高等数学第3章第1节函数极限的概念.

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1-3【精品】高等数学函数的极限

几何解释
( x0 , x0 )
任意给定的，作以A为中心平行于 x 轴的两条直线：y=A+ ε 和 y=A-ε，介于这两条直线之间是一横条区域. (表示不等式 f ( x) A ) 对于给定的 ε ，存在着点 x0 的一个去心δ邻域 U ( x0 , ， )
定理： lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x x
几何解释:
y
A
sin x x
y A
恒有 f ( x) A 成立，称A为函数f ( x)当x x0时的右极限, 记作
x x0 lim f ( x) A 或 f ( x0 ) A.
左右极限统称单侧极限.
定理函数左、右极限存在且相等是函数极限存在的充分必要条件.
lim f ( x) A f ( x0 ) f ( x0 ) A. x x0
单侧极限例：
y 1 x
y
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x) 1.
x 0
x0 x0
1
y x2 1
o
x
分x 0 和x 0 两种情况分别讨论
x , x 从左侧无限趋于 0 记作x x0
x 从右侧无限趋于 x0 , 记作x x0
1. 自变量趋于有限值时函数的极限
这个函数虽在x=1 处无定义，但从它的图形上可见，当点从1 的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1 时f(x)的极限.
2( x 2 1) 考察x 1时, 函数f ( x) 的变化趋势 x 1

2021考研数学：高等数学每章知识点汇总

2021考研数学：高等数学每章知识点汇总第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.会建立简单应用问题中的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。

4.掌握基本初等函数的性质及图形。

5.理解复合函数及分段函数的相关概念，了解反函数及隐函数的概念。

6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。

7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存有与左右极限间的关系。

8.掌握极限存有的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

9.掌握极限性质及四则运算法则。

10.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。

3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练使用微分中值定理证明简单命题。

2.熟练使用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。

3.了解函数图形的作图步骤。

了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。

4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。

第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。

2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。

4.掌握不定积分的换元积分法。

第六章：定积分的应用1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。

2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)及函数的平均值。

函数的极限

课程教案课程教案附页定理1：函数∕α∙)当Λ-→X0时极限存在的充要条件是左极限与右极限同时存在且相等，即Iim f(x) = Iiin f(x).-V→Λo-V→⅞例 8∙P12 例 4、5.2、自变量•、趋于无穷大时函数的极限(1)A→+∞定义11：设函数/(_¥)在区间(α+oo)(d>0)内有立义.如果当x→+∞时，对应的函数值/(X)能够无限趋近于某个常数A ,则称A是函数/(x)当x→+oo时的极限，记作Iinl f(x) = A,或者/(x) → A (X → +∞)..V→+M例 9.P12 例 6.(2) A → -∞定义12：设函数/(X)在区间(-oc,α)(α<O)内有定义.如果当A→-∞时，对应的函数值/Ct)能够无限趋近于某个常数A ,则称A是函数∕ω当x→-∞时的极限，记作 Iimf(x) = A,或者f(x) → A (A →-∞).Λ->-X例 9.P12 例 6.(3)A-→ X定义13：设函数/co当忖>"(α>o)时有上义.如果当A-→∞时，对应的函数值 /(X)能够无限趋近于某个常数A,则称A是函数/(X)当x→∞时的极限，记作 Iim f (x) = A t或者f(x)→ A (x→∞).X >00例 10.P13 例&定理2：函数f(x)当XToC时极限存在的充要条件是Iim f(x)与Iim f(x)同时存Λ→-X Λ→+X在且相等，即Iinl f(x) = Iim f(x)..v→-αo.v→÷αc∙*例 11.P13 例 9、10.第三节无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是极限过程中常见的两种变疑.一、无穷小量1、定义定义14：如果函数/(x)在X的某一变化过程中极限为0,则称/(x)为该过程中的无穷小量,简称无穷小.例 12.P14 例 1、2. 讲授法练习讲授法听讲思考、练习听讲IOminIOminIOmin3）函数/（x）是否是无穷小量与自变量兀的变化过程有关，例如因为Iim- = O,所以丄为当Λ →∞时的无穷小星而Iim丄=IH0,所以当xτl时，丄不再是无穷小X XTl X XM.因此在说函数∕α∙）是无穷小量时必须指明自变量X的变化过程.2、性质（1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量.（2）有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量.（3）常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量.（4）有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量.例 13.P14 例 3.3、无穷小量的比较定义15：设α, 0是同一变化过程中的两个无穷小量，且α≠0.（1）如果IimE = O,则称0是α的高阶无穷小，记作β = o（a）.a（2）如果IimE=C（C H O）,则称0与α是同阶无穷小•特别地，当C = I时，则称a0与α是等价无穷小，记作a〜P・例如P15熟记：当XTO时常见的等价无穷小P15.定理3： P15定理1.3例 14.P15 例 4.二、无穷大量定义 16： P16 定X 1.12IinV（X） = OC （无穷大量）例如，丄是当XTO时的无穷大，记作Iiml = ∞:X E X1是当XTI时的无穷大，记作Iim 1-∞:/是当Λ∙→+OC时的无穷大，记作Iim e x=+∞↑x→÷βInX是当x→0+时的无穷大，记作IimInX = -OO。

