精选九年级数学上册第1章一元二次方程1-2一元二次方程的解法直接开平方法学案(无答案)(新版)苏科版

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苏科(部审)版九年级数学上册《1章一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法直接开平方法》优课导学案_17

1.2一元二次方程的解法（1）-直接开平方法【教学目标】1、会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,ab ≥0）的方程； 2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。

【重点难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。

【课堂教学实施设计】一、复习回忆1、一元二次方程化简整理后的一般形式是：2、二次项系数a 应具备的条件是_________ 。

为什么？3、下列方程哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？二、新课讲授：引出课题：《1.2一元二次方程的解法——直接开平方法》()()()()();2433;8214;3523222+=-++=--=-=+x x x x x x x x x说明：形如方程02=-k x )0(≥k 可变形为)0(2≥=k k x 的形式，即方程左边是关于x 的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接开平方法解此方程。

方程的两根分别用21,x x 表示。

思考：形如())0(2≥=+k k h x 的方程的解法。

说明：（1）解形如())0(2≥=+k k h x 的方程时，可把()h x +看成整体，然后直开平方程。

（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，（3）如果变形后形如()k h x =+2中的K 是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。

（4）如果变形后形如()k h x =+2中的k=0这时可得方程两根21,x x 相等。

本课小结：1、对于形如bkxa=-2)(（a≠0,a b≥0）的方程，只要把)(kx-看作一个整体，就可转化为nx=2（n ≥0）的形式用直接开平方法解。

2、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。

布置作业：。

九年级数学上册第1章一元二次方程 1.2 一元二次方程

1.2 第1课时用直接开平方法解一元二次方程当堂检测1．解方程：x2＝5.解：∵x2＝________，∴x＝________，∴x1＝________，x2＝________．2．解方程：(x＋2)2＝3.解：直接开平方，得x＋2＝________，x＋2＝________或x＋2＝________，解得x1＝________，x2＝________．3．解方程：2(x－1)2－8＝0.解：移项，得________，两边同时除以2，得________，两边直接开平方，得________或________，解得x1＝________，x2＝________．4．若方程(x－4)2＝a有实数根，则a的取值范围是( )A．a≤0 B．a≥0C．a＞0 D．无法确定5．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A．x2－5＝5 B．－3x2＝0C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0课后训练一、选择题1．一元二次方程x2－4＝0的根为( )A．x＝2 B．x＝－2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝42．如果x＝－3是一元二次方程ax2＝c的一个根，那么该方程的另一个根是( ) A．3 B．－3 C．0 D．13．若2x2＋3与2x2－4互为相反数，则x为( )A.12B．2 C．±2 D．±124．关于x的一元二次方程(x－5)2＝m－7，若能用直接开平方法解，则m的取值范围是( )A．m＞0 B．m≥7 C．m>7 D．任意实数5．关于x的一元二次方程(x－a)2＝b，下列说法中正确的是( )A．有两个解为x＝± b B．当b≥0时，有两个解为x＝± b＋a C．当b≥0时，有两个解为x＝± b－a D．当b≥0时，方程无实数根6．关于x的方程a(x＋m)2＋n＝0(a，m，n均为常数，m≠0)的解是x1＝－2，x2＝3，则方程a(x＋m－5)2＋n＝0的解是( )A．x1＝－2，x2＝3 B．x1＝－7，x2＝－2C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝3，x2＝8二、填空题7．方程4x 2＝9的解是________________．8．方程(x ＋3)2－2＝0的解为_________________．9．若关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋4x ＋a 2－1＝0的一根是0，则a ＝________．10．若关于x 的方程x 2－m ＝0的一个根为2，则另一个根为__________．11．[2014·济宁] 若关于x 的一元二次方程ax 2＝b(ab>0)的两个根分别是m ＋1与2m－4，则b a＝________．三、解答题12．解方程：(1)4＝x 2－1； (2)16x 2－49＝0；(3)2(x －2)2＝12； (4)(2x －1)2＝(x ＋1)2.13．