中级微观经济第二十章成本最小化汇总
微观经济学第20章(范里安) 上财
y’ output units?
x2* = y
min{4x1,x2} y’
x1*
x1
= y/4
A Perfect Complements Example of Cost
Minimization The firm’s production function is
y min{4x1, x2}
and the conditional input demands are
For the production function
y f (x1, x2 ) x11/ 3x22 / 3
the cheapest input bundle yielding y output
units is
x*1(w1, w2, y), x*2(w1, w2, y)
w2 2w1
2/ 3
1/
3
y
12
2/ 3
w11/ 3 w
2/ 2
3y
21/ 3
w11/ 3 w
2/ 2
3y
3
w1w 4
2 2
1/ 3
y.
六、A Perfect Complements Example of Cost Minimization
The firm’s production function is
y min{4x1, x2}.
y,
2w1 w2
1/3 y
.
So the firm’s total cost function is
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y) w2x*2(w1, w2, y)
So the firm’s total cost function is
中级微观经济学20__成本最小化综述.
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中级微观经济学
3
研究思路
第19章的思路（直接分析利润最大化）
生产函数
利润最大化
要素需求函数
供给函数
第20-22章的思路（间接的思考方法， 先研究既定产量下的成本最小化问
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中级微观经济学
15
等成本线（Iso-cost Lines）
等成本线是所有耗费相同成本的投入要素 组合点的集合。 例如：给定 w1 和 w2, 数量为$100 的等成 本线方程为
w1x1 w2x2 100.
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中级微观经济学
16
等成本线
一般而言，在给定w1 和 w2 的条件下，耗费 成本$c的等成本线表示为
中级微观经济学
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本章研究目的
本章（第20章）先研究既定产量下的成本 最小化问题，目的是推导成本函数。
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中级微观经济学
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成本最小化（Cost Minimization）
如果厂商谋求以最小成本生产一个给定的 产量水平y 0，则它是一个成本最小化的 厂商。 c(y) 代表厂商生产y单位产品的最小可能总 成本。 c(y) 是厂商的总成本函数。
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f(x1,x2) y’ x1
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成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
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f(x1,x2) y’ x1
中级微观经济学
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Ch20 Cost Minimization 中级微观经济学
x 2* x 1*
f(x1,x2) y’
x1
A Cobb-Douglas Example of Cost Minimization
• A firm’s Cobb-Douglas production function is y f ( x1 , x2 ) x11/3 x22/3 . • Input prices are w1 and w2. • What are the firm’s conditional input demand functions?
For the production function
y f ( x1 , x2 ) x11/3 x22/3
the cheapest input bundle yielding y output units is x ( w , w , y ), x ( w , w , y )
* 1 1 2 * 2 1 2
Chapter Twenty
Cost Minimization
Cost Minimization
• A firm is a cost-minimizer if it produces any given output level y 0 at smallest possible total cost. • c(y) denotes the firm’s smallest possible total cost for producing y units of output. • c(y) is the firm’s total cost function.
f(x1,x2) y’
x1
The Cost-Minimization Problem
x2
钟根元《中级微观经济学学习指南》练习题详解(成本最小化)【圣才出品】
第20章成本最小化一、判断题1．准不变成本是指长期中仅当产出量为零时才可以避免的成本。
（）【答案】T【解析】根据长期的定义，长期内不存在不变成本，但在长期内很容易产生准不变成本。
如果厂商在生产前必须支付一定数量的货币，准不变成本就产生了。
所以，准不变成本是长期中仅当产出量为零时才可以避免的成本。
2．如果规模报酬递增，那么平均成本是产出的递减函数。
（）【答案】T【解析】当规模报酬递增时，成本的增长幅度小于产量的增长幅度，因此，随着产量增加，平均成本趋于下降。
也就是说，平均成本是产出的递减函数。
3．如果规模报酬递减，那么沿着一条等成本线向右下方移动，平均成本有可能下降。
（）【答案】T【解析】当沿着一条等成本线向右下方移动时，产量有可能上升，而成本不变，所以平均成本可能下降。
如图20-1所示，图中有1条等成本线AB和3条等产量线Q1、Q2、Q3，且Q1＜Q2＜Q3。
