空间曲面

设 yoz 面上的一条曲线L ,其方程为
F (y, z) = 0 x =0 L绕轴z旋转一周就得到一个旋转面(如图6.9). z 求该旋转面的方程. 设点P(x, y, z)为旋转 面上任一点,将该点旋转 至yoz面得点P1(0,y1,z1), 则有 2 2 P1(0,y1,z1) P(x, y, z) o y
就是它的一条准线. 一般地,在空间直角坐标系中,方程 F (x , y) = 0 (不含z), 表示母线平行于z轴的柱面,它的一条准线 F ( x, y) 0 为 0 z 方程 G (x , z) = 0(不含y), 表示母线平行于y轴 G( x, y ) 0 的柱面,它的一条准线为 0 y 方程 H( y, z) = 0(不含x), 表示母线平行于y轴 的柱面,它的一条准线为
图6.2 z
x
x
y
z
z
o
x 图6.4
y
o
x y 图6.6
y
o
x
z
图6.5
三、锥面
过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面. 这些直线叫做它的母线，定点叫做它的顶点.在 锥面上与各条母线都相交的曲线叫做它的一条 准线，准线不是唯一的，通常可取在一个平面 上的截线作为其准线（图6.7）. 如果准线是一个圆， z 顶点在通过圆心且垂直 于此圆所在平面的直线 上，这样的锥面叫圆锥 y o 面. x 图6.7
F (x, y, z) = 0 是齐次方程. 另外,还可证明,任何一 个关于x, y, z 的齐次方程,都表示顶点在坐标原点 的锥面. 类似地,关于 x-x0 , y-y0 , z-z0 的齐次方程表示 顶点在(x0 , y0 , z0)的锥面. 如顶点在原点的圆锥面方程 z2 = c2(x2 + y2) 是关于 x, y, z 的齐次方程, 又如二次齐次方程 xy + yz + xz = 0 一定表示一个顶点在原点的锥面. 事实上,设 f (x, y, z) = xy + yz + xz , 令
即
2 2 2
这个方程的特点为: (1) 它是三元二次方程;
(2)平方项的系数都相等且不为零(可设为1); (3)不含有交叉项 xy, yz , zx. 一般地 , 满足上述三个条件的方程 , 其图形总 是一个球面 .事实上 , 通过配方法,每一个这样的方 程都可以化为:
( x x0 ) ( y y0 ) (z z0 ) k
例12 求 yoz 面上的直线 z = ycotα绕z轴旋转 一周所得圆锥面的方程（图6.10）. 解 把直线方程中的z不变，y变为 x 2 y 2
就得到所求圆锥面的方程为： z α o x 图6.10 y
z x 2 y 2 cot
即
z a (x y )
2 2 2 2
一、球面
与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面.下面 建立球心在点 P0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 . 空间中任一点 P(x, y, z) 在球面上,当且仅当
| P0 P | = R , 所以该球面方程为: ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
2 2 2 2
这些截痕都是椭圆.
如果用平行于xoy面的平面z = z1, ( |z1|≤c )
去截椭球面,截痕(交线)为: 2 2 x y 2 1 2 a 2 b 2 2 2 c z 2 c z1 1 2 c c z z1 这是平面 z = z1上的椭圆,它的半轴分别为
解 (1) 椭圆柱面:母线平行于x轴, 准线是 yoz面上的椭圆(图6.2) ;
(2)圆柱面:母线平行于z轴, 准线是xoy面上的单 位圆 (图6.3) ; (3)抛物柱面:母线平行于z轴, 准线是 xoy面上的 抛物线(图6.4) ; (4)双曲柱面:母线平行于y轴, 准线是xoz面上的 椭圆(图6.5) ; (5)过z轴的平面:母线平行于z轴, 准线是xoy面上 z 的直线(图6.6) ; y 图6.3
2 2 2
二、柱面
由一族平行直线形成的曲面叫做柱面，这些 平行的直线称为柱面的母线，在柱面上与各母线 垂直相交的一条曲线称为柱面的准线，通常用垂 直于母线的平面去截柱面就得到一条准线L，准 线不是唯一的.柱面也可以看成由一条动直线L沿
定曲线C平行移动所得到的曲面，L称为母线，C 称为准线.（图6.1） z 下面建立柱面方程. 设有一柱面, 选取 L 坐标系，使该柱面的母 o y 线平行于z轴, 点P(x, y, z) 为柱面上任一点, 当该点 x C 平行于z轴上下移动时,它 图6.1 仍保持在柱面上,也就是说, 不论z为何值, P(x, y, z)的坐标都满足柱面方程. 因此该柱面方程中不含有z , 可设柱面方程为: F (x , y) = 0
x2 y2 z2 2 1 2 b c
该曲面称为单叶旋转双曲面. 如图6.11 x
o
y
图6.11
绕 y 轴旋转所得曲面的方程为：
y x z 1 2 2 b c
2 2 2
该曲面称为双叶旋转双曲面. 如图6.12. z
o
x 图6.12
y
五、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 如球面、圆锥面等.下面利用“截痕法”再研究几 种特殊的二次曲面. z 1、椭球面 方程 2 2 2 x y z 2 2 2 1 y o a b c x 所表示的曲面称为椭球面. 图6.13 由方程可以看出： |x| ≤α ，|y|≤b ，|z|≤c
二次曲面
球面
柱面 锥面
旋转面 二次曲面
小结
Hale Waihona Puke 在空间直角坐标系中，三元方程 F(x, y, z)=0 表示空间曲面，而 F x, y, z 0 则表示空间曲线. 本节主要讨论一些常见的曲面. 研究空间曲面方
Gx, y, z 0
程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状.
