中考填空题中的创新题型例析 (2)
例析中考中创新性问题论文
例析中考中的创新性问题纵观近年全国各地中考数学试题，创新性问题成为一个新的亮点，这类问题立意新颖、构思精巧、形式多样，从题材的选材，文字的表达到题型的设计，都颇具特色。
它有利于提高学生的数学素养，培养学生的创新能力。
本人从近三年全国各地中考试题中选出几题予以剖析，也许还不成熟，敬请老师们批评指教。
一、阅读理解问题阅读理解问题的特征有三种：①阅读特殊范例，推出一般结论；②阅读解题过程，总结解题规律或方法；③阅读新知识，研究新应用。
例：（2012·淮安）阅读理解如图①②③，△abc中，沿∠bac的平分线ab1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠b1a1c的平分线a1b2折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠bnanc的平分线anbn+1折叠，点bn与点c重合.无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠bac是△abc 的好角。
图①图②图③小丽展示了确定∠bac是△abc的好角的两种情形。
情形一：如题28-2图，沿等腰三角形abc顶角∠bac的平分线ab1折叠，点b与点c重合；情形二：如题28-3图，沿△abc的∠bac的平分线ab1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠b1a1c的平分线 a1b2折叠，此时点b1与点c重合。
探究发现：（1）△abc中，∠b=2∠c，经过两次折叠，∠bac是不是△abc 的好角？ .（填：“是”或“不是”）。
（2）小丽经过三次折叠发现了∠bac是△abc的好角，请探究∠b与∠c（不妨设∠b >∠c）之间的等量关系。
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠bac是△abc的好角，则∠b与∠c（不妨设∠b>∠c）之问的等量关系为。
应用提升：（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，l05°，发现60°和l05°的两个角都是此三角形的好角。
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角。
中考数学 第3编 创新分类突破篇 题型2 方程与不等式(精讲)试题
题型二 方程与不等式“方程与不等式”包括方程与方程组、不等式与不等式组两个方面的内容．“方程与不等式”均存在标准形式，其解法有程序式化的特点，是一种重要的数学基本技能．此外，“方程与不等式”也是刻画现实世界的一个有效的数学模型，在现实生活中存在大量的“方程与不等式”问题．“方程与不等式”是初中数学的核心内容之一．就解法与自身的应用来说，“方程与不等式”是初中数学最重要的基础知识之一，同时也是学习函数等知识的基础；就所蕴含的“方程思想和转化思想”而言，它更是培养考生分析问题和解决问题思想方面的重要源泉和场所．通过归纳主要有以下几种类型：(1)方程、不等式与函数综合型，一般是求待定字母的值，求待定字母的取值范围．在解这类问题时，需要我们借助图形来给出解答．要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到“有数思形”“有形思数”顺利解决问题．(2)与几何知识结合型，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程(组)与不等式(组)的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的几何性质、定理或公式，建立未知数和已知数间的等量关系或不等关系，列出方程(组)与不等式(组)来解决，这对解决和计算有关几何的数学问题，特别是几何综合题，是非常重要的．(3)对用方程(组)与不等式(组)解决实际问题型，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分析问题中的等量关系和不等关系，建立方程(组)模型和不等式(组)模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决．考查考生构建数学模型的能力．题目常是考查解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨．【例1】关于x 的方程x 2－x ＋1－m ＝0的两个实数根x 1，x 2，满足|x 1 |＋|x 2 |≤5，则m 的取值范围是________．【解析】首先由一元二次方程x 2－x ＋1－m ＝0有两个实根，得到其判别式是非负数，然后利用根与系数关系和|x 1|＋|x 2|≤5得到关于m 的不等式，联立判别式即可求出实数m 的取值范围．【答案】1<m≤7或34≤m ≤1 【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，同时也利用分类讨论的思想和绝对值的定义，有一定的综合性，要求考生熟练掌握相关知识才能很好解决这类问题．【例2】已知关于x 的一元二次方程x 2－ax ＋(m －1)(m ＋2)＝0，对于任意实数a 都有实数根，则实数m 的取值范围是________．【解析】一元二次方程有实数根，根的判别式Δ＝b 2－4ac≥0，b 2是非负数，如果－4ac 为非负数，无论b 取什么数，方程一定有实数根，由此探讨得出答案即可．【答案】－2≤m≤1【点评】此题主要考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b 2－4ac ：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程没有实根．【例3】 如果关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －m≥0，6x －n≤0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m ，n )共有( B )A ．49对B ．42对C ．36对D ．13对【解析】先用不等式组中待定字母表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解确定待定字母m ，n 即可．【答案】B【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，不等式组的解集与解的概念．由不等式组的整数解确定待定字母的取值范围是解答本题的关键．【针对练习】1．(2014宜宾创新)设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1x 1＋1x 2＝－1，则m 的值是( A ) A ．3 B ．－3或－1C ．－1D ．－3或12．(2012宜宾创新)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝2－3k ，3x －y ＝k ＋4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 且|k|＜3，那么a －b 的取值范围是( A )A ．－1＜a －b ＜5B ．－3＜a －b ＜3C ．－3＜a －b ＜5D ．－1＜a －b ＜33．若关于x 的方程x 2－bx ax －c ＝m －1m ＋1有绝对值相同，符号相反的两个根，则m 的值应为( D ) A ．c B .1c C .a －b a ＋b D .a ＋b a －b4．设一元二次方程x 2－3x ＋2－m ＝0(m>0)的两实根分别为x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 1，x 2应满足( D )A ．1<x 1<x 2<2B ．1<x 1<2<x 2C ．x 1<1<x 2<2D ．x 1<1且x 2>25．方程组3|x|＋2x ＋4|y|－3y ＝4|x|－3x ＋2|y|＋y ＝7( C )A ．没有解B ．有1组解C ．有2组解D ．有4组解6．已知三个关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，bx 2＋cx ＋a ＝0，cx 2＋ax ＋b ＝0恰有一个公共实数根，求a 2bc ＋b 2ac ＋c 2ab 的值为( D ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．如果方程(x －1)(x 2－2x ＋m)＝0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m 的取值范围是( B ) A ．