若2y ＝(x －2)2＋1，且y 的算术平方根是5，求x ＋2y 的值．14．已知等腰直角三角形的两直角边长都增加1 cm ，则斜边长变为5 cm ，求原三角形直角边的长．拓展题阅读理解：我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称作二阶行列式，规定它的运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 34 5＝2×5－3×4＝－2.如果⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x －11－x x ＋1＝6，求x 的值．答案及解析当堂检测1．5 ± 5 5 － 5 2.± 3 3 － 3 －2＋ 3 －2－ 33．2(x －1)2＝8 (x －1)2＝4 x －1＝2 x －1＝－2 3 －14．B [解析] 利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负性列出关于a 的不等式a ≥0.故选B.5．C [解析] A ．由原方程得到x 2＝10＞0，所以该方程有解．B.由原方程得到x 2＝0，所以该方程有解．C.由原方程得到x 2＝－4＜0，所以该方程无解．D.(x ＋1)2＝0，所以该方程有解．故选C.课后训练1．[解析] C 移项，得x 2＝4，直接开平方，得x 1＝2，x 2＝－2.2．[解析] A ∵x＝－3是一元二次方程ax 2＝c 的一个根，∴a(－3)2＝c ，即c ＝9a ，∴把c ＝9a 代入原方程可得ax 2＝9a ，即x 2＝9，解得x 1＝3，x 2＝－3，∴该方程的另一个根是x ＝3.故选A .3．[解析] D ∵2x 2＋3与2x 2－4互为相反数，∴2x 2＋3＋2x 2－4＝0，化简，得4x 2＝1，x 2＝14，∴x ＝±12.故选D . 4．[解析] B 方程(x －5)2＝m －7能用直接开平方法求解，只要满足m －7≥0即可，即m≥7.5．[解析] B ∵方程中的b 不确定，∴当b ＜0时，方程无实数根；当b≥0时，x －a ＝± b ，即方程有两个解为x ＝± b ＋a.故选B .6．[解析] D ∵关于x 的方程a(x ＋m)2＋n ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝3(a ，m ，n 均为常数，m ≠0)，∴方程a(x ＋m －5)2＋n ＝0可变形为a[(x －5)＋m]2＋n ＝0，即此方程中x －5＝－2或x －5＝3，解得x ＝3或x ＝8.故选D .7．[答案] x 1＝32，x 2＝－32[解析] 由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32， ∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32. [点评] 先把方程化为x 2＝a(a≥0)的形式，然后运用直接开平方法求解．8．[答案] x 1＝2－3，x 2＝－2－3[解析] 将x ＋3看作一个整体，则原方程可变形为(x ＋3)2＝2，从而可以运用直接开平方法求解．移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝±2，∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3.9．[答案] 1[解析] ∵一元二次方程的一根是0，∴(a ＋1)×02＋4×0＋a 2－1＝0，∴a 2－1＝0，即a ＝±1.∵a ＋1≠0，∴a ≠－1，∴a ＝1.10．[答案] － 2[解析] 方法一：由方程的一个根为2可求出m ＝2，然后直接开平方求出另一根．方法二：由方程x 2－m ＝0的根的特点：两根互为相反数，从而得出另一个根．11．[答案] 4[解析] ∵x 2＝b a (ab ＞0)，∴x ＝±b a ，∴方程的两个根互为相反数，即m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴m ＋1＝2，∴b a＝22＝4. 12．解：(1)x 2＝5，x ＝± 5，即x 1＝5，x 2＝－ 5.(2)x 2＝4916，即x 1＝74，x 2＝－74. (3)2(x －2)2＝12，(x －2)2＝14，x －2＝±12，即x 1＝52，x 2＝32. (4)(2x －1)2＝(x ＋1)2，即2x －1＝x ＋1或2x －1＝－(x ＋1)，即x 1＝2，x 2＝0.13．[解析] 先求得y 的值，再求得x 的值，代入即可得出x ＋2y 的值．解：∵y 的算术平方根是5，∴y ＝5.∵2y ＝(x －2)2＋1，∴10＝(x －2)2＋1，移项，得(x －2)2＝9，开方，得x －2＝±3，解得x 1＝－1，x 2＝5，∴x ＋2y ＝15或9.14．[解析] 设原三角形直角边的长为x cm ，则增加后两直角边的长为(x ＋1)cm ，可根据勾股定理求解，注意结果要符合题意．解：设原三角形直角边的长为x cm ，则增加后两直角边的长为(x ＋1) cm .依题意可列方程为(x ＋1)2＋(x ＋1)2＝52，2(x ＋1)2＝25，(x ＋1)2＝252，即x ＋1＝±522，即x 1＝－1＋52 2，x 2＝－1－522. 因为边长不能为负数，故x ＝－1－52 2应舍去，即原三角形直角边的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52 2cm . 【拓展题】解：根据题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x －11－x x ＋1＝(x ＋1)2－(1－x)(x －1)＝6，整理，得x 2＝2，两边直接开平方，得x ＝± 2.。

苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的解法直接开平方法》教学设计

苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的解法直接开平方法》教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的解法直接开平方法》是学生在学习了方程和不等式的知识后，进一步学习一元二次方程的解法。

本章通过实例引入直接开平方法，使学生掌握一元二次方程的解法，并会灵活运用。

教材以学生为主体，注重培养学生的动手操作能力和思维能力，使学生在实践中掌握知识，提高解题技能。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已具备了一定的方程知识，对解方程有一定的了解。

但直接开平方法作为一种新的解法，对学生来说还是陌生的。

因此，在教学过程中，教师要注重引导学生从已有的知识出发，逐步过渡到直接开平方法的学习。

同时，学生应具备一定的逻辑思维能力和运算能力，以便在学习过程中能更好地理解和运用直接开平方法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的直接开平方法，能熟练运用直接开平方法解一元二次方程。

2.过程与方法：通过实例引导学生掌握直接开平方法的操作步骤，培养学生的动手操作能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的直接开平方法。

2.难点：如何引导学生从已知知识过渡到直接开平方法，以及如何灵活运用直接开平方法解题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入直接开平方法，使学生在实践中掌握知识。

2.启发式教学法：教师引导学生从已知知识出发，探索直接开平方法，培养学生的思维能力。

3.小组合作学习：学生分组讨论，共同探索解题方法，培养学生的团队合作意识。

4.反馈评价法：教师及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与，提高学习效果。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和练习题。

2.练习题：准备一些有关直接开平方法的练习题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入直接开平方法，激发学生的学习兴趣。

苏科(部审)版九年级数学上册《1章一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法直接开平方法》优课导学案_6

