第八章 Z变换离散时间系统的Z域分析(2)

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青岛大学信号与系统第八章离散时间系统的z域分析

则
Z [an x(n)] X ( z ) a
z , Rx1 a Rx2
特别地 Z [(1)n x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
例：Z
[cos(0n)u(n)]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
, z 1
Z
[ n cos(0n)u(n)]
z
(z
cos0 )
2
2
nu(n)
z
d dz
z
z 1
(z
z 1)2
n2u(n)
z
d dz
(z
z 1)2
z(z 1) (z 1)3
X (z) 1 [ z z(z 1)] z2 2 (z 1)2 (z 1)3 (z 1)3
, z 1
（四）序列指数加权（ z 域尺度变换）
若 Z [x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
X (z) Z [x(nT )] x(nT )zn n
2T 0 T 3T
t
L [xs (t)] z esT Z [x(nT )]
z
esT
r eT
T 2
s
z re j s j
T—— 抽样间隔，
s
2
T
——
抽样角频率
z平面和 s平面的映射关系：
1. s平面原点 ( 0, 0) j
x(1) (n)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1)
x(0) (n 1)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(1) (n) x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(0) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(2) (n) x(1) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(0) (n 2) x(1) (n 1)

Z变换离散时间系统的Z域分析

| x[n] | M
n1
z 1
显然lim X (z) x[0]
z
学习材料
22
§8.2 Z变换及其收敛域
终值定理：假设n<0，xn]=0,则序列的终值为
lim x[n] lim{( z 1)X (z)}
n
z1
证明：利用单边Z 变换时移性质，有：
Z{x[n 1]} x[n 1]zn zX (z) zx[0] n0
注：交集 R1 一R2般小于R1或R2。但有时会扩大，如
零点与极点相消时。
学习材料
15
§8.2 Z变换及其收敛域
2).时域平移(双边信号〕
x[n] X (z), ROC Rz x[n n0 ] zn0 X (z), ROC Rz ,
证明：依据双边Z变换的定义式，有
Z[x[n n0 ]} x[n n0 ]zn zn0 x[k]zk
X (z) x[n]r ne jn DTFT{x[n]r n} n
DTFT{x[n] | z |n}
即x[n] | z |n 是收敛的
假设 x[n] | z |n x[n] n , n由0 .
| z |n n | z |
即，右边函数时收敛域为| z|>α的圆外地域。
其它信号依学习此材料类推…。
z
,
n0
z 1
极点z1 1,
1
Re
∴收敛域为 |z|>1 的单位圆以外。
ROC | z | a
例8-2.求 x[n] anu的[nz变1换] 。xn]是一个从-1到-∞的左
边序列。
解：
X (z) x[n]zn anu[n 1]zn
n
n
1

第八章-Z变换与离散系统z域分析

第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。

2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。

♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。

信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析

Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤（1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)；（2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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离散时间系统的Z域分析

第八章 Z 变换、离散时间系统的Z 域分析Z 变换的定义和收敛典型信号的z 变换Z 变换的性质求Z 逆变换系统函数H (z )幂级数展开部分分式法围线积分法定义由零极点决定系统的时域特由零极点决定系统的频域特由零极点决定系统的稳定性例题 •例题1：求z 变换•例题2：求逆变换•例题3：求系统的响应•例题4：求系统函数及频率响应等•例题5：零极点，初值定理例8-1利用性质求序列的z 变换方法一：利用典型序列的z 变换及线性性质求解方法二：利用z 变换时移性质直接求解若则 ()()()n u n n x 2-=()()[]()()[]()()1z 12312122222>--=---=-=-z z z z z z z n u n nu Z n u n Z ()[]()z X n x Z =()()[]()()km k n n z k x z z X z n u m n x Z ---=--∑+=-1方法三把原序列如下表示所以例8-2，求其逆变换。

方法一：因为X (z )不是真分式，首先把X (z )写成多项式与真分式两相之和的形式，即其中 ()()[]()z X z m n u m n x Z n -=--()()[]()()km k n n z k x z z X z n u m n x Z --=∑-=+10()()[]()z X z m n u m n x Z n =++()()()()()()()()()()()()()()()时，二者才相同。