0≤m ≤1 B .34<m ≤1C .34≤m ≤1D ．m ≤348．(2013宜宾创新)二果问价源于我国古代《四元玉鉴》：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”则甜果、苦果的个数分别是( C ) A ．648，352 B ．650，350C ．657，343D ．666，3349．α，β是关于x 的方程x 2＋kx －1＝0的两个实根，若(|α|－β)(|β|－α)≥1，则实数k 的取值范围是( A )A ．k ≥5－2B ．k ≤5－2 C ．k ≥5－2 或k≤－5－2D ．k ≥5－2 10．(2014宜宾创新)若实数a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋a ＋b ＝6，3a ＋3b ＝14－ab ，则a 2b ＋ab 2＝__8__． 11．已知x ＝2是不等式(x －5)(ax －3a ＋2)≤0的解，且x ＝1不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是__1<a≤2__．12．已知a 为整数，关于a 的方程x 2x 2＋1－4||x x 2＋1＋2－a ＝0有实数根，则a 的值可能是__0或1或2__．13．关于x 的不等式(2a －b)x>a －2b 的解集是x<52，求关于x 的不等式ax ＋b<0的解集为__x<－8__． 14．已知关于x 的方程(m 2－1)x 2－3(3m －1)x ＋18＝0有两个正整数根(m 是整数)．△ABC 的三边a ，b ，c 满足c ＝23，m 2＋a 2m －8a ＝0，m 2＋b 2m －8b ＝0.求：(1)m 的值；(2)△ABC 的面积．解：(1)方程有两个实数根，则m 2－1≠0，解方程得x 1＝6m ＋1，x 2＝3m －1. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝1，2，3，6，m －1＝1，3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，1，2，5，m ＝2，4， ∴m ＝2；(2)把m ＝2代入两等式，化简得a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，当a ＝b 时，a ＝b ＝2± 2.当a≠b 时，a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，而Δ>0，由韦达定理，得a ＋b ＝4>0，ab ＝2>0，则a>0，b>0.①a ≠b ，c ＝23时，由于a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝16－4＝12＝c 2故△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°，S △ABC ＝12ab ＝1. ②a ＝b ＝2－2，c ＝23时，∵2(2－2)<23，∴不能构成三角形，不合题意，舍去．③a ＝b ＝2＋2，c ＝23时，∵2(2＋2)>23，∴能构成三角形．∴S △ABC ＝12×23×（2＋2）2－（3）2 ＝9＋12 2. 综上所述，△ABC 的面积为1或9＋12 2.教后反思：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________。
中考数学填空题的新亮点
A B C D E O中考数学填空题的新亮点填空题是中考数学试题中客观题题型之一，具有小巧灵活，结构简单，概念性强，运算量不大，不需要写出求解过程而只需直接写出结论等特点。
突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力。
随着新课程标准的实施，课程改革的不断深入，中考填空题出现了一些新的亮点，下面作一归纳分析，供参考。
亮点一：开放性问题开放性问题相对于传统问题中的条件结论的“封闭性”而言，其具有答案不唯一、能较好地考查学生的迁移能力与创新能力等特点。
体现了新课程标准所提出的“让不同的学生在数学上得到不同的发展”。
例1：（南京）已知点),(y x P 位于第二象限，并且y x x y ,,4为整数，写出一个符合上述条件的点P 的坐标：____________.解析：由点P 位于第二象限知0,0y x ，又y x x y ,,4为整数所以3,2,1x ，当3,2,11y x 时，；当2,12yx 时，；当13y x 时，。
从以上答案中任选一个填入即可。
例2：(福州)如图，点E D,分别在线段AC AB,上，CD BE,相交于点O ,AD AE,要使ACD ABE ，要添加一个条件是______________（只需写一个条件）。
解析：结合图形显然已有两个条件：A 公共，AD AE。
第三个条件既可从边加以考虑，如CE BD AC AB,等；也可从角加以考虑，如CEO BDO AEB ADCC B ,,等。
亮点二：规律探究题从所给条件中观察特殊情况，挖掘所隐含的一般规律，要求学生有较强的观察能力、归纳探究能力，体现了特殊到一般再到特殊的辨证唯物主义。
例3：（烟台）观察下列各式：,,514513,413412,312311请你将发现的规律用含自然数)1(n n 的等式表示出来：______________________.解析：观察等式，等式左边的被开方数是一个正整数加上一个分数，分数的分子总为1，分母比正整数多2；等式的右边为一个正整数乘以一个根式，这个正整数。
渠县第七中学八年级数学下册 第十八章 平行四边形创新题赏析 新人教版 (2)
如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；
(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
二、判断类比型
例2。
已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q。
（1）若四边形ABCD如图2—1，判断下列结论是否正确(正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×")。
甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形;（）
乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形。(）
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
解析：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故选C.
方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
中考物理试题题型特点分析
中考物理试题题型特点分析物理新课程的基本理念是：注重全体学生发展，改变学科本位观念；从生活走向物理，从物理走向社会；注重科学探究，提倡学习方式多样化；注意学科渗透，关心科技发展。
因此，今后的中考命题在重视学生基本知识考查的同时，将会更加突出能力立意。
中考试卷中除了经典题之外，还将会出现材料新颖、背景新颖、视觉新颖，把物理知识的考查与科技、社会、生活、生产联系起来的新题。
一、选择题（注重基础，贴近生活）课改后的中考选择题以考查学生的基本知识和辨析能力为主。
现在的选择题淡化了对概念、定律、公式的炒作，淡化了计算，通常以贴近生活的知识为背景，以学生喜闻乐见的事实为基础，把基本概念和规律溶于其中。
试题的编制和设计都从生活实际现象或实际问题入手，都来源于学生生活中熟悉或熟知的生活现象，使学生不感到陌生，让学生体会到生活处处有物理，物理时时在身边，试题鲜活、基础，趣味性强。
例1以下学习用品中，在通常情况下属于导体的是（）A．塑料刻度尺 B．物理课本 C．绘画橡皮 D．金属小刀片评析：此题四个选项中列举的都是学生的学习必用品，学生随身携带，即使是在考场上学生也会带在身边，只要学生知道导体就是容易导电的物体，绝缘体就是不善于导电的物体，在学习或生活中稍加留心，就会知道金属是导体。
答案：D例2小刚拆开了家庭电路中常用的白炽灯泡和灯头，如图1所示，则以下灯泡和灯头上的各部件中全部属于绝缘体的是（）A．灯头后盖、螺旋 B．玻璃泡、锡块 C．螺旋、金属片 D．灯头后盖、玻璃泡评析：学了电学之后，学生就会关注家庭电路中的一些用电器的结构和工作情况，特别是对白炽灯泡有一定的认识。
即使有的学生没有注意灯泡和灯座的构造，试题提供的图形也给了他们的再认识。
中考填空题中的创新题型例析