所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平 面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状， 然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌.
2 2 2
当 k ＞0 时,表示球心在P0(x0 , y0 , z0 ),半径为 k 的球面方程; 当 k = 0 时,球面缩为一点;当 k ＜0 时, 无图形(通常称为虚球面).
2 2 2 例如，方程 x y z 2 x 2 y 2 0
配方后得: ( x 1) ( y 1) z 4 是以(1, 1, 0)为球心, 半径为2的球面.
2
x x1 z1 再令 y y1 z z1 2 2 2 代入上式得 f x, y, z x y z 0
因而它是一个圆锥面方程.
四、旋转面
圆柱面可以看作由一条直线绕与它平行的另 一条直线旋转一周所成的曲面.一般地，由一条曲 线L绕一条定直线 l 旋转一周所成的曲面叫做旋转 曲面.定直线 l 称为旋转曲面的轴，即旋转轴, 曲线 L称为旋转曲面的母线. 下面考虑母线为平面曲线的情形,把曲线所的 平面取作坐标面,把旋转轴取作坐标轴.
y1 x y (1) z z 1
x
图6.9
又因P1(0, y1, z1)在曲线上L上,故有
F ( y1, z1) = 0
由(1)得
代入(2) 得
y1 x y , z1 z
2 2
F ( x 2 y 2 , z ) 0
这就是所求的旋转面的方程.
同理,如果曲线L绕y轴旋转,所得旋转面的方 程为 F ( y , x 2 z 2 ) 0 类似的,可推出xoz面上和xoy面上的曲线分别 绕x、z轴和x、y轴旋转所得到的旋转曲面的方程.
若球心在坐标原点,则球面方程为: x2 + y2 + z2 = R2 将上述方程展开得
2 2 2 x2 y2 z 2 2 x0 x 2 y0 y 2z0 z x0 y0 z0 R2
x y z 2ax 2by 2cz d 0 2 2 2 2 其中 a x0 , b y0 , c z0 , d x0 y0 z0 R
（其中a = cotα）
直线L绕另一条与之相交 的直线旋转一周，所得的旋转 曲面叫做圆锥面，两条直线的
称为圆锥面的半顶角. 夹角 （0＜α＜ ） 2
y2 z2 2 2 1 例13 求面yoz上的双曲线 b c x 0
分别绕z轴、y轴旋转所得到的旋转曲面的方程. z 解 绕z轴旋转所得曲面的方程为：
a 2 b 2 2 2 c z1 , c z1 c c
当z1变动时，这族椭圆的中心都在轴上,当
| z1|由0逐渐增大到c, 椭圆截面由大到小,最后缩
椭球面关于每个坐标面都是对称的，从而关 于每个坐标轴及坐标原点也是对称的.特别地，当 a = b = c 时，方程变为 2 2 2 2 x y z a 这是一个以原点为圆心，半径为α的球面. 如果用三个坐标面去截椭球面，截痕分别为
2 2 x z x y z y 2 2 1 2 2 1 2 2 1 c , b c , a b a y0 z0 x0
同时点P1(x1, y1, z1) 满足:
F1(x1, y1, z1) = 0, F2(x1, y1, z1) = 0
由上面四个等式消去参数 x1, y1, z1可得一个 F (x, y, z) = 0 三元方程: 这就是以A为顶点L为准线的锥面方程. x2 y2 z2 一般地, 方程 2 2 2 0 a b 0, c 0 a b c 表示一个顶点在原点的锥面,用平面 z = c 去截它,
y x 2 2 1 b a zc 这是一个椭圆, |c|由0逐渐增大,椭圆的半轴也 由0逐渐增大.用x = x0 去截,当 | x0 | = 0 时,截线是一 对相交直线,当| x0 | 从0增大到+∞时,截线是半轴单