泊松分布ppt课件
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统计学：二项分布与泊松分布PPT课件
对立事件 A的概率为１-p。则有总概率p+
（1-p）=1。注意：1-p=q
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二、 二项分布的概率函数
1. 根据贝努里模型进行试验的三个基本条 件，可以求出在n 次独立试验下，事件 A出现的次数X的概率分布。X为离散型 随机变量，其可以取值为0,1,2,…,n。
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由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：
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《医学统计学》目录
第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
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二项式展开式实例
将二项式（a+b）n 展开
(ab)2a22a bb2
(a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a2 b b 3
( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a 3 b b 4
( a b ) 5 a 5 5 a 4 b 1 a 3 b 2 0 1 a 2 b 0 5 a 4 b b 5
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2.二项分布定义：如果已知发生某一结果（如阳 性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为 （1-π），且各观察单位的观察结果相互独立， 互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出 现阳性数为X (X=0,1,2,3,…，n)的概率服从二 项分布。
（1-p）=1。注意：1-p=q
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二、 二项分布的概率函数
1. 根据贝努里模型进行试验的三个基本条 件，可以求出在n 次独立试验下，事件 A出现的次数X的概率分布。X为离散型 随机变量，其可以取值为0,1,2,…,n。
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由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：
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第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
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二项式展开式实例
将二项式（a+b）n 展开
(ab)2a22a bb2
(a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a2 b b 3
( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a 3 b b 4
( a b ) 5 a 5 5 a 4 b 1 a 3 b 2 0 1 a 2 b 0 5 a 4 b b 5
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2.二项分布定义：如果已知发生某一结果（如阳 性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为 （1-π），且各观察单位的观察结果相互独立， 互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出 现阳性数为X (X=0,1,2,3,…，n)的概率服从二 项分布。
《条件泊松过程》课件
03
条件泊松过程的应用
在金融领域的应用
风险评估
条件泊松过程可以用于评估金融 市场的风险，通过模拟市场中的 突发事件和重大事件，预测市场 波动和潜在损失。
投资组合优化
利用条件泊松过程，投资者可以 更准确地预测资产价格的变动， 从而优化投资组合，提高投资收 益。
衍生品定价
在衍生品定价方面，条件泊松过 程可以用于模拟标的资产的价格 变动，为衍生品提供更准确的定 价依据。
保险索赔模型
在保险行业中，索赔事件的发生是一个典型的随机过程。通过使用条件泊松过 程，可以模拟不同时间段内索赔事件发生的概率，从而为保险公司提供风险评 估和预测的依据。
02
条件泊松过程的数学模型
条件概率
条件概率
在概率论中，条件概率是指在某个条件 下某事件发生的概率。条件概率的公式 为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表 示在事件B发生的条件下事件A发生的概 率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生 的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
THANKS
感Hale Waihona Puke 观看在生物统计学中的应用生存分析
条件泊松过程在生存分析中用于描述生存时 间数据的分布，分析疾病的生存率和风险因 素。
基因表达分析
在基因表达分析中，条件泊松过程用于描述基因表 达数据的分布，分析基因表达的差异和模式。
流行病学研究
在流行病学研究中，条件泊松过程用于分析 疾病发病率和死亡率的数据，研究疾病传播 和影响因素。
考虑非平稳性
对于非平稳数据，可以尝试改进条件泊松过程，使其能够更好地描 述数据的动态变化。
参数优化
通过改进参数估计方法，提高条件泊松过程对复杂数据的处理能力 ，以获得更准确的预测结果。
医学统计学课件：第六章 几种离散型变量的分布及其应用
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.52 SPSS: 常用PDF函数(23种)
11
BERNOULLI：贝努里。
BINOM：二项分布。
CHISQ：卡方分布。
第七章。
F：F分布，第四章。
NORMAL：正态分布。
POISSON：泊松分布。
下一节。
T：t分布。
UNIFORM：均匀分布。
从阳性率为 的总体中随机抽取大小为 n 的
样本，则出现阳性数为 X 的概率分布呈二项分布，
记为 X~B(n,)。
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.2 二项分布，binomial distribution
6
用某药治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效， 每个病案的有效率相同； 在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存； 接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非 感染等。
X 2 X 1 X 0
n 3，( (1 ))3 3 3 2(1 ) 3 (1 )2 (1 )3
2020/10/18
XБайду номын сангаас3
X 2 X 1
X 0
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.5 例6-1 二项分布概率的计算
9
某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为 0.70。今用该药治疗该疾病患者10人。计算10 人中有6人、7人、8人有效概率。
P(8) 10! 0.708 (1 0.70)108 0.23347 8!(10 8)!