当沿着等成本线AB由a点移动到E点时，产量Q1增加到Q2，而成本不变，所以平均成本下降了。
图20-1 等成本线与等产量线4．某竞争性厂商生产函数为f（x1，x2）＝min{x1，x2}，则该厂商成本函数为c（w1，w2）＝min{w1，w2}×y。
（）【答案】F【解析】设y＝f（x1，x2），生产要素x1、x2价格分别为w1、w2。
由生产函数可知，生产要素x1、x2完全互补，理性厂商要素使用量满足y＝x1＝x2，则厂商成本函数为c（w1，w2，y）＝（w1＋w2）×y。
5．要素1的条件需求函数x1（w1，w2，y）是指厂商进行最佳要素选择时价格和产出之比的函数。
（）【答案】F【解析】有条件的要素需求给出的是既定产量水平下的成本最小化选择。
条件需求函数度量的是，在厂商生产某个既定产量y的条件下，价格、产量以及厂商的最优要素选择之间的关系。
6．如果两种元素的投入量相同，那么成本函数c（w1，w2，y）表示生产y单位产品的单位成本。
中级微观浙江大学 (29)
2013-4-27 中级微观经济学 4
特定技术的成本最小化
完全互补 设生产函数f(x1,x2)=min{x1,x2}，那么产 量为y的最小成本为： c(w1,w2,y)=w1y+w2y=(w1+w2)y 完全替代 设生产函数f(x1,x2)=x1+x2，那么产量为y 的最小成本为： c(w1,w2,y)= min{w1y,w2y}= min{w1,w2}y
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中级微观经济学
8
短期成本与长期成本
成本函数被定义为生产既定产量时的最小 成本； 短期成本函数被定义为在只有可变生产要 素可以调整的情况下，生产既定产量时的 最小成本； 长期成本函数被定义为所有生产要素可以 自由调整的情况下，生产既定产量时的最 小成本。
中级微观经济学 9
2013-4-27
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中级微观经济学
6
成本最小化弱公理(WACM)
从方程①②中可以得到：
∆w1∆x1+∆w2∆x2≤0，
这就是厂商成本最小化行为弱公理(Weak Axiom of Cost Minimization) 表明：
(1)任一要素价格的上涨必定引起对该要素需求的减少，从而有 条件的要素需求函数必定是向右下方倾斜的； (2)任一要素价格上涨，成本肯定增加； (3)生产更多产量，成本也肯定上升。
可变成本、不变成本与准不变成本
可变要素是指可以按不同数量使用的要素；不变要 素是指不论生产与否都须支付成本的要素，如租赁 的厂房；准不变要素是指只有在厂商决定生产一定 单位的产量时才需要支付成本的要素，如照明用电。 可变成本是随着产量的变化而变化的成本；不变成 本是与产量无关的成本，指不论生产与否都须支付 的成本；准不变成本也与产量水平无关的成本，只 在厂商决定生产一定单位的产量时才需要支付。 沉没成本与可回收成本
(精品) 微观经济学课件：成本最小化
x2
4x1 = x2
产出为y’的最小成本 投入束位于何处？
x2* = y
x1* = y/4
min{4x1,x2} y’ x1
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}
条件要素需求函数为：
x*1( w1,
w2,
y)
y 4
且
x*2( w1, w 2, y) y.
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}
条件要素需求函数为：
x*1( w1,
w2,
y)
y 4
且
x*2( w1, w 2, y) y.
厂商的总成本函数为：
c( w1, w 2, y) w1x*1( w1, w 2, y)
w 2x*2 ( w1, w 2 , y)
成本最小化的完全互补品的例子
2/ 3
y
w
2
2w1 w2
1/ 3
y
12
2/ 3
w11/ 3 w
2/ 2
3y
21/ 3
w11/
3w
2/ 2
3y
3
w1w 4
2 2
1/ 3
y.
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}.
给定投入要素价格w1 和 w2 。 厂商对于要素1和2的条件需求为多少？ 厂商的中成本函数为什么？
)1/ 3
2w1 w2
x*1
2/3
2w1 w2
2/3
x*1.
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
(a) y (x*1 )1/3(x*2 )2/3
范里安《微观经济学：现代观点》(第7、8版)笔记和课后习题详解-成本最小化(圣才出品)
该式表明：如果厂商所选择的固定要素使用量恰好使其长期成本最小化，那么长期内使 成本最小化的可变要素使用量就是厂商在短期内所选择的使用量。
5．不变成本和准不变成本以及沉没成本 （1）不变成本 不变成本是指与产出水平无关的成本。特别地，不变成本和不变要素有关。 （2）准不变成本 准不变成本是指与产量水平无关的成本，但是只要厂商停产，它就无须支付这种成本。 特别地，长期内不存在不变成本，但是有可能存在准不变成本。 （3）沉没成本 沉没成本是指由厂商已经支出而无法收回的开支，这类成本对厂商的决策不产生影响。
②完全替代的技术（生产函数为 f x1, x2 x1 x2 ），成本函数为： c w1, w2 , y min w1, w2 y
条件要素需求是：
0
x1 0到y之间的任何数
y
w1 w2 w1 w2 w1 w2
0
x2 0到y之间的任何数
y
w1 w2 w1 w2 w1 w2
③柯布-道格拉斯生产函数（生产函数为 f x1, x2 Ax2a x2b ），成本函数为：
min
x1 , x2
w1 x1
w2
x2
s.t. f x1, x2 y
由于 w1 、 w2 和 y 是给定的参数，所以最小成本 c 可以表示成 w1 、 w2 和 y 的函数，从而
得到成本函数
c w1, w2 , y ，如图 20-1 所示。
图 20-1 成本最小化
（2）成本最小化的一阶必要条件
①
w1s x1s w2s x2s w1s x1t w2s x2t
②
就说厂商的行为满足显示成本最小化弱公理。
（2）显示成本最小化弱公理的应用：解释要素需求曲线向下倾斜的原因
第二十章-成本最小化
c(y’) y’ 2y’ y
规模报酬和平均总成本
$ c(2y’) 平均成本增加随着y 平均成本增加随着 ， 如果公司的技术显示出DRS. 如果公司的技术显示出 c(y) Slope = c(2y’)/2y’ = AC(2y’). Slope = c(y’)/y’ = AC(y’).
c(y’) y’ 2y’ y
* c(w1, w2, y) = w1x1(w1, w2, y) * + w2x2(w1, w2, y).
