暑假初二升初三数学衔接班预习教材(完整版)

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暑假初二升初三数学衔接班精品教材北师大版

第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法第二讲一元二次方程的解法-----公式法第三讲一元二次方程根的判别式第四讲一元二次方程根与系数的关系第五讲列一元二次方程解应用题第六讲正弦与余弦（1）第七讲正弦与余弦（2）第八讲正切与余切（1）第九讲正切和余切(2)第十讲解直角三角形第十一讲解直角三角形的运用第十二讲反比例函数第十三讲反比例函数的图像和性质（1）第十四讲反比例函数的图像和性质（2）第十五讲反比例函数综合运用第十六讲综合练习训练第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。

其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①②③④中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________.A．a≠0 B．a≠3C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠03、若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。

八升九数学衔接课程(培优)

八升九衔接暑期课程数学（培优教材）目录第一讲一元二次方程 (1)第二讲一元二次方程（配方法） (5)第三讲一元二次方程（公式法） (9)第四讲一元二次方程（分解因式法） (13)第五讲判别式和根与系数的关系 (17)第六讲列方程解应用题 (21)第七讲一元二次方程（综合） (25)第八讲一元二次方程检测 (30)第九讲直角三角形与勾股定理 (33)第十讲垂直平分线 (38)第十一讲角平分线定理 (43)第十二讲等腰、等边三角形 (48)第十三讲综合运用 (53)第十四讲二元一次方程（组） (58)第十五讲函数与坐标系 (63)第十六讲一次函数及其图象和性质 (67)第十七讲反比例函数 (71)第一讲一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2、了解一元二次方程的解或近似解。

3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。

这三个条件必须同时满足，缺一不可。

（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。

（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。

2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。

3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。

【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________.（3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

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目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题：下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ：；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练习1.1.4 .分式1.分式的意义形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ；（4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。

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目录第一讲一元一次方程的概念、根的意义、直接开平方法第二讲配方法、判别式第三讲公式法、分解因式法第四讲一元二次方程应用题第五讲根与系数的关系第六讲与方程有关的综合问题（一）第七讲与方程有关的综合问题（二）第八讲阶段性复习与测试（一）第九讲成比例线段第十讲平行线分线段成比例第十一讲探索三角形相似的条件第十二讲相似三角形的性质与应用（一）第十三讲相似三角形的性质与应用（二）第十四讲相似三角形综合复习第十五讲阶段性复习与测试（二）第一讲一元二次方程的概念、根的意义、直接开平方法知识点1：例1、下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是？__________________2222(1) x =3; (2) x -5x=12+x ; (3) x +2xy-3=0变式练习：1、下列关于x 的方程中，是关于x 的一元二次方程的是_________（填写序号）①2k +5k+6=0;②23310;3412x x --=③22(3)320;m x x ++-=④2(1)(1)1;k x k x k ---=-例2、将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项。

（1）2345;x x -=-（2）2(1)24x mx --=变式练习：1、将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项。

（1）24535;x x -=--（2）222456112;x x x x --=-+（3）2.ax bx c +=3,+=-22例、m为何值时，方程mx nx 5x 4是关于x的一元二次方程，m n满足什么条件时，方程式关于x的一元一次方程？变式练习：1、m 1若方程（m-1）x 2x 3是关于x的一元二次方程，则m的值是________.+-=知识点2：例4、2(1)已知1是方程3x 3x (2m)0的根，则m=_______.-+--=（2）22若a是方程2x -x-3=0的一个解，则6a -3a=_______.变式练习：x 012221、关于的一元二次方程(a-1)x +x+a -1=0的一个根是，则a的值为（）A、-1B、1C、-1或1D、-+=22222、若a,b,c是非零实数，且a b c 0,则有一个根是1的方程是（）A、ax +bx+c=0B、ax -bx+c=0C、ax +bx-c=0D、ax -bx-c=0知识点3：例5、用直接开平方法解方程：()x ;()x ;()(x ).=-=--=22214236035110变式练习：1、解方程：()x ;()x ;()(x ).==+=2221823723313知识点4：例6、-++--=2m 1已知关于x的方程(m 3)x 2(m 1)x 10.（1）m 为何值时，原方程是一元二次方程？（2）m 为何值时，原方程是一元一次方程？例7、解方程：（1）();x +=223417（2）(x )(x ).+=-222332变式练习：解方程：（1）(x );+=232116（2）(x )(x ).-=+222552补充试题：()++21221、关于x的方程a x m b=0的解是x =-2,x =1(a,m,b均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+2)+b的解是____________.222、证明关于x的方程(a -8a+20)x +2ax+1=0，不论a为何实数，该方程总是一元二次方程.2m 13、试分析关于x的方程(2m +m-3)x +5x=13能是一元二次方程吗？为什么？+达标训练：1、把方程（x－1）2＋2＝2x（x－3）化为一般形式是，其中二次项是，一次项系数是．2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由162元降为128元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则根据题意可得方程．3、方程2x-4=0的解也是关于方程220++=的解，则m的值为.x mx若x+mx-15=(x+3)(x+n),则m-n的值是________.5、222第二讲配方法、判别式知识点1：例1、用配方法解下列方程：2(2)2x4x30.+-= (1)x4x30;++=2变式练习：用配方法解下列方程：2+-=(2)2x8x30.(1)x6x30;++=2-+=例2、用配方法解关于x的方程：2x2x m0变式练习：用配方法解关于x 的方程：(0)++=ax bx c a ≠20知识点2：例3、不解方程，判断下列方程的根的情况：+=2(1)5x -7x 50；2(2)5x -5=7x ;-2(3)x =6x 9.变式练习：不解方程，判断下列方程的根的情况：-=2(1)4x -3x 20;2(2)4x +1=-3x ;2(3)4x +1=-4x .例4、-+=2已知关于x的方程x mx 20有两个相等的实数根，求m的值.变式练习：-+-=2271、已知关于x的方程x （2k-1）x k 0有两个相等的实数根，求k的值.4+=22、当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x +tx 20有两个相等的实数根.-+=22例5、(1)关于x的方程x （2m-2）x m 0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.++=2(2)若关于x的方程ax （2a+2）x a 0有实数解，求a的取值范围.变式练习：--=21、关于x的一元二次方程(1-k)x 2x 10有两个不相等的实数根，求k的取值范围.+=22、关于x的方程x +2kx 10有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