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.51 SPSS: PDF函数
概率论课件第二章
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
交通流参数的泊松分布 ppt课件
i0
12
___ 样本均值 ： m
xi fi
i0 12
fi
1603 323
4.963
i0
12
___
样本方差：S
2
(xi m)2 * fi
i0
1579.554 4.905
N 1
322
样本期望与方差比值： S 2 ___ m
4.905 0.988 4.963
Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France
ppt课件
4
(二)Poisson分布的定义 poisson distribution
如果在足够多的n次独立Bernouli试验中，随机变量X 所有可能的取值为0，l，2，…，取各个取值的概率为 ：
μ=nπ =1000 ×0.0018=1.8
ppt课件
8
ppt课件
9
(三)Poisson分布的图形
ppt课件
10
ppt课件
11
μ=0.6 μ=6
μ=2 μ=14
ppt课件
12
(四)Poisson分布的性质
1. Poisson分布的方差等于均数，即 σ2=μ。
2. Poisson分布的可加性。
nn
b(k; n,
pn
)
k
k!
e
ppt课件
16
二项分布的泊松逼近：
波松定理
Pk P(xn k ) Cnk pnk (1 pn )nk , k 1,2,, n
设npn 0，为常数，则有
lim
n
P(
xn
12
___ 样本均值 ： m
xi fi
i0 12
fi
1603 323
4.963
i0
12
___
样本方差：S
2
(xi m)2 * fi
i0
1579.554 4.905
N 1
322
样本期望与方差比值： S 2 ___ m
4.905 0.988 4.963
Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France
ppt课件
4
(二)Poisson分布的定义 poisson distribution
如果在足够多的n次独立Bernouli试验中，随机变量X 所有可能的取值为0，l，2，…，取各个取值的概率为 ：
μ=nπ =1000 ×0.0018=1.8
ppt课件
8
ppt课件
9
(三)Poisson分布的图形
ppt课件
10
ppt课件
11
μ=0.6 μ=6
μ=2 μ=14
ppt课件
12
(四)Poisson分布的性质
1. Poisson分布的方差等于均数，即 σ2=μ。
2. Poisson分布的可加性。
nn
b(k; n,
pn
)
k
k!
e
ppt课件
16
二项分布的泊松逼近：
波松定理
Pk P(xn k ) Cnk pnk (1 pn )nk , k 1,2,, n
设npn 0，为常数，则有
lim
n
P(
xn
泊松过程课件.ppt
泊松过程的定义和例
稳增量过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推 出定义3.3的条件(3).由式 n ( t ) P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,n=0,1,2,…. n! 对充分小的h,有 P{X(t+h)-X(t)=1}=P{X(h)-X(0)=1}(X(h)=X(0+h)) 1 n ( h ) ( h ) =e-λh =λh n0 =λh[1-λh+o(h)] =λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=P{X(h)-X(0)≥2} n ( h ) h = e n 2 n ! =o(h).
