 6≤α＋ π 6＜7π6，从而α＋ π 6＝ π 2，即α＝ π3．…10分23．解：（1）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤1 2，3x ，x ＞12． …3分…5分，解得n≥2．m|x|＋n≥3|x|．（※）若m≥3，（※）式明显成立；若m＜3，则当|x|＞n3－m时，（※）式不成立．…8分另一方面，由图可知，当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．故当且仅当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．因此m＋n的最小值为5．…10分。

2019年河北省唐山市高三上学期摸底考试数学(文)试题(解析版)

D. 3
【答案】 C 【解析】【分析】
根据题中条件，由 S15 150 求出 a8 ，进而可得出结果 . 【详解】因为 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， a5 2, S15 150 ，所以 S15 15a8 150 ，即 a8 10 ，
因此 3d a8 a5 12 ，所以 d 4 .
故选 C
pq 0
p2
所以
，解得
，所以 p q
p20
q2
4 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，
属于基础题 .
3. 已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， a5 2, S15 150 ，则公差 d ( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 4
【答案】 A
【解析】
【分析】
由1
i 是关于
x 的方程
2xຫໍສະໝຸດ px q0 的一个根，代入方程化简得
p q ( p 2)i =0 ，根据复数相等的充
要条件，列出方程组，即可求解 .
【详解】依题意，复数 1 i 是关于 x 的方程 x2 px q 0 的一个根，
可得（1＋ i )2 p(1 i ) q=0 ，即： p q ( p 2)i =0 ，
【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的求和公式与通项公式即可，属于常考题型
.
4.已知 a ln3 ， b log 310 ， c lg 3，则 a ， b ， c 大小关系为（）
A. c b a
B. a c b
C. b c a
【答案】 D 【解析】【分析】
D. c a b

2020届河北省唐山市高三第一次模拟考试数学(文)模拟试题有答案(精品)

唐山市高三年级第一次模拟考试文科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2(1)i i-=（） A ．22i -B ．22i + C ．22i --D ．22i -+2.已知命题p ：n N ∃∈，32018n >，则p ⌝为（） A ．n N ∀∈，32018n ≤ B ．n N ∀∈，32018n > C ．n N ∃∈，32018n ≤D ．n N ∃∈，32018n <3.设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则是（） A ．M N ØB ．N M ØC ．M N =D ．M N R =U4.某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（）A ．24B ．30C ．32D ．355.以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ，若角θ终边过点(1,2)P -，则sin 2θ=（） A ．35 B ．35- C ．45 D ．45- 6.等腰直角三角形ABC 中，90A =o，该三角形分别绕AB ，BC 所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为（）A ．1:22 C ．1:2 D ．2:1 7.已知323-=a ，342-=b ，3ln =c ，则（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b <<8.为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（） A ．向右平移2π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向左平移4π个单位长度 9.如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A ．求135...(21)n ++++-B ．求135...(21)n +++++C ．求2222123n +++⋅⋅⋅+D ．求2222123(1)n +++⋅⋅⋅++10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A ．542+B ．9C ．652+D ．5311.已知P 为抛物线2y x =上异于原点O 的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，过PQ 的中点作x 轴的平行线交抛物线于点M ，直线QM 交y 轴于点N ，则PQNO=（） A ．23B ．1C ．32D ．2 12.已知函数2()2cos f x x x x =-，则下列关于()f x 的表述正确的是（） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．()f x 的最小值为1- C ．()f x 有4个零点 D ．()f x 有无数个极值点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知(1,1)a =-，(1,2)b =-，则(2)a b a +⋅=．14.设x ，y 满足约束条件0230210x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =+的最小值是．15.已知双曲线C ：22111x y m m-=+-(0)m >，则C 的离心率的取值范围是． 16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若24ABCc S ∆=，则a bb a+的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 是以1为首项的等差数列，数列{}n b 是以(1)q q ≠为公比的等比数列. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若121n n n S a b a b -=++⋅⋅⋅121n n a b a b -++，求n S .18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，按[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了300公斤这种鲜鱼，假设当天的需求量为x 公斤(0500)x ≤≤，利润为Y 元.求Y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润Y 不小于700元的概率.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AAC C ，90BAC ∠=o .（1）证明：1AC CA ⊥；（2）若11A B C ∆是边长为2的等边三角形，求点1B 到平面ABC 的距离.20.已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，上顶点为A ，长轴长为26B 为直线l ：3x =-上的动点，(,0)(0)M m m <，AM BM ⊥.当AB l ⊥时，M 与F 重合. （1）若椭圆Γ的方程；（2）若C 为椭圆Γ上一点，满足//AC BM ，60AMC ∠=o ，求m 的值. 21.已知函数()x x f x e =，11()x g x e x-=-ln x x a --+. （1）求()f x 的最大值；（2）若曲线()y g x =与x 轴相切，求a 的值.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)1x y -+=，圆2C ：22(3)9x y -+=.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设曲线3C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数且0t ≠），3C 与圆1C ，2C 分别交于A ，B ，求2ABC S ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.唐山市高三年级第一次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：DACCD BDBCA CDB 卷：AACCD DBBCA CD 二．填空题：（13）－4 （14）－5 （15）(1，2) （16）22三．解答题：（17）解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的首项为b 1，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝b 1qn －1．依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝b 1，2d ＝b 1(q －1)，(1＋d )b 1q ＝b 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，b 1＝2，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n．…6分（Ⅱ）S n ＝1×2n＋2×2n －1＋…＋n ×21，① 所以2S n ＝1×2n ＋1＋2×2n＋…＋n ×22，②②－①可得，S n ＝2n ＋1＋(2n ＋2n －1＋…＋22)－n ×21＝2n ＋1－2n ＋4(2n －1－1)2－1＝2n ＋2－2n －4．…12分（18）解：（Ⅰ）-x ＝50×0.0010×100＋150×0.0020×100＋250×0.0030×100＋350×0.0025×100＋450×0.0015×100＝265．…4分（Ⅱ）当日需求量不低于300公斤时，利润Y ＝(20－15)×300＝1500元；当日需求量不足300公斤时，利润Y ＝(20－15)x －(300－x )×3＝8x －900元；故Y ＝⎩⎨⎧8x －900，0≤x ＜300，1500，300≤x ≤500．…8分由Y ≥700得，200≤x ≤500，所以P (Y ≥700)＝P (200≤x ≤500)＝0.0030×100＋0.0025×100＋0.0015×100 ＝0.7．…12分（19）解：（Ⅰ）过点B 1作A 1C 的垂线，垂足为O ，由平面A 1B 1C ⊥平面AA 1C 1C ，平面A 1B 1C ∩平面AA 1C 1C ＝A 1C ，得B 1O ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 平面AA 1C 1C ，得B 1O ⊥AC ．由∠BAC ＝90°，AB ∥A 1B 1，得A 1B 1⊥AC ．又B 1O ∩A 1B 1＝B 1，得AC ⊥平面A 1B 1C ．又CA 1平面A 1B 1C ，得AC ⊥CA 1．…6分（Ⅱ）因为AB ∥A 1B 1，AB 平面ABC ，A 1B 1平面ABC ，所以A 1B 1∥平面ABC ，所以B 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离，设其为d ，由V A 1-ABC ＝V B -AA 1C 得，13×12×AC ×AB ×d ＝13×12×AC ×A 1C ×B 1O ，所以d ＝B 1O ＝3．即点B 1到平面ABC 的距离为3．…12分（20）解：（Ⅰ）依题意得A (0，b )，F (－c ，0)，当AB ⊥l 时，B (－3，b )，由AF ⊥BF 得k AF ·k BF ＝ b c · b －3＋c ＝－1，又b 2＋c 2＝6.解得c ＝2，b ＝2．所以，椭圆Γ的方程为x 26＋y 22＝1．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得A (0，2)，所以k AM ＝－2m，又AM ⊥BM ，AC ∥BM ，所以k BM ＝k AC ＝m2，所以直线AC 的方程为y ＝m2x ＋2， …7分y ＝m2x ＋2与x 26＋y 22＝1联立得(2＋3m 2)x 2＋12mx ＝0，所以x C ＝－12m2＋3m 2， |AM |＝2＋m 2，|AC |＝2＋m22·－12m 2＋3m 2（m ＜0），…10分在直角△AMC 中，由∠AMC ＝60°得，|AC |3|AM |，整理得：3m 2)2＝0，AA 1BCB 1OC 16 3．…12分解得m＝－（21）解：（Ⅰ）f(x )＝1－x ex ，当x ＜1时，f (x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞1时，f(x )＜0，f (x )单调递减，故x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝1e ．…4分（Ⅱ）因为g(x )＝ex －1＋1x 2－1x－1，设切点为(t ，0)，则g (t )＝0，且g (t )＝0，即et －1＋1t 2－1t －1＝0，e t －1－1t－ln t －t ＋a ＝0，所以a ＝1t＋ln t ＋t －e t －1．…7分令h (x )＝ex －1＋1x 2－1x－1，由（Ⅰ）得f (x )≤1e ，所以x e x ≤1e ，即e x －1≥x ，等号当且仅当x ＝1时成立，所以h (x )≥x ＋1x 2－1x －1＝(x －1)2(x ＋1)x2≥0，等号当且仅当x ＝1时成立，所以当且仅当x ＝1时，h (x )＝0，所以t ＝1． …11分故a ＝1．…12分（22）解：（Ⅰ）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，C 1：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρcos θ＋1＝1，所以ρ＝2cos θ； C 2：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－6ρcos θ＋9＝9，所以ρ＝6cos θ．…4分（Ⅱ）依题意得|AB |＝6cos α－2cos α＝4cos α，－2＜α＜2，C 2(3，0)到直线AB 的距离d ＝3|sin α|，所以S △ABC 2＝12×d ×|AB |＝3|sin 2α|，故当α＝±4时，S △ABC 2取得最大值3．…10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1，x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )取得最大值1．所以m ＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1] ≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2 ＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． …10分。

河北省唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试数学(文科)参考答案

（2）设 A(2cosα，2＋2sin α)，0＜α＜2π，则 B(2，2＋2sin α)．
所以 S＝2(1－cosα)(1＋sin α)
＝2sinα－2cosα－2cosαsin α＋2
＝(sin α－cos α)2＋2(sin α－cos α)＋1
＝(sin α－cos α＋1)2
＝[
( ) ] 2sin
…10 分
高三文科数学参考答案第 4 页
1 a
＝1－a12．
由（1）得，
当
0＜a＜1
时，f
(a)＜0，f
(
1 a
)＜0，
所以
f
( x)仅在(
1 a
，＋∞)上有一个零点，
因此 0＜a＜1 时成立．
当 a＝1 时，f (1)＝0，所以 f (x)在 R 上仅有一个零点 1．
当 a＞1 时，f (a1)＞0，所以要满足题设须有 f (a)＞0，
当 a＞1 时，a＞1a，
Q M P x
…12 分 …2 分
高三文科数学参考答案第 2 页
所以 x＜a1或 x＞a 时，f '(x)＞0，
从而 f (x)在(－∞，1a)，(a，＋∞)上单调递增；
当1a＜x＜a 时，f '(x)＜0，
从而 f (x)在(1a，a)上单调递减．
( ) （2）f (a)＝－a4＋3a2－2＝(a2－1)(2－a2)；f
{ } 所以 f (x)＞1 的解集为 x|23＜x＜2 ．
（2）存在．
高三文科数学参考答案第 3 页
…8 分
…12 分 …4 分 …10 分 …4 分
若 a＞－1，则 f (x)＝x3－x＋a－a－3，3，x－＜a－≤ax，≤1，－x＋a＋1，x＞1．

