2012考研数学重要知识点解析之高等数学(一)
【2012考研必备资料】考研数学一大纲
【2012考研必备资料】考研数学一大纲.txt单身很痛苦,单身久了更痛苦,前几天我看见一头母猪,都觉得它眉清目秀的什么叫残忍?是男人,我就打断他三条腿;是公狗,我就打断它五条腿!高等数学第一章:函数、极限、连续考试内容:函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求:1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立应用问题中的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及函数极限存在与左、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.第二章:一元函数微分学考试内容:导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆曲率半径考试要求:1. 理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a,b)内,设函数f(x)具有二阶导数。
Ahaorpq2012考研数学重要知识点解析之高等数学(一)
七夕,古今诗人惯咏星月与悲情。
吾生虽晚,世态炎凉却已看透矣。
情也成空,且作“挥手袖底风”罢。
是夜,窗外风雨如晦,吾独坐陋室,听一曲《尘缘》,合成诗韵一首,觉放诸古今,亦独有风韵也。
乃书于纸上。
毕而卧。
凄然入梦。
乙酉年七月初七。
-----啸之记。
2012考研数学重要知识点解析之高等数学(一)万学海文在考研数学复习开始之前,万学海文数学考研辅导专家们提醒2012年的考生们要对考研数学的基本命题趋势和试题难度有比较深刻的认识,根据自己对考研数学的定位,要做到有的放矢的复习,才能达到事半功倍的效果。
复习备考的主要策略:紧扣考纲,扎实基础,注重联系,加强训练。
本文万学海文辅导老师们主要阐述如何在复习当中紧扣考纲。
考研数学作为标准化考试,其命题范围有明确的规定,2012年考生基础阶段复习主要就是依据考试大纲,详细了解考试的基本要求,类别和难度特点,准确定位。
我们以数一中第一章为例:一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:0sin lim 1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.考试内容中给考生列出了第一章的考试知识点,所以考生在复习过程中首先要弄懂这些知识点。
【2012考研必备资料】数学一考试大纲
【2012考研必备资料】年全国硕士研究生入学考试数学(一)考试大纲考试科目:数学高等数学、线性代数、概率论与数理统计高等数学试卷结构(一)题分及考试时间试卷满分为150分,考试时间为180分钟。
(二)内容比例高等教学约60%线性代数约20%概率论与数理统计20%(三)题型比例填空题与选择题约40%解答题(包括证明题)约60%一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性(有界和收敛的关系存在正数M使f(x)<M恒成立则有界,不存在M 则无界,注意与无穷大的区别-如振荡型函数)、单调性、周期性(注意周期函数的定积分性质)和奇偶性(奇偶性的前提是定义域关于原点对称)复合函数(两个函数的定义域值域之间关系)、反函数(函数必须严格单调,则存在单调性相同的反函数且与其原函数关于y=x对称)、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立(应用题)数列极限(转化为函数极限单调有界定积分夹逼定理)与函数极限(四则变换无穷小代换积分中值定理洛必塔法则泰勒公式-要齐次展开)的定义及其性质(局部保号性)函数的左极限与右极限(注意正负号)无穷小(以零为极限)和无穷大(大于任意正数)的概念及其关系无穷小的性质(和性质积性质)及无穷小的比较(求导定阶)极限的四则运算(要在各自极限存在的条件下)极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数连续的概念(点极限存在且等于函数值)函数间断点的类型(第一型(有定义):可去型,跳跃型第二型(无定义):无穷型,振荡型)初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质(零点定理介值定理)考试要求1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容。
2012考研数学之高数--考点详解之中值定理
2012考研数学之高数--考点详解之中值定理(1)充分重视考研数学考试大纲,逐条分析,潜心研究,全面复习。
“大纲”实际上就是教育部为考生所划的复习范围,考生应参照大纲,全面复习,不留遗漏,这是复习的基本对策。
通过复习比较系统地理解数学的基本概念和基本理论,掌握数学的基本方法。
(2)基本训练要反复进行。
对于考研数学,要做一定数量的题。
提倡精练,即反复做一些典型的题,做到一题多样,一题多变,要训练抽象思维能力。
对一些基本定理的证明,基本公式的推导,以及一些基本练习题,要做到“熟能生巧”。
基本功扎实的人,遇到难题办法也多。
(3)注意突出复习重点,紧紧抓住考试热点。
一般地说,大纲中要求理解的内容,要求掌握的方法就是考试的重点,而近几年的考试中重复出现的内容就是考试热点。
事实证明,最新的考题与往年的考题非常雷同的占50分左右,这些考题大部分改变一种说法,但解题思路几乎一样。
一是要注意年年被考到的内容,二是注意那些多年没考到而大纲要求的内容。
(4)注意各章节之间的内在联系,注意综合性的典型考题的分析,来提高考生解决综合性问题的能力。
数学有其自身的规律,其表现的一个重要特征是各知识点之间、各科目之间的联系非常密切,这种相互之间的联系给综合命题创造了条件。
尽管考试千变万化,但是知识结构基本相同,题型相对固定。
提炼题型的目的就是为了提高解题的针对性,形成思维定势,进而提高考生解题速度和准确性。
