高三数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件理
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式课件理高三全册数学课件
12/13/2021
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【解析】 (1)圆 x2＋y2－2y－5＝0 化成标准方程， 得 x2＋(y－1)2＝6， 所以圆心为 C(0，1)． 因为直线 ax＋by＋c－1＝0 经过圆心 C， 所以 a×0＋b×1＋c－1＝0， 即 b＋c＝1. 因此4b＋1c＝(b＋c)4b＋1c＝4bc＋bc＋5.
第七章 不等式
第4讲 基本(jīběn)不等式
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数学(shùxué
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01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
方法素养 助学培优
04
高效演练 分层突破
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一、知识梳理 1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：_a_≥__0_，__b_≥__0_______． (2)等号成立的条件：当且仅当_a_＝__b_____时取等号．
()
A．60 件 B．80 件 C．100 件
D．120 件
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【解析】 若每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费用是80x0元，仓储费用是x8元， 总的费用是80x0＋x8≥2 80x0·x8＝20，当且仅当80x0＝x8，即 x＝80 时取等号，故选 B. 【答案】 B
答案：7＋4 3
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基本不等式的实际应用(师生共研)
某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为 800 元，若每批生产 x 件，
则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均到每件产品的生
高三数学一轮总复习第七章不等式第四节基本不等式及应用课件理
[变式 3] 若母题条件变为“已知 a>0，b>0，a＋2b＝3”，
则2a＋1b的最小值为________． 解析：由 a＋2b＝3 得13a＋23b＝1，
∴2a＋1b＝13a＋23b 2a＋1b
＝43＋3ab＋43ba≥43＋2 3ab·43ba＝83.
当且仅当 a＝2b＝32时取等号．
(1)当a≥0，b≥0时，a＋2 b≥ ab
()
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋2 b≥ ab成立的条件是相
同的
()
(3)x＞0且y>0是xy＋xy≥2的充要条件
()
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．若 x<54，则 f(x)＝4x＋4x1－5的最大值为________． 解析：f(x)＝4x＋4x1－5＝(4x－5)＋4x1－5＋5.
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
b2 2
＋12＝32，
所以a
1＋b2≤
2
12×32
＝3
4
2，
当且仅当a＝ 23，b＝ 22时等号成立．
即(a
1＋b2)max＝3
4
2 .
答案：3 4 2
[破译玄机] 本题求最值利用了拼凑法，拼凑法的实质在于代数式 的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最 值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为 基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到 等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目 标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
高考数学一轮总复习：基本不等式
2．下列不等式证明过程正确的是( ) A．若 a，b∈R，则ba＋ba≥2 ba·ba＝2 B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx·lgy C．若 x<0，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4 D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x·2－x＝2 答案 D 解析 ∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1.∴2x＋2－x>2 2x·2－x＝2.∴D 正确．而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤”．
∵x>0，y>0，∴x＋3y≥6. 【答案】 6
(3) 设 a， b>0 ， a ＋b ＝ 5， 则 a＋1 ＋ b＋3 的 最 大 值 为 ________．
【解析】 ( a＋1＋ b＋3)2＝a＋b＋4＋2 a＋1· b＋3≤9＋
（ 2·
a＋1）2＋（ 2
b＋3）2＝9＋a＋b＋4＝18，所以
x 16y y·x
＝18，当且仅当
8x＋1y＝1， xy＝1x6y，
即
x＝12， y＝3
时“＝”成
立，故x＋2y的最小值是18.
方法二：(消元法)由
8 x
＋
1 y
＝1，得y＝
x x－8
，由y>0⇒
x x－8
>0，又x>0⇒x>8，则x＋2y＝x＋
2x x－8
＝x＋
2（x－8）＋16 x－8
＝x＋
2＋ x－168
【答案】
1 5
★状元笔记★ 拼凑法求最值的技巧 (1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相 等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)①，“二 定”不满足时，需变形如例(1)②，“三相等”不满足时，可利用 函数单调性如例(1)③. (2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”如例 (2)本例的关键是变形，凑出和为常数．
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用课件(理)
(2)(2015·四川)如果函数 f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区
间12，2上单调递减，那么 mn 的最大值为( )
A．16
B．18
C．25
81 D. 2
解：当 m＝2 时，易得 n－8＜0，n＜8，此时 mn＜16.
