人教A版高中数学必修四达标检测1.2.2同角三角函数的基本关系
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§1．2．2 同角三角函数的基本关系【学习目标、细解考纲】灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简、证明等问题。
【小试身手、轻松过关】 1、),0(,54cos παα∈=，则tan α的值等于 （ ）A ．34 B ．43 C ．34±D ． 43± 2、若15tan =α，则=αcos；=αsin．3、化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β=．【基础训练、锋芒初显】4、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 23 ,则这个三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形 5、已知sin αcos α = 18,则cos α－sin α的值等于 （ ）A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－236、已知θ是第三象限角，且95cos sin44=+θθ，则=θθcos sin （ ）A ．32 B ． 32- C ． 31 D ． 31- 7、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么1tan tan θθ+的值是 （ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．28、若ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+ = －2 tan α，则角α的取值范围是．9、已知21cos sin 1-=+x x ，则1sin cos -x x的值是 A ． 21 B ． 21- C ．2 D ．－210、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为 A ．51+B ．51-C ．51±D ．51--11、若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________．12、已知2cos sin cos sin =-+αααα，则ααcos sin 的值为． 13、已知524cos ,53sin +-=+-=m mm m θθ，则m=_________；=αtan ． 14、若θ为二象限角，且2cos2sin212sin2cos θθθθ-=-，那么2θ是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【举一反三、能力拓展】15、求证：1tan 1tan cos sin cos sin 2122-+=-+αααααα．16、已知51cos sin =+ββ，且πβ<<0． （1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；（2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．17、化简：tan α（cos α－sin α）＋ααααcos 1)tan (sin sin ++§1．3 三角函数的诱导公式§1．3 .1 公式二 三 四【学习目标、细解考纲】诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明【小试身手、轻松过关】1、下列各式不正确的是 （ ）A ． sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ． sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 2、600sin 的值为（ ）A ．21B ． 21-C ．23 D ． 23-3、⎪⎭⎫⎝⎛-π619sin 的值等于（ ） A ．21B ． 21-C ．234、对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ）A ．α一定是锐角B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角【基础训练、锋芒初显】5、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-6、sin34π·cos625π·tan45π的值是A ．－43 B ．43 C ．－43D ．43 7、)2cos()2sin(21++-ππ等于（ ）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos28、已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为 （ ）A ．332 B ． －2 C ． 332- D ． 332± 9、tan2010°的值为 ．10、化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___．11、已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan = ．12、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____．【举一反三、能力拓展】13化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 610sin 21．14、已知()413sin =+θπ， 求)cos()cos()2cos()2cos(]1)[cos(cos )cos(θθππθπθθπθθπ-+++-+-++的值．15、已知()θ+75cos 31=，θ为第三象限角，求()()θθ++--435sin 255cos 的值．。
人教A版数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系基础达标(含答案解析).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．已知sin α＝45，并且α是第二象限的角，那么tan α等于( ) A ．－43 B ．－34C.34D.43解析：选A.cos α＝－1－sin 2α＝－1－(45)2＝－35， ∴tan α＝－43. 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35C.15D.35解析：选B.sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×15－1＝－35. 3．已知tan α＝3，α为第三象限角，则sin α＝( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32解析：选D.∵tan α＝sin αcos α＝3，∴cos α＝33sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝±32，又α为第三象限角，∴sin α＝－32. 4．若sin θ·cos θ＝12，则下列结论中一定成立的是( ) A ．sin θ＝22 B ．sin θ＝－22C ．sin θ＋cos θ＝1D ．sin θ－cos θ＝0解析：选D.由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－1＝0，故sin θ－cos θ＝0.5．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．1 B ．2C ．－1D ．－2解析：选B.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. 又sin α＋cos α＝2，∴sin αcos α＝12， ∴tan α＋1tan α＝2. 6．若sin θ＝－35，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由sin θ＝－35，tan θ>0，可得θ为第三象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2 θ＝－45. 答案：－457．化简：(1sin α＋1tan α)(1－cos α)＝________. 解析：原式＝(1sin α＋cos αsin α)(1－cos α)＝1＋cos αsin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 答案：sin α8．已知tan α＝－12，则2sin α·cos αsin 2α－cos 2α的值是________． 解析：2sin α·cos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1，将tan α＝－12代入得：2sin α·cos αsin 2α－cos 2α＝2×(－12)14－1＝43. 