高等数学第1章8节

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高等数学第1章

第一章函数与极限初等数学的研究对象是不变的量,高等数学的研究对象是变动的量,函数关系就是变量之间的依赖关系,极限方法就是研究变量的方法,本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等根本概念以及它们的一些性质,_________________________________________________________________________________________________________________________________．第一节映射与函数集合一、集合1.集合概念集合是数学中的一个根本概念,例如,一个书柜中的书构成一个集合,书柜不是集合一间数室里的学生构成一个集合,全体实数构成一个集合等等,_________________________________________________________________________________________________________________________________．一般的,集合是具有某种特定性质的事物的总体, 集合简称集, 用大写拉丁字母A,B,C,...表示元素是组成这个集合的事物. 元素简称元, 用小写拉丁字母a,b,c,.....表示_________________________________________________________________________________________________________________________________．集合与元素的关系如果a 就是集合A 的元素,就说a 是属于A,记作∈a A ;如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A,记作∉a A 或a A ∈_________________________________________________________________________________________________________________________________．一个集合,假设它只含有限个元素,那么称为有限集;假设它是含无限个元素,那么称为无限集,_________________________________________________________________________________________________________________________________．表示集合的方法表示集合的方法有两种:一是列举法,二是描述法列举法:就是把集合的全体元素一一列举出来表示,例如,由元素12n a ,a ,,a 组成的集合A,可表示成12n A {a ,a ,,a }=描述法:假设集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成的,就可表示成M={xlx 具有性质P).例如,集合B 是方程2x 10-=的解集,就可表示成2B {x |x 10}=-=_________________________________________________________________________________________________________________________________．数集对于数集,在表示数集的字母的右上角标上不同的符号代表不同的数集标上“*〞表示排除0的数集,标上“+〞表示全为正的数集,全正整数的集合记作N +，所以N {1,2,3,,n,}+=非负整数的集合记作N ，所以N={0,1,2,…n,…};全体整数的集合记作Z ，所以Z={…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}全有理数的集合记作Q,所以p Q |p Z,q N 且p 与q 互质q +⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭ 全正实数的集合记作+R ,除0实数的集合记作*R全体实数的集合记作R_________________________________________________________________________________________________________________________________．集合与集合的关系设A 、B 是两个集合,如果集合A 的元素都是集合B 的元素,那么称集合A 是集合B 的子集,就记作⊂A B 读作A 包含于B或记作B A ⊃读作B 包含A._________________________________________________________________________________________________________________________________．如果集合A 与集合B 互为子集,即⊂A B 且⊂B A ,那么称集合A 与集合B 相等,记作A=B.例如,设A={1,2},2B {x |x 3x 20}=-+=，那么A=B._________________________________________________________________________________________________________________________________．假设⊂A B ≠A B ,那么称A 是B 的真子集,记作A B,例如,N Z Q R_________________________________________________________________________________________________________________________________．不含任何元素的集合称为空集, 空集记作∅,且规定空集∅是任何集合A 的子集,即A ∅⊂例如2{x |x R 且x 1=0}∈+是空集,因为适合条件2x 10+=的实数是不存在的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．2.集合的运算集合的根本运算集合的根本运算有以下几种:并、交、差,设A 、B 是两个集合,并由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集(简称并),记AUB,即AB {x |x A 或x B)=∈∈ 交由所有属于A 而且属于B 的元素组成的集合,称为A 与B 的交集(简称交),记A B ,即A B {x |x A 且x B}=∈∈差由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合,称为A 与B 的差集(简称差),记A\B ，即A\B {x |x A 且x B}=∈∉_________________________________________________________________________________________________________________________________．补是特殊的差我们研究某个问题是限定在一个大的集合I,所研究的其他集合A 是I 的子集,此时,我们称集合I 为全集，称I\A 为A 的余集或补集,记作C A .例如,在实数集R 中,集合A {x |0x 1}=<≤,A 的余集就是C A {x |x 0或x 1).=≤>_________________________________________________________________________________________________________________________________．集合的根本运算法那么集合的并、交、余运算满足以下法那么,设A 、B 、C 为任意三个集合,那么有以下法那么成立:(1)交换律==A B BA,A B B A; (2)结合律=(A B)C A (B C), (3)分配律=(A B)C (AC)(B C), (4)对偶律=c C C (A B)A B以上这些法那么都可根据集合相等的定义验证,_________________________________________________________________________________________________________________________________．现就对偶律的第一个等式:“两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集〞证明如下:因为∈C x (AB)x A B ⇒∉x A 且x B ⇒∉∉c c x A 且x B ⇒∈∈且∈c C x A B 所以c c c (A B)A B ⊂ 反之,因为∈cC x A B c c x A 且x B ⇒∈∈x A 且x B ⇒∉∉x A B ⇒∉c x (A B)⇒∈所以c c C A B (A B)⊂ 于是=C CC (A B)A B 注以上证明中,符号""⇒表示“推出〞(或“蕴含〞)如果在证明的第一段中,将符号""⇒改用符号""⇔(表示“等价〞),那么证明的第二段可省略,_________________________________________________________________________________________________________________________________．在两个集合之间还可以定义直积或笛卡儿乘积,设A 、B 是任意两个集合,在集合A 中任意取一个元素x ·在集合B 中任意取一个元索y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,_________________________________________________________________________________________________________________________________．它们全体组成的集合称为集合A 与集合B 的直积,记为⨯A B就是A B {(x,y)|x A 且y B)}⨯=∈∈例如R R {(x,y)|x R,y R}⨯=∈∈即为xOy 面上全体点的集合,⨯R R 常记作2R_________________________________________________________________________________________________________________________________．3.区间和邻域 (针对数集的)区间区间是用得较多的一类数集,有限区间设a 和b 都是实数,且a<b.数集{x|a<x<b}称为开区间,记作(a,b),即(a,b)={x|a<x<b},a 和b 称为开区间(a,b)的端点,这里a (a,b),b (a,b)∉∉.数集{x |a x b}≤≤称为闭区间,记作[a,b],即[a,b]{x |a x b}=≤≤a 和b 称为闭区间[a,b]的端点,这里∈∈a [a,b],b [α,b]_________________________________________________________________________________________________________________________________．类似地可说明:[a,b)和(a,b]都称为半开区间,_________________________________________________________________________________________________________________________________．