成本最小化的问题
y,这个最小成本投入集 给定 w1, w2 和 y,这个最小成本投入集 怎样配置? 怎样配置? 这些总成本函数怎样计算? 这些总成本函数怎样计算?
等成本线
给定 w1 和 w2, c 的等成本线方程是
w1 − w2
成本最小化的道格拉斯例子
* 1/ 3 * 2/3 (a) y = (x1) (x2 )
w1 x* = 2. (b) w2 2x* 1
* 1/ 3 * 2/3 (a) y = (x1) (x2 )
w1 x* = 2. (b) w2 2x* 1
由 (b), 得到
* 2w1 * x2 = x1. w2
* 1/ 3 2w1 * y = (x1) x1 w2
2/ 3
* 1/ 3 2w1 * y = (x1) x1 w2
* w2 x1 = 2w1 2/ 3
2/ 3
2w1 = w2
2/ 3
x*. 1
y
厂商对投入1的条件需求 厂商对投入1
因为
* 2w1 * x2 = x1 w2
2/ 3
和
* w2 x1 = 2w1
1/ 3
中级微观第十一讲
第二十章 成本最小化一、成本最小化121122,min x x w x w x +112..(,)s t f x x y =成本函数，12(,,)c w w y1122w x w x C +=12122w C x x w w =-（1）完全互补1212(,)min{,}f x x x x =1211221212(,,)()c x x y w x w x w y w y w w y =+=+=+（2）完全替代1212(,)f x x x x =+121122112212(,,)min{,}min{,}c x x y w x w x w x w x w y w y =+== （3）C-D ，1212(,)a bf x x x x =11212(,,)a b a b a b a bc x x y Kww y+++=二、显示成本最小化11221122t t t t t s t sw x w x w x w x +≤+，并且 11221122s s s s s t s t w x w x w x w x +≤+成本最小化弱公理（WACM ）11112222()()()()0t s t s t s t s w w x x w w x x --+--≤11220w x w x ∆∆+∆∆≤20w ∆=，110w x ∆∆≤三、规模报酬和成本函数12(,,)()c w w y AC y y= 如果规模报酬不变1212(,,)(,,1)c w w y c w w y =121212(,,1)(,,)(,,1)c w w y AC w w y c w w y==无论厂商生产多少，单位成本保持不变四、长期成本和短期成本121122(,)min s x c y x w x w x =+使得12(,)f x x y =121122,()min x x c y w x w x =+使得12(,)f x x y =五、不变成本不变成本与不变要素相关 不变成本与产出水平无关六、沉淀成本沉淀成本是另一类不变成本沉淀成本一旦支出就无法收回沉淀成本是固定成本中无法收回的部分第二十一章成本曲线一、平均成本总成本函数：122()x c y w x w x =+122()s x c y w x w x =+ ()()v c y c y F =+平均成本函数：()()()()v c y c y F AC AVC y AFC y y y y==+=+规模经济与规模不经济 外部经济与外部不经济二、边际成本 边际成本函数：()()()()v v v c y c y y c y c y MC y y y ∆+∆-∆===∆∆∆ 1111()()v c y w x x c y MC w y y y y ∆∆∆∆====∆∆∆∆边际成本与平均成本的关系案例：1、2()1c y y =+ 2、两家厂商边际成本曲线1212,min ()()y y c y c y +Subject to 12y y y +=三、长期成本短期成本函数()(,)s c y c y k = 长期成本函数()(,())s c y c y k y =***()(,())s c y c y k y =第二十二章厂商供给一、市场环境技术约束市场约束二、完全竞争 厂商数量众多 产品同质厂商只能成为价格接受者三、竞争厂商的供给决策max ()ypy c y -()()0d py dc y dy dy-=，MR p MC == 并不总是价格曲线和边际成本曲线相交就能实现利润最优化，需要考虑二阶导停止营业点产量为零时，成本为固定成本F()v py c y F --()v F py c y F ->--停止营业：()v c y AVC p y =>收支相抵点四、利润和生产者剩余成本：()()c y yAC y c y y ==利润：()()()v py c y F py c y y p AC --=-=- 生产者剩余：()v py c y -案例：2=+c y