九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.2二次函数的应用导学案新版北师大版
2024北师大版数学九年级下册2.4.2《 二次函数的应用》教案
2024北师大版数学九年级下册2.4.2《二次函数的应用》教案一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版数学九年级下册第2章第4节的内容,本节课主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过引入生活中的实例,让学生体会二次函数的实际意义,进而掌握二次函数的图象和性质,为解决实际问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识,对二次函数的图象和性质有了初步了解。
但学生在应用二次函数解决实际问题方面还存在一定的困难,因此,在教学过程中,教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合,提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际生活中的应用,体会二次函数的实际意义。
2.掌握二次函数的图象和性质,提高运用二次函数解决实际问题的能力。
3.培养学生的数学思维能力和创新能力。
四. 教学重难点1.重点:二次函数在实际生活中的应用,二次函数的图象和性质。
2.难点:如何将实际问题转化为二次函数模型,运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法:通过引入生活中的实例,激发学生的学习兴趣,引导学生主动探究。
2.启发式教学法:在教学过程中,教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题,培养学生的数学思维能力。
3.合作学习法:学生分组讨论,共同完成任务,提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件:制作精美的课件,辅助教学。
2.实例素材:准备一些与生活相关的实例,用于引导学生探究。
3.练习题库:准备适量的练习题,巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用课件展示一些生活中的实际问题,如抛物线形的跳板、足球运动的轨迹等,引导学生关注二次函数在实际生活中的应用。
2.呈现(10分钟)介绍二次函数的图象和性质,通过课件演示,让学生直观地了解二次函数的图象特征。
同时,教师引导学生联系实际问题,理解二次函数的实际意义。
3.操练(10分钟)学生分组讨论,选取实例进行分析,将实际问题转化为二次函数模型。
北师大版九年级数学下册:第二章 2.4.2《二次函数的应用》精品教学设计
北师大版九年级数学下册:第二章 2.4.2《二次函数的应用》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章2.4.2《二次函数的应用》主要介绍了二次函数在实际生活中的应用。
通过本节课的学习,学生能够理解二次函数在实际问题中的作用,掌握二次函数解决实际问题的方法,提高解决实际问题的能力。
教材内容主要包括两个方面:一是二次函数在几何中的应用,如抛物线的性质;二是二次函数在实际生活中的应用,如最值问题、利润问题等。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识,对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时,往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题,因此在教学过程中,需要引导学生将实际问题抽象成二次函数模型,并运用二次函数的知识解决实际问题。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的作用,提高解决实际问题的能力。
2.掌握二次函数解决实际问题的方法,能够将实际问题转化为二次函数模型。
3.培养学生的抽象思维能力和实际问题解决能力。
四. 教学重难点1.重点:二次函数在实际问题中的应用。
2.难点:如何将实际问题转化为二次函数模型,并运用二次函数的知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活实例,引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
2.案例分析法:分析典型例题,让学生掌握二次函数解决实际问题的方法。
3.小组讨论法:分组讨论,培养学生的合作精神和解决问题的能力。
4.启发式教学法:引导学生主动思考,提高学生的抽象思维能力。
六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示二次函数在实际问题中的应用。
2.典型例题:挑选具有代表性的例题,让学生进行分析。
3.练习题:准备适量的练习题,巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用生活实例,如抛物线形状的物体,引入二次函数在实际问题中的应用。
提问:这些实际问题能否用我们学过的二次函数来解决?2.呈现(10分钟)呈现典型例题,让学生进行分析。
九年级数学下册第2章二次函数2.3二次函数的应用2.3.1把握变量之间
41
25 19.75 …
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x 的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的 一种. (1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说 明不选择另外两种函数的理由. (2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大? (3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量 的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择? 直接写出结果.
∴抛物线开口向上,函数有最小值,
y最小
4ac 4a
b
2
4
313 144 43
156 144 12
1.
2.某广场有一喷水池,水从地面喷出, 如图,以水平地面为x轴,出水点为原点, 建立平面直角坐标系,水在空中划出的 曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高 度是 ( ) A.4 m B.3 m C.2 m D.1 m 【解析】选A.y=-x2+4x=-(x-2)2+4,所以水喷出的最大高度 为4m.
∴当P点在对称轴上运动时,PA+PC的最小值等于BC.
∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=
10 3 2.
(3)当点D为抛物线的顶点时,以点A,B,D,E为顶点的四边形为菱
形,把x=2代入y=x2-4x+3得y=22-4×2+3=-1,∴点D的坐标
为(2,-1).
答案:(2,-1)
【自主解答】(1)依题意可得,顶点C的坐标为(0,11),设抛物线
解析式为y=ax2+11.
由抛物线的对称性可得,点B(8,8),
8=64a+11,解得a=- ,
北师大版数学九年级下册第二章2.4(优质)二次函数的应用(导学案,无答案)
2.4 (2)二次函数的应用——最大利润问题一、教学目标经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.二、教学重点和难点重点:能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值难点:能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程(一)情景导入服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元,根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示每件降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?(二)巩固训练1.某旅社有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加10元时,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?2.某果园有100棵橙子树,平均每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)果园增种多少棵橙子树时,果园橙子的总产量最多?(2)增种多少棵橙子树时,可以使果园橙子的总产量在60420个以上?(要求学生画出二次函数的图象,并根据图象回答问题)(三)变式训练1.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).(1)求y与x之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?2.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元.(1)房间每天的入住量y(间)关于x(元)的函数关系式.(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数关系式.(3)该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,w有最大值?最大值是多少?3.某省有一种可食用的野生菌,上市时,外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元,而且这类野生菌在冷库中最多保存160天,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售.(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元,试写出y与x之间的函数关系式.(2)若存放x天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为P元,试写出P与x之间的函数关系式.(3)李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元?(利润=销售总额-收购成本-各种费用)4.某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件。
北师大版九年级数学下册:第二章 2.4.2《二次函数的应用》精品教案
北师大版九年级数学下册:第二章 2.4.2《二次函数的应用》精品教案一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版九年级数学下册第二章第四节的一部分。
这部分内容主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过生动的例题和练习题,使学生掌握二次函数图像的特点,学会通过二次函数图像解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识,对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时,往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。
因此,在教学过程中,教师需要帮助学生建立实际问题与二次函数之间的联系,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数图像的特点,了解二次函数在实际生活中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对数学的兴趣,培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.教学重点:让学生掌握二次函数图像的特点,学会通过二次函数图像解决实际问题。
2.教学难点:如何将实际问题转化为二次函数问题,如何引导学生运用数学知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法,引导学生从实际问题中发现数学问题,培养学生的数学思维。
2.利用多媒体辅助教学,展示二次函数图像,让学生更直观地了解二次函数的特点。
3.采用分组讨论的教学方法,鼓励学生合作交流,提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题,用于引导学生转化为二次函数问题。
2.准备多媒体教学课件,展示二次函数图像。
3.准备练习题,巩固学生对二次函数应用的掌握。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过展示一些实际问题,如抛物线运动、物体运动等,引导学生思考这些问题是否可以转化为二次函数问题。
让学生认识到二次函数在实际生活中的重要性。
2.呈现(10分钟)教师利用多媒体课件,展示二次函数图像的特点,如开口方向、顶点坐标、对称轴等。
同时,教师通过举例讲解,让学生了解如何从实际问题中提取二次函数的信息。