＋2n＝18，得 m＝9＞2，故应舍去．要使 mn 取得最大值，应有 m＋2n＝18(8
＜n＜9)．
此时 mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16.
综合①②可得最大值为 18.故选 B.
【点拨】(1)基本不等式的应用在于“定和 求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆 补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”， 使之为定值．(2)本题要讨论抛物线的开口方向 和对称轴，根据所给单调区间找到 m、n 满足 的条件，再利用基本不等式求解．
C．2
D．4
解：依题意得 2a＝2－b，即 2a＋b＝2(a＞0，b＞0)， ∴2＝2a＋b≥2 2ab，∴ab≤12，当且仅当 2a＝b＝1 时取等号，∴ab 的最大值是12.故选 A.
设 f(x)＝lnx，0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝fa＋2 b，
r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
C．2 2
D．2 6
解：因为 2a＞0，2b＞0，由基本不等式得 2a＋2b≥2 2a·2b ＝2 2a＋b＝4 2，当且仅当 a＝b＝32时取等号，故选 B.
(2015·贵阳模拟)已知向量 m＝(2，1)，n＝(2－b，
a)(a＞0，b＞0)．若 m∥n，则 ab 的最大值为( )
高考数学一轮复习 第七章 不等式 第4讲 基本不等式 理(2021年最新整理)
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第4讲基本不等式一、选择题1．若x＞0，则x＋错误!的最小值为( ）．A．2 B．3 C．2错误!D．4解析∵x＞0，∴x＋错误!≥4.答案D2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2,则y＝错误!＋错误!的最小值是( ）．A。
错误! B．4 C。
错误! D．5解析依题意得1a＋错误!＝错误!错误!(a＋b）＝错误!错误!≥错误!错误!＝错误!，当且仅当错误!，即a＝错误!，b＝错误!时取等号，即错误!＋错误!的最小值是错误!.答案C3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a〈b），其全程的平均时速为v,则( ）．A．a〈v<ab B．v＝错误!C。
错误!<v<错误!D．v＝错误!解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝错误!＝错误!〈错误!＝错误!。
又v－a＝错误!－a＝错误!〉错误!＝0，∴v〉a.答案A4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则（）．A.错误!＋错误!有最大值4 B．ab有最小值错误!C。
错误!＋错误!有最大值错误! D．a2＋b2有最小值错误!解析由基本不等式，得ab≤错误!＝错误!,所以ab≤错误!，故B错；错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥4，故A错；由基本不等式得错误!≤ 错误!＝错误!，即错误!＋错误!≤错误!，故C 正确;a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×错误!＝错误!，故D错．答案C5．已知x>0,y〉0，且错误!＋错误!＝1,若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是（）．A．(－∞，－2］∪［4,＋∞）B．（－∞,－4]∪［2，＋∞）C．（－2,4）D．（－4，2)解析∵x〉0，y>0且2x＋错误!＝1，∴x＋2y＝(x＋2y）错误!＝4＋错误!＋错误!≥4＋2 错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!，即x＝4，y＝2时取等号，∴（x＋2y）min＝8，要使x＋2y〉m2＋2m恒成立，只需(x＋2y）min〉m2＋2m恒成立,即8〉m2＋2m,解得－4<m<2。
高三数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件理
12 y 3x x y
故3x+4y的最小值为5. (3)因为正数x,y满足x+2y=1, 所以 + = +2 (x+2y)=2+ + y x x y x y
2
4y x 4y x =4+ + ≥4+2 x y =8, x y
1 2
1
4y
x
当且仅当 = ,即x=2y时取等号. 所以 + 的最小值为8.
理数
课标版
第四节 基本不等式及其应用
教材研读
1.>0,b>0. 2
(2)等号成立的条件:当且仅当① a=b 时等号成立. (3)其中②
ab 2
ab 称为正数a,b的算术平均数,③
称为正数a,b
的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥④ 2ab (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
ab (2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2
2
a 2 b2 a b (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2 2 b a (4) + ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. a b
考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
典例1 (1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值; (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值;
2 1 (3)已知正数x,y满足x+2y=1,求 + 的最小值. x y
解析 (1)解法一:∵a>0,b>0,4a+b=1,∴1=4a+b≥2 4ab =4 ab ,
(福建专用)2019高考数学一轮复习-第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用课件 理
考点1
考点2
考点3
(2)∵a+b=1,
1
1
1
∴ + + =2
1
+
1
.