《高等数学》详细上册答案(一--七)

2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。

第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。

《高等数学》教学日历

《高等数学》教学日志
课程名称《高等数学》
使用班级学时数：６４学时
序
号
教学内容
教学时数
教学类型
备注
讲授
习题
实验
1
第一章函数与极限
第一节函数
2
讲练结合
2
第二节数列的极限
2
讲练结合
3
第三节函数的极限
2
讲练结合
4
第四节极限运算法则
2
讲练结合
5
第五节无穷小与无穷大
2
讲练结合
6
第六节函数的连续性
第一节微分方程的概念及可分离微分方程
2
讲2
讲练结合
24
第三节二阶常系数齐次线性微分方程
2
讲练结合
25
第四章习题讲练
2
讲练结合
26
第五章数学实验
第一节 Matlab简介及函数极限实验
2
27
第二节微分实验
2
讲练结合
28
第三节积分实验
2
29
第四节微分方程实验
2
14
第七节函数的微分及其应用
2
讲练结合
15
第二章习题讲练
2
讲练结合
16
第三章积分及其应用
第一节定积分----求总量的模型
2
讲练结合
17
第二节微元法
2
讲练结合
18
第三节微积分基本公式
2
讲练结合
19
第四节积分方法
2
讲练结合
20
第五节定积分的应用
2
讲练结合
21
第三章习题讲练

高等数学函数的概念及性质

注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsin u ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
19
机动目录上页下页返回结束
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2, )
取整函数当
y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
y
1
o
x
1
2 1o 1 2 3 4 x
22
机动目录上页下页返回结束
x2 , 1 x 0
例2. 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2 ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2 ( 0, 1] ,
ex ex

ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
x
13
机动目录上页下页返回结束
练习 1.1 题5. 51 : y xx 1x 1
定义域为x R,
Q f -x =-x -x-1-x+1 =-x x+1 x-1 =-f x, f x =x x-1 x+1为奇函数.
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
2
2
2
20
机动目录上页下页返回结束
1.1.5. 初等函数

