2017-2018学年高中数学 第四章 导数应用 4.2 导数在实际问题中的应用 4.2.1 实际问题中导数的意义课件 北师
高中二年级导数的应用和极值问题
高中二年级导数的应用和极值问题导数是数学中的一个重要概念，它在高中数学中具有广泛的应用。
本文将介绍导数在实际问题中的应用以及与导数相关的极值问题。
一、导数在实际问题中的应用导数的应用广泛存在于各个领域中，包括物理、经济、工程等等。
下面将以实例来说明导数的应用。
例一：速度和加速度考虑一个质点的运动，假设其位移关于时间的函数为s(t)。
根据导数的定义，我们可以得到速度v(t)为s(t)的导数，即v(t) = s'(t)。
同样地，加速度a(t)为速度v(t)的导数，即a(t) = v'(t)。
这样，我们就可以通过导数计算出速度和加速度的变化情况。
例二：曲线的切线和法线导数还可以用来求曲线上某点的切线和法线。
切线的斜率等于导数的值，而法线的斜率等于导数的相反数的倒数。
通过求导数，我们可以得到曲线在某点的切线和法线的方程，进而研究曲线的性质和变化。
二、导数的极值问题导数的一个重要应用是求解极值问题。
极值问题主要分为最大值和最小值问题，下面将分别介绍这两种问题的求解方法。
1. 最大值问题最大值问题是求函数在某个区间上的最大值点。
首先，我们要找到函数的驻点，即导数等于零或不存在的点。
然后，我们计算这些驻点的函数值，并将最大的函数值作为最大值点。
2. 最小值问题最小值问题是求函数在某个区间上的最小值点。
同样地，我们要找到函数的驻点，并计算这些驻点的函数值。
将其中最小的函数值作为最小值点。
三、导数应用和极值问题的综合例题考虑一个边长为x的正方形，求解该正方形的边长使其面积最大。
解：设正方形的边长为x，则正方形的面积为A(x) = x²。
我们需要求解A(x)在定义域上的最大值。
首先，我们计算A(x)的导数。
根据导数的定义，有A'(x) = 2x。
然后，我们找出A'(x)的驻点。
令A'(x) = 2x = 0，解得x = 0。
接着，我们计算驻点的函数值。
代入x = 0到A(x)中，得到A(0) =0² = 0。
高中数学第四章导数应用2导数在实际问题中的应用学案北师大版选修1-1(2021年整理)
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§2导数在实际问题中的应用2．1 实际问题中导数的意义错误!某人拉动一个物体前进,他所做的功W（单位：J）是时间t(单位：s）的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t）＝t3－4t2＋10t.问题1：t从1 s到4 s时，功W关于时间t的平均变化率是多少？提示：错误!＝错误!＝11(J/s）．问题2：上述问题的实际意义是什么？提示：它表示从t＝1 s到t＝4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.问题3:W′（1)的实际意义是什么？提示:∵W′（t）＝3t2－8t＋10，∴W′(1）＝5。
表示此人在t＝1s时每秒做功为5 J.实际问题中导数的意义1．功关于时间的导数是功率．2．降雨量关于时间的导数是降雨强度．3．生产成本关于产量的导数是边际成本．4．路程关于时间的导数是速度．速度关于时间的导数是加速度．5．质量关于长度的导数是线密度．在日常生活中,有许多需要用导数概念来理解的量．如物理学中,速度是路程关于时间的导数，功率是功关于时间的导数．解决这些问题，要在阅读材料、理解题意的基础上,利用数学知识对模型进行分析,得到数学结论，然后再用数学结论解释实际问题．[对应学生用书P52］导数在物理学中的应用［例1]如果第x h时，原油的温度(单位：℃）为y＝f(x)＝x2－7x＋15（0≤x≤8）．(1)分别计算当x从0变到1,从2变到3时，原油温度y关于时间x的平均变化率,比较它们的大小，并解释它们的实际意义；（2)计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．［思路点拨］（1)平均变化率即为错误!。
2020学年高中数学第四章导数应用2导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义课时跟踪训练北
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2。
1 实际问题中导数的意义[A组基础巩固]1．已知函数y＝f（x),x∈R,则f′(x0）表示( ）A．自变量x＝x0时对应的函数值B．函数值y在x＝x0时的瞬时变化率C．函数值y在x＝x0时的平均变化率D．无意义解析：由导数的概念可知选B。
答案:B2．速度v关于时间t的函数关系式为v＝f(t)＝t2－10t，则t＝1时的加速度为( ) A．－9 B．－8C．9 D．8解析：f′（t）＝2t－10，∴f′(1)＝2×1－10＝－8,即为t＝1时的加速度．答案：B3．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位:C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5 s时电流强度为( )A．27 C/s B．20 C/sC．25 C/s D．23 C/s解析：某种导体的电量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度．∵q′＝4t＋3，∴当t＝5时,电流强度为4×5＋3＝23(C/s）．答案：D4．某公司的盈利y(元)和时间x(天）的函数关系是y＝f（x），假设f（x）>0恒成立,且f′（10)＝10，f′(20）＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较（) A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．答案:D5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m）关于时间(单位：s)的函数为s(t）＝－错误!t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( ）A．汽车刹车后1 s内的位移B．汽车刹车后1 s内的平均速度C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度D．汽车刹车后1 s时的位移解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．答案:C6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.解析：s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，令6t＋1＝10，则t＝错误!。
高中数学第四章导数及其应用4.4生活中的优化问题举例训练湘教版选修2-2(2021年整理)
2017-2018学年高中数学第四章导数及其应用4.4 生活中的优化问题举例分层训练湘教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第四章导数及其应用4.4 生活中的优化问题举例分层训练湘教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4。