∵a+b=1,a>0,b>0,
1
1
+
1
1
∴ + =
1
+
+
1
=2+ + ≥2+2=4,当且仅当 a=b=2时,等号成立.
1
∴ + + ≥8,当且仅当 a=b=2时,等号成立.
考点1
意等号能否取到.
考点1
考点2
考点3
对点训练 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 +
1
1+
=2+ .
+
证明: (方法一)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+ =1+
1
1
1
≥9.
同理,1+ =2+ .
1
1
∴ 1+
1+ = 2+
当且仅当 = ,
1
即 a=b=2时,等号成立.
2 = 22 ,
1
4 = ,
即
2 =
2 =
2
2
2
,
时取等号.
4
(2)因为 x>2,所以 x-2>0.
1
1
1
湖南省长沙市长郡中学2021届高考数学(理)一轮复习：7.4 基本不等式及其应用
第七章 不等式7.4基本不等式及其应用课内基础通关1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 课外知识延伸不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × ) (5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )点自查1．(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ， 即xy ≤(x ＋y 2)2＝81， 当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．(教材改编)已知x >0，a >0，当y ＝x ＋a x取最小值时，x 的值为( ) A ．1 B ．a C.a D ．2a答案 C解析 y ＝x ＋a x≥2a ， 当且仅当x ＝a x即x ＝a 时， y ＝x ＋a x有最小值2a . 3．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab ≤14B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D ．a 2＋b 2≥8答案 D解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立．4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．答案 2 2解析 因为x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时取等号，所以x 2＋2y 2的最小值为2 2.5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， ∴y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.高考题型分类精讲题型一 利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________． (3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 答案 (1)23(2)1 (3)23＋2 解析 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·[3x ＋(4－3x )2]2＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号． (2)因为x <54，所以5－4x >0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立． 命题点2 通过常数代换法利用基本不等式例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 4解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 引申探究 1．条件不变，求(1＋1a )(1＋1b)的最小值． 解 (1＋1a )(1＋1b )＝(1＋a ＋b a )(1＋a ＋b b )＝(2＋b a )·(2＋a b ) ＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 2．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝4，求a ＋b 的最小值． 解 由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b＝1. ∴a ＋b ＝(14a ＋14b )(a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a 4b ＝1. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 3．将条件改为a ＋2b ＝3，求1a ＋1b的最小值． 解 ∵a ＋2b ＝3，∴13a ＋23b ＝1， ∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(13a ＋23b )＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，取等号．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y的最小值是________．(2)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m ＝________. 答案 (1)5 (2)4解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x) ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y 5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15， ∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y 5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15) ≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5. (2)由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y) ≥13(1＋m ＋2m ) (当且仅当y x ＝mx y，即y ＝mx 时取等号)， ∴13(1＋m ＋2m )＝3， 解得m ＝4.题型二 基本不等式的实际应用例3 某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x (元)， ∴2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x－8－16x －m ＝－[16m ＋1＋(m ＋1)]＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时， y max ＝21(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．答案 (1)80 (2)8解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20. 当且仅当800x ＝x 8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立． (2)年平均利润为y x ＝－x －25x＋18＝－(x ＋25x)＋18， ∵x ＋25x ≥2x ·25x＝10， ∴y x ＝18－(x ＋25x)≤18－10＝8， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，取等号． 题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 (1)(2020·菏泽一模)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4 D ．2(2)(2020·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d＝1，则S n ＋8a n的最小值是________． 答案 (1)A (2)92解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝b c时等号成立． 由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， ∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12(n ＋16n＋1)≥ 12(2n ·16n ＋1)＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92. 命题点2 求参数值或取值范围例5 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)[－83，＋∞) 解析 (1)由3a ＋1b ≥m a ＋3b， 得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋a b＋6. 又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝a b时等号成立)， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173， ∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)． 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)(2020·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32C ．1D ．