唐山市2020届高三第二次模考数学(文)试题含解析

【答案】7
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，根据题意，求出公差，再由等差数列的通项公式，即可得出结果.
【详解】设等差数列的公差为 ,
因为，，
所以 ,解得： ,
因此。
故答案为：7。
【点睛】本题主要考查等差数列前项和的基本量运算，熟记公式即可，属于基础题型。
14。已知是椭圆的右焦点，且过点，则椭圆的标准方程为_______．
9. 已知为双曲线的左，右焦点，为双曲线的渐近线上一点，若为等腰直角三角形，则双曲线渐近线的方程为（）
A。 B。 C。 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
从图形出发，由几何条件求出点的坐标，代入渐近线方程解的值即可。
【详解】如图所示，设点是渐近线上一点，若为等腰直角三角形,则，且，则点满足直线方程，所以 ,即，
又由，则，
依题意可得，即，
所以．
(2）由，
令 ,则，
所以在上单调递减，又，
因此时，；
当时，；
当时，．
故当时， ;当时，；当时, ．
A. 6 B.7C。 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意条件，逐步计算，即可得出结果。
【详解】第一步：因为为偶数,所以计算；
第二步：因为为奇数，所以计算；
第三步：因为为偶数，所以计算；
第四步：因为为奇数,所以计算；
第五步：因为为偶数，所以计算；
第六步：因为为偶数，所以计算 ;
（1)根据直方图计算这200名志愿者中不适合献血的总人数;
（2）估计男志愿者收缩压的中位数;

河北省唐山市2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析

河北省唐山市2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--，当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+，作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,033a a a a ∴><<<∴<<Q . 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.2．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（） A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=【答案】B 【解析】【分析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，与抛物线方程联立，利用0∆=，求出k 的值，得到ab的值，求出,a b 关系，进而判断,a b 大小，结合椭圆22221x y a b+=的焦距为2，即可求出结论.【详解】设双曲线的渐近线方程为y kx =，代入抛物线方程得2103x kx -+=，依题意240,33k k ∆=-==， 33a ab b ∴==>，∴椭圆22221x y a b +=的焦距2222a b -=，22222411,3,433b b b b a -====，双曲线的标准方程为22143y x -=.故选:B. 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题. 3．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ．【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．4．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】D 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值．【详解】解：()()()()2a i 1i 2a 12a 1i ++=-++Q 在复平面内所对应的点在虚轴上，2a 10∴-=，即1a 2=．故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 5．已知y ax b =+与函数()2ln 5f x x =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的面积为（） A ．2π B ．3πC ．6πD ．12π【答案】B 【解析】【分析】根据直线y ax b =+与()f x 和()g x 都相切，求得,a b 的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆2222220x y x y ++--=，由此求得正确选项.【详解】()()''2,2f x g x x x==.设直线y ax b =+与()f x 相切于点()00,2ln 5A x x +，斜率为02x ，所以切线方程为()()00022ln 5y x x x x -+=-，化简得0022ln 3y x x x =++①.令()'022g x x x ==，解得01x x =，200114g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以切线方程为20001214y x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得200214y x x x =-+②.由①②对比系数得02012ln 34x x +=-+，化简得02012ln 10x x +-=③.构造函数()()212ln 10h x x x x =+->，()()()'3321122x x h x x x x+-=-=，所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()h x 在1x =处取得极小值也即是最小值，而()10h =，所以()0h x =有唯一解.也即方程③有唯一解01x =.所以切线方程为23y x =+.即2,3a b ==.不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩即230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩，画出其对应的区域如下图所示.圆2222220x y x y ++--=可化为()()221124x y ++-=，圆心为()1,1A -.而方程组230320x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解也是11x y =-⎧⎨=⎩.画出图像如下图所示，不等式组230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的部分如下图阴影部分所示.直线230x y -+=的斜率为12，直线320x y +-=的斜率为13-.所以()tan tan BAC AED ADE ∠=∠+∠1123111123+==-⨯，所以4BAC π∠=，而圆A=，所以阴影部分的面积是(21324ππ⨯⨯=. 故选：B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.6．已知平面向量a r ，b r满足()1,2a =-r ，()3,b t =-r ，且()a ab ⊥+r r r ，则b =r （）A ．3B ．10C ．23D ．5【答案】B 【解析】【分析】先求出a b +r r，再利用()0a a b ⋅+=r r r 求出t ，再求b r .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+r r由()a a b ⊥+r r r ，所以()0a a b ⋅+=r r r()()()12220t ⨯-+-⨯-=，1t =，()3,1b =-r，10=r b 故选：B 【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题. 7．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（） A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤ B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，00ln x e x -≤．故选D ．【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.8．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=，故35log 5log 30>>.又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-，所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭<. 故选：D.本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.9．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】A 【解析】【分析】根据直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到2b a =，再求双曲线方程. 【详解】因为直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，所以()5,0F -，所以5c =，又和其中一条渐近线平行，所以2b a =，所以25a =，220b =，所以双曲线方程为221520x y -=.故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =U （） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞【答案】D 【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集.解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210xB x x x =<=<A B =U (),1-∞故选：D 【点睛】考查集合的并集运算，基础题.11．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.12．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（）A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值【答案】C 【解析】【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】 A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD 而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D 又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥ 由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC 所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离，所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离，所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值。

河北省唐山市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析

河北省唐山市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（） A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+D ．345i-+ 【答案】A 【解析】【分析】先通过复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到22z i =-+，再利用复数的除法求解12z z . 【详解】因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数12z i =+，所以22z i =-+所以()()()122223422255+--+===---+-+--i i z i i z i i i 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.2．已知函数()()3cos 0f x x x ωωω+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min 2x x π-=，则下列判断正确的是（）A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭ B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π= D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T ，从而得到ω，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【详解】Q ()3sin 3cos 23sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又sin 13x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭Q ，即2323sin 233x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴有且仅有232312-⨯=-满足条件；又12min2x x π-=，则22T T ππ=⇒=， 22T πω∴==，∴函数()23sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，223sin 363f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故B 错误；对于C ，当76x π=时，77223sin 23sin 6333f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，由223sin 0333f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.3．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则32h a =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)42323V cm ⨯⨯=，应选答案B ． 4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．22 C ．21+ D ．221+【答案】C 【解析】【分析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ==⨯=，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222ca==+-.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（） A ．120种 B ．240种 C ．480种 D ．600种【答案】B 【解析】【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法；将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种本题正确选项：B 【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.6．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（）A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论. 【详解】设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x Q '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函数,(1)1f =Q ,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x Q <，由211g x >得11gx >或11gx <-，解得10x >或1010x <<, 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选:B . 【点睛】是难题.7． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（） A ．15B ．13C ．35D ．23【答案】A 【解析】【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.8．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（）A ．34B ．13 C ．12D ．14【答案】A 【解析】【分析】如图设AF ⊥平面BCD ，球心O 在AF 上，根据正四面体的性质可得34AO AF =，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出x y z ++的值. 【详解】如图设AF ⊥平面BCD ，球心O 在AF 上，由正四面体的性质可得：三角形BCD 是正三角形，2，FOB 中，222222636()()334OB OF BF OA AO AO =+⇒=-+⇒=， 34AO AF =，=+u u u r u u u r u u u r AF AB BF ，AF AD DF =+u u u r u u u r u u u r ，AF AC CF =+u u u r u u u r u u u r ，因为F 为重心，因此0FB FC FD ++=u u u r u u u r u u u r r ，则3AF AB AC AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此()14AO AB AC AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此14x y z ===，则34x y z ++=，故选A.【点睛】本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题. 9．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．920π+B ．926π+C ．520π+D ．526π+【答案】C 【解析】【分析】根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积2112141222S ππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C.本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.10．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项；当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项；当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>，即()()1?3f f ＞，可排除C 选项，故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．11．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等【答案】B 【解析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论．【详解】对于甲，179888282939185.86x +++++=≈；对于乙，272748189969985.26x +++++=≈，故A 正确；甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误；对于甲，方差2126S ≈.5，对于乙，方差22106.5S ≈，故C 正确；甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189852+=，故D 正确．故选：B ．【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．12．若()12nx -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【解析】【分析】先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112rrn r r n T C x -+=⋅⋅-，然后直接求解即可【详解】()12nx -的二项展开式中第1r +项()112r r n r r n T C x -+=⋅⋅-.令2r =，则()2232n T C x =⋅-，∴2440n C =，∴4n =-（舍）或5n =. 【点睛】本题考查二项展开式问题，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省唐山市2020届高三下学期第二次模拟考试文科数学试题答案

在△CDE 中，CD＝ 2，CE＝ 6，S△CDE＝ 3，设点 F 到平面 CDE 的距离为 d，
…8 分
由（1）可知，AE∥CF，CF平面 CDF，AE平面 CDF，
所以
AE∥平面
CDF，所以
V ＝V E-CDF
A-CDF
由 VF-CDE＝VE-CDF＝VA-CDF得，13S△CDE·d＝13S△CDF·AC，
所以 x0＝2t2＋1－m；y0＝2t，
又 N 在抛物线 C 上，所以(2t)2＝2(2t2＋1－m)，
解得 m＝1．
（ⅱ）由（ⅰ）得，y1＋y2＝2t，y1y2＝－1，
S＝2S△AMB＝|MF|×|y1－y2|＝
1 2
(y1＋y2)2－4y1y2＝
1＋t2，
…6 分 …8 分
所以 t＝0 时，S 取得最小值为 1．
|x|＋|2xy|＝12(1x ＋1y )|x|＋|2xy|＝|2xx|＋|2xy|＋|2xy|≥|2xx|＋2≥32．
当且仅当|2xy|＝|2xy|，且 x＜0 时，两个等号同时成立，
即当且仅当 x＝－21且 y＝41，|x|＋|2xy|的最小值是32．
…4 分 …5 分 …7 分
…9 分 …10 分
所以 AE∥CF，则有 A，C，F，E 四点共面．
…4 分
又 AC∩CF＝C，所以 CD⊥平面 ACFE，
因为 EF平面 ACFE，所以 CD⊥EF．
…5 分
（2）由（1）可知，AC⊥平面 CDF，所以点 A 到平面 CDF 的距离为 AC＝ 2．
在△CDF 中，CF＝3，CD＝ 2 ，S△CDF＝32 2，
…3 分 …5 分
因为{an}的各项均为正，所以 q＝3，a1＝3，所以 an＝3n．（2）bn＝log3an＝log33n＝n， cn＝bnb1n＋1＝n(n1＋1)＝1n－n＋1 1，