1.2直接开平方法解一元二次方程教学案一、学习内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．二、学材分析本节是九年级上册第一章第二节第一课时内容，一元二次方程的解法是初中代数学习中非常重要的内容之一，而直接开平方法则是一元二次方程解法的基础，它看似简单，却不容忽视．首先“直接开平方法”是配方法解一元二次方程的准备与奠基；其次，在一元二次不等式的求解及求二次函数与x 轴交点等问题中都要应用一元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比、建模、整体等重要的数学思想方法．因此它不仅是后续学习的基础内容，也是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的重要一课．三、学习方法采用“自主—互动—展评—反思”式教学方式．通过创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学．遵循因材施教、循序渐进原则．直观地展示教学内容，有效地突出重点，突破难点，让学生参与到整个学习过程中，激发学生的学习兴趣，提高课堂学习效率．四、学习目标1.理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题；2.提出问题，对于缺一次项的一元二次方程ax 2+c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解（x ＋h ）2＝k （k ≥0）型的一元二次方程；3.培养学生的观察、比较、分析、综合等能力，会应用学过的知识去解决新的问题；4.鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心．五、学习重点难点关键1．学习重点：运用开平方法解形如（x ＋h ）2＝k （k ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想；2．学习难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x ＋h ）2＝ k （k ≥0）的方程．六、教学过程（一）情境导入问题1：一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少?问题2：我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．用式子表示：若x 2＝a ，则x叫做a 的平方根．记作x ＝a ±，即x ＝a 或x ＝a -．如：9的平方根是±3，254的平方根是52±． 1.平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根．2.如何解方程：（1）x 2＝4，（2）x 2－2＝0（二）新知探究1．尝试：（1）根据平方根的意义，x 是4的平方根，∴x ＝±2即此一元二次方程的解（或根）为： x 1＝2，x 2 ＝－2（2）移项，得x 2＝2根据平方根的意义，x 就是2的平方根，∴x ＝2±即此一元二次方程的解（或根）为： x 1＝2，x 2＝2-．2．概括总结什么叫直接开平方法？像解x 2＝4，x 2－2＝0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x 2＝a （a≥0）或（x ＋h ）2＝k （k ≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解．3.概念巩固：已知一元二次方程mx 2＋n ＝0(m ≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m 、n 必须满足的条件是（）A.n ＝0B.m 、n 异号C.n 是m 的整数倍D.m 、n 同号（三）典型例题例1解下列方程（1）x 2－1.21＝0 ；（2）4x 2－1＝0．解：（1）移项，得x 2＝1.21 （2）移项，得4x 2＝1∵x 是1.21的平方根两边都除以4，得x 2＝41 ∴x ＝±1.1 ∵x 是41的平方根即 x 1＝1.1，x 2＝－1.1． ∴x ＝21± 即x 1＝21，x 2＝21-．例2解下列方程：⑴ （x ＋1）2＝ 2 ； ⑵ （x －1）2－4 ＝ 0；⑶ 12（3－2x ）2－3 ＝ 0．分析：第1小题中只要将（x ＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以－2即可．解：（1）∵x ＋1是2的平方根∴x ＋1＝2±即x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2．（2）移项，得（x －1）2＝4∵x －1是4的平方根∴x －1＝±2即x 1＝3，x 2＝－1．(3)移项，得12（3－2x ）2＝3两边都除以12，得（3－2x ）2＝0.25∵3－2x 是0.25的平方根∴3－2x ＝±0.5即3－2x ＝0.5,3-2x ＝－0.5∴x 1＝45，x 2＝47．例3解方程(2x －1)2＝(x －2)2 分析：如果把2x －1看成是（x －2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解．解：2x －1＝2)2(-±x即2x －1＝±（x －2）∴2x －1＝x －2或2x －1＝－x +2即x 1＝－1，x 2＝1．（四）深入探究1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有（x ＋h ）2＝k （k ≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解．2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解．3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明．（五）巩固应用（1）下列解方程的过程中，正确的是（）①x 2＝－2，解方程，得x ＝±2②(x －2)2＝4，解方程，得x －2＝2，x ＝4③4(x －1)2＝9，解方程，得4(x －1) ＝±3，x 1＝47；x 2＝41 ④(2x ＋3)2＝25，解方程，得2x ＋3＝±5，x 1＝1；x 2＝－4（2）解下列方程：①x 2＝16； ②x 2－0.81＝0； ③9x 2＝4； ④y 2－144＝0．（3）解下列方程：①（x －1）2＝4； ②（x ＋2）2＝3；③（x －4）2－25＝0； ④（2x ＋3）2－5＝0；⑤（2x －1）2＝（3－x ）2 ．（4）一个球的表面积是100πcm 2，求这个球的半径．（球的表面积s ＝4πR 2，其中R是球半径）（六）归纳小结1.本节课学习了直接开平方法解一元二次方程，这样的一元二次方程有哪些不同的形式？2.解一元二次方程的基本思想是什么？3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明．。

苏科(部审)版九年级数学上册《1章一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法直接开平方法》优课导学案_7

