2020年中考数学专题复习隐形圆系列之最大张角学案

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中考数学压轴题突破-隐形圆相关的最值问题导学案(扫描版)(无答案)

中考数学压轴题突破-隐形圆相关的最值问题
【知识储备】
最值问题的解决方法通常有两大类：
一、应用几何性质：
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点间线段最短；
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长。

二、运用代数证法：
①运用配方法求二次三项式的最值；
②运用一元二次方程根的判别式。

几何中的动态题是难点也是重点，很多时候我们要抓住问题的不变量，并对不变量进行追问。

2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)

隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。

2020年中考数学二次函数压轴题核心考点突破02隐形圆

A
P
B
C
【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°， ∴∠PAB+∠PBA=90°， ∴∠APB=90°， ∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．
∠PBC=∠PAB， A O
A
E
H
F
D
G
B
C
【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证 AG⊥BE，即∠AHB=90°，
A
E
F
α
D
H G
A
E
F
α
D
α
α
H G
B
C
所以 H 点轨迹是以 AB 为直径的圆弧
O
α
α
B
C
当 D、H、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求．
A
D
H
O
B
C
【2016 安徽中考】如图，Rt△ABC 中，AB ⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段 CP 长的最小值是_________．
A
P F
C
E
B
【分析】考虑到将△FCE 沿 EF 翻折得到△FPE，可得 P 点轨迹是以 F 点为圆心，FC 为半径的圆弧． A
P F
C
E
B
过 F 点作 FH ⊥AB，与圆的交点即为所求 P 点，此时点 P 到 AB 的距离最小．由相似先求 FH ，再减去 FP，即可得到 PH ．
A
H P
F
C
B
A
D
O
P
F
B
E
C
连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“ 非直即圆” （不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．

中考数学专题：隐形圆解析

A
D
O
E
C
B
【分析】连接 CE ，由于 CD 为直径，故∠CED=90°，考虑到 CD 是动线段，故可以将此题看成定线段 CB 对直角∠CEB ．
A
D
E O
C
B
取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧．
A
D
E O
CM
B
连接 AM，与圆弧交点即为所求 E 点，此时 AE 值最小， AE AM EM 102 22 2 2 26 2 ．
【2017 四川德阳】如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足 OC=5，点 P 为圆 C 上一动点，经过点 O 的直线 l 上有两点 A、B，且 OA=OB，∠APB=90°，l 不经过点 C，则 AB 的最小值为________．
C P
l AO B
【分析】连接 OP，根据△APB 为直角三角形且 O 是斜边 AB 中点，可得 OP 是 AB 的一半，若 AB 最小，则 OP 最小即可．
【2019 扬州中考】如图，已知等边△ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A 、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B’．当 PB=6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．
A P
B
A
P F
C
E
B
【分析】考虑到将△FCE 沿 EF 翻折得到△FPE，可得 P 点轨迹是以 F 点为圆心，FC 为半径的圆弧． A
P F
C
E
B
过 F 点作 FH ⊥AB，与圆的交点即为所求 P 点，此时点 P 到 AB 的距离最小．由相似先求 FH ，再减去 FP，即可得到 PH ．

2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)