河北省唐山市2019年高考数学一模试卷(文科)含答案解析

河北省唐山市2019年高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．22．复数的虚部为（）A．B．C．﹣D．﹣3．在等差数列{a n}中，a4=2，且a1+a2+…+a10=65，则公差d的值是（）A．4 B．3 C．1 D．24．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣B．y=﹣x2C．y=e﹣x+e x D．y=|x+1|5．执行如图的程序框图，输出S的值为（）A．ln4﹣ln3 B．ln5 C．ln5﹣ln4 D．ln46．cosasin（a+）+sinasin（a﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣7．A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B． +C．2 D． +18．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，使cosπx≥的概率为（）A．B．C．D．9．若x，y满足不等式组，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．310．某几何体的三视图如图所示．则其体积积为（）A．8πB．C．9πD．11．F为双曲线Г：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若Г上存在一点P使得△OPF为等边三角形（O为坐标原点），则Г的离心率e为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）=x3﹣3x2+x的极大值为m，极小值为n，则m+n=（）A．0 B．2 C．﹣4 D．﹣2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．S n为等比数列{a n}的前n项和，满足S n=2a n﹣1，则{a n}的公比q=．14．已知向量，满足（﹣）=2，且||=1，||=2，则与的夹角等于．15．直线l：与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则△OAB的内切圆的方程为．16．一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，则球O的表面积为．三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=150°，∠BAC=60°，AC=2，AB=+1．（I）求BC；（Ⅱ）求△ACD的面积．18．为迎接即将举行的集体跳绳比赛，高一年级对甲、乙两个代表队各进行了6轮测试，测试成绩（单位：次/分钟）如表：（Ⅰ）补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数；（Ⅱ）试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=，M为BB1的中点，O l 为上底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：O1M⊥平面ACM1；（Ⅱ）求C l到平面ACM的距离．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM 的重心，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=a（tan x+l）﹣e x．（Ⅰ）若f（x）在x=0处的切线经过点（2，3），求a的值；（Ⅱ）x∈（0，）时，f（x）≥0，求a的取值范围．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延长AD交圆O于点E，BF∥CD 且交ED于点F（I）证明：△BCE∽△FDB；（Ⅱ）若BE为圆O的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2，求ADED．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半圆C （圆心为点C）的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈（，）．（Ⅰ）求半圆C的参数方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A（0，﹣2），点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2019年河北省唐山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选：B．【点评】本题考查了集合之间的运算性质、元素与集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．复数的虚部为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：由=，则复数的虚部为：．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a4=2，且a1+a2+…+a10=65，则公差d的值是（）A．4 B．3 C．1 D．2【分析】由已知利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，由此能求出公差．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4=2，且a1+a2+…+a10=65，∴，解得a1=﹣7，d=3．∴公差d的值是3．故选：B．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣B．y=﹣x2C．y=e﹣x+e x D．y=|x+1|【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：y=﹣是奇函数，不满足条件．y=﹣x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不满足条件．y=e﹣x+e x是偶函数，函数的导数y′=﹣e﹣x+e x=，当x＞0时，y′=＞0，函数在区间（0，+∞）上单调递增，满足条件．y=|x+1|为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．执行如图的程序框图，输出S的值为（）A．ln4﹣ln3 B．ln5 C．ln5﹣ln4 D．ln4【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，可得i=1，S=0满足条件i＜4，S=ln2，i=2满足条件i＜4，S=ln2+ln3﹣ln2=ln3，i=3满足条件i＜4，S=ln3+ln4﹣ln3=ln4，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为ln4．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．6．cosasin（a+）+sinasin（a﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由条件利用两角和的正弦公式，计算求得结果．【解答】解：∵cosasin（a+）+sinasin（a﹣）=cosasin（a+）﹣sinacos[（a﹣）+]=sin（a+）cosa﹣cos（a+）sina=sin[（a+）﹣a]=sin=，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．7．A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B． +C．2 D． +1【分析】把A代入抛物线方程解出p，得到抛物线的准线方程，则A到焦点的距离等于A 到准线的距离．【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的定义，抛物线的性质，属于基础题．8．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，使cosπx≥的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出不等式的等价条件，利用几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵﹣1≤x≤1，∴﹣π≤πx≤π，由cosπx≥得，∴﹣≤πx≤，即﹣≤x≤，则对应的概率P==，故选：A．【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据不等式的关系求出等价条件是解决本题的关键．9．若x，y满足不等式组，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【分析】由题意作平面区域，而的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，结合图象可知，过点A（1，2）时有最大值，此时==2，故选：C．【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想方法应用，注意的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率．10．某几何体的三视图如图所示．则其体积积为（）A．8πB．C．9πD．【分析】几何体为两个尖头圆柱的组合体．它们可以组合成高为8的圆柱．【解答】解：由三视图可知几何体为两个尖头圆柱的组合体，它们可以组成高为8的圆柱，圆柱的底面半径为1，所以几何体的体积为π×12×8=8π．故选A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图和体积计算，属于基础题．11．F为双曲线Г：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若Г上存在一点P使得△OPF为等边三角形（O为坐标原点），则Г的离心率e为（）A．B．C．D．2【分析】先确定等边三角形的边长和点P横坐标，求出点P到右准线的距离d，利用双曲线定义解出离心率e．【解答】解：不妨设F为右焦点，△OPF（O为坐标原点）为等边三角形，故点P横坐标为，∴点P到右准线的距离d=﹣=，△OPF边长为c，∴e==∵e＞1，∴e=+1，故选：C【点评】本题主要考查双曲线的定义、简单性质和标准方程的应用，等边三角形的性质，属于基础题．12．已知函数f（x）=x3﹣3x2+x的极大值为m，极小值为n，则m+n=（）A．0 B．2 C．﹣4 D．﹣2【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．【解答】解：由题意可得：f′（x）=3x2﹣6x+1，令f′（x）=0，即3x2﹣6x+1=0，解得：x1=，x2=，∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴x1=是极大值点，x2=是极小值点，∴m+n=f（x1）+f（x2）=（﹣2+）（﹣2﹣）=﹣2，故选：D．【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．S n为等比数列{a n}的前n项和，满足S n=2a n﹣1，则{a n}的公比q=2．【分析】由S n=2a n﹣1，a1=2a1﹣1，a1+a2=2a2﹣1，解得a1，a2，即可得出．【解答】解：由S n=2a n﹣1，a1=2a1﹣1，a1+a2=2a2﹣1，解得a1=1，a2=2．∴等比数列{a n}的公比q=2．故答案为：2．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知向量，满足（﹣）=2，且||=1，||=2，则与的夹角等于．【分析】求出，代入向量夹角公式计算．【解答】解：∵（﹣）==2，∴=﹣1．∴cos＜＞==﹣．∴＜＞=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．15．直线l：与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则△OAB的内切圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．【分析】由题意画出图形，设△OAB的内切圆的圆心为M（m，m），利用圆心到直线l的距离等于圆的半径列式求得m值得答案．【解答】解：由直线方程与x轴、y轴分别相交于点A、B，如图，设△OAB的内切圆的圆心为M（m，m），化直线方程为3x+4y﹣12=0，由题意可得：，解得：m=1．∴△OAB的内切圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．【点评】本题考查圆的标准方程，考查了点到直线距离公式的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．16．一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，则球O的表面积为8π．【分析】根据该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，确定球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，所以球O的半径为，所以球O的表面积为=8π．故答案为：8π．【点评】本题考查球的内接几何体，考查球O的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=150°，∠BAC=60°，AC=2，AB=+1．（I）求BC；（Ⅱ）求△ACD的面积．【分析】（I）在△ABC中，使用余弦定理即可解出BC；（II）在△ABC中，使用正弦定理解出sin∠ABC，结合角的范围可求∠ACD=75°，AD=AC=2，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos∠BAC=6，所以BC=．…（4分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得=，则sin∠ABC=，又0°＜∠ABC＜120°，所以∠ABC=45°，从而有∠ACB=75°，由∠BCD=150°，得∠ACD=75°，又∠DAC=30°，所以△ACD为等腰三角形，即AD=AC=2，故S△ACD=×2×2×=1．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．18．为迎接即将举行的集体跳绳比赛，高一年级对甲、乙两个代表队各进行了6轮测试，测试成绩（单位：次/分钟）如表：（Ⅰ）补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数；（Ⅱ）试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析．【分析】（Ⅰ）根据题意补全茎叶图，求出乙队测试成绩的中位数与众数；（Ⅱ）求出甲、乙二人的平均数与方差，进行比较即可．【解答】解：（Ⅰ）画出茎叶图如下：…（4分）乙队测试成绩的中位数为72，众数为75．…（6分）（Ⅱ）==72，==39；==72，==44，…（10分）因为=，＜，所以甲乙两队水平相当，但甲队发挥较稳定．…（12分）【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数与方差的应用问题，是基础题目．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=，M为BB1的中点，O l 为上底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：O1M⊥平面ACM1；（Ⅱ）求C l到平面ACM的距离．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥O1M，根据勾股定理，证明O1M⊥AM，即可证明：O1M⊥平面ACM1；（Ⅱ）证明C1到平面ACM的距离等于O1到平面ACM的距离，即可求C l到平面ACM的距离．【解答】（Ⅰ）证明：连接AO1，BD∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∴AC⊥BD，又∵BD∩BB1=B，∴AC⊥平面DBB1D1，又∵O1M⊂平面DBB1D1，∴AC⊥O1M．∵直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD=，M为BB1的中点，∴BD=2，AC=2，B1M=BM=1，∴O1M2=O1B12+B1M2=2，AM2=AB2+BM2=5，O1A2=O1A12+A1A2=7，∴O1M2+AM2=O1A2，∴O1M⊥AM．又∵AC∩AM=A，∴O1M⊥平面ACM．…（6分）（Ⅱ）解：∵A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ACM，即C1到平面ACM的距离等于O1到平面ACM的距离，由（Ⅰ）得O1M⊥平面ACM，且O1M=，即点C1到平面ACM的距离为．…（12分）【点评】本题考查了线面垂直的判定，点C1到平面ACM的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM 的重心，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=2，|PF|=，运用勾股定理可得|PF1|，再由椭圆的定义可得2a，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式可得M的坐标，代入椭圆方程，解方程即可得到所求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=2，左焦点F1（﹣2，0），|PF|=，所以|PF1|==，即2a=|PF|+|PF1|=2，即a2=6，b2=a2﹣c2=2，故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．将l的方程代入C得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，可得x1+x2=，所以AB的中点N （，），由坐标原点O恰为△ABM的重心，可得M （，）．由点M在C上，可得15k4+2k2﹣1=0，解得k2=或﹣（舍），即k=±．故直线l的方程为y=±（x﹣2）．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和a，b，c的关系及点满足椭圆方程，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=a（tan x+l）﹣e x．（Ⅰ）若f（x）在x=0处的切线经过点（2，3），求a的值；（Ⅱ）x∈（0，）时，f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式解方程可得a；（Ⅱ）由x∈（0，）时，f（x）≥0，得a≥，令g（x）=，求出导数，求得单调区间和最大值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=a（tanx+l）﹣e x的导数为f′（x）=﹣e x，可得f′（0）=a﹣1，又f（0）=a﹣1，所以a﹣1=，解得a=2．（Ⅱ）由x∈（0，）时，f（x）≥0，得a≥，令g（x）=，则g′（x）==，当x∈（0，），g′（x）＞0；x∈（，），g′（x）＜0，所以g （x）的最大值为g（）=，故所求a的取值范围是a≥．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，转化为求函数的最值问题，属于中档题．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延长AD交圆O于点E，BF∥CD 且交ED于点F（I）证明：△BCE∽△FDB；（Ⅱ）若BE为圆O的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2，求ADED．【分析】（Ⅰ）根据BF∥CD便有∠EDC=∠BFD，再根据同一条弦所对的圆周角相等即可得出∠EBC=∠BFD，∠BCE=∠BDF，这样即可得出：△BCE与△FDB相似；（Ⅱ）根据条件便可得出∠EBC=∠FBD，再由上面即可得出∠FBD=∠BFD，这样即可得出△FDB为等腰直角三角形，从而可求出BD=，根据射影定理即可求出ADED的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵BF∥CD；∴∠EDC=∠BFD，又∠EBC=∠EDC，∴∠EBC=∠BFD，又∠BCE=∠BDF，∴△BCE∽△FDB．（Ⅱ）因为∠EBF=∠CBD，所以∠EBC=∠FBD，由（Ⅰ）得∠EBC=∠BFD，所以∠FBD=∠BFD，又因为BE为圆O的直径，所以△FDB为等腰直角三角形，BD=BF=，因为AB与圆O相切于B，所以EB⊥AB，即ADED=BD2=2．【点评】考查内错角相等，同条弦所对的圆周角相等，以及三角形相似的判定定理，直径所对的圆周角为直角，以及射影定理．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半圆C （圆心为点C）的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈（，）．（Ⅰ）求半圆C的参数方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A（0，﹣2），点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，代入半圆的极坐标方程，再由同角的平方关系，可得参数方程；（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，可得直线l的方程为y=xtanα﹣2，D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）．求得|AB|，运用点到直线的距离公式可得D到AB的距离，再由三角形的面积公式，由三角函数的恒等变换，即可得到所求点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得半圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1（y＞1），它的参数方程是，φ为参数且φ∈（0，π）；（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，则直线l的方程为y=xtanα﹣2，D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）．|AB|==，点D到直线l的距离为d===|﹣3cosα﹣sinα|=3cosα+sinα，由△ABD的面积为4，得4=d|AB|==1+3cotα，可得tanα=1，得α=，故点D为（0，2）．【点评】本题考查极坐标方程和参数方程的互化，考查圆的参数方程的运用，直线方程的运用，点到直线的距离公式，同时考查三角函数的恒等变换的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）将a=2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=，由f（x）的单调性及f（﹣）=f（2）=5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分段函数，是一道中档题．。