剖析初高中接轨的中考题的特征江苏省泰州市九龙实验学校 顾广林（225300）（此文在核心期刊《中学数学教学》2007.1上发表）新课标实施以来，不少地方的中考题渗透了高中数学的知识，这样的试题背景新、设问巧，它们或以高中数学知识为背景，或体现高中数学中常用的数学思想方法和推理方法.这类试题主要考查学生的心理素质，自学能力和快速阅读理解能力，考查解题者的观察分析、辨别是非、类比操作、抽象概括、数学归纳以及数学语言表达能力.由于中考的选择功能，这类试题往往倍受命题者的青睐，成为中考题中一道亮丽的风景.下面就以近几年来年全国各地中考题为例，说明这些试题的几个主要特征.1．语言叙述渗透高中知识数学语言是自然语言、符号语言、图象语言等的有机结合.有些中考试题中的语言叙述有浓烈的高中数学色彩. 例1．（绍兴市中考题）如果一个序列{}n a 满足n n a a a n n (2,211+==+为自然数），那么_________100=a .解析：,12,,982,99212989999100⨯=-⨯=-⨯=-a a a a a a 各式相加得),9921(21100 ++=-a a 从而.9902100=a 点评：已知条件是数列的递推公式，本题的叙述方式采用了符号语言，具有高中代数的特征；另外解题方法也是数列问题中常用的方法，是整体思想的运用.这道试题的得分率极低，原因是学生看不懂题目的意思或解题方法想不到.在平时教学中要让学生适当接触用简洁的符号语言表述的题目以及一些需要创新的解题方法.例2． （苏州市中考题）如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心作︒0～︒90的旋转，旋转时露出的⊿ABC 的面积（S ）随着旋转角度（n ）的变化而变化.下面表示S 与n 的关系的图像大致是（ ）解析：可通过操作发现⊿ABC 的面积在︒0～︒45逐渐增大，在︒45～︒90又逐渐减小.故选B.点评：本题中对图象语言的翻译，以及其叙述方式都具有高中数学的特征.解决这类问题主要是求出两个变量之间的函数关系式，但本题只要观察就可得到变量之间的变化规律.这类试题较好地体现了《课程标准》所关注的“图形变化过程的基本规律”以及“函数是刻画变化着的事物间的相互关系”的理念.2．知识背景渗透高中知识有一些中考试题以中学数学知识为载体，而设计直接来源于高中数学，有高中数学的背景. 例3．（玉溪市中考题）对于正数x ，规定f （x ）= x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+， 计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （2004）+ f （2005）+ f （2006）= .解析:,显然不可能将2006,,20051,20061⋅⋅⋅代入求解,但是若注意到其中的对偶性,进而构造对偶式)1()(xf x f +的话,则易知)1()(xf x f +=1,从而结果为2006. 点评：该函数的表达形式是高中函数的表达形式，是超越函数.要求学生用分析的态度、探究的目光，通过赋值尝试及数学化活动等实现知识原理、方法的迁移.解决这类问题的关键是掌握新规则，然后运用归纳与类比的方法，使问题获得解决，此类试题旨在培养学生综合运用知识解决问题的能力，是“学生的可持续发展”理念的体现.例4．（咸宁市中考题）某集团总公司决定将下属的一个分公司对外招商承包，有符合条件的两企业A 、B 分别拟定上缴利润方案如下：A ：每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润1万元，以后每年比前一年增加1万元；B ：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴利润0.3万元，以后每半年比前半年增加0.3万元. O A B C·（1） 如果承包4年，你认为应该由哪家企业承包总公司获利多？（2） 如果承包n 年，请用含n 的代数式分别表示两企业上缴利润的总金额（单位：万元）解析：通过分析，不难发现每次上缴利润都与上一次相差一个相等的常数，具有这种规律的一列数，除了直接相加外，还可以推得下面的公式来计算它们的和S.2)(1n a a n S +=（其中n 表示数的个数，1a 表示第一个数，n a 表示最后一个数）.（1）10)41(24=+⨯=A S （万元）；8.102)4.23.0(8=+⨯=B S （万元）. ∴承包给企业B ，总公司获利多.（2）2)1(n n S A +=；.6.03.02)23.03.0(22n n n n S B +=⋅+= 点评：本题取材于高中代数中的“等差数列”求和公式的内容. 学生可探索规律导出等差数列求和公式，为今后学习高中数学打下基础，也为初、高中数学知识的衔接起到了有益的承上启下的作用.事实上等差数列的内容小学、初中都不时出现，所以很有必要讲一些等差数列的基本内容.针对学情，适当补充一些课本外的内容应该是被提倡的教学行为，这也是我国数学教育的优秀传统.用更好、更有份量的知识武装学生的头脑可能会更高效的培养学生的思维，也更有利于减轻学生的学业负担.3．推理方式渗透高中知识3.1 加强了合情推理的考查合情推理主要有毛估、类比、归纳等.《课程标准》明确指出合情推理能力在科学发现和学生发展中具有不可代替的作用.因此， 中考中独具匠心地设置了一些问题考查学生的合情推理能力.例5.（泰州市中考题）我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，例如正方体都是相似体.请归纳出相似体的三条主要性质①_____________;②_____________;③________________.解析：这是由一类事物（相似形）到与其相似的一类事物（相似体）间的类比. 或者说是由低维（平面）到高维（空间）的类比.通过两个正方体，类比相似形不难得出相似体的三条主要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比；相似体表面积的比等于相似比的平方；相似体体积的比等于相似比的立方.点评：本题要求学生分析、类比、归纳，整个解题过程是一个探究新知识的过程，也是一个新知识形成的过程，充分体现了由特殊到一般的推理方法.例6.（济南市中考题）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为k n2（其中k 是使k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是_____________________________．解析：根据定义的“F ”运算算几步：4491815121691352→→→→→→ 81→→，就会发现规律，结果是8.点评：所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律，它是发现和认识规律的重要手段.本题还有算法语言的特征，与信息技术相联系.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些归纳性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律.例7(启东中学自招班试题)已知S=199111982119811198011+⋅⋅⋅+++,则S 的整数部分是________.解析： 199111981119801+⋅⋅⋅++<16511219801=⨯ 199111981119801+⋅⋅⋅++>1991121219911=⨯ 即1211165165<<S . ∴S 的整数部分是165. 26 13 44 11 第一次 F ② 第二次 F ① 第三次 F ② …点评：直接计算很繁,若通过“放缩法”,估算出S 的取值范围,问题就迎刃而解.3.2加强了“渗透型”问题的考查所谓“渗透型”问题是指与高中数学概念相关的问题.它既能考查学生对新知识的理解接受能力，又能考查学生适应新问题、运用新知识解决实际问题的能力.因而有利于学生在获得解答的过程中养成探究习惯，提高自学水平和数学素养.例8（鄂州市中考题）从A 、B 、C 三人中选取二人当代表，有A 和B 、A 和C 、B 和C 三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素的组合，记作.3122323=⨯⨯=C 一般地，从m 个元素中选取n 个元素的组合，记作12)2)(1()1()2)(1(⋅--+---= n n n n m m m m C n m .根据以上分析，从6人中选取4人当代表的不同选法有___________种. 解析：根据题中的组合的意义及其计算公式，有151234345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C 种. 