个乘客到达的时刻则飞机a在飞机b之后起飞的概率为pt泊松过程xt到达时间的概率密度函数为2中条件即此时由对称性有设乘客按强度为的泊松过程来到某火车站火车在时刻t起程计算在时间0t内到达的乘客候车时间总和的期望值即求ettdtdt设顾客到某商场的过程是泊松过程已知平均每小时有30人到达求所给事件的概率
泊松过程的定义和例
们对过程了解的情况去验证; 然而条件(3)的验证是非 常困难的. 为了方便应用,以下我们再给出泊松过程的 另一个定义. 定义3.3 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊 松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件: (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立、平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式: P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h). • 定义3.3中的条件(3)要求: 在充分小的时间间隔内,最 多有1个事件发生, 而不能有2个或2个以上事件同时发
泊松过程的定义和例
例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果 记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数, 则计 数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一 个泊松过程. 例3.3 考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件. 若 机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机 点过程,该过程可以用泊松过程进行描述. 定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等 价的. 证明: 首先证明定义3.2蕴涵定义3.3. 比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平
概率论与数理统计--第二章PPT课件
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
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第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页
森林昆虫种群及其动态ppt课件
种群趋势指数 I=N2/N1 I的大小说明种群消长情 况。
第七节 害虫的调查统计 一、取样方法 1、全部调查法： 2、随机取样法：双对角线式、单对角线式、棋盘 式、平行线式、“Z”字形式、五点式等。
二、取样单位 1． 面积 常用于调查地下害虫和密植的苗木上的 害虫。 2． 长度 适用于苗圃。
3． 植株或植株的一部分。
（3）均匀度指数：E=H / Hmax=H / lns
其中：E为均匀度，H为多样性指数，lns为种类 数，s 取自然对数，个体总数N＝∑ni （4）丰富度指数 Pi=Ni / N
其中：Ni为第I类群个体数，N为个体总数
（5）Sorenson相似性系数：Cs=2j/(a+b) 式中：j为两个群落或样地共有的物种数；a和b 分别为样地A和样地B的物种数
群落中各个生物成员在群落中的重要性不同。如常 常一个或几个优势种可能决定群落的特征。
(3)森林昆虫群落的结构
包括空间结构、时间结构和营养结构。
二、森林昆虫群落的结构
1、空间结构：垂直结构和水平结构
同一地域的同一群落都具有其时间和空间结构的 特点。如一个森林群落常可以划分为乔木层、灌 木层、草木层、苔藓、地衣层等；在同一植物上 各种昆虫的生态位有所不同。
第六节 害虫的预测预报
害虫的预测预报也就是要预先掌握害虫发生期 的迟早，发生量的多少，对植物危害的轻重， 以及分布、扩散范围等。
害虫的预测预报工作是进行害虫综合防治的必 要前提。只有对害虫发生为害的预测预报做得 及时、准确，才能正确地拟定综合治理计划， 及时采取必要的措施，经济有效地压低害虫的 发生数量。
最后分析下代种群数量动态趋势，或进一步分 析影响种群数量动态的关键虫期和关键致死因 素，为预测和防治提供依据。
第七节 害虫的调查统计 一、取样方法 1、全部调查法： 2、随机取样法：双对角线式、单对角线式、棋盘 式、平行线式、“Z”字形式、五点式等。
二、取样单位 1． 面积 常用于调查地下害虫和密植的苗木上的 害虫。 2． 长度 适用于苗圃。
3． 植株或植株的一部分。
（3）均匀度指数：E=H / Hmax=H / lns
其中：E为均匀度，H为多样性指数，lns为种类 数，s 取自然对数，个体总数N＝∑ni （4）丰富度指数 Pi=Ni / N
其中：Ni为第I类群个体数，N为个体总数
（5）Sorenson相似性系数：Cs=2j/(a+b) 式中：j为两个群落或样地共有的物种数；a和b 分别为样地A和样地B的物种数
群落中各个生物成员在群落中的重要性不同。如常 常一个或几个优势种可能决定群落的特征。
(3)森林昆虫群落的结构
包括空间结构、时间结构和营养结构。
二、森林昆虫群落的结构
1、空间结构：垂直结构和水平结构
同一地域的同一群落都具有其时间和空间结构的 特点。如一个森林群落常可以划分为乔木层、灌 木层、草木层、苔藓、地衣层等；在同一植物上 各种昆虫的生态位有所不同。
第六节 害虫的预测预报
害虫的预测预报也就是要预先掌握害虫发生期 的迟早，发生量的多少，对植物危害的轻重， 以及分布、扩散范围等。
害虫的预测预报工作是进行害虫综合防治的必 要前提。只有对害虫发生为害的预测预报做得 及时、准确，才能正确地拟定综合治理计划， 及时采取必要的措施，经济有效地压低害虫的 发生数量。
最后分析下代种群数量动态趋势，或进一步分 析影响种群数量动态的关键虫期和关键致死因 素，为预测和防治提供依据。
泊松分布的定义及图形特点.pptx
• Assume that you live in a district of
size 10 blocks by 10 blocks so that
the total district is divided into 100
small squares. How likely is it that the
square in which you live will receive
no hits if the total area is hit by 400
bombs? 2019-7-26
谢谢您的观赏
6
2019-7-26
谢谢您的观赏
7
• 用 X 表示落入该小区内的炸弹数，则
• X~B(400,1/100) n=400, p=1/100 • 因此 P(X=0)=(99/100)^400 • 用Poisson分布近似计算。。 • X近似服从参数为 4 =np=400*1/100的Poisson
谢谢您的观赏
11
例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数； 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; …
都可以看作泊松流.