，为有始序列只有当，而不是的左移序列是相同；为因果序列时，二者才，只有当而不是的右移序列是由上式可见，0=<+++---n x m n n x n u m n x m n u m n x n u n x n x n u m n x m n u m n x n u n x ()()[]()()1 123 )2()1(122222222>--=-+-+-=-∴---z z z z z z z z z z z n u n Z ()()()()()()12222-----=-n n n u n n u n δδ()()[]()()1 12321222121>--=--+-=---z z z z z z z n u n Z ()21z 616511211>+-+=---z z z z X ()()() 616561611121+--+=+=z z z z F z Q z X () 31-z A 21-z A 6165616112121+=+--=z z z z F则所以方法二观察X (z )的分子多项式的根，其中含有一个零点为z=0 ，式中则所以原序列为两种方法求逆z 变换，其结果完全一致。

信号与系统第8章离散时间系统的z域分析

零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用

第八章z变换、离散时间系统的z域分析

第八章z变换、离散时间系统的z域分析§8.1 引言§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换§8.3 z变换的收敛域§8.4 逆z变换§8.5 z变换的基本性质§8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系§8.7 用z变换解差分方程§8.8 离散系统的系统函数习题§8.1 引言引言 z变换的导出对z变换式的理解一．引言求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； z变换的历史可是追溯到18世纪； 20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展；70年代引入大学课程；今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问题。

本章主要讨论：拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用z变换解差分方程；利用z平面零极点的分布研究系统的特性。

说明§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换 z变换的定义单位样值函数单位阶跃序列斜变序列指数序列正弦与余弦序列 z变换的定义五．正弦与余弦序列§8.3 z变换的收敛域收敛域的定义两种判定法讨论几种情况§8.4 逆z变换部分分式展开法幂级数展开法围线积分法――留数法推导推导应用柯西定理例8-4-3 例8-4-4 收敛域与原函数的对应§8.5 z变换的基本性质线性位移性序列线性加权序列指数加权初值定理终值定理时域卷积定理 z域卷积定理同理二．位移性证明双边z变换的位移性整理为例题§8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系 z平面与s平面的映射关系 z变换与拉式变换表达式之对应一．z平面与s平面的映射关系几种情况（3）W 0，s平面实轴； q 0， z平面正实轴；二．z变换与拉式变换表达式之对应容易求得它的拉式变换为注意跳变值例8-6-1 例8-6-2 可得到§8.7 用z变换解差分方程序言应用z变换求解差分方程步骤差分方程响应y n 的起始点确定差分方程解的验证序言描述离散时间系统的数学模型为差分方程。

Z变换和离散时间系统的Z域分析

Z[x(n)]
z z 1
z2
z 1
z2
z 1
z2
,
z
1
33
3. Z域尺度变换(乘以指数序列)
如果 Z [x(n) ]X (z),R xzR x，则
Z [a nx (n ) ]X (z); a
aR x za R x
证明： Z[a n x(n)] a n x(n) z n
n
x(n)( z )n X ( z ) ;
25
（2）部分分式法
X(z)a0 b 0 a 1 b z 1z b a r k1 z 1z r k 1 1 br a zkrzk
只有一阶极点
k r
A0
b0 a0
X(z)A0
k
Amz
m1zpm
kr A00
X(z) mk11Apm mz1
X (z)
Am 是 z 在 Pm 处的留数
23
例 X (z) z32z21 (z1 ) x(n)? Z(z 1 )z(0.5)
解 z1 x(n) 必然是因果序列，右边序列
x(n) Res[X(z)zn1]zzm
n
z3 2z2 1 Resz(z1)(z0.5)
zn1 zzm
n2, z11, z2 0.5
n0, z11, z2 0.5, z3,4 0
rm
(m 0 z 0, )
(m 0, z 0)
1
(3) ZT[(n1)] (n1)zn (n1)zn
n
n0
z10z
(0z)
15
Z[u T (n ) ]n 0 u (n )z n 1 1 z 1 z z1 (z 1 )
Z[n T (n u ) ]n 0n(n u )z n (1 1 z 1 )2 (z z1 )2

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分

（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
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台
于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0