2 (2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32 B.53 C.94 D.256答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号； ②当x <0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2， 当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧ 2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. (2)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 因为a m a n ＝4a 1，所以q m＋n －2＝16， 所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n)＝16(5＋n m ＋4m n) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m ＝4m n时，等号成立， 又m ＋n ＝6，解得m ＝2，n ＝4，符合题意．故1m ＋4n 的最小值等于32. 认真纠错 谨防丢分8．利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________． (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为________． 错解展示解析 (1)∵x >0，y >0，∴1＝1x ＋2y≥22xy ， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ＝42，∴x ＋y 的最小值为4 2.(2)∵2x ＋3x ≥26，∴y ＝1－2x －3x≤1－2 6. ∴函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为(－∞，1－26]． 答案 (1)42 (2)(－∞，1－26]现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y) ＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2 (－2x )·3－x ＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)． 答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．后作业认真做1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2 C ．|a b ＋b a|≥2 D ．a 2＋b 2>2ab 答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以|a b ＋b a |＝|a b |＋|b a|≥2. 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0， 所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件，故选B. 3.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322答案 B解析 (3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6即a ＝－32时，等号成立． 4．(2020·青岛模拟)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3答案 C解析 因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋13y ＝(1x ＋13y )(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y ≥4，当且仅当3y x ＝x3y ，即x ＝12，y ＝16时，取等号．5．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 D解析 ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，且2x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ≤14，∴x ＋y ≤－2.故选D.6．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22 B ．2 2 C. 2 D ．2答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ，∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，∴2xy ≥2，∴xy ≥2.*7.设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是() A ．2 B ．4 C ．2 5 D ．5答案 B解析 2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝(a －5c )2＋ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a (a －b )≥0＋2＋2＝4，当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时，等号成立，即取a ＝2，b ＝22，c ＝25时满足条件． 8．(2020·唐山一模)已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.9．(2020·潍坊模拟)已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则a 2b ＋1的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 ∵x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，∴d ＝|b ＋1＋a |2＝2， ∴a ＋b ＋1＝2，即a ＋b ＝1，∴a 2b ＋1＝(1－b )2b ＋1＝(b ＋1)2－4(b ＋1)＋4b ＋1 ＝(b ＋1)＋4b ＋1－4≥24－4＝0. 又∵a ，b 为正实数，∴a 2b ＋1的取值范围是(0，＋∞)． 10．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 4解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． *11.(2020·东莞调研)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________． 答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上．则－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1. ∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝n m ＋4m n ＋4≥24＋4＝8(当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立)．12．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 13．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)． 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323， 所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．14．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]． 所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2 340x ＋13x 18≥2610， 当且仅当2 340x ＝13x 18，即x ＝1810时，等号成立． 故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．。
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
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目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲：三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah，可得sinA=√15/8，sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4，
∴cos（A-C）=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
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B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1，＋∞﹚
D、[1，＋∞﹚
解析：由于3x＞0，所以3x+1＞1，所以f（x）＞0，集合表示为（0，＋∞），答案为A
2、已知函数y=2x＋1的值域为（5,7），则对应的自变量x的范围为（
）
A、[2,3）
B、[2,3]
C、(2,3)
D、（2,3]
解析：根据题意：5＜2x+1＜7,解得2＜x＜3，用集合表示为（2,3），答案为C
A [1,2]
解析：解二元一次不等式x2 +2x-8≤0，可得-4≤x≤2，所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,＋∞﹚。此时我们可以应用数轴马 上解决问题：
-4 0 1 2
如图所示，阴影部分即为所求。答案：A 启示：掌握好数轴工具，在集合、函数问题（ B
B、﹙－∞，5]
）
D、[5，＋∞﹚
2019届高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-4 基本不等式及其应用讲义 文
4．已知 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则( )
A．ab≤12
B．ab≥12
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
[解析] 由 a＋b＝2 得，ab≤a＋2 b2＝1，排除 A. 当 a＝0，b＝2，ab＝0 排除 B. 又a2＋2 b2≥a＋2 b2，可得 a2＋b2≥2. 再由特殊值，排除 D.
