黑龙江省牡丹江一中2014-2015学年高一数学上学期期末试题
黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一上学期期末考试数学试题
黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
）1.已知α是锐角，那么α2是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．小于π的正角D ．第一或第二象限角2.点P 从(1,0)出发，沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( ) A 、()23,21-B 、( )21,23--C 、()23,21--D 、()21,23- 3.点)2018sin ,2018(cos 00A 在直角坐标平面上位于 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4.已知()-=+-=+=3,82,5，则（ ）A. C B A ,,三点共线B. D B A ,,三点共线C. D C B ,,三点共线D.D C A ,,三点共线 5.已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面积（ ） A ．3B ． 2C ．4D ．56. 在等边三角形ABC 中，若→→-=a BC ，→→-=b CA ，→→-=c AB ，则=∙+∙+∙→→→→→→a c cb b a （ ） A. 3 B. -3 C. 23 D. 23- 7.设31)4sin(=+θπ，则θ2sin 的值为（ ） A ．97 B ．97- C ．31 D ．328.设函数()|sin(2)|3f x x π=+，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A. ()f x 是偶函数B. ()f x 最小正周期为πC. ()f x 图象关于点(,0)6π-对称D. ()f x 在区间7[,]312ππ上是增函数9.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A.向右平移π6个长度单位 B.向右平移π12个长度单位 C.向左平移π6个长度单位 D.向左平移π12个长度单位10. 已知函数()()(0,)2f x sin x πωϕωϕ=+><的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意R x ∈ 恒成立，则ω的最小值为 （ ）A. 2B. 4C. 10D. 16 11.已知()1010sin ,552sin =-=αβα，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈234ππβππα，，，，则βα+的值是( ) A.47π B. π49 C. 45π或47π D. 45π或49π12.设θ为两个非零向量b a ,的夹角，已知对任意实数t ，a t 的最小值为1，则（ ）A. 若θ唯一确定B. 确定，则θ唯一确定C. 若θ唯一确定D. 若θ确定，则θ唯一确定 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分） 13.已知)0,1(=→a ，)1,1(=→b ，若→→+b k a 与→a 垂直，则=k 。
黑龙江省牡丹江高一上期末数学试卷
黑龙江省牡丹江高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知θ是锐角，那么2θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角2．（5分）点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A．（﹣，）B．（，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）3．（5分）点A（cos2018°，sin2018°）在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知=，=，=，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线5．（5分）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面积（）A．3 B．2 C．4 D．56．（5分）等边三角形ABC的边长为1，=，=，=，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．7．（5分）设sin（+θ）=，则si n2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．8．（5分）设函数f（x）=|sin（2x+）|，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）最小正周期为πC．f（x）图象关于点（﹣，0）对称D．f（x）在区间[，]上是增函数9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位10．（5分）已知函数的图象过点，若对x∈R恒成立，则ω的最小值为（）A．2 B．10 C．4 D．1611．（5分）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或12．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|t|的最小值为1，则（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则θ唯一确定二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知=（1，0），=（1，1），+λ与垂直，则λ的取值为．14．（5分）=．15．（5分）已知sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）的值为．16．（5分）已知||=||=，且•=1，若点C满足|+|=1，则||的取值范围是．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tanα=2．（1）求的值；（2）求．18．（12分）（1）已知||=3，||=4，的夹角为，求，；（2）已知||=3，=（1，2），且，求的坐标．19．（12分）已知函数的最大值为3．（1）求常数a的值；（2）求使f（x）＞0成立的x的取值集合．20．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g （x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．21．（12分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：现将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，（横坐标不变），再讲所得的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴的方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π]内有两个不同的解α，β，①求实数m的取值范围．②证明：cos（α﹣β）=﹣1．22．（12分）设向量=（λ+2，λ2﹣cos2α），=（m，+sinαcosα）其中λ，m，α为实数．（Ⅰ）若α=，且⊥，求m的取值范围；（Ⅱ）若=2，求的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知θ是锐角，那么2θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角【解答】解：∵θ是锐角，∴0°＜θ＜90°∴0°＜2θ＜180°，∴2θ是小于180°的正角．故选C2．（5分）点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A．（﹣，）B．（，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【解答】解：点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=，所以Q（cos，sin），即Q点的坐标为：（﹣，）．故选：A．3．（5分）点A（cos2018°，sin2018°）在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：2018°=5×360°+218°，为第三象限角，∴sin2018°=sin218°＜0，cos2018°=cos218°＜0，∴A在第三象限，故选：C．4．（5分）已知=，=，=，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线【解答】解：=（）+3（）=+5，又=，所以，则与共线，又与有公共点B，所以A、B、D三点共线．故选A．5．（5分）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面积（）A．3 B．2 C．4 D．5【解答】解：∵扇形圆心角1弧度，所以扇形周长和面积为整个圆的．弧长l=2πr•=r，故扇形周长C=l+2r=3r=6cm，∴r=2cm扇形面积S=π•r2•=2cm2．故选：B．6．（5分）等边三角形ABC的边长为1，=，=，=，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：由题意可得，=∴==﹣故选D7．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sin（+θ）=，∴（sinθ+cosθ）=，∴两边平方，可得：（1+sin2θ）=，解得：sin2θ=﹣，故选：B．8．（5分）设函数f（x）=|sin（2x+）|，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）最小正周期为πC．f（x）图象关于点（﹣，0）对称D．f（x）在区间[，]上是增函数【解答】解：A．由于f（﹣x）=|sin（﹣2x+）|=|sin（2x﹣）|≠f（x），故A错；B．由于f（x+）=|sin[2（x）+]|=|sin（2x++π）|=|sin（2x+）|=f（x），故f（x）最小正周期为，故B错；C．函数f（x）=|sin（2x+）|的图象可看作由函数f（x）=|sin2x|的图象平移可得，而函数f（x）=|sin2x|的图象无对称中心，如图，故C错；D．由于函数f（x）=|sin2x|的增区间是[]，k∈Z，故函数f（x）的增区间为[]，k∈Z，k=1时即为[，]，故D正确．故选D．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【解答】解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A10．（5分）已知函数的图象过点，若对x∈R恒成立，则ω的最小值为（）A．2 B．10 C．4 D．16【解答】解：函数的图象过点，∴f（0）=sinφ=，∴φ=，∴f（x）=sin（ωx+）；又对x∈R恒成立，∴ω•+=2kπ+，k∈Z，即ω=24k+4，k∈Z，∴ω的最小值为4．故选：C．11．（5分）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α=＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，∴β﹣α∈（，π），∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β=，故选：A．12．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|t|的最小值为1，则（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则θ唯一确定【解答】解：令f（t）=|t|2=t2+2t•+2，∴△=4（•）2﹣4•≤0恒成立，当且仅当t=﹣=﹣cosθ时，f（t）取得最小值1，∴（﹣cosθ）2•+2（﹣cosθ）••+2=1，化简sin2θ=1．∴θ确定，则||唯一确定故选：C二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知=（1，0），=（1，1），+λ与垂直，则λ的取值为﹣1．【解答】解：∵，∴即∴1+λ=0∴λ=﹣1故答案为﹣114．（5分）=．【解答】解：原式==tan（45°+15°）=tan60°=．故答案为：15．（5分）已知sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）的值为．【解答】解：∵sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）=sin[2π﹣（x+）]﹣cos2（x+）﹣π]=﹣sin（x+）+cos2（x+）=﹣sin（x+）+1﹣2=﹣+1﹣=，故答案为：．16．（5分）已知||=||=，且•=1，若点C满足|+|=1，则||的取值范围是[﹣1，+1] ．【解答】解：∵•=1，∴×cos＜＞=1，∴cos＜＞=．∴的夹角为．设，=（，），设=．则==（，），∴||=，∵|+|=1，∴|+﹣|=1，即|﹣|=||=1．∴C在以D为圆心，以1为半径的圆上，∴||的最小值为，||的最大值是+1．故答案为[﹣1，+1]．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tanα=2．（1）求的值；（2）求．【解答】解：（1）∵tanα=2，∴==；（2）===﹣．18．（12分）（1）已知||=3，||=4，的夹角为，求，；（2）已知||=3，=（1，2），且，求的坐标．【解答】解：（1）∵||=3，||=4，的夹角为，∴=||•||•cos=3×4×=6，∴2=||2+||2﹣2•=9+16﹣2×6=13，∴2=，（2）设=（x，y），则x2+y2=9①，由，∴2x=y，②，由①②解得，，或，故的坐标为，19．（12分）已知函数的最大值为3．（1）求常数a的值；（2）求使f（x）＞0成立的x的取值集合．【解答】解：（1）∵=sinxcos﹣cosxsin+sinxcos+cosxsin+cosx+a=2sinxcos+cosx+a==．∴f（x）max=2+a=3，即a=1；（2）由f（x）＞0，得，即．∴，k∈Z．则，k∈Z．∴f（x）＞0成立的x的取值集合为{x|，k∈Z}．20．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g （x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）已知：，，则：=msin2x+ncos2x，y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m=，n=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）=2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）=2，解得：Φ=，所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ （k∈Z）则：单调递增区间为：[]（k∈Z）故答案为：（Ⅰ）m=，n=1（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）21．（12分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：现将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，（横坐标不变），再讲所得的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴的方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π]内有两个不同的解α，β，①求实数m的取值范围．②证明：cos（α﹣β）=﹣1．【解答】解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x﹣）的图象，故f（x）=2sinx，从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+（k∈Z）．（2）①f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（sinx+cosx）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=）依题意，sin（x+φ）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m的取值范围是（﹣，）．②证明：因为α，β是方程sin（x+φ）=m在区间[0，2π）内的两个不同的解，所以sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．当1≤m＜时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin2（β+φ）﹣1=2（）2﹣1=﹣1．22．（12分）设向量=（λ+2，λ2﹣cos2α），=（m，+sinαcosα）其中λ，m，α为实数．（Ⅰ）若α=，且⊥，求m的取值范围；（Ⅱ）若=2，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）α=时，=（λ+2，λ2﹣），=（m，+），由于⊥，则=0，即有（λ+2）m+（）（）=0，即有+mλ+=0对一切λ∈R均有解，当m=﹣时，λ=﹣2成立，当m时，△=m2﹣4××≥0，≤m≤，且m，综上，可得，m的取值范围是[，]；（Ⅱ）=2，则λ+2=2m且=m+2sinαcosα，消去λ，得（2m﹣2）2﹣m=sin2，即有4m2﹣9m+4=2sin（2）∈[﹣2，2]，由﹣2≤4m2﹣9m+4≤2，解得，，则==2﹣∈[﹣6，1]．则有的取值范围是[﹣6，1]．。
