泊松分布ppt课件
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《条件泊松过程》课件
缺点
假设限制
条件泊松过程有一定的假设限制，如泊松分布的假设 ，这可能不适用于所有情况。
数据适应性
对于非平稳数据，条件泊松过程可能无法很好地拟合 数据。
计算效率
对于大规模数据，条件泊松过程的计算效率可能较低 ，需要优化算法。
未来研究方向
扩展模型
研究如何将条件泊松过程的优点与其他模型相 结合，以扩展其应用范围。
plt.show() ```
04
条件泊松过程在金融中的 应用
股票价格模拟
要点一
总结词
通过模拟股票价格的动态变化，条件泊松过程可以帮助理 解市场行为和预测未来价格走势。
要点二
详细描述
条件泊松过程可以模拟股票价格的连续变化，考虑历史数 据和当前市场环境，为投资者提供更准确的股价预测。
期权定价
总结词
利用条件泊松过程，可以更准确地为期权定价，考虑了 标的资产价格和波动率的动态变化。
详细描述
在期权定价模型中，条件泊松过程可以更好地描述标的 资产价格的跳跃和波动，从而更准确地计算期权的价值 。
风险评估
总结词
通过模拟市场风险因素，条件泊松过程可以帮助金融 机构评估潜在的市场风险和信用风险。
详细描述
利用条件泊松过程模拟市场风险因素，金融机构可以 更准确地评估投资组合的风险水平，制定相应的风险 管理策略。
《泊松分布》PPT课件
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14wenku.baidu.com
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交通流参数的泊松分布 ppt课件
1.直接计算概率法 根据Poisson分布的概率分布列计算概
率或累积概率，并依据小概率事件原理 ，作出统计推断。
ppt课件
23
[例]某罕见非传染性疾病的患病率一般为15 ／10万，现在某地区调查1000人，发现阳性 者2人，问此地区患病率是否高于一般。
解：H0：此地区患病率与一般患病率相等； H1：此地区患病率高于一般患病率；
)k
n
lim
n
P
(
xn
k)
k
k!
e
1 ppt课件
e
1 17
(六）Poisson分布的应用
一)总体均数的估计 1. 点估计： • 直接用单位时间(空间或人群)内随机事件
发生数X(即样本均数)作为总体均数μ的估 计值。
ppt课件
18
2. 区间估计
（1）正态近似法（X>50） 当Poisson分布的观察单位为n=1时：
k!(n k)! n n
nn
[
o(1)]k k!
[1
n
o(1) ]n n
n(n 1)(n k 1)
nk [1 o(1)]k
nn
[
o(1)]k k!
[1
n
o(1) ]n n
率或累积概率，并依据小概率事件原理 ，作出统计推断。
ppt课件
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[例]某罕见非传染性疾病的患病率一般为15 ／10万，现在某地区调查1000人，发现阳性 者2人，问此地区患病率是否高于一般。
解：H0：此地区患病率与一般患病率相等； H1：此地区患病率高于一般患病率；
)k
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n
P
(
xn
k)
k
k!
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1 ppt课件
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(六）Poisson分布的应用
一)总体均数的估计 1. 点估计： • 直接用单位时间(空间或人群)内随机事件
发生数X(即样本均数)作为总体均数μ的估 计值。
ppt课件
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2. 区间估计
（1）正态近似法（X>50） 当Poisson分布的观察单位为n=1时：
k!(n k)! n n
nn
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o(1)]k k!
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o(1) ]n n
n(n 1)(n k 1)
nk [1 o(1)]k
nn
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o(1)]k k!