答案：439．若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，求5sin A ＋815cos A －7的值． 解：因为sin A ＝45， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±35. 当cos A ＝35时，5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×35－7＝6； 当cos A ＝－35时，5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×(－35)－7＝－34. 10．已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值． 解：∵cos α＝－35<0，∴α是第二、三象限角． 若α是第二象限角，则sin α>0，tan α<0，∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－(－35)2＝45，tan α＝sin αcos α＝－43； 若α是第三象限角，则sin α<0，tan α>0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－(35)2＝－45， tan α＝sin αcos α＝43.。
人教a版必修4学案：1.2.2同角三角函数的基本关系(含答案)
1.2.2 同角三角函数的基本关系自主学习知识梳理1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________________.2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝__________；cos 2α＝__________；(sin α＋cos α)2＝__________；(sin α－cos α)2＝____________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝____________＝____________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________.自主探究1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.对点讲练知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值例1 已知cos α＝－817，求sin α、tan α.回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．变式训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．常用技巧：切化弦、整体代换．变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.课时作业一、选择题1．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－13．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8二、填空题6．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 7．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝ ______________________________________________________________________.8．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题9．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．10．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π) 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．1.2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22(2)cos αtan α sin αtan α自主探究1．解 ∵sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，x 2＋y 2＝r 2， ∴sin 2α＋cos 2α＝y 2r 2＋x 2r 2＝x 2＋y 2r 2＝1 (α∈R )． sin αcos α＝y r x r＝y x ＝tan α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．解 关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 对点讲练例1 解 ∵cos α＝－817<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517. tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)如果α是第三象限的角，可得到：sin α＝－1517，tan α＝158. 变式训练1 解 由tan α＝sin αcos α＝43， 得sin α＝43cos α. ① 又sin 2 α＋cos 2α＝1， ②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 例2 解 原式＝1cos α 1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α －(1－sin α)21－sin 2α ＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练2 解 原式＝(1－cos 4 α)－sin 4 α(1－cos 6 α)－sin 6 α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4 α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4 αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4 α－sin 4 α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 例3 证明 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练3 证明 左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．课时作业1．C [sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1.]2．B [∵α为第三象限角，cos α<0，sin α<0，∴原式＝cos αcos 2α＋2sin αsin 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.] 3．A [α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35， tan α＝－43.] 4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)·(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)·(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．－255 解析 由α是第二象限的角且tan α＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－12cos αsin 2α＋cos 2α＝1，则⎩⎨⎧ sin α＝55cos α＝－255.7．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32.8.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1，∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.9．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α ＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，原式成立．10．解 (1)由韦达定理知⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θ·cos θ＝m2 ②由①式可知1＋2sin θcos θ＝1＋32， ∴sin θcos θ＝34，∴m2＝34，∴m ＝32， (2)当m ＝32时，原方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， ∴x 1＝32，x 2＝12. ∵θ∈(0,2π)∴⎩⎨⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12cos θ＝32. ∴θ＝π3或θ＝π6.。
