无穷多项和求极限问题的探讨

+
4
1 ×7
+
7
1 ×10
+
…+
(3
n
-
1 2) (3
n
+ 1)
)
=
lim
n →∞
1 3
[
(1
-
1 4
)
+
(
1 4
-
1 7
)
+
(
1 4
-
1) 7
+
…+
(1 3n-
2-
1) 3n +1
]
=
lim
n →∞
1 3
(1 -
3
1 n+
1
)
=
1 3
2 用夹逼定理求极限
夹逼定理 :设函数 f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) 在 x 0 的
HA N Hui2rong
(Department of Basical Courses ,Xi’an Aerotechnical College ,710077 ,Xi’an , China)
Abstract : Four solutions could be used to solve an irritating point in t he process of limitation requesting ———sum2 mit multilateral acquiring via formulae ,analysis and infinite item. Key words : Item Addiction ;Limitation ; Principle of Adjacency ;Definite Integral
参 考 文 献
[ 1 ] 龚冬保等 1 高等数学典型题解法技巧注释[ M ]1 西安 : 西安交通大学出版社 ,第二版 ,20001
[ 2 ] 同济大学高数组 1 高等数学[ M ]1 北京 :高等教育出版 社 ,第四版 ,19961121
A Probe on the Summit Resolution Vying Addiction Item
=
1 2
∴原式 =
1 2
例 4 证明
lim ( 1
+
n →∞ n6 + n)
22
+ …+
n6 + 2 n
n2 ) n6 + n2
=
1 3
证明
因为 1
≤1
≤ 1 ( k =
n6 + n2
n6 + kn
n6 + n
Ξ 收稿日期 :2003 - 6 - 20
56
西安航空技术高等专科学校学报
1 ,2 , …, n)
1 n3
[
(
2
n
-
1)
+ 2 (2 n
-
3) + 3 (2 n - 5) + …+ 1 ]
=
lim
n →∞
1 n3
[
n2
+
(n-
1) 2
+
…+ 1 ]
=
n
lim ∑(
n →∞k = 1
k n
)
2
1 n
=
∫10 x 2 d x =
1 3
.
就是先化为积分和的形式 , 再根据定积分定义
化为定积分 ,从而求出极限 1
某一邻域 ( x 0 可除外) 内满足条件 : g ( x ) ≤f ( x ) ≤
h ( x ) ,且 lim g ( x ) = lim f ( x ) = A ,则
x →x0
x →x0
lim f ( x ) 的极限存在且等于 A 。
x →x0
例
3
求 lim ( n →∞
n2
1 +n
+1
+
n2
n
2
+
k n
+
k
-
k n2
)
n
≤∑
k=1
(
k( n n2 +
+ n
k) + k)
n
≤∑
k=1
2 n2
=
2 n
→0
∴原式 =
1 2
4 利用定积分求极限
∫b
利用定积分定义求极限 , 即 f ( x ) dx = lim
a
x →x0
n
∑f (ξk) ·Δk
k=1
例
6
求
lim
n →∞
1 n2
(
n+
2 n + …+
n
所以 ∑
k=1
k2 n6 + n
k2
n
≤∑
n6 + n2
k=1
k2
n

而 lim ∑ n →∞k = 1
k2
= lim n (2 n + 1) ( n + 1) =
n6 + n2 n →∞ 6 n6 + n2
1 3
n
故原式 = lim ∑ n →∞k = 1
k2 n6 +
kn
=
1 3
3 利用无穷小分析法求极限
例
5
仍看例
3 , 注意到 n2
+
k n
+
k
与
k n2
是
等
价
无穷小
,
故想
用
k n2
代替
n
2
+
k n
+
k
, 而证明它们之差
趋于 0 。
n
解
lim
n →∞k
∑
=1
n
2
+
k n
+
k
=
lim
n →∞k
n
∑
=1
k n2
,
而
lim
n →∞k
n
∑
=1
k n2
=
1 2
,
n
k
∑(
=1
求极限问题中 ,常会碰到对无穷多项和求极限 的问题 ,这通常是很多同学在高等数学学习中的一 个难点 。下面 ,将就这个问题求解的方法加以探讨 和总结 。
1 先求和再求极限
此类问题中 , 如果能将无穷多项和用 f ( n) 表
示 ,那么就先表示成 f ( n) 的形式 ,再求极限 。
例
1
求lim ( 1 n →∞
n2)
解
原式
=
lim
n →∞
1 n
(
1 n
+
2 n
+
…+
+
n) n
将[ 0 , 1 ] 区间 n 等分 , 每个小区间长为 Δx =
1 n
;
∫ lim (
n →∞
1 n
+
2 n
+
…+
+
n) n
=
1 0
x dx =
2 3
.
各种方法并不是孤立的 , 某些题目还需要多种
方法的综合运用
,
例如
,
lim
n →∞
+ 2 + …n n +2
-
n 2
)
分析 :先由等差数列的和公式求出 1 + 2 + …n
的和为n (
n + 1) 2
,代入后通分 ,即可得解 ,过程略去 。
求和时比较常用的方法是拆项求和 。
例
2
求lim ( n →∞
1 4
+
1 28
+
…+
9
n2
-
1 3
n
-
) 2
解 :原式 =
lim
n →∞
(
1
1 ×4
第22卷第1期 2004年1月
西安航空技术高等专科学校学报
Journal of Xi’an Aerotechnical College
Vol 1 2 2 No 1 1 Jan . 2 0 0 4
Ξ
无穷多项和求极限问题的探讨
韩慧蓉
(西安航空技术高等专科学校 基础部 ,陕西 西安 710077)
摘 要 :针对求极限过程中的一个难点 ———无穷多项和求极限 ,可通过先求和 、夹逼定理 、无穷小分析法 、定积 分等四种方法加以解决 。 关键词 :无穷多项和 ;极限 ;夹逼定理 ;无穷小 ;定积分 中图分类号 :O173 文献标识码 :A 文章编号 :1008 - 9233 (2004) 01 - 0055 - 02
2 +n
+1
+
…+
n2
+
n n
+
) 1
解
2
(
n( n2
n +
+ n
1) +
n)
≤n2
1 +n
+
1
+
n2
2 +n
+
2
+
…+
n2
+
n n
+
n
≤ 2
(
n( n2
n +
+ n
1) +
1)
而 li m n →∞2
(
n( n n2 +
+ n
1) +
n)
=
lim n →∞2
(
n( n2
n +
+ n
1) +
1)