4 生活中的优化问题举例一、基础达标1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为（）A．4 B．6 C．4。
5 D．8答案A解析设底面边长为x,高为h，则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝256 x2，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·错误!＝x2＋错误!，∴S′(x)＝2x－4×256x2。
令S′(x）＝0，解得x＝8，∴h＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0)．已知贷款的利率为0。
0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈（0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( ) A．0.016 2 B．0.032 4 C．0。
024 3 D．0。
048 6答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6）．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3（0<x〈0。
048 6)，则y′＝0.097 2kx－3kx2.令y′＝0,得x＝0.032 4或x＝0（舍去）．当0〈x〈0.032 4时，y′>0；当0。
高中数学第四章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值训练湘教版选修
2017-2018学年高中数学第四章导数及其应用4.3 导数在研究函数中的应用4.3.2 函数的极大值和极小值分层训练湘教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第四章导数及其应用4.3 导数在研究函数中的应用4.3.2 函数的极大值和极小值分层训练湘教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4。
3。
2 函数的极大值和极小值一、基础达标1.函数y＝f（x）的定义域为（a，b），y＝f′（x）的图象如图，则函数y＝f（x）在开区间(a，b)内取得极小值的点有（)A．1个B．2个C．3个D．4个答案A解析当满足f′（x）＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．“函数y＝f（x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析对于f（x）＝x3,f′(x）＝3x2，f′（0）＝0，不能推出f（x）在x＝0处取极值,反之成立．故选B.3．若a＞0，b＞0，且函数f(x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（) A．2 B．3 C．6 D．9答案D解析f′（x）＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值,∴f′（1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a＞0，b＞0,∴a＋b≥2错误!，∴2错误!≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立,∴ab的最大值为9。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用十分重要。
物体运动的描述与预测中，导数可以帮助我们计算速度、加速度等参数，从而更好地预测物体的运动轨迹。
在成本与收益优化中，导数可以帮助企业优化生产成本，最大化利润。
在信号处理与数据分析中，导数可以帮助我们提取信号中的有用信息，进行数据分析和预测。
医学和工程领域中，导数也有着广泛的应用，比如在医学影像分析和工程设计中起着至关重要的作用。
导数在实际生活中有着丰富的应用场景，帮助我们更好地理解和应用数学知识。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、成本、收益、优化、信号处理、数据分析、医学、工程技术、应用、广泛应用1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用的重要性导数在实际生活中的运用是非常重要的。
导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
在实际生活中，导数可以帮助我们描述和预测物体的运动。
通过对物体位置或速度的导数进行计算，我们可以更准确地预测物体未来的位置或速度，这在航天飞行、交通运输等领域具有重要意义。
除了物体运动的描述与预测，导数还在成本与收益优化中扮演着重要角色。
在商业领域，通过对成本函数或收益函数的导数进行分析，我们可以找到使利润最大化或成本最小化的最优决策方案，从而提高企业的竞争力。
导数在信号处理与数据分析、医学、工程技术等领域也有着广泛的应用。
在信号处理中，导数可以帮助我们分析信号的频率、幅度等特性；在医学中，导数可以帮助医生分析患者的生理数据；在工程技术领域，导数可以帮助工程师设计更高效的系统和设备。
导数在实际生活中有着广泛的应用，对于提高生产效率、提升科技发展水平具有重要意义。
通过深入理解和应用导数，我们可以更好地解决现实生活中的问题，推动社会的发展和进步。
2. 正文2.1 物体运动的描述与预测物体运动的描述与预测是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学和工程学中，导数被广泛用于描述和预测物体的运动状态。
通过对物体位置关于时间的导数，我们可以得到物体的速度和加速度，进而了解物体运动的特性。
高中数学第四章导数及其应用4.2导数的运算4.2.3导数的运算法则训练湘教版选修2-2(2021年
2017-2018学年高中数学第四章导数及其应用4.2 导数的运算4.2.3 导数的运算法则分层训练湘教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第四章导数及其应用4.2 导数的运算4.2.3 导数的运算法则分层训练湘教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4．2。
3 导数的运算法则一、基础达标1．设y＝－2e x sin x，则y′等于（）A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x（sin x＋cos x)答案D解析y′＝－2（e x sin x＋e x cos x）＝－2e x（sin x＋cos x)．2．当函数y＝错误!（a>0）在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝（) A．a B．±a C．－a D．a2答案B解析y′＝错误!′＝错误!＝错误!，由x2，0－a2＝0得x0＝±a.3．设曲线y＝错误!在点(3，2）处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于（) A．2 B。