【高中数学】人教版必修四《1.2.2同角三角函数基本关系》课时训练及答案
同角三角函数的基本关系（第一课时）层级一学业水平达标1．下列四个结论中可能成立的是()A．sinα＝12cosα＝1 2B．sinα＝0且cosα＝－1C．tanα＝1且cosα＝－1D．α是第二象限角时，tanα＝－sinαcosα2．若α为第三象限角，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A．3B．－3 C．1D．－13．已知sinα＝－13，且αtanα＝()A．－223B.223C.2 4D．－244．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－35B．－15C.1 5D.3 55．若α是三角形的最大内角，且sinα－cosα＝35，则三角形是() A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形6．已知sinαcosα＝12，则sinα－cosα＝________.7．化简：1－2sin40°cos40°＝________.8．已知tanα＝－12，则1＋2sinαcosαsin2α－cos2α＝________.9．化简：(1)cos36°－1－cos236°1－2sin36°cos36°；(2)sinθ－cosθtanθ－1.10．已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α－3π2，－求：(1)tanα；(2)2sinα－3cosα4sinα－9cosα.1．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为()A.153B ．－153C.53D ．－532－cos α)的结果是()A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为()A.23B ．－23C.13D ．－134．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是()A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－135．化简：tan 2x ＋1tan x ·sin 2x ＝________.6．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________.7．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α(1)求tan α的值；(2)求sinα＋2cos α5cos α－sin α的值．8．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α；(2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．层级一学业水平达标1．解析：选B根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．2．解析：选B∵α为第三象限角，∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．解析：选C 由αcos α<0，又sin α＝－13，所以cos α＝－－223，所以tan α＝sin αcos α＝24.4．解析：选Asin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2－1＝－35.5．解析：选B将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．答案：0解析：因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×12＝0，所以sin α－cos α＝0.7．答案：cos 40°－sin 40°解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.8．解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13.9．解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.10．解：(1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2αtan 2α＋1＝1，即4tan 2α－3tan α－1＝0，解得tan α＝－14或tan α＝1.∵α－3π2，－α为第二象限角，∴tan α<0，∴tan α＝－14.(2)原式＝2tan α－34tan α－9＝720.层级二应试能力达标1．解析：选A因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13>0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A >0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153.2．解析：选A－cos α)－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α.3．解析：选A由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23.4．解析：因为sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，两边平方整理得sin θcos θ＝a 2－12<0，故－π2<θ<0且cos θ>－sin θ，所以|cos θ|>|sin θ|，借助三角函数线可知－π4<θ<0，所以－1<tan θ<0，故选C.5．答案：tan x解析：x2x2x ＝1sin x cos x ·sin 2x ＝sin xcos x＝tan x .6．答案：137解析：∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3，∴sin αcos α＝13，tan 2α＋1tan 2α＝α－2tan α·1tan α＝9－2＝7.7．解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－13或tan α＝1.因为αtan α<0，所以tan α＝－13.(2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋251＝516.8．证明：(1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边，∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α，右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝2＋2tan 2α＋sin 2α，∴左边＝右边，∴原式成立．。
人教A版高中数学必修四1-2-2 同角三角函数的基本关系牛老师
已知 tanα＝3. (1)求 sinα 和 cosα 的值． (2)求32scionsαα－＋csoinsαα的值． (3)求 sin2α－3sinαcosα＋1 的值．
[分析] tanα＝3，即 sinα＝3cosα，结合 sin2α＋cos2α＝1， 解方程组可求出 sinα 和 cosα；对于(2)，注意到分子分母都是 sinα 与 cosα 的一次式，可分子分母同除以 cosα 化为 tanα 的表 达式；对于(3)，如果把分母视作 1，进行 1 的代换，1＝sin2α ＋cos2α 然后运用(2)的方法，分子分母同除以 cos2α 可化为 tanα 的表达式，也可以将 sinα＝3cosα 代入 sin2α＋cos2α＝1 中求出 cos2α，把待求式消去 sinα，也化为 cos2α 的表达式求解．
成才之路·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
三角函数
第一章
1.2 任意角的三角函数
第一章
1．2.2 同角三角函数的基本关系
课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
课前自主预习
温故知新
1．已知角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则 y
sinα＝ y ，cosα＝ x ，tanα＝ x .
