函数经典典型例题

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初中数学函数典型例题

初中数学函数典型例题1、已知：m n 、是方程2650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线2y x bx c =-++的图像经过点A(,0m )、B(0n ，).(1) 求这个抛物线的解析式；(2) 设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（注：抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的顶点坐标为24(,)24b ac b a a --） (3) P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标.[解析] （1）解方程2650,x x -+=得125,1x x ==由m n <，有1,5m n ==所以点A 、B 的坐标分别为A （1，0）,B （0，5）.将A （1，0）,B （0，5）的坐标分别代入2y x bx c =-++.得105b c c -++=⎧⎨=⎩解这个方程组，得45b c =-⎧⎨=⎩所以，抛物线的解析式为245y x x =--+（2）由245y x x =--+，令0y =，得2450x x --+= 解这个方程，得125,1x x =-=所以C 点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D （-2，9）.过D 作x 轴的垂线交x 轴于M. 则1279(52)22DMC S ∆=⨯⨯-= 12(95)142MDBO S =⨯⨯+=梯形，1255522BOC S ∆=⨯⨯= 所以，2725141522BCD DMC BOC MDBO S S S S ∆∆∆=+-=+-=梯形. （3）设P 点的坐标为（,0a ）因为线段BC 过B 、C 两点，所以BC 所在的值线方程为5y x =+.那么，PH 与直线BC 的交点坐标为(,5)E a a +，PH 与抛物线245y x x =--+的交点坐标为2(,45)H a a a --+.由题意，得①32EH EP =，即23(45)(5)(5)2a a a a --+-+=+ 解这个方程，得32a =-或5a =-（舍去） ②23EH EP =，即22(45)(5)(5)3a a a a --+-+=+ 解这个方程，得23a =-或5a =-（舍去） P 点的坐标为3(,0)2-或2(,0)3-.2、某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完．下图是油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数图象．根据图象回答下列问题：(1)求在第一个加工过程中，油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数关系式(不必写出自变量x 的取值范围)；(2)机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止?(3)加工完这批工件，机器耗油多少升?[解析] (1)设所求函数关系式为y=kx+b ．由图象可知过(10，100)，(30，80)两点，得101003080k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1110k b =-⎧⎨=⎩∴ y=-x+llO(2)当y=10时，-x+110=10，x=100机器运行100分钟时，第一个加工过程停止(3)第一个加工过程停止后再加满油只需9分钟加工完这批工件，机器耗油166升3、（2006北京海淀）已知抛物线y x x c 122=-+的部分图象如图1所示。

高中数学函数典型例题

高中数学函数典型例题【例1】已知函数),,( 1)(2Z c b a cbx ax x f ∈++=是奇函数，又3)2(,2)1(<=f f ，求a 、b 、c 的整数值。

【例2】设()x x x x x f --+-=10101010。

（1）证明()f x 在()∞+∞-，上是增函数；（2）求()x f 1-及其定义域【例3】定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<．（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（3）设()()()(){}()(){}22,1,,21,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-+=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数()f x ．三、解答题2．设两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 有一公共根，问：⑴a 与b 之间有什么关系；⑵当]0,1[-∈a ，]0,1[-∈b 时，求22b a +的最大值与最小值。

【例1】设)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，)(x g 的图象与)(x f 的图象关于直线1=x 对称，而当[]3,2∈x 时，c x x x g ++-=4)(2（c 为常数）。

（1）求)(x f 的表达式；（2）对于任意1x ，[]1,02∈x 且21x x ≠，求证：12122)()(x x x f x f -<-；（3）对于任意1x ，[]1,02∈x 且21x x ≠，求证：≤-)()(12x f x f 1.【例2】设函数f (x )的定义域关于原点对称，且满足①121221()()1()()()f x f x f x x f x f x +-=- ②存在正常数a ，使f (a ) = 1，求证：（1）f (x )为奇函数；（2）f (x )为周期函数，且一个周期为4a 。

函数及其图像典型例题

函数及其图像典型例题例1、已知点()p x y ,的坐标满足方程x y ++-=120，则点p 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析：这道题首先考察了平面内点的坐标，在各象限内的横纵坐标的特点，其次是绝对值，算术平方根，互为相反数的性质与概念的理解。

由x y ++-=120，可知：x y =-=12,，所以点()p x y ,，在第二象限，应选（B ）。

例2、已知点M m -⎛⎝ ⎫⎭⎪123,关于原点对称的点在第一象限，那么m 的取值范围是；分析：这道题考查对称点的特点，关于原点对称的点，它们的横纵坐标互为相反数，与点M关于原点对称的点在第一象限，说明点M 在第三象限，则30m <,，即m <0例3、求函数自变量的取值范围（1）函数y xx =--532自变量x 的取值范围是；（2）函数y x x =++-25自变量x 的取值范围是；分析：由解析式给出的函数表达式，自变量x 的取值范围应使解析式有意义，即二次根式的被开方式要大于等于零，分式的分母不能等于零，等。

解：（1） 50320235-≥->⎧⎨⎩∴<<x x x（2） x x x +≥-≥⎧⎨⎩∴-≤≤205025例4、平行四边形相邻的两边长是x y ,，它的周长是30，则y 关于x 的函数关系式是。

解：平行四边形对边相等，所以周长为2230x y +=，得到x y +=15，则y 关于x 的函数关系式为：()y x x =-+<<15015例5、已知，如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的点，F 是CD 边上的点，且AE =AF ，AB =4，设三角形AEF 的面积为y ，EC 为x ，求y 与x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出这个函数的图象。

简解： ABCD AB AD B D 是正方形,,∴=∠=∠=∠Rtx FC EC CD BC DF BE ADF ABE AF AE ==∴==∆≅∆∴=,,,, 且 BE DF x ==-4则正方形S S S S AEF ABE CEF ∆∆∆∆=--2即()y x x =-⨯⨯⨯--1621244122整理合并为：y x x =-+1242，因为E 点在BC 上，F 是CD 上的点，当E 与C 点重合时三角形AEF 不存在，所以x 的取值范围是()04<≤x （图象略）例6、已知：y －1与x 成正比例，当x =2时，y =9那么y 与x 之间的函数关系是。

高中数学基本初等函数习题

课题：基本初等函数习题课一、典型例题：例1：已知54log 27＝a ，54b ＝3，用108,log 81a b 表示的值解法1：由54b ＝3得54log 3＝b∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a+++==+−−解法2：由54log 275427a ==得设108log 81,10881x x ==则所以21(5427)327x −×=×即：2(5454)5454a x b a−×=×所以25454,2x ax a b x ax a b−+=−=+即因此得：2a bx a+=−例2、函数y =的定义域为.例3、函数2321()2x x y −+=的单调区间为.例4、已知函数)10(11log )(≠>−+=a a x x x f a 且.判断)(x f 的奇偶性并予以证明.例5、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y 元，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息.）二、巩固练习：1.函数3log (45)y x =−−的定义域为.，值域为.2.函数2322+−−=x x y 的单调区间为.1.若点)41,2(既在函数b ax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =______，b =_______4.函数12+=−x a y (0>a ，且1≠a )的图象必经过点.5.计算()[]=++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−−2175.034303101.016254064.0.6.求下列函数的值域：x y −=215;xy −⎟⎠⎞⎜⎝⎛=131;121−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=x y ;xy 21−=。

初二关于函数的10题典型例题

初二关于函数的10题典型例题初二数学中关于函数的典型例题有很多，下面列举了其中的10题，并进行了解答。

1. 已知函数 f(x) = 2x + 1，求 f(3) 的值。

解答：将 x 替换为 3，计算得 f(3) = 2 * 3 + 1 = 7。

2. 已知函数 g(x) = x^2 + 3x，求 g(-2) 的值。

解答：将 x 替换为 -2，计算得 g(-2) = (-2)^2 + 3 * (-2) = 4 - 6 = -2。

3. 已知函数 h(x) = 4x^3 + 2x^2 + x，求 h(0) 的值。

解答：将 x 替换为 0，计算得 h(0) = 4 * 0^3 + 2 * 0^2 + 0 = 0。

4. 已知函数 f(x) = 3x - 2，求 f(1/2) 的值。

解答：将 x 替换为 1/2，计算得 f(1/2) = 3 * (1/2) - 2 = 1/2 - 2 = -3/2。

5. 已知函数 g(x) = 2x + 3，求使得 g(x) = 7 的 x 的值。

解答：将 g(x) = 7，解方程得 2x + 3 = 7，即 2x = 4，x = 2。

6. 已知函数 h(x) = 5x^2 + 4x + 1，求使得 h(x) = 0 的 x 的值。

解答：将 h(x) = 0，解方程得 5x^2 + 4x + 1 = 0，该方程可以因式分解为 (5x + 1)(x + 1) = 0，得到 x = -1 或 x = -1/5。

7. 已知函数 f(x) = 2x^2 + 5x + 3，求 f(-1) 的值。

解答：将 x 替换为 -1，计算得 f(-1) = 2 * (-1)^2 + 5 * (-1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0。

8. 已知函数 g(x) = 3x^2 + 2x + 1，求 g(2) 的值。

解答：将 x 替换为 2，计算得 g(2) = 3 * 2^2 + 2 * 2 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17。