高等数学第3章

f (x) 2 33 x
显然 x 0 时，f (x) 不存在；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) 3 x2 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加（如图3-1所示）。
图3-1
我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不可导点称为函数的尖点。
比较可得 f (x) 在 x 1 和 x 3 处，取得最大值 3 9 ，在 x 0 和 x 2
处，取得最小值0。
如果连续函数 f (x) 在一个开区间（a ，b）内有惟一的一个极值时，那么这个极大（或极小）值就是函数 f (x)在该区间内最大（或最小）值（如图3-3，3-4所示）。
图3-3
（3）当 x x0 与 x x0 时，f (x) 的符号保持不变，那么函数f (x) 在 x0 处没有极值。
于是，若函数 f (x) 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则可以按下列步骤来求 f (x)在该区间内的极值点和相应的极值：
（1）写出函数的定义域；（2）求导数 f (x) ，并找出定义域内的全部驻点和尖点；（3）考察 f (x) 的符号在每个驻点或尖点的左、右邻域的情形，以确定该点是否为极值点。为方便起见，可列表进行讨论；（4）求出各极值点的函数值，得函数 f (x) 的全部极值。
f
(
x)
1
2
x x
2
显然 x 0 时，f (0) 0 ；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) ln(1 x2 ) 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加。
例2 讨论函数 f (x) 3 x2 单调性。解 f (x) 3 x2 的定义域为 ( ， )，

《高等数学》函数考点精讲与例题解析

《高等数学》函数考点精讲与例题解析第一部分函数极限连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节函数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。

【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。

二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。

例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。

（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。

（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。

【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。

如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。

三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。

【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。

特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。

高等数学第一节函数的概念

3
2.5
y∈[0，π]
2
arccos( x) arccos x
x [1,1].
1.5
π
1
0.5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
1
-0.5
-1
(4)单调性: 是减函数。
yx
o
4
x
y=cosx,x∈[0，π]
y∈[-1，1]
反正切函数y arctan x，定义域为R，值域为(

注意：
复合函数都必须要有内层和外层函数。
2、简单函数：
简单函数即基本初等函数或基本初等函数的四则运算构成的函数。
注意：
复合函数都可以分解为简单函数。
例题1：指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的
1、y = cosx
2、y = e
2
3、y = 2 + e
x
sin
1
x
x 2 -1
4、y = arctan 2
2
3
x
-1
-1.5

y arcsin x, x [1,1], y [ , ]
2
2 2
其图象关于坐标原点对称，
-2
arcsin( x) arcsin x
x [1,1].
(4)单调性:
是增函数。
yx
反余弦函数 y arccos x，定义域为[1,1]，值域为[0, ]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
是y cos x的反函数，在定义域上单调递减，非奇非偶，无周期

高等数学的教学课件1-3函数的极限

自变量无限变化的过程有如下几种形式：
一、x 无限增大，记为x 1 x 0且 x 无限增大，记为x 2 x 0且 x 无限增大，记为x
二、x无限接近某定值 x0，记为x x0 1 x x0且x x0，记为x x0 2 x x0且x x0，记为x x0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
x0
x0
f (0 ) f (0 ) 1, lim f ( x) 1. x0
例13
x 1, x 0 假设f ( x) ax b, 0 x 1
2 x, x 1
试确定a、b之值，使得lim f ( x)及 lim f ( x)都存在
x0
x1
解 f (0 ) lim (x 1) 0 1 1.
x
2
证
任给 0,
要使 arctan x arctan x ,
22
即 arctanx ,
2
故只需 x tan( ).
2
取G tan( )，
2
当x G时,
就有 arctan x , 证毕。
2
lim arctanx
x
2
lim arctanx
x
2
典型极限
例12
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ,使得对于适合不等式0 x x0 的一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x)当x x0 时的极限,记作
例5
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,

《高等数学》(1-3章)教学教案(全)

高等数学教学教案第1章函数、极限与连续授课序号01(是一个给定的非空数集.若对任意的授课序号02的左邻域有定义，如果自变量为当0x x →时函数授课序号032n n ++)(1,2,n x =授课序号04授课序号05授课序号06高等数学教学教案第2章导数与微分授课序号01授课序号02授课序号03授课序号04高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01授课序号02授课序号03!n +!n +()()!n x n +!n +!n +[cos (x θ+=21)2!!x n α-++)(1(1)!n n αθ-++()nx R x +授课序号04（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值．四．例题讲解例1.讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间．例2.判断函数3()=f x x 的单调性.例3.设3,0,()arctan ,0.x x f x x x x ⎧-<=⎨≥⎩确定()f x 的单调区间.例4.证明：当0x >时，e 1x x >+．例5.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例6.求函数22()ln f x x x =-的极值．例7.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）．图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？例10.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