1.2 一元二次方程的解法（1）---直接开平方法教材分析:“直接开平方法解一元二次方程”属于苏科版九年级上第一章第二小节内容。

本节为一元二次方程解法的起始课，一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。

首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次，在一元二次不等式的求解及求二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比等重要的数学思想方法。

因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。

指导思想：新课标指出：数学教学应该实现人人学必需的数学，人人学有价值的数学，不同的人在数学上有不同的发展。

同时数学教学活动应建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础上，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，提高数学学习兴趣和问题解决能力。

学情分析：这个班级的学生整体数学水平较好，也比较喜欢学习数学并且有良好的数学学习习惯，这节课对于大部分学生来说是基础的、简单的，所以这节课我会让学生多说，多做，然后再一起归纳总结。

班级中也有几个数学学习上比较吃力的学生（如张成，钱好等），所以这节课设计习题时会有层次感，让每位学生都能体会成功；同时为了鼓励基础差的学生学好这节基础课，我会多提问基础差的学生，并且让他们勇敢的到黑板上展示，让他们在一元二次方程的解法的第一课能有所收获，为后面的解法学生打下基础。

像张成，钱好这几位同学虽然基础差，在解题过程中花了较长时间来完成，但是他们都坚持完成了题目，表现不错。

知识目标1、通过对比一元一次方程解的概念，理解一元二次方程的解的概念，并会利用一元二次方程解解决有关问题。

2、通过回顾平方根的意义和对例2和练习1，能够熟练地用开平方法解形如x2=k (k≥0)的方程。

苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的解法直接开平方法》说课稿

苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的解法直接开平方法》说课稿一. 教材分析《一元二次方程的解法直接开平方法》是苏科版数学九年级上册第1章的内容。

本节内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义和根的判别式的基础上进行学习的。

直接开平方法是一元二次方程的解法之一，它是通过直接对一元二次方程进行开平方运算，求出方程的解。

这部分内容在整个初中数学中占有重要的地位，是学生解决实际问题和进行进一步学习的基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于方程的解法和一元二次方程的定义已经有了一定的了解。

但是，对于直接开平方法的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

在学生的学习过程中，他们可能对于开平方运算的理解不够深入，对于如何将一元二次方程转化为开平方形式还存在困惑。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生理解开平方运算的原理，并通过具体的例子让学生掌握如何将一元二次方程转化为开平方形式，从而求出方程的解。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解直接开平方法的原理，能够将一元二次方程转化为开平方形式，并求出方程的解。

2.过程与方法目标：通过具体例子，培养学生运用直接开平方法解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：使学生理解直接开平方法的原理，能够将一元二次方程转化为开平方形式，并求出方程的解。

2.教学难点：引导学生理解开平方运算的原理，以及如何将一元二次方程转化为开平方形式。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、引导法、讨论法等教学方法，结合多媒体教学手段，引导学生积极参与，共同探索一元二次方程的解法。

六. 说教学过程1.导入：通过复习一元二次方程的定义和根的判别式，引导学生进入新课。

2.讲解：讲解直接开平方法的原理，并通过具体例子引导学生理解如何将一元二次方程转化为开平方形式，求出方程的解。

九上1、2一元二次方程的解法1用直接开平方法解一元二次方程教学设计新版苏科版

1.2.1 直接开平方法教学目标：1、知识与技能①会用直接开平方法解形如的一元二次方程；②理解配方法的思想，掌握用配方法解形如的一元二次方程;③ 能利用方程解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。

2、数学思考通过利用平方根的意义解形如的方程，进而迁移到解形如的方程．3、情感态度与价值观：培养学生积极参与﹑主动探究的精神与意识，让学生体念到通过自身努力，学会运用数学知识解决实际问题后的成功喜悦与乐趣。

教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

教学难点：通过平方根的意义解形如的方程，进而迁移到形如的方程。

教学关键：理解一元二次方程求解的策略是“降次──转化”的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。