专题复习-“隐形圆”问题

- < a < 0 ≤ a ≤ 2 + ．略解：取 AB 的中点 M ，则 C 1M = ，所以 M 在以 C 1 圆心，半径为（4）若对任意α∈R ，直线 l ：xcos α＋ysin α＝2sin(α＋ )＋4 与圆 C ：(x －m )2＋(y － 3 m )23 2 ． (-“隐形圆”问题江苏省通州高级中学一、问题概述江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．二、求解策略如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．策略一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例 1（1）如果圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围是．65略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解．（2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆 M 上存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝60°，则 a 的取值范围为．解：由题意得 OP = 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共点，因此有 2 - 1 < OM < 2 + 1 ⇒ 1 ≤ a 2+ (a - 4)2≤ 9 ⇒ 2 -2 22 2（3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 C : x 2 + y 2 = 1 上的动点， AB = 3 ， P 是圆1C : (x - ）+ ( y - 4)2 = 1 上的动点，则 P A + PB 的取值范围是． [7,13]21 1 的圆上，且2 2P A + PB = 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值．π6＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是1 , 5)2 2略解：直线 l 的方程为：(x -1)cos α＋(y - 3 )sin α＝4，M (1, 3 )到 l 距离为 4，所以 l 是以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含．化简得 x - ⎪ + y - ⎪ = 2 ，所以点 M 的轨迹是以， ⎪ 为圆心，圆，所以 AM 的取值范围是 ⎢ ， ⎡ 6 - 2 6 + 2 ⎤以 BC 的取值范围是 ⎡ 6 - 2 ， 6 + 2 ⎤ ．⎦ ⎦注：直线 l ：(x -x 0)cos α＋(y - y 0)sin α＝R 为圆 M ： (x - x )2 + (x - y )2 = R 2 的切线系．例 2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B ，C 为圆 x 2 + y 2 = 4 上两点，点 A(1，1) ，且 AB ⊥AC ，则线段 BC 的长的取值范围为．解：法一（标解）：设 BC 的中点为 M (x, y )，因为 OB 2 = OM 2 + BM 2 = OM 2 + AM 2 ，y所以 4 = x 2 + y 2 + (x - 1)2 + ( y - 1)2 ，BMC⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭ ⎝2 ⎭3 A⎛ 1 1 ⎫ 3 2 ⎝2 2 ⎭2为半径的Ox，所 ⎣ 2 2 ⎥例 2⎣ ⎦法二：以 AB 、AC 为邻边作矩形 BACN ，则 BC ＝AN ，由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），有 O B 2 + OC 2 = OA 2 + ON 2 ，所以 ON ＝ 6 ，故 N 在以 O 为圆心，半径为 6 的圆上，所以 BC 的取值范围是 ⎡⎣ 6 -2 ， 6 + 2 ⎤ ．变式 1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O : x 2 + y 2 = 16 ，点P (1, 2) ，M 、N 为圆 O 上两个不同的点，且PM ⋅ PN = 0 ，若 P Q = PM + PN ，则 PQ 的最小值为． 3 3 - 5y变式 2已知圆 C ： x 2 + y 2 = 9 ，圆 C ： x 2 + y 2 = 4 ，定点A12P(1, 0) ，动点 A, B 分别在圆 C 和圆 C 上，满足 ∠APB = 90 ， 12则线段 AB 的取值范围． [2 3 - 1, 2 3 + 1]BOPx变式 3 已知向量 a 、b 、c 满足 a = 3, b = 2, c = 1,(a - c ) ⋅ (b - c ) = 0 ，则 a - b 范围为． [2 3 - 1, 2 3 + 1]l l - 根据 AP ⋅ BP + 2λ = 0 ，有 (x - 4)2 + y 2 = 13 - 2λ λ < ⎪ .由题意策略二动点 P 对两定点 A 、B 张角是 900 （ kP A⋅ k PB= -1 ，或 P A ⋅ PB = 0）确定隐形圆例 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C ： (x - 3)2 + ( y - 4)2 = 1 和两点 A(-m , 0) ， B(m , 0) ，若圆上存在点 P ，使得 ∠APB = 90 ，则 m 的取值范围是． [4,6]略解：由已知以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点．（2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P ( 1，0) ，Q(2 ，1) ，直线 l ：ax + by + c = 0 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是． [ 2, 3 2]解：由题意，圆心 C(1，－2)在直线 ax ＋by ＋c ＝0 上，可得 a －2b ＋c ＝0，即 c ＝2b －a ．直线 l ：(2a －b )x ＋(2b －c)y ＋(2c －a)＝0，即 a(2x ＋y －3)＋b (4－x)＝0，⎧2x + y - 3 = 0,由 ⎨ ⎩ 4 - x = 0，可得 x ＝4，y ＝－5，即直线过定点 M (4，－5)，由题意，H 在以 PM 为直径的圆上，圆心为 A(5，2)，方程为(x －5)2＋(y －2)2＝50，∵|CA|＝4 2 ，∴CH 最小为 5 2 －4 2 ＝ 2 ，CH 最大为 4 2 ＋5 2 ＝9 2 ， ∴线段 CH 长度的取值范围是[ 2 ，9 2 ] ．（3）（通州区 2017 届高三下开学初检测）设m ∈ R ，直线 l ： x + my = 0 与直线1l ： mx - y - 2m - 4 = 0 交于点 P(x , y ) ，则 x 2 + y 2 + 2x的取值范围2是． [12 - 4 10,12 + 4 10 ]略解：1 过定点 O(0，0)，2 过定点 A(2，-4)，则 P 在以 OA 为直径的圆上（除去一点），变式（2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1：kx －y ＋2＝0 与直线 l 2： x ＋ky －2＝0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y －4＝0 的距离的最大值为． 3 2策略三两定点 A 、B ，动点 P 满足 P A ⋅ PB = λ 确定隐形圆例 4 （1）（2017 年南通密卷 3）已知点 A(2, 3) ，点 B (6, 3) ，点 P 在直线 3x - 4 y + 3 = 0 上，若满足等式 AP ⋅ BP + 2λ = 0 的点 P 有两个，则实数 λ 的取值范围是解：设 P （x ，y ），则 AP = (x - 2, y - 3) ， BP = (x - 6, y + 3) ，⎛ 13 ⎫⎝2 ⎭．