以上区间都称为有限区间,数b-a 称为这些区间的长度,从数轴上看,这些有限区间是长度有限的线段,闭区间[a,b]与开区间(a,b)在数轴上表示出来,分别如图1-1(a)与(b)所示,_________________________________________________________________________________________________________________________________．无限区间此外还有所谓无限区间,引进记号+∞(读作正无穷大)及-∞(读作负无穷大),那么可类似地表示无限区间,例如这两个无限区间在数轴上如图1-1(c),(d)所示,全体实数的集合R 也可记作-∞+∞(,),它也是无限区间,_________________________________________________________________________________________________________________________________．以后如果不需要辨明是无限区间还是有限区间，所论区间是否包含端点,我们就简单地称它为“区间〞,且常用I 表示,_________________________________________________________________________________________________________________________________．邻域邻域邻域也是一个经常用到的概念,以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域,记作U(a)含点a_________________________________________________________________________________________________________________________________．δ邻域设δ是任一正数,那么开区间(a δ,a δ)-+就是点a 的一个邻域,这个邻域称为点a 的δ邻域,记作U (a,δ)，即U (a,δ){x |a δx a δ}=-<<+点a 称为这邻域的中心,而δ称为这邻域的半径(图1-2)._________________________________________________________________________________________________________________________________．由于a δx a δ-<<+相当于-<|x a |δ,因此,U (a,δ){x ||x a |δ}=-<因为|x-a|表示点x 与点a 间的距离,所以U (a,δ)表示与点a 的距离小于δ的一切点x 的全体,_________________________________________________________________________________________________________________________________．去心δ邻域有时用到的邻域需要把邻域中心去掉,点a 的δ邻域去掉中心a 后,称为点a 的去心δ邻域,记作U(a,δ)即U (a,δ){x |0|x a |δ}=<-<，这里0<lx-a|就表示x a ≠_________________________________________________________________________________________________________________________________．为了方便,把开区间(a δ,a)-称为a 的左δ邻域,把开区间+(a,a δ)称为a 的右δ邻域._________________________________________________________________________________________________________________________________．两个闭区间的直积表示xOy 平面上的矩形区域,区间是数轴区域是平面例如[a,b]x[c.d]={(x,y)|x ∈[a,b],y ∈[c,d]},即为xOy 平面上的一个矩形区域,这个区域在x 轴与y 轴上的投影分别为闭区间[a,b]和闭区间[c,d]. _________________________________________________________________________________________________________________________________．二、映射(集合与集合之间有了运算)1.映射概念定义设X 、Y 是两个非空集合,如果存在一个法那么f,使得对X 中每个元素x,按法那么f,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应,那么称f 为从X 到Y 的映射,记作f:X Y →,_________________________________________________________________________________________________________________________________．x 称为元素y 的原像;y 称为元素x 的像,并记作f (x),即y=f(x),集合X 称为映射f 的定义域,记作f D ，即f D X =;集合X 中所有元素x 的像所组成的集合称为映射f 的值域,记作f R 或f(X),即f R f(X){f(x)|x X}==∈_________________________________________________________________________________________________________________________________．从上述映射的定义中,需要注意的是:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域f D X =;集合Y,就是值域f R Y ⊂;对应法那么f,就是可让每个x X ∈,对应着唯一确定的y 的法那么.(2)对每个元素x X ∈, x 的像y 绝对唯一;而对每个元素f y R ∈, y 的原像x 未必唯一;(3)映射f 的值域f R 是Y 的一个子集,即f R Y ⊂,不一定f R Y =_________________________________________________________________________________________________________________________________．例1设→f:R R ,对每个2x R,f(x)x ∈=.显然,f 是一个映射,f 的定义域f D {x |x }R =-∞<<+∞=,f 的值域f R {y |y 0}R =≥⊂,它是R 的一个真子集,对于f R 中的元索y,除y=0外,它的原像x 不唯一,如y=4的原像就有x=2和x=-2两个_________________________________________________________________________________________________________________________________．例2设22X {(x,y)|x y 1}=+=Y {(x,0)|x |1}=≤,f:X →Y,对每(x,y)X ∈,有唯一确定的∈(x,0)Y 与之对应,显然f 是一个映射,f 的定义域f D X =,值域f R Y =在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆的圆周上的点投影到x 轴的区间[-1,1]上,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例3 设ππf:[,][1,1]22-→-,对每个ππx [,]22∈-,f(x)=sinx. 这f 是一个映射, 其定义域f ππD [,],22=-值域f R [1,1]=- _________________________________________________________________________________________________________________________________．映射类型设f 是从集合X 到集合Y 的映射,满射:假设f R Y =,即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像,那么称f 为X 到Y 上的映射或满射; Y 中的所有y 全被射了单射:假设对X 中任意两个不同元素12x x ≠,它们的像12f(x )f(x )≠,那么称f 为X 到Y 的单射; Y 中的y 只被射一次一一映射:假设映射f 既是单射,又是满射,那么称f 为一一映射(或双射).例1中的映射,既非单射,又非满射;例2中的映射不是单射,是满射;例3中的映射是一一映射,_________________________________________________________________________________________________________________________________．映射又称为算子,根据集合X 、Y 的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称,例如,从非空集X 到数集Y 的映射又称为X 上的泛函,从非空集X 到它自身的映射又称为X 上的变换,从实数集X 到实数集Y 的映射称为X 上的函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．2.逆映射与复合映射逆映射设f 是X 到Y 的单射,f(x)=y,x ∈X,f y R ,∈对每个y,只有唯一的x,于是,可定义一个从f R 到X 的新映射g,即f g:R X →,f y R ∈, x ∈X对每个f y R ∈,规定g(y)=x,这个映射g 称为f 的逆映射, 记作1f -,其定义域1f f D R ,-=,值域1f R -=X_________________________________________________________________________________________________________________________________．接上述定义,只有单射才存在逆映射,所以,在例1,2,3中，只有例3中的映射f 才存在逆映射-1f ,这个1f -就是反正弦函数的主值1f (x)arcsinx,x [1,1]-=∈-，其定义域1f D [1,1]-=-,值域1f ππR [,]22-=- _________________________________________________________________________________________________________________________________．复合映射设有两个映射1g:X Y →2f :Y ,Z →其中⊂I 2Y Y .那么由映射g 和f 可以定出一个从X 到Z 的对应法那么,它将每个∈x X 映成f[g(x)]Z ∈._________________________________________________________________________________________________________________________________．