2023年北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案一、温故知新——请同学们根据题意写出下列各题的函数关系式。
1.正方形的边长是5,若边长增加x,面积增加y,求y与x之间的函数表达式。
2.已知正方形的周长为20,若其边长增加x,面积增加y,求y与x之间的表达式。
3.已知正方形的周长是x,面积为y,求y与x之间的函数表达式。
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?第二段:【白天长课导学】一、学习目标与要求:1. 能根据题意列出函数关系式,并能通过配方求出最值。
二、定向导学、合作交流、教师精讲定向导学、合作交流、教师精讲摘记【合作探究一】一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间1.长方形鸡舍,门MN宽2m,门PQ和RS的宽都是1m,怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大?【合作探究二】某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?课题:第二章§2-6-1 二次函数的应用课型:新授总第9课时-18模块五:当堂训练班级:九()班姓名:一、解答题。
请根据本节课所学知识解答。
1.如图⑴,在Rt△ABC中,AC=3cm,BC=4cm,四边形CFDE为矩形,其中CF、CE在两直角边上,设矩形的一边CF=xcm.当x取何值时,矩形ECFD的面积最大?最大是多少?2、如图⑵,在Rt△ABC中,作一个长方形DEGF,其中FG边在斜边上,AC=3cm,BC=4cm,那么长方形DEGF的面积最大是多少?3、如图⑶,已知△ABC,矩形GDEF的DE边在BC边上.G、F分别在AB、AC边上,BC=5cm,S△ABC为30cm2,AH为△ABC在BC边上的高,求△ABC的内接长方形的最大面积。
4、如图,校园要建苗圃,其形状如直角梯形,有两边借用夹角为135°的两面墙,另外两边是总长为30米的铁栅栏。
北师大版九年级数学下册:第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品教学设计
北师大版九年级数学下册:第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质之后,进一步运用二次函数解决实际问题的课程。
本节内容通过现实生活中的实例,让学生了解二次函数在实际问题中的应用,培养学生的数学应用能力。
教材内容主要包括:二次函数在实际问题中的运用,二次函数的综合应用等。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图象与性质,对二次函数有一定的理解。
但学生在解决实际问题时,往往难以将数学知识与实际问题相结合。
因此,在教学过程中,需要教师引导学生将二次函数知识运用到实际问题中,提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能:使学生能够理解二次函数在实际问题中的运用,提高学生的数学应用能力。
2.过程与方法:通过解决实际问题,培养学生将数学知识运用到实际中的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点:二次函数在实际问题中的运用。
2.难点:如何将二次函数知识灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法:通过现实生活中的实例,引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
2.案例教学法:分析典型实例,让学生学会如何将二次函数知识运用到实际问题中。
3.小组合作学习:培养学生团队合作精神,提高学生的数学应用能力。
六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示二次函数在实际问题中的运用。
2.实例材料:收集一些实际问题,作为教学案例。
3.练习题:准备一些练习题,巩固学生对二次函数应用的理解。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用课件展示一些实际问题,如:抛物线形的跳板、抛物线形的桥梁等,引导学生思考:这些实际问题与二次函数有什么关系?2.呈现(10分钟)呈现一个实际问题:小明家有一个抛物线形的菜园,菜园的顶点在原点,开口向上,对称轴为y轴。
已知菜园的面积为40平方米,问:菜园的最大宽度是多少?引导学生分析问题,明确需要运用二次函数的知识来解决。
九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用导学案新版北师大版_
2.4.1二次函数的应用
预习案
一、预习目标及范围:
1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题,体会数学的模型思想和数学应用价值.
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识解决实际问题.
预习范围:P46-47
二、预习要点
根据二次函数的一般形式求出最大值、最小值:
几何图形的几个面积公式是怎么样的?
三、预习检测
1.(2015六盘水)如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是()
A. 60 m2
B. 63 m2
C. 64 m2
D. 66 m2
2.用长6 m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户,使窗户的透光面积最大(如图),那么这个窗户的最大透光面积是()
A. m2
B. 1 m2
C. m2
D. 3 m2
3. (2014绍兴)如图的一座拱桥,当水面宽AB为12 m时,桥洞顶部离水面4 m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=- (x-6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是__________________________.
探究案
一、合作探究
活动内容1:
活动1:小组合作
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示?
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?