(5)加强考研前强化训练,做几套模拟试卷必不可少。
许多考生往往看得多,练得少。
有些考生在考后抱怨题太多,做不完或做错。
其原因就是平时缺少练笔的机会以及考前没有进行强化训练。
所以建议考生在限定时间里系统做几套模拟题或样题,然后对照答案自己分析总结。
2012考研数学:高数讲义重点题型解答(一)
f ( x )dx < 0 ,即 an 单调减少
3 n 2 n −1
an = f (1) − ∫ f ( x )dx + f (2 ) − ∫ f ( x)dx + " + f (n − 1) − ∫
1
f ( x )dx + f (n )
= ∑ ⎡ f (k ) − ∫ ⎢ k k =1 ⎣
n −1
1
2. lim (a n + b n + c n ) n ( a, b, c非负) ;
解:因为 f ( x ) 在 [0,+∞ ) 上单调减少、非负、连续, 故 f (k ) =
∫
k
k −1
f (k )dx < ∫
k
k −1
f (x )dx < ∫
k
k −1
f (k − 1)dx = f (k − 1) , k ≥ 1
则 an +1 − an = f (n + 1) −
2
∫
n +1
n
xn − xn −1 1 − xn + 1 − xn −1
且 x2 = 0 < x1 ,故 x2 < x1 , x3 < x2 " xn < xn −1 ,即 xn 单调减少; x1 ≥ −2 ,不妨假设 xn ≥ −2 则 xn +1 ≥ − 1 + 2 ,即 xn 有下届,单调有界数列必在极限,故极限存在。 不妨假设 lim xn = A ,则 A + 1 + A = 0 ,解得 A =
( )
sin x sin 2 x sin 3 x x x 2 x3 3 同理 1 + sin x = 1 + − + + o sin x = 1 + − − + o x3 2 2 16 2 2 48
2012年考研数学一真题解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线221x xy x +=-渐进线的条数(A )0 (B)1 (C)2 (D)3【考点分析】:曲线的渐近线条数。
【求解过程】:C⏹ 方法一:利用函数图像的平移,将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。
由于22(1)111(1)(1)11x x x x x y x x x x x ++====+--+--, 可知,221x x y x +=- 的图像是由1y x=的图像向由右平移一个单位,再向上平移一个单位所得。
由于图像平移并不改变其渐进线的条数。
1y x=有两条渐进线,其中一条为水平渐近线0y =,一条为垂直渐近线0x =。
所以221x xy x +=-也有两条渐近线,选择C 。
【相关补充】:函数平移口诀:上加下减,左加右减。
例如,把函数()y f x =依次做以下四次的平移:(1)向上平移1个单位,(2)向下平移2个单位(3)向左平移1个单位(4)向右平移2个单位。
则新函数的解析式为(12)12(1)1y f x f x =+-+-=--。
⏹ 方法二:直接求解函数的渐近线。
因为 22lim 1,1x x xx →∞+=- 所以1y = 为水平渐进线。
又由于有水平渐进线,所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。
又因为221lim ,1x x xx →+=∞-所以1x =为垂直渐进线。
综上所述,221x xy x +=-也有两条渐近线,选择C 。
【相关补充】:斜渐进线的求解步骤:1) 考察是否有lim ()x f x →±∞=∞?若是,则转2)2) 考察是否有()limx f x a x→±∞=(常数)?,若是,则转3) 3) 是否有lim[()]x f x ax b →±∞-=存在?若是,则()y f x =有斜渐进线y ax b =+,上述任何一个步骤中,若否,则无斜渐进线。
2012数学一考研大纲14769
高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则 调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:0sin lim 1x x x →=, 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达(L’Hospital )法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(,)a b内,设函数()f x具有二阶导数。
2012数一真题及答案解析
x + y x→0
2
2
y→0
(C)若 f (x, y) 在(0,0)处可微,则极限 lim f (x, y) 存在 x + y x→0
y→0
(D)若 f (x, y) 在(0,0)处可微,则极限 lim f (x, y) 存在
x + y x→0
2
2
y→0
【解析】若极限 lim f (x, y) 存在,又函数 f (x, y) 在(0,0)处连续,可得 f (0,0) = 0
⎜⎝
1 ⎟⎠
⎛1 0 0⎞
【解析】 Q = (α1 + α2,α2 ,α3 ) = (α1,α2,α3 )⎜⎜1
1
⎟ 0⎟
⎜⎝0 0 1⎟⎠
则
⎛ 1 0 0⎞−1
⎛1 0 0⎞
Q
−1
AQ
=
⎜ ⎜
1
1
⎟ 0⎟
(α1,α2,α3 )−1 A(α1,α2,α3 )⎜⎠
⎜ ⎝
0
3
1
2
1
3
⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(5)设 a1 = ⎜ 0 ⎟, a2 = ⎜ 1 ⎟, a3 = ⎜ −1⎟, a4 = ⎜ 1 ⎟ , c1, c2, c3, c4 为任意常数,
⎜⎝ c1 ⎟⎠
⎜⎝ c2 ⎟⎠
⎜⎝ c3 ⎟⎠
⎜⎝ c4 ⎟⎠
则下列向量组线性相关的是( )
∂x
∂y
f
(x,
y)
=
(x3
−x2+ y2
− 3x)e 2
,
f
x2+ y2
( x,
【2012考研必备资料】高等数学知识点归纳.
