第3章 静定梁和静定平面刚架

工程中常见的由单个杆件构成的静定梁有简支梁、伸臂梁和悬臂梁三种型式。

因其受力分析是多跨梁和刚架等结构受力分析的基础，故有必要在本节中加以叙述，使读者熟练掌握单个杆件的内力分析方法。

以便于进—步结合几何组成分析去研究杆件结构的内力计算。

(a )(b )(c )一、用截面法求指定截面的内力在平面杆件的任一截面上，一般有三个内力分量：轴力F N ，剪力F Q ，弯矩M 。

计算杆件内力的基本方法是截面法，即将杆件沿拟求内力的截面切开，取截面以左(或以右)部分为研究对象(称为隔离体)。

此时，截面上的内力就转化为所取隔离体上的外力，它与该隔离体上的其它外力(包括荷载和约束力)构成一个平面平衡力系，当该隔离体的约束力为已知时。

则此指定截面上的内力就可由隔离体的平衡条件确定。

图3-1第一节单跨静定梁计算梁的内力符号规定如下：轴力以拉力为正，剪力以绕隔离体顺时针方向转为正，对常用的水平梁弯矩以使梁的下边纤维受拉为正。

下面举例说明用截面法求内力的方法和应注意的事项。

A B C C A C B 2m 2m F By F AyF Ax F NC L L M C F QC L 60kN40kN34F P =100kN 40kN R F QC F CR R M C (a )(b )(c )图示为在截面C 处承受一斜向集中力的简支架。

试求截面C 处左、右两截面的内力。

（1）计算梁的支座反力:0=∑x F )kN(60←=Ax F :0=∑B M )kN(40↑=Ay F :0=∑y F )kN(40↑=By F （2）计算点C 左右截面的内力kN 60=L NC F kN 40=L Q C F m kN 80⋅=L C M 0=R NC F kN 40-=R Q C F m kN 80⋅=RCM二、内力图形状特征F Q FQ+dFQF N+dF NM+dMMF Nqdxmdxpdxdx F QBF QA F NBF NAM BM ABAq(x)m(x)p(x)(a)(b)若x轴以向右为正，y轴以向下为正取梁段AB中的微段为隔离体，由静力平衡条件可得：qdxdFQ-=pdxdFN-=mFdxdMQ-=qdxMd-=22上述微分关系的几何意义：(1)轴力图在某点的切线斜率等于该点的荷载集度q，但二者正负号相反。

(2)剪力图在某点的切线斜率等于该点的荷载集度p，但二者正负号相反。

(3)弯矩图在某点的切线斜率等于该点的剪力与均布力偶集度之差。

(4)弯矩图在某点的二阶导数(斜率的变化率)等于该点的荷载集度q，但二者正负号相反。

由上可归纳得到一般荷载作用下直杆内力图的形状特征如下：(1) 在p=0 的区段，F N 图为水平线，但在p 为非零常数的区段，F N 图为斜直线。

(2)在q=0的区段，F Q 图为水平线，M 图为斜直线。

(3) 在q 为非零常数的区段，F Q 图为斜直线，M 图为二次抛物线，当荷载向下时，M 曲线向下凸。

dx F Px M 0F Py F N M M+dMF N +dF NF Q +dF Q F Q 当荷载为集中荷载时，在集中荷载处的内力增量关系为Px N F F -=∆PyQ F F -=∆0M M -=∆图3-4(1)当只有水平集中力F Px 时，集中力作用点两侧截面轴力有突变，其突变数值等于集中力大小。

但剪力、弯矩是连续的。

(2)当只有竖向集中力F Py 时，集中力作用点两侧截面剪力有突变，其突变数值等于集中力大小。

但轴力、弯矩是连续的。

(3)当只有竖向集中力偶M 0时，集中力偶作用点两侧截面弯矩有突变，其突变数值等于集中力偶大小。

但剪力、轴力是连续的。

由上可归纳得到集中荷载作用下直杆内力图的形状特征如下：+--+l a b l ql 2q2ql AB B A F P F P b l l F P a l F P b F P al2ql ql 2F P abql 2(a )(b )F Q 图F Q 图M 图M 图例题图3-5a l M M lb M M M 图M 图M ab l l (a )(b )AB A B ll F P AB A B F P l F P lF P l F P l M 图M 图(a )(b )图3-6三、用“拟简支梁法”绘弯矩图F P q M A B l JK J K K J l JK M KJ M JKF QJK F QKJ q K l JK JM JKM KJ F Jy F Ky F Ky1F Jy1M KJ M JK Jl JK K q K l JK JF Jy2F q+拟简支梁应用截面法计算各控制截面的弯矩，如计算得到M JK 和M KJ ，下面绘制JK 段的弯矩图。

均布荷载作用区段F Ky1F Jy1M KJ M JK J l JK K M KJM JK JK K l JK JF Jy2F Ky28ql 2q Kl JK J M JK M KJ F Jy F KyM KJM JK J K 8ql 2+=图3-9集中荷载作用区段M al b la bF P F QJK F QKJM JK M KJF P J K K J B A M F P M KJ J M JKJ K F P C ab l =拟简支梁应用截面法计算各控制截面的弯矩，如计算得到M JK 和M KJ ，下面绘制JK 段的弯矩图。

图3-10M KJJM JK J KF P Cab lM KJM JKJKJKCF P lF P ab M KJM JKF P ab lC+图3-11[例3-1]: 试绘制图示简支梁的内力图。