人教版初二升初三暑假预习复习教材(课外辅导机构专用版)

第2讲一元二次方程月日姓名：【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2、了解一元二次方程的解或近似解。

3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。

这三个条件必须同时满足，缺一不可。

（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。

（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。

2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。

3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。

【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2； ⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ； ⑨22=-x x ； ⑩)0(2≠=a bx ax例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________. （3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

2020-2021-人教版精品-初二升初三暑假衔接版（原卷+基础版）

2020-2021-⼈教版精品-初⼆升初三暑假衔接版（原卷+基础版）⽬录第⼀讲⼆次根式巩固复习 (2)第⼆讲勾股定理巩固复习 (8)第三讲⼀般平⾏四边形巩固复习 (16)第四讲特殊平⾏四边形巩固复习 (25)第五讲⼀次函数巩固复习 (31)第六讲阶段过关练 (39)第七讲⼆次根式、因式分解与分式综合提升 (49)第⼋讲⼀元⼆次⽅程概念 (53)第九讲解⼀元⼆次⽅程 (57)第⼗讲⼀元⼆次⽅程根的判别式 (71)第⼗⼀讲⼀元⼆次⽅程根根系关系—韦达定理 (77)第⼗⼆讲⼀元⼆次⽅程的应⽤ (83)第⼀讲⼆次根式巩固复习⼀、考纲要求1.了解⼆次根式、最简⼆次根式、同类⼆次根式的概念，会辨别最简⼆次根式和同类⼆次根式.2.掌握⼆次根式的性质，会化简简单的⼆次根式，能根据指定字母的取值范围将⼆次根式化简；3.掌握⼆次根式的运算法则，能进⾏⼆次根式的加减乘除四则运算，会进⾏简单的分母有理化. ⼆、⼆次根式知识梳理1.⼆次根式的有关概念（三⼤概念）基本概念（1）⼆次根式：式⼦)0(≥a a 叫做⼆次根式．注意被开⽅数a 只能是．并且根式a 也是 .重要概念（2）最简⼆次根式被开⽅数不含分母，不含能，这样的⼆次根式，叫做最简⼆次根式. 重要概念（3）同类⼆次根式化成最简⼆次根式后，被开⽅数相同的⼏个⼆次根式，叫做同类⼆次根式． 2.⼆次根式的五⼤性质（注意括号内条件要求）（1（a ≥0）；（2）()=2a （a ≥0）（3(0)(0)a a a a a ≥?==?-（4）=ab （a ≥0, b ≥0）（5）=b a（a ≥0,b ＞0）. 3.⼆次根式的运算（四种运算）（1）⼆次根式的加减：先把⼆次根式化为，再合并同类⼆次根式；（2）⼆次根式的乘法：应⽤公式计算；（3）⼆次根式的除法：应⽤公式计算；（4）⼆次根式的运算仍满⾜运算律，也可以⽤多项式的乘法公式来简化运算. ⼆次根式的运算结果⼀定要化成 .三、要点精析：⼆次根式的计算与化简是重点，也是难点.前⾯的公式、运算法则等在⼆次根式的计算与化简中仍然适⽤.要熟练地解决⼆次根式的计算与化简问题，需要学⽣真正理解考纲所要求的基础知识，并灵活的运⽤基础知识解决问题.继⽽重新回归到重点内容上.本章的基础知识：3个概念（⼆次根式、最简⼆次根式、同类⼆次根式），5条性质， 4种运算.基础讲011.有下列各式：√21，√x2+1，√93，√-6a(a>0).其中是⼆次根式的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.若⼆次根式√1+2x有意义，则x的取值范围为()A.x≥12B.x≤12C.x≥-12D.x≤-123.如果y=√x-2+√2-x+3，那么y x的算术平⽅根是()A.2B.3C.9D.±34.观察⼀组数：√3，2√2，√15，2√6…则第6个数是()A.3√5B.√47C.2√30D.4√35.下列代数式能作为⼆次根式的被开⽅数的是()A.3-πB.aC.a2+1D.2x+46.当a=-3时，⼆次根式√1-a的值是.7.写出⼀个只含有字母a的⼆次根式：. (注意：a的取值范围是全体实数)8.若式⼦1+√x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是.9.若√1-xx+3有意义，则x的取值范围是.10.⼩林同学在计算√(m-8)2时，他断⾔√(m-8)2=m-8，你认为他说得对吗?请说明理由.11.当x是怎样的实数时，√2x+3+1x+1在实数范围内有意义?提升讲0112.已知实数a满⾜|2018-a|+√a-2019=a，求a-20182的值.13.已知√a-17+2√17-a=b+8.(1)求a的值；(2)求a2-b2的平⽅根.14.如图，根据实数a、b在数轴上的位置化简√a2?√b2?√(a-b)2.15.若△ABC的三条边长分别为a，b，c，其中a和b满⾜√a-2+b2-6b=-9，求边长c的取值范围.基础练1.()A.√12B.√8C.√10D.√502.等式√x+1·√x-1=√x2-1成⽴的条件是()A.x≥1B.x≥-1C.-1≤x≤1D.x≥1或x≤-13.已知m<0，则化简|√m2-m|的结果是()A.-2mB.2mC.0D.-m4.下列运算结果是⽆理数的是()A.3√2×√2B.√3×√2C.√72÷√2D.√132-525.下列各等式成⽴的是()A.4√5×2√5=8√5B.5√3×4√2=20√5C.4√3×3√2=7√5D.5√3×4√2=20√66.甲、⼄两位同学对代数式√a+√b(a>0，b>0)分别做了如下变形：甲：√a+√b =√a-√b)(a+√b)(a-√b)=√a?√b；⼄：√a+√b=√a-√b)(√a+√b)√a+√b=√a?√b.关于这两种变形过程的说法正确的是()A.甲、⼄都正确B.甲、⼄都不正确C.只有甲正确D.只有⼄正确7.将⼆次根式√48化为最简⼆次根式：.8.若⼆次根式√5a+3是最简⼆次根式，则最⼩的正整数a为.9.化简√15×√6÷√10可得.10.当a<0，b>0时，化简√a2b=.11.已知√(2a-3)2=3-2a，则a的取值范围是.12.