高等数学第七版上册教材目录

高等数学第七版上册教材目录第一章函数与极限1.1 实数集及其表示方法1.1.1 实数及其性质1.1.2 实数集合及其表示方法1.2 函数的概念及表示方法1.2.1 函数的定义与表示方法1.2.2 函数的性质与运算1.3 极限的概念1.3.1 数列极限的定义1.3.2 函数极限的定义1.3.3 极限的运算法则1.3.4 极限存在准则1.4 极限的性质1.4.1 极限存在性的判定1.4.2 极限唯一性的证明1.4.3 极限与基本四则运算的关系1.5 无穷小与无穷大1.5.1 无穷小的定义与性质1.5.2 无穷大的定义与性质1.5.3 极限与无穷小的关系1.5.4 极限与无穷大的关系1.6 函数的连续性1.6.1 连续函数的概念与性质1.6.2 连续函数的运算与复合函数的连续性 1.6.3 分段连续函数的连续性1.7 一元函数的微分学1.7.1 导数的概念与几何意义1.7.2 导数的计算1.7.3 导数的运算法则1.7.4 高阶导数与高阶微分1.7.5 微分与近似计算1.8 函数的应用1.8.1 函数的导数与变化率1.8.2 回顾平均值定理1.8.3 罗尔中值定理1.8.4 拉格朗日中值定理1.8.5 函数的单调性与单调函数的性质第二章导数与微分2.1 基本初等函数的导数2.1.1 幂函数的导数2.1.2 指数函数的导数2.1.3 对数函数的导数2.1.4 三角函数的导数2.1.5 反三角函数的导数2.1.6 双曲函数的导数2.2 高阶导数与高阶微分2.2.1 高阶导数的计算2.2.2 高阶微分的计算2.2.3 高阶导数与高阶微分的关系2.3 隐函数与参数方程的导数2.3.1 隐函数的导数2.3.2 参数方程的导数2.4 微分中值定理2.4.1 极值定理2.4.2 魏尔斯特拉斯中值定理2.4.3 柯西中值定理2.5 导数的应用2.5.1 泰勒公式2.5.2 麦克劳林公式2.5.3 应用一—函数近似计算2.5.4 应用二—函数图形的描绘2.5.5 应用三—曲线运动的问题第三章微分学中值定理与高阶导数的应用 3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔中值定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 泰勒中值定理3.2 凸函数与曲率3.2.1 凸函数的概念与性质3.2.2 曲率与凹凸性3.3 最值与单调性3.3.1 最值问题3.3.2 单调性与最值的关系3.4 弧长与曲线的表达式3.4.1 弧长的定义与计算3.4.2 曲线的参数方程与弧长 3.5 平面曲线的切线与法线3.5.1 曲线的切线与法线3.5.2 弧微分与切线方程3.6 曲率与曲率半径3.6.1 曲率的定义与计算3.6.2 曲率与切线、法线的关系 3.6.3 曲率半径的概念与计算 3.7 高阶导数的应用3.7.1 正定矩阵及其判别3.7.2 一元函数的最值问题3.7.3 二元函数的最值问题3.7.4 条件极值问题与拉格朗日乘数法 3.7.5 重要定理与其应用第四章不定积分4.1 不定积分的概念4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.1.3 一些常用积分公式4.2 基本积分公式与运算法则4.2.1 幂函数与三角函数的积分4.2.2 指数函数与对数函数的积分4.2.3 反三角函数的积分4.2.4 一些特殊函数的积分4.3 定积分的概念与性质4.3.1 定积分的定义4.3.2 定积分的性质4.4 定积分的计算4.4.1 定积分的基本计算方法 4.4.2 特殊函数的定积分4.4.3 无穷区间上的定积分 4.5 反常积分4.5.1 反常积分的定义4.5.2 收敛与发散性的判定 4.5.3 反常积分的计算方法 4.5.4 收敛反常积分的性质 4.5.5 瑕积分及其收敛性第五章定积分的应用5.1 定积分的应用5.1.1 曲线长度5.1.2 曲线面积5.1.3 旋转体的体积5.2 物理应用5.2.1 质点沿直线的运动5.2.2 质点的曲线运动5.2.3 质点的匀加速运动5.3 泰勒公式的应用5.3.1 函数近似计算的误差估计 5.3.2 级数的收敛域5.3.3 常微分方程的初值问题 5.3.4 二阶常微分方程的应用。