显然,这个对应法那么确定了一个从X 到Z 的映射,这个映射称为映射g 和f 构成的复合映射,记作f g即f g:x z →,(f g)(x)f[g (x)],x X.=∈_________________________________________________________________________________________________________________________________．由复合映射的定义可知,映射g 和f 构成复合映射的条件是:g 的值域g R 必须包含在f 的定义域内,即 g f R D ⊂否那么,不能构成复合映射,_________________________________________________________________________________________________________________________________．映射g 和f 的复合是有顺序的,映射f g 有意义并不表示映射g f 也有意义,就算即使f g 与g f 都有意义,复合映射f g 与g f 也未必相同,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例4设有映射g:R [1,1]→-,对每个x R,g (x)sinx ∈=,映射f:[-1,1]→[0,1],对每个∈-=u [1,1],f(u)那么映射g 和f 构成复合映射f g:R [0,1]→,对每个∈x R (f g)(x)f[g(x)]f(sinx)|cos x |.====_________________________________________________________________________________________________________________________________．三、函数(特殊的映射)1.函数概念定义设数集D ⊂R, R ⊂R,那么称映射f:D R →为定义在D 上的函数,记为=∈y f(x),x D其中x 称为自变量,其中y 称为因变量,其中D 称为定义域,记作f D 即f D D =.因变量y 与自变量x 之间的这种依赖关系,通常称为函数关系,_________________________________________________________________________________________________________________________________．函数的值域函数定义中,对每个∈x D ,接对应法那么f, 对应着唯一的y,这个值称为函数f 在x 处的函数值,记作f(x),即y=f(x).函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域,记作f R ,即f R f(D){y |y f(x),x D}===∈_________________________________________________________________________________________________________________________________．函数的记号需要指出,按照上述定义,记号f 和f(x)的含义是有区别的:f 表示自变量x 和因变量y 之间的对应法那么,f(x)表示与自变量x 对应的函数值,但为了表达方便,把f(x)表示f习惯上常用记号“f (x),x D ∈〞或“y =∈f(x),x D 〞来表示定义在D 上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f._________________________________________________________________________________________________________________________________．表示函数的记号是可以任意选取的,除了常用的f 外,还可以用其他的英文字母或希腊字母,如“g 〞、“F 〞、“φ〞等,相应的函数可记作y=g(x),y=F(x),=y φ(x )等,有时还直接用因变量的记号来表示函数,y=y(x).在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时,为了表示区别,需用不同的记号来表示它们,_________________________________________________________________________________________________________________________________．函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R 内,因此构成函数的要索是:定义域f D 及对应法那么f,如果两个函数的定义域相同,对应法那么也相同,旁解:到时值域会随着定义域和f 相同因为值域由定义域和f 确定的那么这两个函数就是相同的,否那么这两个函数就是不同的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．函数定义域实际定义域函数的定义域通常接以下两种情形来确定:一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定,例如,在自由落体运动中,设物体下落的时间为t,下落的距离为s,开始下落的时刻t=0,落地的时刻t=T,那么s 与t 之间的函数关系是21s gt ,t [0,T]2=∈ 这个函数的定义域就是区间[0,T];_________________________________________________________________________________________________________________________________．自然定义域另一种是对抽象地用算式表达的函数,通常约定这种函数的定义域能使算式有意义这种定义域称为函数的自然定义域,在这种约定之下,一般的用算式表达的函数可用“y=f(x)〞表达,而不必再表出f D .例如, 函数=-2y 1x [-1,1], 函数=-2y 1x (-1,1)._________________________________________________________________________________________________________________________________．多值函数在函数的定义中,对每个∈x D ,对应的函数值y 总是唯一的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．给定一个对应法那么,如果按这个法那么,对每个∈x D ,对应的函数值y 不是唯一的那么对于这样的对应法那么并不符合函数的定义,习惯上我们称这种法那么确定了一个多值函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,设变量x 和y 之间的对应法那么由方程222x y r +=给出,显然,对每个x [r,r]∈-,由方程222x y r +=可确定出对应的y 值,当x=r 或-r 时,对应y=0一个值;当x 取(-r,r)内任一个值时,对应的y 有两个值,所以这方程确定了一个多值函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．多值函数的单值分支对于多值函数,如果我们附加一些条件,使得在附加条件之下,按照这个法那么,对每个∈x D ,总有唯一确定的实数值y 与之对应,那么这就确定了一个函数,我们称这样得到的函数为多值函数的单值分支,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,在由方程222x y r +=给出的对应法那么中,附加'y ≥0〞的条件,即以“222x y r +=且≥y 0〞作为对应法那么,就可得到一个单值分支y=221y (x)r x =-附加“≤y 0〞的条件,即以“+=2Z 2x y r 且≤y 0〞作为对应法那么, 就可得到另一个单值分支222y y (x)r x ==--_________________________________________________________________________________．表示函数的主要方法表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集{P(x,y)|y f(x),x D}=∈称为函数=∈y f(x),x D 的图形(图1-3).图中的f R 表示函数y=f(x)的值域,____________________________________________________________________________________．下面举几个函数的例子,例5函数y=2的定义域=-∞+∞D (,),值域W={2},它的图形是一条平行于x 轴的直线,如图1-4所示,______________________________________________________________________________________________________．例6绝对值函数函数==y |x |x,x 0,x,x 0≥⎧⎪⎨-<⎪⎩的定义域=-∞+∞D (,),值域f R [0,)=+∞,它的图形如图1-5所示,这函数称为绝对值函数,_____________________________________________________________________________．例7符号函数函数1,x 0y sgnx 0,x 01,x 0>⎧⎪==⎨⎪-<⎩,称为符号函数,它的定义域=-∞+∞D (,),值域f R {1,0,1}=-,它的图形如图1-6所示,对于任何实数x,以下关系成立:x sgnx |x |=⋅______________________________________________________________________．例8取整函数设x 为任一实数,不超过x 的最大整数称为x 的整数局部, 记作[x].例如,[-1]=-1,[-3.5]=-4.把x 看作变量,那么函数y=[x]的定义域=-∞+∞D (,),值域f R Z =.它的图形如图1-7所示,这图形称为阶梯曲线,在x 为整数值处,图形发生跳跃,跃度为1.这函数称为取整函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．在例6和例7中看到,有时一个函数要用几个式子表示,这种在自变量的不同变化范围中,对应法那么用不同式子来表示的函数,通常称为分段函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例9分段函数函数==y f(x)2x ,0x 1,1x,x 1⎧≤≤⎪⎨+>⎪⎩是一个分段函数,它的定义域=+∞D [0,) 当x [0,1]∈时,对应的函数值f(x)2x =当∈x +∞(1,)时,对应的函数值f(x)=1+x._________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,12[0,1]∈,所以11f()22;22== 1[0,1]∈,所以f(1)212==∈+∞3(1,),所以f(3)=1+3=4.这函数的图形如图1-8所示,_______________________________________________用几个式子来表示一个函数, (不是几个函数！)