教学过程内容教学方式与师生活动过程反思一．温故而知新你能想出下列方程的根呢？在引导学生复习了方程的相关知识，学生能根据平方根的意义，可以得到方程的解。

它们一边是一个完全平方式，另一边是一个非负数，形如：学生通过自主学习教材内容，尝试解决求方程，给学生充分探索的空间。

教师归纳：一般地,对于形如：的方程,根据平方根的定义,可解得，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。

二、巩固练习：1.（1）方程4x2－36=0 的根是。

（2）方程(3x－4)2=25的根是。

（3）方程(x－3)2=7的根是。

三、合作探究能否把方程x2－6x＋2＝0变形为（）2=a的形式（ａ为非负常数）？四、阶段汇总通过配成完全平方形式来解一通过两边开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

学生通过比较，分析它们与方程x2=0.25的异同，从而获得求解一元二次方程的思路策略。

利用类比思想解方程(3x－4)2=25和(x－3)2=7。

通过实际方程的演练，让学生感受到配方法的存在。

在教师的引导下，学生总结出配方法的定义。

教师就一元二次方程的有两个根进行说明启发学生观察方程的特点，体会解一元二次方程的降次思想，给出直接开平方法的概念。

苏科(部审)版九年级数学上册《1章一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法直接开平方法》优课导学案_1

1.2一元二次方程的解法（1）简案教学目标能用直接开平方法解具备2()x h k +=(k ≥0)形式的一元二次方程，学会用联系的观念看待所学的知识、方法和思想，能用已有解方程的经验尝试从不同途径将特殊的二次方程转化为一次，感受转化思想的学科价值.教学重点、难点重点：能用直接开平方法解具备2()x h k +=(k ≥0)形式的一元二次方程，感受转化思想在数学学习中的作用．难点：2()x h k +=中k 的取值对方程解的影响．学情分析本节课，是在学生已有对一元一次方程、二元一次方程组、分式方程认识的基础上开展的一元二次方程解法第一课时的教学——直接开平方法．因此，本节课应以知识间相互联系的观念去设计教学，这种联系不仅体现在各种方程之间的纵向联系，也体现在一元二次方程本身几种解法之间的横向联系上.虽然本节课教学内容少，难度也不大，但是它却对整个一元二次方程解法这部分内容起到一个统领作用，关键不在方法本身，而应体现“转化”思想的学科价值，并初步感受二次转化为一次的基本思路，即直接开方或因式分解.教学预设一、引入尝试回忆：（1）谈谈你对一元二次方程的认识？（2）我们已经学过哪些方程？这些方程如何解？尝试探究请尝试解方程：240x -=二、探究新知1.提出问题：请你再编一个形如2x k =的一元二次方程.并尝试解这个方程.归纳：形如2x k =（k ≥0）的一元二次方程，可以用直接开平方法解.2．问题解决请解下列方程：（1）2240x -=（2）241x =3. 请尝试解方程：（1）2(1)2x -=（2）2(1)2x -=4.提出问题：你能再编一个类似的一元二次方程吗？并尝试解这个方程.归纳：形如2()x h k +=（k ≥0）的一元二次方程，可以用直接开平方法解.5.多题一解，寻找关联：请尝试解方程：（1）2212x x -+=（2）2210x x --=6.拓展提升解参数方程2x k =（k ≥0） 2()x h k +=（k ≥0）三、反思总结（1）解一元二次方程与解二元一次方程组有什么相同之处？有什么不同之处？（2）一元二次方程的解与其他方程的解有什么不同？（3）在求解一元二次方程过程中运用了哪些数学思想？对你以后的学习有什么启示？四、结束语就数学而言，“转化”需要关联；而就数学学习而言，“转化”需要“以关联为前提”的联想.因此，只要我们用心，学好数学并不是一件难事.四、作业布置完成练习。

九年级数学上册第1章一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法第1课时用直接开平方法解一元二次方程