解:
活动2:探究归纳
先将转化为,再将所求的问题用关系式表达出来,然后利用顶点坐标公式或者配方法求出,有时必须考虑。
北师大版九年级数学下册:2.4《二次函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册:2.4《二次函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.4节《二次函数的应用》主要介绍了二次函数在实际生活中的应用,包括二次函数图像的识别和利用二次函数解决实际问题。
这部分内容是学生在学习了二次函数的性质和图像后,对二次函数知识的进一步拓展,使学生能够将所学知识应用到实际生活中,提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识和图像,对二次函数有一定的理解。
但学生在解决实际问题时,可能会对将理论知识和实际问题相结合感到困难。
因此,在教学过程中,教师需要引导学生将所学知识与实际问题相结合,提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用;2.学会利用二次函数解决实际问题;3.提高学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.二次函数在实际生活中的应用;2.利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题,引导学生思考;通过案例分析,使学生理解二次函数在实际生活中的应用;通过小组合作,让学生在讨论中解决问题,提高学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的案例和问题;2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题引出二次函数的应用,例如:一个农场计划种植两种作物,种植面积为固定的10亩。
如果种植苹果树,每亩收益为2000元;如果种植梨树,每亩收益为3000元。
请问如何分配种植苹果树和梨树的面积,才能使总收益最大?2.呈现(10分钟)呈现教材中的案例,让学生了解二次函数在实际生活中的应用。
例如,教材中有一个关于抛物线形跳板的问题,通过二次函数来求解跳板的长度。
3.操练(10分钟)让学生根据教材中的案例,尝试解决实际问题。
例如,教材中有一个关于二次函数图像的问题,让学生根据图像信息,求解相关参数。
4.巩固(10分钟)通过小组合作,让学生解决一些实际问题。
九年级数学下册 第2章 二次函数 2.4 二次函数的应用 2.4.2 二次函数的应用导学案 北师大版
2.4.2二次函数的应用预习案一、预习目标及范围:1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值.预习范围:P48-49二、预习要点二次函数的最值问题和增减性:三、预习检测1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x2+24x+2 956,则获利最多为______元2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x2+80x+28 400,要使所获营业额最大,则此旅行团有_______人.3.(兰州·中考)如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为米.探究案一、合作探究活动内容1:活动1:小组合作二次函数y=a(x-h)2+k(a 0),顶点坐标为(h,k),则(1)a>0时,y有最小值();(2)当a<0时,y有最大值()【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多?【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为 : 件;每件T恤衫的利润为: 元;所获总利润可以表示为: 元;即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,最大利润是元.活动2:探究归纳先将实际问题转化为数学问题,再将所求的问题用二次函数关系式表达出来,然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值,有时必须考虑其自变量的取值范围,根据图象求出最值.活动内容2:典例精析例题2(武汉·中考)某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的整数倍).(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?【解析】例题3(青海·中考)某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利5元,每天可售出200千克,经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,销售量将减少10千克.(1)现该商场要保证每天盈利1 500元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?(2)若该商场单纯从经济利益角度考虑,这种水果每千克涨价多少元,能使商场获利最多?二、随堂检测1.(株洲·中考)某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米2.(德州·中考)为迎接第四届世界太阳城大会,德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为5 000元/个,目前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销:若购买路灯不超过100个,按原价付款;若一次性购买100个以上,则购买的个数每增加一个,其价格减少10元,但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个.乙商家一律按原价的80℅销售.现购买太阳能路灯x个,如果全部在甲商家购买,则所需金额为y1元;如果全部在乙商家购买,则所需金额为y2元.(1)分别求出y1,y2与x之间的函数关系式.(2)若市政府投资140万元,最多能购买多少个太阳能路灯?3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?4.(青岛·中考)某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数:(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润,那么销售单价应定为多少元?(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)参考答案预习检测:1.31002.203.0.5随堂检测1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为(2,4),所以水喷出的最大高度是4米.2. 【解析】(1)由题意可知,当x≤100时,购买一个需5 000元,故y1=5 000x当x>100时,因为购买个数每增加一个,其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个,所以x≤即100<x≤250时,购买一个需5 000-10(x-100)元,故y1=6 000x-10x2;当x>250时,购买一个需3 500元,故y1=3 500x;(2) 当0≤x≤100时,y1=5 000x≤500 000<1 400 000;当100<x≤250时,y1=6 000x-10x2=-10(x-300)2+900 000<1 400 000;∴由得到x=400由得到故选择甲商家,最多能购买400个太阳能路灯3. 【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.4.解析:(1)由题意,得:w = (x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)=-10x2+700x-10 000当时,w有最大值.答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润.(2)由题意,得:解这个方程得:x1 = 30,x2 = 40.答:李明想要每月获得2 000元的利润,销售单价应定为30元或40元. (3)∵∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时,w≥2 000.∵x≤32,∴当30≤x≤32时,w≥2 000.设成本为P(元),由题意,得:P=20(-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200<0,∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时,P最小=3 600.答:想要每月获得的利润不低于2 000元,每月的成本最少需要3 600元.。