高等数学(第四版) 上、下册(同济大学天津大学等编)1_1 函数-PPT精选文档

⑶半开区间 a,b x | a x b，a,b x | a x b ⑷无限区间 a, x | x a， ,b x | a x b，
全体实数集 R 可记作, ．
[a,b]
(a,b)
a (a) b x
O a (b) b x
i 只日光灯．（2）描述法用一个命题（或一句话）来描述集
合中所有元素的属性，以表示集合的方法为描述法．
例如：上例 A 可表示为 A x x是小于10的正奇数；
C 是方程 x2 4x 3 0的解集：
列举法：C 1,3；描述法：C x x2 4x 3 0 .
如果 a 是集合 A 的元素，记为a A；如果 b 不是集合 A 的元素，记b A为 (或b A)．
2．集合的表示法（1）列举法将集合中的元素列举出来的表示法．例如：小于 10 的正奇数所组成的集合
A 1,3,5,7,9；如果一个教室里有五只日光灯所组成的集合 B b1,b2,b3,b4,b5．其中bi i 1, 2,3, 4,5分别表示第
数集字母的右上角标上“+”时，表示该数集内排除 0 与负数的集合，全体实数集合 R, R为排除数 0 的实数集， R 表示全体正实数集．全体整数集为 Z ，全体有理数的集合为Q ．
（4）空集不含任何元素的集合称为空集，记作．
例如： x x R且x2 2 0 是空集．
（二）区间与邻域
的元素，称A是B的子集．记为AB或BA
（2）相等子集若集合A与集合B含有相同的元素，
称A与B相等，记为AB或B A
（3）真子集若AB且AB，称A是B的真子集，记为AÖ B