如果实数a在数轴上的位置如图所⽰，那么√(a-2)2+√(a-1)2=.13.计算：(1)14√8÷2√12×(-2√2)；(2)3√45÷√15×23√223.基础过关练1.下列各式中与√2可以合并的是()A.√3B.√4C.√8D.√122.计算√3?√27的值为()A.-2√6B.-4C.-2√3D.-√33.下列运算正确的是()A.√5+√2=√7B.a√x-b√x=(a-b)√xC.√6+√82=√3+√4=√3+2 D.√a2-b2=a-b 4.若最简⼆次根式√7a+b、√6a-b b+3可以合并，则a+b的值为()A.2B.-2C.-1D.15.下列各式中计算正确的是()A.3√2?√2=2√2B.2+√2=2√2C.√12-√102=√6?√5 D.√2+√3=√6√5-2，b=√5+2，则√a2+b2+7的值为()A.3B.4C.5D.67.化简√12-3√13，结果是.8.化简√9x2-6x+1-(√3x-5)2，结果是.9.已知x=√3+√2，y=√3?√2，则x3y+xy3=.10.已知最简⼆次根式√2m-1与√34-3mn-1可以合并，则mn=.11.计算：(1)√27-15√13+14√48；(2)√50?√8+√2.12.在计算√6×2√3?√24÷√3的值时，⼩亮的解题过程如下：解：原式=√6×2√3?√24÷√3=2√6×3?√243①=2√18?√8②=(2-1)√18-8③=√10. ④(1)⽼师认为⼩亮的解法有错，⼩亮是从第(填序号)步开始出错的；(2)请你给出正确的解题过程.提升过关练13.观察、思考、解答：例：(√2-1)2=(√2)2-2×1×√2+12=2-2√2+1=3-2√2，反之，3-2√2=2-2√2+1=(√2-1)2，∴√3-2√2=√2-1.(1)模仿上例，化简√6-2√5. (2)若√a+2√b=√m+√n，则m、n与a、b的关系是什么?请说明理由. (3)已知x=√4-√12，求(1x-2+1x+2)·x2-4的值.(结果保留根号)第⼆讲勾股定理巩固复习⼀、考纲要求1.了解直⾓三⾓形的有关概念，掌握其性质与判定．2.掌握线段中垂线的性质及判定.3.掌握⾓平分线的性质及判定.4.掌握勾股定理与逆定理，并能⽤来解决有关问题. ⼆、知识梳理1.直⾓三⾓形的性质与判定(1)直⾓三⾓形性质①⾓的关系：∠A+∠B=900；②边的关系：222a b c +=（勾股定理）③边⾓关系：00901230C BC AB A ?∠=?=∠=??(直⾓三⾓形中，30°⾓所对直⾓边等于斜边的⼀半) ④09012C CE AB AE BE ?∠=?=?=?（直⾓三⾓形斜边上的中线CE 等于斜边AB 的⼀半．）等⾯积法：⑤2ch ab s ==；（如图，s 是Rt △AB C 的⾯积，h 是斜边上的⾼）(2)直⾓三⾓形的判定：①有⼀个⾓等于90°的三⾓形是直⾓三⾓形．②有两⾓互余的三⾓形是直⾓三⾓形．③如果三⾓形⼀边上的中线等于这边的⼀半，则该三⾓形是直⾓三⾓形．④勾股定理的逆定理：如果三⾓形⼀条边的平⽅等于另外两条边的平⽅和，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形．2.⾓平分线的性质及判定(1)性质：⾓平分线上的点到⾓的两边的距离相等．(2)判定：⾓的内部到⾓的两边距离相等的点在⾓的平分线上，⾓的平分线可以看作是到⾓两边距离相等的点的集合．3.线段的垂直平分线(1)概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．(2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．(3)判定：到⼀条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．三、要点精析1.⽅法技巧：（1）勾股定理的逆定理是判断⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形的重要⽅法，应先确定最⼤边，然后验证两条短边的平⽅和是否等于最⼤边的平⽅.（2）利⽤勾股定理解决实际问题的前提条件是有直⾓三⾓形，作垂线构造直⾓三⾓形是解决这类问题的关键.（3）在解决有关⾓平分线的问题时通常做法是过⾓平分线上⼀点作⾓的两边的垂线．（4）垂直平分线的性质定理和折叠联系在⼀起的问题中，常需要联想相似形和全等形等有关知识综合进⾏解题．2.注意勾股定理及其逆定理的应⽤.在解决实际问题的过程中常⽤下列⽅法：（1）直接法；（2）转化法；（3）构造图形法（即构造直⾓三⾓形以达到解题的⽬的）；（4）图形结合法；（5）数形结合法；（6）⽅程的思想⽅法.基础讲1.已知x=√5-12，y=√5+12，则x2+xy+y2的值为()A.2B.4C.5D.72.已知等腰三⾓形的两条边长分别为1和√5，则这个三⾓形的周长为()A.2+√5B.1+2√5C.2+2√5或1+2√5D.1+√53.已知x+y=√3+√2，xy=√6，则x2+y2的值为()A.5B.3C.2D.14.在矩形ABCD中，AB=2√3?√2，BC=√6+1，则矩形ABCD的⾯积是()A.5√2B.4√3?√2C.5√2-4√3 D.5√2+4√3a =√7，则a-1a等于()A.√3B.-√3C.±√3D.±√116.若(3+√3)2=a+b√3(a、b为实数)，则a+b等于()A.9B.18C.12D.67.如图，在数学课上，⽼师⽤5个完全相同的⼩长⽅形在⽆重叠的情况下拼成了⼀个⼤长⽅形，已知⼩长⽅形的长为3√10、宽为2√10，下列是四位同学对该⼤长⽅形的判断，其中不正确的是()A.⼤长⽅形的长为6√10B.⼤长⽅形的宽为5√10C.⼤长⽅形的长为11√10D.⼤长⽅形的⾯积为3008.若⼀个长⽅体的长为2√6cm，宽为√3cm，⾼为√2cm，则它的体积为cm3.9.已知a2-b2=√6，a-b=√3，则a+b=.10.已知y=√x-1?√1-x+4，则√x2y=.11.若a=3-√2017，则代数式a2-6a+9的值是.12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√10+√2，BC=√10?√2，求：(1)Rt△ABC的⾯积；(2)斜边AB的长；(3)AB边上的⾼.提升讲13.已知线段a，b，c，且线段a，b满⾜|a-√48|+(b-√32)2=0. (1)求a，b的值. (2)若a，b，c是某直⾓三⾓形的三条边的长度，求c的值.14.著名数学家斐波那契曾研究了⼀列数，这列数被称为斐波那契数列(按照⼀定顺序排列的⼀列数称为数列)，这个数列的第n 个数为√5[(1+√52)n -(1-√52)n](n 为正整数)，例如：这个数列的第8个数可以表⽰为√5[(1+√52)8-(1-√52)8].