圆： (x - 4)2 + y 2 = 13 - 2λ λ < ⎪ 圆与直线 3x - 4 y + 3 = 0 相交，且点 C 总不在以点 B 为圆心，为半径的圆内，则负数 λ 的最大值是. - 设 A(- ,0) ， B( , 0) ， C(x, y) ，则由 a 2 + b 2 + 2c 2 = 8 ，得 (x - )2 + y 2 + (x + ) + y 2 + 2c 2 = 8，即 x 2 + y 2 = 4 - c 2 ，所以点 C 在此圆上，S ≤ r = 4 - c 2 = (4 - c 2 ) c 2 ≤策略五两定点 A 、B ，动点 P 满足= λ(λ > 0, λ ≠ 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）⎛ ⎝13 ⎫ 2 ⎭圆心到直线的距离 d = 3 ⋅ 4 - 4 ⋅ 0 + 332 + 42= 3 < 13 - 2λ ，所以 λ < 2 .（2）（2016 年盐城三模）已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CA ⋅ C B = λ （ λ 为常数），1324略解：动点 C 满足方程 x 2 + y 2 = λ + 1 .策略四两定点 A 、B ，动点 P 满足 P A 2 + PB 2 是定值确定隐形圆例 5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点 A(0，2)，若圆 C 上存在点 M ，满足 MA 2＋MO 2＝10，则实数 a 的取值范围是．[0，3]略解：M 满足的方程为 x 2 + ( y -1)2 = 4 ，转化为两圆有公共点（2）（2017 年南京、盐城一模）在 ∆ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为 a, b , c ，若a 2 +b 2 + 2c 2 = 8 ，则 ∆ABC 面积的最大值为．2 5 5解：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建系.c c 2 2c c 52 2 4c c 5 1 5 5 2 52 2 4 5 4 4 5P A PB例 6（1）略解：点 P 满足圆的方程为 x 2 + y 2 = 4 ，转化到直线与圆相交.（2）（2016 届常州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点 P 在直线 x + 3 y - b = 0 上，过点 P 作圆 O ，O 1 的两条切线，．－ ,4 ⎪l()2) = 9 ，( )(整理得， x - 9+ y - 9 3所以点 P(x ，y) 的轨迹是以点 (，9 3)为圆心， 3 为半径的圆．图乙x2()因为圆心 9 ，9 3 到领海边界线 l ： x = 3.8 的距离为 1.55，大于圆半径 3 ，切点分别为 A ，B ，若满足 PB = 2P A 的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范围⎛ 20 ⎫ ⎝3⎭例 7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线（一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东 30°方向相距 4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： sin17 °≈3 ， 33 ≈ 5.7446 ）6（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．北l领海公海B30°A解：（1）略(例 7)（2）如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy ．则 B (2 ，2 3)，设缉私艇在 P(x ，y) 处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则 P A = 3 ，即PBx 2 + y 2( x - 2)2+ y - 2 3= 3．yl领海公海224444 4B60A4 42所以缉私艇能在领海内截住走私船．策略六由圆周角的性质确定隐形圆例 8 （1）已知 a, b , c 分别为 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 的对边， a = 2 ，(a +b )(sinA -sinB)=(c -b )sinC 则 ∆ABC 面积的最大值为． 3略解：cos∠A＝，∠A＝60°，设∆ABC的外接圆的圆心为O，外接圆的半径为，则O到BC的距离为3，则边BC上的高h的最大值为+=3，则面积的最大值（O为．[-312323323333为3．（2）2017年常州一模）在△ABC中，∠C＝45o，△是ABC的外心，若OC=mOA+nOB(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是．[-2,1)略解：∠AOB＝2∠C＝90°，点C在以O为圆心，半径OA的圆上（在优弧AB上）．三、同步练习1．已知直线l:x-2y+m=0上存在点M满足与两点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率之积为-1，则实数m的取值范围是．[-25,25]2．(2016年泰州一模)已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则ba-2c的取值范围3,]333．已知θ,t∈R，则(cosθ-t-2)2+(sinθ-t+2)2的取值范围是．[22-1,22+1] 4．已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得P A⋅PB=1，则m的取值范围是．[15,35]7．（2016年无锡一模）已知圆C:(x-2)2+y2=4，线段EF在直线l:y=x+1上运动，点P 为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A、B，使得P A⋅PB≤0，则线段EF长度的最大值是．148．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点(与点A,B不重合)，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，则线段 PD 的取值范围． ( , 2)5．1． [0, ]) 32 39．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( - t ，0)(t > 0) ， B(t ，0) ，点 C 满足 AC ⋅ BC = 8 ，且点 C 到直线 l ： 3x - 4y + 24 = 0 的最小距离为 9 ，则实数 t 的值是10．（2013 年江苏卷第 17 题改编）在平面直角坐标系xOy 中，已知点O(0, 0) ， A(0, 3) 如果圆 C : ( x - a)2 + ( y - 2a + 4)2 = 1 上总存在点 M 使得 MA = 2MO ，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围是12511．已知向量 a 、b 、c 满足 a = 2 ， b = a ⋅ b = 3 ，若 (c - 2a )(2 b -3c =0 ，则 b - c 的最大值是．1 + 212．设点 A, B 是圆 x 2 + y 2 = 4 上的两点，点C(1, 0)，如果∠ACB = 90 ，则线段 AB 长度的取值范围为． [ 7 - 1, 7 + 1]13．在 ∆ABC 中，BC ＝ 2，AC ＝1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD (B 为直角顶点，C 、D 两点在直线 AB 的两侧)．当∠C 变化时，线段 CD 长的最大值为14．（2016 年南通三模）在平面直角坐标系 x Oy 中，圆 C : (x - 1)2 + y 2 = 2 ， 1． 3圆 C : (x - m )2 + (y + m )2 = m 2 ，若圆 C12上存在点 P 满足：过点 P 向圆 C 作两条切线1P A 、PB ，切点为 A 、B ， ∆ABP 的面积为 1，则正数 m 的取值范围是．解：设 P(x ，y) ，设 P A ，PB 的夹角为 2θ ．1 2P A△ABP 的面积 S = P A 2 sin 2θ = P A 2 ⋅ ⋅ = 1．2 PC PC11由 2P A= PC 2 = P A 2 + 2 ，解得 P A = 2 ， 1所以 PC = 2 ，所以点 P 在圆 (x - 1) 2 + y 2 = 4 上．1所以 m - 2 ≤ (m -1)2 + (-m )2 ≤ m + 2 ，解得 1≤ m ≤ 3 + 2 3 ．。