y()1厂商长期供给曲线长期不变的平均成本（规模报酬不变）第二十三章行业供给一、行业均衡短期行业均衡长期行业均衡在完全竞争市场结构中，长期没有企业能够获得超额利润，即零利润利润为零将不再发生企业的进出，相对静止利润为零的长期均衡中，一切要素均按市场价格支付，企业仍然在赚钱，只不过用于支付生产所需的各种要素二、不变要素与经济租行业可以自由进入，长期利润趋近于零 但由于要素的有限性，限制了自由进入和退出不变要素同样可以使长期利润趋近于零只要存在不变要素妨碍进入某种行业，这种要素就有一个均衡的租金率经济租：支付给生产要素的报酬超过为获得该要素而必须支付的最低报酬的部分***()0v p y c y --=租金***()v p y c y =-租金租金和生产者剩余属于同一个概念 均衡价格决定了租金，而不是租金决定均衡价格三、租金政治学增加不变要素，无疑会使得租金下降 为了保持租金地位，需要动用成本 但其并不是真正的成本，因为这种支出并不会是的产量增加占有或获取具有固定供给量的生产要素的要求权的努力称作寻租。
微观经济学-现代观点课件-20 成本最小化
11/28/2016
管理学院 刘大为
7
成本最小的要素选择
11/28/2016
管理学院 刘大为
8
20.2 显示的成本最小化
11/28/2016
管理学院 刘大为
9
成本最小化弱公理
11/28/2016
管理学院 刘大为
10
20.3 规模报酬和成本函数
11/28/2016
管理学院 刘大为
11
平均成本函数
11/28/2016
管理学院 刘大为
20
总沉没成本包括：12,000 元的租金，2,000 元的利息， 2,000 元的粉刷费用，以及1,000 元的家具成本。注意， 家具的沉没成本不是6,000 元，因为卖掉家具收回了 5,000元。
11/28/2016
管理学院 刘大为
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小结
1.成本函数衡量企业在既定要素价格情形下生产一定产 量的最小成本。 2.企业的选择决策必须遵守成本最小化行为假设。特别 地，有附加条件的要素需求函数向下倾斜，即斜率为负。 3.成本函数和技术的规模报酬类型关系密切。规模报酬 递增意味着平均成本递减，规模报酬递减意味着平均成 本递增，规模报酬不变意味着平均成本也不变。 4.沉没成本是指不可收回的成本。
11/28/2016
管理学院 刘大为
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20.4 长期成本和短期成本
成本函数定义为生产既定产量时的最小成本。通常有必 要区分以下两种成本：一是企业在能调整所有生产要素 情形下的最小成本；二是企业只能调整部分生产要素情 形下的最小成本。 短期成本函数定义为只能调整可变要素的投入量时，生 产既定产量的最小成本； 长期成本函数是指，在所有生产要素均可调整的情形下， 生产既定产量的最小成本。
成本最小化范里安微观经济
y’’’ y’’ y’
x1
短期成本
x2
长久成本：
c(y) w1x1 w2x2
短期产量扩展曲线 c(y ) w1x1 w2x2
c(y) w1x1 w2x2
x2 x2 x2
x1 x1 x1
y’’’ y’’ y’
x1
短期成本：
cs(y) c(y) cs (y) c(y) cs (y) c(y)
w 2x*2( w1, w 2, y)
w1
y 4
w2y
w1 4
w 2
y.
完全替代技术
y(x1, x2 ) x1 x2
x2
若 w1 w2 ，厂商只用要素2
c(w1, w2, y) w2 y
x1
x2
若 w1 w2 ，厂商只用要素1
c(w1, w2, y) w1y
x1
c(w1, w2 , y) min w1 y, w2 y
(w1t w1s ) x1t (w2t w2s ) x2t (w1t w1s ) x1s (w2t w2s ) x2s
w1x1 w2x2 0 （3）
若 w2 0 ，式（3）就变成：
w1x1 0
这表白要素1旳有条件旳要素需求曲线向下倾斜。
19.3 规模酬劳和成本函数
厂商技术旳规模酬劳特征决定了平均成本 函数。
最小成本将是：
c(w1, w2, y) w1y w2 y
x2
4x1 = x2
min{4x1,x2} y’ x1
x2
4x1 = x2
min{4x1,x2} y’ x1
x2
4x1 = x2
x2* = y
x1* = y/4
范里安《微观经济学：现代观点》章节习题精编详解(成本最小化)【圣才出品】
第20章 成本最小化一、判断题1．准不变成本是指长期中仅当产出量为零时才可以避免的成本。
（ ） 【答案】T【解析】准不变成本是与产量水平无关的成本，但只要厂商生产一定单位的产量，就必须支付这种成本。
2．某竞争性厂商生产函数为(){}1212min f x x x x =，，，则该厂商成本函数为(){}1212min c w w w w y =⨯，，。