(2)若角 α 的象限未确定，需对 α 分象限进行讨论． (3)本题解题中常见的错误是求 sinα 时忽视符号的讨论，或 注意到了分象限讨论，应用公式 tanα＝csoinsαα时，又多加上了符 号：α 是第二象限时，tanα<0，∴tanα＝－csoinsαα.
已知 sinα＝45，并且 α 是第三象限的角，求 cosα、tanα 的 值．
方面，一是“角相同”，如
【高中数学必修四】1.2.2同角三角函数的基本关系
复习回顾
1.任意角的三角函数定义？
2.任意角的三角函数线定义？
归纳探索
sin 30 45 60 150
1 2
2 2
3 2
cos tan
3 2
2 2
sin cos
2 2
3 3
1 1 1 1
sin cos 3 3
1
3
3 3
1
1）从左向右证
2）从右向左证
3）左右两边同时证
4）证其等价变形的成立性
单方向证明时选取“由繁到简”的方向.
练习
2sin 3cos (1)已知 tan 3求 sin 4cos
(2) ( 3) 已知 tan 3求角三角函数的基本关系
sin cos sin cos cos sin cos sin cos cos
sin cos cos cos sin cos cos cos
弦化切
tan 1 tan 1
21 3 21
同角三角函数基本关系:
sin cos 1
2 2
称为平方关系
sin tan cos
关于两种关系
1.“同角”的概念与角的表达形式无关.
称为商数关系
如 : sin 2 3 cos 2 3 1;
2.关系式(公式)必须在定义域允许的范围内成立. 3.掌握公式的正用、逆用、变形用。
3
3 3
1 2
1 2
3 2
sin cos 1
2 2
sin tan cos
人教a版高一必修4_1.2.2_同角三角函数的基本关系_作业_word版含解析
人教a 版高一必修4_1.2.2_同角三角函数的基本关系_作业_word 版含解析[A.基础达标]1．已知sin α＝78，cos α＝158，则tan α等于( ) A.78 B.158 C.157 D.71515 解析：选D.由商数关系，得tan α＝sin αcos α＝78158＝715＝71515. 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35C.15D.35解析：选B.sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×15－1＝－35. 3．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为( ) A.103 B.53C.23D ．－2 解析：选A.由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－13， 1cos 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝(－13)2＋11－2×13＝103. 4．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．1 B ．2C ．－1D ．－2解析：选B.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. 又sin α＋cos α＝2，∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝2. 5．若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．－32 B.32C ．－52 D.52解析：选D.由题意知θ∈(0，π)，所以sin θ－cos θ＞0， sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝52.故选D. 6．若sin θ＝－35，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由sin θ＝－35，tan θ>0，可得θ为第三象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2 θ＝－45. 答案：－457．已知sin α＝13，且α为第二象限角，则tan α＝________. 解析：因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－19＝－223， 所以tan α＝sin αcos α＝13－223＝－24. 答案：－248．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为________．解析：由Δ≥0，知a ≤13. 又⎩⎨⎧sin α＋cos α＝23，①sin α·cos α＝a 3，② 由①式两边平方得：sin αcos α＝－518， 所以a 3＝－518， 所以a ＝－56. 答案：－569．化简 1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α，其中α为第三象限角． 解：因为α为第三象限角，所以－1＜sin α＜0，－1＜cos α＜0，1＋sin α＞0,1－sin α＞0. 则 1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－ (1－sin α)2(1－sin α)(1＋sin α) ＝(1＋sin α)－(1－sin α)|cos α|＝2sin α－cos α＝－2tan α. 10．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m 的值．解：设直角三角形的一个锐角为β，∵方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0中，Δ＝4(m ＋1)2－4×4m ＝4(m －1)2≥0，∴当m ∈R 时，方程恒有两实根．又∵sin β＋cos β＝m ＋12，sin βcos β＝m 4，∴由以上两式及sin 2β＋cos 2β＝1，得1＋2×m 4＝(m ＋12)2，解得m ＝±3.当m ＝3时，sin β＋cos β＝3＋12＞0，sin β·cos β＝34＞0，满足题意， 当m ＝－3时，sin β＋cos β＝1－32＜0，这与β是锐角矛盾，舍去．综上，m ＝ 3.[B.能力提升]1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( )A.45B.35C.25D.15解析：选B.因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2α＋169sin 2α＝1， 所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.2．