根据以上材料，表⽰出下列各数并计算：(1)这个数列的第1个数； (2)这个数列的第2个数.1.在⼆次根式√x +2中，x 的取值范围是 ( ) A.x >-2 B.x ≥-2 C.x ≠-2D.x ≤-22.在下列根式中，不是最简⼆次根式的是 ( ) A.√7B.√3C.√12 D.√23.如果√x ·√x -6=√x (x -6)，那么 ( ) A.x ≥0B.x ≥6C.0≤x ≤6D.x 为⼀切实数4.下列运算正确的是 ( )A.√3+√2=√5B.√3×√2=√6C.(√3-1)2=3-1 D √52-32=5-3 5.若x =√m ?√n ，y =√m +√n ，则xy 的值是 ( ) A.2√m B.2√n C.m +nD.m -n6.已知某等腰三⾓形的⼀条边长是2√3，另⼀条边长是3√2，则这个等腰三⾓形的周长是 ( ) A.2√3+6√2 B.4√3+3√2 C.2√3+6√2或4√3+3√2 D.⽆法确定7.如图，数轴上表⽰1、√2的对应点分别为A 、B ，则以点A 为圆⼼，以AB 的长为半径的圆交数轴于点C ，则点C 表⽰的数是( )A.√2-1B.1-√2C.2-√2D.√2-28.已知某三⾓形三条边的长分别为√27 cm ，√3 cm ，√48 cm ，则它的周长为 cm.9.已知a5√50-4√12； (2)9√45÷3√15×32√83.提升阶段练12.已知△ABC ，AB =1，BC =4√12，CA =15√125. (1)分别化简4√12，15√125.(2)试在4×4的⽅格纸上画出△ABC ，使它的顶点都在⽅格的顶点上(每个⼩⽅格的边长为1).基础过关练1.斜边长为17 cm ，⼀条直⾓边长为15 cm 的直⾓三⾓形的⾯积是 ( ) A.60 cm 2 B.30 cm 2 C.90 cm 2 D.120 cm 22.某直⾓三⾓形的周长为30，且⼀条直⾓边的长为5，则另⼀直⾓边的长为 ( ) A.3 B.4 C.12 D.133.已知⼀根旗杆在离地⾯4.5⽶的地⽅折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6⽶处，则旗杆折断前⾼为 ( ) A.10.5⽶ B.7.5⽶ C.12⽶ D.8⽶4.如果△ABC 的三边长分别为m 2-1，2m ，m 2+1(m >1)，那么 ( ) A.△ABC 是直⾓三⾓形，且斜边的长为m 2+1B.△ABC 是直⾓三⾓形，且斜边的长为2mC.△ABC 是直⾓三⾓形，斜边的长需由m 的⼤⼩确定D.△ABC 不是直⾓三⾓形5.已知甲、⼄两⼈从同⼀地点出发，甲往正东⽅向⾛了4 km ，⼄往正南⽅向⾛了3 km ，这时甲、⼄两⼈相距 .6.已知⼀个直⾓三⾓形的三条边长为三个连续的偶数，则该三⾓形的三条边长分别为 .7.如图，有⼀个长为50 cm ，宽为30 cm ，⾼为40 cm 的⽊箱， (填 “能”或“不能”)将⼀根长为70 cm 的⽊棒放进去，这个⽊箱最长能放 cm 的⽊棒.8.已知某直⾓三⾓形的两直⾓边的长的⽐为3∶4，斜边长为10，则该直⾓三⾓形的两直⾓边的长分别为.9.如图，AD是△ABC的⾓平分线，AB=AC=13 cm，AD=12 cm，求BC的长.提升过关练10.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.现⽤4个全等的直⾓三⾓形拼成如图所⽰的“赵爽弦图”，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，AB=c，请你利⽤这个图形解决下列问题：(1)试说明a2+b2=c2；(2)如果⼤正⽅形的⾯积是10，⼩正⽅形的⾯积是2，求(a+b)2的值.11.如图1、图2所⽰的是两张形状、⼤⼩完全相同的⽅格纸，⽅格纸中的每个⼩正⽅形的边长均为1，线段AB、EF的端点均在⼩正⽅形的顶点上.(1)如图1，作出以AB为对⾓线的正⽅形ACBD，并直接写出此正⽅形的周长.(2)如图2，以线段EF为⼀边作出等腰△EFG(点G在⼩正⽅形的顶点处)，且顶⾓为钝⾓，并使其⾯积等于4.图1图2基础阶段练1.若三⾓形的三条边的长分别为①3，4，5；②9，40，41；③7，24，25；④13，84，85，则其中能构成直⾓三⾓形的有()A.4个B.3个C.2个D. 1个2.下列条件中，不能使△ABC成为直⾓三⾓形的是()A.a2=b2-c2B.a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C=∠B+∠AD.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶53.命题“对顶⾓相等”和“相等的⾓是对顶⾓”是()A.互逆命题B.互逆定理C.都是真命题D.都是假命题4.将直⾓三⾓形的三边扩⼤相同的倍数后，得到的三⾓形是()A.直⾓三⾓形B.锐⾓三⾓形C.钝⾓三⾓形D.不是直⾓三⾓形5.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若它们的关系为a2+c2=b2，则是直⾓.6.在△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=.7.已知两条线段的长分别为15 cm和8 cm，当第三条线段的长取整数时，这三条线段能组成⼀个直⾓三⾓形.8.如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12 cm，BC=3 cm，CD=4 cm，则当AD=cm时，∠ABD=90°.9.如图，在4×8的⽹格中，每⼀个⼩格都是正⽅形，若⼩格的边长为1，则△ABC是三⾓形.10.若△ABC的三个外⾓的度数之⽐为3∶4∶5，则最长边AB与最短边BC的数量关系是.11.如图所⽰的是⼀个四边形的边⾓料，东东通过测量，获得了如下数据：AB=3 cm，BC=12 cm，CD=13 cm，AD=4 cm.东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直⾓，你认为东东的判断正确吗?如果你认为他的判断正确，请说明理由；如果你认为他的判断不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直⾓?12.如图所⽰的是由边长为1的⼩正⽅形组成的⽹格.(1)求四边形ABCD的⾯积. (2)你能判断AD与CD的位置关系吗?说出你的理由.提升阶段练13.阅读题：若⾃然数a、b、c满⾜c2=a2+b2，则称它们为⼀组勾股数.我们常借助平⽅差公式来发现并证明某三个数是否为勾股数.