圆的证明与计算

以圆为背景的证明、动态探究题

1. 如图，在Rt△ABC中，ZABC=90 °，点M是AC的中点，以AB为直径作O O 分别交AC, BM于点D , E.

(1) 求证：MD=ME

(2) _______________________________________________ 填空：①若

AB=6，当AD=2DM 时，DE= __________________________ ；

②连接0D，OE，当/A的度数为_____________ 时，四边形ODME是菱形.

2. 如图，CD是GO的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作GO的切线PA，PB，切点分别为点A，B.

(1)连接AC，若GAPO=30。，试证明CACP是等腰三角形;

(2)填空：

①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；

②当DP= _______ cm时，四边形AOBP是正方形.

3•如图，AB是半圆0的直径，点P是半圆上不与点A, B重合的一个动点，延长BP到点C,使PC= PB, D是AC的中点，连接PD, P0.

(1)求证：△CDP^△OB;

(2)填空：

①若AB = 4，则四边形AOPD的最大面积为__________________ ；

②连接0D，当Z PBA的度数为_______ 时，四边形BPDO是菱形.

4. 如图，在。0中，AB是。0的直径，AC是。0的弦，过点C作。0的切线

交BA 的延长线于点P ,连接BC.

(1)求证：/ PCA= ZB;

(2)已知Z P=40 °,AB=12cm,点Q 在优弧AC 上，从点A 开始以n cm/s 的速度 逆时针运动到点C 停止(点Q 与点A 、C 不重合)，设运动时间为ts.

5. 如图，在 Rt △ABC 中，Z ACB=90 °以AC 为直径的。O 与AB 边交于点D,过 点D 作。O 的切线交BC 于点E 连接OE,。O 的半径为 3 。

(1)求证:OE//AB;

① 当t=

② 当t= 时，以点A 、Q 、B 、C 为顶点的四边形面积最大 时，△ABQ 与A ABC 全等。

(2)①当BC= ________ 时, ②当BC= _______ 时, 四边形ODEC 是正方形

AD=3DE.

ACD

6. 如图，AD 是。O 的直径，AD=2BD,点C 是

连接 BC 、BA 、AC.

(1) 求Z ACB 的度数；

(2) 填空：已知。O 半径为4 , 7. 如图，在△ ABC 中AB=AC,以AB 为直径的。O 交BC 于点D ，交AC 于点E , 过点D 作DF 丄AC,垂足为点F.

上的不与A 、D 重合的动点

,

① 当 的长为 ___________ 时,

② 当庄的长为 ________________ 时, 四边形ABDC 是矩形

(1)求证：DF 为O O 的切线。

(2)若过点A 且与BC 平行的直线交BE 延长线于点G,连接CG,设O O 的半径 为5.

②当BC=4、5时，四边形ABCG 的面积是

8. 如图，在 Rt △KBC 中，/BAC=90 °,Q =30。，以边AC 上一点 0为圆心, OA 为半径作圆，恰好经过边BC 的中点D ，并与边AC 相交于另一点F.

(1)求证：BD 是O O 的切线;

(2)若AB= -. 3，点E 是半圆AmF 上一动点，连接 AE 、AD 、DE.填空:

①当_一的长度是 ①当CF=

时，四边形ABCG 是菱形。

时，四边形ABDE 是菱形;

②当 的长度是 时，△ADE 是直角三角形。

9. 如图，。O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点0的直线OM //BC,交AC于点M。

(1)Z AM0的度数是___________ 。

(2)延长0M交。0于点E,过点E作。0的切线，交

BC的延长线于点F，连接FM并延长，交AB于点G.

①试判断四边形CFEM的形状，并说明理由；

②若AG=2，CM=3，则四边形CFEM的面积是

圆的证明计算题

1.如图，AB为O 0的直径，0P丄AB交O 0于点D,PM切O 0于点M , AM 交

0P于点N,过点B作PM的平行线交。0于点C.

P

(1) 求证：PM=PN ;

3

(2) 若AB=4,DP= -OD，求弦BC 的长.

2.. 如图，已知AB是。O的直径，过点O作OP，交弦AC于点D，交。O于点E,且使Z PCA= ZABC.

(1)求证：PC是O O的切线.

(2)若Z P=60 °,PC=2，求PE 的长.

P

3.. 如图，点E在以AB为直径的。O上，点C是弧BE的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F.

(1) 求证：CD是。O的切线；

4

(2) 若cos /CAD= ，BF=15,求AC 的长.

5

4.. 如图，已知△ ABC内接于。O,且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是0E 上的一点，使CF//BD .

(1) 求证：BE=CE;

(2) 试判断四边形BFCD的形状，并说明理由;

(3) 若BC=8，AD=10，求CD 的长F

5•如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，ZFAB

=15。，连接OF交AB于点E,过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D , 延长AF交直线CD于点H .

(1)求证：CD是半圆O的切线；

(2)若DH= 6-3.3，求EF和半径OA的长.

6..如图AB是。O的一条弦, E是AB的中点，过点E作EC丄OA于点C,过点