2019年河北省唐山市高考数学一模试卷和答案(文科)

已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝2an+n﹣1，记 bn＝an+n，
（1）求 b1，b2，b3；
（2）判断{bn}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{an}的前 n 项和 Sn． 18．（12 分）如图，△ABC 中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，E，F 分别为 AB，AC 边的中
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．（5 分）已知向量＝（1，﹣3），＝（m，6），若 ∥ ，则 m＝
．
14．（5 分）若函数 f（x）＝
，则 f（f （10））＝
．
15．（5 分）已知圆锥的顶点和底面圆周都在半径为 2 的球面上，且圆锥的母线长为 2，则该
20．（12 分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，如有些对象对
5．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（
D．8 ）
A．8
B．4
C．
D．
6．（5 分）已知命题 p：f（x）＝x3﹣ax 的图象关于原点对称；命题 q：g（x）＝xcosx 的图
象关于 y 轴对称．则下列命题为真命题的是（）
A．￢p
B．q
C．p∧q
D．p∧（￢q）
7．（5 分）《算法统宗》中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，
（3）根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提出一条建议．

河北唐山2020年高三第一次模考-文科数学(含答案、评分细则)

河北省唐山市2020年高三第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1-=A ，{}022≤+=x x x B ，则B A I 中元素的个数是A ．1B ．2C ．3D ．42．设i 是虚数单位，复数ii z -+=32，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010 年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是A ．男性的平均预期寿命逐渐延长B ．女性的平均预期寿命逐渐延长C ．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D ．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．已知向量a ，b 满足|a +b |=|b |，且l a |=2，则a ·b =A ． 2B ．1C ．-1D ． -25．设31)4sin(=+θπ，则θ2sin = A ．91 B ．97 C ．91- D ．97- 6．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文=10尺，1斛=1．62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米A ．900 斛B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛7．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n b a m b a ====3322，，若m ，n 为正数，且m≠n ，则A ．11b a <B ．11b a >C ．11b a =D ．11b a ，的大小关系不确定8．抛物线)0(22>=p py x 上一点A 到其准线和坐标原点的距离都为3，则p =A ．8B ．6C ．4D ．29．函数2tan )(x x x f -=在)2,2(ππ-上的图象大致为10．设函数)32sin()(π+=x x f ，则下列结论中错误的是 A ．)(x f 的图象关于点)0,3(π对称 B ．)(x f 的图象关于直线6π=x 对称 C ．)(x f 在]3,0[π上单调递减 D ．)(x f 在]0,3[π-上的最大值为111．已知四棱锥ABCD P -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，且AB=AD=1，BC=CD=2，若球O 的表面积为36π，则PA=A ．2B ．6C ．31 C ．3312．已知F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF ⊥x 轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N （O 为坐标原点），若MN ⊥ON ，则双曲线C 的离心率是A ．2B ．3C ．26 D ．332二、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥+-0130301y x y x y x ，则y x z -=2的最小值为．14．曲线1sin 2)(-+=x e x f x在点))0(,0(f 处的切线方程为． 15．在数列{}n a 中，已知tn a a a n n +==+111，（t N n ，*∈为非零常数），且321a a a ，，成等比数列，则=n a .16．已知x x xa x f ln )21()(+-=，)(x f 有极大值)(1x f 和极小值)(2x f ，则a 的取值范围是；)()(21x f x f += ．（本题第一空2分，第二空3分．）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人．某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者．（1）分别写出各专业选出的志愿者人数；（2）将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者A 与播音主持专业的志愿者分在一组的概率．18．（12分）ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，已知A c C a c cos sin 32-=．（1）求角A;（2）设D 是BC 边上一点，若32π=∠CDB ，且AD=1， a=3，求b ，c ．19．（12分）如图，三棱柱111C B A ABC -的底面为等边三角形，且⊥1AA 底面ABC ，22=AB ，31=A A ，E D ，分别为11C A AC ，的中点，点F 在棱1CC 上，且1=FC ．（1）证明：平面⊥BEF 平面BDF ；（2）求点D 到平面BEF 的距离．20．（12分）已知P 是x 轴上的动点（异于原点O ），点Q 在圆422=+y x O ：上，且|PQ|=2．设线段PQ 的中点为M.（1）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，且点Q 在第一象限，求直线OM 的斜率:（2）当点P 移动时，求点M 的轨迹方程．21．（12分）已知a>0，函数26)1(32)(223-++-=ax x a ax x f ．（1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 在R 上仅有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆θρsin 4:=C ，直线2cos =θρ：l ．以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上，l AB ⊥于B ，记△OAB 的面积为S ，求S 的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）己知函数112)(---+=x a x x f ．（1）当1=a 时，求不等式0)(>x f 的解集；（2）是否存在实数a ，使得)(x f 的图象与x 轴有唯一的交点？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．。

2019-2020学年河北省唐山一中高三(上)月考数学试卷(文科)(一)