例如：因为132-122=(13+12)(13-12)=25=52，所以132=52+122，所以5、12、13是⼀组勾股数.阅读完上⾯的内容，请解答下列两题：(1)试证明：8、15、17是⼀组勾股数.(2)请你再写出两组新的且不含公因数的勾股数(不必证明).第三讲⼀般平⾏四边形巩固复习⼀、考纲要求1.了解多边形的有关概念，并能解决简单的多边形问题．2.掌握多边形的内⾓和定理、外⾓和定理，并会进⾏有关的计算与证明．3.掌握平⾏四边形的概念，掌握平⾏四边形的有关性质和常⽤的判别⽅法．4.能够正确应⽤平⾏四边形有关的性质定理及判定定理进⾏计算和证明．5.体会在证明过程中，所运⽤的归纳、转化等数学思想⽅法．6.了解平⾯图形镶嵌的概念，了解三⾓形、四边形、正六边形可以进⾏镶嵌，能运⽤这三种图形进⾏简单的镶嵌设计，会判断⼏种正多边形能否进⾏镶嵌.⼆、知识梳理1.与n边形有关的知识（1）n边形的内⾓和为(n－2)·180°．外⾓和为360°．（2）如果⼀个多边形的边数增加⼀条，那么这个多边形的内⾓和增加180°，外⾓和增加0°．（3）过n边形的⼀个顶点⼀共可以引n-3 条对⾓线，n边形⼀共有(n3)2n条对⾓线．（4）正多边形：各个⾓都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．2.平⾯图形的的密铺(或称镶嵌)（1）平⾯的密铺定义：把形状、⼤⼩完全相同的⼀种或⼏种平⾯图形拼接在⼀起，使得平⾯上不留空隙，不重叠，这就是平⾯图形的密铺，也叫平⾯图形的镶嵌．（2）正三⾓形、正⽅形、正六边形都可以单独使⽤密铺平⾯，部分正多边形的组合也可以密铺．3.平⾏四边形的性质（1）平⾏四边形对边平⾏且相等_，对⾓_相等_；邻⾓_互补_；对⾓线_互相平分 .（2）平⾏四边形两个邻⾓的平分线互相_垂直_，邻边不相等的平⾏四边形的两个对⾓的平分线互相_平⾏_．（填“平⾏”或“垂直”）（3）平⾏四边形的⾯积公式_S ah=.（4）平⾏四边形是中⼼对称图形．4.平⾏四边形的判定（1）定义法：两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形.（2）边：两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形；⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形．（3）⾓：两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形．（4）对⾓线：对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形．5.两条平⾏线间的距离：两条平⾏线中，⼀条直线上任意⼀点到另⼀条直线的距离，叫做两条平⾏线间的距离．三、要点精析平⾏四边形是四边形中应⽤⼴泛的⼀种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、⾓相等和直线平⾏的根据之⼀．1.平⾏四边形的性质（符号语⾔表达形式）：2.平⾏四边形的判定（符号语⾔表达形式）：AB CDABCDBC AD四边形是平⾏四边形////==AB CDABCDBC AD四边形是平⾏四边形=AB CDABCDAB CD四边形是平⾏四边形ABCDOC OD==四边形是平⾏四边形ABC DCABCDBAD==四边形是平⾏四边形∠∠A∠∠BCD3数学⼝诀---平⾏四边形判定要证平⾏四边形，两个条件才能⾏；⼀证对边都相等，或证对边都平⾏；⼀组对边也可以，必须相等且平⾏；对⾓线，是个宝，互相平分“跑不了”；对⾓相等也有⽤，“两组对⾓”才能成.基础讲1.已知梯⼦的底端到建筑物的距离为5⽶，⽤13⽶长的梯⼦可以到达该建筑物的⾼度是()A.12⽶B.13⽶C.14⽶D.15⽶2.若等边△ABC的边长为2 cm，则△ABC的⾯积为()A.√3cm2C.3√3cm2D.4 cm23.在△ABC中，若AC=√2，BC=√7，AB=3，则下列结论中，正确的是()A.∠B=90°B.△ABC是锐⾓三⾓形C.∠C=90°D.△ABC是钝⾓三⾓形4.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为()A.√5B.√3C.1D.125.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为()A.72B.258C.278D.1546.已知直⾓三⾓形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为.7.在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，则AC边上的⾼是.8.如图，⼀架10⽶长的梯⼦斜靠在墙上，当梯脚在B处时，梯顶刚好抵达8⽶⾼的路灯的顶端.当电⼯师傅沿梯⼦上去修路灯时，梯⼦下滑到了B'处，下滑后，两次梯脚间的距离BB'为2⽶，则此时梯顶离路灯顶端⽶.9.已知Rt△ABC的周长为4+2√3，斜边AB的长为2√3，则Rt△ABC的⾯积为.10.如图，某⼈欲横渡⼀条河，由于⽔流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B200 m，已知他在⽔中实际游了520 m，求该河流的宽度.提升讲11.如图，折叠长⽅形ABCD的⼀边AD，使点D落在BC边上的点F处，如果AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.基础练1.如图，在?ABCD中，点E是BC延长线上⼀点，且∠A=120°，则∠DCE的度数是()A.120°B.60°C.45°D.30°2.如图，在?ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DEA的度数是()A.100°B.80°C.60°D.40°3.已知?ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为()A.4B.12C.24D.284.如图，?ABCD的周长为40，△BOC的周长⽐△AOB的周长多10，则AB的长为()A.20B.15C.10D.55.知平⾏四边形的周长为24 cm，相邻两条边长的⽐为3∶1，那么这个平⾏四边形较短的边长为cm.6.如图，?ABCD的对⾓线相交于点O，且DC≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为6 cm，则?ABCD的周长为.7.如图，在?ABCD中，AD=10，AC=8，BD=14，则△BOC的周长是.8.如图，?ABCD的顶点A、B、D的坐标。