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o(1) ]n n
第三章泊松过程PPT课件
P{TntT 1s1,T2s2, ,Tn1sn1} P{X(ts1s2 sn1)X(s1s2 sn1)0} et
即
F T n(t)P {T nt}1e t
所 以 对 任 一 T n ( n 1 ) ， 其 分 布 是 均 值 为 1 /的 指 数 分 布 。
定 理 3 .2 说 明 ， 对 于 任 意 n 1 ,2 , ， 事 件 A 相 继
假设损伤是可叠加的即在时刻t的损伤可表示为为仪器受到第k次震动的时刻求一位艾滋病血清检验呈阳性的患者在接受了抗逆转录病毒治疗之后恢复健康的机率增加了一倍甚至有的患者在接受治疗后将不再具有传染性
第三章 泊松过程
泊松过程是一类较为简单的时 间连续状态离散的随机过程。泊松 过程在物理学、地质学、生物学、 医学、天文学、服务系统和可靠性 理论等领域中都有广泛的应用。
P{X(s) 1}{X(t) X(s) 0} P{X(t) 1}
sese(t tet
s)
s t
即分布函数为
0,
FW1
X(t
)1(s)
s / t, 1,
s0 0 s t
st
这个结果可以推广到一般情况。
定理3.4 设{X(t),t0}是泊松过程，已知在[0,t]内事 件A发生n次，则这n次到达时间W1W2 Wn与 相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统 计量有相同的分布。
即
F T n(t)P {T nt}1e t
所 以 对 任 一 T n ( n 1 ) ， 其 分 布 是 均 值 为 1 /的 指 数 分 布 。
定 理 3 .2 说 明 ， 对 于 任 意 n 1 ,2 , ， 事 件 A 相 继
假设损伤是可叠加的即在时刻t的损伤可表示为为仪器受到第k次震动的时刻求一位艾滋病血清检验呈阳性的患者在接受了抗逆转录病毒治疗之后恢复健康的机率增加了一倍甚至有的患者在接受治疗后将不再具有传染性
第三章 泊松过程
泊松过程是一类较为简单的时 间连续状态离散的随机过程。泊松 过程在物理学、地质学、生物学、 医学、天文学、服务系统和可靠性 理论等领域中都有广泛的应用。
P{X(s) 1}{X(t) X(s) 0} P{X(t) 1}
sese(t tet
s)
s t
即分布函数为
0,
FW1
X(t
)1(s)
s / t, 1,
s0 0 s t
st
这个结果可以推广到一般情况。
定理3.4 设{X(t),t0}是泊松过程，已知在[0,t]内事 件A发生n次，则这n次到达时间W1W2 Wn与 相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统 计量有相同的分布。
泊松过程及例子PPT课件
| T1 s1,T2 s2,,Tn1 sn1}
P{在(s1 sn1, s1 sn1 t]内没有事件发生
P{X (s1 sn1 t) X (s1 sn1) 0}
P{X (t) X (0) 0} P{X (t) 0} et
第21页/共26页
这就证明了到达时间间隔序列 变量序列，且都具有相同均值为
s(t s) s (s)2 s(t 1)
BX (s,t) min(s,t)
特征函数为
gX (u) E[eiuX (t) ] exp{t(eiu 1)}
第17页/共26页
2．到达时间间隔和等待时间的分布
定义 设{ X (t) ，t 0 }为泊松过程， X (t) 表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数， Wi （i 1,2, ）表示事件第 i 次发生的等待时间
P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,(nt=)n0,1,2,…
故定义3.3蕴涵定义3.2.
n!
第15页/共26页
第二节 泊松过程的基本性质
一．数字特征
设{ X (t) ， t 0 }为泊松过程，对任意的 t, s [0, ), 且s t,有
E[X (t) X (s)] D[X (t) X (s)] (t s)
由于X (0) 0,故
mX (t) E[X (t)] E[X (t) X (0)] t X 2 (t) D[ X (t)] D[ X (t) X (0)] t
P{在(s1 sn1, s1 sn1 t]内没有事件发生
P{X (s1 sn1 t) X (s1 sn1) 0}
P{X (t) X (0) 0} P{X (t) 0} et
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这就证明了到达时间间隔序列 变量序列，且都具有相同均值为
s(t s) s (s)2 s(t 1)
BX (s,t) min(s,t)
特征函数为
gX (u) E[eiuX (t) ] exp{t(eiu 1)}
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2．到达时间间隔和等待时间的分布
定义 设{ X (t) ，t 0 }为泊松过程， X (t) 表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数， Wi （i 1,2, ）表示事件第 i 次发生的等待时间
P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,(nt=)n0,1,2,…
故定义3.3蕴涵定义3.2.
n!