(2013·高考浙江卷改编)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝() A ．3 B ．－13C ．－3D ．3或－13解析：选D.因sin α＋2cos α＝102，所以sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，所以3cos 2α＋4sin αcos α＝32， 所以3cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝32， 即3＋4tan α1＋tan 2α＝32， 即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13. 3．已知sin α－cos αsin α＋cos α＝2，则sin αcos α的值为________． 解析：由sin α－cos αsin α＋cos α＝2，等式左边的分子分母同除以cos α，得tan α－1tan α＋1＝2， ∴tan α＝－3，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－310. 答案：－3104．已知tan α＝3，则4sin 2α＋3sin αcos α4cos 2α－sin αcos α＝________. 解析：分子分母同时除以cos 2α，得4sin 2α＋3sin αcos α4cos 2α－sin αcos α＝4tan 2α＋3tan α4－tan α＝45. 答案：455．求证：(1)cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α； (2)sin αcos 2α－2sin α＋cos 2αsin α＝sin 5αcos 2α. 证明：(1)左边＝1＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫cos α1＋sin α－sin α1＋cos α ＝11＋sin α＋cos α⎣⎢⎡(1＋sin α＋cos α)cos α1＋sin α－ ⎦⎥⎤(1＋cos α＋sin α)sin α1＋cos α＝11＋sin α＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋cos 2α1＋sin α－sin α－sin 2α1＋cos α ＝11＋sin α＋cos α(cos α＋1－sin α－sin α－1＋cos α) ＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． 故原等式成立．(2)左边＝sin αcos 2α－2sin α＋cos 2αsin α＝1cos 2α(sin α－2sin αcos 2α＋cos 4αsin α) ＝1cos 2αsin α(1－2cos 2α＋cos 4α) ＝sin α(1－cos 2α)2cos 2α＝sin α·(sin 2α)2cos 2α＝sin 5αcos 2α＝右边，则原等式成立．6．(选做题)已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A ·cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解：(1)由sin A ＋cos A ＝15， 两边平方，得1＋2sin A ·cos A ＝125， 所以sin A ·cos A ＝－1225. (2)由(1)得sin A ·cos A ＝－1225＜0. 又0＜A ＜π，所以cos A ＜0，所以A 为钝角．所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为sin A ·cos A ＝－1225， 所以(sin A －cos A )2＝1－2sin A ·cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A ＞0，cos A ＜0，所以sin A －cos A ＞0，所以sin A －cos A ＝75. 又sin A ＋cos A ＝15， 所以sin A ＝45，cos A ＝－35. 所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.。
人教A版数学必修四§1.2.2 同角三角函数的基本关系
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）§1．2．2 同角三角函数的基本关系【学习目标、细解考纲】灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简、证明等问题。
【小试身手、轻松过关】 1、),0(,54cos παα∈=，则tan α的值等于 （ ）A ．34 B ．43 C ．34±D ． 43± 2、若15tan =α，则=αcos；=αsin．3、化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β=．【基础训练、锋芒初显】4、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 23 ,则这个三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形 5、已知sin αcos α = 18,则cos α－sin α的值等于 （ ）A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－236、已知θ是第三象限角，且95cos sin44=+θθ，则=θθcos sin （ ）A ．32 B ． 32- C ． 31 D ． 31- 7、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么1tan tan θθ+的值是 （ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．28、若ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+ = －2 tan α，则角α的取值范围是．9、已知21cos sin 1-=+x x ，则1sin cos -x x的值是 A ． 21 B ． 21- C ．2 D ．－210、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为 A ．51+B ．51-C ．51±D ．51--11、若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________．