人教版高中数学必修一函数及其性质典型例题

(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质典型例题单选题1、已知函数f(x)=x2−|x2−a2x−4|在区间(−∞,−2)，(√3,+∞)上都单调递增，则实数a的取值范围是（）A．0<a≤2√3B．0<a≤4C．0<a≤4√3D．0<a≤8√3答案：D解析：设g(x)=x2−a2x−4的零点为x1，x2且x1<x2，讨论区间范围写出f(x)的分段函数形式，讨论参数a结合f(x)各区间的函数性质判断单调性，根据已知区间的单调性求参数范围即可.设g(x)=x2−a2x−4，其判别式Δ=a24+16>0，∴函数g(x)一定有两个零点，设g(x)的两个零点为x1，x2且x1<x2，由x2−a2x−4=0，得x1=a2−√a24+162，x2=a2+√a24+162，∴f(x)={a2x+4,x<x12x2−a2x−4,x1≤x≤x2a 2x+4,x>x2，①当a≤0时，f(x)在(−∞,x1)上单调递减或为常函数，从而f(x)在(−∞,−2)不可能单调递增，故a>0；②当a>0时，g(−2)=a>0，故x1>−2，则−2<x1<0，∵f(x)在(−∞,x1)上单调递增，∴f(x)在(−∞,−2)上也单调递增，g(√3)=−√32a −1<0，√3<x 2，由f(x)在[a 8,x 2]和(x 2,+∞)上都单调递增，且函数的图象是连续的，∴f(x)在[a 8,+∞)上单调递增，欲使f(x)在(√3,+∞)上单调递增，只需a 8≤√3，得a ≤8√3，综上：实数a 的范围是0<a ≤8√3.故选：D.小提示：关键点点睛：先研究绝对值部分的零点，进而写出f(x)的分段函数表达式，再讨论参数a ，根据函数性质及已知区间单调性求参数的范围.2、对于函数f (x )=x|x|+x +1,下列结论中正确的是（）A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在定义域上是单调递减函数C ．f (x )的图象关于点(0,1)对称D ．f (x )在区间(0,+∞)上存在零点答案：C解析：把f (x )=x|x|+x +1转化为分段函数f (x )={−x 2+x +1,x ⩽0x 2+x +1,x >0 ，画出图像，即可得解.如图，f(x)={−x 2+x+1,x⩽0x2+x+1,x>0由图象可知，图象关于点(0,1)对称，因此不是奇函数，在定义域内函数为增函数，在(−∞,0)上有零点，故选：C．小提示：本题考查了利用函数解析式求函数相关性质，考查了分类讨论思想和数形结合思想，本题主要是数形结合，根据函数图像，直观的看出函数相关性质，属于简单题.3、若f(x)=|sinx|⋅e|x|，x,y∈[−π2,π2]且f(x)>f(y)，则下列不等式一定成立的是（）A．|x|>|y|B．|x|<|y| C．x<y D．x>y答案：A解析：利用奇偶性定义可证f(x)在x∈[−π2,π2]上是偶函数，应用导数研究f(x)在x∈(0,π2]上的单调性，进而可得x∈[−π2,0)上的单调性，根据题设条件即可得结论.∵f(−x)=|sin(−x)|⋅e|(−x)|=|sinx|⋅e|x|=f(x)，∴在x∈[−π2,π2]上f(x)是偶函数.当x∈(0,π2]时，f(x)=e x sinx，则f′(x)=e x(sinx+cosx)>0，故f(x)单调递增；∴当x∈[−π2,0)时，f(x)单调递减；由x,y∈[−π2,π2]且f(x)>f(y)，则必有|x|>|y|.故选：A填空题4、函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(π2−x)=f(π2+x)，且当x∈[0,π)时，f(x)=sinxx2−πx+π，给出下列四个结论：① f(π)=0；② π是函数f(x)的周期；③ 函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；④ 函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π. 其中，正确结论的序号是___________.答案：① ③ ④解析：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(π)=f(0)直接计算f(0)即可判断① ；根据函数f(x)的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断f(x)在(0,1)的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.对于①：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(π)=f(0)=sin0π=0，故①正确；对于② ：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(x)关于直线x=π2对称，因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(π+x)=f(−x)=−f(x)所以f(2π+x)=−f(x+π)=f(x)，所以函数f(x)的周期为2π，故② 不正确；对于③ ：当0<x<1时，y=sinx单调递增，且y=sinx>0，y=x2−πx+π=(x−π2)2+π−π24在0<x<1单调递减，且y>1−π+π=1，所以f(x)=sinxx2−πx+π在0<x<1单调递增，因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；故③ 正确；对于④ ：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(x)关于直线x=π2对称，作出示意图函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和即为函数y=f(x)与y=sin1两个函数图象交点的横坐标之和，当x∈[−π2,3π2]时，两图象交点关于x=π2对称，此时两根之和等于π，当x∈(3π2,10]时两图象交点关于x=5π2对称，此时两根之和等于5π，当x∈[−5π2,−π2)时两图象交点关于x=−3π2对称，此时两根之和等于−3π,x∈[−10,−5π2)时两图象无交点，所以函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π.故④ 正确；所以答案是：① ③ ④小提示：求函数零点的方法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数，ℎ(x)和g(x)的形式，根据f(x)=0⇔ℎ(x)=g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y=ℎ(x)和y=g(x)的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.5、已知定义域为R的偶函数f(x)在(−∞,0]上是减函数，且f(1)=2，则不等式f(log2x)>2的解集为__________.答案：(0,12)∪(2,+∞)解析：根据函数奇偶性，以及已知区间的单调性，先确定f(x)在(0,+∞)上单调递增，将所求不等式化为log2x>1或log2x<−1，求解，即可得出结果.因为定义域为R的偶函数f(x)在(−∞,0]上是减函数，且f(1)=2，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(−1)=f(1)=2，因此不等式f(log2x)>2可化为f(log2x)>f(1)，，所以log2x>1或log2x<−1，解得x>2或0<x<12)∪(2,+∞).即不等式f(log2x)>2的解集为(0,12)∪(2,+∞).所以答案是：(0,12。

函数奇偶性的六类经典题型

奇偶性类型一：判断奇偶性[例1] 判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且∴奇函数（2），关于原点对称∴奇函数（3），关于原点对称∴既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：；无意义；∴非奇非偶（5）且，关于原点对称∴为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，∴当x<0时，－x>0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.答案：－－x －1 2.求函数的解析式（1）为R 上奇函数，时，，解：时，∴∴ （2）为R 上偶函数，时，解：时，∴类型三：根据奇偶性求参数1.若函数f(x)= xln （2a x +a=【解题指南】f(x)= xln （x+2a x +2ln()y x a x =+是奇函数，利用()()0f x f x -+=确定a 的值.【解析】由题知2ln()y x a x =+是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x ++-+=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 答案：1.2.函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝______.解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－13.已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( )A.17 B ．－1 C ．1D ．7解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.4.若函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝______. （特殊值法）解析：由题意知，函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)， ∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a ＝0. 答案：05.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x ≤0，ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.（待定系数法）解析：当x >0时，－x <0，由题意得f (－x )＝－f (x )，所以x 2－x ＝－ax 2－bx ，从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0. 答案：06.（1），为何值时，为奇函数；（2）为何值时，为偶函数。

函数性质典型例题4个

函数基本性质综合应用典型例题1、已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围选题理由：本题属于函数单调性和奇偶性的综合应用问题，对于学生更深更好的理解函数定义域、函数单调性和函数奇偶性有好的思维帮助。

22222(1)(1)0(1)(1)()(1)(1)11111101a f a f a f a f a f x f a f a a a a a a -+-<-<---<-⎧-<⎪-<⎨⎪->-⎩<<解：即：又函数为奇函数所以：又函数定义域为（-1，1）且在定义域上单调递减-1<所以：-1<解得：所以的取值范围为（0，1）变式：若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（） A )23(-f >)252(2++a a f B )23(-f <)252(2++a a f C )23(-f ≥)252(2++a a f D )23(-f ≤)252(2++a a f2、函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．选题理由：主要考察常见函数的单调性（逆向思维问题）。

本题是学生易犯错的题目类型，往往误认为是二次函数从而出现错误；此题要求学生对于此类问题应首先确定函数的类型，即体现分类讨论思想。

解当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[-1，＋∞)上是增函数．若a>0，则 3111,025a a a -≤-<≤即：若a ＜0时， 311,02a a a -≥-<即：∴a 的取值范围是15a ≤．变式：已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数3、当]1,0[∈x 时，求函数223)62()(a x a x x f +-+=的最小值选题理由：本题隶属于二次函数在闭区间的最值问题，属于基本题型，要求学生熟练掌握。