2019-2020学年河北省唐山一中高三（上）月考数学试卷（文科）（一）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设全集I＝R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|2x−1≥1}，如图所示：则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{x|x<2}B.{x|−2<x<1}C.{x|−2≤x≤2}D.{x|1<x≤2}【答案】D【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】先化简集合M和集合N，然后根据图中阴影部分所表示的集合为属于集合N但不属于集合M，解之即可．【解答】M＝{x|x2>4}＝{x|x>2或x<−2}N＝{x|2x−1≥1}＝{x|1<x≤3}图中阴影部分所表示的集合为属于集合N但不属于集合M则图中阴影部分所表示的集合为{x|1<x≤2}2. i为虚数单位，则(1+i1−i)2016＝（）A.iB.−iC.1D.−1【答案】C【考点】复数的运算【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数1+i1−i，则答案可求．【解答】1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，则(1+i1−i)2016＝i2016＝(i4)504＝1．3. 函数y=2xlnx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可．【解答】由lnx≠0得，x>0且x≠1，当0<x<1时，lnx<0，此时y<0，排除B，C，函数的导数f′(x)=21nx−2x⋅1 x(lnx)2=21nx−2(lnx)2，由f′(x)>0得lnx>1，即x>e此时函数单调递增，由f′(x)<0得lnx<1且x≠1，即0<x<1或1<x<e，此时函数单调递减，4. 将函数y=√3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A.π12B.π6C.π3D.2π3【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用两角和的正弦化简原函数，然后利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得m的最小值．【解答】设y＝f(x)=√3cosx+sinx(x∈R)，化简得f(x)＝2(√32cosx+12sinx)＝2sin(x+π3)，∴图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y＝2sin[(x+m)+π3]＝2sin(x+m+π3)，∵所得的图象关于原点对称，∴m+π3=kπ(k∈Z)，则m的最小正值为2π3．5. 已知向量a→与b→的夹角为60∘，|a→|＝2，|b→|＝5，则2a→−b→在a→方向上的投影为（）A.3 2B.2C.52D.3【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】∵向量a→与b→的夹角为60∘，且|a→|＝2，|b→|＝5，∴(2a→−b→)⋅a→=2a→2−b→⋅a→=2×22−5×2×cos60∘＝3，∴向量2a→−b→在a→方向上的投影为a→⋅(2a→−b→)|a→|=32．6. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n＝3n+a，则数列{a n2}的前n项和为（）A.9n−12B.9n−14C.9n−18D.9n−1【答案】A【考点】等比数列的前n项和【解析】等比数列{a n}的前n项和为S n＝3n+a，所以a1＝3+a，a2＝(9+a)−(3+a)＝6，a3＝(27+a)−(9+a)＝18，所以a22=a1×a3得a的值，因为数列{a n}为等比数列，故数列{a n2}为以a12为首项，以q2为公比的等比数列，求出数列{a n2}的的首项和公比，求出其前n项和．【解答】依题意，等比数列{a n}的前n项和为S n＝3n+a，所以a1＝3+a，a2＝(9+a)−(3+a)＝6，a3＝(27+a)−(9+a)＝18，所以a22=a1×a3得a＝−1，所以a1＝2，q＝3，所以数列{a n2}的首项为4，公比为9，所以数列{a n2}的前n项和T n=4(1−9n)1−9=9n−12．7. 在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA=√2bcb2+c2−a2，a=√2，S为△ABC的面积，则S+√2cosBcosC的最大值为（）A.4B.√2C.√3D.2【答案】B【考点】正弦定理余弦定理【解析】先利用余弦定理求得sinA，进而通过正弦定理表示出c，代入面积公式求得S+√2cosBcosC的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】∵tanA=√2bcb2+c2−a2，∴tanA=√2bcb2+c2−a2=−√22sinA，∴sinA=√22，由正弦定理c＝a⋅sinCsinA，∴S=12acsinB=√2sinBsinC∴S+√2cosBcosC=√2sinBsinC+√2cosBcosC=√2cos(B−C)≤√2，8. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)＝−f(x)，当x∈[0, 1]时，f(x)＝−2x+1，则函数g(x)＝f(x)−sinπ2x(0≤x≤4)的零点之和为（）A.3B.4C.5D.8【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)＝−f(x)则f(x+2)＝f(x)，所以f(x)以2为周期，结合奇偶性可以绘制函数f(x)的图象，再绘制函数ℎ(x)＝sinx在0≤x≤4时的图象．函数而g(x)在0≤x≤4的零点即为函数f(x)与函数ℎ(x)＝sinx在0≤x≤4时的交点横坐标，根据对称性即可得到结论．【解答】f(x+1)＝−f(x)则f(x+2)＝f(x)，所以f(x)以2为周期，又当x∈[0, 1]时，f(x)＝−2x+1，所以可得函数f(x)在[−1, 1]上的图象，又知f(x)周期为2，故可以绘制f(x)在[0, 4]上的图象，设ℎ(x)＝sinπ2x，ℎ(x)为周期为4的函数，用5点法画出其在[0, 4]上的图象，可知函数f(x)和g(x)在[0, 4]上又3个交点，其横坐标分别记为x1，x2，x3，因为f(x)和ℎ(x)都以x＝1为对称轴，所以x1+x2＝2，又x3＝3，所以函数g(x)＝f(x)−sinπ2x(0≤x≤4)的零点之和为：2+3＝5．9. 已知奇函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，当x>0时有2f(x)+ xf′(x)>x2，则不等式(x+2014)2f(x+2014)+4f(−2)<0的解集为（）A.(−∞, −2012)B.(−2016, −2012)C.(−∞, −2016)D.(−2016, 0)【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】构造函数F(x)＝x2f(x)，根据导数求出函数的单调区间，再由(x+2014)2f(x+ 2014)+4f(−2)<0转化为F(x+2014)<−F(−2)＝F(2)，解得即可．【解答】由2f(x)+xf′(x)>x2，(x>0)；得：2xf(x)+x2f′(x)>x3即[x2f(x)]′>x3>0；令F(x)＝x2f(x)；则当x>0时，F′(x)>0，即F(x)在(0, +∞)上是增函数，∵f(x)为奇函数，∴F(x)＝x2f(x)为奇函数，∴F(x)在(−∞, 0)上是增函数，∴F(x+2014)＝(x+2014)2f(x+2014)，F(−2)＝4f(−2)；即不等式等价为F(x+2014)+F(−2)<0；即F(x+2014)<−F(−2)＝F(2)，∴x+2014<2，∴x<−2012；∴原不等式的解集是(−∞, −2012)．10. 已知函数f(x)＝sin(ωx+π3)(ω>0)在(0, 2]上恰有一个最大值1和一个最小值−1，则ω的取值范围是（）A.[5π12,13π12) B.(5π12,13π12] C.[7π12,13π12) D.(7π12,13π12]【答案】C【考点】三角函数的最值【解析】在(0, +∞)上f(x)第一个取得最大值1的ωx+π3的值是π2，第二个ωx+π3的值为5π2，f(x)第一个取得最小值−1的ωx+π3的值是3π2，故由3π2≤2ω+π3<5π2可解得．【解答】依题意可得：3π2≤2ω+π3<5π2，解得7π12≤ω<13π12，11. 已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N ∗)，若S nT n=2n−1n+1，则实数a 12b 6=( )A.154B.158C.237D.3【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和【解析】由题意可设S n =kn(2n −1)=2kn 2−kn ，T n =kn(n +1)=kn 2+kn ，(k ≠0)．由此求得a 12，b 6，则答案可求．【解答】解：由题意可设S n =kn(2n −1)=2kn 2−kn ， T n =kn(n +1)=kn 2+kn ，(k ≠0)．则a 12=S 12−S 11=288k −12k −242k +11k =45k ． b 6=T 6−T 5=36k +6k −25k −5k =12k ．∴ 实数a 12b 6=45k 12k =154．故选A .12. 数列{a n }满足a 1=14，a n+1=14−4a n，若不等式a 2a 1+a 3a 2+⋯+a n+2a n+1<n +λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为（） A.38B.34C.78D.74【答案】D【考点】数列与不等式的综合【解析】通过计算出数列{a n }的前几项可知a n =n2(n+1)，进而变形可知a n+1a n=1+12(1n −1n+2)，并项相加、放缩即得结论．【解答】∵ 数列{a n }满足a 1=14，a n+1=14−4a n，∴ a 2=14−4⋅14=13=26，a 3=14−4⋅13=38， a 4=14−4⋅38=25=410， a 5=14−4⋅25=512， a 6=14−4⋅512=37=614，…由此可知：a n =n2(n+1)， ∵a n+1a n=n+12(n+2)n 2(n+1)=(n+1)2n(n+2)=1+1n(n+2)=1+12(1n −1n+2)，∴ a 2a 1+a3a 2+⋯+an+2a n+1=n +1+12(1−13+12−14+⋯+1n −1n+2+1n+1−1n+3)＝n +1+12(1+12−1n+2−1n+3) ＝n +74−12(1n+2+1n+3)，又∵ 不等式a 2a 1+a 3a 2+⋯+an+2a n+1<n +λ对任何正整数n 恒成立，∴ 实数λ的最小值为74，二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）已知函数f(x)＝sin(2x +φ)(0≤φ<π)关于直线x =−π6对称，则f(0)＝________．【答案】12【考点】正弦函数的奇偶性和对称性【解析】首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】函数f(x)＝sin(2x +φ)(0≤φ<π)关于直线x =−π6对称，则2⋅(−π6)+φ＝kπ+π2(k ∈Z)，解得φ=kπ+5π6，所以当k ＝0时，φ=5π6，故f(x)＝sin(2x +5π6)，所以f(0)＝sin 5π6=12．知a >0，b >0，且a +3b =1b −1a ，则b 的最大值为________13 ．【答案】13【考点】基本不等式及其应用【解析】由已知条件得出1b −3b =a +1a ，由基本不等式得出1b −3b ≥2，解出该不等式并结合b >0，可得出b 的取值范围，于是可得出b 的最大值．【解答】由已知条件可得1b −3b =a +1a ，由基本不等式可得1b−3b =a +1a≥2√a ⋅1a=2，当且仅当a =1a (a >0)，即当a ＝1时，等号成立．所以，1b −3b ≥2，由于b >0，所以，3b 2+2b −1≤0，解得0<b ≤13．因此，b 的最大值为13．已知不等式组{x +y −1≥0x −y +1≥02x −y −2≤0 表示的平面区域为D ，若对任意的(x, y)∈D ，不等式|x −2y|≤t 恒成立，则实数t 的取值范围是________．【答案】 [5, +∞) 【考点】简单线性规划【解析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形求得|x −2y|max ，即可得出实数t 的取值范围．【解答】画出不等式组{x +y −1≥0x −y +1≥02x −y −2≤0 表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，点B 到直线x −2y ＝0的距离最大，由{2x −y −2=0x −y +1=0 ，解得B(3, 4)，所以|x −2y|max ＝|3−2×4|＝5，所以不等式|x −2y|≤t 恒成立时，实数t 的取值范围是t ≥5．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB 、直角边AC ，△ABC 的三边所围成的区域．若BC ＝10，过点A 作AD ⊥BC 于D ，当△ABD 面积最大时，黑色区域的面积为________．【答案】25√32【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III，由题意，计算△ABD的面积，求出面积取最大值时对应的θ值，再计算区域Ⅱ的面积S．【解答】因为BC＝10，设∠ABC=θ2，所以AB＝10cosθ2，BD＝ABcosθ2=10cos2θ2=5(1+cosθ)，AD＝ABsinθ2=10sinθ2cosθ2=5sinθ，所以S△ABD=12BD⋅AD=12×5sinθ⋅5(1+cosθ)=252sinθ(1+cosθ)，设f(θ)＝sinθ(1+cosθ)，θ∈(0, π)，则f′(θ)＝2cos2θ+cosθ−1＝0，解得cosθ=12，得θ=π3；当θ∈(0, π3)时，cosθ>12，f′(θ)>0，f(θ)为增函数；当θ∈(π3, π)时，cosθ<12，f′(θ)<0，f(θ)为减函数；所以，当θ=π3时，f(θ)最大，△ABD面积最大，设△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III，此时，区域Ⅱ的面积为S II=12π⋅(AB2)2+12π⋅(AC2)2−S=12π⋅(AB2)2+12π⋅(AC2)2−[1 2π⋅(BC2)2−S]＝S，且S=12AB⋅AC=12×10sinθ2×10cosθ2=25sinθ=25√32，故当△ABD面积最大时，区域Ⅱ的面积为25√32．三．解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知向量a→=(√2cosωx+1,2sinωx)，b→=(√6cosωx−√3,cosωx)(ω>0)（1）当ωx≠kπ+π2,k∈Z时，若向量c→=(1,0),d→=(√3,0)，且(a→−c→)∥(b→+d→)，求4sin 2ωx −cos 2ωx 的值；（2）若函数f(x)=a →⋅b →的图象的相邻两对称轴之间的距离为π4，当x ∈[−π8,π6]时，求函数f(x)的最大值和最小值．【答案】a →=(√2cosωx +1,2sinωx),b →=(√6cosωx −√3,cosωx),c →=(1,0),d →=(√3,0)， ∴ a →−c →=(√2cosωx,2sinωx)，b →+d →=(√6cosωx,cosωx)，∵ (a →−c →)∥(b →+d →)，∴ √2cosωx ⋅cosωx =2√6sinωx ⋅cosωx ， ∴ cosωx =2√3sinωx ， ∴ tanωx =√36，∴ 4sin 2ωx −cos 2ωx =4sin 2ωx−cos 2ωx sin 2ωx+cos 2ωx=4tan 2ωx−1tan 2ωx+1=4×(√36)2−1(√36)=−813．f(x)=a →⋅b →=(√2cosωx +1,2sinωx)⋅(√6cosωx −√3,cosωx)=(√2cosωx +1)⋅(√6cosωx −√3)+2sinωxcosωx=√3(2cos 2ωx −1)+sin2ωx =√3cos2ωx +sin2ωx =2(12sin2ωx +√32cos2ωx)=2(cos π3sin2ωx +sin π3cos2ωx)=2sin(2ωx +π3)，∵ f(x)的图象的相邻两对称轴之间的距离为π4， ∴ 其最小正周期T =2×π4=π2=2π2ω(ω>0)， ∴ ω＝2，∴ f(x)=2sin(4x +π3)， ∵ x ∈[−π8,π6]∴ 4x +π3∈[−π6,π]，∴ 当4x +π3=−π6即x =−π8时，f(x)取得最小值−1；当4x +π3=π2即x =π24时，f(x)取得最大值2．【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）根据题意得到tanωx =√36，将所求式子进行齐次化得到结果即可；（2）根据题意解得f(x)表达式，将4x +π3看作一个整体求得范围，从而确定最值．【解答】a →=(√2cosωx +1,2sinωx),b →=(√6cosωx −√3,cosωx),c →=(1,0),d →=(√3,0)， ∴ a →−c →=(√2cosωx,2sinωx)，b →+d →=(√6cosωx,cosωx)，∵ (a →−c →)∥(b →+d →)，∴ √2cosωx ⋅cosωx =2√6sinωx ⋅cosωx ， ∴ cosωx =2√3sinωx ， ∴ tanωx =√36，∴ 4sin 2ωx −cos 2ωx =4sin 2ωx−cos 2ωx sin 2ωx+cos 2ωx=4tan 2ωx−1tan 2ωx+1=4×(√36)2−1(√36)=−813．