幂函数的图像与性质

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高一数学必修一幂函数及其图象和性质知识点总结

1 3.3幂函数

一、幂函数定义及解析式特点

1.定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数。

2.解析式特点：①系数为1；②底为自变量；③指数为常数。

3.幂函数的指数除了可以取整数外，还可以取其他实数。

二、幂函数的图象

1.幂函数主要以11,2,3,,12

α=-为代表，来研究掌握0α<,01α<<,1α>时的大致图象和图象的性质。

2.同一坐标系中画出1232

,,,y x y x y x y x ====和1y x -=的图象，如下图：

三、幂函数图象特点

1.根据幂函数y x α=的图象可得到以下结论：（1）幂函数在()0,+∞都有定义，且都过()1,1点，不一定过()0,0点。

（2）幂函数都过第一象限，不过第四象限；

（3）当0α>时，在第一象限都是增函数；当0α<时在第一象限都是减函数。

2.（1）当0α<时，幂函数在第一象限是减函数，且和1y x

=在第一象限的图象大致相同；

（2）当0α>时，函数在第一象限是增函数，且在第一象限的大致图象的特点可细分为两种情况：

①01α<<时,幂函数的图象在第一象限“趴着增”,且在()0,1内，图象在直线y x =的上方增,在()1,+∞图象在直线y x =的下方增。 ②1α>时,幂函数的图象在第一象限“竖着增”,且在()0,1内,图象在直线

幂函数的图像及性质

函数，∴由 (a ?1)3 ? (3? 2a)3 ，得a-1<3+2a 即a>-4 .
∴所求a的取值范围是 (－4，＋∞)．
幂函数的图像及性质
【变形训练】
1、已知幂函数 y ? (mm2 ? ? 1)xm2?2m?3 ，当x∈
(0，＋ ∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？
时，增
x∈(－∞，0]
时，减
(0,0)，(1,1)
x∈(0，＋ ∞) 时，减 x∈(－∞， 0) 时，减
(1,1)
幂函数的图像及性质
【幂函数的性质】
提示：幂函数 y＝xα(α∈R)随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不同．但它们的图象均不经过第四象限，在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定 .
幂函数的图像及性质
【幂函数的图像】
在同一平面直角坐标系下，幂函数 y＝x，y＝x2，y
＝x3，y＝
x
1 2
，y＝x－1的图象
分别如下图 .
幂函数的图像及性质
【典型例题】
1(1、)判已断知f(fx(x))在＝(0，x22 ＋，∞)上的单调性并证明； (2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最大值 .
解：∵函数 y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴p －3<0，即 p<3 ，

(完整版)幂函数图像及性质

上述问题中涉及的函数，都是形如 y=xa的函数。
从而我们归纳出幂函数的一般概念：
一般地，形如 y x ( R) 的函数
称为幂函数，其中 x为自变量，α为
常数．
注意与指数函数的区别: ● 幂函数——底数是自变量、指数是常数。 ● 指数函数——指数是自变量、底数是常数。
例1 判断下列函数哪几个是幂函数？
(3) y x2 定义域为x x 0,且x R ，偶函数
二、幂函数的图象
试作出下列函数的图象
y x, y x2,
1
y x3, y x 2 , y x1.
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表
函数
y=x 性质
y=x2 y=x3 y=x1/2
y=x-1
定义域 R
(3)在第一象限内,图象向上与Y轴无限
地接近,向右与X轴无限地接近.
知识应用：
例3.比较下列各组数的大小：
< 1
1
(1)1.32 ____ 1.4 2
(2)0.261 _>____ 0.271
2
(3)3.9 3
__<___
2
3.85
> 2
3
(4)(2.4)5 ____(1.8)5
解后反思
（1）y 3x; (2) y 1 ; (3) y 2x2; (4) y x2 1; x2

(完整版)幂函数图象及其性质

幕函数的图像与性质

1幕函数的定义

形如y=x "(a € R )的函数称为幕函数，其中 x 是自变量，a 为常数注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幕函数的自变量在底数位置，

而

指数函数的自变量在指数位置。

例题、(1).下列函数中不是幕函数的是(

)

A . y 仮

B . y x 3 c . y 2x D . y x 1

答案：C

例2.已知函数f x

m 2 m 1 x 5m 3，当m 为何值时，f x

图像是上升曲线。

(1)是幕函数;

(2)是幕函数，且是

上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反

比例函数; (5) 是二次函数; 简解：(1)