函数应用题典型题目

函数应用题典型题目一、基础训练1．某电脑单价为a 元，现八折优惠，则购电脑x （*x N ∈）台所需款项y 元与x 的函数关系式是．2．某人去银行存款a 万元，每期利率为p ，并按复利计算，则存款n （*x N ∈）期后本利和为万元． 3．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则x 与y 之间的函数关系是．4．根据市场调查，某商品在最近10天内的价格()f t 与时间t 满足关系式1()102f t t =+（110t ≤≤，*t N ∈），销量()g t 与时间t 满足关系式()24g t t =-（110t ≤≤，*t N ∈），则这种商品的日销售额的最大值为．5．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利．则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是．6．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围城一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积为．（围墙不计厚度）7．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：x 的解析式为，若30y =，则此人购物总金额为元．8．如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P 沿着折线BCDA ，点B （起点）向A 点（终点）移动，设P 点移动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，则ABP ∆的面积与点P 移动的路程x 之间的函数关系式是．二、例题精讲例1．某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？例2．某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有30.5m 污水排出，为了净化环境，所以工厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后处理在排出，每处理31m 污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每31m 污水需付14元排污费．（1）若工厂每月生产3000件产品，你作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下，应选择哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明；（2）若工厂每月生产6000件时，你作为厂长又该如何决策呢？例3．如图，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向做匀速移动，速度为v （0v >），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c R ∈）．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：○1P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与||v c S -⨯成正比，比例系数为1；○2其他面的淋雨量之和，其值为12．记y 为E 移动过程中的总淋雨量，设移动距离100d =，面积32S =．（1）写出y 的表达式；（2）若010,05v c <≤<≤，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．例4．已知海岛A 与海岸公路BC 的距离AB 为50km ，B 与C 之间的距离为100km ，从A 到C ，先乘船到D ，船速为25km/h ，再乘汽车由D 到C ，车速为50km/h ．设从A 到C 所用时间为y （h ）．（1）按下列要求写出函数关系式：○1设ADB θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数关系式； ○2设BD x =（km ），将y 表示成x 的函数关系式．（2）请你用（1）中一个函数关系式，确定登陆点的位置，使从A 到C 所用时间最少．三、巩固练习1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目．按要求，对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获利0.6万元的利润．该公司正确规划投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为万元．2．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过一定时间t （单位：min ）后的温度是T ，则01()2t ha a T T T T ⎛⎫-=-⋅⎪⎝⎭，其中a T 称为环境温度，h 称为半衰期．现有一杯88C ︒热水冲的速溶咖啡,放在24C ︒的房间中,如果咖啡降到40C ︒需要20min,那么这杯咖啡要从40C ︒降到32C ︒,还需时间．3．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个．已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了获得最大利润,售价应定为元． 4．某地每年消耗木材20万立方米,每立方米价格为240元,为了减少木材消耗,决定按t %征收木材税,这样每年的木材消耗量减少52t 万立方米,为了减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元,则t 的取值范围是．四、要点回顾1．解应用题，首先通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解．从近几年高考应用题来看，顺利解答一个应用题重点要过三关，也就是要从三个方面来具体培养学生分析问题和解决问题的能力：（1）事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养学生独立获取知识的能力；（2）文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；（3）数理关：在建构数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向实际问题的转化构建了数学模型后,要正确解出问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的数理能力．函数模型及其应用作业1．假如某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R =，广告效应为D A =，则广告费A = 时，广告效应D 最大．2．已知产品生产件数x 与成本y （万元）之间有函数关系2300200.1y x x =+-，若每件产品成本均不超过7万元，则产品产量至少应为件． 3．铁道机车运行1h 所需的成本由两部分组成：固定部分m 元，变动部分（元）与运行速度x （km/h ）的平方成正比，比例系数为k （0k >）．如果机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500km ，则机车从甲站运行到乙站的总成本y （元）与机车运行速度x 之间的函数关系为． 4．用总长为14.8m 的钢条做成一个长方体容器的框架，如果所做容器有一边比另一边长0.5m ，则它的最大容积为 3m ．5．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第20层，每层1人，而电梯只允许停一次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第层．6．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为21242005p x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）．则该产品每月生产吨才能使利润达到最大，最大利润是万元．（利润=收入-成本）7．渔场中鲜鱼的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k （0k >）（空闲率：空闲量与最大养殖量的比值）．（1）写出y 关于x 的函数关系式，并求其定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大时，求k 的取值范围． 8．（2011湖北卷）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出此最大值．（精确到1辆/小时）9．甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数()f x ，()g x 及任意0x ≥，当甲公司投入x 万元作宣传费时，若乙公司投入的宣传费小于()f x 万元，则乙公司有失败的风险，否则无风险；当乙公司投入x 万元作宣传费时，若甲公司投入的宣传费小于()g x 万元，则甲公司有失败的风险，否则无风险．（1）请解释(0)f ，(0)g 的实际意义；（2）设直线1100y x =与()y f x =的图像交于点00(,)x y ，00x >，请解释00(,)x y 的实际意义．10．在50km 长的铁路线AB 旁的C 处有一个工厂，它与铁路的垂直距离为10km ．由铁路上的B 处向工厂提供原料，公路与铁路每吨每千米的货物运价比为5:3．为了节约运费，在铁路的D 处修一货物运转站，沿CD 修一公路（如图），为了使原料从B 处经货物转运站运到工厂C 的运费最省，D 点应选在何处？。

正比例函数经典例题

正比例函数经典例题正比例函数是一种特殊的线性函数，其图像是一条直线且通过原点。

下面是一些正比例函数的经典例题：例题1：某商品的价格与销量成正比。

已知当销量为10件时，价格为100元，当销量为15件时，价格为150元。

问销量为20件时，价格是多少元？解答：设销量为x件，价格为y元。

由于价格与销量成正比，可以列出方程：y = kx，其中k为比例常数。

根据已知条件可得到两个方程：100 = 10k 和150 = 15k。

解这两个方程可以求得k的值。

然后，将k的值代入y = kx中，计算出x为20时的y值，即为销量为20件时的价格。

例题2：小明骑自行车去兜风，已知他的速度与行驶的距离成正比。

当他骑行10公里时，速度为20公里/小时；当他骑行15公里时，速度为30公里/小时。

问他骑行20公里时的速度是多少公里/小时？解答：设速度为v公里/小时，行驶的距离为d公里。

由于速度与距离成正比，可以列出方程：v = kd，其中k为比例常数。

根据已知条件可得到两个方程：20 = 10k 和30 = 15k。

解这两个方程可以求得k的值。

然后，将k的值代入v = kd 中，计算出d为20公里时的v值，即为小明骑行20公里时的速度。

例题3：某工厂生产零件，生产的速度与生产的时间成正比。

已知工厂在5小时内生产了60个零件，在8小时内生产了96个零件。

问工厂在10小时内能生产多少个零件？解答：设生产速度为v个零件/小时，生产的时间为t小时。

由于生产速度与时间成正比，可以列出方程：v = kt，其中k为比例常数。

根据已知条件可得到两个方程：60 = 5k 和96 = 8k。

解这两个方程可以求得k的值。

然后，将k的值代入v = kt中，计算出t为10小时时的v值，即为工厂在10小时内能生产的零件数量。

这些是一些典型的正比例函数例题，通过解这些例题可以帮助加深对正比例函数的理解和掌握。

第三章函数的概念与性质典型易错题集(解析版)

第三章函数的概念与性质典型易错题集易错点1．忽视定义域表示的是谁的范围【典型例题1】（2022·黑龙江让胡路·大庆中学高一月考）已知函数()y f x =的定义域为[)1,2-，则函数()2y f x =+的定义域为（）A ．[]3,0-B ．[)1,4C ．[)3,0-D ．(]1,4【错解D 】因为函数()y f x =的定义域为[)1,2-，即12x -≤<，对于()2y f x =+有124x ≤+<。

点评：本题错解在于将()y f x =中的“x ”与()2y f x =+中的“x ”当成同一个量，其次就是没有理解函数定义域的定义，表示的是“x ”的取值范围，本题错解反而求()2y f x =+中2x +的取值范围当做定义域。

【正解】C 【详解】因为函数()y f x =的定义域为[)1,2-，所以122x -≤+<，解得30x -≤< 所以函数(2)y f x =+的定义域为[)3,0-. 故选：C.易错点2．解不等式问题时忽略讨论最高项系数是否为0【典型例题2】（2022·黑龙江让胡路·大庆中学高一月考）若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()0,4 B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(](),04,-∞+∞【错解A 】函数的定义域为R ，即不等式224mx mx ++>0的解集为R2416004m m m m >⎧⇒<<⎨⎩∆=-<点评：在解不等式问题时，本题错解漏了考虑最高项系数为0的情况，在解不等式问题时，需要特别注意最高项系数为0的情况。

【正解】B 【详解】函数的定义域为R ，即不等式224mx mx ++>0的解集为R（1）当0m =时，得到40>，显然不等式的解集为R ；（2）当0m <时，二次函数224y mx mx =++开口向下，函数值y 不恒大于0，故解集为R 不可能．（3）当0m >时，二次函数224y mx max =++开口向上，由不等式的解集为R ，得到二次函数与x 轴没有交点，即24160m m ∆=-<，即(4)0m m -<，解得04m <<；综上，a 的取值范围为[)0,4 故选：B易错点3．忽视函数的定义域【典型例题3】（2022·全国高一单元测试）若1)f x =+()f x 的解析式为（） A ．2()f x x x =-B ．2()(0)f x x x x =+≥C ．()2()1f x x x x =-≥D ．2()f x x x =+【错解A 】1)f x =+1t =，则2(1)x t =-， ∴22()(1)1f t t t t t =-+-=-，， ∴函数()f x 的解析式为2()f x x x =-．点评：本题错解在换元时没有考虑变量的取值范围，换元必换范围。

函数的图像经典例题

函数的图象一、典型例题例1 设函数2()45f x x x =-- （1）在区间[2,6]-上画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5,(,2][0,4][6,)A x f x B =≥=-∞-+∞ ，试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方。

例2（1）若把函数()y f x =的图像作平移，可以使图像上的点()1,0P 变换成点()2,2Q ，则函数()y f x =的图像经此变换后所得图像对应的函数为 ( )A .(1)2y f x =-+ B.(1)2y f x =--C . (1)2y f x =++D . (1)2y f x =+-（2）己知函数33(),()232x f x x x -=≠-,若(1)y f x =+的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是__________（3）作出下列函数的大致图象： ①()21y x x =-+；② 21x y x -=+； ③ lg 1y x =-④ 11xy x -=-例3 (1)设函数()x f 的定义域为R ,它的图像关于直线1x =对称,且当1≥x 时()13-=x x f 则（） ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛322331A.f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛312332B.f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛233132C.f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛313223D.f f f (2)已知()f x 是定义域为(-∞，0)∪(0,+∞)的奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增, ()f x 的图象如图所示,若[]()()0x f x f x --<,则x 的取值范围是__________________例3 已知函数()()()()1212()211xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-->-⎩，如果方程()f x a =有四个不同的实根，求实数a 的取值范围。

必修一函数经典例题

例4．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。

解：∵log 4log 4m n <， ∴4411log log m n<，当1m >，1n >时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴1m n >>．当01m <<，01n <<时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <，∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<．例5．求下列函数的值域：（1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．解：（1）令3t x =+，则2log y t =， ∵0t >， ∴y R ∈，即函数值域为R ．（2）令23t x =-，则03t <≤，∴2log 3y ≤，即函数值域为2(,log 3]-∞．（3）令2247(2)33t x x x =-+=-+≥，当1a >时，log 3a y ≥，即值域为[log 3,)a +∞，当01a <<时，log 3a y ≤，即值域为(,log 3]a -∞．例6．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。

x >恒成立，故()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()log )f x x -=2log =-2log =-2log ()x f x =-=-，所以，()f x 为奇函数。

八年级数学一次函数32道典型题(含答案和解析)