（ ） 【答案】F【解析】由生产函数可知，生产要素1x 、2x 是完全互补品，因此厂商成本函数为()()1212c w w w w y =+⨯，。
(){}1212min c w w w w y =⨯，，是生产要素为完全替代时所对应的成本函数。
3．要素1的条件需求函数()112x w w y ，，是指厂商进行最佳要素选择时价格和产出之比的函数。
（ ）【答案】F【解析】要素1的条件需求函数()112x w w y ，，是指厂商在生产某个既定产量y 的条件下，价格、产量以及厂商的最优要素选择之前的关系。
有条件的要素需求给出的是既定产量水平下的成本最小化选择。
4．某竞争性厂商生产函数为()2f x y x y =+，。
如果要素x 的价格变成原来的两倍，要素y 的价格变成原来的三倍，那么给定产量水平下新的成本是原来的两倍到三倍之间。
（ ）【答案】T【解析】生产函数为()2f x y x y =+，，则成本函数为：(){}{},min ,2min ,2x y x y c x y w q w q w w q ==新的成本函数为：(){}{},min 2,6min 2,6x y x y c x y w q w q w w q ==。
因此，在给定产量水平下，新的成本是原来的两倍到三倍之间。
5．等成本线上的产量最大化选择点要素边际产量之比等于要素价格之比。
（ ） 【答案】T【解析】要素边际产量之比即为技术替代率，技术替代率等于要素价格之比就是既定成本下使产量最大化的条件。
李荣林中级微观20
Chapter 20：Cost curves一般说来，成本是要素价格和产出之间的函数，但是在本章我们假设要素价格不发生变化，考察产量与成本之间的关系，又称成本习性。
分别考察短期成本函数和长期成本函数。
一、短期成本函数在短期内厂商面临固定成本的限制，只能够根据利润做大化或者成本最小化的要求通过调整可变要素来调整产量。
这样就可以分别考察与产量变化有关的总成本曲线、平均成本曲线和边际成本曲线。
在要素价格不变的条件下，成本函数),,(21y w w c 可以表示为产量的函数，即c = )(y c 。
1．总成本曲线成本与产量之间具有对偶性。
当要素投入和产量为零时总成本为零，所以总成本曲线通过原点。
在最初阶段，当固定投入未得到充分利用时，随着可变要素和产量的增加生产效率不断提高，所以边际成本MC 不断下降。
而当产量使固定投入超负荷运转时，边际成本趋于上升。
所以，总成本曲线的形状为先递减，而后递增。
总成本有固定成本和可变成本两部分构成，即TC = FC +VC其中，TC = c (y )是总成本，FC 是固定成本，VC = )(y c v 是全部可变成本。
cFCY2. 平均成本过原点做射线与总成本和可变成本曲线相交，交点的斜率就是在一定产量下的平均总成本AC (y )和平均可变成本AVC (y )。
平均可变成本位于平均总成本之下，两条直线之间的距离就是平均固定成本AFC (y )。
平均总成本可以用总成本曲线推导出来。
其形状为“U ”型。
)()()()(y AFC y AVC y FCy y c y y c AC V +=+==3. 边际成本过总成本曲线上的每一点作切线，其斜率就是对应的产出水平上的边际成本。
边际成本曲线也呈现“U ”型（图略）。
另外，对于成本函数FCy c y c v +=)()(来说，当y 变化时，FC 是不变的。
因此MC 可以用总成本函数来表示，也可以用可变成本函数来表示。
y y c y y c dy y dc y y c MC y y c y y c dy y dc y y c MC v v v v ∆-∆+==∆∆=∆-∆+==∆∆=)()()()()()()()(4. 平均成本曲线与边际成本曲线的相互关系在厂商的最优决策中，平均成本和边际成本之间的相互关系非常重要。
中级微观经济第二十章 成本最小化
w2 w1 2w 1 1 2
2/ 3
2/ 3
2w 1 y w2 w2
1/ 3
y
/ 3 2/ 3 1/ 3 1/ 3 2/ 3 w1 w y 2 w1 w 2 y 1 2
1/ 3 2 w 1w 2 3 y.
y
y
y y
x* 2 ( y ) x* 2 ( y ) x* 2 ( y )
* x* ( y ) 1 x1 ( y ) x* 1 ( y )
* * ( y ) x ( y ) x y x* 2 2 2 *
y y y
x 2 ( y )
x1 ,x 2 0
st
min w 1x1 w 2x 2
f ( x1 , x 2 ) y .
成本最小化问题
在最小成本投入束中的要素投入量
x1*(w1,w2,y) 和 x1*(w1,w2,y) 为厂商对于投 入要素1和2的条件需求函数。 生产y单位产出时的最小可能总成本为： * c( w 1 , w 2 , y ) w 1x1 ( w 1 , w 2 , y ) * w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y ).