黑龙江省牡丹江一中高三数学上学期期末模拟试卷 文(含解析)
2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学模拟试卷（文科）一、选择题（单选，每题5分，共60分）1．若全集U=R，集合A={x|x2+4x+3＞0}，B={x|log3（2﹣x）≤1}，则∁U（A∩B）=（）A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|x＜﹣1或x≥2}C．{x|x≤﹣1或x＞2} D．{x|x≤﹣1或x≥2}2．复数z满足，则|z|=（）A．B．2 C．D．3．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．0 B．1 C．D．﹣14．下列四个命题①已知命题P：∀x∈R，x2+x＜0，则¬P：∃x∈R，x2+x＜0；②的零点所在的区间是（1，2）；③若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为；④设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊂α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分条件；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+l=0垂直，则=（）A．B．一C．D．一6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=2x﹣4sinx，x∈[﹣，]的图象大致是（）A．B．C．D．8．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B．C．D．[1，2]9．如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=D．y=（x2﹣2x）e x10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．直线 B．圆C．双曲线D．抛物线11．直线l1：y=x、l2：y=x+2与⊙C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．﹣1 D．112．若存在正实数M，对于任意x∈（1，+∞），都有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在（1，+∞）上是有界函数．下列函数：①f（x）=；②f（x）=；③f（x）=；④f（x）=xsinx．其中“在（1，+∞）上是有界函数”的序号为（）A．②③ B．①②③C．②③④D．③④二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积．14．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，，AB=2，F为BC边上一点，且=2，若AF与BD交于点E，则= ．15．设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则z=|3x﹣4y+5|的最大值是．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=（n∈N﹡），S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n﹣4n a n= ．三、解答题（17题---21题每题各12分，选做题10分）17．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若•=，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．18．某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款（单位：元）[0，50）[50，100） [100，150）[150，200） [200，+∞）顾客人数m 20 30 n 10统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（2015•哈尔滨校级三模）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC1上一点，且．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．20．已知椭圆的左顶点为A1，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线A1M的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△A1MN的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为，求椭圆方程．21．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）=﹣x3﹣ax2+a﹣，若存在α，β∈（0，a]，使得|f（α）﹣g（β）|＜a成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD 于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．选作题（共1小题，满分0分）23．已知曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρsin（θ+）=，将C1的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．（Ⅰ）求曲线C3的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为曲线C3上的任意一点，Q为曲线C2上的任意一点，求线段|PQ|的最小值，并求此时的P的坐标．选修4-5，不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=1，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥2，求实数a的取值范围．2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（单选，每题5分，共60分）1．若全集U=R，集合A={x|x2+4x+3＞0}，B={x|log3（2﹣x）≤1}，则∁U（A∩B）=（）A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|x＜﹣1或x≥2}C．{x|x≤﹣1或x＞2} D．{x|x≤﹣1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】先化简集合A、B，再求出A∩B与∁U（A∩B）即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x2+4x+3＞0}={x|x＜﹣3或x＞﹣1}，B={x|log3（2﹣x）≤1}={x|0＜2﹣x≤3}={x|﹣1≤x＜2}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜2}；∴∁U（A∩B）={x|x≤﹣1或x≥2}．故选：D．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．2．复数z满足，则|z|=（）A．B．2 C．D．【考点】复数求模．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】先化简z，再求模即可．【解答】解：∵，∴|z|=|1﹣i|=，故选：A．【点评】本题考查复数求模，正确化简复数是关键．3．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．0 B．1 C．D．﹣1【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】既然3是周期，那么﹣3也是周期，所以f（）=f（﹣），代入函数解析式即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，∴f（）=f（﹣3）=f（﹣）=4（﹣）2﹣2=﹣1故选：D【点评】本题考查函数的周期性以及分段函数的表示，属于基础题．4．下列四个命题①已知命题P：∀x∈R，x2+x＜0，则¬P：∃x∈R，x2+x＜0；②的零点所在的区间是（1，2）；③若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为；④设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊂α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分条件；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①利用命题的否定定义即可判断出正误；②分别画出y=x2与y=的图象，可知：函数的零点有两个，再利用函数零点存在定理即可判断出；③利用基本不等式的性质即可判断出正误；④利用面面平行的性质、线面垂直的性质定理即可判断出正误．【解答】解：①由命题P：∀x∈R，x2+x＜0，则¬P：∃x∈R，x2+x≥0，因此不正确；②，分别画出y=x2与y=的图象，可知：函数的零点有两个：一个零点在区间（0，1），另一个零点﹣2，因此不正确；③若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2≥=，当且仅当x=y时取等号，其最小值为，正确；④∵a⊂α，b⊥β，α∥β，利用面面平行的性质、线面垂直的性质定理可得：a⊥b，反之不成立，因此a⊂α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分条件，正确．其中真命题的个数为2．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的零点、基本不等式的性质、面面平行的性质、线面垂直的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+l=0垂直，则=（）A．B．一C．D．一【考点】三角函数的化简求值；直线的倾斜角．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】直线x﹣3y+l=0的斜率=，因此与此直线垂直的直线的斜率k=﹣3．可得tanθ=﹣3．再利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：直线x﹣3y+l=0的斜率=，因此与此直线垂直的直线的斜率k=﹣3．∴tanθ=﹣3．∴====．故选：C．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、同角三角函数基本关系式、“弦化切”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，点在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=10，进而可得抛物线的焦点坐标，可得c的值由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得a，b，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，即点在抛物线的准线上，则p=10，则抛物线的焦点为（5，0）；因为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，所以c=5，因为点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，所以a=4，b=3所以e==故选B．【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为”这一条件的运用是关键．7．函数f（x）=2x﹣4sinx，x∈[﹣，]的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB，再由函数的极值确定答案．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C，故选：D．【点评】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．8．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B．C．D．[1，2]【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，f（x）max≤3﹣t，解不等式即可得到所求范围【解答】解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t≤．当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为1，当x∈（2，3）时，f（x）∈[﹣，﹣2），当x∈[3，4]时，f（x）∈[﹣1，0]，即有在（0，4]上f（x）的最大值为1．由f（x）max≤3﹣t，即为3﹣t≥1，解得t≤2，即有实数t的取值范围是[1，2]．故选D．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．9．如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=D．y=（x2﹣2x）e x【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过零点个数，函数定义域，值域进行排除．【解答】解：若f（x）=2x﹣x2﹣1，则当x＜0时，2x＜x2+1，∴f（x）＜0，不符合题意，排除A．若f（x）=，则f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），不符合题意，排除B．若f（x）=，令f（x）=0，得x=kπ，∴f（x）有无数多个零点，不符合题意，排除C．故选：D．【点评】本题考查了函数图象的判断，通常从定义域，值域，零点，极值点等特殊点来判断．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．直线 B．圆C．双曲线D．抛物线【考点】抛物线的定义；棱柱的结构特征．【分析】由线C1D1垂直平面BB1C1C，分析出|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，则动点P满足抛物线定义，问题解决．【解答】解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离，所以点P的轨迹是抛物线．故选D．【点评】本题考查抛物线定义及线面垂直的性质．11．直线l1：y=x、l2：y=x+2与⊙C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．﹣1 D．1【考点】直线与圆相交的性质．【专题】数形结合法；直线与圆．【分析】画出图形，直线l1∥l2，l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，结合选项讨论m的取值是否满足条件，从而得出结论．【解答】解：∵直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示；又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分成的四条弧长相等；故选：B．【点评】本题考查了直线与圆相交的性质问题，应画出图形，结合图形解答该题，是易错题．12．若存在正实数M，对于任意x∈（1，+∞），都有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在（1，+∞）上是有界函数．下列函数：①f（x）=；②f（x）=；③f（x）=；④f（x）=xsinx．其中“在（1，+∞）上是有界函数”的序号为（）A．②③ B．①②③C．②③④D．③④【考点】命题的真假判断与应用；函数的值域．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】①求出函数f（x）的值域为（0，+∞），即可判断；②先将f（x）变形，再应用基本不等式求出最值，从而根据新定义加以判断；③应用导数求出单调区间，求出极值，说明也为最值，再根据新定义判断；④先判断函数有无单调性，再运用三角函数的有界性判断即可．【解答】解：①f（x）=在（1，+∞）上是递减函数，且值域为（0，+∞），故①在（1，+∞）上不是有界函数；②f（x）=（x＞1）即f（x）=，由于＞2（x＞1），0＜f（x）＜，故|f（x）|，故存在M=，即f（x）在（1，+∞）上是有界函数；③f（x）=，导数f′（x）==，当x＞e时，f′（x）＜0，当0＜x＜e 时，f′（x）＞0，故x=e时取极大值，也为最大值且为，故存在M=，在（1，+∞）上有|f（x）|≤，故函数f（x）在（1，+∞）上是有界函数；④f（x）=xsinx导数f′（x）=sinx+xcosx在（1，+∞）上不单调，且|f（x）|≤x，故不存在M，函数f（x）在（1，+∞）上不是有界函数．故选A．【点评】本题主要考查函数的新定义，正确理解定义是解题的关键，同时考查函数的单调性和应用，以及利用基本不等式和导数求最值的方法，是一道中档题．