八年级数学一次函数32道典型题（含答案和解析）1、下列函数中：① y=2πx ；② y=－2x+6；③ y=34x ；④ y=x2+3；⑤ y=32x ；⑥ y=√x ，其中是一次函数的有（）个．A.1B.2C.3D.4 答案： C ．解析： ①②③满足自变量次数为1，系数不为零，且自变量不在分母上，故为一次函数．④自变量次数不为1，故不是一次函数． ⑤自变量在分母上，不是一次函数． ⑥自变量次数为12，不是一次函数．考点：函数——一次函数——一次函数的基础．2、当m= 时，y=（m －4）x 2m+1－4x －5 是一次函数．答案： 4或0.解析：y=（m －4）x 2m+1－4x －5是一次函数．则 m －4=0或2m+1=1．解得 m=4或m=0.考点：函数——一次函数——一次函数的基础．3、一次函数y=kx+b 的图象不经过第二象限，则k ，b 的取值范围是（）．A. k ＜0，b≥0B. k ＞0，b≤0C. k ＜0，b ＜0D. k ＞0，b ＞0 答案： B ．解析： ① k ＞0时，直线必经过一、三象限，故k ＞0.② 再由图象过三、四象限或者原点，所以b≤0 ．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．4、一次函数y=kx －k 的图象一定经过（）．A. 一、二象限B. 二、三象限C. 三、四象限D. 一、四象限答案： D ．解析：解法一：当k ＞0时，函数为增函数，且与y 轴交点在x 轴下方，此时函数经过一、三、四象限．当k ＜0时，函数为减函数，且与y 轴交点在x 轴上方，此时函数经过一、二、四象限．∴一次函数y=kx －k 的图象一定经过一、四象限．解法二：一次函数y=kx －k=k （x －1）的图象一定过（1,0），即该图象一定经过一、四象限．考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数的性质．5、如果ab ＞0，ac ＜0，则直线y=−ab x+cb 不通过（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案： A ．解析：ab ＞0 ，ac ＜0．则a ，b 同号；a ，c 异号；b ，c 异号． ∴−ab ＜0，cb ＜0.∴直线y=−abx+cb 过第二、三、四象限．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．6、如图，一次函数y=kx+b 和正比例函数y=kbx 在同一坐标系内的大致图象是（）．解析：A 、∵一次函数的图象经过一、三、四象限．∴k＞0，b＜0．∴kb＜0.∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项错误．B、∵一次函数的图象经过一、二、四象限．∴k＜0，b＞0．∴kb＜0.∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项正确．C、∵一次函数的图象经过二、三、四象限.∴k＜0，b＜0．∴kb＞0.∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项错误．D、∵一次函数的图象经过一、二、三象限.∴k＞0，b＞0．∴kb＞0.∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项错误．故选B．考点：函数——一次函数——正比例函数的图象——一次函数的图象．7、下列图象中，不可能是关于的一次函数y=mx－（m－3）的图象的是（）．解析：将解析式变为y=mx+（3－m）较易判断．考点：函数——一次函数——一次函数的图象．8、若一次函数y=－2x+3的图象经过点P1（－5，m）和点P2（1，n），则m n．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．答案：＞．解析：在y=－2x+3中，k=－2＜0.∴在一次函数y=－2x+3中，y随x的增大而减小.∵－5＜1.∴m＞n．考点：函数——一次函数——一次函数的性质．9、一次函数y=kx+b中，y随着x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A．解析：∵一次函数y=kx+b中，y随着x的增大而减小．∴k＜0.又∵b＜0.∴这个函数的图象不经过第一象限．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k、b的关系．10、已知一次函数y=kx+b－x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（）．A. k＞1，b＜0B. k＞1，b＞0C. k＞0，b＞0D. k＞0，b＜0答案：A．解析：一次函数y=kx+b－x即为y=（k－1）x+b．∵函数值y随x的增大而增大．∴k－1＞0，解得k＞1.∵图象与x轴的正半轴相交，∴b ＜0.考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．11、已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x 的增大而减小，则k 所有可能取得的整数值为．答案：－1.解析：由已知得：{ 2k +3＞0k ＜0.解得：−32＜k ＜0. ∵k 为整数． ∴k=－1.考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．12、在直角坐标系x0y 中，一次函数y=kx+6的图象经过点A （2,2）．（1）求一次函数的表达式．（2）求一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标．答案：（1）一次函数的表达式为：y=－2x+6.（2）一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标分别为（3,0），（0,6）．解析：（1） ∵一次函数y=kx+6的图象经过点A （2,2）．∴2=2k+6． ∴k=－2.∴一次函数的表达式为：y=－2x+6.（2）在y=－2x+6中，令x=0，则y=6，令y=0，则x=3.∴一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标分别为（3,0），（0,6）．考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．13、设一次函数y=kx+b 的图象经过点P （1,2），它与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，坐标原点为O ，若OA+OB=6，则此函数的解析式是或．答案： 1．y=－x+3.2．y=－2x+4.解析：因为一次函数y=kx+b的图象经过点P（1,2）．所以k+b=2，即k=2－b．令y=0，则x=−bk =bb−2．所以点A（bb−2，0），点B（0，b）．又因为A，B位于x轴，y轴的正半轴，并且OA+OB=6．所以bb−2+b=6，其中b＞2．解得b=3或b=4.此时k=－1或－2.所以函数的解析式是y=－x+3或y=－2x+4.考点：函数——一次函数——一次函数综合题．14、一次函数y=（m2－1）x+（1－m）和y=（m+2）x+（2m－3）的图象分别与y轴交于点P和Q，这两点关于x轴对称，则m的值是（）．A. 2B.2或－1C. 1或－1D.－1答案：A．解析：一次函数y=（m2－1）x+（1－m）的图象与y轴的交点P为（0,1－m）．一次函数y=（m+2）x+（2m－3）的图象与y轴的交点Q为（0,2m－3）．因为P和Q关于x轴对称．所以1－m+2m－3=0.解得m=2.考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数图象与几何变换．15、已知直线y=2x－1．（1）求此直线与x轴的交点坐标．（2）若直线y=k1x+b1与已知直线平行，且过原点，求k1、b1的值．（3）若直线y=k2x+b2与已知直线关于y轴对称，求k2、b2的值．答案：（1）（12，0）．（2）k1=2，b1=0．（3）k2=－2，b2=－1．解析：（1）令y=0，则0=2x－1.∴x=12.∴与x轴的交点坐标为（12，0）．（2）∵y=k1x+b1与y=2x－1平行．∴k1=2.又∵y=k1x+b1过原点．∴b1=0．（3）在直线y=2x－1上任取一点（1,1）．则（1,1）关于y轴的对称点为（－1,1）．又∵y=k2x+b2与已知直线关于y轴对称．则b2=－1．点（－1,1）在直线y=k2x－1上.∴1=－k2－1.∴k2=－2.考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——一次函数图象与几何变换——两条直线相交或平行问题．16、如图所示，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值．（2）解关于x，y的方程组{y=x+1y=mx+n，请你直接写出它的解．（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．答案：（1）b=2．（2）{x=1y=2．（3）直线l3：y=nx+m经过点P．解析：（1）将P（1，b）代入y=x+1，得b=1+1=2．（2）由于P点坐标为（1,2），所以{x=1y=2．（3）将P（1,2）代入解析式y=mx+n得，m+n=2．将x=1代入y=nx+m得y=m+n．由于m+n=2.所以y=2.故P（1,2）也在y=nx+m上．考点：函数——一次函数——求一次函数解析式——一次函数与二元一次方程．17、如图，直线y=kx+b经过A（－1,1）和B（－√7,0）两点，则关于x的不等式组0＜kx+b＜－x的解集为．答案：－√7＜x＜－1.解析：∵直线y=kx+b经过B（－√7,0）点．∴0＜kx+b，就是y＞0，y＞0的范围在x轴的上方．此时：－√7＜x．∵直线y=－x经过A（－1,1）．那么就是A点左侧kx+b＜－x．得：x＜－1.故解集为：－√7＜x＜－1.考点：函数——一次函数——一次函数与一元一次不等式．18、阅读理解：在数轴上，x=1表示一个点，在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线（如图（a）所示），在数轴上，x≥1表示一条射线；在平面直角坐标系中，x≥1表示的是直线x=1右侧的区域；在平面直角坐标系中，x+y－2=0表示经过（2，0），（0,2）两点的一条直线，在平面直角坐标系中，x+y－2≤0表示的是直线x+y－2=0及其下方的区域（如图（b）所示），如果x，y满足{x+2y−2≥03x+2y−6≤0x≥0y≥0，请在图（c）中用阴影描出点（x，y）所在的区域．