2013年考研数学复习指导--求函数的极限

求函数的极限一．函数极限的概念1.函数极限的定义定义1：设函数)(x f y =在0x 的某个去心邻域内有定义,若对0>∀ε,0>∃δ，当δ<-<00x x 时,恒有ε<-a x f )(，则称)(x f y =在0x x →的极限为a ，记为a x f x x =→)(lim 0.(直观地说a x f x x =→)(lim 0：当x 无限趋近0x 时,函数)(x f 无限趋近常数a .)定义2：设函数)(x f y =在0>>E x 内有定义,若对0>∀ε,0>∃M ，使得当M x >时,恒有ε<-a x f )(，则称)(x f y =在∞→x 的极限为a ，记为a x f x =∞→)(lim .2．左、右极限的定义右极限：⇔==+→+a x f x f x x )(lim )(000,0>∃>∀δε当δ<-<00x x 时,恒有ε<-a x f )(. 左极限：⇔==-→-a x f x f x x )(lim )(000>∀ε,0>∃δ当00<-<-x x δ时,恒有ε<-a x f )(.⇔=+∞→a x f x )(lim 0>∀ε,0>∃M ,当M x >时,恒有ε<-a x f )(. ⇔=-∞→a x f x )(lim 0>∀ε,0>∃M ,当M x -<时,恒有ε<-a x f )(.3．极限存在的充要条件:a x f x x =→)(lim 0⇔=+→)(lim 00x f x x a x f x x =-→)(lim 0a x f x =∞→)(lim ⇔=+∞→)(lim x f x a x f x =-∞→)(lim .例1.（1）xx e ∞→lim ； x x e 10lim →； 111lim -→x x e；（2）,ln lim 00x x +→ x x ln lim +∞→；（3）x x sin lim ∞→; x x 1sinlim 0→； ∞=→x x 1lim 0；（4）x x arctan lim ∞→；x x tan lim 2π→.二．求极限的方法1．极限的四则运算法则:设)(lim 0x f x x →和)(lim 0x g x x →都存在，则(1）=±→))()((lim 0x g x f x x ±→)(lim 0x f x x )(lim 0x g x x →；(2）=→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →；(3）)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=（0)(lim 0≠→x g x x ）.例2 (1))1224(lim 22---+++∞→x x x x x =122436lim22--+++++∞→x x x x x x=312124136lim22=--+++++∞→xx x x xx .(2)x x x x x x cos sin 2cos lim 20+→ =x x x x x x x cos sin 2lim cos lim 020⋅+⋅→→=31cos sin 21lim0=+⋅→xxx x .（3）x x x x 220tan cos sin 1lim -+→ xx x x x x cos sin 11cos sin 1lim 2220++⋅-+=→ 220cos sin 1lim 21x x x x -+=→]sin cos 1[lim 212220xx x x x +-=→.43cos 1lim 212120=-+=→x x x （4）)sin 12(lim 41xxee xx x +++→. 解)sin 12(lim 4100x x e e x x x ++++→=)sin 12(lim 4100xx e e x xx ++++→=x xx e e 410012lim 1++++→=x x xx x e e ee 444100/)1(/)2(lim 1++++→=1 =+++-→)sin 12(lim 4100x x ee xx x )sin 12(lim 4100xxe e xxx -++-→=1. 所以 1)sin 12(lim 410=+++→xxee xx x .2.利用等价无穷小求极限.（1）无穷小的定义:若0)(lim 0=→x x x α，则称)(x α为0x x →时的无穷小.（2）无穷小的运算.（3）无穷小的比较:若0)(lim 0=→x x x α, 0)(lim 0=→x x x β且l x x x x =→)()(limβα 若0≠l ，则称)(x α与)(x β是同阶无穷小；若1=l ，则称)(x α与)(x β是等价无穷小，记为)(~)(x x βα；若0=l ，则称)(x α是)(x β的高阶无穷小，记为))(()(x o x βα=.（4）常用等价无穷小(a)当0→x 时，x x ~sin ； 221~cos 1x x -;x x ~)1ln(+；x x ~arcsin ； x x ~arctan ; x e x ~1-；a x a x ln ~1-；x x αα~1)1(-+.（b ）)1)((1)(~)(ln →-x f x f x f .（5）利用等价无穷小求极限当0x x →时，)(~)(x x αα'，)(~)(x x ββ'，则=→)()()()(limx x g x x f x x βα)()()()(lim 0x x g x x f x x βα''→.例3(1)30sin tan limx xx x -→30)1cos 1(sin limxx x x -=→ x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-=→20cos 1lim x x x -=→2121lim 220==→x xx .(2))1sin 1(cot lim 0x x x x -→ xx xx x x x sin sin sin cos lim 0-⋅=→30sin lim x x x x -=→203cos 1lim xx x -=→616sin lim 0==→x x x .例4．当+→0x 时，与x 等价的无穷小量是（A ）x e -1;（B ）xx-+11ln;（C ）11-+x ;（D ）x cos 1-.解（A ）x ex--~1 （B ）x x -+11lnxxx x x -+=--+1111~x x x ~~+ （C ）x x 21~11-+ （D ） x x 21~cos 1- 答案（B ）例5.设dt t x f x⎰-=cos 102sin )(，65)(65x x x g +=，则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的（）. (A)低阶无穷小; (B)高阶无穷小; (C)等价无穷小; (D)同阶但不等价.