不仅与函数定义并无矛盾,而且有现实意义,在自然科学和x 程技术中,经常会遇到分段函数的情形,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如，在等温过程中，气体压强p 与体积V 的函数关系,当V 不太小时依从玻意耳定律;当V 相当小时,函数关系就要用范德瓦耳斯方程来表示, 即002k ,V V ,V p γα,βV V V βV ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪-⎩其中k,α,β,γ都是常量, _________________________________________________________________________________________________________________________________．2.函数的几种特性(1)函数的有界性设函数f(x)的定义域为D,数集⊂X D ,如果有存在实数1K ，对任一1x X ∈,≤1f(x)K , 那么称f(x)在X 上有上界,1K 为上界,如果有存在实数2K ，对任一1x X ∈,≥2f(x)K ,那么称f(x)在X 上有下界,K 2为下界,如果有存在正数M ，对任一x X ∈,≤|f(x)|M ,那么称f(x)在X 上有界,如果不存在正数M ，对任一x X ∈,≤|f(x)|M ,那么称f(x)在X 上无界;如果有存在正数M ，对任一1x X ∈1|f(x )|M >,那么称f(x)在X 上无界,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,函数f(x)=sinx,x ∈-∞+∞(,)数1是它的一个上界,(大于1的任何数也是它的上界)数-1是它的一个下界,(小于-1的任何数也是它的下界)_________________________________________________________________________________________________________________________________．对任意x, |sinx |1≤函数f(x)=sinx 在-∞+∞(,)内是有界的,这里M=1(大于1的数也可作为M),_________________________________________________________________________________________________________________________________． _________________________________________________________________________________________________________________________________．函数=1f(x)x在开区间(0,1)内没有上界,但有下界, 例如1就是它的一个下界,_________________________________________________________________________________________________________________________________．函数=1f(x)x在开区间(0,1)内是无界的, 因为不存在这样的正数M, 对于(0,1)内的一切x,≤1||M x .无上界所以无界 _________________________________________________________________________________________________________________________________．但是=1f(x)x在区间(1,2)内是有界的, 例如可取M=1,对于一切∈x (1,2),≤1||1x , _________________________________________________________________________________________________________________________________．容易证明,函数f(x)在x 上有界的充分必要条件是它在x 上既有上界又有下界,_________________________________________________________________________________________________________________________________．(2)函数的单调性设函数f(x)的定义域为D,区间I ⊂D.如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ,当12x x <时,恒有12f(x )f(x )<那么称函数f(x)在区间I 上是单调增加的(图1-9);如果对于区间I 上任意两点1x ,及2x ,当 <I 2x x 时,恒有>12f(x )f(x )那么称函数f(x)在区间 I 上是单调减少的(图1-10).单调增加和单调减少的函数统称为单调函数,_______________________________________．例如,函数=2f(x)x 在区间+∞[0,)上是单调增加的,在区间-∞(,0]是单调减少的;在区间-∞+∞(,)内函数=2f(x)x 不是单调的(图1-11).例如,函数=3f(x)x 在区间-∞+∞(,)内是单调增加的(图1-12)._______________________________________________________________．(3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D 关于原点对称,如果对于任x D -∈f(-x)= f(x)恒成立,那么称f(x)为偶函数,如果对于任x D -∈f(-x)=-f(x)恒成立,那么称f(x)为奇函数例如,2f(x)x =是偶函数,因为22f(x)(x)x f(x)-=-==例如,3f(x)x =是奇函数,因为33f(x)(x)x f(x).-=-=-=-______________________________________________________．偶函数的图形关于y 轴对称,因为假设f(x)是偶函数,那么f(-x)=f(x),所以如果A(x,f(x))是图形上的点,那么与它关于y 轴对称的点'-A (x f(x))也在图形上(图1-13).__________________________________________________________________________．奇函数的图形关于原点对称,因为假设f(x)是奇函数,那么f(-x)=-f(x),所以如果A(x,f(x))是图形上的点,那么与它关于原点对称的点A (x,f(x))''--也在图形上(图1-14).函数y=sinx 是奇函数,函数y=cosx 是偶函数,函数y=sinx+cosx 既非奇函数,也非偶函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．(4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l,对于任一∈x D ,有(x l)D ±∈且f(x+l)=f(x),那么称f(x)为周期函数,l 称为f(x)的周期,通常我们说周期函数的周期是指最小正周期,例如,函数sinx,cosx 都是以2π为周期的周期函数;函数tanx 是以π为周期的周期函数,图1-15表示周期为l 的一个周期函数,在每个长度为l 的区间上,函数图形有相同的形状,_________________________________________________________________________________________________________________________________．并非每个周期函数都有最小正周期,下面的函数就属于这种情形,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例10狄利克雷(Dirichlet)函数=D(x)C 1,x Q,0,x Q .∈⎧⎪⎨∈⎪⎩容易验证这是一个周期函数,任何正有理数r 都是它的周期,因为不存在最小的正有理数,所以它没有最小正周期,_________________________________________________________________________________________________________________________________．3.反函数与复合函数反函数是特殊的逆映射,反函数的概念,设函数f:D f(D)→是单射,那么它存在逆映射1f :f(D)D -→,称此映射1f -为函数f 的反函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________． ∵函数f:D f(D)→是单射∴对每个y ,只有唯一的x ,使得f(x)=y,于是1f (y)x -=∴反函数1f -是由函数f 确定的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,∵=3y x ,∈x R 是单射,∴所以它的反函数存在,其反函数为13x y ,y R.=∈∵习惯上自变量用x 表示,因变量用y 表示, ∴反函数13x y ,y R.=∈通常写作13y x ,x R.=∈一般的,y=f(x),x ∈D 的反函数记成1x f (y),y f(D)-=∈→1y f (x),x f(D).-=∈ _________________________________________________________________________________________________________________________________．假设f 是定义在D 上的单凋函数,那么f:D f(D)→是单射,∴f 的反函数1f -必存在,|而且容易证明1f -也是f(D)上的单调函数,证设f 在D 上单调增加,现在来证明1f -在f(D)上也是单调增加的,任取12y ,y f(D)∈,且y 12y <接函数f 的定义,对1y ,在D 内存在唯一的原像1x ,使得11f(x )y =,于是111f (y )x -=,对2y ,在D,内存在唯一的原像x 2,使得22f(x )y =,于是(22f (y )x ,-=如果>12x x ,那么由f(x)单调增加,必有>I 2y y ;如果=12x x ,那么显然有12y y =.这两种情形都与假设<I 2y y 不符,故必有12x x <,即11f (y )-<22f (y ).-这就证明了1f -在f(D)上是单调增加的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．相对于反函数1y f (x)-=来说,原来的函数y=f(x)称为直接函数,把直接函数y=f(x)和它的反函数1y f (x)-=的图形画在同一坐标平面上,这两个图形关于直线y=x 是对称的(图1-16).这是因为如果P(a,b)是y=f(x)图形上的点,那么有b=f(a).接反函数的定义,有1a f (b)-=故Q(b,a)是1y f (x)-=图形上的点;_________________________________________________________________________________________________________________________________．反之,假设Q(b,a)是1y f (x)-=,是图形上的点,那么P(a,b)是y=f(x)圆形上的点,而P(a,b)与Q(b,a)是关于直线y=x 对称的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．