人教版初二升初三暑假预习复习教材(课外辅导机构专用版)

第 2 讲一元二次方程月日姓名：【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2、了解一元二次方程的解或近似解。

3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax 2bx c 0（ a 、b 、c 、为常数， a 0 ）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

（ 1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是 2。

这三个条件必须同时满足，缺一不可。

（ 2） ax2bx c 0 （ a 、 b 、 c 、为常数， a 0 ）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。

（ 3）在 ax2bx c 0 （ a 0 ）中， a ， b ， c 通常表示已知数。

2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的ax 2bx c 的值为 0， x 的值即是一元二次方程 ax 2bx c 0 的解。

3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的ax 2bx c 的值无限接近 0时， x 的值即可看做一元二次方程ax 2bx c 0 的解。

【经典例题】例 1、下列方程中，是一元二次方程的是① y2y0；② 2x2x 3 0；③13 ；④ ax2bx ；4x2⑤ x22 3x ；⑥ x3x 4 0 ；⑦ t22 ；⑧ x23x3 0 ；x⑨ x2x 2 ； ⑩ ax2bx(a 0)例 2、（ 1）关于 x 的方程 ( m － 4) x 2+( m +4) x +2m +3=0，当 m __________ 时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（ 2）如果方程ax2+5=( x+2)( x－ 1) 是关于x的一元二次方程，则a__________.（ 3）关于 x 的方程(2m2m 3) x m 15x 13 是一元二次方程吗?为什么？例 3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