【2012考研必备资料】高等数学知识点归纳第一讲: 极限与连续一. 数列函数:1. 类型:(1数列: *; *(2初等函数:(3分段函数: *; *;*(4复合(含函数:(5隐式(方程:(6参式(数一,二:(7变限积分函数:(8级数和函数(数一,三:2. 特征(几何:(1单调性与有界性(判别; (单调定号(2奇偶性与周期性(应用.3. 反函数与直接函数:二. 极限性质:1. 类型: *; *(含; *(含2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量:3. 未定型:4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论:, , ,, , , ,,四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当时,; ; ;; ; ;;2. 泰勒公式:(1;(2;(3;(4;(5.五. 常规方法:前提: (1准确判断(其它如:; (2变量代换(如:1. 抓大弃小,2. 无穷小与有界量乘积 ( (注:3. 处理(其它如:4. 左右极限(包括:(1; (2; ; (3分段函数: , ,5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小(注: 非零因子6. 洛必达法则(1先”处理”,后法则(最后方法; (注意对比: 与(2幂指型处理: (如:(3含变限积分;(4不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项: 处理和式中的无穷小8. 极限函数: (分段函数六. 非常手段1. 收敛准则:(1(2双边夹: *, *(3单边挤: * * *2. 导数定义(洛必达?:3. 积分和: ,4. 中值定理:5. 级数和(数一三:(1收敛, (如 (2,(3与同敛散七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶: *(1(22. 渐近线(含斜:(1(2,(3. 连续性: (1间断点判别(个数; (2分段函数连续性(附:极限函数, 连续性八. 上连续函数性质1. 连通性: (注:, “平均”值:2. 介值定理: (附: 达布定理(1零点存在定理: (根的个数;(2.第二讲:导数及应用(一元(含中值定理一. 基本概念:1. 差商与导数: ;(1 (注:连续(2左右导: ;(3可导与连续; (在处, 连续不可导; 可导2. 微分与导数:(1可微可导; (2比较与的大小比较(图示;二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注:2. 法则: (1四则运算; (2复合法则; (3反函数三. 各类求导(方法步骤:1. 定义导: (1与; (2分段函数左右导; (3(注: , 求:及的连续性2. 初等导(公式加法则:(1, 求:(图形题;(2, 求: (注:(3,求及 (待定系数3. 隐式(导:(1存在定理;(2微分法(一阶微分的形式不变性.(3对数求导法.4. 参式导(数一,二: , 求:5. 高阶导公式:; ;;注: 与泰勒展式:四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线; (区别: 上点和过点的切线2. 物理: (相对变化率速度;3. 曲率(数一二: (曲率半径, 曲率中心, 曲率圆4. 边际与弹性(数三: (附: 需求, 收益, 成本, 利润五. 单调性与极值(必求导1. 判别(驻点:(1 ; ;(2分段函数的单调性(3零点唯一; 驻点唯一(必为极值,最值.2. 极值点:(1表格(变号; (由的特点(2二阶导(注(1与的匹配(图形中包含的信息;(2实例: 由确定点“”的特点.(3闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优3. 不等式证明((1区别: *单变量与双变量? *与?(2类型: *; **; *(3注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如:4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点(必求导!:1. 表格; (2. 应用: (1泰勒估计; (2单调; (3凹凸.七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点1. 结论:2. 辅助函数构造实例:(1(2(3(4;3. 有个零点有个零点4. 特例: 证明的常规方法:令有个零点(待定5. 注: 含时,分家!(柯西定理6. 附(达布定理: 在可导,,,使:八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ; (2. 估计:九. 泰勒公式(连接之间的桥梁1. 结论: ;2. 应用: 在已知或值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义: [注:有定积分(不含变限条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念:1. 原函数:(1; (2; (3注(1(连续不一定可导;(2 (连续2. 不定积分性质:(1;(2;二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性3. 凑微法(基础: 要求巧,简,活(如:4. 变量代换:(1常用(三角代换,根式代换,倒代换:(2作用与引伸(化简:5. 分部积分(巧用:(1含需求导的被积函数(如;(2“反对幂三指”:(3特别: (*已知的原函数为; *已知6. 特例: (1; (2快速法; (3三. 定积分:1. 概念性质:(1积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续(2几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值*; *(3附: ,(4定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分的处理(重点(1可积连续, 连续可导(2; ;(3由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程问题3. 公式: (在上必须连续! 注: (1分段积分, 对称性(奇偶, 周期性(2有理式, 三角式, 根式(3含的方程.4. 变量代换:(1,(2 (如: (3,(4; ,(5,5. 分部积分(1准备时“凑常数”(2已知或时, 求6. 附: 三角函数系的正交性:四. 反常积分:1. 类型: (1 (连续(2: (在处为无穷间断2. 敛散;3. 计算: 积分法公式极限(可换元与分部4. 特例: (1; (2五. 应用: (柱体侧面积除外1. 面积,(1 (2;(3; (4侧面积:2. 体积:(1; (2(3与3. 弧长:(1(2(3:4. 物理(数一,二功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理:(1;(2, (以为周期:第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件2. 变换方程:(1令(如欧拉方程(2令(如伯努利方程3. 建立方程(应用题的能力二. 一阶方程:1. 形式: (1; (2; (32. 变量分离型:(1解法:(2“偏”微分方程: ;3. 一阶线性(重点:(1解法(积分因子法:(2变化: ;(3推广: 伯努利(数一4. 齐次方程:(1解法:(2特例:5. 全微分方程(数一: 且6. 一阶差分方程(数三:三. 二阶降阶方程1. :2. : 令3. : 令四. 高阶线性方程:1. 通解结构:(1齐次解:(2非齐次特解:2. 