二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，球的半径为圆锥的底面半径均为1，圆锥的高为2，故四分之一球的体积为： =，半圆锥的体积为： =，故组合体的体积V=+=；故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，，AB=2，F为BC边上一点，且=2，若AF与BD交于点E，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，建立直角坐标系，根据相似比可得各点的坐标，再计算即可．【解答】解：根据题意，以A为原点，AB为x轴，建立直角坐标系如图，显然△EBF∽△EDO，由题意可知O（0，0），B（2，0），C（3，1），D（1，1），∵=2，及相似比的性质∴F（，），，∴E（，），从而==，故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，建立坐标系根据相似比得出各点的坐标是解题的关键，属中档题．15．设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则z=|3x﹣4y+5|的最大值是15 ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出双曲线的两条渐近线为，抛物线y2=﹣8x的准线为x=2，结合图象可得在点B （2，﹣1）时，z=|3x﹣4y+5|取得最大值．【解答】解：双曲线y2﹣=1的两条渐近线为y=±x，抛物线y2=﹣8x的准线为x=2．故可行域即图中阴影部分，（含边界）．目标函数z=|3x﹣4y+5|的几何意义就是，可行域的点到直线3x﹣4y+5=0的距离的5倍：由图形可知B到3x﹣4y+5=0的距离最大，故在点B（2，﹣1）时，最大值为： =15．故答案为：15．【点评】本题主要考查抛物线、双曲线的标准方程，圆锥曲线的综合应用，以及圆锥曲线的简单性质，简单的线性规划问题，属于中档题．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=（n∈N﹡），S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n﹣4n a n= n ．【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S n﹣4n a n的表达式．【解答】解：由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n﹣1•4n﹣1+a n•4n②①+②得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n﹣1•（a n﹣1+a n）+a n•4n=a1+4×++…++4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n﹣4n•a n=n．故答案为n．【点评】本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．三、解答题（17题---21题每题各12分，选做题10分）17．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若•=，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；转化法；解三角形．【分析】（1）由A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，又A+B+C=π，可得B．利用•=，可得accosB=，再利用余弦定理即可得出；（2）由（1）知：2sinA﹣sinC==cosC，再利用C的范围即可得出．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=．∵•=，∴accosB=，化为ac=3．∵b=，b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2﹣ac=3，即（a+c）2﹣3ac=3，（a+c）2=12，∴a+c=2．（2）由（1）知：2sinA﹣sinC==﹣sinC=cosC，∵，∴cosC∈．∴2sinA﹣sinC的取值范围是．【点评】本题考查了余弦定理、等差数列的性质、数量积运算性质、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款（单位：元）[0，50）[50，100） [100，150）[150，200） [200，+∞）顾客人数m 20 30 n 10统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（2015•哈尔滨校级三模）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC 成60°的角，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC1上一点，且．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）连结B1E并延长，交BC于点F，连结AB1，由三角形相似可得F为BC中点．再由G为△ABC的重心，得到GE∥AB1，由线面平行的判定得答案；（2）由已知求出三棱柱的高，把三棱锥E﹣ABC的体积转化为三棱锥C1﹣ABC的体积得答案．【解答】（1）证明：如图，连结B1E并延长，交BC于点F，连结AB1，∵△B1EC1∽△FEB，且，∴，则点F为BC中点．∵G为△ABC的重心，∴，∴GE∥AB1，又AB1⊂面AA1B1B，GE⊄面AA1B1B，∴GE∥面AA1B1B；（2）解：∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，过A1作A1H⊥AB于H，则A1H⊥面ABC，则A1H为三棱柱的高，又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，∴．又底面ABC是边长为2的正三角形，∴．∴．【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．20．已知椭圆的左顶点为A1，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线A1M的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△A1MN的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为，求椭圆方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）首先，得到点M的坐标，然后，代入，得到，从而确定其斜率关系；（Ⅱ）首先，得到A1（﹣2c，0），然后，可以设外接圆圆心设为P（x0，0），结合圆的性质建立等式，然后，利用弦长公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为A1（﹣a，0），所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将b2=a2﹣c2代入上式并整理得（或a=2c）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，（或）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以A1（﹣2c，0），外接圆圆心设为P（x0，0）由|PA1|=|PM|，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以△A1MN外接圆在M处切线斜率为，设该切线与椭圆另一交点为C则切线MC方程为，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣与椭圆方程3x2+4y2=12c2联立得7x2﹣18cx+11c2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由弦长公式得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得c=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以椭圆方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等知识，属于中档题．21．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）=﹣x3﹣ax2+a﹣，若存在α，β∈（0，a]，使得|f（α）﹣g（β）|＜a成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，当a≤0时，f′（x）＞0，当a＞0时由导函数的零点对定义域分段，判断出导函数在不同区间段内的符号，则函数的单调区间可求；（Ⅱ）由题意可知a＞0，由（Ⅰ）中的单调性求出f（x）在（0，a]上的最小值，利用导数求得g（x）在（0，a]上的函数值小于，求得f（x）的最小值与的差，然后分和讨论求解使得|f（α）﹣g（β）|＜a成立的a的取值范围；（Ⅲ）把x1，x2代入方程f（x）=c，作差后得到，结合（Ⅰ）中函数的单调性把问题转化为证明，设t=换元后构造函数，利用导数加以证明．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx，得．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∴函数f（x）的增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得0＜x＜．∴函数f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，）；（Ⅱ）当x∈（0，a]时，，由g（x）=﹣x3﹣ax2+a﹣，得．当a＞0时，g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，g（x）在（0，+∞）上为减函数，当x∈（0，a]时，g（x）＜g（0）=．．①当时，则|f（α）﹣g（β）|min=0＜a显然成立，即a≥2．②当时，则，即．综上可知：a＞；（Ⅲ）∵x1，x2是方程f（x）=c的两个不相等的实数根，不妨设0＜x1＜x2，则．两式相减得．即．又∵，当x＞时f′（x）＞0，当0＜x＜时f′（x）＜0．故只要证明即可，即证．即证明．设t=，令，则．则在（0，+∞）上是增函数，又∵g（1）=0，∴t∈（0，1）时总有g（t）＜0成立．即f′（）＞0．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是高考试卷中的压轴题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD 于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=c os∠CED，所以，所以BC=2．【点评】本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．选作题（共1小题，满分0分）23．（2014•呼伦贝尔二模）已知曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρsin（θ+）=，将C1的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．（Ⅰ）求曲线C3的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为曲线C3上的任意一点，Q为曲线C2上的任意一点，求线段|PQ|的最小值，并求此时的P的坐标．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）通过变换求出曲线C3的参数方程然后求解它的普通方程，利用极坐标与直角坐标的关系，直接求解曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）点P为曲线C3上的任意一点，Q为曲线C2上的任意一点，线段|PQ|的最小值，转化为圆的圆心到直线的距离减去半径，利用直线的垂直关系，即可并求此时的P的坐标．【解答】（本题满分10分）解：（Ⅰ）曲线C1：（α为参数），将C1的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．，∴曲线C3：x2+y2=1，曲线C2：ρsin（θ+）=，即ρsinθ+ρcosθ=，∴曲线C2：x+y=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）设P（cosα，sinα），则线段|PQ|的最小值为点P到直线x+y=2的距离．转化为圆的想到直线的距离减去半径，∴，直线x+y=2的斜率为﹣1，所以QP的斜率为1，P在x2+y2=1上，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查直线的参数方程以及极坐标方程的应用点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．选修4-5，不等式选讲24．（2014•扶沟县校级模拟）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=1，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥2，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价绝对值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求．（2）令函数F（x）=f（x）+|x﹣1|，先求出函数F（x）的最小值等于a﹣1，根据题意得a ﹣1≥2，求得a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2，即2|x﹣1|≥2，∴|x﹣1|≥1，解得x≤0或x≥2，故原不等式的解集为{x|x≤0或x≥2}．（2）令函数F（x）=f（x）+|x﹣1|=2|x﹣1|+|x﹣a|，则F（x）=，画出它的图象，如图所示，由图可知，故当x=1时，函数F（x）有最小值F（1）等于a﹣1，由题意得a﹣1≥2得a≥3，则实数a的取值范围[3，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，体现了分类讨论与等价转化的数学思想，属于中档题．。
【精品】2014年黑龙江省牡丹江一中高一上学期期末数学试卷
2013-2014学年黑龙江省牡丹江一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每题5份，共60分）1．（5.00分）已知sinα=，则cos（﹣α）等于（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5.00分）若函数，则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为y=x的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数3．（5.00分）已知tanα=3，则=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣24．（5.00分）△ABC中，=，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设=，=，用，表达=（）A．（）B．（）C．（）D．（）5．（5.00分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则（）•（）=（）A．﹣3 B．5 C．﹣5 D．156．（5.00分）不是函数y=tan（2x﹣）的对称中心的是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）7．（5.00分）已知函数f（x）=msinx+cosx（m为常数，且m＜0）的最大值为2，则函数f（x）的单调递减区间为（）（其中k∈Z）A．[2kπ+，2kπ]B．[2kπ，2kπ+]C．[2k，2k]D．[2kπ，2k]8．（5.00分）已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称B．①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得②的图象C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同9．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）10．（5.00分）已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为（）A．B．C． D．π11．（5.00分）若均α，β为锐角，=（）A．B．C． D．12．（5.00分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC 的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC=a（a为定值），∠ABC=θ，△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当取得最小值时，角θ的值为（）A．B．C．D．二、（每题5份，共20分）13．（5.00分）函数y=lg（1﹣tanx）的定义域是．14．（5.00分）设a=cos61°•cos127°+cos29°•cos37°，b=，c=，则a，b，c的大小关系（由小到大排列）为．15．（5.00分）已知P为△ABC所在平面内一点，且满足，则△APB 的面积与△PAC的面积之比为．16．