初二升初三数学衔接课程

初中数学暑假衔接课程曲靖状元楼校区第一部分：回顾初二内容第17章反比例函数一．反比例函数的定义形如y ＝kx（k 为常数，且0k ≠）的函数统称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的表达形式还有1(0)y kx k k -=≠是常数，，xy ＝k （k ≠0）。

例题1：（1）已知y 是x 的反比例函数，当x ＝2时，y ＝8，写出y 与x 的关系式，并求当y ＝－4时，x 的值；（2）已知点（1，-2）在反比例函数ky x =的图象上，则k=____________。

二．反比例函数的图象和性质1．反比例函数的表示方法和一次函数一样，反比例函数有表达式法，列表法，图象法三种，下面主要讲述两个图象。

反比例函数的图象由两条曲线组成，且随着x的增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴。

反比例函数的图象属于双曲线。

2．反比例函数的图象和性质，如下表：函数图象性质反比例函数y＝k x（0k≠）k>0双曲线，位于第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大二减小，与x轴，y轴无交点k<0双曲线，位于第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大二增大，与x轴，y轴无交点例题2：反比例函数4yx=-的图象大致是（）例题3：如果函数y=kx-2（k ≠0）的图象不经过第一象限，那么函数ky x=的图象一定在( )A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限 3．（思考）当两个反比例函数的k 的符号相同时，k 对函数图象的影响例题：在下面的平面直角坐标系中画出函数2y x =，4y x =和6y x =的图象，比较这三个函数图象的特点。

例题5：如图是三个反比例函数312,,k k ky y y x x x===，在x 轴上方的图像，由此观察得到k l 、k 2、k 3的大小关系为（）>k 2>k 3 B. k 3>k 2>k 1 C. k 2>k 3>k 1 D. k 3>k 1>k 24．与反比例函数图象有关的图形例题：如图所示，反比例函数4y x=在第一象限的图象上一点P ，过P 点分别作两条直线垂直于x 轴和y 轴，交点分别是A ，B 求四边形OAPB 的面积。

初升高数学衔接教材(完整)

第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。

② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。

③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习（1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1）当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ，。

暑假初二升初三数学衔接班教材北师大版

注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。

其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是：① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。

初二升初三暑假衔接班数学资料1-4

《圆》第1讲圆的认识（1）1、说出几个与圆有关的成语和生活中与圆有关的物体.思考：车轮为什么做成圆形？2、爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛.他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜.如下图中A 、B 、C 三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？学习内容：1、圆的定义：_______________ （运动的观点）2、画圆并体会确定一个圆的两个要素是和3、点和圆的位置关系量一量（1）利用圆规画一个⊙O ，使⊙O 的半径r=3cm. （2）在平面内任意取一点P ，点与圆有哪几种位置关系？若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么：点P 在圆 d r点P 在圆 d r点P 在圆 d r4、圆的集合定义（集合的观点）（1）思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？（2）圆是到定点距离定长的点的集合.圆的内部是到的点的集合；圆的外部是的点的集合 .（3）想一想：角的平分线可以看成是哪些点的集合？线段的垂直平分线呢？尝试与交流已知点P 、Q ，且PQ=4cm ，⑴画出下列图形：到点P 的距离等于2cm 的点的集合；到点Q 的距离等于3cm 的点的集合.⑵在所画图中，到点P 的距离等于2cm ，且到点Q 的距离等于3cm 的点有几个？请在图中将它们表示出来.⑶在所画图中，到点P 的距离小于或等于2cm ，且到点Q 的距离大于或等于3cm 的点的集合是怎样的图形？把它画出来.知识梳理1、圆的定义.2、点与圆的位置关系.达标测试1、正方形ABCD 的边长为2cm ，以A 为圆心2cm 为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ；点C 在⊙A ；点D 在⊙A .2、已知⊙O 的半径为5cm.(1)若OP=3cm ，那么点P 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O ；(2)若OQ= cm ，那么点Q 与⊙O 的位置关系是：点Q 在⊙O 上；(3)若OR=7cm ，那么点R 与⊙O 的位置关系是：点R 在⊙O .3、⊙O 的半径10cm ，A 、B 、C 三点到圆心的距离分别为8cm 、10cm 、12cm ，则点A 、B 、C 与⊙O 的位置关系是：点A 在；点B 在；点C 在4、⊙O 的半径6cm ，当OP=6时，点A 在；当OP 时点P 在圆内；当OP 时，点P 不在圆外.5、到点P 的距离等于6厘米的点的集合是________________________________________6、已知AB 为⊙O 的直径P 为⊙O 上任意一点，则点关于AB 的对称点P ′与⊙O 的位置为( ) (A)在⊙O 内 (B)在⊙O 外 (C)在⊙O 上 (D)不能确定6、如图已知矩形ABCD 的边AB=3厘米，AD=4厘米（直接写出答案）（1）以点A 为圆心，3厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系如何？（2）以点A 为圆心，4厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系如何？（3）以点A 为圆心，5厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系如何？ ⇔⇔⇔7、如图，在直角三角形ABCD中，角C为直角，AC=4，BC=3，E，F分别为AB，AC的中点.以B为圆心，BC为半径画圆，试判断点A，C，E，F与圆B的位置关系.8、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．第2讲圆的认识（2）知识梳理与圆有关概念(1)请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦；_________________________________叫做直径.(2)弧、半圆、优弧与劣弧的概念及表示方法.弧：___ _半圆：_________________________ 优弧：________________ _ 表示方法：__劣弧：______________________________ _,表示方法：______(3)借助图形理解圆心角、同心圆、等圆.圆心角:______________________________同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _.(4) 同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________典型例题例1、如图点A、B和点C、D分别在两个同心圆上,且∠AOB=∠COD. ∠C与∠D相等吗?为什么?2如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.达标检测一、判断：（1）直径是弦，弦是直径. （）（2）半圆是弧，弧是半圆. （）（3）周长相等的两个圆是等圆. （）（4）长度相等的两条弧是等弧. （）（5）同一条弦所对的两条弧是等弧. （）（6）在同圆中，优弧一定比劣弧长. （）二、解答1、如图,CD是⊙O的直径,∠EOD=84°,AE交⊙O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.2、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC的中点，若OD=4，求BC.3、如图, AB是⊙O的直径,点C在⊙O上, CD⊥AB, 垂足为D, 已知CD=4, OD=3, 求AB的长.3. 如图, AB是⊙O的直径, 点C在⊙O上, ∠A=350, 求∠B的度数.第3讲圆的对称性（1）学习内容：1、按照下列步骤进行小组活动：⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '⑵在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、''B A⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图）⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流_______________________________________________2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流.你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?3、圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等4、试一试：如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦填空：（1）若AB=CD，则，（2）若AB= CD，则，（3）若∠AOB=∠CO 'D ，则，5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等例1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？例题2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，且AE=BF ，AC 与BD 相等吗？为什么？知识梳理：1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；2、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.达标检测：1、画一个圆和圆的一些弦，使得所画图形满足下列条件：（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；︵︵（2）既是轴对称图形，又是中心对称图形. 2、如图,在⊙O 中, ,∠1=30°,则∠2=__________3、一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________.4、⊙O 中，直径AB ∥CD 弦，，则∠BOD=______.5、在⊙O 中，弦AB 的长恰好等于半径，弦AB 所对的圆心角为6、如图，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，∠AOE 的度数是 .7.已知，如图，AB 是⊙O 的直径，M,N 分别为AO,BO 的中点，CM ⊥AB,DN ⊥AB,垂足分别为M,N.求证：AC=BD第4讲圆的对称性（2）知识准备：1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________.2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性.学习内容：提出问题：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.练习：1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴.2、将第二个图中的直径AB 改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？探索活动：1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折，你发现了什么？2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）3、得出垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.5、给出几何语言︒=⋂60度数AC AC = BD例 1 如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ，AC 与BD 相等吗？为什么？例 2 如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3.⑴求的半径； ⑵若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围.知识梳理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的弧等. 达标检测：1、如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____2、已知，如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长.3、如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有AM=_____， _____= ，____= ．4.过⊙O 内一点P 作一条弦AB ，使P 为AB 的中点.5.⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM.6.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．7. ⊙O 的弦 AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___8.圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 CM9.在半径为5的圆中,弦AB ∥CD,AB=6,CD=8,试求AB 和CD 的距离.10. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？11、“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为。