y y y
y x1
y y
要素1 的条件 需求
* * x* ( y ) x ( y ) x 1 1 1 * x1 ( y )
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
对于生产函数：
产出为y的最小成本投入束为：
/ 3 2/ 3 y f ( x1 , x 2 ) x1 1 x2
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
成本最小化问题
x2
一个内部成本最小化投入束满足： * * (a) f ( x1 , x 2 ) y 且 (b)等成本线= 等产量线的斜率
成本最小化
x1
20.1 成本最小化
已知产量y’ = f(x1,x2) ， w1,w2是x1、 x2的价格，实现 这一产量的最小成本是多少？
x2
w1 MP1 = TRS = at ( x* , x* ). 1 2 w2 MP2
等产量线 x*1、 x*2是w1,w2, y ’的 函数，记为x*1(w1,w2, y ’), x*2(w1,w2, y ’)称 为有条件的要素需求函数 或派生的要素需求。
y
21.2
长期成本曲线
长期平均成本 离散的工厂规模水平 三条曲线所代表的生产规模为SAC1<SAC2<SAC3
C SAC1 C1 SAC2 SAC3
0
y1
y11 y2 y21 y3
y
21.2
长期成本曲线
长期边际成本曲线 长期边际成本曲线是与在不同的产出水平上最优 生产规模相对应的短期边际成本曲线的连线。
t t t s w1t x1t + w 2 x 2 ≤ w1t x1s + w 2 x 2 s s s t w1s x1s + w 2 x 2 ≤ w1s x1t + w 2 x 2
(w w ) x + (w w ) x ≤ (w w ) x + (w w ) x
t 1 s 1 t 1 t 2 s 2 t 2 t 1 s 1 s 1 t 1 s 1
20.3 规模报酬和成本函数
生产技术的规模报酬性质决定成本随产量变化的状况。 假定某厂商目前产量为y’ ，各要素价格不变，为(w1,w2) 。 如果该厂商生产2y’ 时，技术条件不变，该厂商成本如何变 化？ 如果某厂商生产技术显示规模报酬不变，则该厂商产量由y’ 增长1倍到2y’ 要求投入要素也增长1倍。 总生产成本增长1倍。 平均生产成本不变. 如果某厂商生产技术显示规模报酬递增，则该厂商产量由y’ 增长1倍到2y’ 要求投入要素增长幅度小于1倍。 总生产成本增长幅度小于1倍。 平均生产成本下降。 如果某厂商生产技术显示规模报酬递减，则该厂商产量由y’ 增长1倍到2y’ 要求投入要素增长幅度大于1倍。 总生产成本增长幅度大于1倍。 平均生产成本上升。
微观经济学第20章 成本最小化
如果对每一种要素都要求使用一定的数量，
并且等产量线是一条非常光滑的曲线，那么成本
最小化的点就可以用相切条件来表征：等产量线
的斜率必定等于等成本线的斜率，即技术替代率
必定等于要素的价格比率：
MP1 TRS w1
MP2
w2
考虑当产量保持不变时，生产方式的任意
改变 (x1，x2 )。这种变化必定满足：
下的成本最小化选择；实现利润最大化的要素 需求则给出了既定产出品价格下的利润最大化 选择。
例子：特定技术下的成本最小化
完全互补生产技术
f x1, x2 min x1, x2
生产的产量为y时，最小生产成本为：
c w1, w2 , y w1 y w2 y w1 w2 y
完全替代的技术
素的价格保持不变，即△w2=0，那么：
w1x1 0
表明对要素1的需求必定减少，因此，有条 件的要素需求曲线必定是向下倾斜的。
三、规模报酬和成本函数 1．规模报酬不变 生产1单位产量的成本最小化问题，得单位
成本函数c（w1，w2，1）。生产y单位产量的最 小成本恰好是c（w1，w2，1）y，即在规模报酬
不变的情况下，成本是产量的线性函数。
2．规模报酬递增 规模报酬递增的条件下，成本的增长幅度 小于产量的增长幅度。如果厂商决定使产量翻 番，只要要素的价格保持不变，那么厂商的成 本增长小于1倍就可以得到这些产量。每种要素 增加小于1倍就会使成本增加也小于1倍，即成 本函数的增长线性地小于产量增长。 3．规模报酬递减 类似于规模报酬递增，有：成本函数的增 长线性地大于产量增长。
f x1, x2 x1 x2
生产的产量为y时，最小生产成本为：
c w1, w2, y min w1 y, w2 y y min w1, w2
20 成本最小化(2013)解析
2w 1 * 1/ 3 2 w 1 * * y ( x1 ) x1 x 1. w2 w2 2/ 3 w2 * 所以 x1 y 是厂商对于投入要素1的 2w 1
2/ 3
2/ 3
条件需求函数。
成本最小化 Cobb-Douglas 的例子
x2
在一个成本最小化的内点解上： * , x (a) f ( x* 1 2 ) y 且 (b) 等成本线的斜率等于等产量线的 斜率即
* 1 * 2
x 2* x 1*
w1 MP1 在 ( x , x )， TRS w2 MP2
f(x1,x2) y’
x1
min w1 x1 w2 x2 x1 , x2 s.t. f ( x1 , x2 ) y 建立拉格朗日函数: L w1 x1 w2 x2 ( f ( x1 , x2 ) y ) 对x1 , x2 , 求导, 得到一阶条件: f ( x1 , x2 ) w1 0 x1 f ( x1 , x2 ) w2 0 x2 f ( x1 , x2 ) y 0 整理, 并用第一个方程除以第 二个方程, 就可以得到: w1 f ( x1 , x2 ) / x1 w2 f ( x1 , x2 ) / x2