常系数方程:(1特征方程与特征根:(2非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: 的算子法(3由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一: , 令五. 应用(注意初始条件:1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积;注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分;可设3. 导数定义立方程:含双变量条件的方程4. 变化率(速度5.6. 路径无关得方程(数一:7. 级数与方程:(1幂级数求和; (2方程的幂级数解法:8. 弹性问题(数三第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件, (1(2(3 (判别可微性注: 点处的偏导数与全微分的极限定义:2. 特例:(1: 点处可导不连续;(2: 点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算:1. 显函数一,二阶偏导:注: (1型; (2; (3含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点:熟练掌握记号的准确使用3. 隐函数(由方程或方程组确定:(1形式: *; * (存在定理(2微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性: (要求: 二阶导(3注: 与的及时代入(4会变换方程.三. 二元极值(定义?;1. 二元极值(显式或隐式:(1必要条件(驻点;(2充分条件(判别2. 条件极值(拉格朗日乘数法 (注: 应用(1目标函数与约束条件: , (或: 多条件(2求解步骤: , 求驻点即可.3. 有界闭域上最值(重点.(1(2实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作:(1,(2对称性(熟练掌握: *域轴对称; *奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标;(3“分块”积分: *; *分片定义; *奇偶2. 计算(化二次积分:(1直角坐标与极坐标选择(转换: 以“”为主;(2交换积分次序(熟练掌握.3. 极坐标使用(转换:附: ; ;双纽线4. 特例:(1单变量: 或(2利用重心求积分: 要求: 题型, 且已知的面积与重心5. 无界域上的反常二重积分(数三五: 一类积分的应用(:1. “尺寸”: (1; (2曲面面积(除柱体侧面;2. 质量, 重心(形心, 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三一. 级数概念1. 定义: (1, (2; (3 (如注: (1; (2(或; (3“伸缩”级数:收敛收敛.2. 性质: (1收敛的必要条件: ;(2加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论;(3;二. 正项级数1. 正项级数: (1定义: ; (2特征: ; (3收敛(有界2. 标准级数: (1, (2, (33. 审敛方法: (注:,(1比较法(原理:(估计, 如;(2比值与根值: * * (应用: 幂级数收敛半径计算三. 交错级数(含一般项: (1. “审”前考察: (1 (2; (3绝对(条件收敛?注: 若,则发散2. 标准级数: (1; (2; (33. 莱布尼兹审敛法(收敛?(1前提: 发散; (2条件: ; (3结论: 条件收敛.4. 补充方法:(1加括号后发散, 则原级数必发散; (2.5. 注意事项: 对比; ; ; 之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式:(1, (2, (32. 阿贝尔定理:(1结论: 敛; 散(2注: 当条件收敛时3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备注(1与同收敛半径(2与之间的转换4. 幂级数展开法:(1前提: 熟记公式(双向,标明敛域;;(2分解: (注:中心移动 (特别:(3考察导函数:(4考察原函数:5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换: (1(2,(注意首项变化(3,(4的微分方程(5应用:.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三:(1复利: ; (2现值:五. 傅里叶级数(数一: (1. 傅氏级数(三角级数:2. 充分条件(收敛定理:(1由(和函数(23. 系数公式:4. 题型: (注:(1且(分段表示(2或(3正弦或余弦*(4(*5.6. 附产品:第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一一. 向量基本运算1. ; (平行2. ; (单位向量(方向余弦3. ; (投影:; 垂直:; 夹角:4. ; (法向:; 面积:二. 平面与直线1.平面(1特征(基本量:(2方程(点法式:(3其它: *截距式; *三点式2.直线(1特征(基本量:(2方程(点向式:(3一般方程(交面式:(4其它: *二点式; *参数式;(附: 线段的参数表示: 3. 实用方法:(1平面束方程:(2距离公式: 如点到平面的距离(3对称问题;(4投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备1. 曲面(1形式: 或; (注: 柱面(2法向 (或2. 曲线(1形式, 或;(2切向: (或3. 应用(1交线, 投影柱面与投影曲线;(2旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转; (3锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面:2. 球面:变形: , ,,3. 锥面:变形: ,4. 抛物面: ,变形: ,5. 双曲面:6. 马鞍面: , 或五. 偏导几何应用1. 曲面(1法向: , 注: (2切平面与法线:2. 曲线(1切向:(2切线与法平面3. 综合: ,六. 方向导与梯度(重点1. 方向导(方向斜率:(1定义(条件:(2计算(充分条件:可微:附:(3附:2. 梯度(取得最大斜率值的方向:(1计算:;(2结论;取为最大变化率方向;为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一一. 三重积分(1. 域的特征(不涉及复杂空间域:(1对称性(重点: 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心(2投影法:(3截面法:(4其它: 长方体, 四面体, 椭球2. 的特征:(1单变量, (2, (3, (43. 选择最适合方法:(1“积”前: *; *利用对称性(重点(2截面法(旋转体: (细腰或中空, , (3投影法(直柱体:(4球坐标(球或锥体: ,(5重心法(:4. 应用问题:(1同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力(2公式二. 第一类线积分(1. “积”前准备:(1; (2对称性; (3代入“”表达式2. 计算公式:3. 补充说明:(1重心法: ;(2与第二类互换:4. 应用范围(1第一类积分(2柱体侧面积三. 第一类面积分(1. “积”前工作(重点:(1; (代入(2对称性(如: 字母轮换, 重心(3分片2. 计算公式:(1(2与第二类互换:四: 第二类曲线积分(1: (其中有向1. 直接计算: ,常见(1水平线与垂直线; (22. Green公式:(1;(2: *换路径; *围路径(3(但内有奇点(变形3. 推广(路径无关性:(1(微分方程(道路变形原理(2与路径无关(待定: 微分方程.4. 应用功(环流量: (有向,,五. 第二类曲面积分:1. 定义: , 或 (其中含侧2. 计算:(1定向投影(单项: , 其中(特别:水平面;注: 垂直侧面, 双层分隔(2合一投影(多项,单层:(3化第一类(不投影:3. 公式及其应用:(1散度计算:(2公式: 封闭外侧, 内无奇点(3注: *补充“盖”平面:; *封闭曲面变形(含奇点4. 通量与积分:(有向,,六: 第二类曲线积分(2:1. 参数式曲线: 直接计算(代入注(1当时, 可任选路径; (2功(环流量:2. Stokes公式: (要求: 为交面式(有向, 所张曲面含侧(1旋度计算:(2交面式(一般含平面封闭曲线: 同侧法向或; (3Stokes公式(选择:(化为; (化为; (化为。