错误! C．－错误! D．－2答案D解析∵y＝错误!＝1＋错误!，∴y′＝－错误!.∴y′｜x＝3＝－错误!。
∴－a＝2,即a＝－2.4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( ）A．(－2，－8) B．(－1，－1)或（1,1）C．（2，8） D.错误!答案B解析y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，则P点坐标为(－1，－1）或(1,1）．5．设函数f（x)＝g(x)＋x2,曲线y＝g(x）在点（1，g（1）)处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f（x）在点（1，f(1))处切线的斜率为________．答案4解析依题意得f′（x)＝g′(x）＋2x，f′（1)＝g′（1)＋2＝4.6．已知f（x）＝13x3＋3xf′(0），则f′(1)＝________。
高中数学第四章导数及其应用4.4生活中的优化问题举例当堂检测湘教版选修2-2(2021年整理)
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4。
4 生活中的优化问题举例1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时,原油温度(单位：℃）为f(x)＝错误!x3－x2＋8（0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ）A．8 B.错误! C．－1 D．－8答案C解析原油温度的瞬时变化率为f′(x）＝x2－2x＝（x－1）2－1（0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1。
2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为（)A.错误! B。
错误! C。
错误! D．2错误!答案C解析设底面边长为x，则表面积S＝错误!x2＋错误!V(x〉0）．∴S′＝错误!(x3－4V）．令S′＝0,得x＝错误!。
3。
在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时,箱子容积最大？最大容积是多少？解设箱底边长为x cm，则箱高h＝错误! cm，箱子容积V(x)＝x2h＝60x2－x32(0＜x＜60)．V′(x）＝60x－错误!x2令V′(x）＝60x－错误!x2＝0，解得x＝0(舍去）或x＝40，并求得V（40）＝16 000.由题意知，当x过小（接近0)或过大（接近60)时，箱子容积很小,因此,16 000是最大值．答当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3。
高中数学 第四章 导数应用 4.2 导数在实际问题中的应用 4.2.1 实际问题中导数的意义导学案 北师大版选修11
4.2.1 实际问题中导数的意义学习目标 1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题.知识点 实际问题中导数的意义思考 某人拉动一个物体前进，他所做的功W (单位：J)是时间t (单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W ＝W (t )＝t 3－4t 2＋10t .(1)t 从1 s 到4 s 时W 关于t 的平均变化率是多少？ (2)上述问题的实际意义是什么？ (3)W ′(1)的实际意义是什么？ 答案 (1)W－W 4－1＝40－73＝11 J/s.(2)它表示从t ＝1 s 到t ＝4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. (3)W ′(t )＝3t 2－8t ＋10，W ′(1)＝5表示在t ＝1 s 时每秒做功5 J.梳理 (1)在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特.功率是功关于时间的导数.(2)在气象学中，通常把单位时间(如1时，1天等)内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标.降雨强度是降雨量关于时间的导数.(3)在经济学中，通常把生产成本y 关于产量x 的函数y ＝f (x )的导函数称为边际成本.边际成本f ′(x 0)指的是当产量为 x 0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x 0时，每增加一个单位的产量，需要增加f ′(x 0)个单位的成本.类型一 导数在物理学中的意义例1 某质点的运动方程为s ＝s (t )＝2t 2＋3t ，其中s 是位移(单位：m)，t 是时间(单位：s).(1)求当t 从1 s 变到3 s 时，位移s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求s ′(1)，s ′(2)，并解释它们的实际意义.解 (1)当t 从1 s 变到3 s 时，s 关于t 的平均变化率为Δs Δt ＝s－s 3－1＝27－53－1＝11 m/s.它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s ′(t )＝4t ＋3，则s ′(1)＝4＋3＝7 m/s ，s ′(2)＝4×2＋3＝11 m/s.s ′(1)表示的是该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t ＝1 s 这个时刻的瞬时速度为7 m/s.s ′(2)表示的是该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t ＝2 s 这个时刻的瞬时速度为11 m/s.反思与感悟 根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等.因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解. 跟踪训练1 某河流在一段时间x min 内流过的水量为y m 3，y 是x 的函数，且y ＝f (x )＝3x . (1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率是多少？ (2)求f ′(27)，并解释它的实际意义.解 (1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率为f－f8－1＝2－17＝17(m 3/min).(2)f ′(x )＝2313x -，于是f ′(27)＝13×2723-＝127 (m 3/min)，实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为127 m 3/min ，也就是当时间为27 min 时，每增加1 min ，水流量增加127m 3. 