微专题22“隐形圆”问题(教学案)

微专题22“隐形圆”问题1．能用探究轨迹的思想挖掘题目中的隐形圆问题．2．能通过圆的几何意义等思想方法解决与圆有关的范围(最值)问题．3．深刻体会“等价转化”、“数形结合”等数学思想方法，能用代数方法处理几何问题．考题导航题组一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆1．如果圆(x－2a)．2．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围为__________．→＋OB→的1．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝23，则||OA 最大值是________．1．已知圆C：(x－3)，则正数m的取值范围是________．2．已知点A (2，3)，B (6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP →·BP →＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (－1，0)，Q (2，1)，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点P 在直线l 上的射影为H ，则线段QH 的取值范围是________．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1，2)． (1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得P A 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．1．已知点M (x ，y )与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离之比为12，那么点M 的坐标满足的关系为_____．2．已知点A (0，1)，B (1，0)，C (t ，0)，D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________．1．如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数，则满足条件的点B 的坐标为________．冲刺强化训练(22)1．已知点A (－1，0)，B (1，0)，动点M (x ，y )满足MA ＝2MB ，则动点M 的轨迹方程是_________． 2．若圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，过动点P 分别作圆O 1与圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，则动点P 的轨迹方程是______________．3．已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|P A →＋PB →|的取值范围为____________．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (1，0)均在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP ⊥BP ，则半径r 的值为________．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．6．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ<0)，若点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是________．7．已知点A (－1，0)，B (1，0)，过定点M (0，2)的直线l 上存在点P ，使得P A →·PB →<0，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上的点M 均满足MA 2＋MO 2>10，则实数a 的取值范围是________．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上的两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为 ________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC的长的取值范围是________．11．已知定点O (0，0)，M 是圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的任意一点，问：是否存在不同于点O 的定点A ，使得MOMA为常数？若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图所示，A ，B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P ．垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求(A ，B ，P 可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大)．现估测得A ，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？。

中考数学第六章圆重难微专项8 隐形圆在解题中的应用

模型 2 直角对直径
1.知识依据:90°的圆周角所对的弦是直径(圆周角定理的推论).
2.模型说明:如图,在△ABC中,∠C=90°,若AB的长固定,则点C的运动轨
迹为以AB为直径的☉O(不含点A,B).
重难·微专项8 隐形圆在解题中的应用
例题
例2
如图,四边形ABCD中,连接AC,BD,点O为AB的中点,若∠ADB=
重难·微专项8 隐形圆在解题中的应用
专项训练
③当点P在P3处时,易知点E,P3关于AD所在的直线对称,则∠P2DP3=
∠EDP1=40°,所以∠EDP3=100°+40°=140°.综上,当△DEP是以∠EDP
为顶角的等腰三角形时,∠EDP的度数为40°,100°或140°.
重难·微专项8 隐形圆在解题中的应用
2
重难·微专项8 隐形圆在解题中的应用
专项训练
点P1,P2,P3即为满足条件的点P.①当点P在点P1处时,易知点P1在y轴
上,∴P1(0,-4).②当点P在点P2或P3处时,可设点P的坐标为(1,b),连接
FP2,FP3,则 12 + ( + 2) 2 =2,解得b=-2± 3,∴P2(1,-2+ 3),P3(1,-2- 3).
P在P1处时,∠EDP1=180°-2∠AED=40°.②当点P在P2处时,连接AD,
由圆及等腰三角形的性质可知,点P1,P2关于AD所在的直线对称.因为
∠AP1D=∠AED+∠EDP1=70°+40°=110°,所以∠AP2D=110°.由
∠B=50°,AB=AC,可知∠BAC=80°,所以∠P1DP2=360°-∠BAC∠AP1D-∠AP2D=60°,所以∠EDP2=40°+60°=100°.

2020年中考数学专题复习隐形圆系列之最大张角学案设计

隐形圆系列之最大张角问题背景：1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个十分有趣的问题：在地球表面的什么位置，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？因此最大视角问题又称为“米勒问题”。

米勒问题：(最大张角题目条件和问题)已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，点C在何处时，∠ACB最大？米勒定理（最大张角）：已知点A、B是角M O N的边O N上的一动点，则当且仅当三角形AB C的外接圆与边O M相切于点C时，∠AC B最大。

此时有OC²=OB×O A（△OB C∽△O CA）解决它的理论依据:1.同弧所对的圆周角相等；2.圆外角＜圆周角＜圆内角（同弧所对）接下来我们给予证明：证明：设C'是边OM上不同于点C的任意一点，连接AC'，BC'，设BC'交圆于点H，则∠ACB=∠AHB,∠AHB＞∠AC'B∴∠ACB＞∠AC'B典型1:如图，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(5，0)，点P是该直角坐标系内的一个动点．当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求出点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由．解析：这是一道张角最大问题(米勒视角问题）由上面的米勒定理可知，要使∠APB最大，只需△APB的外接圆与y轴相切，此时，∠APB 最大。

当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，此时∠APB最大．那么如何确定○E呢？我们知道确定圆的条件是：圆心和半径；只要确定了圆的圆心和半径，圆即确定；∵圆经过A、B两点，则圆心，必在线段AB的中垂线上；又知圆与y轴相切，圆心距y轴的半径=OH长点A在圆上，点A距圆心的距离=OH以点A为圆心，OH长为半径画弧交AB中垂线于点E，则点E即为所求的圆心。

半径即为EA理由：连接EA，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，易得：∠APB＝∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．∵A(1，0)，B(5，0)，则AB=4，AH=2，sin∠AEH=AH/EA=2/EP当EA最小即EP最小时，sin∠AEH最大，∠AEH最大，∴当○E与y轴相切时，∠APB最大。

人教版数学2019年中考总复习——抓住题目中的隐形圆教案设计

人教版数学中考总复习抓住题目中的隐形圆井陉县皆山中学单志辉教学目标：1、准确把握圆的有关基础知识和基本定理；2、在审题中抓住圆的“影子”，利用圆的知识解决数学问题。