（5.00分）下列命题中，正确的是（1）若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量；（2）已知=（sinθ，，=（1，），其中），则；（3）函数f（x）=tan与函数f（x）=是同一函数；（4）tan70°•cos10•（1﹣tan20°）=1．三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）17．（10.00分）已知单位向量和的夹角为60°，（1）试判断2与的关系并证明；（2）求在方向上的投影．18．（12.00分）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则的值是多少？19．（12.00分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x+a的最大值是1，（1）求常数a的值；（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．20．（12.00分）已知向量=（sin2x+，sinx），=（cos2x﹣sin2x，2sinx），设函数f（x）=，x∈R．（1）写出f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[0，），求f（x）的值域；（3）已知cos（α﹣β）=，cos（α+β）=﹣，0＜，求f（β）．21．（12.00分）已知函数，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及的值；（2）设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan（α﹣2β）的值．22．（12.00分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（，3）．若函数f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx的图象关于直线x=对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．（1）求f（x）的表达式及其最小正周期；（2）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，设函数g（x）对任意x∈R，有g （x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g（x）=﹣h（x），求函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式．（3）设（2）中所求得函数g（x），可使不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈[﹣，0]恒成立，求实数a的取值范围．2013-2014学年黑龙江省牡丹江一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5份，共60分）1．（5.00分）已知sinα=，则cos（﹣α）等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos（﹣α）=sinα=，故选：A．2．（5.00分）若函数，则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为y=x的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数【解答】解：∵f（x）=，∴y=f（x）最小周期为π的偶函数，故选：D．3．（5.00分）已知tanα=3，则=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵tanα=3，∴原式===2．故选：B．4．（5.00分）△ABC中，=，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设=，=，用，表达=（）A．（）B．（）C．（）D．（）【解答】解：如图，△ABC中，∵==，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，∴=，==，∵=，=，∴=，∴=（）．故选：D．5．（5.00分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则（）•（）=（）A．﹣3 B．5 C．﹣5 D．15【解答】解：∵⊥，∥，∴=2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2．∴=（2，1）+（1，﹣2）=（3，﹣1）．=（2，1）﹣（2，﹣4）=（0，5）．∴（）•（）=0﹣5=﹣5．故选：C．6．（5.00分）不是函数y=tan（2x﹣）的对称中心的是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【解答】解：由2x﹣=（k∈Z）得：x=+（k∈Z），∴函数y=tan（2x﹣）的对称中心为（+，0）（k∈Z），当k=1时，其对称中心为（，0），排除B；当k=0时，其对称中心为（，0），排除C；当k=4时，其对称中心为（，0），排除A；故选：D．7．（5.00分）已知函数f（x）=msinx+cosx（m为常数，且m＜0）的最大值为2，则函数f（x）的单调递减区间为（）（其中k∈Z）A．[2kπ+，2kπ]B．[2kπ，2kπ+]C．[2k，2k]D．[2kπ，2k]【解答】解：根据辅助角公式可知函数f（x）的最大值为，即m2+2=4，∴m2=2，∵m＜0，∴m=﹣，即f（x）=msinx+cosx=sinx+cosx=2cos（x+），由，得，即函数的单调递减区间为[2kπ，2kπ+]，故选：B．8．（5.00分）已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称B．①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得②的图象C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同【解答】解：①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，A、①中的函数令x+=kπ（k∈Z），解得：x=kπ﹣（k∈Z），故（﹣，0）为函数对称中心；②中的函数令2x=kπ（k∈Z），解得：x=（k∈Z），故（﹣，0）不是函数对称中心，本选项错误；B、①向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍，即得②，本选项错误；C、①令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z），解得：﹣+2kπ≤x≤+2kπ，故函数在区间（﹣，）上是单调递增函数；②令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，故函数在区间（﹣，）上是单调递增函数，本选项正确；D、①∵ω=1，∴T=2π；②∵ω=2，∴T=π，本选项错误，故选：C．9．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【解答】解：由图象知A=1，T=﹣=，T=π⇒ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=⇒φ=⇒f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x ﹣），故选：D．10．（5.00分）已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为（）A．B．C． D．π【解答】解：由3sinα=2sinβ，得sinβ=sinα，由3cosα+2cosβ=3，得cosβ=﹣cosα，将3sinα﹣2sinβ=0，两边平方得：（3sinα﹣2sinβ）2=0，整理得：9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β=0①，同理，将3cosα+2cosβ=3，两边平方得：（3cosα+2cosβ）2=9，整理得：9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9②，两式相加得9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β+9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9整理得：13+12（cosαcosβ﹣sinαsinβ）=9，即cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣，即cos（α+β）=﹣，将si nβ=sinα，cosβ=﹣cosα代入得：cosα（﹣cosα）﹣sin2α=﹣，整理得：cosα﹣cos2α﹣（1﹣cos2α）=﹣，解得：cosα=，cosβ=﹣cosα=，即cos（α+β）=﹣cosβ，∵α、β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴cos（α+β）=cos（π﹣β），即α+β=π﹣β，则α+2β=π．故选：D．11．（5.00分）若均α，β为锐角，=（）A．B．C． D．【解答】解：α，β为锐角，则cosα===；＜sinα，∴，则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．故选：B．12．（5.00分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC 的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC=a（a为定值），∠ABC=θ，△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当取得最小值时，角θ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，S1=AB•AC=a2sinθcosθ．设正方形的边长为x则BP=，AP=xcosθ，由BP+AP=AB，得+xcosθ=acosθ，故x=∴S 2=x2=（）2=•==+sin2θ+1，令t=sin2θ，因为0＜θ＜，∴0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]．∴=+t+1=g（t），g′（t）=﹣+＜0，∴函数g（t）在（0，1]上递减，因此当t=1时g（t）有最小值g（t）min=g（1）=，此时sin2θ=1，θ=∴当θ=时，最小，最小值为．故选：B．二、（每题5份，共20分）13．（5.00分）函数y=lg（1﹣tanx）的定义域是{x|，k ∈Z} ．【解答】解：要使函数有意义，则1﹣tanx＞0，即tanx ＜1， ∴，k ∈Z ，∴函数的定义域为：{x |，k ∈Z }，故答案为：{x |，k ∈Z }14．（5.00分）设a=cos61°•cos127°+cos29°•cos37°，b=，c=，则a ，b ，c 的大小关系（由小到大排列）为 a ＜c ＜b ．【解答】解：cos61°•cos127°+cos29°•cos37°=﹣sin29°•sin37°+cos29°•cos37°=cos （37°+29°）=cos66°，即a=cos66°=sin24°，==．∵sin24°＜sin25°＜sin26°， ∴a ＜c ＜b ，故答案为：a ＜c ＜b ．15．（5.00分）已知P 为△ABC 所在平面内一点，且满足，则△APB的面积与△PAC 的面积之比为 ． 【解答】解：令，，则∴四边形ADPE 是平行四边形，S △PAD =S △PAE ∵，∴S △PAE =S △PAC ∵，∴S △PAD =S △PAB∴S △PAB ：S △PAC = 故答案为：．16．（5.00分）下列命题中，正确的是（2）、（4）（1）若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量；（2）已知=（sinθ，，=（1，），其中），则；（3）函数f（x）=tan与函数f（x）=是同一函数；（4）tan70°•cos10•（1﹣tan20°）=1．【解答】解：（1）当=时，则与不一定是共线向量；（2）∵），∴sinθ＜0．==sinθ+|sinθ|=sinθ﹣sinθ=0，∴，因此正确；（3）函数f（x）===，其中x≠kπ，k∈Z．对于函数f（x）=tan，其中（k∈Z），即x≠2kπ+π．其定义域不同，因此不是同一函数；（4）∵===．tan70°•cos10•（1﹣tan20°）===1，故正确．综上可知：只有（2）（4）正确．故答案为：（2）（4）．三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）17．（10.00分）已知单位向量和的夹角为60°，（1）试判断2与的关系并证明；（2）求在方向上的投影．【解答】解：（1）2﹣与垂直，证明如下：∵和是单位向量，且夹角为60°，∴（2﹣）•=2•﹣=2×1×1×cos60°﹣12=0，∴2﹣与垂直．（2）设与所成的角为θ，则在方向上的投影为||cosθ=||×====．18．（12.00分）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则的值是多少？【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，且AM=AB，∴=∴•=（+）•（+）=+•+•+•=12+1×2cos120°+1××2cos120°+×2×2cos0°=1﹣1﹣+=119．（12.00分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x+a的最大值是1，（1）求常数a的值；（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x+a===2sin（2x+）+a，∵函数f（x）的最大值为1，∴2+a=1，∴a=﹣1；（2）∵f（x）=2sin（2x+）﹣1，∴由f（x）≥0得2sin（2x+）﹣1≥0，即sin（2x+），∴，即，即x的取值集合{x|kπ≤x≤+kπ，k∈Z，}20．（12.00分）已知向量=（sin2x+，sinx），=（cos2x﹣sin2x，2sinx），设函数f（x）=，x∈R．（1）写出f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[0，），求f（x）的值域；（3）已知cos（α﹣β）=，cos（α+β）=﹣，0＜，求f（β）．【解答】解：（1）∵向量=（sin2x+，sinx）=（sin2x+cos2x，sinx）=（1，sinx），=（cos2x﹣sin2x，2sinx），∴f（x）==cos2x﹣sin2x+2sin2x=1﹣cos2x﹣sin2x=1﹣sin（2x+），由正弦函数性质可知，f（x）的单调递增区间为．（2）由（1）知，f（x）=1﹣sin（2x+），在x∈[0，）时，f（x）为减函数，∵当x=0时，x=，当x=时，x=0．∴f（x）的值域为．（3）∵0＜，∴，0＜α+β＜π∴sin（α﹣β）＜0，sin（α+β）＞0．∵cos（α﹣β）=，cos（α+β）=﹣，sin（α﹣β）=﹣，sin（α+β）=．∴cos2β=cos[（α+β）﹣（α﹣β）]=cos（α+β）cos（α+β）+sin（α+β）sin（α﹣β）=﹣1，∴．∴=．21．（12.00分）已知函数，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及的值；（2）设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan（α﹣2β）的值．【解答】解：（1）∵0≤x≤5，∴，…（1分）∴．…（2分）当，即x=1时，，f（x）取得最大值2；当，即x=5时，，f（x）取得最小值﹣1．因此，点A、B的坐标分别是A（1，2）、B（5，﹣1）．…（4分）∴．…（6分）（2）∵点A（1，2）、B（5，﹣1）分别在角α、β的终边上，∴tanα=2，，…（8分）∵，…（10分）∴．…（12分）22．（12.00分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（，3）．若函数f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx的图象关于直线x=对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．（1）求f（x）的表达式及其最小正周期；（2）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，设函数g（x）对任意x∈R，有g （x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g（x）=﹣h（x），求函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式．（3）设（2）中所求得函数g（x），可使不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈[﹣，0]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）依题意知，sinα==，cosα=，∴f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx=cos2ωx+sin2ωx=2（cos2ωx+sin2ωx）=2sin（2ωx+），又y=f（x）的图象关于直线x=对称，∴f（0）=f（π），即2×=2sin（2πω+），∴sin（2πω+）=，∵ω∈（0，1），∴＜2πω+＜，∴2πω+=，解得：ω=，∴f（x）=2sin（x+），T=6π；（2）将f（x）=2sin（x+）图象上各点的横坐标变为原来的，得到y=2sin （2x+）的图象，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣），∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），∴g（x）是以为周期的函数，又当x∈[0，]时，g（x）=﹣h（x）=﹣2sin（2x﹣），∴当x∈[﹣，0]时，x+∈[0，]，g（x）=g（x+）=﹣2sin[2（x+）﹣]=﹣2sin（2x+）；当x∈∈[﹣π，﹣]时，x+π∈[0，]，g（x）=g（x+π）=﹣2sin[2（x+π）﹣]=﹣2sin（2x﹣），∴g（x）=；（3）令h（x）=2x，则h（x）=2x为增函数，∴当x∈[﹣，0]时，h（x）max=h（0）=1，∴不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈[﹣，0]恒成立⇔g2（x）+4g（x）﹣a≥h（x）max=h（0）=1恒成立，∴a≤g2（x）+4g（x）﹣1．∵当x∈[﹣，0]时，g（x）=﹣2sin（2x +），由2x +∈[，]知，≤2sin（2x +）≤2，﹣≤﹣2sin（2x +）≤﹣，即x∈[﹣，0]时，g（x）=﹣2sin（2x +）∈[﹣，﹣]，令t=g（x）=﹣2sin（2x +），则t∈[﹣，﹣]，∴a≤g2（x）+4g（x）﹣1转化为：a≤t2+4t﹣1=（t+2）2﹣5（t∈[﹣，﹣]）恒成立；令k（t）=（t+2）2﹣5（t∈[﹣，﹣]），则k（t）=（t+2）2﹣5在区间[﹣，﹣]上单调递增，∴k（t）min=k （﹣）=﹣．∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣]．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高一(上)数学期末试卷 及解析