类型二 导数在经济生活中的应用例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数关系为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义.解 当x 从10件提高到20件时，总成本C 从C (10)＝2 675元变到C (20)＝3 350元. 此时总成本的平均改变量为C－C 20－10＝67.5(元/件)，其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量. 引申探究1.若本例条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义. 解 因为C ′(x )＝12x ＋60，所以C ′(75)＝12×75＋60＝97.5(元/件)，它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元.2.若本例的条件“C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050”变为“C (x )＝14x 2＋ax ＋2 050，当日产量为75件时的边际成本大于97.5”，求a 的取值范围. 解 因为C ′(x )＝12x ＋a ，所以日产量为75件时的边际成本大于97.5， 即C ′(75)＝12×75＋a >97.5，解得a >60.反思与感悟 生产成本y 关于产量x 的函数y ＝f (x )中，f ′(x 0)指的是当产量为x 0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x 0时，每增加一个单位的产量，需增加f ′(x 0)个单位的成本.跟踪训练2 已知某商品的成本函数为C (Q )＝100＋Q 24(Q 为产品的数量).(1)求Q ＝10时的总成本、平均成本及边际成本； (2)当产量Q 为多少时，平均成本最小？最小为多少？ 解 (1)Q ＝10时的总成本C (10)＝100＋1024＝125；Q ＝10时的平均成本C ＝C10＝12.5.边际成本即成本函数C (Q )对产量Q 的导数， 故边际成本C ′(Q )＝12Q ，Q ＝10时的边际成本是C ′(10)＝5.(2)由(1)得，平均成本C Q ＝C Q Q ＝100Q ＋Q4， 而100Q ＋Q4≥2·100Q ·Q4＝10， 当且仅当100Q ＝Q4，即Q ＝20时，等号成立，所以当产量Q 为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.类型三 在日常生活中的应用例3 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y (单位：g)是工作时间x (单位：h)的函数，设这个函数为y ＝f (x )＝x 220＋4x .(1)求x 从1 h 变到4 h 时，y 关于时间x 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f ′(1)，f ′(4)，并解释它的意义. 解 (1)当x 从1 h 变到4 h 时， 产量y 从f (1)＝8120 g 变到f (4)＝17620g ，此时平均变化率为f－f4－1＝17620－81203＝1912(g/h)，它表示从1 h 到4 h 这段时间这个人平均每小时生产1912g 产品. (2)f ′(x )＝x 10＋2x，于是f ′(1)＝2110 (g/h)，f ′(4)＝75(g/h)，分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品2110 g 和75g.反思与感悟 在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义.跟踪训练3 某年高考，某考生在参加数学科考试时，其解答完的题目数量y (单位：道)与所用时间x (单位：分钟)近似地满足函数关系y ＝2x .(1)求x 从0分钟变化到36分钟时，y 关于x 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f ′(64)，f ′(100)，并解释它的实际意义.解 (1)x 从0分钟变化到36分钟，y 关于x 的平均变化率为f－f36－0＝1236＝13. 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答13道题.(2)∵f ′(x )＝1x，∴f ′(64)＝18，f ′(100)＝110.它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答18和110道题.1.某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f (x )＞0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( ) A.公司已经亏损B.公司的盈利在增加，且增加的幅度变大C.公司在亏损且亏损幅度变小D.公司的盈利在增加，但增加的幅度变小 答案 D解析 导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的. 2.某人拉动一个物体前进，他所做的功W 是时间t 的函数，即W ＝W (t )，则W ′(t 0)表示( ) A.t ＝t 0时做的功 B.t ＝t 0时的速度 C.t ＝t 3时的位移 D.t ＝t 0时的功率答案 D解析 W ′(t )表示t 时刻的功率.3.某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t 小时后可装配晶体管收音机的台数为Q (t )＝－t 3＋9t 2＋12t ，则Q ′(2)＝________，它的实际意义是__________________________________. 答案 36台/小时 10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时 解析 Q ′(t )＝－3t 2＋18t ＋12，则Q ′(2)＝36，由题意知10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时.4.某物体的运动速度与时间的关系为v (t )＝2t 2－1，则t ＝2时的加速度为________. 答案 8解析 ∵v ′(t )＝4t ，∴v ′(2)＝8.5.某厂生产x 吨产品获利y 万元，y 是x 的函数，且函数为y ＝f (x )＝－18x 2＋21x －100.(1)当x 从4变到8时，y 关于x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (2)求f ′(84)，并解释它的实际意义.解 (1)当x 从4变到8时，y 关于x 的平均变化率为f－f 8－4＝60－－8－4＝19.5(万元/吨)，它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润平均增加19.5万元.(2)f ′(x )＝－14x ＋21，于是f ′(84)＝0，f ′(84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0，也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品， 利润增加为0，即利润不变.1.