（1）计算梁的支座反力:0=∑xF 0=Ax F :0=∑B M )kN(70↑=Ay F :0=∑yF )kN(50↑=By F （2）作剪力图（3）作弯矩图kN 70==Ay Q AC F F kN50-=-=By Q D B F F kN10-==Q CD Q CA F F 0==BD AC M M mkN 120⋅==CD CA M M mkN 100⋅==DB DC M M -+4m 2m2m AC BD q=20kN/m F P =40kNF By =50kNF Ay =70kN AE DBC 7010105050xAE CD B FE 1F 1C 1D 1100100122.5120(a )(b )(c )M 图（单位kN.m ） F Q 图（单位kN ）F Ax 图3-12(a) 结构及荷载B qM 1M 2ql 2l/2l/4l/4ql 2/4M 1ql 2/16ql 2/323ql 2/4(d) ql 2作用M 2M 1ql 2/16ql 2/32(c) q 作用M 2(b) M 1和M 2作用M 1M 2[例3-2]: 试绘制图示简支梁的弯矩图。

四、斜梁的内力计算计算斜梁或斜杆的方法仍然是截面法。

与水平杆相比，不同点在于斜梁或斜杆的轴线是倾斜的。

计算其轴力和剪力时，应将各力分别向截面的法向、切向投影。

工程中，斜梁和斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。

(a )l(b )图3-14q 与q’间的转换关系：αcos q q dsq qdx '=∴'=斜梁受均布荷载时有两种表示方法：（1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用q 表示。

（2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用q’表示。

图3-15[例3-3]试绘制图示斜梁内力图。

l xααAKB qF AyF ByF AxA K nq τx2ql MF NF Q (a )(b ))0(222l x x q x ql M ≤≤-=)0(cos )2(l x qx qlF Q ≤≤-=α)0(sin )2(l x qx qlF N ≤≤--=α图3-16+-+-ql 28ql 2cos αcos α2ql ql 2=sin αsin α2ql F N 图 F Q 图M 图图3-17多跨静定梁是由若干根梁用铰联接而成的静定结构，它常用来跨越几个相连的跨度，除了在桥梁上较常采用这种结构型式外，房屋建筑中的檩条有时也采用这种形式。

木檩条屋架上弦桩挡土墙引道板挂梁2.24m6m21.65m21.65m6m2.24m第二节多跨静定梁的计算一、多跨静定梁的特征(1)多跨静定梁的几何组成特点从多跨静定梁的几何组成来看，它的各个部分可以区分为基本部分和附属部分。

其中不依赖于其它部分的存在，独立地与基础组成几何不变并能独立承担荷载的部分称为基本部分；而需依靠基本部分才能保持其几何不变性的部分，故称为附属部分。

几种可能的多跨静定梁构造示意(a) 仅一个基本部分(b) 竖向荷载下二个基本部分(c) 中间一个基本部分(d) 竖向荷载下二个基本部分图3-19(2)多跨静定梁的静力学特点当荷载作用在基本部分时，附属部分的内力与反力为零，但仍存在牵连变形及位移。

FP1F EC BAM=0F Q =0F Q =0M=0DF Dy =0F Fy =0当荷载作用在附属部分时，基本部分的同样仍承受内力与反力。

qFP2FEDCBA图3-20图3-21从多跨静定梁的组成可知，其部件都是单跨梁，因此，只要注意部件间的相互作用和反作用关系，根据各单跨梁所受荷载和单跨梁作内力图的知识，按组成相反顺序：“先附属部分，后基本部分”。

先求支座反力和支座截面控制弯矩，然后用内力图形状特征及等效简支梁方法即可作出多跨静定梁的内力图。

二、多跨静定梁的解题思路与过程qqFEDCBAFP1FP2FP2FP1FEDCBA层叠图基本部分附属部分附属部分图3-22三、多跨静定梁的计算示例[例3-4] 试作图示多跨静定梁的内力图。

原结构层叠图计算过程(c)(d)(e)(f)(b)(a)F Gy =10kNF Fx =010kN F Fy =10kNF Ey =20kNF Dx =00F Dy =-10kNF Cy =-10kN10kN 20kN.mF Bx =0F By =10kN M A =20kN.m F Ax =02m2m2m2m2m20kN.m2m2m2m 2m2m 2m FBD10kN/m FABCDE GFGEDCBAGABCDEF10kN/m基本部分附属部分附属部分附属部分(h)(g)F Q图（单位kN)M 图（单位kN.m)_+_+10101010G FEDC B A GFED C B A5202020图3-24[例3-5] 图示三跨静定粱，全长承受集度为q 的均布荷载，各跨跨度均为l ，试调整铰C 、D 的位置，使AB 跨及EF 跨的跨中截面正弯矩与支座B 、E 处的负弯矩的绝对值相等。

2q(l-2x)qCAG Bll lxl-2x xFEDC BGA(c)(b)(a)0.2113ll 2l2l 22l 0.2113l 0.5774l ql 242ql 82212ql ql 122212ql M E=M B=M GGFEDCBAD Cq2q(l-2x)q(l-2x)2282BG M ql M -=BG M M =AB 跨跨中截面G 的正弯矩按题意故有122ql M B=于是有122)(2ql x l qx =-ll x 2113.0633=-=基本部分附属部分40kN10kN10kN512346(d) 由控制剪力作剪力图20kNmm1025=⨯51234610kN/m10kN(a) 结构及所受荷载60kN·m抛物线20kN·m20kN·m直线512346直线(c) 由控制弯矩和微分关系作弯矩图10kN·m40kN10kN(b) “先附属、后基本”求反力10kN/m10kN123465[例3-6]试作图示多跨静定梁的内力图。