2012年考研高数一真题及解析
4n 2 4n 3 2 n x 2n 2n . x ( 2 n 1 ) x 2 2n 1 n 0 n 0 n 0 2n 1
由于
1 x2 x 2n 2 n 1 (1 x 1) = ( 2 n 1 ) x ( x ) ( ) (1 x 2 ) 2 1 x2 n 0 n 0
向量组线性相关的为 (A) 1 , 2 , 3 (B) (C)
1,2 ,4
(C) 1 , 3 , 4
1
(D)
2 ,3 ,4
1 0 0 (6) 设 A 为 3 阶矩阵, P 为三阶可逆矩阵,且 P AP 0 1 0 , P (1,2 ,3 ) , 0 0 2
1 2
y( x 1)e , B f xy
2
x2 y2 2
x( y 1)e ,C f yy
2
1 2
x2 y 2 2
……6 分
2 1 在点(1,0)处,由于 B AC 2e 0 , A 2e
0,
……8 分
1 2
故 f (1,0) e
sin 2 tdt
0 2 0
……9 分 ……10 分
1 4
(19) (本题满分 10 分) 已知 L 是第一象限中从点 (0, 0) 沿圆周 x2 y2 2x 到点 (2, 0) ,再沿圆周 x2 y 2 4 到点 (0, 2) 的曲线段,计算曲线积分 I
3x
(A)
(B)
0 0 2
2 0 0 (D) 0 2 0 0 0 1
与参数为 4 的指数分布,则 (A) (D)
2012年考研数学重要知识点
2012年考研数学备考有些考⽣已进⼊⾸轮复习阶段,建议考⽣要做的是全⾯整理基本概念、定理、公式,初步总结复习重点,把握命题基本题型,为强化期的复习打下坚实基础。
下⾯是⾼等数学、线性代数、概率论与数理统计三个部分⽐较重要的知识点。
微积分 ⼀、函数、极限、连续 1.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 2.复合函数、反函数、分段函数和隐函数 3.基本初等函数的性质及其图形 4.数列极限与函数极限的定义及其性质 5.函数的左极限和右极限 6.⽆穷⼩量和⽆穷⼤量的概念及其关系 7.⽆穷⼩量的性质及⽆穷⼩量的⽐较 8.极限的四则运算极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则 9.两个重要极限 10.函数连续的概念 11.函数间断点的类型 12.闭区间上连续函数的性质 ⼆、⼀元函数微分学 1.导数和微分的概念 2.函数的可导性与连续性之间的关系 3.平⾯曲线的切线和法线⽅程 4.导数和微分的四则运算 5.基本初等函数的导数 6.复合函数、反函数、隐函数数的微分法 7.⾼阶导数⼀阶微分形式的不变性 8.微分中值定理 9.洛必达(L’Hospital)法则 10.函数单调性、极值 11.函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 12.函数的值与最⼩值 三、⼀元函数积分学 1.原函数和不定积分的概念,不定积分的基本性质 2.基本积分公式 3.定积分的概念和基本性质,定积分中值定理 4.积分上限的函数及其导数 5.⽜顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 6.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 7.反常(⼴义)积分 8.定积分的⼏何应⽤(平⾯图形的⾯积、旋转体的体积) 四、多元函数微积分学 1.⼆元函数的极限与连续的概念 2.多元函数的偏导数和全微分,全微分存在的必要条件和充分条件 3.多元复合函数、隐函数的求导法 4.⼆阶偏导数 5.多元函数的极值和条件极值 6.多元函数的值、最⼩值及其简单应⽤ 7.⼆重积分的概念、性质、计算 五、⽆穷级数 1.常数项级数的收敛与发散的概念,收敛级数的和的概念 2.级数收敛的基本性质与收敛的必要条件 3.⼏何级数与级数及其收敛性 4.正项级数收敛性的判别法 5.交错级数与莱布尼茨定理 6.任意项级数的绝对收敛与条件收敛 7.幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域 8.幂级数在其收敛区间内的基本性质 9.简单幂级数的和函数的求法 10.初等函数的幂级数展开式 六、常微分⽅程与差分⽅程 1.变量可分离的微分⽅程 2.齐次微分⽅程 3.⼀阶线性微分⽅程 4.线性微分⽅程解的性质及解的结构定理 5.⼆阶常系数齐次线性微分⽅程 6.简单的⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程 7.差分⽅程的通解与特解 8.⼀阶常系数线性差分⽅程 线性代数 ⼀、⾏列式 1.⾏列式的概念和基本性质 2.⾏列式按⾏(列)展开定理 ⼆、矩阵 1.矩阵的线性运算、乘法运算 2.⽅阵的幂 3.⽅阵乘积的⾏列式 4.矩阵的转置 5.逆矩阵的概念和性质,矩阵可逆的充分必要条件 6.伴随矩阵 7.矩阵的初等变换,初等矩阵,矩阵的等价 8.矩阵的秩 9.分块矩阵及其运算 三、向量 1.向量的线性组合与线性表⽰ 2.向量组的线性相关与线性⽆关 3.向量组的极⼤线性⽆关组 4.等价向量组 5.向量组的秩 6.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 7.向量的内积 8.线性⽆关向量组的的正交规范化⽅法 四、线性⽅程组 1.线性⽅程组的克莱姆(Cramer)法则 2.齐次线性⽅程组有⾮零解的充分必要条件 3.⾮齐次线性⽅程组有解的充分必要条件 4.线性⽅程组解的性质和解的结构 5.齐次线性⽅程组的基础解系和通解 6.⾮齐次线性⽅程组的通解 五、矩阵的特征值和特征向量 1.矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 2.相似矩阵的概念及性质 3.矩阵可相似对⾓化的充分必要条件及相似对⾓矩阵 4.实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对⾓矩阵 六、⼆次型 1.合同变换与合同矩阵 2.⼆次型的秩,⼆次型的标准形和规范形 3.⽤正交变换和配⽅法化⼆次型为标准形 4.⼆次型及其矩阵的正定性 概率论与数理统计 ⼀、随机事件和概率 1.事件的关系与运算,完备事件组 2.概率的概念、基本性质 3.古典型概率 4.⼏何型概率 5.条件概率 6.概率的基本公式 7.事件的独⽴性 8.独⽴重复试验 ⼆、随机变量及其分布 1.随机变量分布函数的概念及其性质 2.离散型随机变量的概率分布 3.连续型随机变量的概率密度 4.常见随机变量的分布 5.随机变量函数的分布 三、多维随机变量及其分布 1.⼆维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 2.⼆维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 3.随机变量的独⽴性和不相关性 4.常⽤⼆维随机变量的分布 5.两个及两个以上随机变量简单函数的分布 四、随机变量的数字特征 1.随机变量的数学期望(均值)、⽅差、标准差及其性质 2.随机变量函数的数学期望 3.矩、协⽅差、相关系数及其性质 五、⼤数定律和中⼼极限定理 1.切⽐雪夫(Chebyshev)不等式 2.切⽐雪夫⼤数定律、伯努利(Bernoulli)⼤数定律、⾟钦(Khinchine)⼤数定律 3.棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-laplace)定理、列维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理 六、数理统计的基本概念 1.总体、个体、简单随机样本,统计量 2.样本均值、样本⽅差和样本矩 3. 分布、分布、分布 4.分位数 5.正态总体的常⽤抽样分布 七、参数估计 1.矩估计法 2.似然估计法 最后祝愿复习2012年考研的同学们能够复习顺利!。