2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5.00分）已知α是第四象限角tanα=﹣，则cosα=（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5.00分）若点（2，16）在函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象上，则tan的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5.00分）在△ABC中，=，=．若点D满足=（）A．+ B． C． D．4．（5.00分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣85．（5.00分）设a=sin（﹣810°），b=tan（），c=lg，则它们的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．（5.00分）已知一个扇形的周长是4cm，面积为1cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5.00分）已知tan2α=﹣2，且满足＜α＜，则的值为（）A．B．﹣C．﹣3+2D．3﹣28．（5.00分）下列函数中最小正周期为的是（）A．y=|sin4x|B．C．y=sin（cosx）D．y=sin4x+cos2x9．（5.00分）若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或10．（5.00分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z11．（5.00分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称12．（5.00分）关于x的不等式sin2x+acosx﹣a2≤1+cosx对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，）B．[﹣1，]C．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则cosα的值为．14．（ 5.00分）已知α为第二象限的角，化简=．15．（5.00分）下列命题中，正确的是（填写所有正确结论的序号）（1）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC为锐角三角形；（2）设f（sinx+cosx）=sinxcosx，则f（cos）=﹣；（3）x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴方程；（4）已知函数f（x）满足下面关系：（1）f（x+）=f（x﹣）；（2）当x∈（0，π]时，f（x）=﹣cosx，则方程f（x）=lg|x|解的个数是8个．16．（5.00分）已知，||=，||=t，若点P是△ABC所在平面内一点，且=+，则的最大值等于．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数y=3tan（2x﹣）（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的定义域；（3）说明此函数是由y=tanx的图象经过怎么样的变化得到的．18．（12.00分）（1）已知||=3，||=5，且，不共线，求当k为何值时，向量+k与﹣k互相垂直？（2）已知||=1，•=，（﹣）•（+）=，求﹣与+夹角的余弦值．19．（12.00分）已知=（2cosα，2sinα），=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜2π，设=（2，0），若+2=，求α+β的值．20．（12.00分）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=α，（1）求矩形ABCD的面积y关于角α的函数关系式y=f（α）；（2）求y=f（α）的单调递增区间；（3）问当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．21．（12.00分）函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx，g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，求实数m的取值范围．22．（12.00分）函数f（x）=3cos2+sinωx﹣（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为等边三角形．将函数f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的π倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象（1）求函数g（x）的解析式；（2）求h（x）=lg[g（x）﹣]的定义域；（3）若3sin2﹣m[g（x）﹣1]≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，求实数m 的取值范围．2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5.00分）已知α是第四象限角tanα=﹣，则cosα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵α是第四象限角，tanα=﹣，∴cosα===，故选：C．2．（5.00分）若点（2，16）在函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象上，则tan的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵点（2，16）在函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象上，∴a2=16，解得a=4；∴tan=tan=tan=．故选：D．3．（5.00分）在△ABC中，=，=．若点D满足=（）A．+ B． C． D．【解答】解：由题意可得=====故选：A．4．（5.00分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【解答】解：∵=（﹣1，1），=（2，3），∴+=（1，4），若（+）∥，则，即k=﹣8，故选：D．5．（5.00分）设a=sin（﹣810°），b=tan（），c=lg，则它们的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：a=sin（﹣810°）=﹣sin（720°+90°）=﹣1，b=tan（）=tan===．c=lg=﹣lg5∈（﹣1，0）．∴a＜c＜b．故选：B．6．（5.00分）已知一个扇形的周长是4cm，面积为1cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=4，S面积=lr=1所以解得：r=1，l=2所以扇形的圆心角的弧度数是α===2故选：A．7．（5.00分）已知tan2α=﹣2，且满足＜α＜，则的值为（）A．B．﹣C．﹣3+2D．3﹣2【解答】解：已知tan2α=﹣2，且满足＜α＜，则：=﹣2解得：tanα=====由tanα=所以上式得：==﹣3+2故选：C．8．（5.00分）下列函数中最小正周期为的是（）A．y=|sin4x|B．C．y=sin（cosx）D．y=sin4x+cos2x【解答】解：A、y=|sin4x|，∵ω=4，∴T=，不合题意；B、y=sinxcos（x+）==sin（2x+）﹣，∵ω=2，∴T==π，不合题意；C、∵cosx∈[﹣1，1]⊂[﹣π，π]，∴y=sin（cosx）的最小正周期为2π，不合题意；D、y=sin4x+cos2x=（）2+====cos4x+，∵ω=4，∴y=sin4x+cos2x最小正周期T==，符合题意，故选：D．9．（5.00分）若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或【解答】解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则=+++2（++）=11+2（||•||cosα+||•||cosα+||•||cosα）=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选：C．10．（5.00分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos （πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．11．（5.00分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称【解答】解：由于函数f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x+θ）（a，b常数，a≠0，x∈R），根据函数f（x）在x=处取得最小值，则f（）=a+b=﹣，∴a=b，∴f（x）=asinx﹣acosx=asin（x﹣），∴f（﹣x）=asin（﹣x﹣）=﹣asinx，故函数f（x）为奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，故选：D．12．（5.00分）关于x的不等式sin2x+acosx﹣a2≤1+cosx对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，）B．[﹣1，]C．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）【解答】解：不等式等价为1﹣cos2x+acosx﹣a2≤1+cosx对一切x∈R恒成立，即cos2x+（1﹣a）cosx+a2≥0恒成立，设t=cosx，则﹣1≤t≤1，则不等式等价为t2+（1﹣a）t+a2≥0，在﹣1≤t≤1上恒成立，设f（t）=t2+（1﹣a）t+a2，﹣1≤t≤1，对称性t=，则满足．即，则，即，解得a≤﹣1或a≥，故选：C．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则cosα的值为．【解答】解：∵60°＜α＜150°，∴90°＜30°+α＜180°．∵sin（30°+α）=，∴cos（30°+α）=﹣．∴cosα=cos[（30°+α）﹣30°]=cos（30°+α）•cos30°+sin（30°+α）•sin30°=﹣×+×=．故答案为：14．（5.00分）已知α为第二象限的角，化简= sinα﹣cosα．【解答】解：∵α是第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，则原式=cosα•+sinα•===sinα﹣1+1﹣cosα=sinα﹣cosα故答案为：sinα﹣cosα15．（5.00分）下列命题中，正确的是（1）（3）（4）（填写所有正确结论的序号）（1）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC为锐角三角形；（2）设f（sinx+cosx）=sinxcosx，则f（cos）=﹣；（3）x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴方程；（4）已知函数f（x）满足下面关系：（1）f（x+）=f（x﹣）；（2）当x∈（0，π]时，f（x）=﹣cosx，则方程f（x）=lg|x|解的个数是8个．【解答】解：由题意可得A，B，C不能为直角，故可设A，B均为锐角，又tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1﹣tanA•tanB）+tanC=﹣tanC（1﹣tanAtanB）+tanC=tanA•tanB•tanC＞0，∴tanC＞0，tanA＞0，tanB＞0，或一正、二负（舍），即A、B、C均为锐角，故△ABC为锐角三角形，故（1）正确．∵f（sinx+cosx）=sinxcosx=，故f（x）=，故f（cos）=f（）=﹣，故（2）错误；当x=时，y=sin（2x+）取最小值，故x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴方程，故（3）正确；（4）∵f（x+）=f（x﹣）；∴函数f（x）的周期为π，∵当x∈（0，π]时，f（x）=﹣cosx，∴函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：两函数图象共有8个交点，即方程f（x）=lg|x|解的个数是8个．故（4）正确；故答案为：（1）（3）（4）16．（5.00分）已知，||=，||=t，若点P是△ABC所在平面内一点，且=+，则的最大值等于13．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵=+，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t）≤17﹣2=13，当且仅当=4t，即t=时，取等号，∴的最大值为13，故答案为：13．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数y=3tan（2x﹣）（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的定义域；（3）说明此函数是由y=tanx的图象经过怎么样的变化得到的．【解答】解：（1）由周期公式可得函数y=3tan（2x﹣）的最小正周期为T=；（2）由，得．∴函数定义域为{x|}；（3）把y=tanx的图象先向右平移个单位，得到y=tan（x﹣），然后再把图象上点的横坐标缩小到原来的，得到y=tan（2x﹣），最后把所得图象点的纵坐标扩大到原来的3倍即可得到y=3tan（2x﹣）的图象．18．（12.00分）（1）已知||=3，||=5，且，不共线，求当k为何值时，向量+k与﹣k互相垂直？（2）已知||=1，•=，（﹣）•（+）=，求﹣与+夹角的余弦值．【解答】解：（1）由||=3，||=5，且+k与﹣k互相垂直，得（+k）•（﹣k）=，即，∴k=；（2）由||=1，（﹣）•（+）=，得，即．又•=，∴=，．则．设﹣与+夹角为θ，∴cosθ==．19．（12.00分）已知=（2cosα，2sinα），=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜2π，设=（2，0），若+2=，求α+β的值．【解答】解：∵+2=，∴（2cosα，2sinα）+2（cosβ，sinβ）=（2，0），∴2cosα+2cosβ=2，2sinα+2sinβ=0，分别化为：cosα+cosβ=1，sinα+sinβ=0，∵cos2β+sin2β=（1﹣cosα）2+sin2α=1﹣2cosα+1=1，化为cosα=，∵0＜α＜β＜2π，∴α=或．∵sinα+sinβ=0，∴当α=时，β=或．当α=，β=，不满足cosα+cosβ=1，舍去；当α=，β=，满足cosα+cosβ=1，此时α+β=2π．当α=时，又0＜α＜β＜2π，不满足sinα+sinβ=0，舍去．综上可得：β+α=2π．20．（12.00分）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=α，（1）求矩形ABCD的面积y关于角α的函数关系式y=f（α）；（2）求y=f（α）的单调递增区间；（3）问当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．【解答】解：（1）如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，在Rt△OAD中，=tan60°=，所以OA=DA=BC=sinα．所以AB=OB﹣O A=cosα﹣sinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosα﹣sinα）sinα=sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α﹣=（sin2α+cos2α）﹣=sin（2α+）﹣（0＜α＜）．（2）由﹣+2kπ≤2α+≤+2kπ，可得﹣+kπ≤α≤+kπ，∵0＜α＜，∴y=f（α）的单调递增区间是（0，）；（3）由于0＜α＜，所以当2α+=，即α=时，S=．最大21．（12.00分）函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx，g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=，当x∈[0，]时，函数f（x）为增函数，∴f（x）min=f（0）=1，，∴f（x）∈[1，]，对于g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），2x﹣∈[﹣，]，mcos（2x﹣）∈[，m]，∴g（x）∈[﹣+3，3﹣m]，若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则，解得实数m的取值范围是[]．故答案为：[]．22．（12.00分）函数f（x）=3cos2+sinωx﹣（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为等边三角形．将函数f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的π倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象（1）求函数g（x）的解析式；（2）求h（x）=lg[g（x）﹣]的定义域；（3）若3sin2﹣m[g（x）﹣1]≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=3cos2+sinωx﹣=3×+sinωx﹣=cosωx+sinωx=（cosωx+sinωx）=sin（ωx+），∴A的纵坐标为，故周期T=2BC=4，∴ω=，∴f（x）=sin（x+），g（x）=sin[（x﹣）+]+1=sin+1；（2）由题意可得g（x）﹣＞0，即sin+1＞，∴sin＞，即2kπ+＜＜2kπ+，解得4kπ+＜x＜4kπ+，k∈Z，∴h（x）=lg[g（x）﹣]的定义域为（4kπ+，4kπ+），k∈Z；（3）由题意可得3sin2﹣3msin﹣m﹣2≥0，∵x∈[0，2π]，∴∈[0，π]，∴sin∈[0，1]，则m≤，设t=3sin+1，则t∈[1，4]，sin=，y===（t﹣﹣2）在t∈[1，4]上是增函数，∴t=1时，y min=﹣2，∴m≤﹣2。