教学重点：熟练并准确掌握圆的有关知识是本节课的教学重点。

教学难点：抓住题目中的隐形圆将题目顺利解决是本节课的教学难点。

教学过程设计：一、问题情境创设问题1：如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，P为AD上任意一点，连接BP，点A关于PB的对称点A′，连接DA′，则线段DA′的最小值为（）A、3B、52CD、2二、学生自主探究题目分析：通过审题，学生能够得到对称轴BP定能垂直平分线段AA′，进而得到BA=BA′，能否想到在动点P的运动过程中，BA′的长度始终保持不变，即等于BA，这是学生的第一个思维上的坎；若P学生能够想到这层意识，即看到点A ′与点B 的距离不变，进而联系到圆的几何定义：圆是到定点的距离等于定长的所有的点的集合，想到点A ′的运动轨迹是以点B 为圆心、BA 为半径的圆，这将是学生的第二个思维上的坎；第三个坎就是圆外一点与圆上各点的连线中，哪条线段最短，这点知识学生是否掌握了。

三、师生共同辨析解：有题意可知：因为点A 关于PB 的对称点是A ′，所以BA=B A ′，由此可见，在点P 运动过程中，点A ′到点B 的距离始终保持不变，于是点A ′的运动轨迹就是以以点B 为圆心、BA 为半径的圆，而线段D A ′的最小值就转化为圆外一点到圆上的各点的连线中，线段最短位置的点，于是连接BD ，与⊙B 交于点A ′，即为所求，则在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：BD == , DA ′=2 ，因此选D 。

四、问题情境再创设问题2：如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点M 和点N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度分别沿BC 、CD 方向向终点C和D 运动，连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为。

中考数学隐形圆专题含答案

类型一：定点到动点定长点A为定点，点B为动点，AB为定长，则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。

【经典例题1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F 是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是___.【解析】如图所示：当∠BFE=∠B′EF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB′=2，∵AD=6，∴DE=1022622=+，∴B′D=102−2.练习1-1如图③，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是AB 边上一点，且AE=2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度。

若不存在，请说明理由。

【解析】（3）如图3，△四边形ABCD 是矩形，△CD=AB=3，AD=BC=4，△ABC=△D=90°，根据勾股定理得，AC=5， △AB=3，AE=2，△点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为h ，△S 四边形AGCD =S △ACD +S △ACG =21AD×CD+21AC×h=21×4×3+21×5×h=25h+6， △要四边形AGCD 的面积最小，即：h 最小，△点G 是以点E 为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点， △EG△AC 时，h 最小，由折叠知△EGF=△ABC=90°，延长EG 交AC 于H ，则EH△AC ，在Rt△ABC 中，sin△BAC=AC BC =54，在Rt△AEH 中，AE=2，sin△BAC=AE EH =54， △EH=54AE=58，△h=EH -EG=58-1=53 △S 四边形AGCD 最小=25h+6=25×53+6=215．练习1-2如图，等边△ABC 的边AB=8，D 是AB 上一点，BD=3，P 是AC 边上一动点，将△ADP 沿直线DP 折叠，A 的对应点为A'，则CA'的长度最小值是 .【解析】2练习1-3如图，在平行四边形ABCD 中，△BCD =30°，BC =4，CD=M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△AMN ，连接A'C ，则A'C 长度的最小值是 .【解析】如图，连接MC ；过点M 作ME△CD ，交CD 的延长线于点E ；△四边形ABCD 为平行四边形，△AD△BC ，AD=BC=4，△点M 为AD 的中点，△BCD=30△，△DM=MA=2，△MDE=△BCD=30△， △ME=21DM=1，DE=3， △CE=CD+DE=43，由勾股定理得：CM 2=ME 2+CE 2，第4题图AB C DA'M N△CM=7;由翻折变换的性质得：MA′=MA=2，显然，当折线MA′C 与线段MC 重合时，线段A′C 的长度最短，此时A′C=7−2=5，故答案为5.练习1-4如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，点M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连结A′C ，则A′C 长度的最小值是( ) A. 7 B. 7−1 C. 3 D. 2【解析】如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时，过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，M 为AD 中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60∘，∴∠FMD=30∘，∴FD=21MD=21，∴FM=DM×cos30∘=23， ∴MC=722=+CF FM ，∴A′C=MC−MA′=7−1.故选：B.变式：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_____解题思路：同上题，不难看出点P 的运动轨迹为以点F 为圆心，PF 为半径的圆上运动，求点P 到AB 的距离最小，可过点F 作AB 的垂线于点M ，交圆 F 于点P ，此时，最小值为PM 。

“隐形圆”—最大张角问题 2022年中考数学专题复习课件

不积洼步无以至千里。
探究定理
米勒定理：已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一个动点，则当且仅当△ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。
证明：如图，设在边OM上取不同于点P的任意一点P'，在圆上取点C，连结 AP',BP',AC,BC, ∵∠APB和∠ACB是同弧所对的圆周角， ∴∠APB=∠ACB， ∵∠ACB是∆CP'B外角， ∵∠ACB>∠AP'B 即：∠APB>∠AP'B ∴∠APB最大
BP 3
不积洼步无以至千里。
课堂小结
同学们，分享你的收获！说说你的疑问？
不积洼步无以至千里。
感谢各位的观看再见！
不积洼步无以至千里。
不积洼步无以至千里。
解：过A B两点作圆于CD相切于点P，此时∠APB最大，理由∵PC为圆的切线，AB为圆的割线
∴CP²=CB·CA
即：CP²=CB·CA=5 2 × 10 2 =100
∴CP=10
不积洼步无以至千里。
典例精讲
例2.如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC， ∠ABC=60°，AD=8，BC=12．如图在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．
不积洼步无以至千里。
解：如图，记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线
M连N接上O（M设、MCMN与，y则轴∠交CQ于O点=N）1∠．CMO=∠OMN，
MC=MO=MQ，
2
ON 1.5
∴sin∠CQO=sin∠OMN= OM OM
∴sin∠CQO的值随着OM的增大而减小．