北师大版九年级数学下册:2.4《二次函数的应用》教学设计1
北师大版九年级数学下册:2.4《二次函数的应用》教学设计1一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版九年级数学下册第2章“函数、方程与不等式”的第4节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握二次函数在实际生活中的应用,学会用二次函数解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题,帮助学生理解和掌握二次函数的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识,对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时,往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。
因此,在教学过程中,教师需要引导学生将实际问题与二次函数联系起来,提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能:使学生掌握二次函数在实际生活中的应用,学会用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法:通过解决实际问题,培养学生将现实问题转化为数学问题的能力,提高学生的数学建模能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的数学思维,使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点:二次函数在实际生活中的应用。
2.难点:如何将实际问题转化为二次函数问题,以及如何利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法,通过引导学生解决实际问题,让学生理解和掌握二次函数的应用。
同时,运用讨论法、案例分析法等教学方法,提高学生的参与度和积极性。
六. 教学准备1.教材:《北师大版九年级数学下册》。
2.教学课件:根据教学内容制作的课件。
3.练习题:针对本节课内容设计的练习题。
4.教学工具:黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用生活中的实际问题,如抛物线形的跳板,引导学生思考如何用数学模型来描述这个问题。
让学生感受到数学与生活的紧密联系,激发学生的学习兴趣。
2.呈现(15分钟)呈现教材中的例题,讲解二次函数在实际生活中的应用。
通过例题,让学生了解如何将实际问题转化为二次函数问题,以及如何利用二次函数解决实际问题。
【精品学习】九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.3二次函数的图象与性质教案
2.2.3二次函数的图像与性质一、教学目标1.经历探索二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的作法和性质的过程. 2.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.3.能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象,并能理解它与y=ax 2的图象的关系.理解a ,h 和k 对二次函数图象的影响.4.能够正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 二、课时安排 1课时 三、教学重点能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象,并能理解它与y=ax 2的图象的关系.理解a ,h 和k 对二次函数图象的影响.四、教学难点正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 五、教学过程 (一)导入新课 1.函数 2132y x =+ 的图象的顶点坐标是 ;开口方向是 ;最 值是 .2.函数y=-2x 2+3的图象可由函数 的图象向 平移 个单位得到.3.把函数y=-3x 2的图象向下平移2个单位可得到函数__________的图象. (二)讲授新课探究一:在同一坐标系中画出下列函数的图象:2223 ; 3 2 ; 3(1).y x y x y x ==+=-思考:它们的图象之间有什么关系?明确:23y x =的图像向上平移两个单位得到232y x =+的图像,向左平移一个单元得到23(1)y x =-。
函数y=ax 2与y=a(x-h)2的图象关系:2 (0)y ax a =≠的图像向右平移h (h ﹥0)个单位(向左平移︱h ︱(h ﹤0)个单位) 函数y=a (x-h )2的图象,探究二:画出二次函数y=3(x-1)2+2的图象,并与二次函数y=3x 2的图象进行比较,说明它们之间的关系.明确:23y x =的图像向上平移两个单位得到232y x =+的图像,向右平移一个单元得到y=3(x-1)2+2。
(三)探究归纳平移规律:2y ax =的图像向上(下)平移k 个单位得到2y ax k =+;2y ax =的图像向右(左)平移k 个单位得到2()y a x h =-;2y ax =的图像向上平移k 个单位得到2y ax k =+;2y ax =的图像向上(下)平移k 个单位再向左(右)平移h 个单位得到2()y a x h k =-+;(四)归纳小结1.y=a(x-h)2+k 的图象的特征.(五)随堂检测1.(无锡·中考)下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是( ). A.y=(x -2)2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x -2)2-3 D.y=(x+2)2-32.(西宁·中考)将抛物线22(1)y x =-向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 _______________.3.(襄樊·中考)将抛物线 212y x =-先向上平移2个单位,再向右平移1个单位后,得到的抛物线的表达式为____________.4.(宁夏·中考)把抛物线 2y x =- 向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的表达式为( )A. 2(1)3y x =--+B. 2(1)3y x =-++C. 2(1)3y x =---D. 2(1)3y x =-+-5.(荆州·中考)若把函数y=x 的图象用E (x ,x )记,函数y=2x+1的图象用E (x ,2x+1)记,…,则 E (x ,221x x -+)可以由E (x,2x )怎样平移得到? ( ) A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位 【答案】1.选C.根据以直线x=2为对称轴可知选项A ,C 符合,再根据图象经过点(0,1)知选项C 符合.2. 2y 2x =3. 21322y x x =-++或21(1)22y x =--+ 4. 选B 5. 选D.六.板书设计2.2.3二次函数的图像与性质七、作业布置 课本P38练习1、2 练习册相关练习 八、教学反思。
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2.4.2二次函数的应用
预习案
一、预习目标及范围:
1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.