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到， 可利用函数单调性求解．
[跟踪演练] (2017·安徽安庆三模)随着社会的发展，汽车逐步成为人们的 代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生， 据调查某段公路在某时段内的车流量 y(千辆/时)与汽车的平均速 度 v(千米/时)之间有函数关系：y＝v2＋89v0＋0v1600(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最 大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数) (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/时，则汽车的平 均速度应控制在什么范围内？
利用均值 不等式证明
[证明] 由 a＋b＝1，得1a＋1b＋a1b＝21a＋1b， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4， ∴1a＋1b＋a1b≥8当且仅当a＝b＝12时等号成立.
利用基本不等式证明不等式的技巧 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不 等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配 凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条 件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式 之间的联系，当已知条件中含有 1 时，要注意 1 的代换．另外， 解题中要时刻注意等号能否取到．
此时 m＝12x＋34＋5x0≥2 2x·5x0＋34＝443， 当且仅当12x＝5x0，即 x＝10 时，取“＝”． 故销售量至少应达到443万件时，才能使技术革新后的销售收 入等于原销售收入与总投入之和．
高三高考数学复习课件7-4基本不等式及其应用
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.(
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)函数
f(x)＝cos
x＋co4s
π
x，x∈0，
2
的最小值等于
4.(
)
(3)“x>0 且 y>0”是“yx＋yx≥2”的充要条件．(
)
(4) 不 等 式
a2 ＋ b2 ≥ 2ab
与
a＋b 2
≥
ab 有 相 同 的 成 立 条
件．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值
为( )
A．80
B．77
C．81
D．82
【解析】 ∵x>0，y>0，∴x＋2 y≥ xy， 即 xy≤x＋2 y2＝81， 当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81. 【答案】 C
【答案】 D
4．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形 场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
【解析】 设矩形的一边为 x m， 则另一边为21×(20－2x)＝(10－x)m， ∴y＝x(10－x)≤x＋（120－x）2＝25， 当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25.
＝2 400－5（40－x）＋4400－0x＋40， 当且仅当 40－x＝4400－0x，即 x＝20∈(0，30]时，y 取得最大 值 2 000, 所以当 DN＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大， 最大面积为 2 000 m2.
【思维升华】 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值 的变量定义为函数．
高考数学第7章不等式推理与证明第四节基本不等式及其应用课件理
[方法归纳] 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求 得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变 量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义 及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号 取不到，可利用函数的单调性求解.
函数单调性求最值]函数 f(x)＝x＋1x在[2，＋∞)上的最小值为 ________.
解析 若 x＝1x，则 x＝1∉[2，＋∞)，函数 f(x)在[2，＋∞)上
单调递增，所以最小值为 f(2)＝2＋12＝52.
答案
5 2
[当在分母中使用基本不等式或式子前有负号时，注意不等号
方向的改变]
(2)若 x＞0，则 y＝x2＋xx＋4有最______值为________.
1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)
B.[－2，＋∞)
C.[－2，2]
D.[0，＋∞)
解析 (1)作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 由图可知，当目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0) 过点 A(1，1)时，z 取得最大值， ∴a＋b＝4， ∴ab≤a＋2 b2＝4.(当且仅当 a＝b＝2 时取等号)， 又∵a＞0，b＞0， ∴ab∈(0，4]，故选 B.
答案 大 －1
突破利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘 积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但 可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等 式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常 数法、换元法、整体代换法等.