答案：解析：略．考点：函数——一次函数——一次函数与一元一次不等式．19、甲、乙两人从顺义少年宫出发，沿相同的线路跑向顺义公园，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度跑向顺义公园，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象，请根据题意解答下列问题．（1）在跑步的全过程中，甲共跑了米，甲的速度为米/秒．（2）求乙跑步的速度及乙在途中等候甲的时间．（3）求乙出发多长时间第一次与甲相遇？答案：（1）1．900.2．1.5．（2）乙在途中等候甲的时间是100秒.（3）乙出发150秒时第一次与甲相遇．解析：（1）解：根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒.∴甲的速度为900÷600=1.5米/秒．（2）甲跑500秒的路程是500×1.5=750米.甲跑600米的时间是（750－150）÷1.5=400秒.乙跑步的速度是750÷（400－100）=2.5米/秒.乙在途中等候甲的时间是500－400=100秒．（3）∵D（600,900），A（100,0），B（400,750）．∴OD的函数关系式为y=1.5x，AB的函数关系式为y=2.5x－250.根据题意得{y=1.5xy=2.5x−250．解得x=250.∴乙出发150秒时第一次与甲相遇．考点：函数——一次函数——一次函数的应用．20、如图1是某公共汽车线路收支差额y（单位：万元）（票价总收人减去运营成本）与乘客量x（单位：万人）的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图1分别改画成图2和图3.（1）说明图1中点A和点B的实际意义．（2）你认为图2和图3两个图象中，反映乘客意见的是，反映公交公司意见的是．（3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图4 中画出符合这种办法的y与x的大致函数关系图象．答案：（1）点A表示这条线路的运营成本为1万元．点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡．（2）1．图3.2．图2.（3）将图4中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移．解析:（1）点A表示这条线路的运营成本为1万元．点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡．（2）反映乘客意见的是图3.反映公交公司意见的是图2．（3）将图4中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移．考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数的应用．x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴于点B，连接OA．21、如图，已知一次函数y=−12（1）求一次函数的解析式．（2）设点P 为y=−12x+b 上的一点，且在第一象限内，经过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．若△POQ 的面积等于54倍的△AOB 的面积，求点P 的坐标．答案：（1） y=−12x+4．（2）（3，52）或（5，32）.解析：（1） ∵一次函数y=−12x+b 的图象经过点A （2，3）．∴3=（−12）×2+b ．解得b=4.故此一次函数的解析式为：y=−12x+4.（2）设P （p ，d ），p ＞0．∵点P 在直线y=−12x+4的图象上．∴ d=−12p+4①．∵ S △POQ =54S △AOB =54×12×2×3． ∴ 12pd=154②.①②联立得，{ d =−12p +412pd =154．解得{ p =3d =52或{p =5d =32．∴ 点坐标为：（3，52）或（5，32）.考点：函数——一次函数——求一次函数解析式——一次函数的应用．22、已知：一次函数y=12x+3的图象与正比例函数y=kx 的图象相交于点A （a ，1）．（1）求a 的值及正比例函数y=kx 的解析式．（2）点P 在坐标轴上（不与原点O 重合），若PA=OA ，直接写出P 点的坐标．（3）直线x=m （m ＜0且m≠－4 ）与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式．答案：（1） a=－4，正比例函数的解析式为y=−14x ．（2） P 1（－8,0）或P 2（0,2）．（3） S △ABC=38m2+3m+6（m≠－4）．解析：（1） ∵一次函数y=12x+3的图象与正比例函数y=kx 的图象相交于点A （a ，1）．∴ 12a+3=1. 解得a=－4. ∴ A （－4,1）． ∴ 1=K×（－4）．解得k=−14．∴正比例函数的解析式为y=−14x ．（2）如图1，P 1（－8,0）或P 2（0,2）．（3）依题意得，点B 坐标为（m ，12m+3），点C 的坐标为（m ，−m4）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）．分两种情况： ① 当m ＜－4时．BC=−14m －（12m+3）=−34m －3.AH=－4－m ．则S △ABC =12BC×AH=12（−34m －3）（－4－m ）=38m 2+3m+6.② 当m ＞－4时．BC=（12m+3）+m 4=34m+3.AH=m+4．则S △ABC =12BC×AH=12（34m+3）（m+4）=38m 2+3m+6.综上所述，S △ABC=38m2+3m+6（m≠－4）．考点：函数——平面直角坐标系——坐标与距离——坐标与面积．一次函数——一次函数图象上点的坐标特征——两条直线相交或平行问题——一次函数综合题．三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换．23、已知y 1=x+1，y 2=－2x+4，当－5≤x≤5时，点A （x ，y 1）与点B （x ，y 2）之间距离的最大值是．答案：18.解析：当x=5时，y 1=6，y 2=－6．当x=－5时，y 1=－4，y 2=14．∴ A （5,6），B （5，－6）或A （－5，－4），B （－5,14）. ∴ AB=6－（－6）=12或AB=14－（－4）=18. ∴ 线段AB 的最大值是18．考点：函数——一次函数——一次函数的性质．24、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−4x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点3D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C 处．（1）求AB的长和点C的坐标．（2）求直线CD的解析式．答案: （1）AB=√62+82=10，点C的坐标为C（16，0）．（2）直线CD的解析式为y=3x－12．4解析：（1）根据题意得A（6,0），B（0,8）．在RT△OAB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8．∴AB=√62+82=10．∵△DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC．∴AC=AB=10．∴OC=OA+AC=OA+AB=16．∵点C在x轴的正半轴上．∴点C的坐标为C（16,0）．（2）设点D的坐标为D（0，y）（y＜0）．由题意可知CD=BD，CD2=BD2．由勾股定理得162+y2=（8－y）2．解得y=－12．∴点D的坐标为D（0，－12）．可设直线CD的解析式为y=kx－12（k≠0）．∵点C（16,0）在直线y=kx－12上．∴16k－12=0．．解得k=34∴直线CD的解析式为y=3x－12．4考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．25、直线AB：y=－x+b分别与x、y轴交于A、B两点，点A的坐标为（3,0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB:OC=3:1．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式．（2）在x轴上方存在点D，使以点A、B、C为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD，并请直接写出点D的坐标．（3）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P的坐标．答案：（1）B（0,3），直线BC的解析式为y=3x+3．（2）画图见解析，D1（4,3），D2（3,4）．（3）证明见解析．解析：（1）把A（3,0）代入y=－x+b，得b=3．∴B（0,3）．∴OB=3.∵OB:OC=3:1.∴OC=1．∵点C在x轴负半轴上．∴C（－1,0）．设直线BC 的解析式为y=mx+n ．把B （0，3）及C （－1,0）代入，得{n =3−m +n =0．解得{m =3n =3．∴直线BC 的解析式为：y=3x+3．（2）如图所示，D 1（4,3），D 2（3,4）．（3）由题意，PB=PC ．设PB=PC=X ，则OP=3－x ．在RT △POC 中，∠POC=90°． ∴ OP 2+OC 2=PC 2． ∴ （3－x ）2+12=x 2．解得，x=53．∴ OP=3－x=43．∴点P 的坐标（0，43）．考点：函数——平面直角坐标系——特殊点的坐标．一次函数——求一次函数解析式．三角形——全等三角形——全等三角形的性质．26、一次函数y=kx+b （k≠0），当x=－4时，y=6，且此函数的图象经过点（0,3）．（1）求此函数的解析式．（2）若函数的图象与x 轴y 轴分别相交于点A 、B ，求△AOB 的面积．（3）若点P 为x 轴正半轴上的点，△ABP 是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．答案：（1）y=−34x+3.（2）6.（3）（78，0）或（9,0）．解析：（1）当x=－4时，y=6，且此函数的图象经过点（0,3）．代入y=kx+b 有，{−4k +b =6b =3，解得：{k =−34b =3．∴此函数的解析式为y=−34x+3.（2）当y=0时，x=4．∴点A （4,0），B （0,3）． ∴ S △AOB=12×3×4=6.（3）AB=√42+32=5．当点P 为P 1时，BP 1=AP 1.∴在RT △OBP 1中，32+OP 12=（4－OP 1）2．