解决实际问题的一般思路：实际问题转化为数学问题，数学问题的结论回到实际问题的结论.2.解决实际问题的一般步骤(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案.40分钟课时作业一、选择题1.一次降雨过程中，降雨量y 是时间t 的函数，用y ＝f (t )表示，则f ′(10)表示( ) A.t ＝10时的降雨强度 B.t ＝10时的降雨量 C.t ＝10时的时间 D.t ＝10时的温度答案 A解析 f ′(t )表示t 时刻的降雨强度.2.圆的面积S 是半径r 的函数S (r )＝πr 2，那么在r ＝3时，面积的变化率是( ) A.6 B.9 C.9π D.6π答案 D解析 面积S 在r ＝3时的变化率为S ′(3)＝2π×3＝6π.3.设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)的函数关系为v ＝v (t )＝t 3＋3t ，则t ＝t 0 s 时轿车的加速度为( ) A.t 30＋3t 0 B.3t 20＋3 C.3t 30＋3t 0 D.t 30＋3答案 B解析 v ′(t )＝3t 2＋3，则当t ＝t 0 s 时的速度变化率为v ′(t 0)＝3t 20＋3(m/s 2)，则t ＝t 0 s 时轿车的加速度为(3t 20＋3) m/s 2.4.某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( )A.汽车刹车后1 s 内的位移B.汽车刹车后1 s 内的平均速度C.汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D.汽车刹车后1 s 时的位移 答案 C5.从时刻t ＝0开始的t s 内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q ＝2t 2＋3t 表示，则第5 s时电流强度为( )A.27 C/sB.20 C/sC.25 C/sD.23 C/s答案 D解析某导体的电量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度.∵q′＝4t＋3，∴当t＝5时，电流强度为4×5＋3＝23(C/s).6.如图所示，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则函数的图像大致是( )答案 D解析由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快.选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，与实际不符；选项C表示开始和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际.7.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是( )答案 A解析开始启动，从原点开始；加速行驶，则路程的增速较快；匀速行驶，路程的增速是常数；减速行驶，路程的增速减慢.所以只有选项A合适.二、填空题8.某物体的位移是时间的函数s＝2t3－at，物体在t＝1时的速度为8，则a的值为________. 答案－2解析 s ′＝6t 2－a ，由题意知6×12－a ＝8，∴a ＝－2.9.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件. 答案 9解析 令y ′＝－x 2＋81＝0，得x ＝9或－9(舍去)， 当x ＝9时，y max ＝252.10.一物体沿直线运动的方程为s (t )＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为0的时刻为(s 单位：m ，t单位：s)________. 答案 0 s ，1 s ，4 s解析 s ′(t )＝t 3－5t 2＋4t ，根据导数的意义可知v ＝s ′(t )，令t 3－5t 2＋4t ＝0，解得t ＝0或t ＝1或t ＝4. 三、解答题11.在F 1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s).求：(1)当t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与ΔsΔt ；(2)当t ＝20时的瞬时速度. 解 (1)因为Δs ＝s (20.1)－s (20)＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202) ＝21.05(m)，所以Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s).(2)因为s ′＝10＋10t ，所以当t ＝20时，s ′＝10＋10×20＝210(m/s)，即t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.12.当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t 小时后细菌数量为b (t )＝105＋104t －103t 2. (1)求细菌在t ＝5与t ＝10时数量变化的瞬时速度； (2)细菌在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？ (3)b ′(5)与b ′(10)的实际意义是什么？ 解 b ′(t )＝104－2×103t . (1)b ′(5)＝104－2×103×5＝0，b′(10)＝104－2×103×10＝－104.所以细菌在t＝5与t＝10时的瞬时速度分别为0和－104.(2)由b′(t)>0得t<5，由b′(t)<0得t>5.所以细菌在(0，5)时间段增加，在(5，＋∞)时间段减少.(3)b′(5)表示在t＝5时，细菌数量几乎不增不减.b′(10)表示在t＝10时，细菌数量以104的速度减少.13.某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg，250 kg，300 kg时的边际利润，并说明其经济意义.解(1)根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.(2)当日产量分别为200 kg，250 kg，300 kg时，边际利润分别为L′(200)＝1，L′(250)＝0，L′(300)＝－1.其经济意义是：当日产量为200 kg时，每增加1 kg，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg时，每增加1 kg，则总利润无变化；当日产量为300 kg时，每增加1 kg，则总利润减少1元.由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”.。
高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2
∴f(x)在[-2,2]上的最大值为92,最小值为-5207.