信号与系统第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析

sin(0n)u(n)
ZT
1
z1 sin 0 2z1 cos0
z
2
z 1
由于z变换的定义式。是一个无限项求和式，这就有和是否存在的问题。由上面常用信号的z变换的求解可以知道，其z变换能够用一个封闭的式子表示，是有条件的，这个条件就是在此域内z变换存在，此域就是z变换的收敛域。而序列z变换的收敛域，与序列的形态有关。
z za
j Im{z}
j Im{z}
za
a Re{z}
a Re{z}
例如：已知序列 x(n) a n , a 1 ，试求z变换X(z)。
解：

1

X (z) x(n)z n an z n an z n
n
n
n0
其中
1 an z n
n

z z a1
当
z a1
j Im{z}

anzn
z
n0
za
当
所以
z
z
X (z) z a z a1
z a
a z a1
a 1 a Re{z}
例如：已知序列
x(n)

[(1)n

(
1 )
n
]u(n)
23
，试求z变换X(z)。
解：
X (z) x(n)z n ( 1 )n z n (1)n z n
1 1 az1
z za
z a
如果指数序列是n<0时的单边序列，其的z变换为

1
Z anu(n 1) anu(n 1) z n an z n

信号与系统第八章_离散时间系统的z域分析2(青大)

z =1
∫
X (e jω )e jnω d ω
1 π x(n) = IDTFT[ X (e )] = X (e jω )e jnωdω 2π ∫−π
X (e jω ) = X (e jω ) e jϕ(ω)
X (e jω ) ——序列 x(n)的幅度频谱序列
以 2π为周期的周期函数
ϕ(ω) ——序列 x(n)的相位频谱序列
⇒ h(n) 等幅，系统临界稳定；等幅，系统临界稳定；
（3）有极点在单位圆外，或单位圆上有二阶或二阶以上极点有极点在单位圆外，
⇒ h(n) 增长，系统不稳定。增长，系统不稳定。
例：判断系统的因果性和稳定性。系统的因果性和稳定性。
z , z > 0.5 （1） H ( z ) = z − 0.5
例1：求 x(n) = u (n) − u (n − 5) 的DTFT，并画出幅度频谱。，并画出幅度频谱。解：X (e ) = DTFT[x(n)] = ∑e
jω n=0 4 − jnω
− j 5ω
1− e = e− j 2ω = ω 1− e− jω sin( )
5
sin(
5ω ) 2 2
5ω sin( ) jω 2 X (e ) = ω sin( ) 2
ω
1 ( ) 4
xs (t)
T =1
0
x(n)
4
−4
t
1
F [ xs (t )] = DTFT[x(n)]
1 4
⋯
4
−2π
−π − ω c
ωc
π
2π
⋯ω
−4
0
n
（三）DTFT的基本性质的基本性质
（1）线性（2）时移（3）频移

第8章Z变换及其离散时间系统的Z域分析

第8章Z变换及其离散时间系统的Z域分析第8章Z变换及其离散时间系统的Z域分析学习⽬标了解z变换与拉⽒变换之间的联系掌握不同序列收敛域的特点熟练掌握基本信号的z变换及其基本性质熟练利⽤基本信号的z变换和基本性质求解信号的变换式熟练掌握求逆变换的部分分式展开法、长除法掌握周期信号的z变换及其逆变换的求解⽅法理解并掌握系统函数的概念及其4种求解⽅法掌握利⽤系统函数零极点分析系统的稳定性掌握系统函数与系统框图之间的对应关系重点定义式的透彻理解基本性质的灵活应⽤周期序列的z变换由系统函数零极点分析系统特性系统函数、差分⽅程、冲激响应及系统框图之间的内在联系难点周期序列的z变换由系统函数零极点分析系统特性H z画出系统的仿真框图和信号流图根据()8.1 Z 变换的定义8.1.1 Z 变换的基本定义1. Z 变换的定义对于给定的离散时间信号，Z 变换定义：()nn F z f n z ∞-=-∞=∑（）简记为：[]()[()]Z+-+-++++（）（）（）（）（）当0n <时，它是 z 的正幂级数；⽽当0n >时，它是 z 的负幂级数。