解得：OP 1=78. ∴ P1（78，0）．当点P 为P 2时，AB=AP 2，∴P 2（9,0）．故点P 的坐标为（78，0）或（9,0）．考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换．等腰三角形——等腰三角形的性质．27、已知点A （-4,0），B （2,0）．若点C 在一次函数y=12x+2的图象上，且△ABC 是直角三角形，则点C 的个数是（）．A.1B. 2C. 3D.4 答案： B ．解析：如图所示，当AB 为直角边时，存在C 1满足要求．当AB 为斜边时，存在C 2满足要求．故点C的个数是2．考点：函数——一次函数——一次函数综合题．28、在平面直角坐标系xOy中，点A（－3,2），点B是x轴正半轴上一动点，连结AB，以AB为腰在x轴的上方作等腰直角△ABC，使AB=BC．（1）请你画出△ABC．（2）若点C（x，y），求y与x的函数关系式．答案：（1）画图见解析．（2）y=x+1.解析：（1）（2）作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F.∴∠AEB=∠BFC=90°．∵A（－3,2）．∴ AE=2，EO=3. ∵ AB=BC ，∠ABC=90°． ∴ ∠ABE+∠CBF=90°． ∵ ∠BCF+∠CBF=90°． ∴ ∠ABE=∠BCF. ∴ △ABE ≌△BCF ． ∴ EB=CF ，AE=BF. ∵ OF=x ，CF=y ． ∴ EB=y=3+（x+2）． ∴ y=x+1．考点：函数——一次函数——一次函数综合题．三角形——直角三角形——等腰直角三角形．29、如图，直线l 1：y=12x 与直线l 2：y=－x+6交于点A ，直线l 2与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，点E 是线段OA 上一动点（E 不与O 、A 重合），过点E 作 EF ∥x 轴，交直线l 2于点F ．（1）求点A 的坐标．（2）设点E 的横坐标为t ，线段EF 的长为d ，求d 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（3）在x 轴上是否存在一点P ，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请你说明理由．答案:（1）（4,2）．（2） d=6－32t ，其中0＜t ＜4．（3）存在点P （3,0），P （92，0），P （185，0），使△PEF 为等腰直角三角形．解析：（1）联立{ y =12y =−x +6，解得{x =4y =2．∴点A 的坐标为（4,2）．（2）点E 在直线l 1：y=12x ．∵点E 的横坐标为t ． ∴点E 的纵坐标为12t ．∵ EF ∥x 轴，点F 在直线l 2：y=－x+6上． ∴点F 的纵坐标为12t ．由12t=－x+6，得点F 的横坐标为6－12t ．∴ EF 的长d=6−12t －t=6−32t ． ∵ 点E 在线段OA 上． ∴ 0＜t ＜4．（3）若∠PEF=90°，PE=EF ．则6−32t=t2，解得t=3.∵ 0＜t ＜4.∴ P 点坐标为（3,0）．若∠PFE=90°，PF=EF ．则6−32t=t2，解得t=3. ∵ 0＜t ＜4.∴ P 点坐标为（92，0）．若 ∠EPF=90°． ∴6−32t=2×t2，解得t=125. 此时点P 的坐标为（185，0）．综上，存在点P （3,0），P （92，0），P （185，0），使△PEF 为等腰直角三角形．考点：函数——一次函数——两条直线相交或平行问题——一次函数的应用——一次函数综合题．三角形——直角三角形——等腰直角三角形．30、规定：把一次函数y=kx+b 的一次项系数和常数项互换得y=bx+k ，我们称y=kx+b 和y=bx+k （其中k.b≠0，且|k|≠|b |）为互助一次函数，例如y=−23x+2和y=2x −23就是互助一次函数．如图，一次函数y=kx+b 和它的互助一次函数的图象l 1，l 2交于P 点，l 1，l 2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 点和C ，D 点．（1）如图（1），当k=－1，b=3时． ① 直接写出P 点坐标．② Q 是射线CP 上一点（与C 点不重合），其横坐标为m ，求四边形OCQB 的面积S 与m 之间的函数关系式，并求当△BCQ 与△ACP 面积相等时m 的值．（2）如图（2），已知点M （－1,2），N （-2,0）．试探究随着k ，b 值的变化，MP+NP 的值是否发生变化？若不变，求出MP+NP 的值；若变化，求出使MP+NP 取最小值时的P 点坐标．答案: （1）① （1,2）．② S=2m −16（m ＞13），m=53.（2）随着k ，b 值的变化，点P 在直线x=1上运动，MP+NP 的值随之发生变化．使MP+NP 取最小值时的P 点坐标为（1，65）．解析：（1）① P （1,2）．② 如图，连接OQ ．∵ y=－X+3与y=3x －1的图象l 1，l 2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 点和C ，D 点． ∴ A （3,0），B （0,3），C （13，0），D （0，－1）．∵ Q （m ，3m －1）（m ＞13）．∴ S=S △OBQ +S △OCQ =12×3×m+12×13×（3m －1）=2m −16（m ＞13）．∴ S △BCQ =S －S △BOC =2m −16−12×3×13=2m −23. 而S △ACP =12×（3−13）×2=83．由S △BCQ=S △ACP ，得2m −23=83，解得m=53．（2）由{ y =kx +b y =bx +k，解得{ x =1y =k +b ，即P （1，k+b ）．∴随着k ，b 值的变化，点P 在直线x=1上运动，MP+NP 的值随之发生变化．如图，作点N （-2,0）关于直线x=1的对称点N(4,0)，连接MN 交直线x=1于点P ，则此时MP+NP 取得最小值．设直线MN 的解析式为y=cx+d ，依题意{−c +d =24c +d =0.解得{c =−25y =85.∴直线MN 的解析式为y=−25x+85．令x=1，则y=65，∴P （1，65）．即使MP+NP 取最小值时的P 点坐标为（1，65）．考点：函数——函数基础知识——函数过定点问题.一次函数——一次函数与二元一次方程——一次函数综合题. 几何初步——直线、射线、线段——线段的性质：两点之间线段最短. 三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.31、新定义：对于关于x 的一次函数y=kx+b （k≠0），我们称函数{y =kx +b （x ≤m ）y =−kx −b （x ＞m ）为一次函数y=kx+b （k≠0）的m 变函数（其中m 为常数）．例如：对于关于x 的一次函数y=x+4的3变函数为{y =x +4（x ≤3）y =−x −4（x ＞3）．（1）关于x 的一次函数y=－x+1的2变函数为y ，则当x=4时，y=__________．（2）关于x 的一次函数y=x+2的1变函数为y 1,关于x 的一次函数y=−12x －2的－1变函数为y 2，求函数y 1和函数y 2的交点坐标．（3）关于x 的一次函数y=2x+2的1变函数为y 1，关于x 的一次函数y=−12x －1的m变函数为y 2．① 当－3≤x≤3时，函数y 1的取值范围是__________（直接写出答案）．② 若函数y 1和函数y 2有且仅有两个交点，则m 的取值范围是__________（直接写出答案）．答案：（1）3.（2）（−83，−23）和（0,2）．（3）①－8≤y 1≤4.②−65≤m ＜−23．解析：（1）根据m 变函数定义，关于x 的一次函数y=－x+1的2变函数为： {y =−x +1（x ≤2）y =x −1（x ＞2）.∴ x=4时，y 1=4－1=3．∴ y 1=3．（2）根据定义得：y 1={y =x +2（x ≤1）y =−x −2（x ＞1），y 2={y =−12x −2（x ≤−1）y =12x +2（x ＞−1）．求交点坐标：① {y =x +2（x ≤1）y =−12x −2（x ≤−1），解得{x =−83y =−23． ② {y =x +2（x ≤1）y =12x +2（x ＞−1），解得{x =0y =2． ③ {y =−x −2（x ＞1）y =−12x −2（x ≤−1），无解． ④ {y =−x −2（x ＞1）y =12x +2（x ＞−1），无解．综上所述函数y 1和函数y 2的交点坐标为（−83，−23）和（0,2）．（3）略．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象上点的坐标特征——一次函数与二元一次方程——一次函数综合题．32、在平面直角坐标系xOy 中，对于点M （m ，n ）和点N （m ，n’，给出如下定义：若n’={n （m ≥2）−n （m ＜2），则称点N 为点M 的变换点．例如：点（2,4）的变换点的坐标是（2,4），点（－1,3）的变换点的坐标是（－1，－3）．（1）回答下列问题：① 点（√5，1）的变换点的坐标是．② 在点A （－1,2），B （4，－8）中有一个点是函数y=2x 图象上某一点的变换点，这个点是（填“A”或“B”）．（2）若点M 在函数y=x+2（－4≤x≤3）的图象上，其变换点N 的纵坐标n’的取值范围是．（3）若点M 在函数y=－x+4（－1≤x≤a ，a ＞－1）的图象上，其变换点N 的纵坐标n’的取值范围是－5≤n’≤2，则a 的取值范围是．答案: （1）①（√5，1）.② A.（2）－4＜n’≤2或4≤n’≤5.（3）6≤a≤9.解析：（1）① 由定义可知，由于√5＞2，所以点（√5，1）的变换点的坐标是（√5，1）．②若点A（－1,2）是变换点，则变换前的点为（－1，－2），－2=－1×2，在函数y=2x上．若点B（4，－8）是变换点，则变换前的点为（4，－8），－8≠4×2，不在函数y=2x上．所以这个点是A．（2）若点M在函数y=x+2（－4≤x≤3）的图象上，设M（x，x+2）．当2≤x≤3时，4≤n’=x+2≤5．当－4≤x＜2时，－4＜n’=－（x+2）≤2．综上，纵坐标n’的取值范围是－4＜n’≤2或4≤n’≤5.（3）当a＞2时，2≤x＜a时，4－a≤n’=－x+4≤2．－1≤x＜2时，－5≤n’=－（－x+4）≤—2．∴只需－5≤4－a≤－2，此时6≤a≤9.当a＜2时，－1≤x≤a，－5≤n’=－（－x+4）≤a－4.此时不满足－5≤n’≤2，故舍去．综上，的取值范围是6≤a≤9．考点：式——探究规律——定义新运算．函数——平面直角坐标系——点的位置与坐标．一次函数——一次函数图象上点的坐标特征．。