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第二节 泊松过程的基本性质
一．数字特征
设{ X (t) ， t 0 }为泊松过程，对任意的 t, s [0, ), 且s t,有
E[X (t) X (s)] D[X (t) X (s)] (t s)
由于X (0) 0,故
mX (t) E[X (t)] E[X (t) X (0)] t X 2 (t) D[ X (t)] D[ X (t) X (0)] t
4.3.2泊松分布
生物统计学
二项分布
一、泊松分布：二项式分布的极限分布
二、分布参数
三、分布形状
一、泊松分布：二项式分布极限分布
应用二项式分布时，往往遇到一个概率p或q是很小
的值，例如小于0.1，另一方面n又相当大，这样以
上二项分布将为另一种分布所接近，或者为一种极
限分布。这一种分布称泊松概率分布，简称泊松分
布(Poisson distribution)。
二、分布参数
三、分布形状这一分布包括一个参
数m，由m的大小决
定其分布形状如图4.4。当m值小时分布呈很
偏斜形状，m增大后
则逐渐对称，趋近于
以下即将介绍的正态
分布
观察值：单位空间上的个数
例如，在一定面积上的害昆虫个数的分布；病害作物个数（单株数）的分布。
谢谢！
概率论与数理统计_11_泊松分布
练习1
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2
试求 PX 4．
练习1解答
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2
试求 PX 4．
解： 随机变量 X 的分布律为
PX k
P( X k )达到最大 ；
练习4
为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现 有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生 故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障 可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保 证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？
0.09022
练习2
设一个人在一年内的感冒次数服从参数 5的 Poisson 分布，现有一种预防感冒的药，它对 30%的人来说，可将上述参数 降为 （疗效 1 显著）；对另45%的人来讲，可将参数 降为
（疗效一般）；而对其 4 余25%的人来讲，则
是无效的．现某人服用此药一年，在这一年中， 他得了3次感冒，试求此药对他“疗效显著”的 概率．
k
由已知
PX 1 PX 2
k!
e
k 0， 1， 2，
练习1解答（续）
得 由此得方程 得解
1
1!
概率论与数理统计 泊松分布
概率论与数理统计
第11讲 泊松分布
张宏浩
泊松（Poisson） 分布
如果随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
k!
其中 0为常数
则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布．
记为 X ~ ().
分布律的验证
⑴ 由于 0 可知对任意的自然数 k，有
13
e1
0.45
3! 43 e4
0.25
53
e5
3!
3!
3!
0.1301
Poisson定理
设在 Bernoulli 试验中，以 pn 代表事件 A在试验 中发生的概率，它与试验总数 n有关．如果
则
lim
n
Cnk
lim
n
npn
pnk 1 pn nk
0
解：设 B={ 此人在一年中得3次感冒 }
A1 该药疗效显著 A2 该药疗效一般
A3 该药无效 则由Bayes公式，得
PA1
B
PA1
PB
A1
P A1 PB PA2 PB
A1 A2
PA3
PB
A3
0.30 13 e1
0.30
第11讲 泊松分布
张宏浩
泊松（Poisson） 分布
如果随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
k!
其中 0为常数
则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布．
记为 X ~ ().
分布律的验证
⑴ 由于 0 可知对任意的自然数 k，有
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e1
0.45
3! 43 e4
0.25
53
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3!
3!
3!
0.1301
Poisson定理
设在 Bernoulli 试验中，以 pn 代表事件 A在试验 中发生的概率，它与试验总数 n有关．如果
则
lim
n
Cnk
lim
n
npn
pnk 1 pn nk
0
解：设 B={ 此人在一年中得3次感冒 }
A1 该药疗效显著 A2 该药疗效一般
A3 该药无效 则由Bayes公式，得
PA1
B
PA1
PB
A1
P A1 PB PA2 PB
A1 A2
PA3
PB
A3
0.30 13 e1
0.30
泊松分布
形式与性质
阶乘特点以及泰勒公式使得一类期望的计算十分简便
感谢观看
wenku.baidu.com
推导
泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在 一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。
为方便记，设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n，把时间段[0,1)分为等长的n段： 我们做如下两个假定： 1.在每段内，恰发生一个事故的概率，近似的与这段时间的长成正比，可设为。当n很大时，很小时，在这 么短暂的一段时间内，要发生两次或者更多次事故是不可能的。因此在这段时间内不发生事故的概率为。 2.各段是否发生事故是独立的 把在[0,1)时段内发生的事故数X视作在n个划分之后的小时段内有事故的时段数，则按照上述两个假定，X应 服从二项分布。于是，我们有 注意到当取极限时，我们有 因此 从上述推导可以看出：泊松分布可作为二项分布的极限而得到。
分布特点
泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随 机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为 特征函数为
关系
泊松分布与二项分布 泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当 n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。
泊松分布的定义及图形特点.pptx
• Assume that you live in a district of
size 10 blocks by 10 blocks so that
the total district is divided into 100
small squares. How likely is it that the
分布 • 即 X~P(4) • 因此 P(X=0)=exp(-4)
• P(X=0)=(99/100)^400 • 可以计算(99/100)^400= 0.01795055328
• exp(-4)= 0.01831563889
2019-7-26
谢谢您的观赏
8
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
2019-7-26
谢谢您的观赏
3
泊松定理： 设 是一个正整数，
，则有
由此可知 设随机变量Xn~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则
P{X k} k e ,
k!
k 0,1,2,...