2019-7-26
谢谢您的观赏
12
对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 t 的 泊松分布 . 称为泊松流的强度.谢谢您的观赏源自42019-7-26
谢谢您的观赏
5
• Example In his book, Feller discusses the statistics of flying bomb hits in the south of London during the Second World War.
泊松分布 ppt课件
=0.432
(
3 2
)0.4
2
(
0.4)32
=
0
.
2
8
8
(
3 3
)0.4
3
(1
0.4)33
ppt课件
=
0
.
0
6
4
12
第二节 二项分布的性质
一、二项分布的均数与方差
若 X ～ B( n, )， 则
例 7-3
X 的 均 数 X = n
(7-2)
X
的
方
差
2 X
=
n
(1-
)
(7-3)
即 X～ B(3,0.4)， X 各 取 值 的 概 率 ：
P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=
(
3 0
)0.4
0
(1
0.4)
30
=
0
.
2
1
6
=CRITBINOM(3,0.4,0.217)
(13 )0.41(1 0.4)31
=BINOMDIST(1,3,0.4,0)
ppt课件
21
例 7-6 据 以 往 经 验 新 生 儿 染 色 体 异 常 率 为 0.01， 某 研 究 者 随 机 抽 查 当 地 400 名 新 生 儿 ， 结 果 1 名 染 色 体异常，问是否该地染色体异常率与以往有所不同。
H0: =0.01, H1： ≠ 0.01=0.05 双 侧 P=2*P(X≤ 1) =0.181〉 0.05 故 无 理 由 拒 绝 H0， 即 据 此 样 本 不 能 说 该 地 新 生 儿 染 色体异常率与一般新生儿不同。
(
3 2
)0.4
2
(
0.4)32
=
0
.
2
8
8
(
3 3
)0.4
3
(1
0.4)33
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=
0
.
0
6
4
12
第二节 二项分布的性质
一、二项分布的均数与方差
若 X ～ B( n, )， 则
例 7-3
X 的 均 数 X = n
(7-2)
X
的
方
差
2 X
=
n
(1-
)
(7-3)
即 X～ B(3,0.4)， X 各 取 值 的 概 率 ：
P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=
(
3 0
)0.4
0
(1
0.4)
30
=
0
.
2
1
6
=CRITBINOM(3,0.4,0.217)
(13 )0.41(1 0.4)31
=BINOMDIST(1,3,0.4,0)
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例 7-6 据 以 往 经 验 新 生 儿 染 色 体 异 常 率 为 0.01， 某 研 究 者 随 机 抽 查 当 地 400 名 新 生 儿 ， 结 果 1 名 染 色 体异常，问是否该地染色体异常率与以往有所不同。
H0: =0.01, H1： ≠ 0.01=0.05 双 侧 P=2*P(X≤ 1) =0.181〉 0.05 故 无 理 由 拒 绝 H0， 即 据 此 样 本 不 能 说 该 地 新 生 儿 染 色体异常率与一般新生儿不同。
泊松分布 ppt课件
1.计数过程:设
为一随机过程,
如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时,
N(s) ≤N(t),则称 XT {N(t),t T [0,)} 为计数过程(counting process).
若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到
电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程.
定义1 称随机过程{N(t),t0}为计数过程,若N(t)表示到 时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件: (1) N(t)0 (2)N(t)取正整数; (3)若s<t,则N(s)<N(t); (4)当s<t,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数.
若t1<t2t3<t4,则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1) 与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,此时 计数过程N(t)是独立增量过程.
P{N(t) - N(s) k} [(t s)]k e(ts) , k 0,1, 2,
k!
则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次) 泊松过程。[泊松过程的第二种定义方式]
注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= t. 由于, =E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称为此过程的速率或强度
X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量.如果对 任意选定的正整数n和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 独立,则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程.
理解泊松分布 ppt课件
k!