点评：本题取材于高中代数中的“组合”内容，要求学生通过阅读自学，弄清楚组合的意义及其计算公式，并能解决有关问题.既能考查学生对“组合”这一新知识的理解与运用能力，又能锻炼学生获取知识的自学能力，因而有利于学生在获得解答的过程中，养成探索习惯提高自学水平和数学素养，这道题让学生既能“学会”，又能“会学”，学会终生学习. 3.3 代数推理与高中数学接轨代数推理题在中考中历来倍受重视.近年来更是出现了不少观点高、设问新颖的代数推理题.例9（荆门市中考题）已知实数a 、b 、c 满足0236,1222=+++=++c b a c b a ， 求a 、b 、c 的值.解法一：由已知得,21c b a -=+① ， 02362)(2=++-+c ab b a ②， 将①代入②，整理得4522++=c c ab ③.由①、③可知a 、b 是关于t 的方程0452)21(22=+++--c c t c t ④的两个实数根，,0)452(4)21(22≥++--=∆∴c c c 即.0)1(2≤+c 而01,0)1(2=+∴≥+c c ，.1-=c 将1-=c 代入④得23,0493212==∴=+-t t t t ，即23==b a . 1,23-===∴c b a . 解法二：.21,12c b a c b a -=+∴=++ 设t c b t c a --=+-=221,221① 02362)(,0236222=++-+∴=+++c ab b a c b a ②.将①代入②得0236)221)(221(2)21(2=++--+---c t c t c c 整理得0)1(22=++c t ，1,0-==∴c t .将t 、c 的值同时代入①得23,23==b a 1,23-===∴c b a . 点评：解法一采用的是构造法及逼近法，解法二采用的是均值换元法，都是创造性地解决问题.本题考查的内容并没有超出中学教材的范畴，然而其形式到方法都已在更高层次上考查学生的逻辑思维能力，是命题者运用高中数学中的代数推理方法，居高临下而设计的.在中考复习时，构造法应作为一个专题进行复习，让学生系统掌握用构造法解题.在对待渗透高中数学知识的中考题时要注意以下两个方面：一是试题的起点高，但落点低，即试题的设计虽来源于高中数学，但解决的方法是初中所学的数学知识，而不是将高中数学引入中考；二是试题有利于区分考生能力，在今后中考中还会出现，在复习时要加强“双基”，引导学生构建知识网络，提高学生的应变能力和创新能力，才能更适应新课程的中考要求. 另外由于 初中课标教材和高中教材的深度衔接不上，所以要适当补充初、高中接轨的内容，开拓学生的视野，提高学生的思维和创新能力，同时为了适应将来的高中学习要培养学生逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑，会创新和独立获取新知识的良好习惯，提高学习数学的科学素养.这样才能在今后的学习中立于不败之地.。
中考填空题的创新题型
中考填空题的创新题型填空题是中考数学的必考题型，近年来不少省市的中考题打破了传统的题型，加大了改革的力度，出现了一些创新题型，着重考查学生的创新能力。
一、新知识学习型例1、（2005兰州市）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号） 1！＝1, 2！＝2×1， 3！＝3×2×1， 4！＝4×3×2×1，•••，计算：!98!100＝＿＿。
解：1979819899100!98!100∙∙∙⨯⨯⨯∙∙∙⨯⨯⨯=＝100×99＝9900。
评注：“！”是高中的阶乘符号，是初中学生未学过的知识，题目先给出阶乘的运算规则，让考生通过自学并加以运用，目的是考查学生自主获取新知识的能力。
二、趣味学习型例2、2005（杭州）如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内,白棋② 的坐标为(7,4)--,白棋④的坐标为(6,8)--,那么黑棋①的坐标应该是 .解：根据题意，可以建立以“O ”为原点的直角坐标系（如图），则黑棋①的坐标应该是（－3,－7）。
评注：本题以围棋为背景来设置情景，创意较新颖，学生比较感兴趣，是数学知识的又一个应用。
解决问题的关键是建立坐标系，找到原点。
三、探索规律型例3、（2005日照市）已知下列等式：① 13＝12；② 13＋23＝32；③ 13＋23＋33＝62；④ 13＋23＋33＋43＝102 ；……由此规律知，第⑤个等式是 ．解：通过观察，可以得出规律为：13＋23＋33＋43＋53＝152例4、（2005泰州市）如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴 根。
解：用火柴搭的1条“金鱼”需火柴的根数：8＝6×1＋2用火柴搭的2条“金鱼”需火柴的根数：14＝6×2＋2用火柴搭的3条“金鱼”需火柴的根数：20＝6×3＋2 ……用火柴搭的n 条“金鱼”需火柴的根数：6n ＋2评注：数学知识有许多共同的特点和某些相似性，题目给出几个特殊的例子就是让学生去找它们的共同点，再将这些共同特点加以猜想、推广，写成一般规律，是数学创新的重要 1条 2条3条方法。
2019初中数学中考复习专题研究之填空题创新题型分类二
F2019初中数学中考复习专题研究之填空题创新题型分类二数学填空创新题型考点：（1）数式化简求值与规律探索；（2）统计概率有关计算；（3）方程、不等式的特解；（4）反比例函数中系数k 的几何意义；（5）圆中有关计算；（6）二次函数图像性质；（7）三角函数相关计算；解题策略：掌握数、式、方程、不等式中的基本概念，重点是圆、函数中有关计算；注意体会分类思想、整体思想的运用；考点专题3：---计算型例：1、已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为 ；2、如图所示，在ABC ∆中，6BC =，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF上运动，BP 交CE 于D ，CBP ∠的平分线交CE 于Q ，当13CQ CE =时，________EP BP +=；3、如图，正方形ABCD 的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则每个小正方形的边长为 ；4、如图，“L ”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A 点切一刀，刀痕是线段EF ，若阴影部分的面积是纸片面积的一半，则EF 的长为 .5、若实数a ，b 满足12=+b a ，则2272b a +的最小值为 ；6、如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =，将ADE ∆沿AE 对折至AFE ∆，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF 。
下列结论：①、ABG ∆≌AFG ∆；②、BG GC =；③、//AG CF ；④、3FGC S ∆=。
其中正确结论是 ；（填序号）7、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象的对称轴是直线1x =，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 （填正确结论的序号）①、0abc <；②、0a b c -+<；③、30a c +<；④、当13x -<<时，0y >．8、如图，过点C （1，2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线6y x =-+于A 、B 两点，若反比例函数k y x=（0x >）的图像与ABC ∆有公共点，则k 的取值范围是 ； 9、如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，⊙D 的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O 重合，绕O 点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D 切于点H ，此时两直角边与AD 交于E ，F 两点，则tan _______EFO ∠=；10、如图，矩形ABCD 中，E 为DC的中点，:2AD AB =，:1:2CP BP =，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①、EP 平分CEB ∠；②、EBP ∆∽EFB ∆；③、ABP ∆∽ECP ∆；④、2AO AP OB ⋅=．其中正确的序号是 ．考点专题4：---分类讨论型例：1、方程28150x x -+=的两个根是等腰三角形的两边长，则该等腰三角形的周长为 ．2、已知在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，P 为对角线AC 上一点，过P 作BP 的垂线交直线AD 于点Q ，若APQ ∆为等腰三角形，则________AP =；3、如图，矩形OABC 的顶点O 是坐标原点，边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上．若矩形111OA B C 与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形111OA B C 的面积等于矩形OABC 面积的1 4，则点1B 的坐标是 ；4）的长直角边与含45︒角的三角尺（ACD ∆上的一点，当DE BE =时，AE的长为 ；5、如图，矩形ABCD 中，3,4AB BC ==,点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B ∠沿AE折叠，使点B 落在点'B 处，当△'CEB 为直角三角形时，BE 的长为 ；考点专题5：---动态综合型例：1、已知整数5k <，若ABC ∆的边长均满足关于x的方程280x -+=，则ABC∆的周长是 。