函数实际应用典型例题

1．某商店出售A 、B 两种价格不同的商品，由于商品A 连续两次提价20%，同时商品B 连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是( ) A ．多赚约6元 B ．少赚约6元 C ．多赚约2元 D ．盈利相同答案 B解析设A 、B 两种商品的原价为a 、b ，则a (1＋20%)2＝b (1－20%)2＝23⇒a ＝23×2536，b ＝23×2516，a ＋b －46≈6(元)．2．今有一组数据如下：A ．v ＝log 2tB ．v ＝12log tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2答案 C解析将自变量的值代入各选项，易知C 成立．3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元答案 A解析设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.4．已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的13以下，则至少需要重叠玻璃板数为(lg 3＝0.477 1)( )A ．8块B ．9块C ．10块D ．11块答案 D解析设至少需要n 块玻璃板，由已知得(1－10%)n ＜13.即(910)n ＜13，所以lg(910)n ＜lg 13，即n (2lg 3－1)＜－lg 3，－0.045 8n ＜－0.477 1，n ＞4 771458≈10.4，故选D.5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝y 0e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 0表示初始病毒数，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．答案 2ln 2 1 024解析当t ＝0.5时，y ＝2y 0， ∴2＝12e k ， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝y 0e 2t ln 2，当t ＝5，y 0＝1时， ∴y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.6．2012年我国人均国民生产总值约为a 美元，若按年平均增长率8%的速度增长． (1)计算2014年我国人均国民生产总值；(2)经过多少年可达到翻一番？(lg1.08≈0.033 4，lg 2≈0.301 0) 解 (1)设经过x 年后，人均国民生产总值为y 美元，由题意y ＝a ×(1＋0.08)x .所以，2014年我国的人均国民生产总值为y ＝a ×(1＋0.08)2＝1.166 4a (美元)． (2)由题意：1.08x ≥2⇒x ≥lg 2lg 1.08≈9.012.故经过10年可达到翻一番．题型一二次函数模型的应用例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：解由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(桶)．由于x＞0,520－40x＞0，即0＜x＜13.y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200,0＜x＜13.易知，当x＝6.5时，y有最大值．所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润．反思与感悟对于二次函数模型，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．利用二次函数求最值时特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．跟踪训练1某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日租金增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，由x＞0，且300－10x＞0得0＜x＜30，设客房租金总收入y元，则有：y＝(20＋2x)(300－10x) ＝－20(x－10)2＋8 000(0＜x＜30)由二次函数性质可知当x＝10时，y max＝8 000.所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元．题型二选择函数的拟合问题例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？思考1上表提供的数据对应的散点图大致如何？答以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．思考2根据这些点的分布情况，可以选用怎样的函数模型进行拟合，使它符合题目要求？答根据点的分布特征，可用y＝a·b x刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系．思考3怎样确定拟合函数中参数a，b的值？答由于函数y＝a·b x含有两个参数a，b，所以取表中的两组数据代入函数解析式，解方程组求出．思考4如何检验思考3中得到的函数拟合程度？答将已知数据中的身高数代入得到的函数解析式，如果得出的y值和表中体重的数据相等或比较接近，则说明拟合的程度好，否则拟合的程度不好．思考5写出例2的解题过程．答(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图(见思考1)．根据点的分布特征，可考虑以y＝a·b x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·b x得：{7.9＝a·b7047.25＝a·b160，用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175, 由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2, 所以，这个男生偏胖．反思与感悟依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法：(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；(3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．跟踪训练2为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．(1)(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地多少公顷？解(1)利用计算机几何画板软件，描点如图甲．(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得{21.1＝a＋10.4b，45.8＝a＋24.0b，用计算器可得a≈2.4，b≈1.8.这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系． (3)由y ＝2.4＋1.8×25，求得y ＝47.4，即当积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4公顷．题型三对数函数模型的应用例3 1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前． (1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：解 (1)设每年人口平均增长率为x ，n 年前的人口数为y ，则y ·(1＋x )n ＝60，则当n ＝40时，y ＝30，即30(1＋x )40＝60，∴(1＋x )40＝2，两边取对数，则40lg (1＋x )＝lg 2，则lg (1＋x )＝lg 240≈0.007 525，∴1＋x ≈1.017，得x ≈1.7%. 故每年人口平均增长率约为1.7%. (2)依题意，y ≤12.48(1＋1%)10，得lg y ≤lg 12.48＋10×lg 1.01≈1.139 2， ∴y ≤13.78，故人口至多有13.78亿．答每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有13.78亿．反思与感悟 (1)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，要注意数学模型中元素的实际意义．(2)对数函数模型的一般表达式为：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a >0，a ≠1)．跟踪训练3 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log 2Q10.解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入公式得： v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s. [呈重点、现规律]1．函数模型的应用实例主要包括三个方面 (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题． 2．函数拟合与预测的一般步骤(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．一、基础过关1．汽车经过启动、加速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )答案 A2．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16答案 D解析由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2011年的湖水量为m ，从2011年起，经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系为( ) A ．500.9x y ＝ B ．y ＝(1－500.1x )m C ．y ＝500.9x m D ．y ＝(1－0.150x )m答案 C解析设某淡水湖的湖水原有量为b ，每年减少a %，所以y ＝b (1－a %)x ，由已知，x ＝50时，y ＝0.9b ，代入解析式，得a %＝1－0.9150.又∵2011年湖水量为m ，所以经过x 年后湖水量为y ＝m (1－a %)x＝m (1－1＋1500.9)x ＝m ·500.9x . 4．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50答案 C解析由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k ＝1504()9.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e －kt 1，∴827＝(e －k )t 1＝1504()9t，∴t 150＝32，t 1＝75. 5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________．答案 y ＝80(1＋x )10解析一年后的价格为y ＝80＋80·x ＝80(1＋x )．二年后的价格为y ＝80(1＋x )＋80(1＋x )·x ＝80(1＋x )(1＋x )＝80(1＋x )2，由此可推得10年后的价格为y ＝80(1＋x )10.6．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．答案 2 500解析 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元．7．设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地满足下列关系：m ＝92x －14，n ＝－14x 2＋5x ＋74，当m －n ≥0时，称不亏损企业；当m －n <0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？ (2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？解 (1)由已知得，m －n ＝92x －14－(－14x 2＋5x ＋74)＝14x 2－12x －2. 由m －n ≥0，得x 2－2x －8≥0，解得x ≤－2或x ≥4. 据题意，x >0，所以x ≥4.故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机． (2)若企业亏损最严重，则n －m 取最大值．因为n －m ＝－14x 2＋5x ＋74－92x ＋14＝－14[(x －1)2－9]＝94－14(x －1)2. 所以当x ＝1时，n －m 取最大值94，此时m ＝92－14＝174.故当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．二、能力提升8．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( ) A ．100(0.9576)x y =B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫0.957 6100x D ．1001(0.0424)x y =-答案 A解析设镭一年放射掉其质量的t %，则有95.76%＝1·(1－t %)100，t %＝1－110095.76()100， ∴y ＝(1－t %)x ＝100(0.9576)x .9．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y 万公顷关于年数x 的函数关系较为相似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x 10D ．y ＝0.2＋log 16x答案 C解析将(1,0.2)，(2,0.4)，(3,0.76)与x ＝1,2,3时，选项A 、B 、C 、D 中得到的y 值做比较，y ＝2x 10的y 值比较接近，故选C.10．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系y ＝a t ，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2；③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是________．答案 ①②解析由图象知，t ＝2时，y ＝4，∴a 2＝4，故a ＝2，①正确．当t ＝5时，y ＝25＝32>30，②正确，当y ＝4时，由4＝2t 1知t 1＝2，当y ＝12时，由12＝2t 2知t 2＝log 212＝2＋log 23.t 2－t 1＝log 23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．11．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22， (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则 a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－1101()2.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即101()2m ＝121()2，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，再砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 101()2n ≥321()2，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．12．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f (t )与时间t 满足关系f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12t ＋11，0≤t ＜20，－t ＋41，20≤t ≤40(t ∈N )，销售量g (t )与时间t 满足关系g (t )＝－13t ＋433(0≤t ≤40，t ∈N )．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．解据题意，商品的价格随时间t 变化，且在不同的区间0≤t ＜20与20≤t ≤40上，价格随时间t 的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F (t )．①当0≤t ＜20，t ∈N 时，F (t )＝(12t ＋11)(－13t ＋433) ＝－16(t －212)2＋16(4414＋946)，故当t ＝10或11时，F (t )max ＝176.②当20≤t ≤40，t ∈N 时，F (t )＝(－t ＋41)(－13t ＋433)＝13(t －42)2－13，故当t ＝20时，F (t )max ＝161.综合①②知当t ＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.三、探究与拓展13.据预测，我国在“十二五”期间内某产品关税与市场供应量P 的关系近似地满足：P (x )＝2(1)()2kt x b －－(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎡⎦⎤0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图所示： (1)根据图象求k ，b 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝111-22x .当P ＝Q 时的市场价格称为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．解 (1)由图可知t ＝18时，有 22(1)(5)8(1)(7)821,22,kb k b ----⎧=⎪⎨⎪=⎩解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝5. (2)当P ＝Q 时，得2(1－6t )(x －5)2＝111-22x ，解得t ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22－x 2(x －5)2＝－112⎣⎢⎡⎦⎥⎤17(x －5)2－1x －5－2. 令m ＝1x －5，∵x ≥9. ∴m ∈⎝⎛⎦⎤0，14，在t ＝－112(17m 2－m －2)中，对称轴为直线m ＝134，134∈⎝⎛⎦⎤0，14，且图象开口向下．∴m ＝14时，t 取得最小值19192，此时，x ＝9.。

《函数》典型例题

《函数》典型例题例1 下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？（1）矩形的面积一定，它的长与宽；（2）任意三角形的高与底；（3）矩形的周长与面积；（4）正方形的周长与面积．例2下面的表分别给出了变量x与y之间的对应关系，判断y是x的函数吗？如果不是，说明出理由.例3 判断下列关系是不是函数关系？（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高；（4）关系式| y |=x中的y与x.例4 汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围.例5 如图，是某个篮球运动员在五场比赛中的得分情况，依据图回答：（1）该运动员第一场球得多少分；（2）哪场球得分比前一场得分少？（3）在五场比赛中最高得分是多少？最低得分是多少？（4）从这五场比赛中的得分情况分析，该运动员的竞技状态怎么样？参考答案例1 解（1）矩形的面积确定时，它的宽取一个值，就有惟一确定的y的值与宽对应，因此这是一个函数关系．（2）当一个三角形的底取一个值时，它的高并不能确定，因此“三角形的高与底”不是函数关系．（3）当矩形的周长是一个确定的值时，由于长、度不能确定，它的面积也不确定，这也不是函数关系．（4）当正方形的周长确定了，它的边长也确定，因此面积也确定，这是函数关系．例2解：（1）y是x的函数；（2）y是x的函数；（3）y不是x的函数，因为对于变量x=1，变量y有1与-1两个值与它对应；（4）y是x的函数说明：对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应.第四个是常数函数它符合函数的定义.例3分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应.解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以长与面积是函数关系.（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系.（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高是函数关系.（4）x每取一个正值，y都有两个值与它对应，所以| y | = x不是函数关系. 说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系.例4 分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程等于速度乘以时间. 解：85080S t =-0S t ≥⎧⎨≥⎩得850800tt -⎧⎨≥⎩850.8t ∴≤≤于是汽车距沈阳的路程S 与时间t 的函数关系式为85080S t =-，自变量t 的取值范围是850.8t ≤≤例5 解：（1）这个运动员在第一场比赛中得21分. （在场次栏中找到“1”，然后在得分栏中找到相应的得分）（2）第二场球比第一场球得分少，竞技状态趋下.（图形向下）（3）第五场比赛得分最高为36分，第一场比赛得分最低21分.（4）从这五场的比赛得分情况看，该运动员目前的竞技状态是向前发展，其趋势是良好的.（从第二场球之后图形全部向上.）说明：本题考查学生的识图能力。

(word完整版)高中函数典型例题

§1.2.1 函数的概念¤知识要点：1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=()f x，x A∈．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A∈叫值域.2. 设a、b是两个实数，且a<b，则：{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间； {x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；{x|a≤x<b}＝[,)a b， {x|a<x≤b}＝(,]a b，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a>=+∞，{|}[,)x x a a≥=+∞，{|}(,)x x b b<=-∞，{|}(,]x x b b≤=-∞，(,)R=-∞+∞.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）121yx=+-；（2）y=.解：（1）由210x+-≠，解得1x≠-且3x≠-，所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞U U.（2）由3020x-≥⎧⎪≠，解得3x≥且9x≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞U.【例2】已知函数1(1xf xx-=+. 求：（1）(2)f的值；（2）()f x的表达式解：（1）由121xx-=+，解得13x=-，所以1(2)3f=-.（2）设11xtx-=+，解得11txt-=+，所以1()1tf tt-=+，即1()1xf xx-=+.点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例3】已知函数22(),1xf x x Rx=∈+.（1）求1()(f x fx+的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()(()234f f f f f f f++++++.解：（1）由2222222221111()(1111111x x xxf x fx x x x xx++=+=+==+++++.（2）原式11117(1)((2)(((3)(((4)(323422f f f f f f f=++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.§1.2.2 函数的表示法¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . ¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <.所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x )=333322x x x x-⎧++⎪⎨+⎪⎩(,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f (0)=32. 又 ∵ 32>1，∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-；（教材P 26 练习题3）（2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.§1.3.1 函数的单调性¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1x f x x =-在区间（0，1）上的单调性.解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数. 【例2】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例3】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间.解：∵ 3(2)55()322x f x x x +--==+++，∴ 把5()g x x-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如图所示.由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.§1.3.1 函数最大（小）值¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a -=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a-；当0a <时，函数取最大值244ac b a-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数，所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-；（2）|1||2|y x x =+--.解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2bx a=-，即1x =-.画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =；当32x =时，min 94y =-. 所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.。

高中数学函数真题汇编(解析版)

高中数学专题20函数真题汇编与预赛典型例题1．已知正实数a满足，则的值为.【答案】【解析】由..2．设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足，则不等式组的解集为.【答案】【解析】由f(x)为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f(x)在[-1，0]上严格递增，再结合f(x)以2为周期可知，[1，2]是f(x)的严格递增区间.注意到.所以.而，故原不等式组成立当且仅当.3．设为定义在R上的函数，对任意实数x有.当0≤x＜7时，.则的值为____________。