初二升初三寒暑假培训班数学教材

第 1 页共 32 页1初二升初三数学资料第一部分一元一次不等式和一元一次不等式组知识要点：1. 不等式：一般地用不等号连接的式子叫做不等式。

2. 不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

3. 解不等式：把不等式变为x>a 或x<a 的形式。

4. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。

5. 解一元一次不等式的步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为16. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分。

法则：“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解。

” 【典型例题】例1. 用不等式表示下列数量关系。

（1）a 的一半与－3的和小于或等于1。

（）的与的差的相反数不小于。

2a 3525-（）的相反数的不大于的倍加。

317516x x解：（）的一半：112a a 与－的和：3123a +-() 小于或等于：11231a +-≤() 故：1231a +-≤()（）的与的差：2352352a a - 相反数：－()352a - 不小于－：53525--≥-()a故：---≥-()3525a （）的相反数的：31717x x- x 的5倍加16：5x ＋16 其关系不大于：-≤+17516x x故：-≤+17516x x点评：用不等号表示的时候要准确理解“大”、“小”、“多”、“少”、“不大于”、“不小于”、“不多于”、“不少于”、“至少”、“至多”等词语的含义。

例2. 有理数x 、y 在数轴上的对应点如图所示，试用“>”或“<”号填空：x 0 y（1）x______y（2）x ＋y_____0（3）xy____0（4）x －y______0第 2 页共 32 页2精析：由数轴可知：x<0<y ，且|x|<|y| 故填：（1）<；（2）>；（3）<；（4）< 点评：本题体现了数形结合的数学思想方法。

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16)
2
ab
2
ac
2
bc
17)
2
3x
5xy
2
2y x 9y 4
第二讲
一元二次方程与二次函数的关系
1、一元二次方程
（1）根的判别式
对于一元二次方程
2
ax＋bx＋c＝0（a≠0），有:
（1）
x1
>0时，方程有两个不相等的实数根
2）
Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝
b，2＝，2＝
b
2a
3）
Δ<0时，方程没有实数根．
第一讲数与式
1、绝对值
（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
a, a 0,
|a| 0, a 0,
a, a 0.
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
（3）两个数的差的绝对值的几何意义：a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离．
2x xy
2
y 4x 5y 6
5．
关于x的二次三项式
ax
2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程2
ax x
解为
1
bx
)
0(
c a的两个实数根是
x1、
x2，则二次三项式
2
0)
就可分
例5.把下列关于
x的二次多项式分解因式：
2
1
p
2
6
）
1
2
q
12
14)31
(13)
x2
－2x－1
15)
4 2

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注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。

其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

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第一讲一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。

其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。

(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是：① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。

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