高三数学一轮复习七不等式推理与证明四节基本不等式及其应用
高三数学一轮复习七不等式推理与证明四节基本不等式及其应用第四节基本不等式及其应用点击考纲了解基本不等式的证明过程．会用基本不等式解决简单的最大(小)值的问题关注热点主要考查不等式的应用和不等式的证明．对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现难度为中低档题若出现证明题难度也不会太大．基本不等式eqr(ab)提示：①当a＝b时eqf(a＋b,)≥eqr(ab)取等号即a＝b⇒eqf(a＋b,)＝eqr(ab)②仅当a＝b时eqf(a＋b,)≥eqr(ab)取等号即eqf(a＋b,)＝eqr(ab)⇒a＝b解析：选项A、B、C中不能保证eqf(b,a)、eqf(a,b)为正．．算术平均数与几何平均数设ab则ab的算术平均数为几何平均数为基本不等式可叙述为：两个正数的不小于其．算术平均数几何平均数．已知f(x)＝x＋eqf(,x)－(x)则f(x)有()A．最大值为B．最小值为C．最大值为D．最小值为解析：∵x ∴f(x)＝x＋eqf(,x)－≥eqr(x·f(,x))－＝当且仅当x＝eqf(,x)即x＝时“＝”成立．．利用基本不等式求最值问题已知xy则：()如果积xy 是定值P那么当且仅当时x＋y有值是(简记：积定和最小)．()如果和x＋y是定值P那么当且仅当时xy有值是(简记：和定积最大)．x＝y 最小x＝y最大．在利用基本不等式求最值时应注意哪些方面？提示：利用基本不等式求最值时一定要注意“一正、二定、三相等”．“一正”即公式中a、b必须是正数“二定”即必须有定值(和为定值或积为定值)“三相等”即公式中的等号必须成立必要时要合理拆分项或配凑因式以满足上述三个条件．．如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？．若abP＝eqr(lga·lgb)Q＝eqf(,)(lga＋lgb)R＝lgeqf(a＋b,)则PQR的大小关系为．答案：D解析：∵ab∴eqf(a＋b,)eqr(ab)∴lgeqf(a ＋b,)eqf(,)(lga＋lgb)又∵eqf(,)(lga＋lgb)eqr(lga·lgb)∴RQP解析：由x＋y＋x＋y＋＝得(x＋)＋(y＋)＝∴该圆的圆心坐标为(－－)∴－a－b＋＝即a＋b＝∴eqf(,a)＋eqf(,b)＝eqf(b＋a,ab)＝eqf(,ab)由＝a＋b≥eqr(ab)＝eqr(ab)得ab≤eqf(,)∴eqf(,ab)≥∴eqf(,a)＋eqf(,b)的最小值为答案：B()设x求函数y＝eqr(x－x)的最大值．()求eqf(,a－)＋a 的取值范围．()已知xy且x＋y＝求eqf(,x)＋eqf(,y)的最小值．【思路导引】eqx(消元转化)→eqx(构造和或积为定值)→eqx(利用基本不等式求最值)→eqx(确定取得最值的条件)【解析】()∵x∴－x∴y＝eqr(x－x)＝eqr()·eqr(x－x)≤eqr()·eqf(x＋－x,)＝eqr()当且仅当x＝－x即x＝时取等号∴当x＝时函数y＝eqr(x－x)的最大值是eqr()答案：C()显然a≠当a时a－∴eqf(,a－)＋a＝eqf(,a －)＋(a－)＋≥eqr(f(,a－)·a－)＋＝当且仅当eqf(,a－)＝a－即a ＝时取等号答案：RQP当a时a－∴eqf(,a－)＋a＝eqf(,a－)＋(a－)＋＝－eqf(,－a)＋(－a)＋≤－eqr(f(,－a)·－a)＋＝－当且仅当eqf(,－a)＝－a即a＝时取等号∴eqf(,a－)＋a的取值范围是(－∞－∪＋∞)．()∵xy且x＋y＝∴eqf(,x)＋eqf(,y)＝(eqf(,x)＋eqf(,y))(x＋y)＝＋eqf(y,x)＋eqf(x,y)≥＋eqr(f(y,x)·f(x,y))＝＋eqr()当且仅当eqf(y,x)＝eqf(x,y)即x＝eqr()y时等号成立∴eqf(,x)＋eqf(,y)的最小值为＋eqr()答案：．()已知x求x＋eqf(,x－)的最小值()已知xy且x＋y＝求eqf(,x)＋eqf(,y)的最小值．