【答案】【解析】由题得，所以函数的周期为7，.故答案为：4．设正实数u、v、w均不等于1.若，则的值为________.【答案】【解析】令.则:.故. 从而，.5．设为不相等的实数.若二次函数满足，则的值为______.【答案】4 【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得.故答案为：46．若正数a ，b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11a b+= ．【答案】108 【解析】试题分析：设232362log 3log log ()2,3,6t t t a b a b t a b a b --+=+=+=⇒==+=⇒11a ba b ab++=23610823tt t --==•．考点：指数与对数运算． 7．设集合中的最大、最小元素分别为M 、m ，则的值为___________.【答案】【解析】由，知. 当时，取得最大元素.又，当时，取得最小元素.因此，.8．若函数()21f x x a x =--在[)0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .【答案】[0,2] 【解析】试题分析：()[)()22,1,,,1x ax a x f x x ax a x ⎧-+∈+∞⎪=⎨+-∈-∞⎪⎩，[)1,x ∈+∞时，()f x =2x ax a -+=22a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭24a a +-，(),1x ∈-∞时，()f x =2x ax a +-=2224a a x a ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭.①当12a >即a >2时，()f x 在2a ⎛⎫1, ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，不合题意;②当012a ≤≤即02a ≤≤时，符合题意;③当02a <即0a <时，不符合题意.综上，a 的取值范围是[]0,2.考点：绝对值定义、函数单调性、分类讨论. 9．设为实数，函数满足：对任意的，有.则的最大值为______.【答案】【解析】易知，则.当，即时，取最大值.10．设.则的最大值是______.【答案】.【解析】不妨设.则.由.当且仅当时，上式等号同时成立.11．函数的值域为______.【答案】【解析】由题得x≠1，设.则.设.因为，所以，所以，则，且.故.故答案为：12．设为正实数，且.则______.【答案】【解析】由，得.又，即. ①于是，②再由式①中等号成立的条件，得.与式②联立解得故.故答案为：-113．函数的值域是________.【答案】【解析】易知，的定义域是，且上是增函数.从而，的值域为.14．函数在区间上的最大值为8.则它在这个区间上的最小值是________.【答案】【解析】试题分析：由题意得，令，因为，当时，则，则，所以当时，函数取得最大值，此时最大值为，解得，所以函数的最小值为；当时，则，则，所以当时，函数取得最大值，此时最大值为，解得，所以函数的最小值为，所以函数的最小值为.考点：函数的最值问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的最值问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用、一元二次函数的图象与性质的应用、指数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了换元法和转化与化归思想的考查，属于中档试题，本题的解答中换元后，灵活应用二次函数的图象与性质是解答问题的关键.15．若函数，且．则______．【答案】【解析】因为，所以．故．16．若方程仅有一个实根，那么的取值范围是．【答案】【解析】当且仅当①②③对③由求根公式得④．(ⅰ)当时，由③得所以同为负根．又由④知所以原方程有一个解．(ⅱ)当时，原方程有一个解．(ⅲ)当时，由③得所以同为正根，且，不合题意，舍去．综上可得为所求．17．已知定义在R+上的函数f(x)为.设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc的取值范围.【答案】(81，144).【解析】不妨假设a<b<c.由于f(x)在(0，3]上严格递减，在[3，9]上严格递增，在[9，+∞)上严格递减，且f(3) =0，f(9)=1，故结合图像可知：a∈(0，3)，b∈(3，9)，c∈(9，+∞)，并且f(a)=f(b)=f(c)∈(0，1).由f(a)=f(b)得.即，因此ab=32=9.于是abc=9c.又，故c∈(9，16).进而abc=9c∈(81，144).所以，abc的取值范围是(81，144).18．已知为R上的奇函数，，且对任意，均有.求的值.【答案】【解析】设.则.在中，取.注意到，，及为奇函数.故.则. 19．求所有的正实数对，使得函数满足：对任意的实数.【答案】【解析】由题意得. ①先求所满足的必要条件.在式①中令，得.由于，故可取到任意大的正值，因此，必有，即.在式①中再令，得.②将式②左边记为.显然，.否则，由，知，此时，.则可取到负值，矛盾.故对一切实数成立.于是，，即.进一步，考虑到此时，再由，知.从而，求得满足的必要条件为.③下面证明，对满足条件③的任意实数对及任意非负实数，式①总成立，即.事实上，在条件③成立时，有.再结合，得.综上，所求的正实数对全体为.20．设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】略21．设函数，实数满足.求的值.【答案】【解析】由题设得.则.由，知.故①又由有意义，知.从而，.于是，.则.故.从而，.解得(舍去).把，代入式①解得.因此，.22．求函数的最大值和最小值．【答案】【解析】函数的定义域为.因为当时等号成立．故的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得所以．………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得，解得．故当时等号成立．因此的最大值为．…………………………………………………………………………………15分23．设是正整数).证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于表示不超过实数的最大整数).【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】证法1 (1)对任意，有.令.则.又令.则.从而，存在，使得.否则，存在，使得.于是，，与，矛盾.故一定存在，使得.(2)假设只有有限个正整数，使得.令.则.故不存在，使得，与(1)的结论矛盾.所以，数列中有无穷多项属于.综上，原命题成立.证法2 由证法1，知当充分大时，可以大于任何一个正数.令.则.当时，.同证法1可证，对于任何大于的正整数，总存在，使得，即.令.则.故一定存在，使得.从而，.这样的有无穷多个.所以，数列中有无穷多项属于.24．设是给定的正整数，.记.证明：存在正整数，使得为一个整数，其中，表示不小于实数的最小整数(如).【答案】见解析【解析】记表示正整数所含的2的幂次.则当时，为整数.下面对用数学归纳法.当时，为奇数，为偶数，此时，为整数.假设命题对成立对于，设的二进制表示具有形式，其中，或l，.故.①显然，中所含的2的幂次为.故由归纳假设知，经过次迭代得到整数.由式①知，是一个整数.1．已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________.【答案】【解析】由为奇函数可知，解得a= 2，即，由此得的值域为.2．函数的值域为________.【答案】【解析】由条件知.令.则，，，因为，所以，.3．函数的最小值为________.【答案】【解析】设log3x=t，则.∴.∴当时，f(x)取最小值.4．若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________. 【答案】[1，2]【解析】∵f(x)=x2－2ax+a2－4=(x－a)2－4，f(a)=－4，f(a－2)=0，f(x)在区间[a－2，a2]上的值域为[－4，0]，f(x)的图像为开口向上的拋物线.∴，解得－1≤a≤0或1≤a≤2.结合a>0，得1≤a≤2.∴a的取值范围为[1，2].5．设，期中表示的最大公约数，则的值为________.【答案】520【解析】如果，则，所以.又，所以.故答案为：5206．牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是_______．【答案】牛得亨先生的女儿【解析】由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相同；由①，最佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人．因此，四个人中有三个人的年龄相同．由于牛得亨先生的年龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞．因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手．由①，最佳选手的孪生同胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿．故答案为：牛得亨先生的女儿7．函数的最小值是______．【答案】【解析】因为此即为直线y=x上的点(x，y)到点(0，1)与到点(2，3)的距离之和，根据镜像原理，z的最小值应为点(1，0)到点(2，3)的距离．故答案为：8．若方程a x>x(a>0，a≠1)有两个不等实根，则实数a的取值范围是_______．【答案】【解析】由a x>x知x>0，故，令(x>0)，则．当时，；当时，．所以在(0，e)上递增，在(e，+∞)上递减．故，即．故答案为：9．已知实数满足，则________.【答案】1【解析】化为对数，有，所以.10．已知函数满足，那么的值域为_______.【答案】【解析】设函数满足，.所以所求函数是，其图像如图，易知的值域是.11．设是由有限个正整数构成的集合，且，这里，2，…，20．并对任意的，都有，已知对任意的，若，则．求集合的元素个数的最小值．(这里，表示集合的元素个数)【答案】180【解析】记．不妨设，2，...，， (20)设，2，…，．因为对任意的，都有，所以，…，互不相同，，即．又对任意的，若，则，所以当，…，20时，．即，当，…，20时，．所以．若，则．若，则．所以总有．另一方面，取，其中，2， (20)则符合要求．此时，．综上所述，集合的元素个数的最小值为180．12．已知函数．(1)若对于任意的，均有，证明：；(2)当时，证明：对于任意的成立的充分必要条件为．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)因为恒成立，所以，．又，故．(2)必要性：对于任意的．则，即．又，得．从而，．因此，．充分性：由，且，则对于任意的，有．又，故．13．求方程的实数解．【答案】【解析】令．则．令．注意到，．则，即．又，当时，．故．于是，对任意的，有．从而，．综上，原方程的实数解构成的集合为．14．已知奇函数的定义域为，且在内递减，求满足：的实数的取值范围．【答案】【解析】由f(x)的定义域是[－2，2]，知解得－1≤m≤.因为函数f(x)是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m2)，即f(1－m)<f(m2－1)．由奇函数f(x)在区间[－2，0]内递减，所以在[－2，2]上是递减函数，所以1－m>m2－1，解得－2<m<1.综上，实数m的取值范围是－1≤m<1.15．黑板上写有方程.证明：任取三个两两不同的整数能适当安放在方程的的位置(每颗星安放一个数)，使得方程有实根.【答案】见解析【解析】设三个★的位置为.则原方程为①将任意三个两两不同的整数中最大的放在，设.则三个数中另外两个较小的数为.故.于是，若以放在左边第一个★的位置的二次方程为，则.从而，方程①有实根.因此，任意三个两两不同的整数，只要以其中最大的一个放在左边第一个★的位置，其余两个放在后两个★的位置，所得的方程就有实根.。

函数模型及其应用典型例题

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[例1] 某产品进货单价40元，按50元一个出售可卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个。

（1）定价元时，日销售额最大为。

（2）定价元时，日利润最大为。

解：设定价元，日销售为元
∴
∴ 时，
元（2）设定价元，日利润
元
∴ 时，元
[例2] A 地产汽油，B 地需汽油，只能用汽车运输。

汽车满载的油量等于汽车往返A 、B 两地所需油耗，故无法直接由A 运到B ，在A 、B 之间建立一个中转汽油库P ，从A 将油运至P ，再由P 运至B ，为使运油率最大。

（运油率
）P 的位置应满足AP= AB 。

解：设AB=1，
，设A 地有油M 吨由A →P ，P 地为
M 由P →B ，B 地为 ∴ 运油率
∴ 时，
[例3] 某厂今年1、2、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件。

为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数。

已知4月份该产品的产量为1.37
万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好。

解：（1）设
由设
万，
万
∵
∴ 作为模拟函数误差较小。

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