复合函数是特殊的复合映射,按照通常函数的记号,复合函数的概念可如下表述,设函数u=(x)的定义域为g D ,其值域为g R ,函数y=f(u)的定义域为f D ,而g R f D ⊂那么函数g y f[g(x)],x D =∈称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为g D ,变量u 称为中间变量,函数g 与函数f 构成的复合函数, 通常记为f g复合次序先g 后f.即(f g)(x)f[g(x)]=_________________________________________________________________________________________________________________________________． |与复合映射一样,g 与f 能构成复合函数f g 的条件是:函数g 的值域g R 必须含在函数f 的定义域f D 内,即g f R D ⊂.否那么,不能构成复合函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,u=g(x)=sinx 的值域为[-1,1],y=f(u)=arcsinu 的定义域为[-1,1],g 的值域[-1,1]⊂f 的定义域[-1,1]故g 与f 可构成复合函数,y=arcsinsinx,x R ∈又如,u=g(x)=tanx 的值域为g R =-∞+∞(,),.==y f(u)f D [0,)=+∞,显然g f R D ⊄,故g 与f 不能构成复合函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．但是,如果将函数g 限制在它的定义域的一个子集1D {x |k πx (k )π,k Z}2=≤<+∈上,令*g (x)tanx,x D =∈,那么**f g R g (D)D =⊂g*与f 就可以构成复合函数(f g*)(x)D =∈_________________________________________________________________________________________________________________________________．习惯上为了简便起见,u=tanx 与函数=y 构成的复合函数,这里函数u=tanx 应理解成:u=tanx,∈x D .以后,我们采取这种习惯说法,例如,我们称函数u=x+1与函数y=lnu 构成复合函数ln(x+1),它的定义域不是u=x+1的自然定义域R,而是R 的一个子集=-+∞D (1,)_________________________________________________________________________________________________________________________________．有时,也会遇到两个以上函数所构成的复合函数,只要它们顺次满足构成复合函数的条件,例如,函数=y ,u=cotv,=x v 2可构成复合函数这里u 及v 都是中间变螯,复合函数的定义域是D {x |2k πx =<<+∈(2k 1)π,k z}, 而不是=χv 2的自然定义域R, D 是R 的一个非空子集,_________________________________________________________________________________________________________________________________．4.函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为12D ,D ,12D D D =≠∅ 那么我们可以定义这两个函数的以下运算:,和f g +:(f g)(x)f(x)g (x),x D +=+∈;差f g -:(f g)(x)f(x)g (x),x D -=-∈;积f ·g:(f g)(x)f(x)g (x),x D ⋅=⋅∈ 商f g :f f(x)()(x)g g (x)=x D\{x |g (x)0,x D}∈=∈ 例11设函数f(x)的定义域为(-1,1),证明必存在(-1,1)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).证假设g(x)、h(x)存在,∴g(-x)= g(x), h(-x)= -h(x)∵f(x)= g(x)+h(x)(1)∴f(-x)= g(x)-h(x)(2)旁解:f(-x)= g(-x)+ h(-x) = g(x) -h(x) g(x)=12[f(x)+f(-x)], h(x)=12[f(x)-f(-x)], 验证 g(-x) =12[f(-x)+f(x)]=g(x) h(-x) =12[f(-x)-f(x)]=h(x) g(x)+h(x)=f(x).∴必存在(-1,1)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x)._________________________________________________________________________________________________________________________________．5.初等函数根本初等函数在初等数学中已经讲过下面几类函数:幂函数: μy x =(μR ∈是常数),指数函数: x y a =(a>0.且a 1≠)对数函数:, a y log x =(a>0.且a 1≠,特别当①a e =时,记为y=lnx)三角函数:如y=sinx.y=cosx.y=tanx 等反三角函数:如y=arcsinx.y=arccosx.y=arctanx 等以上这五类函数统称为根本初等函数,由常数和根本初等函数经过有限次的四那么运箅和有限次的函数复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数,例如2y 1x ,=-2y sin x =,=x y cot 2等都是初等函数, 在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．应用上常遇到以e 为底的指数函数x y e =和x y e -=所产生的双曲函数以及它们的反函数一一反双曲函数,它们的定义如下: 双曲正弦x x e e shx 2--= 双曲余弦x x e e chx 2-+= 双曲正切x x x xshx e e thx .chx e e ---==+ _________________________________________________________________________________________________________________________________．这三个双曲函数的简单性态如下:双曲正弦的定义域为-∞+∞(,),它是奇函数,它的图形通过原点且关于原点对称,在区间(,)-∞+∞内它是单调增加的,当x 的绝对值很大时,它的①e 是一个无理数,这个数的意义见本章第六节,图形在第一象限内接近于曲线y=x 1e 2 在第三象限内接近于曲线x 1y e 2-=- (图1-17).双曲余弦的定义域为-∞+∞(,)它是偶函数,它的图形通过点(0,1)且关于y 轴对称,在区间(-∞,0)内它是单调减少的;在区间+∞(0,)内它是单调增加的,ch 01=是这函数的最小值,_________________________________________________________________________________________________________________________________．当x 的绝对值很大时, 它的图形在第一象限内接近于曲线x 1y e 2=, 双曲余弦的定义域为-∞+∞(,) 在第二象限内接近于曲线x 1y e 2-= (图1-17). 双曲正切的定义域为-∞+∞(,);它是奇函数,它的图形通过原点且关于原点对称,在区间-∞+∞(,)内它是单调增加的,它的图形夹在水平直线y=1及y=-1之间;且当x 的绝对值很大时,它的图形在第一象限内接近于直线y=1,而在第三象限内接近于直线y=-1(图1-18)._________________________________________________________________________________________________________________________________．根据双曲函数的定义,可证以下四个公式:sh(x+y)=shxchy+chxshy(1)sh(x -y)=shxchy -chxshy(2)ch(x+y)=chxchy+shxshy(3)ch(x- y)=chxchy- shxshy(4)我们来证明公式(1),其他三个公式读者可自行证明,由定义,得 shxchy+chxshy y y y yx x x x e e e e e e e e 2222-----++-=⋅+⋅ x y y x x y (x y )e e e e 4+---+-+-=+x y y x x y (x y )e e e e 4+---++-- _________________________________________________________________________________________________________________________________．由以上几个公式可以导出其他一些公式,例如:在公式(4)中令x=y,并注意到ch0=1,得-=22ch x sh x 1(5)在公式(1)中令x=y,得sh2x=2shxchx.(6)在公式(3)中令x=y,得=+22ch2x ch x sh x (7)以上关于双曲函数的公式(1)至(7)与三角函数的有关公式相类似,把它们比照一下可帮助记忆,双曲函数y=shx,y=chx(x 0≥),y=thx 的反函数依次记为反双曲正弦y=arshx反双曲余弦y=archx,反双曲正切y=arthx._________________________________________________________________________________________________________________________________．这些反双曲函数都可通过自然对数函数来表示,分别讨论如下:先讨论双曲正弦y=shx 的反函数,由x=shy,有y ye e x 2--= 令y u e =,那么由上式有2u 2xu 10.--=这是关于n 的一个二次方程, 它的根为2u x x 1.=±+因y u e =>0,故上式根号前应取正号, 于是2u x x 1=+_________________________________________________________________________________________________________________________________．由于y=lnu,故得反双曲正弦2y arshx ln(x x 1).==++函数y=arshx 的定义域为-∞+∞(,),它是奇函数,在区间-∞+∞(,)内为单调增加,由y=shx 的图形,根据反函数的作图法,可得y=arshx 的图形如图1-19所示,_________________________________________________________________________________________________________________________________．下面讨论双曲余弦y=chx(x 0≥)的反函数,由x=chy(y 0≥),有y y e e x ,y 02-+=≥ 由此得y 2e x x 1=-故2y ln(x x 1)=±-上式中x 的值必须满足条件≥x 1,。