2019-7-26
下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.
2019-7-26
谢谢您的观赏
10
平稳性:
理解泊松分布ppt课件
❖ 我们用"卡方检验"（chi-square test），检验 观察值与期望值之间是否存在显著差异。
卡方统计量：x = Σ [ ( 观察值 - 期望值 ) ^ 2 / 期
望值 ] 实测频数
理论频数
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
在理论分布 已知的条件下,
npi是常量 14
美国枪击案的结论
10
美国枪击案的分布
❖ 根据资料，1982--2012年枪击案的分布情况 如下：
11
美国枪击案的分布
❖ 计算得到，平均每年发生2起枪击案，所以 λ = 2
上图中，蓝色的条形柱是实际的观察值，红色的虚线是理论的预期值。可以看到，
观察值与期望值还是相当接近的
12
美国枪击案的分布
13
美国枪击案的分布
2。
5
实例2-美国枪击案
❖ 去年12月，美国康涅狄格州发生校园枪击案， 造成28人死亡
6
美国枪击案统计资料
❖ 资料显示，1982年至2012年，美国共发生62 起（大规模）枪击案。其中，2012年发生了 7起，是次数最多的一年。
7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
美国枪击案的分布
❖ 去年有这么多枪击案，这是巧合，还是表明 美国治安恶化了？
❖ 在统计学上，只要某类事件满足上面三个条件，它就
第六章、二项与泊松分布ppt课件
可见未知总体率95%CI的下限介于 0.090与0.080之间，实际计算的结果 是0.087附近:当n=20,p=0.087, p(x≥5)=0.0255 ；如果总体率小于 0.087，那么p(x≥5)的值就会小于 0.025，在一次抽样的情况几乎不会 发生，所以p不可小于0.087
同理假设存在一个很大的总体率p2，使得从20个观察对象 中得到5个以及以下阳性数的可能性不算小概率事件，用 数学表达式表达为：x~B(20,p)且有p(x≤5)>0.025，求p最 大不得大于多少？图示如下
P(10≤x≤20)=60.2432821318786%
能否使用简单的方法计算累积概率呢？
二项分布的正态近似
回顾二项分布的图形特征，当np与n(1p)均大于 等于5时），二项分布B ( n, p)就接近正态分布
该正态分布的均数为二项分布的均数mx，标准差 为二项分布的标准差sx
即：观察阳性数x ~N (np, np(1-p))
P(x≤5) …… 0.031 0.026 0.021 0.017 ……
可见未知总体率95%CI的上限介于 0.49与0.50之间，实际计算的结果是 0.491附近:当n=20,p=0.491, p(x≤5)=0.02502 ；如果总体率大于 0.491，那么p(x≤5)的值就会小于 0.025，在一次抽样的情况几乎不会 发生，所以p不可大于0.491
泊松分布 ppt课件
对于独立增量过程,可以证明:在X(0)=0的条件下, 它的有限维分布函数可以由增量 X(t) – X(s) (0≤s<t)
的分布Baidu Nhomakorabea确定.
特别,若对任意的实数h和0 ≤s+h<t+h,X(t+h) X(s+h)与X(t)-X(s)具有相同的分布,则称增量具有
平稳性.这时,增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖 于时间差t-s(0≤s<t),而不依赖于 t 和 s 本身(事实上, 令h= - s即知).当增量具有平稳性时,称相应的独立 增量过程是齐次的或时齐的.
对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数 过程名称的由来.对 0≤s<t,N(t)-N(s)就表示在(s,t]中 发生的电话呼叫次数.
计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到 某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数,某放射性 物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛 的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种
定义1 称随机过程{N(t),t0}为计数过程,若N(t)表示到 时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件: (1) N(t)0 (2)N(t)取正整数; (3)若s<t,则N(s)<N(t); (4)当s<t,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数.