f(x)=a →⋅b →=(√2cosωx +1,2sinωx)⋅(√6cosωx −√3,cosωx)=(√2cosωx +1)⋅(√6cosωx −√3)+2sinωxcosωx=√3(2cos 2ωx −1)+sin2ωx =√3cos2ωx +sin2ωx =2(12sin2ωx +√32cos2ωx)=2(cos π3sin2ωx +sin π3cos2ωx)=2sin(2ωx +π3)，∵ f(x)的图象的相邻两对称轴之间的距离为π4， ∴ 其最小正周期T =2×π4=π2=2π2ω(ω>0)， ∴ ω＝2，∴ f(x)=2sin(4x +π3)， ∵ x ∈[−π8,π6]∴ 4x +π3∈[−π6,π]，∴ 当4x +π3=−π6即x =−π8时，f(x)取得最小值−1；当4x +π3=π2即x =π24时，f(x)取得最大值2．已知x ，y ∈(0, +∞)，x 2+y 2＝x +y ．（1）求1x +1y 的最小值；（2）是否存在x ，y ，满足(x +1)(y +1)＝5？并说明理由．【答案】 1x+1y =x+y xy =x 2+y 2xy≥2xy xy=2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以1x +1y 的最小值为2．不存在．因为x 2+y 2≥2xy ，所以(x +y)2≤2(x 2+y 2)＝2(x +y)， ∴ (x +y)2−2(x +y)≤0，又x ，y ∈(0, +∞)，所以x +y ≤2．从而有(x +1)(y +1)≤[(x+1)+(y+1)2]2≤[2+22]2=4，因此不存在x ，y ，满足(x +1)(y +1)＝5．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）根据基本不等式的性质求出1x +1y 的最小值即可；（2）根据基本不等式的性质得到(x +1)(y +1)的最大值是4，从而判断出结论即可．【解答】1x+1y=x+y xy=x 2+y 2xy≥2xy xy=2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以1x +1y 的最小值为2．不存在．因为x 2+y 2≥2xy ，所以(x +y)2≤2(x 2+y 2)＝2(x +y)， ∴ (x +y)2−2(x +y)≤0，又x ，y ∈(0, +∞)，所以x +y ≤2．从而有(x +1)(y +1)≤[(x+1)+(y+1)2]2≤[2+22]2=4，因此不存在x ，y ，满足(x +1)(y +1)＝5．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，中线AD ＝m ，满足a 2+2bc ＝4m 2．(Ⅰ)求∠BAC ；(Ⅱ)若a ＝2，求△ABC 的周长的取值范围．【答案】解(Ⅰ)在△ABD 和△ACD 中c 2=m 2+14a 2−macosADB ，b 2=m 2+14a 2−macosADC ，因为∠ADB +∠ADC ＝π，所以cos∠ADB +cos∠ADC ＝0，b 2+c 2=2m 2+12a 2，m 2=12b 2+12c 2−14a 2，由已知a 2+2bc ＝4m 2，得a 2+2bc ＝2b 2+2c 2−a 2，即b 2+c 2−a 2＝bc ，cosBAC =b 2+c 2−a 22bc=12，又0<A <π，所以∠BAC =π3．（2）在△ABC 中有正弦定理得asin π3=b sinB =csinC ，又a ＝2，所以b =4√33sinB ，c =4√33sinC =4√33sin(2π3−B)，故b +c =4√33sinB +4√33sin(2π3−B)=4√33(32sinB +√32cosB)=4sin(B +π6)，因为0<B<2π3，故π6<B+π6<5π6，所以12<sin(B+π6)≤1，b+c∈(2, 4]，故△ABC周长的取值范围是(4, 6]．【考点】余弦定理【解析】(Ⅰ)根据余弦定理求出cos∠ADB，cos∠ADC，以及∠ADB+∠ADC＝π，所以cos∠ADB+cos∠ADC＝0可解得；(Ⅱ)根据正弦定理将b，c转化为B角得b+c＝4sin(B+π6)，根据B角范围求得取值范围，再加上a＝2即为周长的取值范围．【解答】解(Ⅰ)在△ABD和△ACD中c2=m2+14a2−macosADB，b2=m2+14a2−macosADC，因为∠ADB+∠ADC＝π，所以cos∠ADB+cos∠ADC＝0，b2+c2=2m2+12a2，m2=1 2b2+12c2−14a2，由已知a2+2bc＝4m2，得a2+2bc＝2b2+2c2−a2，即b2+c2−a2＝bc，cosBAC=b2+c2−a22bc =12，又0<A<π，所以∠BAC=π3．（2）在△ABC中有正弦定理得asinπ3=bsinB=csinC，又a＝2，所以b=4√33sinB，c=4√33sinC=4√33sin(2π3−B)，故b+c=4√33sinB+4√33sin(2π3−B)=4√33(32sinB+√32cosB)=4sin(B+π6)，因为0<B<2π3，故π6<B+π6<5π6，所以12<sin(B+π6)≤1，b+c∈(2, 4]，故△ABC周长的取值范围是(4, 6]．已知函数f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，且f(x)+g(x)=log4(4x+1)．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)若函数ℎ(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+2√2a)(a>0)在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)∵f(x)+g(x)=log4(4x+1)①，∴f(−x)+g(−x)=log4(4−x+1)，∴f(x)−g(x)=log4(4x+1)−x②.由①②得，f(x)=log4(4x+1)−x2，g(x)=x2；(2)由ℎ(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+2√2a)=log4(4x+1)−x2−12log2(a⋅2x+2√2a)=12log2(22x+1)−x2−12log2(a⋅2x+2√2a)=0，得：log222x+12x=log2(a⋅2x+2√2a)⇒(a−1)22x+2√2a⋅2x−1=0，令t=2x，则t>0，即方程(a−1)t2+2√2at−1=0(∗)只有一个大于0的根，①当a=1时，t=√24>0，满足条件；②当方程(∗)有一正一负两根时，满足条件，则−1a−1<0，∴a>1；③当方程(∗)有两个相等的且为正的实根时，则Δ=8a2+4(a−1)=0，∴a=12，a=−1（舍）.a=12时，t=2√2>0.综上，a=12或a≥1．【考点】函数的零点函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）利用函数的奇偶性列出方程组求解即可得到函数的解析式．（2）利用函数只有一个零点，通过换元法，对a讨论，结合二次函数的性质求解即可．【解答】解：(1)∵f(x)+g(x)=log4(4x+1)①，∴f(−x)+g(−x)=log4(4−x+1)，∴f(x)−g(x)=log4(4x+1)−x②.由①②得，f(x)=log4(4x+1)−x2，g(x)=x2；(2)由ℎ(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+2√2a)=log4(4x+1)−x2−12log2(a⋅2x+2√2a)=12log2(22x+1)−x2−12log2(a⋅2x+2√2a)=0，得：log222x+12x=log2(a⋅2x+2√2a)⇒(a−1)22x+2√2a⋅2x−1=0，令t=2x，则t>0，即方程(a−1)t2+2√2at−1=0(∗)只有一个大于0的根，①当a=1时，t=√24>0，满足条件；②当方程(∗)有一正一负两根时，满足条件，则−1a−1<0，∴a>1；③当方程(∗)有两个相等的且为正的实根时，则Δ=8a2+4(a−1)=0，∴a=12，a=−1（舍）.a=12时，t=2√2>0.综上，a=12或a≥1．已知数列{a n}的前n项和S n满足，S n＝2a n+(−1)n，n≥1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：对任意整数m>4，有1a4+1a5+⋯+1a m<78(m>4)．【答案】a n=S n−S n−1=2a n+(−1)n−2a n−1−(−1)n−1化简即a n=2a n−1+2(−1)n−1即a n+23(−1)n=2[a n−1+23(−1)n−1]由a1＝1，故数列{a n+23(−1)n}是以a1+23(−1)为首项，公比为2的等比数列．故a n+23(−1)n=13×2n−1即a n=13×2n−1−23(−1)n=23[2n−2−(−1)n]证明：由已知得1a4+1a5+⋯+1a m=32[122−1+123+1+⋯+12m−2−(−1)n]=32[13+19+115+1 33+163+⋯+12m−2−(−1)m]=12(1+13+15+111+121+⋯)<12(1+13+15+110+120+⋯)=1 2[43+15(1−12m−5)1−12]=12(43+25−25×12m−5)=1315−15(12)m−5<1315=104120<105120=78故1a4+1a5+⋯+1a m<78(m>4)【考点】数列与不等式的综合数列递推式【解析】（1）由递推式，证明数列{a n+23(−1)n}是以a1+23(−1)为首项，公比为2的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；（2）利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可证明结论．【解答】a n=S n−S n−1=2a n+(−1)n−2a n−1−(−1)n−1化简即a n=2a n−1+2(−1)n−1即a n+23(−1)n=2[a n−1+23(−1)n−1]由a1＝1，故数列{a n+23(−1)n}是以a1+23(−1)为首项，公比为2的等比数列．故a n+23(−1)n=13×2n−1即a n=13×2n−1−23(−1)n=23[2n−2−(−1)n]证明：由已知得1a4+1a5+⋯+1a m=32[122−1+123+1+⋯+12m−2−(−1)n]=32[13+19+115+1 33+163+⋯+12m−2−(−1)m]=12(1+13+15+111+121+⋯)<12(1+13+15+110+120+⋯)=1 2[43+15(1−12m−5)1−12]=12(43+25−25×12m−5)=1315−15(12)m−5<1315=104120<105120=78故1a4+1a5+⋯+1a m<78(m>4)函数f(x)＝lnx+1x −12，g(x)＝e x−12x2−ax−12a2(e是自然对数的底数，a∈R)．(Ⅰ)求证：|f(x)|≥−(x−1)2+12；(Ⅱ)已知[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]＝1，[−2.1]＝−3，若对任意x1≥0，都存在x2>0，使得g(x1)≥[f(x2)]成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）f′(x)=1x −1x2=x−1x2(x>0)．当x>1时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，所以，当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)=12，所以|f(x)|=f(x)≥12，又−(x−1)2+12≤12，且当x＝1时等号成立，所以，|f(x)|≥−(x−1)2+12．（2）记当x≥0时，g(x)的最小值为g(x)min，当x>0时，[f(x)]的最小值为[f(x)]min，依题意有g(x)min≥[f(x)]min，由(Ⅰ)知f(x)≥12，所以[f(x)]min＝0，则有g(x)min≥0，g′(x)＝e x−x−a．令ℎ(x)＝e x−x−a，ℎ′(x)＝e x−1，而当x≥0时，e x≥1，所以ℎ′(x)≥0，所以ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数，所以ℎ(x)min＝ℎ(0)＝1−a．①当1−a≥0，即a≤1时，ℎ(x)≥0恒成立，即g′(x)≥0，所以g(x)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min=g(0)=1−a22，依题意有g(x)min=1−a22≥0，解得−√2≤a≤√2，所以−√2≤a≤1．②当1−a<0，即a>1时，因为ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数，且ℎ(0)＝1−a<0，若a+2<e2，即1<a<e2−2，则ℎ（ln(a+2)）＝a+2−ln(a+2)−a＝2−ln(a+2)>0，所以∃x0∈（0, ln(a+2)），使得ℎ(x0)＝0，即a=e x0−x0，且当x∈(0, x0)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0；当x∈(x0, +∞)时，ℎ(x)>0，即g′(x)> 0，所以，g(x)在(0, x0)上是减函数，在(x0, +∞)上是增函数，所以g(x)min=g(x0)=e x0−12x0−ax0−12a2≥0，又a=e x0−x0，所以g(x)min=e x0−12(x0+a)2=e x0−12e2x0=12e x0(2−e x0)≥0，所以e x0≤2，所以0<x0≤ln2．由a=e x0−x0，可令t(x)＝e x−x，t′(x)＝e x−1，当x∈(0, ln2]时，e x>1，所以t(x)在(0, ln2]上是增函数，所以当x∈(0, ln2]时，t(0)<t(x)≤t(ln2)，即1<t(x)≤2−ln2，所以1<a≤2−ln2．综上，所求实数a的取值范围是[−√2,2−ln2]．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求出导函数f′(x)=1x −1x2=x−1x2(x>0)．求出函数的最小值，利用二次函数的性质推出结果．(Ⅱ)记当x≥0时，g(x)的最小值为g(x)min，当x>0时，[f(x)]的最小值为[f(x)]min，题目转化为g(x)min≥[f(x)]min，ℎ(x)＝e x−x−a，ℎ′(x)＝e x−1，通过求解导数，①当a≤1时，求出g(x)min=1−a22≥0，②当a>1时，利用ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数，推出a=e x0−x0，转化求出g(x)min=g(x0)=e x0−12x0−ax0−12a2≥0，转化求解1<a≤2−ln2．【解答】（1）f′(x)=1x −1x2=x−1x2(x>0)．当x>1时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，所以，当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)=12，所以|f(x)|=f(x)≥12，又−(x−1)2+12≤12，且当x＝1时等号成立，所以，|f(x)|≥−(x−1)2+12．（2）记当x≥0时，g(x)的最小值为g(x)min，当x>0时，[f(x)]的最小值为[f(x)]min，依题意有g(x)min≥[f(x)]min，由(Ⅰ)知f(x)≥12，所以[f(x)]min＝0，则有g(x)min≥0，g′(x)＝e x−x−a．令ℎ(x)＝e x−x−a，ℎ′(x)＝e x−1，而当x≥0时，e x≥1，所以ℎ′(x)≥0，所以ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数，所以ℎ(x)min＝ℎ(0)＝1−a．①当1−a≥0，即a≤1时，ℎ(x)≥0恒成立，即g′(x)≥0，所以g(x)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min=g(0)=1−a22，依题意有g(x)min=1−a22≥0，解得−√2≤a≤√2，所以−√2≤a≤1．②当1−a<0，即a>1时，因为ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数，且ℎ(0)＝1−a<0，若a+2<e2，即1<a<e2−2，则ℎ（ln(a+2)）＝a+2−ln(a+2)−a＝2−ln(a+2)>0，所以∃x0∈（0, ln(a+2)），使得ℎ(x0)＝0，即a=e x0−x0，且当x∈(0, x0)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0；当x∈(x0, +∞)时，ℎ(x)>0，即g′(x)> 0，所以，g(x)在(0, x0)上是减函数，在(x0, +∞)上是增函数，所以g(x)min=g(x0)=e x0−12x0−ax0−12a2≥0，又a=e x0−x0，所以g(x)min=e x0−12(x0+a)2=e x0−12e2x0=12e x0(2−e x0)≥0，所以e x0≤2，所以0<x0≤ln2．由a=e x0−x0，可令t(x)＝e x−x，t′(x)＝e x−1，当x∈(0, ln2]时，e x>1，所以t(x)在(0, ln2]上是增函数，所以当x∈(0, ln2]时，t(0)<t(x)≤t(ln2)，即1<t(x)≤2−ln2，所以1<a≤2−ln2．综上，所求实数a的取值范围是[−√2,2−ln2]．。