2024年中考数学圆复习讲义：最大张角

最大张角【原题呈现】【问题探究】(1) 如图1所示，AB 为⊙O的弦，点C 是⊙O上的一点，在直线AB 上方找一个点D，使得∠ADB=∠ACB,画出∠ADB,并说明理由.(2)如图2所示，AB 是⊙O的弦，点C是⊙O上的一个点，在过点C的直线l 上找一点P，使得∠APB<∠ACB,画出∠APB,并说明理由.【问题解决】(3)如图3所示，已知足球门宽AB约为5√2米，一球员从距B 点！5√2米的点C(点A,B,C均在球场的底线上)，沿与AC成45°的CD 方向带球.试问，该球员能否在射线CD 上找一点 P，使得点 P 是最佳射门点(即∠APB 最大)?若能找到，求出这时点 P 与点C的距离；若不能找到，请说明理由.【研题策略】来路@1.由“不在同一条直线的三个点确定一个圆”，知任意三角形都有外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.显然，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三边中垂线的交点，在具体操作时作任意两边中垂线的交点即可.此为借助三角形的外接圆来解决三角形问题的理论依据，作出三角形的外接圆以后，三角形的内角就是外接圆的圆周角，三角形的边就是外接圆的弦，即可从圆的角度来处理用常规的全等或者相似不易甚至不能处理的三角形问题.2.解决顶点在定直线上运动且所对边确定的张角最大问题，通常可以先画出含有该角且含有该角所对定边的三角形的外接圆，所作圆与角的顶点所在定直线至少有一个公共点即相切或相交，借助“圆周角大于圆外角”容易说明当所作圆与角的顶点所在定直线相切时在切点处的角度最大，此时，图中同时存在与所作圆相切和相交的直线，故在进行计算时可以使用切割线定理.3.切割线定理如图4所示,PC切⊙O于点C,PB 交⊙O于点A,B,则PC²=PA⋅PB.4.最大张角问题问题：如图5所示，A，B 是∠MPN 的边PN上的两个定点，C 是边PM上的动点，求点C的位置,使∠ACB最大.分析：如图6所示，作△ABC的外接圆⊙O，当⊙O与PM相切时，PM上的点除了C(即为切点)均在圆外，根据“圆周角大于圆外角”知此时∠ACB 最大.由切割线定理，有. PC²=PA·PB.图解：如图7所示，延长AP 至点A'，使PA′=PA.作以A'B为直径的⊙O',过点 P 作PC'⊥A'B,交⊙O'于点C',以点 P 为圆心、PC'长为半径作⊙P,交 PM于点C，即为所作.理由：PC²=PC′²=PA′⋅PB=PA⋅PB.思路1.同弧所对的圆周角相等.2.在直线l 上且在⊙O外任取一点即符合要求，应用“同弧所对的圆周角相等”和“三角形的外角大于和它不相邻的任一内角”说理.3.在CD上任取一点，经过该点和A，B 两点作圆，在第(2)问的基础上，容易知道当其与CD 相切时的切点即为所求.由于题目所给数据的特殊性可直接构造作图，也可以应用切割线定理进行计算.解̂上任取点 D，即有∠ADB=∠ACB，理由：同弧所对的圆周角相等.(1)如图8所示,在ACB(2)如图9所示，在⊙O外且在直线l上任取点P，即有. ∠APB<∠ACB,,理由:记PA 与⊙O交于点Q,连接BQ,则∠ACB=∠AQB>∠APB,得证.=10.又AB=BC,故PB⊥(3) 能找到.如图10所示,作AP⊥CD 于点P,连接PB,由∠ACP=45°,,知AP=CP= √2+5√2√2AC.以 AP 为直径作⊙O,则⊙O 过点B 且与CD切于点P,在CD上除点P 外任取点Q,连接AQ,BQ,记AQ 与⊙O交于点 P',连接BP',则∠APB=∠AP'B>∠AQB,故所作点P 是最佳射门点.因此,能找到,这时点 P 与点C的距离即CP 的长，为10米.第(3)问也可解答如下：能找到.如图10所示，经过A，B 两点作⊙O，且与CD 切于点P,在CD 上除点 P 外任取点Q,连接AQ,BQ,记AQ 与⊙O 交于点 P',连接BP',则∠APB=∠AP'B>∠AQB,故所作点 P 是最佳射门点.由切割线定理,有CP=√CB⋅CA=√5√2×(5√2+5√2)=√100=10.因此，能找到，这时点 P 与点C 的距离即CP 的长,为10米.【举一反三】1.【问题发现】(1) 如图1所示,AB是⊙O 的直径,在⊙O上求作一点P,使∠ABP=45°.【问题探究】(2)如图2所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90∘,AC=BC=3√2,D 是AC上一点,且( CD=2√2,在AB边上是否存在点P，使∠CPD=45°?若存在，请求出AP的长；若不存在，请说明理由.【问题解决】(3)如图3所示，矩形ABCD 是足球场示意图，其中. AB=66m,球门EF=8m,且AE=BF,点M,N 分别为边BC,AD 上的点,且满足. BM=7m,∠BMN=135°.一位左前锋球员从点M 处带球，沿MN 方向跑动，他在M N 上的何处(点 P)才能使射门角度(∠EPF)最大?求出此时MP 的长.2.【问题提出】(1) 如图1所示,直线l 切⊙O 于点C,点 P 是直线l 上除点C 外的任意一点,AB 为⊙O的弦,则∠ACB ∠APB(选填“>”“=”或“<”),请说明理由.【问题探究】(2) 如图2所示,在矩形 ABCD 中, AB=4,BC=6,,点 P 为AD 边上一点(包括端点),求 sin∠BPC的最值.【问题解决】(3)如图3所示，四边形ABCD 是某场所部分区域的示意图，已知. AB=35m,BC=40m,( CD=20√3m,∠B=60∘,∠BCD=90∘,，其中 CD 段为核心区域.工作人员想在AB边上找一点P 安装摄像头来监控CD 段，当∠CPD最大时，监控效果最好，请问工作人员的想法能否实现?若能，请帮助工作人员确定点 P 的位置，并求出此时sin∠CPD的值；若不能，请说明理由.3.【问题探究】(1) 如图1所示,⊙O与直线l相切于点A,点B,C 是⊙O 上异于点A 的点,点 P 在直线l上，猜想∠BAC与∠BPC的大小关系，并说明理由.【拓展应用】(2)有一个小仓库的形状是如图2所示的矩形ABCD，EF 是仓库大门，点E，F 在AB上,AE,BF,BC,CD,DA 是墙, DC=4m,BC=5m,AE=BF=1m,，厂家想在仓库的墙上找一点 P 安装摄像头，使得∠EPF最大，存在这样的点 P 吗?若存在，求出点 P 的位置及此时，∠EPF余弦值；若不存在，说明理由.。