解 )()(lim 0x g x f x →65sin lim65cos 1020x x dtt xx +=⎰-→5420sin ])cos 1[sin(lim xx xx x +-=→ 4320)cos 1(lim x x x x +-=→041lim 4340=+=→x x xx . 答案)(B 例6.设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，求正整数n .解 n x x x x x sin )1ln()cos 1(lim 20⋅+-→122021lim +→=n x xx x 0lim 2130==-→n x x 303<⇒>-⇒n n . 1sin lim 2-→x nx e x x 210lim xx n x +→=0lim 10==-→n x x 101>⇒>-⇒n n ， 2=∴n .例7．())11sin 11(lim 1x x x x --+→πππx x x x x πππππsin )1(sin )1(lim 11---+=→tt t t t πππππsin sin lim10-+=→ 220sin lim 1t t t t ππππ-+=→t t t 202cos lim 1πππππ-+=→ πππππ12sin lim 1220=+=→t t .3.利用洛必达法则求未定式极限的方法法则I():设函数)(),(x g x f 满足条件: ①()()0lim ,0lim 0==→→x g x f x x x x②)(),(x g x f 在0x 的去心邻域内可导,且0)(≠'x g ; ③()()x g x f x x ''lim→存在(或∞),则()()()()x g x f x g x f x x x x ''lim lim 00→→=.法则Ⅱ⎪⎭⎫⎝⎛∞∞：设函数()()x g x f ,满足条件 ①()()∞=∞=→→x g x f x x x x 0lim ,lim ;②()()x g x f ,在0x 的去心邻域内可导，且()0'≠x g ; ③()()x g x f x x ''lim→存在（或∞），则()()()()x g x f x g x f x x x x ''limlim 00→→=.例8.(1) )sin sin cos 1(lim 220xx x x e x x x +-+→x x e x xx 220sin cos 1lim 1-++=→201lim 1xe x x x -++=→x e xx 21lim 10-+=→x x x -+=→0lim 211=21.（2）x x x x x 40sin )]tan 1ln()[cos 1(lim +--→202)tan 1ln(lim xx x x +-=→x x xx 4tan 1sec 1lim 20+-=→ x x x x 4sec tan 1lim 20-+=→414tan lim 4120=-=→x x .（3) )1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→=23)1cos sin 3(lim 210=⋅+→x x x x x .4．其它未定式：∞⋅0，∞-∞，00，0∞，∞1)(ln )()())((x f x g x g e x f =）例9.（1）xx x e x sin 120)(lim +→)}ln(sin 1lim exp{20xx e x x +=→}1lim exp{20x e x x x -+=→ 320}1lim 1exp{e xe x x =-+=→.（2）xx xxx sin 1)321(lim ++∞→++}sin )321ln(lim exp{xx x x x +++=+∞→ }/)sin (/)321ln(lim exp{xx x xx x x +++=+∞→})321ln(limexp{x x x x ++=+∞→ 3}3213ln 32ln 2lim exp{=+++=+∞→x x x x x .（3）))}ln 1(ln(ln 1lim exp{)}1ln(ln 1lim exp{)1(lim ln 1ln 1x xx e x x x x x x xx x +∞→+∞→+∞→=-=-}1exp{}ln lim exp{}ln ln )ln(ln lim exp{-=-=-=+∞→+∞→ttt x x x t x综述:求极限的问题,主要是求未定型的极限,而它们都可以化为00型或∞∞型： )a 先化简（代数变形、等价无穷小、代换、非零极限因子）,最后化成简单函数的00或∞∞; )b 用分子（或分母）同除(或提取)无穷小或无穷大使分母极限存在且非零，再用四则运算; )c 用洛必达法则.三．极限值已知求其中的未知常数例10.(1)83lim2=-++→a x bbx x a x ,求b a ,的值. 解：0)3(lim 2=++→b bx x ax 032=++⇒b ba a .b a bx a x +=+→212lim82=+⇒b a⎩⎨⎧=+=++82032b a b ab a ⎩⎨⎧-==⇒46b a 或⎩⎨⎧=-=164b a .验证这二组数据都符合条件.(2)设当0→x 时,)1(2++-bx ax e x是比2x 高阶的无穷小,求b a ,的值.解根据题意 0)1(lim 220=++-→xbx ax e x x =++-→220)1(lim x bx ax e x x x bax e x x 22lim 0--→有0)2(lim 0=--→b ax e xx 1=⇒b .x axe x x 221lim 0--∴→a a x e x x -=--=→21]21[lim 0. 从而有021=-a ，所以21=a .（3）当0→x 时，ax x x f sin )(-=与)1ln()(2bx x x g -=是等价无穷小，则（A ）61,1-==b a （B ）61,1==b a （C ）61,1-=-=b a （D ）61,1=-=b a解：由于ax x x f sin )(-=与)1ln()(2bx x x g -=为等价无穷小，则有)()(lim 0x g x f x →)1ln(sin lim 20bx x ax x x --=→)(sin lim 20bx x axx x --=→203cos 1lim bx ax a x --=→ 故有0cos 1lim 0=-→ax a x , 所以1=a .)()(lim 0x g x f x →bbx x bx x x x 6132/lim 3cos 1lim 22020-=-=--=→→，有161=-b 得61-=b .高等数学(同济大学第六版)线性代数(同济大学第五版)概率论与数理统计(浙江大学第四版)。