河北省唐山市2019届高三第三次模拟考试数学文科试题及答案

A 卷唐山市2019—2019学年度高三年级第三次模拟考试文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A ={－1，0，1，2，3}，B ={－2，－1，0，1}，则右图中阴影部分表示的集合为A ．{－1，0，1}B ．{2，3}C ．{－2，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}2．设函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，则下列结论中正确的是A ．f （x ）sin x 为奇函数B ．f （x ）+cos x 为偶函数C ．g （x ）sin x 为为偶函数D ．g （x ）+cos x 为偶函数 3． i 是虚数单位， (1＋i) z －＝(1－i)2，则|z |＝ A ．1 B ．2 C ．2 D ．224．执行如图所示的程序框图，结果是A ．8165B ． 2719C ．59 D ． 135．设a ＝log π3，b ＝log 3π，c ＝lnπ，则A ．c ＞a ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c6．在等差数列{a n }中，a 3＝5，a 4＋a 8＝22，则{11+⋅n n a a }的前20A ．4140 B ．4120 C ．4342 D ．43217．已知函数f (x )＝cos(2x －π3)，g (x )＝sin2x ，将函数f (x )的图像经过下列哪种可以与g (x ) 的图象重合A ．向左平移π12个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位8．一个几何体的三视图如图所示，则其体积为A ．43（π+1）B ．23（π+1）C ．43（π+12）D ．23（π+12）9．向量a 、b 满足：|a |=|a +b |=|2a +b |=1，则|b |=A ．1B ．2C ．3D ．2（9题变式）．向量a 、b 满足：|a |=|a +b |=|2a +b |=1，则a 与b 的夹角为 A ．150° B ．60°C ．30°D ．45° 答案：A10．实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-09303301y x y x y x ，则z ＝ax ＋y 的最大值为2a +3，则a 的取值范围是A ．[－3，1]B ．[－1，3]C ．[3，+∞）D ．（－∞，－1]11．异面直线l 与m 成60°，异面直线l 与n 成45°，则异面直线m 与n 成角范围是 A ．[15°，90°] B ．[60°，90°] C ．[15°，105°] D ．[30°，105°]12．函数f (x )＝e －x +a ， g (x )=|ln x |，若x 1，x 2都满足f (x )＝g (x )，则 A ．x 1·x 2＞e B ．1＜x 1·x 2＜e C ．0＜x 1·x 2＜e －1 D ．e －1＜x 1·x 2＜1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，公比q =2，S 5=93，则a 4= ．14．已知F 是抛物线y 2=8x 的焦点，M 是抛物线上的点且｜MF ｜＝3，N （－2，0），则直线MN 的斜率为．15．已知a ＞1，则12-a a 的最小值为．16．等边三角形ABC 的顶点A ，B 在圆O ：x 2+y 2=1上，则|OC |的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．2c 2－2a 2=b 2．（Ⅰ）证明：2c cos A －2a cos C =b ；（Ⅱ）若tan A =13，求角C 的大小．18．（本小题满分12分）谋市教育部门对甲校四年级学生进行体育学科测试，随机抽取15名学生的测试成绩，绘制茎叶图如下：（Ⅰ）依据上述数据，估计甲校此次的体育平均成绩－x ；（Ⅱ）从得分在70~80之间的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生的平均成绩为－y ，求|－x －－y |≤1的概率．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BC C 1B 1是矩形，截面A 1BC 是等边三角形．（Ⅰ）求证：AB =AC ；（Ⅱ）若AB ⊥AC ，三棱柱的高为1，求C 1点到截面A 1BC 的距离．ABCA 1B 1C 120．（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 与椭圆C 有唯一公共点M ，当点M 的坐标为（3，12）时，l 的方程为3x +2y －4=0．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k ，M 在椭圆C 上移动时，作OH ⊥l 于H ，（O 为坐标原点），当|OH |＝ 45|OM |时，求k 的值． 21．（本小题满分12分）已知f (x )＝e x (x －a －1)－12x 2＋ax ，a ＞0．（Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）若x ∈(0，1)时，f (x )＜－a －1，求a 的取值范围．请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）如图，C 是⊙O 的直径AB 上一点，CD ⊥AB ，与⊙O 相交于点D ，与弦AF 交于点E ，与BF 的延长线交于点G ，GT 与⊙O 相切于点T ．（Ⅰ）证明：CE ·CG ＝CD 2；（Ⅱ）若AC =CO =1，CD =3CE ，求GT ．23．（本小题满分10分）已知半圆C ：（x －2）2+y 2=4（y ≥0），直线l ：x －2y －2=0，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出C 与l 的极坐标方程；（Ⅱ）记A 为C 直径的右端点，C 与l 交于点M ，且M 为圆弧AB 的中点，求|OB |． 24．（本小题满分10分）设函数f (x )＝|ax －1|＋|x +2|，a ＞0． (1)若a =1，解不等式f (x )≤5； (2)若f (x )≥2，求a 的最小值．唐山市2019—2019学年度高三年级第三次模拟考试文科数学参考答案一、选择题：A 卷：BDCAC BCBCB AD B 卷：ADCBC BCACB BD 二、填空题：（13）24；（14）±223；（15）4；（16）2．三、解答题：（17）（Ⅰ）证明：因为2c 2－2a 2＝b 2，所以2c cos A －2a cos C ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc －2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b 2＋c 2－a 2b －a 2＋b 2－c 2b ＝2c 2－2a 2b＝b ． …5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）和正弦定理以及sin B ＝sin(A ＋C )得2sin C cos A －2sin A cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即sin C cos A ＝3sin A cos C ，又cos A cos C ≠0，所以tan C ＝3tan A ＝1，故C ＝45°． …12分（18）解：（Ⅰ）－x ＝55＋67＋64＋66＋75＋73＋78＋79＋81＋85＋87＋88＋92＋9015＝77．…5分（Ⅱ）从得分在70~80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件：{75，77}，{75，73}， {75，78}，{75，79}，{77，73}，{77，78}，{77，79}，{73，78}，{73，79}，{78，79}共10个；其中满足|－x －－y |≤1的事件：{75，77}，{75，78}，{75，79}，{77，78}，{77，79}，{73，79}共6个．所以满足|－x －－y |≤1的概率P ＝610＝ 3 5.…12分（19）解：（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连OA ，OA 1．因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥BB 1，BC ⊥AA 1，因为截面A 1BC 是等边三角形，所以BC ⊥OA 1，所以BC ⊥平面A 1OA ，BC ⊥OA ，因此，AB ＝AC ． …5分（Ⅱ）设点A 到截面A 1BC 的距离为d ，由V A －A 1BC ＝V A 1－ABC 得S △A 1BC ×d ＝S △ABC ×1，得BC ×OA 1×d ＝BC ×OA ×1，得d ＝OAOA 1．由AB ⊥AC ，AB ＝AC 得OA ＝ 12BC ，又OA 1＝32BC ，故d ＝33．因为点A 与点C 1到截面A 1BC 的距离相等，所以点C 1到截面A 1BC 的距离为33．…12分（20）解：（Ⅰ）由题意可得：3a 2＋14b 2＝1， …1分将3x ＋2y －4＝0代入椭圆C ： (3a 2＋4b 2)x 2－83a 2x ＋16a 2－4a 2b 2＝0由Δ＝0得3a 2＋4b 2＝16， …3分联立解得：a 2＝4，b 2＝1．于是椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1．…5分（II ）设直线l ：y ＝kx ＋m ，M (x 0，y 0)．将直线l 的方程代入椭圆C 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， …6分令Δ＝0，得m 2＝4k 2＋1，且x 20＝4m 2－41＋4k 2．所以|OM |2＝1＋16k 21＋4k 2． ①又|OH |2＝m 21＋k 2＝1＋4k 21＋k 2，② …10分① ②与|OH |＝ 45|OM |联立整理得：16k 4－8k 2＋1＝0，解得：k ＝± 12．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝e x (x －a )－x ＋a ＝(x －a )(e x －1)，当x ∈(－∞，0)时，f '(x )＞0, f (x )单增；当x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单减；当x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单增．所以，f (x )在(－∞，0)和(a ，＋∞)分别单调递增；在(0，a )单调递减． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当a ≥1时，f (x )在(0，1)单调递减，f (x )＜f (0)＝－a －1． …8分当0＜a ＜1时，f (x )在(0，a )单调递减；在(a ，1)单调递增，则f (x )＜－a －1当且仅当f (1)＝－a e ＋a － 12≤－a －1，解得：12(e －2)≤a ＜1．1综上：a 的取值范围是[12(e －2)，＋∞)．…12分（22）解：（Ⅰ）证明：延长DC 与圆O 交于点M ，因为CD ⊥AB ，所以CD 2＝CD ·CM ＝AC ·BC ，因为Rt △ACE ∽Rt △GBC ，所以AC CE ＝CGBC，即AC ·BC ＝CE ·CG ，故CD 2＝CE ·CG ．…5分（Ⅱ）因为AC ＝CO ＝1，所以CD 2＝AC ·BC ＝3，又CD ＝3CE ，由（Ⅰ）得CG ＝3CD ，GT 2＝GM ·GD ＝(CG ＋CM )·(CG －CD )＝(CG ＋CD )·(CG －CD ) ＝CG 2－CD 2＝8CD 2＝24，故GT ＝26． …10分（23）解：（Ⅰ）将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入已知，分别得C 和l 的极坐标方程为C ：ρ＝4cos θ（0≤θ≤ π2)，l ：ρcos θ－2ρsin θ－2＝0． …4分（Ⅱ）依题意，l 经过半圆C 的圆心C (2，0)．设点B 的极角为α，则tan α＝ 1 2，进而求得cos α＝255…6分由C 的极坐标方程得|OB |＝4cos α＝855． …10分（24）解：（Ⅰ）若a ＝1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－2，3，－2≤x ≤1，2x ＋1，x ＞1．由f (x )的单调性及f (－3)＝f (2)＝5，得f (x )≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}．…5分（Ⅱ）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)x －1，x ≤－2，(1－a )x ＋3，－2＜x ＜ 1a ，(a ＋1)x ＋1，x ≥ 1a．当x ∈(－∞，－2]时，f (x )单调递减；当x ∈[ 1a，＋∞)时，f (x )单调递增，又f (x )的图象连续不断，所以f (x )≥2当且仅当f (－1)＝2a ＋1≥2，且f ( 1 a )＝ 1a＋2≥2，得a ≥ 1 2，故a 的最小值为 12． …10分。