《高等数学》各章知识点总结——第1章

《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。

集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。

集合中的元素无序，不重复。

2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。

(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。

(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。

(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。

(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。

3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。

(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。

(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。

4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。

(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。

通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。

5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。

(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。

(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。

(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。

(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。

总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。

理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。

在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。

高等数学第一章

y
函数 y f ( x )
反函数 x ( y )
W
W
o
D
x
o
D
x
三、复合函数
1、复合函数
设 y u, u 1 x ,
2
y 1 x
2
定义设函数 y f ( u) 的定义域为 D f , 而函数
u ( x ) 的值域为 Z , 若 Z D , 则称函数 f y f [( x )] 为 x 的复合函数.
一、函数的有界性
f ( x) 2 x 1,
三、函数的周期性四、函数凹凸性
x0
.
1．函数的有界性 y
M y=f(x)
y
M
o
有界 -M
x X
o
-M
x0
X
无界
x
设函数 f ( x ) 在区域有界: X D, M 0, 则称
上有定义, x X 使得 f ( x ) M ;
第一章
函数
第一节函数的定义
一、基本概念二、函数概念
一、函数概念
1 函数定义定义：设 x和 y是两个变量, D 是一个给定的数集. 如果对于每个数 x D , 变量 y 按照一定法则,总有确定的数值与之对应, 则称 y 是 x 的函数, 记作 y f ( x ) . 数集D叫做这个函数的定义域. x叫做自变量, y 叫做因变量. f 叫做函数关系. 单值函数: 自变量在定义域内任取一个数值时, 对应的函数值总是只有一个的函数. 否则叫多值函数．
中心
a 的去心邻域:
a
a
a
半径
x
o
0 U (a ) { x 0 x a },

大学高数第一章函数和极限ppt课件

例如函数 y x2 在 (, 0) 上单调递减，在 (0, ) 上单调递增
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数；若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
(2)
1 x 1
ln(x 0
1)

1

1

e
x
1 1
x

e
1
D :[1 1, e 1] e
12
邻域的概念
以 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 N x0 。设为任一正数，称开区间 x0 , x0 为 x0 的邻域，记作 N x0 , ， x0 称为邻域的中心，称为邻域的半
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
10
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是
变量 x 的函数，即： y f (u) ， u (x) ，且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分，则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]

大一上学期同济版高数第一章连续性间断点

2 nx
有因而
x x < 0 f ( x) = 0 x = 0 x2 x > 0
x→ 0 x→ 0
lim f ( x) = lim f ( x) = 0 = f (0) − +
∴ f ( x) 在(−∞,+∞)内续连
20
内容小结
在点连续的等价形式
在点
左连续间断的类型
右连续
第一类间断点第二类间断点
若其中有一个为 ∞, 称
若其中有一个为振荡 , 称
x0 为振荡间断点 . 振荡间断点
14
例如: 例如 (1)
x , x ≠1 y = f (x) = 1 2 , x =1
x→ 1
y
1
1 2
显然 lim f (x) =1≠ f (1 )
x =1为其可去间断点 .
x −1, x < 0 (2) y = f (x) = 0 , x = 0 x +1, x > 0
∆y = 2
∆x sin 2 ∆x cos( x + 2 )
= ∆x
即这说明同样可证: 函数在在
∆x →0
0
内连续 . 内连续 .
7
( 定义2 定义2 y = f ( x) x∈[a,b]若 f ( x) 在 a,b) 内连续，
且
f ( x) 在 a,b] 上连续， [ 称区间 [a,b] 为 f ( x) 的续间连区。
2
函数的增量: 函数的增量
始到值 u2 u 设变量u 初值u1 变终 u2，－ 1 从
就称为变量 u 在u1 的增量，通常用符号 ∆u 表示，
> 0 u1 < u2 即∆u = u2－u1 < 0 u1 > u2

高等数学第一章

x1 ，x2 ，x3 ，，xn ，，这列数就称为数列，记作{xn}．
数列中的每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称为数列的一般项或通项．
（一）数列极限的概念
定义 2 对于数列 {xn} ，当 n 无限增大时，如果数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数
值
a，则称常数
a
是数列 {xn} 的极限，或称数列 {xn} 收敛，其收敛于
（二）指数函数
y ax (a 0 ，a 1) 为指数函数，它的定义域为 ( ， ) ，值域为 (0 ， ) ．当 a 1 时，y ax 单调增加；当 0 a 1 时， y ax 单调减少．指数函数的图形都经过点 (0 ，1) ，且均在 x 轴上方。
（三）对数函数
y loga x (a 0 ，a 1) 为对数函数，它是指数函数 y ax 的反函数，其定义域为 (0 ， ) ，值域为 ( ， ) ．当 a 1 时， y loga x 单调增加；当 0 a 1 时， y loga x 单调减少．对数函数的图形都经过点 (1，0) ，且均在 y 轴的右方.
其中，D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．
（三）函数的定义
当 x 取定义域 D 内的某一定值 x0 时，按照对应法则 f ，所得的对应值 y0 称为函数 y f (x) 在
x0 处的函数值，记作
y0
y x x0
f (x0 ) ，
当 x 取遍定义域 D 中的所有数值时，按照对应法则 f ，所得的所有对应值 y 构成的集合称为函数的值域，记作 M {y | y f (x) ，x D}．
则称函数 f (x) 在区间 I 上是单调增加的，区间 I 称为单调增区间；如果对于区间 I 内的任意两点 x1 ，x2 ，当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ，