___2014-2015学年高一上学期期末教学质量测试数学试题(扫描版)
___2014-2015学年高一上学期期末教学质量测试数学试题(扫描版)___2014-2015学年高一上学期期末教学质量测试第1页共6页，第2页共6页，第3页共6页，第4页共6页高中2014级第一学期末教学质量测试数学试题参考答案及评分意见一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1.D2.D3.A4.A5.B6.C7.B8.C9.C 10.B二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11.{2.4.5.6} 12.π/3 13.(-∞。
1) 14.(1/4.1/3) 15.{1.3.5}三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
16.解：1) f(α) = sinαcosα/cosα2) 由(1)知，cosA = -cosα，sinA = sinα因为A是△___的内角，所以0 < A < π所以sinA = 1 - cos^2A = sin^2A/cos^2A所以___ -sinα/cosα17.解：1) 因为f(x)和g(x)有相同的对称中心，所以f(x)和g(x)的周期相同。
2) 由题知g(x)的周期为2π/3，所以ω = 1，θ = π/3所以对f(x)，2ω = 2π/3，对应的θ = π/6所以f(x) = 2sin(2x - π/6)第5页共6页2）由g(x) = 2cos(2x+φ) = 2sin(π/2+2x+φ)，得π/2+2x+φ = -(π/3)+kπ，其中 k∈Z，结合|φ|<π/2，得φ=π/6.因此，h(x) = 2cos[2(x-π/6)]+1.由 x∈[-π/3,π/6]，则 2(x-π/6)∈[-π/3,π/3]，又由余弦函数的图像可知 cos[2(x-π/6)]∈[-1,1]，因此 h(x)∈[1-3,3]。
19．解：（1）由 m^2-m-1=1，解得 m=-1，因此 f(x) =x^-1.2）由 x+1>0 可解得 x1，因此 g(x) = log_a(x+1)/(x-1) 的定义域是 (-∞,-1)∪(1,∞)。
2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题含解析
2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U （A ∪B ）=（ ） A ．{1，3，4}, B ．{3，4}, C ．{3}, D ．{4} 2．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A ．球, B ．三棱锥, C ．正方体, D ．圆柱 3．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ） A ．1：2, B ．1：4, C ．1：8, D ．1：164．已知点M （a ，b ）在圆O ：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切, B ．相交, C ．相离, D ．不确定 5．在下列命题中，不是公理的是（ ） A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线6．由表格中的数据可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间是(,1)()k k k Z +∈， 则k 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．27．若函数11()2xy m -=+的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．1m ≥D ．01m <≤8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(0,2]C ．[1,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若定义在区间[-2015，2015]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[-2015，2015]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2014，且x ＞0时，有f （x ）＞2014，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ）A ．2014B ．2015C ．4028D ．403010．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、11B C 的中点．下列结论中正确的个数有①直线MN 与1A C 相交． ② MN BC ⊥． ③MN //平面11ACC A ． ④三棱锥1N A BC -的体积为1316N A BC V a -=． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分．请将正确答案填在答题卷相应位置．） 11．函数22log (1)y x x =--的定义域为___________．12．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为 ．13．已知集合2{(,)49}A x y y x ==-，{(,)}B x y y x m ==+，且A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______________．14．已知函数1333,1()log ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩，则满足不等式1()()9f m f ≤的实数m 的取值范围为 ．15．下列四个命题：其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设全集为U R =，集合(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，{}2|log (2)4B x x =+<． （1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知{}|21C x x a x a =><+且，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知直线1l ：10ax by ++=，（,a b 不同时为0），2l ：(2)0a x y a -++=， （1）若0b =且12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当3b =且12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18．（本小题满分12分）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-++为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()2(1)1y f x a x =--+在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）20．（本小题满分13分）已知圆C 的方程:04222=+--+m y x y x ,其中5m <．（1）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M ,N 两点，且MN =,求m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l ，若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1axg x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D C B A C D D C B2、答案D分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：球的三视图均为圆，且大小均等；正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱故选D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3、4、6、7、8、9、10、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．(]2,1 12．14 (0,0,)913．[7,72]-14．31[,log 5]915．①④⑤三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）．解：（1）由0216,x <+<得(2,14)B =-， ……………………………2分又(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，故阴影部分表示的集合为()(,3][14,)R A C B ⋂=-∞-⋃+∞ ； ……………………5分（2）① 21a a ≥+，即1a ≥时，C =∅，成立； ………………………9分② 21a a <+，即1a <时，(2,1)(2,14)C a a =+⊆-，114,22,a a +≤⎧⎨≥-⎩得11a -≤<， ………………………11分综上所述，a 的取值范围为[1,)-+∞． …………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）当0b =时，1l ：10ax +=，由12l l ⊥知(2)0a -=，…………4分解得2a =；……………6分（2）当3b =时，1l ：310ax y ++=，当12//l l 时，有3(2)0,310,a a a --=⎧⎨-≠⎩…………8分解得3a =， …………………9分此时，1l 的方程为：3310x y ++=，2l 的方程为：30x y ++=即3390x y ++=，…………11分则它们之间的距离为229142333d -==+分 18．（本小题满分12分）解：（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得 1m =或12m =-……3分 当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去． ∴2()f x x =． ……………………6分（2）由（1）得22(1)1y x a x =--+，即函数的对称轴为1x a =-， …………8分由题意知22(1)1y x a x =--+在（2，3）上为单调函数，所以12a -≤或13a -≥， ………11分即3a ≤或4a ≥． …………12分19．（本小题满分12分）解：20．（本小题满分13分）．解：（1）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22，圆心 C （1，2），半径 m r -=5，则圆心C （1，2）到直线:240l x y +-=的距离为 5121422122=+-⨯+=d ………3分 由于5MN =125MN =，有2221()2r d MN =+， ,)52()51(522+=-∴m 得4=m ． …………………………6分（2）假设存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l 的距离为55， ……7分 由于圆心 C （1，2），半径1=r ， 则圆心C （1，2）到直线02:=+-c y x l 的距离为 511532122122-<-=++⨯-=c c d ， …………10分 解得5254+<<-c ． …………13分21．（本小题满分14分）解：（1）因为函数)(x g 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即11log 11log 2121---=--+x ax x ax ， 即axx x ax --=--+1111，得1±=a ，而当1=a 时不合题意，故1-=a ． ……4分 （2）由（1）得：11log )(21-+=x x x g ， 下面证明函数11log )(21-+=x x x g 在区间(1,)+∞上单调递增， 证明略． ………6分所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上单调递增， 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上的值域为]1,2[--， 所以2)(≤x g ，故函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成集合为),2[+∞．……8分（3）由题意知，3)(≤x f 在),0[+∞上恒成立．3)(3≤≤-x f ，x x x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414． xx x xa ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴21222124在),0[+∞上恒成立． min max 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴x x x x a ……………………10分设t x =2，t t t h 14)(--=，t t t p 12)(-=，由),0[+∞∈x 得1≥t ,设121t t ≤<，21121212()(41)()()0t t t t h t h t t t ---=>， ()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<, 所以)(t h 在),1[+∞上递减，)(t p 在),1[+∞上递增， ………………12分 )(t h 在),1[+∞上的最大值为5)1(-=h ，)(t p 在),1[+∞上的最小值为1)1(=p ．所以实数a 的取值范围为]1,5[-． …………………14分。
黑龙江省牡丹江一中2014-2015学年高一上学期期中考试 数学 Word版含答案