(2) (3) m

4 (4) m

(5) m 1

变式训练: 已知函数f

x m 2

为何值时,

在第一象限内它的

小

简解：m m 0

m 2m 3 解得：m 0

U 3,

小结与拓展：要牢记幕函数的定义，列出等式或不等式求解。

2.幕函数的图像

幕函数y = x a 的图象由于a 的值不同而不同.

a 的正负：a> 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升;

在第一象限的图象下降，反之也成立；

aV 0,图象不过原点,

注：在上图第一象限中如何确定

y=x 3, y=x 2, y=x , y x 2 , y=x -1方法：可画出x=x o ；

当x o >l 时，按交点的高低，从高到低依次为

y=x 3, y=x 2, 当0

y=x -1, y

y=x

y=x 2 y=x 3

y x?

y=x -1

定义域 R R R [0, ) x| x R 且x 0 值域

幂函数图像与性质

2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数
α>1 a=1
0<α<1
在(0,+∞)上为增函数;
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
-2 -3
1、所有幂函数在(0，+∞) 上都有定义，并且图象都通过点(1,1).
2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数; α <0,在(0,+∞)上为减函数.
3、α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，，
-1时1 的情形。
2
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
函数 y x 的图像
定义域： R 值域： R
奇偶性：在R上是奇函数单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
… -8 -1 0 1 8 27 64 …
… / / 0 1 2 3 2…
y 8
y=x3
6
4

幂函数图像与性质

y=x1/2 … 0 1/2 1 2 3 2 …
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
y x 1
定义域 R
R
R [0，+∞），0 （0，+）
值域 R [0，+∞） R [0，+∞），0 （0，+）
奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数
3，1 ，-1时的情形。
2
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
x … -1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 … y=x3 … -1 -1/8 0 1/8 1 27/8 8 …
x … 0 1/4 1 2 3 4 …
幂函数：(1)(2) yy1x0 (6)
例2 :已知f (x) m2 m 1 x2m3是幂函数，
求m的值。
解:因为f (x)是幂函数
m2 m 1 1 m2 m 2 0
m 2m 1 0
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
三、幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，
概念理解：
（1）都是以自变量x为底数；（2）指数为常数；（3）自变量x前的系数为1; （4）只有一项。

考点16 高中数学二次函数与幂函数(解析版)

考点16 二次函数与幂函数

【命题解读】

二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；

【基础知识回顾】

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

[常用结论与微点提醒]

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当

⎩⎪

⎨

⎪⎧a>0，

Δ<0时恒有f(x)>0；当⎩⎪

⎨

⎪⎧a<0，

Δ<0时，恒有f(x)<0.

3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；

(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

幂函数图象及其性质

3
幂函数图象及其性质
不等式求解。 2.幂函数的图像
幂函数 y＝xα 的图象由于 α 的值不同而不同．
α 的正负：α＞0 时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；
注：在上图第一象限中如何确定 y=x3，y=x2，y=x，
y
1
x2
3
幂函数图象及其性质
； 5.251 5.261
∵ 是增函数，，∴ ； y 5.26x
1 2
5.261 5.262
综上， 5.251 5.261 5.262
（4）∵ ，，，∴ 0 0.53 1 30.5 1 log3 0.5 0
log3 0.5 0.53 30.5
5.幂函数的性质及其应用
2，1 4
，
在幂函数 g(x) 的图象上．问当 x 为何值时有：（１）
；（２）；（３）． f (x) g(x)
f (x) g(x)
f (x) g(x)
Where there is a will,there is a way.
3
幂函数图象及其性质
变式：已知幂函数 f(x)=x m22m3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函
幂函数图象及其性质
幂函数图象及其性质

幂函数图像和性质

一般地，我们把形如 y xa 的函数
称为幂函数，
其中 x 是自变量， a 是常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
指数函数的自变量在
的位置上
幂函数的自变量在
的位置上
指数函数中参数a的取值范围是 a 0且a 1
幂函数中参数a的取值范围是 a R
图像
1
y x y x2 y x3 y x2
定义域值域单调性奇偶性对称性过定点
象限分布
R R
增函数
奇
(0, 0)
(0, 0) (1,1)
一三
R
[0, )
先减后增
偶
y轴
(0, 0)
(1,1)
一二
R
R
增函数
奇
(0, 0)
(0, 0)
(1,1)
一三
[0, )
[0, )
增函数
无无
(0, 0) (1,1)
一
y x1
y x2
y x3
1
yx 2
图
像
定义域 x 0
值域 y 0
单调性减减
奇偶性奇
对称性 (0, 0)
过定点 (1,1)
象限分一三
(0, ) x 0
(0, ) y 0
先增后减Baidu Nhomakorabea减减