高等数学陆冬梅教材答案

高等数学陆冬梅教材答案在这里给出《高等数学陆冬梅教材答案》这一题目下的文章：高等数学陆冬梅教材答案第一章：函数与极限1. 函数概念及性质2. 极限的概念与性质3. 函数的连续性与间断点4. 无穷小量与无穷大量5. 极限运算法则第二章：导数与微分1. 导数的定义与性质2. 基本导数公式与常见函数的导数3. 高阶导数与导数的应用4. 隐函数与参数方程的导数5. 微分学的基本定理第三章：微分中值定理与导函数的应用1. 罗尔中值定理2. 拉格朗日中值定理3. 柯西中值定理4. 导函数的应用5. 泰勒公式及其应用第四章：定积分1. 定积分的概念与性质2. 定积分的运算法则3. 牛顿—莱布尼兹公式4. 反常积分5. 定积分的应用第五章：不定积分1. 不定积分的概念与性质2. 基本积分公式与常见函数的积分3. 换元积分法4. 分部积分法5. 积分表格与特殊函数的不定积分第六章：定积分的应用1. 曲线长度与曲面面积2. 平面图形的面积3. 物理学中的定积分应用4. 统计学中的定积分应用5. 常微分方程中的定积分应用第七章：多元函数微分学1. 二元函数及其极限2. 偏导数与全微分3. 多元复合函数的求导法则4. 隐函数的导数与全微分5. 二元函数的极值第八章：多元函数积分学1. 二重积分2. 三重积分3. 重积分的计算方法4. 曲线与曲面的面积5. 广义积分第九章：无穷级数1. 无穷级数的概念与性质2. 收敛级数的审敛法3. 幂级数与函数展开4. 傅里叶级数的概念与性质5. 应用级数解决实际问题第十章：数列与函数项级数1. 数列极限与收敛性2. 函数项级数的收敛性3. 正项级数的性质4. 广义积分判别法5. 常微分方程中的级数解法第十一章：向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念与运算2. 点、直线与平面的向量方程3. 空间中的直线与平面4. 点、直线与平面的距离公式5. 点、直线与平面的交点与夹角第十二章：微分方程1. 基本概念与初等解法2. 一阶微分方程与二阶线性微分方程3. 常系数线性微分方程4. 高阶线性微分方程5. 微分方程的应用通过以上的小节概述，我们可以看出《高等数学陆冬梅教材答案》是一本详尽解答高等数学题目的教材。