高等数学第一章

连续
桥梁
第一节函数
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 通常用大写字母表示集合用小写字母表示集合的元素.
没有任何元素的集合称为空集,记作
表示 M 中排除 0 与负数的集 . M
注: M 为数集
* 表示 M 中排除 0 的集 ; M
一、基本概念——集合的表示法
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y M y=f(x) o -M x 有界 X y
M
o
-M
x0
X
无界
x
注：有界性和定义区间有关．
二、函数——性质 2．函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I D, x1 , x2 I , 当 x1 x2
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的单调增函数 ; 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的单调减函数 .
二、函数——举例
例 A，B两地间的汽车运输，旅客携带行李按下列标准支付运费：不超过10公斤的不收行李费；超过10公斤而不超过30 公斤的，每公斤收运费0.50元；超过30公斤而不不超过100 公斤的，每公斤收运费0.80元。试列出运输行李的运费y与行李的重量x之间的函数关系式，写出其定义域，并求出所带行李分别为18公斤和60公斤的甲、乙两旅客各应支付多少运费？
)2 解: f ( 1 2
1 2

2
1 1 , 0 t 1 t 1 f (t ) 2 t 1 , t 定义域 D [0 , )
值域 f ( D ) [0 , )

高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)

第一章函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节函数一、实数与区间二、领域三、函数的概念四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法：通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域自变量Wy)因变量看右图：如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。

《高等数学》详细上册答案(一--七)

2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。

第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。

《高等数学(上册)》第一章

o
作U (a ， ) ，即
o
U (a ， ) {x | 0 | x a | } ．点 a 将整个邻域分为两部分，左边的称为左邻域，用区间 (a ，a) 表示，右边的称为右邻域，用区间 (a ，a ) 表示．
1.1.2 函数的概念
在研究各种实际问题时，经常会遇到两种不同类型的量：一种在所研究问题的过程中可取不同的数值；另一种在所研究问题的过程中保持不变，只取一个固定值．前者为变量，后者为常量．在同一个过程中，往往有几个变量同时变化，但是它们的变化不是孤立的，而是按照一定的规律互相联系着．变量之间互相依赖的关系，就是下面我们要介绍的函数关系．
1.1.3 函数的几种特性
2．单调性一般地，设函数 y f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义，如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内单调增加；如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内单调减少．单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数，若函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是单调函数，则称 (a ，b) 是该函数的单调区间．
一般地，设 y 是 u 的函数 y f (u) ，u 是 x 的函数 u (x) ．如果 u (x) 的值
域或其部分包含在 y f (u) 的定义域中，则 y 通过 u 构成 x 的函数，称为 x 的复合
函数，记作 y f [ (x)] ．其中，x 是自变量，u 称为中间变量．
1.1.4 反函数与复合函数
y f 1(x) 在各自的定义域内具有相同的单调性，在同一直角坐标系中，它们的图像关于直线 y x 对称，如图所示．

高等数学第1章第八节无穷小的比较

第八节无穷小的比较
无穷小
高阶无穷小
同阶无穷小
特例等价
无穷小
低阶无穷小
等价无穷小的充要条件
等价无穷小的替换
1
一、基本理论
当x 0时,3x, x 2 , sin x, tan x都是无穷小,
而 lim x2 0, x0 3 x
lim
x0
sin x x2
,
tan x
lim
1
x0 sin x
x
x
lim
x0
x
1 cos xx
3 sin x lim x
x cos
1 x
3
x0 1 cos x
2
例7：求 lim 1 x sin x 1
x0
e x2 1
解：当x 0时,
1
x sin x
1 1
x
sin
x
1 2
1~
1
x sin x, e x2
1~
x2,
lim
x0
1 x sin x ex2 1
x0
x3
x0
x3
2
注：利用无穷小的替换求极限，须注意以下问题：
（1）一般只适用于求极限函数中的乘积因子。（2）如果极限中出现加减时，则设法把它们转化为乘除的形式。
11
4 分析：要证明
lim xn yn 0, 只要证
n
对于 0, N , 当n N时, xn yn 0
证 xn 有界，
2x
2x
lim x sin x
2x x2 1
sin lim
x
x2 1
1
lim
x
x2 1 1

第1章函数极限与连续 §1.8 连续函数的性质

提示: 令 ( x ) f ( x a ) f ( x ) ,
则 ( x ) C [0 , a ] , 易证
(0) (a ) 0
作业
P49 / 2 ; 3 ; 5
解本题是求初等函数的极限, 因 x 1是定义区间内的点, 故
e 2 x ln(3 2 x ) e 21 ln(3 2 1) lim arcsin x arcsin1 x 1

2e
2

.
高等数学第1章函数极限与连续函数极限与连续
1.8 连续函数的性质
ln( e n x n ) ( x 0) 的连续性. 例1.8.4 讨论函数 f ( x ) lim n n
1.8 连续函数的性质
内容小结
设 f ( x ) C [a , b] , 则
1. f ( x ) 在 [a , b]上有界; 2. f ( x ) 在 [a , b]上达到最大值与最小值; 3. f ( x ) 在 [a , b]上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f (a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) ,使 f ( ) 0.
高等数学第1章函数极限与连续
1.8 连续函数的性质
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
S ( )
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 ,
S ( ) A
o

x
故由介值定理可知:
由此可知f ( x ) sin x 2在( ,)不是一致连续的.