中考数学填空题的新亮点
AB CD E O 中考数学填空题的新亮点填空题是中考数学试题中客观题题型之一，具有小巧灵活，结构简单，概念性强，运算量不大，不需要写出求解过程而只需直接写出结论等特点。
突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力。
随着新课程标准的实施，课程改革的不断深入，中考填空题出现了一些新的亮点，下面作一归纳分析，供参考。
亮点一：开放性问题开放性问题相对于传统问题中的条件结论的“封闭性”而言，其具有答案不唯一、能较好地考查学生的迁移能力与创新能力等特点。
体现了新课程标准所提出的“让不同的学生在数学上得到不同的发展”。
例1：（ 南京）已知点),(y x P 位于第二象限，并且y x x y ,,4+≤为整数，写出一个符合上述条件的点P 的坐标：____________.解析：由点P 位于第二象限知0,0><y x ，又y x x y ,,4+≤为整数所以3,2,1---=x ，当3,2,11=-=y x 时，；当2,12=-=y x 时，；当13=-=y x 时，。
从以上答案中任选一个填入即可。
例2：( 福州)如图，点E D ,分别在线段AC AB ,上，CD BE ,相交于点O ,AD AE =,要使ACD ABE ∆≅∆， 要添加一个条件是______________（只需写一个条件）。
解析：结合图形显然已有两个条件：A ∠公共，AD AE =。
第三个条件既可从边加以考虑，如CE BD AC AB ==,等；也可从角加以考虑，如CEO BDO AEB ADC C B ∠=∠∠=∠∠=∠,,等。
亮点二：规律探究题从所给条件中观察特殊情况，挖掘所隐含的一般规律，要求学生有较强的观察能力、归纳探究能力，体现了特殊到一般再到特殊的辨证唯物主义。
例3：（ 烟台）观察下列各式：,,514513,413412,312311 =+=+=+请你将发现的规律用含自然数)1(≥n n 的等式表示出来：______________________.解析：观察等式，等式左边的被开方数是一个正整数加上一个分数，分数的分子总为1，分母比正整数多2；等式的右边为一个正整数乘以一个根式，这个正整数比左边的正整数多1，根式的被开方数为左边被开方数里的分数。
中考创新题型
中考创新题近年来，创新型数学试题已逐渐成为研究热点。
通过以创新意识为立意，命制创新型试题来检验考生的创新意识。
即对新颖的信息、情境的设问，能选择有效的方法分析、处理信息，综合地运用所学的数学知识、思想和方法，创造性地解决问题。
中考数学命题通过设计创新型试题来考查学生的创新意识，真正实施素质教育和创新教育。
一、开放问题题型开放问题题型：条件开放，答案开放，没有固定答案的题目，近年有的模拟题有出现不是唯一答案的题目，但是由于这类型的题目在批改方面比较困难，所以出现的频率不高。
例1、请写出一个含这个根且增根为的分式方程________；例2、老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<0 时，随x的增大而减小；丁：当x>4 时，随x的增大而增大；已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数是________；【解析】答案开放性强，没有统一的参考答案。
二、定义理解题型定义理解问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型，重视学生应用新的知识解决问题的能力。
【解题策略】 关键要把握两点：一、掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二、根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。
例1.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0a ba b a b a b+=+（＞）﹣，如：323*2532+==﹣， 那么6*（5*4）= ．【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 【解】：∵*0a ba b a b a b+=+（＞）﹣， ∴5*4=5454+﹣=3， ∴6*（5*4）=6*3， =6363+﹣， =1．故答案为：1．【评注】：本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．例2.（2010重庆江津区，15，4分）我们定义ab ad bc cd=-，例如错误！未指定书签。
中考数学题型总结：填空题
中考数学题型总结：填空题
随着中考改革的不断深入，中考数学选择题的形式也在不断翻新。
填空题衍生出来的创新题型包括：1、多项选择填空题，2、完形填空题，3、组合填空题，4、阅读理解题，5、信息迁移题，6、归纳猜想型，7、抽象概括型，8、逻辑推理型，9、多解型9种类型。
【一】多项选择填空题
例1 在△ABC中，如果只给出条件A=60，那么还不能判定△ABC 是等边三角形，给出下面四种说法：
①如果再加上条件AB=AC，那么△ABC是等边三角形;
②如果再加上条件tanB=tanC，那么△ABC是等边三角形;
③如果再加上条件D是BC的中点，且ADBC，那么△ABC是等边三角形;
④如果再加上条件AB、AC边上的高相等，那么△ABC是等边三角形。
中考数学题型总结：填空题
其中正确的说法有__________。
(把你认为正确说法的序号全部填上)
【二】完形填空题
例2如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，E、F、G、H分别是ABCD 各边AB、BC、CD、DA的中点，当梯形ABCD满足条件_____时，四边形EFGH是菱形(填上你认为正确的一个条件即可)
例3老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出
这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过过第三象限;乙：函数图象经过第一象限;丙：当x2时，y随x的增大而减小;丁：当x2时，y0。
这四位同学表达都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：_____。
中考物理创新题型
中考物理创新题型一、开发性创新题有些中考题，已知条件都已给出，要求学生根据这些条件，自行设计提出几个问题，并进行解答；也有的中考题，“缺少”或“没有”条件，要求学生根据所学的相关知识添加条件，然后进行解答；还有的中考题，要求学生运用多种方法进行解答……解答这类题，有利于培养学生的探索精神、逆向思维能力和创新能力。
例1(2002年黄冈市中考题)“5.7”大连空难飞机的黑匣子已经找到，潜水员在出事地点从10m深的海底将它匀速托出水面。
它的体积约为50×20×10 cm3,质量20kg,是表面桔红色的长方体。
黑匣子防护要求很高，必须经受10000C的高温而不被烧坏，平放时能经受2.5×104N的挤压而不变形，在海水(设ρ海水=l.0×103kg/m3)中浸泡36小时而不渗水。
请根据上述条件，自已设计提出三个问题，并解答你所提出的问题。
爱因斯坦曾指出:“提出问题比解决问题更重要”。
能根据已知条件提出几个问题，这是对学生发散思维的锻炼，从而培养学生的探索精神和创新能力。
已知黑匣子的体积V、质量m、平放时经受的最大压力F，就能计算出黑匣子的平均密度和黑匣子平放时能承受的压强……。