牡丹江一中2014——2015学年度上学期期中考试高一年级数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下面各组函数中为相同函数的是( )()A ()()1f x g x x = =- ()B ()()f x g x = =()C ln ()ln ,()x x f x e g x e = = ()D 001(),()f x x g x x = =2、已知R 是实数集，集合2{|ln(20142015)},{|P x y x x Q y y ==+-==， 则()R C P Q ⋃=（ ）()A (0,1] ()B [0,1] ()C (2015,1]- ()D [2015,2]-3、设{}10,1,2,4,,0,1,2,6,82A B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )()A 3:1f x x →- ()B 2:(1)f x x →- ()C 1:2x f x -→()D :2f x x →4、若幂函数222)33(--+-=m m xm m y 的图象不过原点，则 （ ）()A 12m -≤≤ ()B 2m = ()C 12m m ==或 ()D 1m =5、已知50,log ,lg ,510d b b a b c >===，则下列等式一定成立的是（ ）()A d ac = ()B a cd = ()C c ad = ()D d a c =+6、若命题“0,x R ∃∈使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是( )()A [2,6] ()B [6,2]--()C (2,6)()D (6,2)--7、函数(2)xy f =的定义域为(1,2),则函数2(log )y f x =的定义域为 ( )()A (0,1) ()B (1,2) ()C (2,4) ()D (4,16)8、已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=（ ）()A 3- ()B 1- ()C 1 ()D 39、函数2223,[1,2]x x y x -+=∈-的值域是（ ）()A R ()B [3,243] ()C [9,243]()D [3,)+∞ 10、若)(x f 是定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的奇函数，且当0x >时，1)21()(+=xx f ，则)(x f 的图象大致是（ ）11、已知奇函数()f x 在(,0)-∞上是单调减函数，且(2)0f =，则不等式(1)(1)0x f x -->的解集为（ ）()A {|31}x x -<<- ()B {|1113}x x x -<<<<或 ()C {|3013}x x x -<<<<或 ()D {|312}x x x -<<>或12、若定义在[2014,2014]-上的函数()f x 满足：对于任意的12,[2014,2014]x x ∈-，有1212()()()2013f x x f x f x +=+-，且0x >时，有()2013f x >，()f x 的最大、小值分别为M N 、，则M+N 的值为（ ）()A 4026 ()B 4028 ()C 2013 ()D 2014二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省牡丹江市高一上学期期末数学试卷
黑龙江省牡丹江市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={ x|x＜ }，B={ x|x＞4 }，则有（）A . 2∈A∩BB . 2∈A∪BC . 2⊆A∩BD . 2⊆A∪B2. （2分）(2018·榆林模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·金华期末) 已知：点，，则线段的中垂线方程是（）A .B .C .D .4. （2分）已知f(x)=log3x，则的大小是（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·长春模拟) 在正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，给出下列命题：① ；② ；③ 平面；④ 和成角为 .正确命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分） (2016高一上·宁德期中) 知函数f（x）=31+|x|﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A .B .C . （﹣，）D .7. （2分） (2019高一下·武宁期末) 一个圆经过以下三个点，，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·安徽模拟) 设函数，，如果在上恒成立，则的最大值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二上·绍兴期末) 如图，三棱锥S﹣ABC中，棱SA，SB，SC两两垂直，且SA=SB=SC，则二面角A﹣BC﹣S大小的正切值为（）A . 1B .C .D . 210. （2分） (2019高一上·哈尔滨月考) 设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一上·洛阳期中) 函数y=x﹣的值域为（）A .B .C .D .12. （2分）(2016·河北模拟) 某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）A . 3∈AB . 5∈AC . 2 ∈AD . 4 ∈A二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为________，14. （1分） (2019高一上·浙江期中) 计算： =________．15. （1分） (2018高一上·赣州月考) 已知函数，若，则=________16. （1分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O 的表面积为________三、解答题 (共4题；共30分)17. （10分） (2019高一上·宿州期中) 已知全集，集合，，（1）；（2）若，求实数的取值范围18. （10分） (2016高二上·自贡期中) 已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且O M⊥ON（O为坐标原点），求m的值．19. （5分） (2017高三下·武邑期中) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面A1B1C1 ， D为AC 的中点，A1B1=BB1=2，A1C1=BC1 ，∠A1C1B=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）求多面体A1B1C1DBA的体积．20. （5分）(2020·南京模拟) 在极坐标系中，直线被曲线截得的弦为，当是最长弦时，求实数的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共30分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、。
黑龙江省牡丹江市高一上学期期末考试数学试题
黑龙江省牡丹江市高一上学期期末考试数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2020·武汉模拟) 已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A . [﹣3，2）B . （﹣3，2）C . （﹣1，0]D . （﹣1，0）2. （2分） (2016高一上·西安期中) 若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·成都月考) 已知，且，则向量在方向上的投影为（）A .B .C . 1D .4. （2分）已知函数，给出下列四个命题：①是函数图像的一个对称中心;②的最小正周期是;③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称；⑤时，的值域为其中正确的命题为（）A . ①②④B . ③④⑤C . ②③D . ③④5. （2分） (2018高二上·石嘴山月考) 已知，且，则下列不等式中恒成立的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一上·大石桥期末) 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（）A .B .C .D .7. （2分）定义在R上奇函数，f（x）对任意x∈R都有f（x+1）=f（3﹣x），若f（1）=﹣2，则2012f（2012）﹣2013f（2013）=（）A . ﹣4026B . 4026C . ﹣4024D . 40248. （2分）已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A . a>c>b>dB . a>b>c>dC . c>d>a>bD . c>a>b>d9. （2分）(2017·长沙模拟) 已知，与的夹角为，，则的值是（）A . 3B . 1C .D . 210. （2分）(2017·淮北模拟) 函数f（x）=|x|+ （其中a∈R）的图像不可能是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2018高一上·衢州期中) 计算： ________ ； ________．12. （1分） (2016高一上·江阴期中) 设函数f（x）=（x﹣4）0+ ，则函数f（x）的定义域为________．13. （1分） (2016高一上·启东期末) 已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），若f（1）= ，则f（﹣2016）=________．14. （1分）(2017·泸州模拟) 已知向量 =（λ，1）， =（λ+2，1），若| + |=| ﹣ |，则实数λ=________．15. （1分）(2017·唐山模拟) 若函数y=ln（﹣2x）为奇函数，则a=________．16. （1分）角α的终边上有一点M（﹣2，4），则tanα=________．17. （1分）(2018高二上·大连期末) 如图，在直三棱柱中，，，已知G与E分别是棱和的中点， D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若，则线段DF的长度的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共35分)18. （10分）设全集为R，集合A={x|1≤3x＜9}，B={x|log2x≥0}（Ⅰ）求A∩B（Ⅱ）若集合C={x|x+a＞0}，满足B∩C=B，求实数a的取值范围．19. （10分） (2020高一下·平谷月考)（1）求值：（2）已知，求的值．20. （5分）求证：sin3x•sin3x+cos3x•cos3x=cos32x．21. （5分） (2017高二上·汕头月考) 已知全集U＝R，集合A＝{x|log2(11－x2)>1}，B＝{x|x2－x－6>0}，M＝{x|x2＋bx＋c≥0}。
2015高一上学期期末考试数学试题 word版
2015学年第一学期期末教学质量检测高一数学试题卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,4,5}A =，则U C A =A. ∅B. {1,3,5}C. {1,3,6,7}D.{1,3,5,7} 2. 当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a =与log a y x =的图象是3．下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是A ．2log y x = B ．1y x x =- C ．3y x =- D ．x y tan =4. 把函数sin 3y x =的图像向右平移4π个长度单位，所得曲线的对应函数式A. )433sin(π-=x yB. )43sin(π+=x yC. )43sin(π-=x yD. )433sin(π+=x y5. 若3cos θ=5 (0)2πθ-<<，则cos()6πθ-的值是 A ．10433± B ．10334± C ．10433- D ． 10433+ 6．函数||()5x f x =的值域是A. ]1,(-∞B. ),1[+∞C. ]1,0(D. ),0(+∞7. 函数230()30151x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．4 8. 已知()f x 是R 上的增函数，对实数,a b ，若 0a b +>，则有 A.()()()()f a f b f a f b +>-+- B.()()()()f a f b f a f b +<-+- C.()()()()f a f b f a f b ->--- D.()()()()f a f b f a f b -<-+- 9．若log 2log 20a b <<，则a ，b 满足的关系是A ．1a b <<B ．1b a <<C ．01a b <<<D ．01b a <<<10．函数sin tan y x x =+，[,]44x ππ∈-的值域是A.[B.[2,2]-C.[D.[1]- 11．若()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=，则βαtan tan 为A.5 1B.5C.6 1D.612. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()()211f x x =--+，则满足()1122f f a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦的实数a 的个数为 A.2 B.4 C.6 D.8二．填空题（本大题共6小题，单空每小题4分,多空每小题6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置．）13．若函数1()3sin()23f x x π=+，则()f x 的周期是 ▲ ;()f π=▲ .14．若2tan =α，则sin()cos()απα-=+ ▲ ；sin cos α⋅α= ▲ .15．已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是 ▲ . 16．若函数2()35f x x x a =-+的一个零点在区间(2,0)-内，另一个零点在区间(1,3)内， 则实数a 的取值范围是 ▲ .17．已知2()log (4)f x ax =-在区间[3,1-]上是增函数,则a 的取值范围是 ▲ .18．已知定义在R 上的函数)(x f 满足: )(1)1(x f x f =+,当]1,0(∈x 时,x x f 2)(=,则=)9(log 2f ▲ .三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．（本题满分10分）函数()sin(),(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<图象的一段如图所示．（1）求此函数的解析式；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．20．（本题满分10分）已知2()21x x af x +=+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）试判断函数()f x 的单调性并加以证明；（3）对任意的x R ∈，不等式()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-()x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递减区间; （2）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值．22．（本题满分12分）如图，正方形ABCD 的边长为1，Q P ,分别为DA AB ,上动点，且APQ ∆的周长为2，设 y AQ x AP ==,. （1）求y x ,之间的函数关系式)(x f y =；（2）判断PCQ ∠的大小是否为定值？并说明理由； （3）设ΔPCQ 的面积分别为S ，求S 的最小值.2015学年第一学期期末教学质量检测 高一数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 二、填空题（本大题共6小题，单空每小题4分,多空每小题每空6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置.）13. 4π，32 14. 2，2515. 16 16.{|120}a a -<< 17. {|40}a a -<< 18. 89三、解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）19.解：（1）显然23A = …………………… 1分由()212122T πππ=---=得T π=，所以2ω= ……………………3分由于22()sin(2)3123f x x πϕ=+过点（－，），故有sin()16πϕ-+=又0ϕπ<<，则5666πππϕ-<-< ，故62ππϕ-= 即 23πϕ= (4)分 所以此函数的解析式为22()sin(2)33f x x π=+. …………………… 5分（2）因为02x π≤≤，所以 2252333x πππ≤+≤…………………… 6分因此()f x 在22233x ππ+=即0x =时取得最大值22(0)sin 33f π==…… 8分()f x 在23232x ππ+=即512x π=时取得最小值232(0)sin 323f π==- (10)分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBCACBDADDAC20.解：（1）方法一：因为()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =， 即102a+= 所以1a =- ， ………… 2分此时 21()21x x f x -=+因211221()()211221x x x x xx f x f x ------===-=-+++ ，故1a =-成立 …… 4分 方法二：因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()0f x f x -+=即2202121x x x x a a--+++=++，化简得(1)(222)0x x a -+++=，所以 1a =- (4)分（2）设12x x <，则121222220x x x x <-< 即 ……………… ５分12121212222(22)()()(1)(1)02121(21)(21)x x x x x x f x f x --=---=<++++ ……… ７分所以()f x 是单调递增函数. ………… ８分 （３）因为2()1121x f x =-<+，要使不等式()f x m <对任意的x R ∈恒成立， 只要1m ≥，所以实数m 的取值范围是{|1}m m ≥ …………… 10分21. 