理解泊松分布 ppt课件
理解泊松分布
泊松分析实例
PPT课件
1
泊松分布
（Poisson, Simeon-Denis） （1781—1840）法国数学家
定义：设随机变量X的分布率为：
P{X k} k e , k 0, 1, 2, , 0
k!
则称X 服从参数为 λ 的泊松分布，记为： X ~ P()
PPT课件
9
美国枪击案的分布
• 假定美国枪击案满足“泊松分布”的三个条件：
（1）枪击案是小概率事件。 （2）枪击案是独立的，不会互相影响。 （3）枪击案的发生概率是稳定的。
• 显然，第三个条件是关键。如果成立，就 说明美国的治安没有恶化；如果不成立， 就说明枪击案的发生概率不稳定，正在提 高，美国治安恶化。
PPT课件
13
美国枪击案的分布
• 我们用"卡方检验"（chi-square test），检验 观察值与期望值之间是否存在显著差异。
– 卡方统计量：x = Σ [ ( 观察值 - 期望值 ) ^ 2 / 期 望值 ]
实测频数
理论频数
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
在理论分布 已知的条件下,
PPT课件
npi是常量
14
美国枪击案的结论
• 计算得到，卡方统计量等于9.82。查表后得到，置 信水平0.90、自由度7的卡方分布临界值为12.017。 因此，卡方统计量小于临界值，这表明枪击案的观 察值与期望值之间没有显著差异。所以，可以接受 “发生枪击案的概率是稳定的”假设，也就是说，从 统计学上无法得到美国治安正在恶化的结论。
泊松分析实例
PPT课件
1
泊松分布
（Poisson, Simeon-Denis） （1781—1840）法国数学家
定义：设随机变量X的分布率为：
P{X k} k e , k 0, 1, 2, , 0
k!
则称X 服从参数为 λ 的泊松分布，记为： X ~ P()
PPT课件
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美国枪击案的分布
• 假定美国枪击案满足“泊松分布”的三个条件：
（1）枪击案是小概率事件。 （2）枪击案是独立的，不会互相影响。 （3）枪击案的发生概率是稳定的。
• 显然，第三个条件是关键。如果成立，就 说明美国的治安没有恶化；如果不成立， 就说明枪击案的发生概率不稳定，正在提 高，美国治安恶化。
PPT课件
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美国枪击案的分布
• 我们用"卡方检验"（chi-square test），检验 观察值与期望值之间是否存在显著差异。
– 卡方统计量：x = Σ [ ( 观察值 - 期望值 ) ^ 2 / 期 望值 ]
实测频数
理论频数
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
在理论分布 已知的条件下,
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npi是常量
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美国枪击案的结论
• 计算得到，卡方统计量等于9.82。查表后得到，置 信水平0.90、自由度7的卡方分布临界值为12.017。 因此，卡方统计量小于临界值，这表明枪击案的观 察值与期望值之间没有显著差异。所以，可以接受 “发生枪击案的概率是稳定的”假设，也就是说，从 统计学上无法得到美国治安正在恶化的结论。
泊松分布
分布？
2
38
3
17
4
7
Poisson分布拟合优度检验计算表
x
P（x）
T
A
0
0.1779
27.90
26
1
0.3071
42.50
40
2
0.2651
32.37
38
3
0.1526
16.44
17
4
0.0658
6.26
7
合计
自由度=组数-1-1=5-2=3
(A-T)2/T 0.1294 0.1474 0.9775 0.0191 0.0872 1.3606
泊松分布的均数与它的方差相等
计算平均数和
例：有人观察血细胞计数池中400小格，并数出小格和中方差红，看 细胞数，如下图，问此分布是否符合Poisson分布? 是否相等
每小格红细胞数(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
合计
小格数 11 36 76 80 74 58 38 17 6 3 0 1 400
例8-13
例8-13 两样本计数差别的统计检验
某车间在改革生产工艺前，测取三次粉尘浓度，每升空气 中分别有38，39，36颗粉尘；改进工艺后，测取两次， 分别有25，18颗粉尘。问工艺改革前后粉尘数有无差别？
H0：μ1 = μ2 H1：μ1≠μ2 α=0.05
泊松分布-精品教程
三、泊松分布产生的一般条件 在自然界和人们的现实生活中,经常要遇 到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机 时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机 事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性， 则称该事件流为泊松事件流（泊松流）.
下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.
平稳性:
在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.
(如交通事故)出现的次数服从参数为 λ t 的 泊松分布 . λ 称为泊松流的强度.