依此分析，我们就能提出下列问题:(1)黑匣子的平均密度是多少?.⑵黑匣子平放时能承受的压强是多大？⑶黑匣子在海底受到海水的压强是多大?⑷黑匣子在海水中受到的浮力有多大?⑸潜水员在海水中匀速将黑匣子托到水面做了多少功?解:(l)已知V=50×20×10cm3=1×10-2 m3∴3332/10210120mkgmkgVm⨯=⨯==-ρ⑵aappSFP544105.2102050105.2⨯=⨯⨯⨯==-⑶已知h=10m, ρ海水=l.0×103kg/m3∴P海水=ρ海水gh=1.0×103×10×10p a=1×105 pa⑷已知V排=50×20×10cm3=1×10-2 m3∴F浮=ρ海水gV排=1×103×10×1×10-2N=100N(5)黑匣子在水中匀速上升时受三个力作用：重力G、浮力F浮和托力F。
中考化学填空题创新题型的剖析
中考化学填空题创新题型的剖析化学中考试题创新题型是新课标实施以来我市化学教育的重要成果之一，它最大的特点就是将生产、生活中与人们生活密切相关的物质和反应用于化学学习，增强了化学在现实生活中的可用性，使得学生更容易接受。
本文对这类题目从两方面进行分析：一、题型的具体特征;二、与现代社会的科技发展联系。
中考命题是一个“活”的过程，而“创新”则是中考命题所体现出来的时代精神。
因此，作为命题者的我们应当从思想上重视创新，自觉做到创新意识不落伍，创新能力逐步提高，创新精神得到培养。
中考试题应体现创新精神和能力，以适应时代发展的需要。
为了更好地研究中考填空题的特点，我们必须先弄清楚什么是中考填空题，即一种从知识的角度命制的有关概念、原理、规律等内容的选择题或非选择题，主要考查学生对某一部分基础知识和基本技能的掌握情况。
中考填空题考查的是某一基础知识或基本技能在某一特定情景中的运用。
因此，中考填空题应该具备以下特征：第一、能对有关知识进行系统整理，并以此对所学过的内容进行复习。
第二、与现代社会的科技发展联系比较紧密，能把科技发展的信息传递给考生，使学生认识到化学对人类的贡献，形成爱化学、学化学、用化学的氛围。
例如， 2007年山东省淄博市中考试卷第4题（单选），共14小题。
要求考生根据自己已有的知识回答问题，其中11题与现代科技发展联系紧密，尤其是利用微波炉和太阳能热水器煮饭菜及利用太阳能电池进行光合作用等与现代科技联系紧密。
这些知识都属于生产、生活领域中的化学，因此具有鲜明的时代气息。
化学中考试题创新题型是新课标实施以来我市化学教育的重要成果之一，它最大的特点就是将生产、生活中与人们生活密切相关的物质和反应用于化学学习，增强了化学在现实生活中的可用性，使得学生更容易接受。
本文对这类题目从两方面进行分析：一、题型的具体特征；二、与现代社会的科技发展联系。
在今后的工作中，只要我们注重了解教育改革的动向，结合教育创新、时代创新，深入研究教育规律，努力探索教育教学的规律，采取多样的教学方式，不断总结经验，化学教学的创新能力和水平一定会不断提高。
例析高考中的创新型填空题
例析高考中的创新型填空题浙江 曾安雄从1997年以来，高考试卷中把填空题当作创新改革题型的“试验田”，相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当深度和明确导向的创新题型，使高考试题充满活力．下面例析活跃高考填空题中的几类创新试题，供参考．一、即时定义型试题主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比法去理解新的概念，这样有助于“化生为熟”．例1(2004年全国高考北京卷)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为_________ ．分析：解决本题的关键是理解即时定义“等和数列”．解：由等和数列的定义，知a 1＋a 2＝a 2＋a 3＝a 3＋a 4＝…，即有a 1＝a 3＝a 5＝…，a 2＝a 4＝a 6＝…．又a 1＝2，公和为5，得 a 18＝a 2＝5－2＝3．即有a n ＝2,为奇数3,为偶数n n ⎧⎪⎨⎪⎩，故当n 为偶数时，S n n =52；当n 为奇数时，S n n =-5212．二、操作设计型试题在数学教学中，渗透“活动教学”的思想，增强动手操作的意识，开展探究性活动，这是现代教育教学的要求，也是新课程标准的一个亮点．活动是人的本质，活动有利于创新，数学知识和方法在现代社会生活实践中有着巨大的可操作性．例2(2004年全国高考浙江卷)设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3，0)（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有__________种（用数字作答）．分析：将所给的问题转化为数学问题即可．解：在实际操作过程中，可规定向右移一个单位(→)记为1，向左移一个单位(←)为－1，则其代数和要为3．故知这5个数值中只能一个为－1(←)，四个1(→)．由排列组合知识得14C C＝5种，或由枚54举法，知应是←→→→→；→←→→→；→→←→→；→→→←→；→→→→←，共5种．例3(2004年全国高考Ⅰ卷)已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是_________(写出所有正确结论的编号)．分析：本题考查学生数学思维的全面性及空间想象力，直接做较抽象．可借助于具体模型来操作．解：拿两支笔作为不垂直的两条异面直线，向水平桌面上投影，易验证①、②、④正确，③不正确(假设a，b在α上的射影为同一条直线，则a，b必共面，与a，b是异面直线矛盾)．三、教材提炼型试题是指给出适当的数学问题，从而提炼出数学思想方法，此种题型体现了数学的精髓，更高层次考查数学思想方法及数学思维．例4(2004年全国高考上海卷)教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是.分析：本题不从微观的角度考查具体的知识面，而是从宏观角度考查教材的地位与作用．要靠学生在学习过程中领悟和总结．平面解析几何主要研究两大问题，即根据已知条件，求出曲线的方程及通过方程(代数的方法)研究曲线的有关性质（如曲线的对称性、范围、交点等几何性质）。
中考填空题中的创新题型
中考填空题中的创新题型
叶进明
【期刊名称】《数学教育研究》
【年(卷),期】2005(000)004
【摘要】随着新课程的推广使用，在新课标理念的指导下，填空题成了中考创新改革题型的“试验田”，其中出现了不少以能力立意为目标、以增大思维容量为特色、具有一定深度和明确导向的创新题型，使中考试题充满了活力．下面通过实例来说明目前活跃在中考填空题中的六类创新题型．
【总页数】2页(P63-64)
【作者】叶进明
【作者单位】浙江省宁波市鄞州区横街中学,315181
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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例析中考数学创新型试题
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四 、 示 知 识 渗 透 型 新 题 展
例４ （ 中市 中考 题 ） 阅读 下 列 材料 ， 后解 答 问题 ： 巴 先３１ ７ ２－ ＝ ５ ２＿ ＝ １ … ， 们 由２ ＝ ，２１ ３ ２ ＝ ，４１ １ ，５１ ３ ， 我 ＿ －
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点评 ： 圆 有 关 的计 算 一 直 是 中考 考 查 的重 要 内容 ． 与 主要 考 查 的 内容 ： 长 和扇 形 面积 及 其 应 用 等． 弧
出④式 和⑤式 ， 进而可以推 出其一般规律． 解 ：１ 因为（ ４ Ｏ ｌ ４ ｌ ３② ４ １ １ ４ ２ ３ ＠４ ２ １４ （） ￣ ｘ ＋＝ｘ 一 ； ×＋＝ ｘ— ； ｘ＋ ＝ｘ
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例析中考整式创新题型