解:（1）由()2cos 2cos 1f x x x x =+-得())()22sin cos 2cos 12cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+．…… 2分由 3222262k x k πππππ+≤+≤+得263k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈．所以函数()f x 的单调递减区间是2[,]63k k ππππ++()k Z ∈． ………………6分（2）由（1）知，()002sin(2)6f x x π=+，又由已知()065f x =，则03sin(2)65x π+=． …………………………7分因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此0cos(2)06x π+<，所以04cos(2)65x π+=-， …………………………10分于是00cos 2cos (2)66x x ππ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦00cos(2)cos sin(2)sin 6666x x ππππ=+++431552=-+⨯=………………………… 12分22. 解：（1）由已知可得2PQ x y =--，根据勾股定理有 22PQ 2=AP +AQ即：2222)x y x y --=+（ ……… 2分化简得：2x y x y xy --=+-即有22<x<2x y f x x -==-（）（01） ………… 3分（2）tan 1tan 1DQ BPDCQ y BCP x DC BC∠==-∠==-； ……………… 5分112tan 11)(1y x x yDCQ BCP y x x y xy-+---∠+∠==---+-（）（）（）（)=1 ……………… 7分024DCQ BCP DCQ BCP ππ⎛⎫∠+∠∈∴∠+∠= ⎪⎝⎭，，24PCQ DCQ BCP ππ∴∠=-∠+∠=（）（定值） (8)分（3）1111111222APQ BCP DCQ S S S S xy x y ∆∆∆=---=-----（）（） 12x y xy =+-（）21222212222222x x x x x x x x x ---+=+-⋅---（）=（） ……10分 令212t x t =-∈，（，）212212122t t S t t t-+∴=⋅=+-（）min .1S ∴=由双勾函数知S 在 ……………… 12分。
黑龙江省牡丹江市高一上学期期末数学试卷
黑龙江省牡丹江市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）过两点A（﹣2，m），B（m，4）的直线斜率为1，则m的值是（）A . -1B . 3C . 1D . -32. （2分）在空间直角坐标系中，以点为顶点的是以为底边的等腰三角形，则实数x的值为（）A . -2B . 2C . 6D . 2或64. （2分）(2013·天津理) 已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆相切．其中真命题的序号是（）A . ①②③B . ①②C . ①③D . ②③5. （2分） (2017高二上·武清期中) 过三点A（﹣3，2），B（3，﹣6），C（0，3）的圆的方程为（）A . x2+y2+4y﹣21=0B . x2+y2﹣4y﹣21=0C . x2+y2+4y﹣96=0D . x2+y2﹣4y﹣96=06. （2分） (2017高三上·嘉兴期中) 已知直线，其中，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2017高三上·韶关期末) 四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P﹣ABCD的侧面积等于4（1+ ），则该外接球的表面积是（）A . 4πB . 12πC . 24πD . 36π8. （2分）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A . [B .C .D .9. （2分）如图，在正方体中，点在线段上移动，则异面直线与所成的角的取值范围（）A .B .C .D .10. （2分）直线与圆的位置关系是（）A . 相离B . 相切C . 相交过圆心D . 相交不过圆心二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）直线l与直线m：3x﹣y+2=0关于x轴对称，则这两直线与y轴围成的三角形的面积为________．12. （1分） (2017高一下·牡丹江期末) 已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中， ,则原△ABC的面积为________13. （1分）动圆：（x﹣2m）2+（y+5m）2=9的圆心轨迹方程为________．14. （1分）(2012·四川理) 记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1．设a为正整数，数列{xn}满足x1=a，，现有下列命题：①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；③当n≥1时，；④对某个正整数k，若xk+1≥xk ，则．其中的真命题有________．（写出所有真命题的编号）三、解答题 (共5题；共46分)15. （10分） (2016高二上·江北期中) 已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣3）x+ay+a=0（1）若l1∥l2，求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．16. （1分）已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M 上，一个在圆M外，则圆M的方程为________．17. （15分） (2018高一上·阜城月考) 如图，在直角梯形中，，，，为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体 .（1）若分别为线段的中点，求证：平面；（2）求证：平面；（3）求的值.18. （10分） (2016高二上·德州期中) 正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．19. （10分） (2017高二上·南阳月考) 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）直线与交于两点，与圆交于两点，求的值.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题；共46分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
牡丹江一中2014—2015年度高一数学上学期期末试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、圆心为)1,1(且过原点的圆的方程是（ ）.A 1)1()1(22=-+-y x .B 1)1()1(22=+++y x .C 2)1()1(22=+++y x .D 2)1()1(22=-+-y x2、下面四个点中，到直线01=+-y x 的距离为22，且位于⎩⎨⎧>+-<-+0101y x y x 表示的平面区域内的点是（ ）.A )1,1( .B )1,1(- .C )1,1(-- .D )1,1(-3、设α为平面，b a ,为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ).A 若α//a ，α//b ，则b a // .B 若α⊥a ，b a //，则α⊥b.C 若α⊥a ，b a ⊥，则α//b .D 若α//a ，b a ⊥，则α⊥b4．当0>a 时，直线02=-+a y a x 与圆1)1()(22=-+-ay a x 的位置关系是（ ）.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 相切或相离5、下列说法正确的是( ).A "1"-=a 是“直线012=+-y x a 与直线02=--ay x 互相垂直”的充要条件；.B 直线02sin =++y x α的倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43；.C 过),(11y x ，),(22y x 两点的所有直线的方程121121x x x x y y y y --=--； .D 经过点)1,1(且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为02=-+y x 。
6、如图,平面α⋂平面βl =，α∈A ，α∈B ，D l AB =⋂，β∈C ，l C ∉，则平面ABC 与平面β的交线是( ).A 直线AC .B 直线AB .C 直线CD .D 直线BC7、如图所示，棱长皆相等的四面体ABC S -中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是( ).A33 .B 32 .C 63 .D 628、已知直线)(,01:R a ay x l ∈=-+是圆0124:22=+--+y x y x C 的对称轴，过点),4(a A -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）.A 2 .B 24 .C 6 .D1029、某企业生产甲、乙两种产品均需用B A ,两种原料。
已知生产1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1 吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）.A 12万元 .B 16万元 .C 17万元 .D18万元10、如图，三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，90=∠BAC ，AB PA =，则直线PB 与平面ABC 所成的角是 （ ）.A 90 .B 60 .C 45 .D 3011、三棱锥BCD A -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且BC D ABC ∆∆,都是边长为1 的等边三角形，则三棱锥BCD A -的体积是 （ ）.A122 .B 81 .C 61 .D 8212、在ABC ∆中，90=∠ACB ，2=BC ，3=AC ，点D 在斜边AB 上，以CD 为棱把它折成直二面角B CD A --，折叠后AB 的最小值为（ ）.A 6 .B 7 .C 22 .D 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
将答案填在答题卡相应的位置上) 13、正三角形ABC 的边长为a ，利用斜二测画法得到的平面直观图为C B A '''∆，那么C B A '''∆的面积为 。
14、在边长为cm 4的正方形ABCD 中，F E ,分别为CD BC ,的中点，N M ,分别为CF AB ,的中点,现沿EF AF AE ,,折叠,使D C B ,,三点重合,重合后的点记为B ，构成一个三棱锥,则MN 与平面AEF 的位置关系是 。
15、已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+3012012x y x y x ，则2+x y 的最大值为16、如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装一定量的水.如果CP将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a（如图②），则图①中的水面高度为 。
三、解答题(本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、（10分）已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切；②在直线x y =上截得弦长为72；③圆心在直线03=-y x 上，求圆C 的方程。
18、（12分）（1）求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程； （2）直线0)1(:1=+-+m y mx l 和直线02:2=-+m my x l ，已知21//l l ，求平行直线21,l l 之间的距离。
19、（12分）如图，在三棱锥ABC P -中，F E D ,,分别为棱ABAC PC ,,的中点。
已知AC PA ⊥，6=PA ，8=BC ，5=DF ， 求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC 。
20、（12分）已知几何体BCED A -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形． (1)求此几何体的体积V 的大小；(2)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； 21、（12分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,11==AA AD 2=AB 点E 在棱AB 上移动。
(1)当E 为AB 的中点时，求1AD 与平面1ECD 所成角的正弦值； (2)当AE 等于何值时，二面角D EC D --1的大小为4π。
ABCDE1A 1B1C1D22、（12分）已知圆1:22=+y x O 和定点)1,2(A ，由圆O 外一点),(b a P 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PA PQ =。
(1) 求实数b a ,间满足的等量关系； (2) 求线段PQ 长的最小值；(3) 若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程。
牡一中2014—2015年度下学期期末考试高一数学试题答案一、选择题说明：每题5分，单选题，共60分二、填空题 每题5分 共20分13、2166a ； 14、MN //平面AEF ； 15、52； 16、a )271(3-三、解答题 17题10分，18-22题每题12分17、9)1()3(22=-+-y x 或9)1()3(22=+++y x 18、（1）3x －4y ±12＝0．（2）2.19、略20、(1)由该几何体的三视图知AC ⊥平面BCED ，且EC ＝BC ＝AC ＝4，BD ＝1， ∴S 梯形BCED ＝12×(4＋1)×4＝10，∴V ＝13·S 梯形BCED ·AC ＝13×10×4＝403.即该几何体的体积为403.(2)过点B 作BF ∥ED 交EC 于F ，连接AF ，则∠FBA 或其补角即为异面直线DE 与AB 所成的角．在△BAF 中，∵AB ＝42，BF ＝AF ＝16＋9＝5， ∴cos ∠ABF ＝225.即异面直线DE 与AB 所成的角的余弦值为225.21、(1)先求点A 到面1E CD 的距离为66，设1AD 与平面1E CD 所成角为θ，则6366s i n 1==AD θ。
(2)过点D 作,EC DH ⊥垂足为H ，连结H D 1，⊥D D 1 平面ABCD ，⊥∴⊥∴EC EC D D 1平面HD D 1ECH D ⊥∴1，HDD 1∠∴为二面角DEC D --1的平面角，1,411==∴=∠∴DD DH HD D π，在DEC ∆中，32,3,2-=∴=∴=⋅=AE BE DHBCDC EC22、解：（1）连,OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定理有222PQ OP OQ =-.又由已知PQ PA =，故22PQ PA =. 即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-.化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=. （2）由230a b +-=，得23b a =-+.PQ ===故当65a =时，min PQ =即线段PQ解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离.∴ | PQ |min = | 2×2 + 1－3 |2 2 + 1 2= 255 . （3）设圆P 的半径为R ，圆P 与圆O 有公共点，圆 O 的半径为1，1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+.而OP ==故当65a =时，minOP此时, 3235b a =-+=，min 1R. 得半径取最小值时圆P 的方程为22263()()1)55x y -+-=．解法2： 圆P 与圆O 有公共点，圆 P 半径最小时为与圆O 外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ’ 与l 的交点P 0.r = 32 2 + 12－1 = 355 －1. 又 l ’：x －2y = 0,解方程组20,230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得6,535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即P 0( 65 ,35).∴ 所求圆方程为22263()()1)55x y -+-=.。