各个参数的含义： P：每周销售k个罐头的概率。 X：水果罐头的销售变量。 k：X的取值（0，1，2，3...）。 λ：每周水果罐头的平均销售量，是一个常数，本例
为2。
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5
实例2-美国枪击案
• 去年12月，美国康涅狄格州发生校园枪击 案，造成28人死亡
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6
美国枪击案统计资料
• 资料显示，1982年至2012年，美国共发生 62起（大规模）枪击案。其中，2012年发 生了7起，是次数最多的一年。
• 但是，也必须看到，卡方统计量9.82离临界值很接 近，p-value只有0.18。也就是说，对于"美国治安没 有恶化"的结论，我们只有82%的把握，还有18%的 可能是我们错了，美国治安实际上正在恶化。因此， 这就需要看今后两年中，是否还有大量枪击案发生。 如果确实发生了，泊松分布就不成立了。
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10
美国枪击案的分布
• 根据资料，1982--2012年枪击案的分布情况 如下：
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11
美国枪击案的分布
• 计算得到，平均每年发生2起枪击案，所以 λ = 2
上图中，蓝色的条形柱是实际的观察值，红色的虚线是理论的预期值。可以看到，
观察值与期望值还是相当接近的
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12
美国枪击案的分布
15
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9
美国枪击案的分布
• 假定美国枪击案满足“泊松分布”的三个条件：
（1）枪击案是小概率事件。 （2）枪击案是独立的，不会互相影响。 （3）枪击案的发生概率是稳定的。
• 显然，第三个条件是关键。如果成立，就 说明美国的治安没有恶化；如果不成立， 就说明枪击案的发生概率不稳定，正在提 高，美国治安恶化。
各个参数的含义： P：每周销售k个罐头的概率。 X：水果罐头的销售变量。 k：X的取值（0，1，2，3...）。 λ：每周水果罐头的平均销售量，是一个常数，本例
为2。
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实例2-美国枪击案
• 去年12月，美国康涅狄格州发生校园枪击 案，造成28人死亡
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美国枪击案统计资料
• 资料显示，1982年至2012年，美国共发生 62起（大规模）枪击案。其中，2012年发 生了7起，是次数最多的一年。
• 但是，也必须看到，卡方统计量9.82离临界值很接 近，p-value只有0.18。也就是说，对于"美国治安没 有恶化"的结论，我们只有82%的把握，还有18%的 可能是我们错了，美国治安实际上正在恶化。因此， 这就需要看今后两年中，是否还有大量枪击案发生。 如果确实发生了，泊松分布就不成立了。
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10
美国枪击案的分布
• 根据资料，1982--2012年枪击案的分布情况 如下：
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11
美国枪击案的分布
• 计算得到，平均每年发生2起枪击案，所以 λ = 2
上图中，蓝色的条形柱是实际的观察值，红色的虚线是理论的预期值。可以看到，
观察值与期望值还是相当接近的
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美国枪击案的分布
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美国枪击案的分布
• 假定美国枪击案满足“泊松分布”的三个条件：
（1）枪击案是小概率事件。 （2）枪击案是独立的，不会互相影响。 （3）枪击案的发生概率是稳定的。
• 显然，第三个条件是关键。如果成立，就 说明美国的治安没有恶化；如果不成立， 就说明枪击案的发生概率不稳定，正在提 高，美国治安恶化。
《计数数据模型》PPT课件
• 假设是Y计数变量，X是一组解释变量，建立如下 的经典线性模型：
Yi Xiβ i E(i ) 0 i 1,2,, n E(Yi Xi ) Xiβ i 1,2,, n
左端为非负整数，而右端并无限制，致使左右端矛盾。
• 如果对Y采用对数变换，可以解决非负限制问题。
log(Yi ) Xiβ i
在计数数据应用研究中难以实现，因为相当比例的Y的 观测值为0。
• 当y没有上界时，可以采用指数函数模型
E(Yi Xi ) exp(Xiβ)
非线性最小二乘方法（NLS）可以用于该模型的估计， 但效果不理想。因为NLS估计量非有效，除非y的方差 为常数，而实际上，所有计数数据的标准分布都意味着 异方差。
– Hausman,Hall和Griliches（1984）提出了负二项回 归模型和Panel方法，
– Gourier，Monfort和Trogonon（1984）提出了仿最 大似然法。
• 其中，最先提出的泊松方法在研究计数数据模型 问题中应用得非常广泛。
二、计数过程及其分布
1、计数过程
• 计数过程的定义
• 定理
令 X Po()，Y Po() 。当且仅当X与Y独立时，
随机变量 Z=X+Y是泊松分布。 – 当X与Y独立时，Z的概率生成函数为
E(s X Y ) E(s X )E(sY ) e e s s e( )( )s
– 则Z服从泊松分布，参数为
E( X ) , Var( X )
• 泊松分布是计数过程最常见的一类分布。
– 所谓均值和方差相等，指的是，如果对同一个个体， 例如某个人一年内到医院就诊的次数，进行无数次重 复抽样，得到的计数数据序列的均值和方差相等。
离散型随机变量及其分布函数
P{X
k}
20 k
(0.2)
k
(0.8)
20 k
,
k 0,1,,20.