数学北师大版九年级下册利用隐形圆探究最值问题

2、请在图①的正方形ABCD、图②的长方形
ABCD、图③的三角形ABC内，分别画出所有
使∠APB＝60°的点P.
D C
C
A
B
A
B
P
P
DG
HC
F
C
E
外心
A
图1
外心
B
A B
外接圆
图2
外接圆
如解图1，在长方形ABCD中，弧EG 上任一点即为所求；
、弧GH
如解图2，不存在点P在△ABC内，使∠APB＝60°.
A E G F
B
G
A F
E
G
解：能裁得．理由如下： ∴△AEF≌△BFG，(AAS) ∴AF＝BG，AE＝BF. 设AF＝x，则AE＝BF＝3－x. 在Rt△AEF中，由勾股定理得解得x＝1或x＝2(舍去)． ∴AF＝BG＝1，BF＝AE＝2.
B
G
C
∠ AE = ∠ BF ∵EF＝FG＝ 5 ，∠EFG＝90°，∠A＝∠B＝90°，
B
2.如图在正方形中 ABCD，AB = 2 , A = 9 ° P 点P是平面内一点，且 ∠ 则DP的最小值是 5 －1
A D
P'
O
P
B C
3. 如图，BD是正方形ABCD的对角线，在正方形内 AO = 2 ∠ A , 部（不含边界）找一点 O ，使得 ∠ （1）在图中画出满足条件的点 O 所形成的图形， A O B （2）求出 Δ 面积的最大值解：满足条件的点O所形成 C D 的图形是 AB（不含A、B两点）当点O为AC和BD的交点时， Δ AOB 的面积取得最大值,此时 Δ AOB 1 12 的面积为 1 AB • AB = AB

中考数学复习-隐形圆问题大全(后有专题练习无答案)

2.应用：（1）如图，四边形ABCD二定线+定角1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。

2.应用：（1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长.简析：AB为定线，∠APB为定角（90°），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。

（2）如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为.简析：作ΔABC的处接圆（4）如图,在平面直角坐标系中三三点定圆1.依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.应用：ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，CD=6，求AD的长。

简析：作ΔABC的外接圆，如下图，易得AD=7+5=12。

四四点共圆1.依据：对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。

2.应用：如图，在矩形ABCD中， AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。

简析：因∠PEF=∠PDF=∠DCE=90°，知D、F、C、E、P共圆，如下图，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∼ΔDCF，CF：AP＝CD：AD，得CF＝1.5。

五旋转生圆1.如图，圆O的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以为AB边作正方形ABCD（点D、P在直线两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为_____ 。

简析：CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC，二是最近点距离为P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间的圆环，如下图。

2.如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将ΔABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ΔA'B'C的位置，则线段AB扫过区域的面积为_____。

“隐形圆”说课讲解

隐形圆圆有关问题第一讲“形”现“圆”形问题如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB= BC = 2,点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点，且满足PA丄PB,则PC的取值范围是圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解.这类题目构思巧妙，综合性强，，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来.圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现.策略一由圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆例1 (1)如果圆(x —2a)2+ (y— a —3)2= 4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是________ .(2)( 2016 年南京二模)已知圆 O : x 2 + 寸=1,圆 M : (x — a)2 + (y — a + 4)2 = 1 •若圆M 上存在点P ,过点P 作圆O 的两条切线，切点为 A , B ,使得/ APB=60°则a 的取值范围为 ____________ .(3)( 2017年苏北四市一模)已知 A 、B 是圆C i : x 2 y 2 1上的动点,R ，直线 I : xcos + ysin = 2sin( + ) + 4 与圆 C : (x — m)2+6(y —掐m)2= 1均无公共点，则实数m 的取值范围是 ____________ .(5)( 2016年南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆G ：x12 y 2 2 , 圆AB= .3 , P 是圆 C 2：(x 3)2 (y 4)21上的动点，贝U P A PB 的取值范围是(4)若对任意C2: x m 2 y m彳m2，若圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线PA、PB,切点为A、B, ABP的面积为1,则正数m的取值范围是策略二由动点P对两定点A、B张角是90°( k pA k pB 1，或PA PB 0)确定隐形圆例 2 ( 1)已知圆C：(x 3)2 (y 4)2 1 和两点A( m,0)，B(m,0) (m 0),若圆上存在点P,使得/ APB=90°,贝m的取值范围是________________•(2)(海安2016届高三上期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(-1 , 0), Q(2, 1),直线I: ax by c 0其中实数a, b, c成等差数列，若点P在直线I上的射影为H,则线段QH的取值范围是______________ .(3)设m R，直线l i : x my 0与直线12 : mx y 2m 4 0 交于点P(X o,y°)，贝U x。