2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值.
预习范围:P48-49
二、预习要点
二次函数的最值问题和增减性:
增减性
三、预习检测
1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x2+24x+2 956,则获利最多为______元
2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x2+80x+28 400,要使所获营业额最大,则此旅行团有_______人.
3.(兰州·中考)如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为米.
探究案
一、合作探究
活动内容1:
活动1:小组合作
二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0),顶点坐标为(h,k),则
(1)a>0时,y有最小值();
(2)当a<0时,y有最大值()
【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多?
【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么
销售量可以表示为 : 件;
每件T恤衫的利润为: 元;
所获总利润可以表示为: 元;
即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5
∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,
最大利润是元.
活动2:探究归纳
先将实际问题转化为数学问题,再将所求的问题用二次函数关系式表达出来,然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值,有时必须考虑其自变量的取值范围,根据图象求出最值.
活动内容2:典例精析
例题2(武汉·中考)某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式.
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?
【解析】
例题3(青海·中考)某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利5元,每天可售出200千克,经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,销售量将减少10千克.
(1)现该商场要保证每天盈利1 500元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
(2)若该商场单纯从经济利益角度考虑,这种水果每千克涨价多少元,能使商场获利最多?
二、随堂检测
1.(株洲·中考)某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是( )
A.4米
B.3米
C.2米
D.1米
2.(德州·中考)为迎接第四届世界太阳城大会,德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为5 000元/个,目前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销:若购买路灯不超过100个,按原价付款;若一次性购买100个以上,则购买的个数每增加一个,其价格减少10元,但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个.乙商家一律按原价的80℅销售.现购买太阳能路灯x个,如果全部在甲商家购买,则所需金额为y1元;如果全部在乙商家购买,则所需金额为y2元.
(1)分别求出y1,y2与x之间的函数关系式.
(2)若市政府投资140万元,最多能购买多少个太阳能路灯?
3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.
如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?
4.(青岛·中考)某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数:
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
参考答案
预习检测:
1.3100
2.20
3.0.5
随堂检测
1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为(2,4),所以水喷出的最大高度是4米.
2. 【解析】(1)由题意可知,
当x≤100时,购买一个需5 000元,故y1=5 000x
当x>100时,因为购买个数每增加一个,其价格减少10元但售价不得低于3 500元/
个,所以x≤5 000 3 500
100250 10
-
+=
即100<x≤250时,购买一个需5 000-10(x-100)元,故y1=6 000x-10x2;当x>250时,购买一个需3 500元,故y1=3 500x;
21 5 000x,y 6 000x 10x ,3 500x,⎧⎪=-⎨⎪⎩所以 0x 100100x 250x 250
≤≤<≤> 2500080%4000.y x x =⨯=
(2) 当0≤x ≤100时,y 1=5 000x ≤500 000<1 400 000;
当100<x ≤250时,
y 1=6 000x -10x 2=-10(x -300)2+900 000<1 400 000;
∴由35001400000x = 得到x=400
由40001400000x = 得到350400x =<
故选择甲商家,最多能购买400个太阳能路灯
3. 【解析】建立如图所示的坐标系,根据
题意得,点A(0,1.25),顶点
B(1,2.25).
设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.
当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).
根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,
才能使喷出的水流不致落到池外.
4.解析:(1)由题意,得:w = (x -20)·y
=(x -20)·(-10x+500)
=-10x 2+700x-10 000 当352b x a
=-= 时,w 有最大值. 答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润.
(2)由题意,得:2
1070010 000 2 000.x x -+-=
解这个方程得:x1 = 30,x2 = 40.
答:李明想要每月获得2 000元的利润,销售单价应定为30元或40元. (3)∵10
a=-<0
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时,w≥2 000.
∵x≤32,
∴当30≤x≤32时,w≥2 000.
设成本为P(元),由题意,得:P=20(-10x+500)=
-200x+10 000, ∵k=-200<0,∴P随x的增大而减小.
∴当x = 32时,P最小=3 600.
答:想要每月获得的利润不低于2 000元,每月的成本最少需要3 600元.。