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022
P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007
P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
第二十四页，课件共有32页
解 X 所取的可能值是 1, 2, 3,.
设 Ai 表示"抽到的第 i 个产品是正品",
P{ X k} P( A1 A2 Ak1 Ak ) P( A1 ) P( A2 ) P( Ak1 ) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
解：X的分布律为
X0
1
2
3
4
pk
p
(1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
第七页，课件共有32页
离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系：
F ( x) P{X x} pk P ( X xk ).
xk x
xk x
也就是：
分布律
pk P{X xk }
分布函数 F ( x) P{ X x} pk
k0 k!
即 1 N 3k e3 3k e3 0.01,
k0 k! kN 1 k!
查表可求得满足此式最 小的N是8. 故至少需配备8
个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的 概率小于0.01.
第三十一页，课件共有32页
例2 (人寿保险问题) 有2500个同年龄同社会阶层的 人在保险公司里参加了人寿保险,在每一年里每 个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1 日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取
第章 Poisson过程ppt课件
(nk)!
k!(n n !k)! s k 1s n k,k0 ,1 ,2 , ,n .
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16
泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数
N (t)E [N (t)]t
N 2(t)V ar[N (t)]t
自相关函数
R N (s,t) E [N (s)N (t)]
m in (s,t) 2 st s(t 1 ), (s t)
λ ο （3）存在λ 0 , 当 h 0 时， P { N ( t h ) N ( t) 1 } h ( h ) ,
ο （4）当 h 0 时， P { N ( t h ) N ( t) 2 } (h ) .
精选课件
10
Poisson过程的等价性(说明)
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11
Poisson过程定义的应用
证: (1) 因 {X1>t}={[0, t ]内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
F X 1 t 1 P X 1 t 1 e t , t 0 .
即X1 服从均值为1/λ的指数分布.
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21
(2) 由泊松过程的平稳独立增量性,有
P{X2>t|X1=s}=P{在(s, s+t ]内事件A不发生|X1=s }
(40.5)1 e40.5 (42)4 e42
1!
4!
0.0155
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8
事故的发生次数和保险公司接到的索赔数
若以N(t)表示[0,t]时间内发生事故的次数. Poisson过 程 {N(t),t 0}是很好的一种近似. 考虑保险公司每次 赔付都是1, 每月平均4次接到索赔要求，则一年中它 要付出的平均金额为多少？
泊松过程ppt课件
R X ( s ,t ) E [ X ( s ) X ( t ) ]s (t 1 )
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX(s,t)mis,n t)(
时间间隔Tn的分布
设{X(t),t≥0}是泊松过程，，令X(t)表示t时刻事件 A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生 到第n次事件A发生的时间间隔。
解：
复合泊松过程
定义3.5：
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程， {Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量， 且与{N(t),t≥0}独立，令
N(t)
X(t) Yk, t 0 k1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
1、两分钟内接到3次呼叫的概率。 2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
作业 3.1, 3.3, 3.5
例题3.6
设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的
泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件
数分别为λ1和λ2，记 为W k(过1) 程X1(t)的第k次事
件到达时间， 为W1过(2) 程X2(t)的第1次事件到达
时间，求
P{Wk(1) W1(2)}
解：
非齐次泊松过程
0s t 其它
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。
解：
例题3.4
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX(s,t)mis,n t)(
时间间隔Tn的分布
设{X(t),t≥0}是泊松过程，，令X(t)表示t时刻事件 A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生 到第n次事件A发生的时间间隔。
解：
复合泊松过程
定义3.5：
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程， {Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量， 且与{N(t),t≥0}独立，令
N(t)
X(t) Yk, t 0 k1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
1、两分钟内接到3次呼叫的概率。 2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
作业 3.1, 3.3, 3.5
例题3.6
设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的
泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件
数分别为λ1和λ2，记 为W k(过1) 程X1(t)的第k次事
件到达时间， 为W1过(2) 程X2(t)的第1次事件到达
时间，求
P{Wk(1) W1(2)}
解：
非齐次泊松过程
0s t 其它
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。
解：
例题3.4
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
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1.计数过程:设
为一随机过程,
如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时,
N(s) ≤N(t),则称 XT {N(t),t T [0,)} 为计数过程(counting process).