()∵xyx＋y＝∴eqf(,x)＋eqf(,y)＝(x＋y)(eqf(,x)＋eqf(,y))＝＋eqf(y,x)＋eqf(x,y)≥＋eqr(f(y,x)·f(x,y))＝当且仅当eqf(y,x)＝eqf(x,y)时等号成立由eqblc{rc(avsalco(x＋y＝,f(y,x)＝f(x,y)))得eqblc{rc(avsalco(x＝f(,),y＝f(,)))∴当x＝eqf(,)y＝eqf(,)时取等号所以eqf(,x)＋eqf(,y)的最小值为【解析】()∵abc且a＋b＋c＝∴eqf(,a)－＝eqf(－a,a)＝eqf(b＋c,a)＝eqf(b,a)＋eqf(c,a)≥eqf(r(bc),a)eqf(,b)－＝eqf(－b,b)＝eqf(a＋c,b)＝eqf(a,b)＋eqf(c,b)≥eqf(r(ac),b)eqf(,c)－＝eqf(－c,c)＝eqf(a＋b,c)＝eqf(a,c)＋eqf(b,c)≥eqf(r(ab),c)∴(eqf(,a)－)(eqf(,b)－)(eqf(,c)－)≥eqf(r(abc),abc)＝(当且仅当a＝b＝c＝eqf(,)时等号成立)．()eqf(,a)＋eqf(,b)＋eqf(,c)＝eqf(a＋b＋c,a)＋eqf(a＋b＋c,b)＋eqf(a＋b＋c,c)＝＋(eqf(b,a)＋eqf(a,b))＋(eqf(c,a)＋eqf(a,c))＋(eqf(c,b)＋eqf(b,c))≥＋·eqr(f(b,a)·f(a,b))＋·eqr(f(c,a)·f(a,c))＋·eqr(f(c,b)·f(b,c))＝＋＋＋＝当且仅当a＝b＝c＝eqf(,)时取等号．【方法探究】()利用基本不等式证明不等式问题时要创设运用基本不等式的条件合理拆分项或配凑因式而拆与凑的目的在于使等号能够成立．()证明不等式除合理选择基本不等式之外还经常用其变形和拓展的不等式：如eqf(ab,a＋b)≤eqr(ab)≤eqf(a＋b,)≤eqr(f(a＋b,))(ab)．()“”的巧妙代换在不等式证明中经常用到也会给解决问题提供简捷的方法．．已知a、b、c都是实数求证：a＋b＋c≥eqf(,)(a＋b＋c)≥ab＋bc＋ca将以上三个不等式相加得(a＋b＋c)≥(ab＋bc＋ca)①即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca②在不等式①的两边同时加上“a＋b＋c”得(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)即a＋b＋c≥eqf(,)(a＋b＋c)③在不等式②的两边同时加上“(ab＋bc＋ca)”得(a＋b＋c)≥(ab＋bc＋ca)即eqf(,)(a＋b＋c)≥ab＋bc＋ca④由③④得a＋b＋c≥eqf(,)(a＋b＋c)≥ab＋bc ＋ca【方法探究】()在应用基本不等式求最值时要把握三个方面即“一正各项都是正数二定和或积为定值三相等等号能取得”这三个方面缺一不可。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 基本(均值)不等
第七章 不等式
§7.3 基本(均值)不等式及应用
考纲展示► 1.了解基本(均值)不等式的证明过程． 2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．
考点 1 利用基本(均值) 不等式求最值
1.基本(均值)不等式 a＋b≤a＋ 2 b (1)基本(均值)不等式成立的条件：__a_>_0_， __b_>__0__. (2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b__时等号成立．
主要有以下几个命题角度： 角度一 通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值
[典题 1] 值为( B )
1 A.3
3 C.4
(1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的
1 B.2
2 D.3
[解析] 因为 0<x<1， 所以 x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋21－x2＝34. 当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时等号成立．
当 x<0 时，－x>0，
y＝x＋1x＝－－x＋－1x
≤－2
－x×－1x＝－2，
当且仅当－x＝－1x，即 x＝－1 时取等号，
故 y 的最大值为－2.
(2)函数 y＝sin x＋sin4 x，x∈0，π2的最小值为___5_____．
(2)已知 x＜54，求 f(x)＝4x－2＋4x－ 1 5的最大值． [解] 因为 x＜54，所以 5－4x＞0， 则 f(x)＝4x－2＋4x－ 1 5＝－5－4x＋5－14x＋3 ≤－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时等号成立． 故 f(x)＝4x－2＋4x－ 1 5的最大值为 1.