高等数学第一章1-8

�
一,无穷小的比较
1 例如, 例如当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x 2 x 2 lim = 0, x 比3 x要快得多 ; 观 x→0 3 x 察各 sin x sin x x ; = 1, lim 极 x→0 x 限 1 2 x sin x = lim sin 1 lim 比. 比 . 2 x→0 x→0 x x
解
当x → 0时, sin 2 x ~ 2 x , 时
1 3 tan x sin x = tan x (1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 2 = 1. 原式 = lim x→0 → ( 2 x )3 16
例5 解tan 5 x c来自s x + 1 . 求 lim x→0 sin 3 x
tan x sin x tan x 1 cos x 1 解 Q lim )= , = lim( 3 2 x→0 x→0 x x x 2
∴ tan x sin x为x的三阶无穷小 .
常用等价无穷小: 常用等价无穷小:
当x → 0时, 时
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x ,
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e 1 ~ x,
x
1 2 1 cos x ~ x . 2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 用等价无穷小可给出函数的近似表达式 β αβ Q lim = 1, ∴ lim α = 0, 即 α β = o(α ), α α
于是有 α = β + o(α ). α
是无穷小, 三,证明:若α , β 是无穷小,则α ~ β α β = 0(α ) . 证明: 四,设 f(x)= lim

《高等数学》-各章知识点总结——第1章

《高等数学》-各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε ( ≡ H ), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有|x n -a |<ε a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x nn =∞→lim 或xn →a (n →∞).（2）函数极限的定义设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,（或存在X ）使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时）恒有 |f (x )-A |<ε ,那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限, 记为A x f xx =→)(lim 0或f (x )→A (当x →x 0).（或lim ()x f x A →∞=）类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ∀>∃>当00:x x x x δ-<<（00xx x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作00lim()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→==或3、极限存在的准则（i ）夹逼准则给定数列{},{},{}nnnx y z若①0,n N +∃∈当0n n >时有nn ny x z ≤≤②lim lim nnn n y z a →∞→∞==，则lim nn xa→∞=∧⎬π(),(),()f x g x h x ，若①当00(,)x U x r ∈（或x X>）时，有()()()g x f x h x ≤≤②00()()lim ()lim ()x x x x x x g x h x A→∞→∞→→==，则0()lim()x x x f x A→∞→=（ii ）单调有界准则给定数列{}n x ，若①对n N +∀∈有11()n n nn x x x x ++≤≥或②()M m ∃使对n N +∀∈有()n nx M x m ≤≥或则lim nn x →∞存在若()f x 在点0x 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0lim()x x f x -→（或0lim()x x f x +→）存在4、极限的运算法则（1）若0()lim()x x x f x A→∞→=，0()lim()x x x g x B→∞→=则(i)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→±=±(ii)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→⋅=⋅(iii)0()()lim()x x x f x Ag x B→∞→=⋅（0B ≠）（2）设（i ）0()lim ()x x u g x g x u →==且（ii ）当0(,)x U x δ∈时0()g x u ≠ （iii ）0lim ()u u f u A →=则0lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==5、两个重要极限（1）0sin lim 1x xx→=()0sin ()lim1()u x u x u x →=sin limx xx ∞→=，1lim sin 1x x x →∞=，01lim sin 0x x x→= （2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭)()(1lim 1;()x u u x e u x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭10lim(1)xx x e→+=()()01()lim 1();v x x v v x e →+=6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若0()lim ()0x x x x α→∞→=，即对0,0,εδ∀>∃>当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()x αε<，则称当0()()x x x x α→→∞或，无穷小量（2）若0()lim ()x x x f x →∞→=∞即对0,0(0),M X δ∀>∃>>或当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()f x M>则称当0()()x x x f x →→∞或，无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）00()()lim ()()(),lim ()0x x x x x x f x A f x A x x αα→∞→∞→→=⇔=+=其中（2）00()()1lim ()0()0lim()x x x x x x f x f x f x →∞→∞→→=≠⇒=∞（）（3）00()()1lim ()lim0()x x x x x x g x g x →∞→∞→→=∞⇒=（4）0()lim ()0,x x x f x M →∞→=∞∃>且当0:0x x xδ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]x x x f x g x →∞→+=∞（5）0()lim ()00,x x x f x M →∞→=∃>且当0:0x x xδ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]0x x x f x g x →∞→⋅=（6）0()lim()0(1,2,,)k x x x f x k n →∞→==则01()lim ()0,nkx k x x f x →∞=→=∑01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∏8、无穷小量的比较000()()()lim ()0,lim ()0,lim ()0→∞→∞→∞→→→===x x x x x x x x x f x g x x α若（1）0()()lim0,()x x x f x C g x →∞→=≠，则称当0()x x x →→∞或时，()f x 与()g x 是同阶无穷小。

高等数学侯风波第1章

例 8 作出下面分段函数的图形：
f(x)
0,
f
(
x)

x
2
,
3 x,
1 x 0, 0 x 1, 1 x 2.
2 1
-1 O 1 2 x
解该分段函数的图形如上图所示．
定义 2 设D 与M 分别是两个数集，存在对应律f ,若
对D 中的每一个数 x ，通过对应规律 f ，集合M 中都有惟
例 7 王先生到郊外去观景，他匀速前进，离家不久，他发现一骑车人的自行车坏了，他帮助这个人把自行车修好，随后又上路了．请把王先生离家的距离关于时间的函数用图形描述出来．
解王先生离家的距离关于时间的函数图形见左下图．
离家距离
离家距离
9 6 3
O
时间
O 1 2 3 4 5 时间
如果给上页左图标明具体的数值如上页右图，则可由解析表达式表示为
例 1 f (x)=2 x2+3 x 1 就是一个特定的函数， f 确定的对应规律为：
f （）=2( )2+3( )－1 .
例 2 设y = f (x)=1 sin1 ，求 f ( 2 )．
xx
π
解
y x2 π

f (2) π
π sin( 2
π) 2
π. 2
例 3 设 f (x +1)= x 2-3 x ，求 f (x) . 解令 x 1 t ，则 x t 1,
使 x2 x 6有定义,必须满足 x2－ x－6≥0，即
(x 3)(x 2) 0 ，解得 x ≥3 或 x ≤－2 ，即 x2 x 6 的定义域为 ( , 2 ] [ 3, ; )

高等数学-第一章第八节连续函数

(2) lim f ( x) 存在; x x0
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0 5
连续函数
注
由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性是描述 f(x)在x0点邻域的性态的. 即它是对某一邻域而言. 因此在孤立点处无连续可言.
一般讲,证明的命题用函数连续的定义1方便; 判断函数在某点是否连续, 尤其是判断分段函数在分界点处是否连续用定义2方便.
处连续.
证
lim x0
x sin
1 x

0,
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
8
连续函数
3. 左、右连续
若 lim x x0
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) ,
则称f ( x)在点x0处左连续(continuity from the
4
连续函数
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有三个要素:
(1) f (x)在U ( x0 )内有定义;
f (u0 ).
意义 1. 变量代换 u g( x)的理论依据.
2. 在定理的条件下, lim 与f 可交换次序;
16
连续函数
定理3
若 lim x x0
g( x)

u0 , 函数
f
(u)在点u0连续,
则有 lim x x0
f [g( x)]

高等数学第1章8节