若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到
电话呼叫的累计次数,则{N(t)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,t≥0}就是一计数过程.
X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量.如果对 任意选定的正整数n和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 独立,则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程.
直观地说,它具有“在互不重叠的区间上,状态 的增量是相互独立的”这一特征.
第二个信号到达
第一个信号到达
0
S1 S2
S3
S4
t
S5
S6
将增量
它表示时间间隔(t0,t]内出现的质点数.“在 (t0,t]内 出现k个质点”,即{N(t0,t)=k}是一随机事件,其概率 记为 Pk(t0,t)=P{N(t0,t)=k},k=0,1,2, ….
2.泊松计数过程过程 : {N(t) ,t≥0} 称为强度为 λ 的 泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;
P{N(t) - N(s) k} [(t s)]k e(ts) , k 0,1, 2,L
k!
则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次) 泊松过程。[泊松过程的第二种定义方式]
注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= t. 由于, =E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称为此过程的速率或强度
定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t0}满足下列 条件：[泊松过程的第一种定义方式] 1.N(0)＝0； 2.具有独立增量； 3.P{N(h)=1}＝h+0(h)； 4.P{N(h)2}＝0(h) 则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次)泊 松过程。
例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令X(t)表 示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数,则{X(t),t0}满足定义3 的条件, 故{X(t), t0}是一个泊松过程.
在X(0)=0和方差函数为已知的条件下, 独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为:
1、 泊松过程举例 （Poisson process ）
现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述, 大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画. 泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程 理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上 的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所 接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生 的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗 略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机 事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点 来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间 上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系. 我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.
若计数过程N(t)在(t,t+s]内(s>0),事件A发生的次数N(t+s)N(t)仅与时间差s有关,而与t无关,则计数过程N(t)是平稳独 立增量过程.
随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.
计数过程的一个典型的样本函数如图
电话呼叫模型
N(t) 第三个信号到达 … … … …
第8章 泊松过程
1、泊松分布的定义 2、泊松分布的性质 3、非齐次泊松过程 4、复合泊松分布
泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程, 它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位, 它们都属于所谓的独立增量过程.
一、 独立增量过程(independent increment process) 给定二阶矩过程 { X(t),t≥0 } 我们称随机变量
例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记X(t)为在时间 [0,t]内到达售票窗口的旅客数,则{X(t),t0}为一泊松过程
(2) N(0)=0;
(3) 对于充分小的
其中常数 λ>0 ,称为过程N(t)的强度. (亦即在充分小 的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长 度成正比)
(4) 对于充分小的
在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机时刻称为强 度为 λ 的泊松流.
定义2 如果取非负整数值的计数过程{N(t),t0}满足： 1.N(0)＝0； 2.具有独立增量； 3.对任意0s<t,N(t)-N(s)服从参数为(t-s)泊松分布，
对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数 过程名称的由来.对 0≤s<t,N(t)-N(s)就表示在(s,t]中 发生的电话呼叫次数.
计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到 某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数,某放射性 物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛 的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种
对于独立增量过程,可以证明:在X(0)=0的条件下, 它的有限维分布函数可以由增量 X(t) – X(s) (0≤s<t)
的分布所确定.
特别,若对任意的实数h和0 ≤s+h<t+h,X(t+h) X(s+h)与X(t)-X(s)具有相同的分布,则称增量具有
平稳性.这时,增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖 于时间差t-s(0≤s<t),而不依赖于 t 和 s 本身(事实上, 令h= - s即知).当增量具有平稳性时,称相应的独立 增量过程是齐次的或时齐的.
定义1 称随机过程{N(t),t0}为计数过程,若N(t)表示到 时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件: (1) N(t)0 (2)N(t)取正整数; (3)若s<t,则N(s)<N(t); (4)当s<t,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数.
若t1<t2t3<t4,则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1) 与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,此时 计数过程N(t)是独立增量过程.