2012-2014考研数学(一)知识点分布
2012年真题
2013年真题
2014年真题
试题量
分值
试题量
分值
试题量
分值
试
题
分
值
选择题
2道
8分
2道
8分
2道
8分
填空题
1道
4分
1道
4分
1道
4分
解答题
2道
22分
2道
22分
2道
22分
考查知识点
选择题
(1)二维随机变量的概率计算
(2)相关系数
(1)正态分布
(2)t分布、F分布
(1)概率的基本公式
填空题
矩阵的秩
行列式的计算
惯性指数
解答题
(1)行列式的计算、求非齐次线性方程组的通解
(2)二次型的标准形
(1)矩阵的计算
(2)二次型的表示、标准形
(1)齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解
(2)矩阵可相似对角化的充要条件
最后看一下概率论与数理统计,这一部分的试题量和分值在考研真题中所占比例与线性代数一样,也分别为22%和23%,比重虽然不大,但很容易与其他考生在考分上拉开距离。
2012-2014年考研数学一高等数学题型及知识点分布表
题型/知识点分布
2012年真题
2013年真题
2014年真题
试题量
分值
试题量
分值
试题量
分值
试
题
分
值
选择题
4道
16分
4道
16分
4道
16分
填空题
4道
16分
4道
16分
4道
2012考研数学一真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线221x xy x +=-渐近线的条数为()(A )0 (B )1 (C )2 (D )3(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---,其中n 为正整数,则'(0)f = (A )1(1)(1)!n n --- (B )(1)(1)!n n -- (C )1(1)!n n -- (D )(1)!n n - (3)如果(,)f x y 在()0,0处连续,那么下列命题正确的是( ) (A )若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (B )若极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C )若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在 (D )若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在 (4)设2kx k eI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D(A )I 1< I 2 <I 3.(B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1, (D) I 1< I 2< I 3.(5)设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的是( )(A )123,,ααα (B )124,,ααα (C )134,,ααα (D )234,,ααα(6)设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1112P AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,()123,,P ααα=,()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=( ) (A )121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )112⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭(C )212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D )221⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭(7)设随机变量x 与y 相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则{}=<y x p ()1124()()() ()5355A B C D(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为()1)(21)(21)(1)(--D C B A 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题..纸.指定位置上. (9)若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+,则)(x f =________。
2012数学一考研真题答案解析
2012年全国硕士研究生考试数学一试题答案解析一、 选择题1. 解析:C由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线12.)3.4. 解析: D22222111sin |sin |.xxI I e xdx I ex dx I ππππ=+=-<⎰⎰2223312|sin |sin .xxI I ex dx e xdx ππππ=-+⎰⎰而2232()2sin sin xt e xdx x t etdt ππππππ+=+-⎰⎰2222()|sin ||sin |.x xex dx ex dx πππππ+=>⎰⎰31312..I I I I I ∴>∴>>5. 解析:C343400c c αα⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例.6.110111010012012 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭7. 解析:A~(1)X E ,,0~(4)()0,x x e x Y E f x x -⎧>⇒=⎨≤⎩.4,40()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩.,X Y ∴独立.44,0,0(,)0,x y e e x y f x y --⎧>>∴=⎨⎩其他8.cov(,)(1)(1)X Y EX X EX E x =---2()[1]E X X EX EX =--- 22()EX EX EX EX =-+ 22()EXEX DX =-+=-1ρ∴=,选项D二、 填空题1. 解析:212202,1λλλλ+-=⇒=-=212()()2()0(),xxf x f x f x f x C e C e -"+'-=⇒=+代入12()()20, 1.xf x f x e C C '+===得2.3.4.121,:1(0,0)z x y D x y x y =--+≤≥≥112222x Dy ds y dx y dy δ-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰1134(1)(1)31212x dx x =-=--=⎰5. 