对x1 , x2 , 求导, 得到一阶条件:
a 1 b w1 ax1 x2 b 1 w2 bx1a x2 b x1a x2 y
第一个方程乘以 x1 , 第二个方程乘以 x2 , 就可以得到:
b w1 x1 ax1a x2 ay b w2 x2 bx1a x2 by
成本最小化：C-D技术的例子
* 1/ 3 * 2 / 3 (a) y ( x 1 ) ( x 2 )
钟根元《中级微观经济学学习指南》(第4版)练习题详解-第20~26章【圣才出品】
第20章成本最小化一、判断题1．准不变成本是指长期中仅当产出量为零时才可以避免的成本。
（）【答案】T【解析】根据长期的定义，长期内不存在不变成本，但在长期内很容易产生准不变成本。
如果厂商在生产前必须支付一定数量的货币，准不变成本就产生了。
所以，准不变成本是长期中仅当产出量为零时才可以避免的成本。
2．如果规模报酬递增，那么平均成本是产出的递减函数。
（）【答案】T【解析】当规模报酬递增时，成本的增长幅度小于产量的增长幅度，因此，随着产量增加，平均成本趋于下降。
也就是说，平均成本是产出的递减函数。
3．如果规模报酬递减，那么沿着一条等成本线向右下方移动，平均成本有可能下降。
（）【答案】T【解析】当沿着一条等成本线向右下方移动时，产量有可能上升，而成本不变，所以平均成本可能下降。
如图20-1所示，图中有1条等成本线AB和3条等产量线Q1、Q2、Q3，且Q1＜Q2＜Q3。
当沿着等成本线AB由a点移动到E点时，产量Q1增加到Q2，而成本不变，所以平均成本下降了。
图20-1等成本线与等产量线4．某竞争性厂商生产函数为f（x1，x2）＝min{x1，x2}，则该厂商成本函数为c（w1，w2）＝min{w1，w2}×y。
（）【答案】F【解析】设y＝f（x1，x2），生产要素x1、x2价格分别为w1、w2。
由生产函数可知，生产要素x1、x2完全互补，理性厂商要素使用量满足y＝x1＝x2，则厂商成本函数为c（w1，w2，y）＝（w1＋w2）×y。
5．要素1的条件需求函数x1（w1，w2，y）是指厂商进行最佳要素选择时价格和产出之比的函数。
（）【答案】F【解析】有条件的要素需求给出的是既定产量水平下的成本最小化选择。
条件需求函数度量的是，在厂商生产某个既定产量y的条件下，价格、产量以及厂商的最优要素选择之间的关系。
6．如果两种元素的投入量相同，那么成本函数c（w1，w2，y）表示生产y单位产品的单位成本。
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成本最小化问题
假设厂商使用两中要素来生产一种产品 生产函数为：
y = f(x1,x2). 产出水平y 0 给定。 给定价格水平w1 和w2, 投入束(x1,x2)的 成本为：w1x1 + w2x2.
成本最小化问题
对于给定的w1,
w2 和 y, 厂商成本最小化 问题就是解如下方程：
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
2w 1 * * x1 . 由 (b)可得 x 2 w2
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
将其代入 (a) 中可得 2/ 3 2/ 3 2w 1 * 1/ 3 2w 1 * * y ( x1 ) x1 x1 . w2 w2
第二十章
成本最小化
成本最小化
0 的前提下 ，以最小可能总成本生产，那么厂商是 一个成本最小化的。 c(y) 表示生产y单位产出的厂商最小可能 总成本 c(y) 为厂商的总成本函数。
假如厂商在给定产出水平y
成本最小化
当厂商面对给定的投入要素价格
w = (w1,w2,…,wn) ， 总成本函数可以写成 c(w1,…,wn,y)。
和 w2. 厂商的条件投入要素需求函数为什么？
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
生产y单位产出的最小化成本的投入束满足： (x1*,x2*) (a) y ( x* )1/ 3 ( x* ) 2/ 3 且
1 2
(b)
w1 y / x1 w2 y / x2
* 2 / 3 * 2 / 3 (1 / 3)( x1 ) (x2 ) 1/ 3 * 1/ 3 ( 2 / 3)( x* ) (x2 ) 1 * x2 . * 2x1
y
y
y y
x* 2 ( y ) x* 2 ( y ) x* 2 ( y )
* x* ( y ) 1 x1 ( y ) x* 1 ( y )
* * ( y ) x ( y ) x y x* 2 2 2 *
y y y
x 2 ( y )
y
y y
y x* 2 ( y )
x* 2 ( y )
x* 2
x* 2 ( y ) x* 2 ( y )
y y
x* 1 ( y ) x* 1 ( y )
y x1
y y
x* 1 ( y ) x* 1 ( y )
x* 1
要素投入的条件需求函数
x2
固定 w1 和 w2.
w1 MP1 * TRS at ( x* , x 1 2 ). w2 MP2
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
厂商的柯布-道格拉斯生产函数为：
/ 3 2/ 3 y f ( x1 , x 2 ) x1 1 x2 .