牢记这个特征，对今后的学习是很有帮助的。

对⼀些简单的序列，我们可以利⽤这个特征直接写出其变换式。

例题：()2(3)3(2)4(1)3()2(2)f n n n n n n δδδδδ=+++++++- 则该序列的Z 变换式为322()[()]()23432nn F z Z f n f n z z z z z ∞-=-∞-===++++∑由此也可以看到， Z 变换是由各个样点序列值的Z 变换之和组成，每个样点的序列值都对应⼀个 Z 变换。

如果()f n 是右边序列，⼜称为因果序列。

则：单边Z 变换：0()()nn F z f n z∞-==∑，简记为：()()Zf n F z ←?→Z 变换和拉普拉斯变换之间的关系，可以利⽤采样信号拉普拉斯变换说明如下： ()()()()()s n n f nT f t t nT f nT t nT δδ+∞+∞=-∞=-∞=-=-∑∑()()snTs n F s fnT e +∞-=-∞=∑ 令sTz e =，T=1,则()()ns n F z f n z=∑定义表明：Z 变换()F z 是关于复变量z 的幂级数。

第8章离散时间系统的Z域分析

n0
第页 17页 -17 2第2
湖南理工学院信息与通信工程学院
信号与系统
的原函数f(n)。
8.2 逆Z变换
z2 z 例题1 已知 F ( z ) 2 , |z|>1,|z|<1分别求F(z) z 2z 1
(2)F(z)的收敛域为|z|<1,故f(n)为反因果序列.
F ( z ) 3z 3 3 z 2 1z
收敛域为|z|< |b|
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信号与系统
8.1 Z变换的定义及其收敛域
(4) 双边序列：

j Im[ z ]
X ( z) X (z)
n 1
n x ( n ) z n
n

Rx2 Rx1
Re[ z ]

f ( n) z
n

n 1
z
n
1 z 1 z
j Im[ z ]
∞
2 z z 1 1 F ( z) z 1 z z 0 z
Re[ z ]
第页 7页 -7 2第2
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信号与系统 (2)右边序列

8.1 Z变换的定义及其收敛域
n m
n n2 n x ( n ) z
j Im[ z ]
lim n x( n) z 1
n
n
Rx 2
Re[ z ]
z
n
1 lim n x(n)
Rx2
第页 10页 -10 2第2
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信号与系统

CH08 z变换和离散时间系统的Z域分析

X (z) x(n)z n n 4
X (z) x(n)zn n0
X (z) x(n)zn n
z es
单边 Z变换
双边 Z变换
只有当级数收敛时，Z 变换才存在！
5
对z变换式的理解
X (z) x(n)z n n
x(2)z2 x(1)z1
z的正幂
x(0)z 0 x(1)z1 x(2)z 2 x(n)zn
n n1
n 2
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z 0
z
常数
x(1)z1 x(2)z2 x(3)z3
z 0
所以，收敛域为 0 z 的z平面。
17
（2）右边序列：只在 n n1区间内有非零值的序列 x(n)
X (z) x(n)zn nn1
n1 n
lim n x(n)zn 1
n
n
3
对xs (取t) 双边拉氏变换
Xs(s)
Lxs (t )
L
x(nT
)
(t
nT
)
n
Xss x(nT )L (t nT ) x(nT ) esnT
n
n
其中 s σ jω
引入复变量 z esT ，为连续变量，将xnT 表示为xn
X
s
(
s
)
|
z
e
sT
x(n)zn X (z)
n
对任一信号x(n)的（双边）z变换式为
1/3 2
O
Re(z)
23
例 (1) x(n) 1 n u(n) 因果序列 3
X (z)
1
n0 3
n
z1
1
1 1 z 1