幂函数图像及性质

一、什么是幂函数

在数学中，幂函数是一种形式为 f(x) = x^a 的函数，其中 a 是实数。当 a = 1 时，幂函数就是我们熟悉的一次函数，而当a > 1 时，幂函数的图像呈现出特定的形状。

二、幂函数的图像特点

1. 当 a > 1 时

•当 a > 1 时，幂函数的图像呈现出向上凹曲的形状。

•随着 x 的增大，函数值快速增加，增长迅猛。

•函数图像在第一象限，并在原点围绕原点对称。

2. 当 a = 1 时

•当 a = 1 时，幂函数就是一次函数，函数图像为一条过原点的直线。

3. 当 0 < a < 1 时

•当 0 < a < 1 时，函数的增长趋于缓慢，图像在第一象限被压缩，所占的范围变小。

三、幂函数的性质

1. 定义域和值域

•对于幂函数 f(x) = x^a，当 a 为奇数时，定义域为实数集，值域也为实数集；当 a 为偶数时，定义域为非负实数集，值域也为非负实数集。

2. 奇偶性

•当 a 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称；

•当 a 为偶数时，幂函数是偶函数，关于 y 轴对称。

3. 单调性

•当 a > 1 时，幂函数是增函数；

•当 0 < a < 1 时，幂函数是减函数。

4. 特殊情况

•当 a < 0 时，幂函数的图像为反比例函数的图像。

四、实例分析

示例 1

考虑函数 f(x) = x^2，这是一个以原点为中心向上开口的抛物线图像。随着 x 的增大，函数值快速增加，形成一个向上凸起的形状。

示例 2

当考虑函数 f(x) = x^0.5 时，函数的图像呈现出一个缓慢上升的曲线，范围也变小了，整体呈现出一种被压缩的状态。

幂函数的图像及性质

解：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：
任f(x取1)－x1、 f(xx22)∈ ＝(0x ，2 12＋x ∞2 22 )，且2(x xx 2 1 12 2 < x x2x 22，12)2(x1x x 1 2 2)x (2 x 22x1)
幂函数的图像及性质
【典型例题】
∵0<x1<x2，∴x1＋x2>0，x2－x1>0，x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为f(1)＝2.
幂函数的图像及性质
【典型例题】
2、已知幂函数y=xp-3 (p∈N*）的图象关于y轴对称，且p在(0，＋∞)上p 是减函数，求满足
(a1)3 (32a)3 的a的取值范围．
幂函数的图像及性质
【幂函数的图像】
在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y
＝x3，y＝ x
1 2
，y＝x－1的图象
分别如下图.
幂函数的图像及性质
【典型例题】
1(1、)判已断知f(f(xx))在＝(0，x2 2 ＋，∞)上的单调性并证明； (2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最大值.

幂函数图象及其性质

幂函数的图像与性质

1、幂函数的定义

形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（）

A． B． C． D．

y=3

y x

y x-

答案：C

例2．已知函数，当为何值时，：

()()

253

f x m m x--

=--m()

f x

（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）

()

0,+∞

是反比例函数；（5）是二次函数；

简解：（1）或（2）（3）（4）（5）

m=1

m=-1

m=-

m=-1

m=-

变式训练：已知函数，当为何值时，在第一象限内它

()()2

223

m m

f x m m x--

=+m()

f x

的图像是上升曲线。

简解：解得：

230

m m

⎧+>

⎪

⎨

-->

⎪⎩

()()

,13,

m∈-∞-+∞

小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。

2.幂函数的图像

幂函数y＝xα的图象由于α的值不同而不同．

α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

e a

n d

l l t h i n

g s

注：在上图第一象限中如何确定y=x 3，y=x 2，y=x ，12

y x =，y=x -1方法：可画出x=x 0；

当x 0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3，y=x 2， y=x ，12

y x =， y=x -1；

五种常见幂函数的图象

-2
-3
2
4
6
函数y=x3的图像
1、列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 4 y … -27 -8 -1 0 1 8 27 … 3
2
2、描点
1
-4
-2
-1
2
4
6
-2
3、连线 -3
五种常见幂函数的图象: y=x,y=x2,y=x3,y= x,y=x-1
y x3 y x2
(-2,4)
一、引入
我们先来看看几个具体的问题:
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需
要支付_P_=_W___元____ p是w的函数
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积
_S_=_a_²_
S 是a的函数
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
____V__=_a_³___
V是a的函数
x x x x f ( ) f ( )
(
x1
x2 )(
x1
x2 )
1
2
1
2
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为x1x2, x1, x2 [0,],所以 x1 x2 0, x1 x20,
所以f (x1) f (x2),即幂函数f (x) x在[0,]上的增函数.