【年度】2020唐山市高三摸底文数答案

【关键字】年度唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一．选择题：A卷：ACDBD CBCDA ACB卷：ACDCD CBCDA AB二．填空题：（13）（14）2 （15）1 （16）(，2]三．解答题：17．解：（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d（d≠0），则an＝a1＋(n－1)d．因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，化简得，a1d＝0，又因为d≠0，所以a1＝0，…3分又因为a4＝a1＋3d＝3，所以d＝1．所以an＝n－1．…6分（2）bn＝n·2n－1，…7分Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①则2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ．②①－②得，－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，…8分＝－n·2n …10分＝(1－n)·2n－1．所以，Tn＝(n－1)·2n＋1．…12分18．解：（1）甲＝(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；乙＝(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7；…4分（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为，二等品的概率为，故采用甲工艺生产该零件每天取得的成本：w甲＝300××30＋300××20＝7200元；…7分应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为，故采用乙工艺生产该零件每天取得的成本：w乙＝280××30＋280××20＝7000元．…10分因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的成本更高． (12)分19．解：（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B，∴CD ⊥平面PBD ，又因为PD 平面PBD ， ∴PD ⊥CD ． …5分（2）∵AD ⊥BD ， ∴PD ⊥BD ．又∵PD ⊥CD ，BD∩CD ＝D ， ∴PD ⊥平面BCD ． …8分在直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，所以PD ＝AD ＝，PB ＝PC ＝BC ＝2． S △ABC ＝2，S △PBC ＝，设A 点到平面PBC 的距离为d ，由VP-ABC ＝V A-PBC 得，13S △ABC ×PD ＝13S △PBC ×d ， ∴d ＝S △ABC ×PD S △PBC＝ 263．即A 点到平面PBC 的距离为 263． …12分20．解：（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y得，x 2－2kx －2m ＝0， ∆＝4k 2＋8m ，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， …2分因为AB 的中点在x ＝1上，所以x 1＋x 2＝2．即2k ＝2，所以k ＝1． …4分（2）O 到直线l 的距离d ＝|m |2，|CD |＝212－m 22， …5分所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22·1＋2m ， …6分因为|AB |＝|CD |,所以22·1＋2m ＝212－m 22，化简得m 2＋8m －20＝0，所以m ＝－10或m ＝2． …10分由⎩⎨⎧∆＞0，d ＜23得－ 12＜m ＜26．所以m ＝2，直线l 的方程为y ＝x ＋2． …12分 21．解：（1）f '(x )＝2(ln x ＋1)． …1分所以当x ∈(0， 1e)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(1e，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．所以x ＝1e 时，f (x )取得最小值f (1e )＝1－ 2e．…5分（2）x 2－x ＋1x＋2ln x －f (x )＝x (x －1)－x －1x －2(x －1)ln x＝(x －1)(x － 1x－2ln x )，…7分令g (x )＝x －1x －2ln x ，则g '(x )＝1＋1x 2－2x ＝(x －1)2x 2≥0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又因为g (1)＝0，所以当0＜x ＜1时，g (x )＜0；当x ＞1时，g (x )＞0， …10分所以(x －1)(x － 1x－2ln x )≥0，即f (x )≤x 2－x ＋1x＋2ln x ．…12分22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得，ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0．所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6．…5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得， t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋π4)|因为0≤α＜π，所以π4≤α＋π4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]． …10分23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|, 所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．…5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1，所以a 的取值范围是[1，＋∞）． …10分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

河北省唐山市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷含解析

河北省唐山市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =I （） A ．{2} B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-【答案】B 【解析】【分析】求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论. 【详解】由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<，所以，{}1,0A B ⋂=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题.2．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B I =( )A ．[12]-， B ．[1-C ．(1-D ．⎡⎣【答案】C 【解析】【分析】计算A ⎡=⎣，(]1,2B =-，再计算交集得到答案.【详解】{|A x y ⎡==⎣=，(]2{|},1012x x B x -=-+=≤，故1(A B -=I . 故选：C . 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.3．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( ) A ．1B ．－1C ．8lD ．－81【答案】B 【解析】【分析】根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可. 【详解】因为(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，故可得5n =，令0x =，故可得01a =，又因为125242a a a +++=L ，令1x =，则()501251243a a a a λ+=++++=L ，解得2λ=令1x =-，则()()5501251211a a a a -=-+-+-=-L . 故选：B. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.4．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )A ．2B ．3C ．3.5D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据表中数据，即可容易求得中位数. 【详解】由图表可知，种子发芽天数的中位数为343.52+=，故选：C. 【点睛】本题考查中位数的计算，属基础题. 5．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（） A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数，所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题. 6．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y = D ．x y =或1y =【答案】C 【解析】0,0x y >>，∴222x y xy +≥2x y = 时取等号.故“2,x =且1y = ”是“222x y xy +=的充分不必要条件.选C ．7．已知向量()0,2=r a ，()23,b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x=（）A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B【解析】【分析】由题意cos 3a b a bπ⋅=r r r r ，代入解方程即可得解. 【详解】由题意1cos 32a b a b π⋅===r r r r ，所以0x >，且2x =2x =.故选：B. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（） A．2B1 C．3- D1【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得易知2p c =，且222222222444p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解方程可得22223412a p b p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用222c e a =即可求解. 【详解】易知2p c =，且22222222222223441442a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧=⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩故有2223c e a==-1e ==故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题9．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（） A ．5 B ．522C ．52D ．54【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解. 【详解】由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z43(43)(1)1717,1222214952||442i i i i z i i z ----====-+∴=+=故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.10．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B 【解析】由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a ＜1，f(1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f′(x)＝2x －b ，所以g(x)＝e x ＋2x －b ，所以g′(x)＝e x ＋2＞0，所以g(x)在R 上单调递增，又g(0)＝1－b ＜0，g(1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.11．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π【答案】C 【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积. 【详解】最上面圆锥的母线长为2，底面周长为2π24π⨯=，侧面积为1224π42π2⨯=，下面圆锥的母线长为252π48π⨯=，侧面积为1258π85π2⨯=，没被挡住的部分面积为22π4π212π⨯-⨯=，中间圆柱的侧面积为2π214π⨯⨯=.故表面积为()854216π，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题. 12．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（） A 10 B ．3C ．3D ．4【答案】A 【解析】【分析】根据复数相等的特征，求出3a 和b ，再利用复数的模公式，即可得出结果. 【详解】因为3(21)ai b a i +=--，所以3,(21),b a a =⎧⎨--=⎩，解得3,31,b a =⎧⎨=⎩则|3|13a bi i +=+==故选：A. 【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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绝密★启用前河北省唐山市第一中学2020届高三年级上学期教学质量调研测试数学(文)试题(解析版)2019年10月卷Ⅰ（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集I R =，{}24M x x =|>，2|11N x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，如图所示：则图中阴影部分所表示的集合为（）A. {}|2x x <B. {}|21x x -<<C. {}|22x x -≤≤D. {}|12x x <≤ 【答案】D【解析】【分析】先确定阴影部分表示的集合运算是：U NM I ð，然后根据条件求解出N 和U M ð,最后根据交集运算得到结果.【详解】因为图中阴影部分表示的集合为：U N M I ð,又因为{}24M x x =|>,所以{|2M x x =<-或}2x >,所以{}U |22M x x =-≤≤ð, 又因为2|11N x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭,所以{}|13N x x =<≤, 所以{}U |12M x N x =<≤Ið.故选D.【点睛】本题考查集合的Venn 图表示以及补集和交集混合运算,难度较易.求解Venn 图所表示的集合时,先将Venn 图表示的集合运算写出来,然后再根据相应的集合和运算去求解结果.2.i 为虚数单位,则201611i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（） A. i -B. 1C. iD. -1【答案】B【解析】【分析】先计算11i i +-的结果,然后利用虚数单位i 的运算性质计算201611i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的结果. 【详解】因为()()()()11121112i i i i i i i i +++===--+, 因为41i =,所以()201650420164111i i i i +⎛⎫=== ⎪-⎝⎭. 故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和虚数单位i 的运算性质,难度较易.虚数单位i 的运算性质：43n i i -=,421n i -=-,41n i i -=-,41n i =（*n N ∈）.3.函数ln x y x=的图象大致为（） A. B. C. D.【答案】D。

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