第8章 z变换、离散时间系统的z域分析

第八章z变换、离散时间系统的z域分析8.1 引言8.2 z变换的定义8.3 z变换的收敛域8.4 逆z变换8.5 z变换的基本性质8.6 z变换与拉普拉斯变换8.7 用z变换解差分方程8.8 离散系统的系统函数8.10 离散时间系统的频率响应特性§8.1 引言一.z 变换的导出我们从抽样信号的拉氏变换导出离散信号的z 变换()()∑∞−∞=−=⋅=n T nT t t x t t x t x δδ)()()(s ∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=n n nT t n x nT t nT x )()()()(δδO t()t x s T T2()()nT t nT x −δOn()n x 12对连续信号x s (t )抽样得到离散信号x (n )[]()∑∑∑∞−∞=−∞−∞=−∞−∞===−=n nT s n Tn s n e n x en x nT t n x )()()()(δL j ωσs +=()()n x nT x e z sT表示为并将，引入复变量 =)()(|)(s z X zn x s X n ne s sT ==∑∞−∞=−=)(变换式为的（双边）对任一信号z n x ∑∞−∞=−=nnzn x z X )()([]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==∑∞−∞=n nT t n x t x s X )()()()(s s δL L 取拉氏变换对)(s t x ()[]00t s et t −=−δL∑∞−∞=−=n nzn x z X )()(��…⋯��…的负幂的正幂z nz z n x z x z x z x z x z x +++++−+−=−−−)()2()1()0( )1()2(21012变换单边z zn x z X n n∑∞=−=0)()(右边序列的负幂级数的系数构成z n 0∞<≤左边序列的正幂级数的系数构成z n 1−≤<∞−变换或对因果信号取变换若双边序列取单边z z ,()的幂级数是1−z z X ()的位置指出中的幂 n x n n −()n x 级数的系数是二.对z 变换式的理解§8.2 z变换的定义典型序列的z变换z 变换的定义()[]∑∞=−==0)()(n nzn x n x z X z Z 变换单边∑∞∞=−=－变换双边n nzn x z X z )()(()()()变换为的时即当对于因果序列z n x n n x 0,0=<()变换为的对于双边序列z n x )(重点讨论())(z X n x ⎯→←())(z X n x TZ ⎯⎯→←或典型序列的z 变换⎩⎨⎧≠==001)(n n n δ()[]()10)()(0====∑∞−∞=−z zn n z X n nδδδZ nO)(n δ1一. 单位样值序列()[]⋯++++===−−−∞=−∑3211)(z z z zn u z X n nZ 二.单位阶跃序列⎩⎨⎧<≥=001)(n n n u nO)(n u 1123⋯三.斜变序列()[]∑∞=−===0)()()(n nnzn nu z X n nu n x Z ，下面用间接方法求其 z 变换的和函数。

第八章Z变换、离散时间系统的Z域分析

n
n0
n
z Rx2
z Rx1
若 Rx2 Rx1, X (z) 收敛域：Rx1 z Rx2
j Im z
Rx2
Rx1
Re z
若 Rx2 Rx1, X (z) 不收敛。
第八章 Z变换、离散时间系统的 Z域分析肖娟
例： x(n) anu(n) bnu(n 1)
求 X (z)并确定收敛域，其中 (b a 0) 。
, z 1
Z
[sin(0n)u(n)]
z sin 0 z2 2z cos0 1
, z 1
cos( n)u(n)
cos
2
n
u(n)
z2 z2 1
,
z
1
1
2
1,0, 1,0,1,0,
2
6
0
4
8n
sin
2
n
u(n)
z z2 1
, z 1 1 sin( n)u(n)
12
0,1,0, 1,0,1,
逆 z变
换方法
围线积分法（留数法）：P56 例8-2 幂级数展开法： P57 例8-3、8-4
部分分式展开法：仅适用于X (z)为有理分式的情况
第八章 Z变换、离散时间系统的 Z域分析肖娟
部分分式展开法
Z [anu(n)] z
,z a
za
Z [anu(n 1)] z , z a
za
X (z)
（5）Z
[cos(0n)u(n)] Biblioteka 1z 2 [ z e j0
z z e j0
]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
e j0nu(n)

第8章 z变换离散时间系统的z变换分析

1 z Z[u( n)] u( n)z z -1 1 z z 1 n 0 n 0
-n -n
收敛域为 z >1
3. 斜变序列
间接求解方法已知两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得
…
4. 指数序列
x(n) a n u(n)
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0

！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
例
s = 2，
例题解
求x(n) = ?
∴
∴
见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表）作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
则
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z)
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
对于N阶LTI离散系统的差分方程:

z变换和离散时间系统z域分析-基本要求和知识要点

z 变换、离散时间系统的z 域分析一、基本要求通过本章的学习，学生应该理解z 变换的定义、收敛域（ROC ）的概念；掌握z 变换的性质，z 变换及逆z 变换的计算方法，以及离散系统的z 域分析法。