例析中考整式创新题型整式是初中数学的基础内容，随着课程改革的进一步的深入，在各地的中考试题中出现了许多构思新、考能力的新题型．现例举部分典型试题，并加以归类分析，希望对同学们学习有所帮助． 一、定义新运算例1 现规定一种运算：*a b ab a b =+-，其中a b ，为实数，则()**a b b a b +-等于（ ）A ．2a b -B ．2b b -C ．2bD ．2b a -分析：本题的关键是理解公式，并创造性的利用给出的计算公式计算(b-a)*b ，对照规定运算应把(b-a)看作一个整体，即为公式中的a ，可得(b-a)*b=(b-a)b+(b-a)-=b 2-ab+b-a-b =b 2-ab-a ，所以a*b+(b-a)*b=ab+a-b+ b 2-ab-a=b 2-b.故选（B ）．评注：创造能力不是与生俱来的，首先要学会模仿，但不是机械地模仿，还要能变通，从而才能培养出创造性的思维． 二、定义运算新程序例2 按下列程序计算，把答案写在表格内：(1)填写表格：(2)请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简． 分析： 明确计算程序是解答本题的关键，（1）表格中输出的答案均为1；（2）计算程序用代数式表示为：(n 2+n)÷n-n(n ≠0)，化简：原式=n 2÷n+n ÷n-n=n+1-n=1.评注：程序化也是解决问题的一种重要的思想方法，将一件事情设计一系列的程序，按照程序来解决问题，从而便于问题的解决，这也是良好的思维品质的体现，符号时代的潮流． 三、自编自解题例3 请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．2224()19a x y b +， ， ， ．解析：本题存在12种不同的作差结果，（1）241a -；291b -；2249a b -；214a -；219b -；2294b a -共6种．选2249a b - 进行因式分解，即2249a b -(23)(23)a b a b =+-．（2） 2()1x y +-；22()4x y a +-；22()9x y b +-；21()x y -+；224()a x y -+；229()b x y -+共6种．选21()x y -+进行因式分解，即21()x y -+[][]1()1()x y x y =++-+(1)(1)x y x y =++--．评注：编题本身是一种创造性劳动，因此根据已知条件，按照课本上某一习题编拟试题，不但可以加深对解题思路的理解，而且可以培养创新思维能力． 四、开放题例4 先化简(2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+5x(x-1)，再选择你喜欢的的数代替x 求值. 分析：本题是整式的混合运算，要按照运算顺序依次展开，再合并同类项化成最简形式，最后可任选一个数代入求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是化简本题的关键．解：原式=4x 2-4x+1-(9x 2-1)+5x 2-5x=4x 2-4x+1-9x 2+1+5x 2-5x=-9x+2，当x=1时，原式=-7． 评注：化简时要特别注意“(3x+1)(3x-1)”前的符号． 五、图形面积与乘法公式例5 从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式______________．分析：有图甲可知图乙以（a+b ）时， 高为（a-b ），则图乙的面积为（a+b ）（a-b ）， 又图甲的阴影部分的面积为（a 2-b 2），所以通过计算阴影部分的面积可以验证公式为： （a 2-b 2）=（a+b ）（a-b ）． 评注：数形结合的基本思想，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．六、定义新名词例 6 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．(1) 28和2 012这两个数是神秘数吗？为什么？(2) 设两个连续偶数为2k +2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？(3) 两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？解析：(1) 先找规律： 4=4×1=22-02，12=4×3=42-22，20=4×5=62-42，28=4×7=82-62， ……2 012=4×503=5042-5022，所以28和2 012都是神秘数． (2) (2k +2)2-(2k )2=4(2k +1)， 因此由这两个连续偶数2k +2和2k 构造的神秘数是4的倍数．(3) 由(2)知，神秘数可以表示成4(2k +1)，因为2k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为2n +1和2n-1，则(2n +1)2-(2n -1)2=8n ， 即两个连续奇数的平方差是8的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．点评：从确定的数到用字母表示数，并且表示数的字母像数一样的参与运算，进而引入代数式，这是数学发展史上的一个里程碑．有了代数式，使数量关系的表示简洁明了，给研b 甲 乙图a图b究和计算带来了极大的方便，同学们要好好的体会．练习： 1、（2006年，荆州）有一个数值转换器，原来如下：当输入的x 为64时，输出的y 是（ ）A 、8B 、22C 、32D 、232、（2006年，嘉兴）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是＿＿＿＿＿． 3、（2006年，湖北天门）如下图a ，边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图a 的阴影部分拼成了一个矩形，如图b ，这一过程可以验证（ ）A 、a 2+b 2-2ab =(a -b )2B 、a 2+b 2+2ab =(a +b )2C 、2a 2-3ab +b 2=(2a -b )(a -b )D 、a 2-b 2=(a +b ) (a -b )2644 11 第一次 F ②第三次 F ② …。
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剖析初高中接轨的中考题的特征江苏省泰州市九龙实验学校 顾广林（225300）（此文在核心期刊《中学数学教学》2007.1上发表）新课标实施以来，不少地方的中考题渗透了高中数学的知识，这样的试题背景新、设问巧，它们或以高中数学知识为背景，或体现高中数学中常用的数学思想方法和推理方法.这类试题主要考查学生的心理素质，自学能力和快速阅读理解能力，考查解题者的观察分析、辨别是非、类比操作、抽象概括、数学归纳以及数学语言表达能力.由于中考的选择功能，这类试题往往倍受命题者的青睐，成为中考题中一道亮丽的风景.下面就以近几年来年全国各地中考题为例，说明这些试题的几个主要特征.1．语言叙述渗透高中知识数学语言是自然语言、符号语言、图象语言等的有机结合.有些中考试题中的语言叙述有浓烈的高中数学色彩. 例1．（绍兴市中考题）如果一个序列{}n a 满足n n a a a n n (2,211+==+为自然数），那么_________100=a .解析：,12,,982,99212989999100⨯=-⨯=-⨯=-a a a a a a 各式相加得),9921(21100 ++=-a a 从而.9902100=a 点评：已知条件是数列的递推公式，本题的叙述方式采用了符号语言，具有高中代数的特征；另外解题方法也是数列问题中常用的方法，是整体思想的运用.这道试题的得分率极低，原因是学生看不懂题目的意思或解题方法想不到.在平时教学中要让学生适当接触用简洁的符号语言表述的题目以及一些需要创新的解题方法.例2． （苏州市中考题）如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心作︒0～︒90的旋转，旋转时露出的⊿ABC 的面积（S ）随着旋转角度（n ）的变化而变化.下面表示S 与n 的关系的图像大致是（ ）解析：可通过操作发现⊿ABC 的面积在︒0～︒45逐渐增大，在︒45～︒90又逐渐减小.故选B.点评：本题中对图象语言的翻译，以及其叙述方式都具有高中数学的特征.解决这类问题主要是求出两个变量之间的函数关系式，但本题只要观察就可得到变量之间的变化规律.这类试题较好地体现了《课程标准》所关注的“图形变化过程的基本规律”以及“函数是刻画变化着的事物间的相互关系”的理念.2．知识背景渗透高中知识有一些中考试题以中学数学知识为载体，而设计直接来源于高中数学，有高中数学的背景. 例3．（玉溪市中考题）对于正数x ，规定f （x ）= x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+， 计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （2004）+ f （2005）+ f （2006）= .解析:,显然不可能将2006,,20051,20061⋅⋅⋅代入求解,但是若注意到其中的对偶性,进而构造对偶式)1()(xf x f +的话,则易知)1()(xf x f +=1,从而结果为2006. 