12、已知2cos sin cos sin =-+αααα，则ααcos sin 的值为． 13、已知524cos ,53sin +-=+-=m mm m θθ，则m=_________；=αtan ． 14、若θ为二象限角，且2cos2sin212sin2cos θθθθ-=-，那么2θ是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【举一反三、能力拓展】15、求证：1tan 1tan cos sin cos sin 2122-+=-+αααααα．16、已知51cos sin =+ββ，且πβ<<0． （1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；（2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．17、化简：tan α（cos α－sin α）＋ααααcos 1)tan (sin sin ++§1．3 三角函数的诱导公式§1．3 .1 公式二 三 四【学习目标、细解考纲】诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明【小试身手、轻松过关】1、下列各式不正确的是 （ ）A ． sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ． sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 2、600sin 的值为（ ）A ．21B ． 21-C ．23 D ． 23-3、⎪⎭⎫⎝⎛-π619sin 的值等于（ ） A ．21B ． 21-C ．234、对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ）A ．α一定是锐角B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角【基础训练、锋芒初显】5、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-6、sin34π·cos625π·tan45π的值是A ．－43 B ．43 C ．－43D ．43 7、)2cos()2sin(21++-ππ等于（ ）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos28、已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为 （ ）A ．332 B ． －2 C ． 332- D ． 332± 9、tan2010°的值为 ．10、化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___．11、已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan = ．12、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____．【举一反三、能力拓展】13化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 610sin 21．14、已知()413sin =+θπ， 求)cos()cos()2cos()2cos(]1)[cos(cos )cos(θθππθπθθπθθπ-+++-+-++的值．15、已知()θ+75cos 31=，θ为第三象限角，求()()θθ++--435sin 255cos 的值．。
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.2.2同角三角函数的基本关系式(二)
分析三 因为左边分母为 1－sin α，故可将右式分子、分母同 乘 1－sin α.
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1＋sin α1－sin α 方法三 右边＝ cos α1－sin α 1－sin2α cos2α cos α ＝ ＝ ＝ ＝左边， cos α1－sin α cos α1－sin α 1－sin α
若设 sin α－cos α＝t，则 sin α－cos α＝
2
.
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1.2.2（二）
探究点一
三角函数式的化简
三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其
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基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
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1.2.2（二）
请按照上述标准化简下列三角函数式： 已知 α 是第三象限角，化简：
本 答 课 时 栏 目 ＝ 开 关
1＋sin α － 1－sin α
1－sin α . 1＋sin α
原式＝
1＋sin α2 － 1－sin α1＋sin α 1－sin α2 cos2α
【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修4全集第一章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系
第一章 三角函数1.2 任意角的三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．化简1－sin 2160°的结果是( )A ．cos 160°B ．－cos 160°C ．±cos 160°D ．±|cos 160°| 解析： 1－sin 2160°＝ cos 2160°＝|cos 160°|＝－cos 160°.答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34. 答案：B3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α·cos α＝－59.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．答案：A4．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，则m 的值为( ) A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C5．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( ) A.32B ．