深刻理解系统函数）（z H 及）（z H 与离散系统因果性、稳定性的关系，离散系统的频率响应）（jw e H 。

能绘制系统的幅频响应、相频响应曲线。

二、知识要点 1、z 变换（1） Z 变换定义(),z X ()[()]()z nn n x n z z x n x n z ξ∞--∞∞-=⎧⎪⎪==⎨⎪⎪⎩∑∑双边变换，单边变换若()()()x n x n u n =，则()x n 的单边z 变换()x n =的双边z 变换（2）z 变换的收敛域①一般地，双边序列()x n 的X ()z ，其收敛域为z 平面上以原点为中心的圆环内部，即12R R x x z <<；②有限长序列()x n 的X ()z ，其收敛域为整数个z 平面，即0z <<∞，也包括0z =或z =∞；③右边序列()x n 的X ()z ，其收敛域为某圆的外部，即1R x z <<∞，也可能包括z =∞；④左边序列()x n 的X ()z ，其收敛域为某圆的内部，即20R x z <<，可能包括0z =；（3）典型序列的z 变换[()]1n ξδ=， 0z ≤≤∞[()]1z u n z ξ=-， 1z > 2[()](1)zn u n z ξ=-， 1z >[()]u z a u n z aξ=-， z a >00[()]njw jw z eu n z eξ=-， 01jw z e >=（4）逆z 变换①围线积分法（留数法）1()R e s [X (z )z ]mn z z mx n -==∑式中R e s 表示极点的留数，m z 为1X (z)z n -的极点。

z变换离散时间系统的z域分析

日期
教学目的
掌握z变换基本性质以及逆变换的求法
教学重点
z变换基本性质以及逆变换的求法
教学难点
逆变换的求法
教学方法
讲授
教学内容
若，则的逆变换记作，它由以下围线积分给出：
是包围所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选择平面收敛域内以原点为中心的圆。证明略。
求逆变换的计算方法有三种。
（一）留数法（围线积分法）
备注
章节
第八章z变换、离散时间系统的z域分析6-8节
日期
教学目的
使用z变换分析系统
教学重点
z变换解差分方程；离散系统的系统函数
教学难点
z变换解差分方程
教学方法
讲授
教学内容
三种变换域方法之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转化。第四章讨论过拉氏变换与傅氏变换的关系，现在研究变换与拉氏变换的关系。
[例8-5]已知，求。
解：
式中：
因此
由于收敛域，所以是因果序列（右边序列），因此
[例8-6]已知，求。
解：
所以
容易求得：
部分逆变换列于表8-2,3,4（P60）。
（一）线性
表现在叠加性与均匀性，若：
，
，
则：
，
其中，，。相加后序列收敛域一般为两个收敛域的重叠部分，然而，如果在这些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。
解：对于，相应的序列是因果序列（右边序列），这时写成按的降幂排列：
进行长除法可得：
得到：
对于，相应的序列是左边序列，这时写成按的升幂排列：
进行长除法可得：
得到：
（三）部分分式展开法

第八章z变换离散时间系统的时域分析

3．左边序列的收敛
x(n) anu n 1 n 1
1
X(z) anzn
n
令m n
X(z) amzm amzm a0z0 1 amzm
m1
m0
m0
1
m0
z a
m
1
lim
m
1
z a
m
1
1 z a
当 z 1，即z a时收敛
X
a
z
1
1
1
第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析
§8.1 引言
一．引言
•求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可是追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展； •70年代引入大学课程； •今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问题。本章主要讨论： •拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用z变换解差分方程； •利用z平面零极点的分布研究系统的特性。
z
z
a
a n u( n) anu(n
1)
za za
因果序列右边序列收敛域 z R,包括z
为了保证 z 处收敛，其分子多项式的阶次不能大
于分母多项式的阶次,即必须满足k r 。
2．求逆z变换的步骤
• 提出一个z
• xz为真分式
z • 再部分分式展开
• xz z
z • 查反变换表
将X z 以z的升幂排列
1
X (z) x(n)z n x(1)z1 x(2)z 2 x(3)z 3 n
三．围线积分法求z反变换
1．z逆变换的围线积分表示
已知z变换