点评：该函数的表达形式是高中函数的表达形式，是超越函数.要求学生用分析的态度、探究的目光，通过赋值尝试及数学化活动等实现知识原理、方法的迁移.解决这类问题的关键是掌握新规则，然后运用归纳与类比的方法，使问题获得解决，此类试题旨在培养学生综合运用知识解决问题的能力，是“学生的可持续发展”理念的体现.例4．（咸宁市中考题）某集团总公司决定将下属的一个分公司对外招商承包，有符合条件的两企业A 、B 分别拟定上缴利润方案如下：A ：每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润1万元，以后每年比前一年增加1万元；B ：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴利润0.3万元，以后每半年比前半年增加0.3万元. OA B C·（1） 如果承包4年，你认为应该由哪家企业承包总公司获利多？（2） 如果承包n 年，请用含n 的代数式分别表示两企业上缴利润的总金额（单位：万元）解析：通过分析，不难发现每次上缴利润都与上一次相差一个相等的常数，具有这种规律的一列数，除了直接相加外，还可以推得下面的公式来计算它们的和S.2)(1n a a n S +=（其中n 表示数的个数，1a 表示第一个数，n a 表示最后一个数）.（1）10)41(24=+⨯=A S （万元）；8.102)4.23.0(8=+⨯=B S （万元）. ∴承包给企业B ，总公司获利多.（2）2)1(n n S A +=；.6.03.02)23.03.0(22n n n n S B +=⋅+= 点评：本题取材于高中代数中的“等差数列”求和公式的内容. 学生可探索规律导出等差数列求和公式，为今后学习高中数学打下基础，也为初、高中数学知识的衔接起到了有益的承上启下的作用.事实上等差数列的内容小学、初中都不时出现，所以很有必要讲一些等差数列的基本内容.针对学情，适当补充一些课本外的内容应该是被提倡的教学行为，这也是我国数学教育的优秀传统.用更好、更有份量的知识武装学生的头脑可能会更高效的培养学生的思维，也更有利于减轻学生的学业负担.3．推理方式渗透高中知识3.1 加强了合情推理的考查合情推理主要有毛估、类比、归纳等.《课程标准》明确指出合情推理能力在科学发现和学生发展中具有不可代替的作用.因此， 中考中独具匠心地设置了一些问题考查学生的合情推理能力.例5.（泰州市中考题）我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，例如正方体都是相似体.请归纳出相似体的三条主要性质①_____________;②_____________;③________________.解析：这是由一类事物（相似形）到与其相似的一类事物（相似体）间的类比. 或者说是由低维（平面）到高维（空间）的类比.通过两个正方体，类比相似形不难得出相似体的三条主要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比；相似体表面积的比等于相似比的平方；相似体体积的比等于相似比的立方.点评：本题要求学生分析、类比、归纳，整个解题过程是一个探究新知识的过程，也是一个新知识形成的过程，充分体现了由特殊到一般的推理方法.例6.（济南市中考题）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为k n2（其中k 是使k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是_____________________________．解析：根据定义的“F ”运算算几步：4491815121691352→→→→→→ 81→→，就会发现规律，结果是8.点评：所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律，它是发现和认识规律的重要手段.本题还有算法语言的特征，与信息技术相联系.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些归纳性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律.例7(启东中学自招班试题)已知S=199111982119811198011+⋅⋅⋅+++,则S 的整数部分是________.解析： 199111981119801+⋅⋅⋅++<16511219801=⨯ 199111981119801+⋅⋅⋅++>1991121219911=⨯ 即1211165165<<S . ∴S 的整数部分是165. 点评：直接计算很繁,若通过“放缩法”,估算出S 的取值范围,问题就迎刃而解. 26 13 44 11 第一次 F ② 第二次 F ① 第三次 F ② …3.2加强了“渗透型”问题的考查所谓“渗透型”问题是指与高中数学概念相关的问题.它既能考查学生对新知识的理解接受能力，又能考查学生适应新问题、运用新知识解决实际问题的能力.因而有利于学生在获得解答的过程中养成探究习惯，提高自学水平和数学素养.例8（鄂州市中考题）从A 、B 、C 三人中选取二人当代表，有A 和B 、A 和C 、B 和C 三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素的组合，记作.3122323=⨯⨯=C 一般地，从m 个元素中选取n 个元素的组合，记作12)2)(1()1()2)(1(⋅--+---= n n n n m m m m C n m .根据以上分析，从6人中选取4人当代表的不同选法有___________种. 解析：根据题中的组合的意义及其计算公式，有151234345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C 种. 点评：本题取材于高中代数中的“组合”内容，要求学生通过阅读自学，弄清楚组合的意义及其计算公式，并能解决有关问题.既能考查学生对“组合”这一新知识的理解与运用能力，又能锻炼学生获取知识的自学能力，因而有利于学生在获得解答的过程中，养成探索习惯提高自学水平和数学素养，这道题让学生既能“学会”，又能“会学”，学会终生学习. 3.3 代数推理与高中数学接轨代数推理题在中考中历来倍受重视.近年来更是出现了不少观点高、设问新颖的代数推理题.例9（荆门市中考题）已知实数a 、b 、c 满足0236,1222=+++=++c b a c b a ， 求a 、b 、c 的值.解法一：由已知得,21c b a -=+① ， 02362)(2=++-+c ab b a ②， 将①代入②，整理得4522++=c c ab ③.由①、③可知a 、b 是关于t 的方程0452)21(22=+++--c c t c t ④的两个实数根，,0)452(4)21(22≥++--=∆∴c c c 即.0)1(2≤+c 而01,0)1(2=+∴≥+c c ，.1-=c 将1-=c 代入④得23,0493212==∴=+-t t t t ，即23==b a . 1,23-===∴c b a . 解法二：.21,12c b a c b a -=+∴=++ 设t c b t c a --=+-=221,221① 02362)(,0236222=++-+∴=+++c ab b a c b a ②.将①代入②得0236)221)(221(2)21(2=++--+---c t c t c c .整理得0)1(22=++c t ，1,0-==∴c t .将t 、c 的值同时代入①得23,23==b a 1,23-===∴c b a . 点评：解法一采用的是构造法及逼近法，解法二采用的是均值换元法，都是创造性地解决问题.本题考查的内容并没有超出中学教材的范畴，然而其形式到方法都已在更高层次上考查学生的逻辑思维能力，是命题者运用高中数学中的代数推理方法，居高临下而设计的.在中考复习时，构造法应作为一个专题进行复习，让学生系统掌握用构造法解题.在对待渗透高中数学知识的中考题时要注意以下两个方面：一是试题的起点高，但落点低，即试题的设计虽来源于高中数学，但解决的方法是初中所学的数学知识，而不是将高中数学引入中考；二是试题有利于区分考生能力，在今后中考中还会出现，在复习时要加强“双基”，引导学生构建知识网络，提高学生的应变能力和创新能力，才能更适应新课程的中考要求. 另外由于 初中课标教材和高中教材的深度衔接不上，所以要适当补充初、高中接轨的内容，开拓学生的视野，提高学生的思维和创新能力，同时为了适应将来的高中学习要培养学生逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑，会创新和独立获取新知识的良好习惯，提高学习数学的科学素养.这样才能在今后的学习中立于不败之地.。