解析:2.设2,TA E XX A A =-=()() 3.r A r E A ⇒+-=()()()1Tr E A r XX r X -=== () 2.r A ∴=6.11xx --2211lnsin 11x x x x xx++=+--- 01x <<时. 1ln01x x+>-,2211x x x x+≥-,又sin x x ≤.()0x ϕ∴>’;10x -<<时,1ln01x x+<-,2211x x x x+≤-,又sin x x ≥.()0x ϕ∴<’.0x ⇒=为()x ϕ在(-1,1)内最小点,而ϕ(0)=0 ∴当-1<x<1时. ϕ()0x ≥,即21x x+20A C B -> 且0A >,0y ∴⎨=⎩为极小点.极小值为12(1,0).f e--=-当1x y =⎧⎨=⎩时,11222,0,,A e B C e --=-==-2100,0x AC B A y =⎧-><∴⎨=⎩ 且为极大点 极大值为12(1,0)f e -=3. 解: 由1lim1n x na a +→∞=得R =1.当∴令n ==n ∞=⎛= ⎝⎛= ⎝当当x ≠0时,xS 1(x )=021n n =+∑[]2121()1nn xS x xx∞===-∑’111111()ln,()ln.2121x x xS x S x xxx++=∴=--223,0()111ln ,110(1)1x S x x xx x x x x =⎧⎪∴=++⎨+-<<≠⎪--⎩且4. 解析: ①/sin ./()dy dy dt t k dxdx dtf t -==='x ⇒ (f ②=⎰5. 解析:012:0(2,0)L L L L x y y I +====-⎰⎰22(313)x x d =+-σ=⎰2d dx σ=-而20⎰∴∴∴((当1a =时,A =11 0 0 1⎛⎫ ⎪0 1 1 0 -1⎪ ⎪0 0 1 1 0 ⎪1 0 0 1 0⎝⎭→100120101100110000⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭通解为12111010x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当1a =-时.A 11001100100110101011001100011011000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭通解为10111010x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7. 解析:A T A=1010010111a a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭1010111001a a⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭22201011113a aa a aa -⎛⎫⎪=+-⎪ ⎪--+⎝⎭TT(A A )x x 秩为2. ∴TT(A A )2((A A )(A )2)r r r ===也可以利用 ⇒TA A 01a =⇒=- ( T22A A (3)(1)a a =++)(II)令T202A A =B =022224⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 由E λ-20-2λ-B =0λ-2-2-2-2λ-4=λ(λ-2)(λ-6)=0解λ当λ当λ当λ取r 令2223111.12026Q f x x x Q y y y T=-⎝=B = +8. 解析:(1)(2)=X ∴D 2222cov(,)13333X Y Y -=-⨯-=-.9. 解析:22~(,),~(,2)X N Y N μσμσ,,X Y 独立,0σ>,未知Z X Y =-. 解:(1)Z 的密度2(,)f z σ22~(,),~(,2),,X N Y N X Yμσμσ独立.2~(0,3)Z X Y Nσ=-22222236(,)z zf zσσσ--⋅∴==(2)设1nZ Z…样本.2n2~(0,3)iZ Nσ,~(0,1)ZN-∴,iZ是简单随机样本.221~(),niZnχ=⎛⎫⎝∑223iZE nσ∑∴=,223iE Z nσ∑=.。
高数定理定义归纳
2012年考研数学高数定理定义归纳第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界,K1为下界;如果有f(x)≤K2,则有上界,K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发散的,如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中00(或A0(或f(x)>0),反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等,即f (x0-0)=f(x0+0),若不相等则limf(x)不存在。
一般的说,如果lim(x→∞)f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞,则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x →0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件:yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立。
2012考研数一真题答案及详细解析
2012年(数一)真题答案解析一、选择题Cl) C解函数y=X +x x z —l 的间断点为x =土l 由lim y =lim x 2 +x 工]X 丑Cx +l)(x�, ==, 故X =l 是垂直渐近线.又lim y =lim X (x+ l ) 1 =—,故X =-l 不是渐近线.工-I 工-1(x + 1) (x -1) 2 考察x -=时函数的极限1 —+1X 由lim y = lim = 1 , 故y =l 是水平渐近线.x-=工-= 1 1-—X 2 y 2因为lim —=limx +x =O, 故无斜渐近线.工-00X x -00 X (x 2 -1) 故应选C,有2条渐近线.(2)A解J '(x)=矿(e 红-2)(e 3x —3)…(e"x -n ) + (e x -1) (2 e 2x ) (e 3x -3)…(e 杠-n )+……+ce—l)(e 2x -2)(e 3x -3)···(ne 杠)当X =O 时e 工—1=0故J '(0) = 1• (1—2) (1 -3)…0-n )=(—l)n -1 (n —1) ! 故应选A .(3)Bf (x,y) 解A项用枚举法:设f (x,y )=l x l +I Y I 则lim x -。