例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去 的销售记录知道，某种商品每月的销售数可 以用参数λ =5的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底 至少应进某种商品多少件？
解: 设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ =5的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件,
• P(X=0)=(99/100)^400 • 可以计算(99/100)^400= 0.01795055328
• exp(-4)= 0.01831563889
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
于是得 m+1=10, m=9件
这一讲，我们介绍了泊松分布 n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近 似地服从泊松分布.
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定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t0}满足下列 条件：[泊松过程的第一种定义方式] 1.N(0)＝0； 2.具有独立增量； 3.P{N(h)=1}＝h+0(h)； 4.P{N(h)2}＝0(h) 则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次)泊 松过程。
例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令X(t)表 示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数,则{X(t),t0}满足定义3 的条件, 故{X(t), t0}是一个泊松过程.
定义1 称随机过程{N(t),t0}为计数过程,若N(t)表示到 时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件: (1) N(t)0 (2)N(t)取正整数; (3)若s<t,则N(s)<N(t); (4)当s<t,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数.
若t1<t2t3<t4,则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1) 与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,此时 计数过程N(t)是独立增量过程.
第8章 泊松过程
1、泊松分布的定义 2、泊松分布的性质 3、非齐次泊松过程 4、复合泊松分布
泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程, 它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位, 它们都属于所谓的独立增量过程.
一、 独立增量过程(independent increment process) 给定二阶矩过程 { X(t),t≥0 } 我们称随机变量
P{N(t) - N(s) k} [(t s)]k e(ts) , k 0,1, 2,L
k!
则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次) 泊松过程。[泊松过程的第二种定义方式]
注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= t. 由于, =E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称为此过程的速率或强度
对于独立增量过程,可以证明:在X(0)=0的条件下, 它的有限维分布函数可以由增量 X(t) – X(s) (0≤s<t)
的分布所确定.
特别,若对任意的实数h和0 ≤s+h<t+h,X(t+h) X(s+h)与X(t)-X(s)具有相同的分布,则称增量具有
平稳性.这时,增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖 于时间差t-s(0≤s<t),而不依赖于 t 和 s 本身(事实上, 令h= - s即知).当增量具有平稳性时,称相应的独立 增量过程是齐次的或时齐的.
1.计数过程:设
为一随机过程,
如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时,
N(s) ≤N(t),则称 XT {N(t),t T [0,)} 为计数过程(counting process).
若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到
电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程.
例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记X(t)为在时间 [0,t]内到达售票窗口的旅客数,则{X(t),t0}为一泊松过程
X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量.如果对 任意选定的正整数n和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 独立,则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程.
直观地说,它具有“在互不重叠的区间上,状态 的增量是相互独立的”这一特征.
若计数过程N(t)在(t,t+s]内(s>0),事件A发生的次数N(Hale Waihona Puke Baidu+s)N(t)仅与时间差s有关,而与t无关,则计数过程N(t)是平稳独 立增量过程.
随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.
计数过程的一个典型的样本函数如图
电话呼叫模型
N(t) 第三个信号到达 … … … …
在X(0)=0和方差函数为已知的条件下, 独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为:
1、 泊松过程举例 （Poisson process ）
现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述, 大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画. 泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程 理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上 的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所 接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生 的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗 略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机 事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点 来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间 上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系. 我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.
对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数 过程名称的由来.对 0≤s<t,N(t)-N(s)就表示在(s,t]中 发生的电话呼叫次数.
计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到 某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数,某放射性 物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛 的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种
第二个信号到达
第一个信号到达
0
S1 S2
S3
S4
t
S5
S6
将增量
它表示时间间隔(t0,t]内出现的质点数.“在 (t0,t]内 出现k个质点”,即{N(t0,t)=k}是一随机事件,其概率 记为 Pk(t0,t)=P{N(t0,t)=k},k=0,1,2, ….
2.泊松计数过程过程 : {N(t) ,t≥0} 称为强度为 λ 的 泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;
(2) N(0)=0;
(3) 对于充分小的
其中常数 λ>0 ,称为过程N(t)的强度. (亦即在充分小 的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长 度成正比)
(4) 对于充分小的
在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机时刻称为强 度为 λ 的泊松流.
定义2 如果取非负整数值的计数过程{N(t),t0}满足： 1.N(0)＝0； 2.具有独立增量； 3.对任意0s<t,N(t)-N(s)服从参数为(t-s)泊松分布，