题型一
题型二
题型三
反思1.当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时,可 考虑用导数的方法求解.
2.比较极值与端点函数值大小时,有时需要利用作差或作商,甚至 需要分类讨论,由函数的最值求参数值.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知函数f(x)=ax3+c,且f'(1)=6,函数在[1,2]上的 最大值为20,则c的值为( )
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的递减区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 解:(1)f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3). 令f'(x)<0,得x<-1或x>3. 故函数f(x)的递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
【做一做1】 设f(x)是[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下 面结论中正确的是( )
A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在区间(a,b)上可能没有极值点 D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点 答案:C
【做一做 2】 函数 f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值为 ( )
题型一
题型二
题型三
这也是函数f(x)在区间[1,5]上的最小值. 又因为f(1)=-1,f(5)=15, 所以函数f(x)在区间[1,5]上的最大值为f(5)=15. 综上所述,函数f(x)在区间[1,5]上的最大值为15,最小值为-9. 反思函数的最值与极值及单调性密切相关,因此在求解函数的最 值的问题时,一般都要判断函数的单调性与极值点.导数是研究函 数与极值的有力工具.
高中数学第四章导数应用42第27课时实际问题中导数的意义作业课件北师大版选修11
12.270米/秒 解析：如图所示．
设人从C处运动到B处路程为x米，时间为t秒，AB为人影 长度，设为s米．
∵CD∥BE，∴AACB＝CBDE，即s＋s x＝18.6， 解得s＝14x. 又∵x＝1.4t，∴s＝14×1.4t＝270t. 则人影长度的变化速率v＝s′＝270(米/秒)．
13．解：(1)船的实际航行速度为(x－6) km/h，
故全程用时
300 x－6
h，所以耗油量y关于x的函数关系式为y
＝f(x)＝300×x－06.01x2＝x3－x26(x>6)．
(2)f′(x)＝3·
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2xx－6－x2 x－62
＝
3xx－12 x－62
，f′(36)＝
3×363×6－366－2 12＝2.88kmL/h.
f′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h时耗油量增加 的速度为2.88 L/h，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h 时，船的航行速度每增加1 km/h，耗油量就要增加2.88 L.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
6．B 点M的运动方程为x＝rcost，则点M的运动速率为v ＝x′＝－rsint.
7．200(a＋a2T)＋100a2ΔT 解析：设温度的增量为ΔT，则铁板面积S的增量 ΔS＝102[1＋a(T＋ΔT)]2－102(1＋aT)2＝200(a＋a2T)ΔT＋ 100a2(ΔT)2， 因此ΔΔTS＝200(a＋a2T)＋100a2ΔT.
A．rsint C．rcost
B．－rsint D．－rcost
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．一个正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm，加热后会膨 胀，当温度为T ℃时，边长变为10(1＋aT) cm，a为常数．则铁 板面积对温度的膨胀率为________． 8．如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径 为250 cm时，一水波面的圆面积的膨胀率是________．
高中数学第四章导数应用4.2.1实际问题中导数的意义课件北师大版选修11
2.一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量 y(单位： g)是工作时间 x(单位：h)的函数，设这个函数表示为 y＝ f(x)＝2x02＋4 x. (1)求 x 从 1 h 变到 4 h 时，y 关于时间 x 的平均变化率， 并解释它的实际意义；
(2)求 f′(1)，f′(4)，并解释它的实际意义．
(链接教材第四章 2.1 例 3)
[解] (1)当 x 从 200 变到 220 时，总成本 c 从 c(200)＝540(元) 变到 c(220)＝626(元)． 此时总成本 c 关于产量 x 的平均变化率为 c（2220） 20－－c2（00200）＝8260＝4.3(元/件)， 它表示产量从 x＝200 件到 x＝220 件变化时平均每多生产一 件产品时，总成本平均增加 4.3 元． (2)根据导数公式和求导法则可得 c′(x)＝110＋5x0，于是 c′(200) ＝110＋4＝4.1(元/件)． 它指的是当产量为 200 件时，每多生产一件产品，需增加
4．若某段导体通过的电量 Q(单位：C)与时间 t(单位：s)的函 数 关 系为 Q＝ f(t)＝210t2＋ t－ 80， t∈ [0， 30]，则 f′(15)＝