投入要素的价格为w1
投入要素的条件需求
给定w1,
处？ 总成本函数如何计算？
w2 和 y, 最小成本投入束位于何
等成本线
一条包含成本为定值的所有投入束称为
等成本曲线。 例如，给定 w1 和 w2, $100 的等成本线 方程为：
w 1x1 w 2x 2 100.
等成本线
一般来说，给定w1
4
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{ 4x1 , x 2 }.
给定投入要素价格w1
和 w2 。 厂商对于要素1和2的条件需求为多少？ 厂商的中成本函数为什么？
成本最小化的完全互补品的例子
x2 4x1 = x2
f(x1,x2) y’
x1
成本最小化问题
x2
所有的投入束都能产生y’单位的产出。 哪一个是最便宜的?
f(x1,x2) y’
x1
成本最小化问题
x2
所有的投入束都能产生y’单位的产出。 哪一个是最便宜的?
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
成本最小化问题
x2
一个内部的成本最小化投入束满足： * * (a) f ( x1 , x 2 ) y
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
厂商的总成本函数为：
* * c( w 1 , w 2 , y ) w 1x1 ( w 1 , w 2 , y ) w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y ) 2/ 3 1/ 3 w2 2w 1 w1 y w2 y 2w 1 w2
1/ 3
y
/ 3 2/ 3 1/ 3 1/ 3 2/ 3 w1 w y 2 w1 w 2 y 1 2
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
厂商的总成本函数为：
* c( w 1 , w 2 , y ) w 1x* ( w , w , y ) w x 1 1 2 2 2 ( w1 , w 2 , y )
y y
* * ( y ) x ( y ) x y x* 2 2 2 *
x 2 ( y )
y y y
y x1
y y
* * x* ( y ) x ( y ) x 1 1 1 * x1 ( y )
要素投入的条件需求函数
x2
固定 w1 和 w2.
因此
* w2 x1 2w 1
2/ 3
y 为厂商对于要素1的条件 需求函数
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
2w 1 * * w2 * x1 x1 且 由于 x 2 2w 1 w2 2/ 3 1/ 3 2w 1 2w 1 w 2 * x2 y y w2 w 2 2w 1
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
2w 1 * * x1 . 由 (b)可得 x 2 w2
x1 , x 2 0
st
min w 1x1 w 2x 2
f ( x1 , x 2 ) y .
成本最小化问题
在最小成本投入束中的要素投入量
x1*(w1,w2,y) 和 x1*(w1,w2,y) 为厂商对于投 入要素1和2的条件需求函数。 生产y单位产出时的最小可能总成本为： * c( w 1 , w 2 , y ) w 1x1 ( w 1 , w 2 , y ) * w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y ).
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
2w 1 * * x1 . 由 (b)可得 x 2 w2
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
将其代入 (a) 中可得 2/ 3 * 1/ 3 2w 1 * y ( x1 ) x1 w2
等成本线方程为：
和w2, 总成本为$c 的
w 1x1 w 2x 2 c
w1 c x2 x1 . w2 w2
斜率为-
w1/w2.
等成本线
x2
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c” x1
等成本线
x2 斜率= -w1/w2.
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
y y y
y x1
y y
要素1 的条件 需求
* * x* ( y ) x ( y ) x 1 1 1 * x1 ( y )
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
对于生产函数：
产出为y的最小成本投入束为：
/ 3 2/ 3 y f ( x1 , x 2 ) x1 1 x2
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
厂商的总成本函数为：
* c( w 1 , w 2 , y ) w 1x* ( w , w , y ) w x 1 1 2 2 2 ( w1 , w 2 , y)
w2 w1 2w 1 1 2
2/ 3
2/ 3
2w 1 y w2 w2
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
成本最小化问题
x2
一个内部成本最小化投入束满足： * * (a) f ( x1 , x 2 ) y 且 (b)等成本线= 等产量线的斜率
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
成本最小化问题
x2
一个内部成本最小化投入束满足： * * (a) f ( x1 , x 2 ) y 且 (b)等成本线= 等产量线的斜率
要投入的条件需求函数
x2
固定 w1 和 w2.
y y
y x1
要素投入的条件需求函数
x2
固定 w1 和 w2.
y
y
y x* 2 ( y )
y y
x* 2
x* 2 ( y )
x* 1 ( y )
y x1
y
x* 1 ( y )
x* 1
要素投入的条件需求函数
x2
固定 w1 和 w2.
* x* ( w , w , y ), x 1 1 2 2 ( w1 , w 2 , y)
w 2/ 3 2w 1/ 3 1 2 y, y . 2w 1 w 2