－32 C.34 D ．－34解析：(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， 因为π＜α＜54π，所以cos α＜sin α，所以cos α－sin α＜0，所以cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B二、填空题6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于________．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0，所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )， 所以角C 是钝角，所以cos C ＝－1－sin 2C ＝－223， 所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24. 答案：－247．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________． 解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10， 所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α，所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α.所以tan α＝－2.。
人教A版高中数学必修四同步测试1.2.2同角三角函数的基本关系(教师版)
1.2.2 同角三角函数的基本关系（检测教师版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43B.34 C ．±34 D ．±43解析： 因为α是第二象限角，sin α＝45， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α ＝－43. 答案： A2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( ) A ．－2 B ．2 C.2316 D ．－2316解析： 由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，分子分母同除以cos α得：tan α－23tan α＋5＝－5， 解得tan α＝－2316. 答案： D3．化简：1－2sin 10°²cos 10°＝( )A ．cos 10°－sin 10°B ．sin 10°－cos 10°C ．sin 10°＋cos 10°D ．不确定 解析： 原式＝sin 210°－2sin 10°²cos 10°＋cos 210° ＝（sin 10°－cos 10°）2＝|sin 10°－cos 10°|＝cos 10°－sin 10° 答案： A4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35解析： sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.答案： B5.已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( ) A.15 B ．－15 C.513 D ．－513解析：利用切化弦以及sin 2α＋cos 2α＝1求解即可．tan α＝sin αcos α＝－512， ∵又α是第四象限角，sin α＜0，sin α＝－513，故选D. 答案：D6.已知sin θ＜0，tan θ＞0，则1－sin 2θ化简的结果为( )A ．cos θB ．±cos θC ．－cos θD ．以上都不对解析：tan θ＝sin θcos θ，由条件可知，cos θ＜0，得1－sin 2θ＝cos 2θ＝|cos θ|＝－cos θ，故选C.答案：C二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．化简(1＋tan 2α)²cos 2α＝________．解析： 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α²cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1. 答案： 18．已知sin α²tan α＝1，则cos α＝________．解析： sin 2α＋cos 2α＝1，由sin αtan α＝1，得sin 2α＝cos α，令cos α＝x ，x ＞0，则1－x 2＝x ，解得x ＝－1＋52. 答案： －1＋52三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值： (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α；(2)sin 2α－2sin αcos α＋1. 解析： 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3. (1)方法一：原式＝3³3cos α－cos α2³3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.方法二：原式＝3³sin αcos α－cos αcos α2³sin αcos α＋3³cos αcos α＝3tan α－12tan α＋3＝3³3－12³3＋3＝89. (2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2³332＋1＋1＝1310. 10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A ²cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解析： (1)由sin A ＋cos A ＝15，两边平方，得1＋2sin A ²cos A ＝125， 所以sin A ²cos A ＝－1225. (2)由(1)得sin A ²cos A ＝－1225＜0.又0＜A ＜π，所以cos A ＜0. 所以A 为钝角．所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为sin A ²cos A ＝－1225， 所以(sin A －cos A )2＝1－2sin A ²cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A ＞0，cos A ＜0，所以sin A －cos A ＞0，所以sin A －cos A ＝75.又sin A ＋cos A ＝15， 所以sin A ＝45，cos A ＝－35.所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.。