l x l +I Y I 存在,y 一o 但儿(0,0),儿(0,0)都不存在即f (x,y )在(0,0)处不可微.A错误B项.由lim f (x,y) 工-o x z + y z =AC存在),则lim f (x,y ) =0, x 一o y-0 y 一0又f (x ,y )在点(0,0)处连续,故f (O,O )=0; X -0 且时f(x,y )是x 2+ y z 的高阶无穷小y-o:. lim f (x,y )—f (O,O ) f (x ,y) =lim =O.B 正确芦心2+ y 2�=g 心:2 + y 2 C、D项用枚举法.f (x,y )=x 满足条件,但lim f (x ,y) f (x ,y) 与lim 2 芦gl x l +I Y I�二g X + y 2 错误.故应选B.(4)D均不存在故C、D 解I 2 =『:六矿sin x d x =『矿sin x d x +厂矿sinxdx=!1 +厂矿sinxd x O 兀又兀<x<加时e x 2sin x < 0故厂心血d x < o 故l2< l1Ia =厂矿sinx dx =厂矿sinxdx +厂矿sinx dx = 12 +厂产sinx dx 0 02又纭<x<玩时e "'2sinx > 0 故厂矿si nx dx > 0 故12< Ia, Ia =厂尸sinx dx = I: 矿sinx dx +厂矿sinx dx = 11 +厂产sinx dx 厂e x 2si n x d x =『六e 工2sinx d x + f "矿sinx dx =『lt穴矿sin .x d x +『穴"e"五)'sin (t +:)d(t +亢)=厂矿sinx dx --J : e <工妇)2 si n xdx = J: [e 工2_ e (x 五)2 ]sin x d x > 0:. 13 > I 1 综上I a>I 1 > 12. 故应选D .(5)C解0 1 -1 l a 1,a3,a4I = O -1 1 =C11 C1 c3 c4 1 -1 =O-1 1 故U1,U3,U4线性相关.故应选C.(6)B 1 O O 1 O 0 解Q =(a,+a,,a,心)=(a,,a,,a,+ I o ]=+ I o ] 0 0 1 0 0 1 Q 一'A Q = [i � �r P -'A P[三三子]=[—又��][1 I J [上三�]=[I I J 故应选B.(7)A e -x,X>0,解八(x)= { o,X¾O , 由X,Y相互独立,故fy (y )=t e 五,y>O ,o , y�o. f (x ,y ) =八(x )•八(y )= {4e 玉如,x>O ,y>O , 0 ' 其他P{X<Y}= JI f (x ,y )d xd y= II 4e 玉+4y )dx d y (8)D <y 1 5.故应选A.解设两段木棒的长度为x,y 则X +y =1⇒ y =-x + 1由定理:若y =a x +b 则I P x Y I = 1,若心a <O则p xy = -1,®a >O 则p xy = 1.故px y =—1. 故应选D.1 2 .. l +x(l —X)2 s m x -x l —xl+x + 2x =l n-s m x -x l —X Cl+工:)(1—x) l+x =l n +x 1—x 1 +x 1 1 =l n1 十—sm x —x -x l —x I+x XE (O,l) /} 1 } } f (x) = + + + -cosx —1l+x 1—.r (1—x)2 O +x )2 x E (0,1)1 广(x)=—+ 12 2 —+O+x)2 Cl-x)2 (1—x)3 Cl+x)3 + s inx x E (0 , 1)因为O< 1 1 1 X <}时,>o, 1 (l-x)2-(l+x )2 (1-x)3-(l+x )3 > O,sinx > 0,故J"(x)> 0.又因为J'(x)在[O'1)是连续的,故J'(x)在[0,1)上是单调增加的,f I (X ) > f I (0) = 2 > 0 同理,f(x )在[O,1)上也是单调增加的,f(x )>f(O)=O,故F(x)在[O,1)上是单调增加的,F(x)> F (O) =O; 又因为F(x )是偶函数,则F(x)> O ,x E (—1,1) ,x #-0. 又因为F(O)=O, 故F(x )�o,即原不等式成立,证毕.(16)解先求出驻点叮^迁王丑+Y 2,-2+_v 2 —=e 一一+x e ——亡• (—x)=Cl -x 2)e-—广0.2 、丿。
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钻石卡辅导:2012考研数学重要知识点解析之高等数学(一)
万学海文
在考研数学复习开始之前,万学海文数学考研辅导专家们提醒2012年的考生们要对考研数学的基本命题趋势和试题难度有比较深刻的认识,根据自己对考研数学的定位,要做到有的放矢的复习,才能达到事半功倍的效果。
复习备考的主要策略:紧扣考纲,扎实基础,注重联系,加强训练。
本文万学海文钻石卡辅导老师们主要阐述如何在复习当中紧扣考纲。
考研数学作为标准化考试,其命题范围有明确的规定,2012年考生基础阶段复习主要就是依据考试大纲,详细了解考试的基本要求,类别和难度特点,准确定位。
我们以数一中第一章为例:
一、函数、极限、连续
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:
0sin lim 1x x
x →= 1lim 1x
x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭
函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
考试要求
1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系.
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.
3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.
4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.
5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.
6.掌握极限的性质及四则运算法则.
7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.
考试内容中给考生列出了第一章的考试知识点,所以考生在复习过程中首先要弄懂这些知识点。
考试要求中标明了对各个知识点的掌握所应该能够达到的程度,一般分为了解、理解、会、掌握,几个层次。
了解:指对该知识点的含义要很清楚,一般在数学中指的是概念、公式、性质、定理及推论等知识内容。
比如:了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
但是并不是说了解的内容就只是了解这些性质,知道这些知识点就行了,有人错误的认为了解的知识一般不会考,这种认识是错误的,只要是在考试大纲中
出现的考试内容都有可能考到,甚至对要求了解的知识点考的也比较深入。
理解:指要对知识点懂且认识的很清楚。
在考研数学当中主要指对概念、定理、推理的知识点及知识点之间的关系。
在这里万学海文钻石卡辅导老师提醒2012年得考生要注意了解和理解的区别,了解偏重于知道,理解在了解的基础上增加了懂得和能够体会其深层次的意思;理解也就是从表到里深层递进的含义。
在考研数学大纲中要求理解的知识点考查的较多,比如:理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系等几乎每年必考.
会(求、计算、建立、应用、判断等):其含义为理解、懂得,并根据所学知识能够计算表达式结果、列出方程、画出图形、建立数学模型等。
在考研数学大纲中对知识点要求会求、会计算、会建立方程表达式、会描绘等,主要指计算方法、知识点的灵活运用测试的要求;万学海文数学钻石卡辅导老师提醒大家学习时不仅要记住、理解定理还要会推导,才达到会求解的程度。
掌握:了解、熟知并加以运用。
在考研数学大纲中所有知识点的要求中掌握的层次是最高的,要求掌握的知识点往往是考试的重点、热点和难点,比如:掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法等都是每年真题中涉及的内容;万学海文钻石卡老师建议2012年得考生在学习时对于大纲要求掌握的知识点不仅要掌握知识点本身还要学习它的推理、证明以及解题时经常用到的结论,同时还要注意与该知识点相关联的知识点及它们之间的关系。
在了解了考研数学大纲内容及要求之后我们就可以有的放矢的进行复习了。
古人云:“凡事预则立,不预则废”,这为我们下面能够扎实复习打开了一个美丽的开端。