_52__C__/s___，它的实际意义是_t_＝__1_5_s_时__的__电__流__强__度__为__52__C_/_s. 解析：Q′＝f′(t)＝110t＋1，令 t＝15，则 f′(15)＝52 (C/s)，它表 示 t＝15 s 时的电流强度，即单位时间内通过的电量．
s′(1)和 s′(2)分别表示 t＝1 s 和 t＝2 s 时，位移 s 关于时间 t 的瞬时变化率，即瞬时速度．
方法归纳 (1)套用ΔΔst公式即可求出平均变化率，即质点在该段时间内 的平均速度；
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用非常广泛。
在物体运动中，导数可以帮助我们计算速度和加速度，从而预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数也被广泛应用，帮助我们找到函数的最大值和最小值。
在经济学中，导数被用于边际分析，帮助企业和政府做出决策以最大化利润或效益。
在医学领域，导数可以帮助分析身体的变化和疾病的发展趋势。
而在工程领域，导数则被用于解决各种实际问题，例如设计建筑结构和优化生产过程。
导数在不同领域中都起着重要作用，通过综合运用导数，我们能够更好地解决各种实际生活中的问题。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、速度、加速度、最优化、边际分析、医学、工程领域、重要作用、解决问题1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用是一种重要的数学概念，它广泛应用于各个领域，为解决实际生活中的问题提供了有效的数学工具。
导数是函数在某一点处的变化率，它可以帮助我们理解事物的变化规律，并从中得出一些有用的结论。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动速度和加速度，帮助我们预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产和经营活动。
在经济学中，导数被应用于边际分析中，帮助我们确定最优的生产和消费决策。
在医学领域，导数被用来描述生物体的变化规律，帮助医生做出诊断和治疗方案。
工程领域的实际情况中，导数被广泛应用于设计和优化工程系统，提高生产效率和质量。
导数在不同领域中均起着重要作用，综合运用导数能够解决各种实际生活问题，为我们的生活带来更多便利和效率。
2. 正文2.1 物体运动的速度和加速度物体运动的速度和加速度是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学中，我们经常需要研究物体在运动中的速度和加速度变化情况，而导数提供了一种有效的工具来描述这些变化。
我们知道速度是描述物体在单位时间内所经历的位移量，而加速度则是描述速度在单位时间内的改变量。
简单来说，速度是位移关于时间的导数，而加速度则是速度关于时间的导数。
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1.利用实际问题巩固和加强对导数概念的理解. 2.理解瞬时速度、边际成本等概念,并能利用导数解决有关实际 问题.
实际问题中导数的意义 在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理解的量.在 物理学中,速度是路程关于时间的导数,线密度是质量关于线长的导 数,功率是功关于时间的导数,加速度是速度关于时间的导数;在经 济学中,边际成本是生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数.
(1)当x从100变到200时,平均每米的成本为
;
(2)f'(100)=
,其实际意义为
.
解析:(1)f(100)=1 010.3,f(200)=4 020.3,
∴������(220000)--���1���(01000)=30.1(万元/米),
即平均变化率为 30.1 万元/米. (2)f'(x)=110(2x+1),
1234
1.一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s=t,则( )
A.物体做匀速运动
B.物体做匀加速运动
C.物体做匀减速运动 D.物体处于静止状态
解析:∵s'=1,∴物体做匀速运动.
答案:A
1234
2.如果物体做直线运动的方程为s(t)=3(2-t)2,则其在t=3 s时的瞬时 速度为( )
A.6
题型一
题型二
题型三
题型四
易错辨析 易错点 忽略实际意义而致误 【例4】 在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度是 h(t)=-4.9t2+6.5t+10(单位:m),求高台跳水运动中运动员在t=1 s时的 瞬时速度,并解释此时的运动状况. 错解:h'(t)=-9.8t+6.5,
∴h'(1)=-9.8+6.5=-3.3. ∴运动员在t=1 s时的瞬时速度是3.3 m/s.
内的平均速度;(2)求出导数s'(t),它表示t时刻该质点的瞬时速度.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)当t从1 s变到3 s时,
s
关于
t
的平均变化率为Δ������
������
=
������(3)-������(1) 3-1
=
237--15=11(m/s).
它表示从t=1 s到t=3 s这段时间内,
也就是该质点在t=2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思根据导数的实际意义,在物理学中,除了我们所熟悉的位移、 速度与时间的关系,功、功率与时间的关系,还应了解质量关于体 积的导数为密度,电荷量关于时间的导数为电流强度等.因此,在解 释某点处的导数的物理意义时,应结合这些导数的实际意义进行求 解.
此时总成本的平均改变量为������(2200)--���1���0(10)=67.5(元/件),其表示产量 从 x=10 件提高到 x=20 件时平均每件产品的总成本的改变量.