高中数学 必修四 1.2.2 同角三角函数的基本关系教案 新人教A版必修4
同角的三角函数的基本关系１．同角三角函数的基本关系：（理解并推导）①平方关系：1cos sin22=+αα；②商关系：αααtan cos sin =； 推论：αα22cos 11tan =+ ２．利用同角三角函数关系求三角函数值例 已知53sin -=α，求ααtan ,cos 的值。
（另法：定义法） 当α终边在第三象限时，43cos ,tan 54αα=-=；当α终边在第三象限时，43cos ,tan 54αα=-=。
例 已知tan α=，求sin ,cos αα的值。
当α终边在第二象限时，1cos ,sin 22αα=-=；当α终边在第四象限时，1cos ,sin 22αα==-。
（另法：通过先求角） ３．化简三角函数式例 化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----＝ 32 ４．证明三角恒等式例 求证：①ααααcos sin 1sin 1cos +=-；②2)cos sin 1()cos 1)(sin 1(2αααα+-=+- 介绍三角不等式证明的一般方法５．已知αtan 值，求代数式)(tan αf 型的值。
方法：①αααcos tan sin =；②“１”的逆用；③分子分母同除αcos例 已知2tan =α，计算： （１）sin cos sin 3cos αααα+=-；（２）221sin 3cos αα=-； （３）=-αα22cos 32sin 7；（４）=-ααα33cos 3sin sin 。
（１）－３；（２）５；（３）４；（４）２三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子已知α是三角形的内角，且51cos sin =+αα， （１）求αtan 的值；34-（方程组法求正余弦；平方法求正切；注意符号的处理） （２）用αtan 把代数式αα22sin cos 1-表示出来，并求其值。
725tan 11tan 22-=-+αα 五、课后作业 同步练习１．已知0tan >α，且0cos sin <+αα，则（ Ｂ ）Ａ．0cos >α Ｂ．0cos <α Ｃ．0cos =α Ｄ．αcos 符号不确定２．若角α是第三象限角，则1cos 1tan tan 1cos 22-++⋅αααα的值为（ Ｄ ） Ａ．１ Ｂ．1± Ｃ．－１ Ｄ．０ ３．设542sin =α，且角α是第二象限角，则2tan α＝（ Ａ ） Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．34± Ｄ．43± ４．已知55sin =α，则αα44cos sin -的值为（ Ｂ ） Ａ．51-Ｂ．53- Ｃ．51 Ｄ．53 ５．若角α是ABC ∆的内角，且32cos sin =+αα，试判断这个三角形的形状． 钝角三角形 ６．已知135cos -=α，求ααtan ,sin 的值． 当α是第二象限时，1212sin ,tan 135αα==-； 当α是第三象限时，1212sin ,tan 135αα=-=７．已知1sin 3sin cos 3cos 222=-+αααα，求：（１）αtan ；（２）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--． （１）141或-；（２）)41(tan 207-=α或)1(tan 51=α。
人教版A版高中数学必修4：1.2.2 同角三角函数基本关系(7)
例1.已知 sin 3，且在第三象限，
5
求 cos 和 tan
例2
已知 sin
3
5 ,求 cos , tan 的值.
解:因为
,所以 是第三或第四象限角.
由 sin 2 cos2 1 得
cos2 1 sin2
1
3
表达式有意义．
2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因
此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必
要时应就角所在象限进行分类讨论．
作业: 课本第21页第10题（1、2、3）第11题
课后思考：
同角三角函数的基本关系（1）
知识回顾:三角函数的定义
设任意角α ，它的终边上有一点P（除了原点）
的坐标为 (x,y)，则
的终边 y
正弦:sin y
r
余弦:cos x
r
正切:tan y
x
P(x,y)r源自oxsin 2 30 (sin 30)2
1、算一算 1
（2）������������������������������������°+ ������������������������������������° =
2
5
16 . 25
如果 是第三象限角,那么 cos
4 5
t.an
3. 4
如果 是第四象限角,那么 cos 4 , tan 3 .
5
4
例3、已知 tanα=2, 求sinα , cosα的值。
例4:已知tanα=2，
求
的值。
同步练习
[必修四新课标人教A版]1.2.2同角三角函数的基本关系
![[必修四新课标人教A版]1.2.2同角三角函数的基本关系](https://img.taocdn.com/s3/m/7b314d31650e52ea551898a4.png)
cos2 a =
1,
1 + tan2 a
sin2 a
=
tan2 a 1 + tan2 a
.
是否存在同时满足下列三个条件的角 ?
(1) sin 3
5
(2) cos 5
13
不存在
(3) tan 2
归纳探索
sin
cos
tan sin2 cos2
sin cos
因此，sin x 1 , cos x 3
2
2
●补充练习
1.已知sin 4 2m ,cos m 3 , 是第四象限角，
m5
m5
求 tan 的值.
2.证明 （: 1）1 2sin x cos x 1 tan x cos 2 x sin 2 x 1 tanx
难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。
知识复习
回顾三角函数的定义.
三角函数的定义
在 角的 终 边 上 任 取 点P( x, y（) 端 点 除 外 ） ， 则 ：
sin
y
R
r
有何联系？
cos x R r
tan y x
{ k , k Z}
sin cos
sin sin
cos cos
cos sin cos
cos
sin cos
cos sin
cos cosFra bibliotekcos cos
tan 1 2 1 3 tan 1 2 1
练习
(1)已知 tan 3求 2sin 3cos sin 4cos
13