x
≥2
－lg x×－4lg x＝4，
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解法二:∵4a+b=1,
1 1 4a b 1 ∴ab= · 4a· b≤ = , 4 4 2 16
x y
x
y
1 12 y 3 x ≥ 13 2
x y 5 = 1 ×(13+12)=5. 5
当且仅当 = ,即x=2y时,“=”成立,
x 1, x 2 y, 此时由 解得 1 (满足x>0,y>0). y x 3 y 5 xy 2
12 y 3x x y
故3x+4y的最小值为5. (3)因为正数x,y满足x+2y=1, 所以 + = +2 (x+2y)=2+ + y x x y x y
2
4y x 4y x =4+ + ≥4+2 x y =8, x y
1 2
1
4y
x
当且仅当 = ,即x=2y时取等号. 所以 + 的最小值为8.
ab (1)两个不等式a2+b2≥2ab与 ≥ 成立的条件是相同的 . (×)
ab 2
(2)(a+b)2≥4ab(a,b∈R). (√) (3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. (√) (4)函数y=x+ 的最小值是2. (×) (5)x>0且y>0是 + ≥2的充分不必要条件. (√)
x y
(1)a2+b2≥④ 2ab (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
ab (2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2
2
a 2 b2 a b (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2 2 b a (4) + ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. a b
y x 1 x
1.若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 ( A.a2+b2>2ab C. + >
1 1 a b
)
B.a+b≥2 ab D. + ≥2
b a a b
2 ab
答案 D 对A:当a=b=1时,满足ab>0,但a2+b2=2ab,所以A错;对B、C:当 a=b=-1时,满足ab>0,但a+b<0, + <0,而2 ab >0, >0,显然B、C不对;
2 x
4y x
x y
1 y
方法技巧
(1) 利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积 为定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立相应的不等式 求解.②对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过 添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还 有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.
2
3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤ x=y 时,x+y有最⑥ 小 值,是
p ⑦ 2
.(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧ x=y 时,xy有最⑨ 大 值,是
.(简记:和定积最大)
s2 4
判断下面结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
2
当且仅当4a=b= ,即a= ,b= (满足a>0,b>0)时,等号成立,所以ab的最大
1 值为 . 16
1 2
1 8
1 2
(2)由x+3y=5xy(x>0,y>0),
1 =5, 3 + 得
x
y
3 1 1 (3x+4y 则3x+4y= )
5
1 12 y 3 x = 13 5
考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
典例1 (1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值; (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值;
2 1 (3)已知正数x,y满足x+2y=1,求 + 的最小值. x y
解析 (1)解法一:∵a>0,b>0,4a+b=1,∴1=4a+b≥2 4ab =4 ab ,
b a b a 对D:当ab>0时, + ≥2 =2 当且仅当 = 时等号成立 ,故选D. a b a b
b a a b
1 1 a b
2 ab
2.已知f(x)Байду номын сангаасx+ -2(x<0),则f(x)有 (
A.最大值0 B.最小值0
1 x
)
D.最小值-4
C.最大值-4
答案 C
1 1 ( x ) ∵x<0,∴f(x)=- ,即x= -2≤-2-2=-4,当且仅当-x= ( x ) x
∴ =x+y≥2 xy ,即 xy ≤ ,
1 3
4.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 答案 2 2
x 2 2 y 2 =2 2 xy=2 2 , 解析 ∵x2+2y2≥2
.
当且仅当x= 2 y时取“=”,
∴x2+2y2的最小值为2 2 .
5.若利用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积 是 .
答案 25 m2 解析 设矩形场地的一边长为x m(0<x<10),则其邻边长为(10-x)m,面积
x 10 x S=x(10-x)≤ =25,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立,所以当矩 2
2
形场地的长与宽相等,即都为5 m时面积取到最大值,最大面积为25 m2.
理数
课标版
第四节
基本不等式及其应用
教材研读
1.基本不等式
ab ab (1)基本不等式 ≤ 成立的条件:a>0,b>0. 2
(2)等号成立的条件:当且仅当① a=b 时等号成立. (3)其中②
ab 2
ab 称为正数a,b的算术平均数,③
称为正数a,b
的几何平均数.
2.几个重要的不等式
-1时取等号. ∴f(x)有最大值-4.
3.若x>0,y>0且x+y= ,则xy的最大值为 (
A.
2 3 3
1 3
)
B.2 3
C.
1 9
D.
1 36
答案 D ∵x>0,y>0,
1 6 1 1 . ∴xy≤ 当且仅当 x y 时 , 取等号 36 6 1 ∴(xy)max= . 36