(2)∵C'(x)=12x+60,∴C'(75)=12×75+60=97.5(元/件),它指的是当
产量为 75 件时,每多生产一件产品,需增加成本 97.5 元.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)c'(x)=
5 284 100-������
'=5
284'×(100-������)-5 284×(100-������)' (100-������)2
=0×(100(1-���0���)0-5-������2)284×(-1)=(150208-���4���)2. (2)c'(90)=(10502-8940)2=52.84(元/吨), c'(98)=(10502-8948)2=1 321(元/吨).
变.
(2)当日产量为75件时的边际成本,并说明其实际意义. 分析:(1)利用函数平均变化率计算,然后结合实际问题解释;(2)用 瞬时变化率的意义解释.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)当 x 从 10 件提高到 20 件时,总成本 C 从 C(10)=2 675 元 变到 C(20)=3 350 元.
27
m3/min.
题型一
题型二
题型三
题型四
导数在经济生活中的意义
【例2】 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100 件,假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)= +60x+142x2050.求:
(1)当日产量由10件提高到20件时,总成本的平均改变量,并说明 其实际意义;
f(8)-f(1) 8-1
=
2-1 7
=
17(m3/min),
它表示时间从 1 min 增加到 8 min 的过程中,
每增加
1
min
水流量平均增加1
7
m3.
(2)f'(x)=13 x-23,于是 f'(27)=13×27-23 = 217(m3/min),
实际意义为当时间为 27 min 时,
水流量增加的速度为 1
4.某厂生产x吨产品获利y万元,y是x的函数,
设函数为y=f(x)=-
1 8
x2+21x-100.
(1)当x从4变到8时,y关于x的平均变化率是多少?它代表什么实际意
义?
(2)求f'(84)并解释它的实际意义.
解:(1)当
x
从
4
变到
8
时,y
关于
x
的平均变化率为������(8)-������(4)
8-4
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3,y 是x的函数, y=f(x)=3 ������ .
(1)当x从1变到8时,y关于x的平均变化率是多少?
(2)求f'(27),并解释它的实际意义.
解:(1)当 x 从 1 变到 8 时,y 关于 x 的平均变化率为
=
608-(--418)=19.5(万元/吨),它表示产量从 4 吨增加到 8 吨的过程中,每增
加 1 吨产量,利润平均增加 19.5 万元.
(2)∵f'(x)=-14x+21,∴f'(84)=0,f'(84)表示当产量为 84 吨时,利润
增加的速度为 0,也就是说当产量为 84 吨时,利润增加为 0,即利润不
【做一做】 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之 后停车,把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图像可 能是( )
解析:开始启动,从原点开始;加速行驶,则路程的增加较快;匀速行 驶,路程的增速是常数;减速行驶,路程的增速慢.故只有选项A合适.
答案:A
题型一
题型二
题型三
题型四
导数在物理学中的意义
该质点平均每秒的位移是11 m.
(2)由导数公式和导数的运算法则可得s'(t)=4t+3.
则s'(1)=4+3=7(m/s),s'(2)=4×2+3=11(m/s).
s'(1)表示的是该质点在t=1 s时的瞬时速度,
也就是该质点在t=1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s.
s'(2)表示的是该质点在t=2 s时的瞬时速度,
【例1】 某质点的运动方程为s=s(t)=2t2+3t,其中s是位移(单
位:m),t是时间(单位:s).
(1)求当t从1 s变到3 s时,位移s关于时间t的平均变化率,并解释它
的实际意义;
(2)求当s'(1),s'(2),并解释它们的实际意义.
分析:(1)套用
������ ������
公式即可求出平均变化率,即该质点在该段时间
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 将一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里,它的 温度会逐渐下降,温度T(单位:℃)与时间(单位:min)之间的关系由函 数T=f(t)给出.请问:
(1)f'(t)的符号是什么?为什么? (2)f'(3)=-4的实际意义是什么? 解:(1)由题意可知f'(t)<0,因为红茶温度在下降. (2)f'(3)=-4的实际意义是当t=3 min时,温度的瞬时变化率,即3 min 附近时,红茶约以4 ℃/min的速度下降.
反思生产成本y关于产量x的函数y=f(x)中,f'(x0)指的是当产量为x0 时,生产成本的增加速度,也就是产量为x0时,每增加一个单位的产 量,需增加f'(x0)个单位的成本.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 建造一幢长度为x米的桥梁需成本y万元,函数关
系为y=f(x)=
1 10
(x2+x+3)(x>0).
因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率,所以,纯净度为90%时,
费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
同样,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1 321元/吨.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 由上述计算可知,c'(98)=25c'(90),它表示纯净度为98%左右时净化 费用的变化率大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍. 这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增 加的速度也越快.
此时的运动状况是以每秒3.3米的速率运动. 错因分析:瞬时速度既有大小也有方向,这里应是负值,不能回答 为正值,且运动状况是指运动速度的大小和方向.在处理实际问题 时,一定要注意导数的实际意义.