中考专题北师大版本九下专题隐形圆的最值问题

3、应用隐圆解决实际问题；最值问题之“隐圆再现”的问题【知识要点】点到圆的最小距离和最大距离总结：（圆外一点到圆上最短距离是与圆心的连线；最长距离是与圆心连线的延长线。

）圆内一点P到圆上的最短距离为PA，最长距离为PB；(P、A、0、B四点在同一条直线上，即P，A，B三点过圆心O) ．二、圆的存在条件（常见的类型，还有定半径长度类）类型1、圆的定义：（定长）在一个平面内，线段 AB 绕它固定的一个端点 A 旋转一周，另一个端点 B 所形成的图形叫做圆；类型2、定直角：直径所对的圆周角为90°；应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．【例题精讲】知识点一、翻折定点定长--隐圆现。

例1．如图，在Rt△ABC中，∠C=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．2.如图，在矩形ABCD中，AC=6，BC=8，点F是边AC的中点，点E为边BC上的动点，将△CEF 沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到点D的距离的最小值是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是．5．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN 所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1C，则A1C的最小值是．知识点二、动点定直角---隐圆现1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．2．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O 交BM于N，则线段AN的最小值为．3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE 的最小值为．6．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为．4、（湖北武汉3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．知识点三、动点定长隐圆现1．如图，⊙O的半径为2，AB.CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）．2．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止，同时点R从点B 出发，沿图中所示方向按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A．2B．4﹣πC．πD．π﹣13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G 为EF的中点，点P为BC上一动点，则P A+PG的最小值为（）A．3B．4C．2D．5【立马试试】2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，问△A'PC 周长是否存在最小值是，若存在，请计算出这个最小值；若不存在，请说明理由．7．如图，一块∠BAC为30°的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点E在量角器的圆弧边缘处从A到B运动，连接CE，交直径AB于点D．(1)当点E在量角器上对应的刻度是90°时，则∠ADE的度数为多少？(2)若AB=8，P为CE的中点，当点E从A到B的运动过程中，点P也随着运动，则点P所走过的路线长为多少？类型四、三条相等线段造成的隐形圆1．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD2的值为（）A．14B．15C．18D．12【课堂总结】隐形圆的几种存在情况1.2.3.4.【2019锦江1诊真题再现】（武侯二诊）24．（4分）如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，AB＝15，BC＝8，直线EF 经过点O，分别与边CD，AB相交于点E，F（其中0＜DE＜）．现将四边形ADEF沿直线EF折叠得到四边形A′D′EF，点A，D的对应点分别为A′，D′，过D′作D′G⊥CD于点G，则线段D′G的长的最大值是，此时折痕EF的长为．（2018•锦江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF 于点H，连接AH．在转动的过程中，AH的最小值为．【课后练习】3．如图，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°，在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且点C在边OA上，连接CB，将线段OB绕点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE＝CB，则∠BOE的度数为（）A．15°B．15°或45°C．45°D．45°或60°4．直线y＝x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（）A．2﹣2B．3﹣2C．D．1二．填空题（共5小题）5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．三．解答题（共2小题）7．（阿氏圆）问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝，AC＝．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC的面积的最大值．8．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB＝，求点P的坐标；②当点P的坐标为时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y＝x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．9．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为2的圆上，顶点C，D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为______．。

中考数学复习(福建专版 ) 拓展专项三隐形圆及最值问题

④C，B，F，E四点共圆，圆心在BC的中点处； ⑤B，A，E，D四点共圆，圆心在AB的中点处； ⑥C，D，F，A四点共圆，圆心在AC的中点处．
(2)求证：∠ADF＝∠ADE.
证明：如答图1，由B，D，H，F四点共圆，
得∠ADF＝∠1.
同理，由A，B，D，E四点共圆，
得∠ADE＝∠1.
∴∠ADF＝∠ADE.
OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ________．
(图5)
【点拨】如答图3，连接OD，设⊙O的半径为r.
∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，
∴CD＝ OD2－OC2＝ r2－OC2.
∵OD的长度为定值， ∴当OC的值最小时，CD的值最大，
(答图3)
而OC⊥AB时，OC的值最小，此时D、B两点重合，
第六章圆拓展专项三隐形圆及最值问题
教材梳理篇
1 四点共圆问题 2 从圆的定义构造圆(折叠类问题) 3 圆中最值问题
1 四点共圆问题
若平面上A、B、C、D四个点满足∠ABD＝∠ACD＝ 90°，则A、B、C、D在以AD的中点E为圆心、EA的长为半径的圆上，如图(可证EA＝EB＝EC＝ED)．
10 5 a.
∵∠FA′G＝∠FBG＝90°，∴∠A′FB＋∠A′GB＝180°.
又∵∠A′GC＋∠A′GB＝180°，∴∠A′FB＝∠A′GC.
又∵AA′′GF＝CBGF＝12，∴△A′FB∽△A′GC， ∴ AA′′BC＝AA′′GF＝12，∴A′C＝2A′B.
2 从圆的定义构造圆(折叠类问题)
例1 如图1，AD，BE，CF为△ABC的三条高，H为三条高线的交点，问：
(1)图中有多少组四点共圆？并指出圆心的位置；

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