第1章一元二次方程1．2 第1课时用直接开平方法解一元二次方程知识点 1 利用开平方的条件判断方程解的情况1．用直接开平方法解关于x的一元二次方程(x－5)2＝m－7时需开平方，因此被开方数m－7是一个________数，即m－7≥0，∴当m的取值范围是________时，方程(x－5)2＝m－7有解．知识点 2 用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程2．解方程：x2－25＝0.解：移项，得x2＝________．∵x是________的平方根，∴x＝________，即x1＝________，x2＝________．3．教材例1(2)变式方程9x2＋1＝2的解是x1＝________，x2＝________．知识点 3 用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)的一元二次方程4. 一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－45．解方程：12(3－2x)2－3＝0.解：移项，得12(3－2x)2＝________．两边都除以12，得(3－2x)2＝________．∵3－2x是________的平方根，∴3－2x＝________，即3－2x＝________或3－2x＝________，∴x1＝________，x2＝________．6．教材例2变式方程2(1＋m)2＝24的解为x1＝________，x2＝________．7．解方程：(1)(x－1)2－3＝0; (2)(2x－1)2－16＝0；(3)4(1－2x)2＝9; (4)3(x－5)2－75＝0.8．若方程x2－m＝0的根是有理数，则m的值可能是( )A．－9 B．3 C．－4 D．49．2016·深圳给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y′＝nx n－1.例如：若函数y＝x4，则y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的根是( )A．x1＝4，x2＝－4 B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝0 D．x1＝2 3，x2＝－2 310．若(x2＋y2－1)2＝4，则x2＋y2＝________．11．已知三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程(x－5)2－4＝0的根，试求三角形的周长．12．若关于x的方程(x＋m)2＝k(k≥0)的两个根是2和3，则关于x的方程(x＋m－2)2＝k(k≥0)的根是( )A．2或3 B．－2或－3C．4或5 D．－4或－5p，q表示p，q两数中较小的数，13．[2017·河北] 对于实数p，q，我们用符号min{}（x－1）2，x2＝1，则x＝如min{1，2}＝1.因此min{}－2，－3＝________；若min{}________．详解详析1．非负 m≥72．25 25 ±5 5 －53.13 －134．D [解析] 将方程(x ＋6)2＝16两边直接开平方，得x ＋6＝±4，则x ＋6＝4或x ＋6＝－4.故选D .5．3 14 14 ±12 12 －12 54 746．2 3－1 －2 3－17．解：(1)移项，得(x －1)2＝3.∵(x－1)是3的平方根，∴x －1＝±3，即x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.(2)移项，得(2x －1)2＝16.开平方，得2x －1＝±4.当2x －1＝4时，x ＝52；当2x －1＝－4时，x ＝－32.∴x 1＝52，x 2＝－32. (3)方程变形为(2x －1)2＝94. ∵(2x －1)是94的平方根， ∴2x －1＝±32，即x 1＝54，x 2＝－14. (4)移项，得3(x －5)2＝75，∴(x －5)2＝25，∴x －5＝5或x －5＝－5，解得x 1＝10，x 2＝0.8． D [解析] 先移项，把方程化为x 2＝m.因为x 是有理数，所以m 必须大于或等于0且是某个有理数的平方，据此即可对各个选项进行判断．9．B 10.311．解：由方程(x －5)2－4＝0，得x ＝3或x ＝7.根据三角形的三边关系，知3，6，3不能构成三角形；3，6，7能构成三角形．故该三角形的周长为3＋6＋7＝16.12．C13．－ 3 2或－1。

2021版九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法6学案新版人教版

版方程的解法6学案新版人教版学习目标:1. 会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法；2. 能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性．学习重点：会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法．学习过程：一.【情景创设】把下列各式因式分解.（1）x2－4x （2）x＋3－x（x＋3）（3）（2x－1）2－x2二.【问题探究】问题1：如何解方程：x2－4x= 0 ？归纳：这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．如果一个一元二次方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可用因式分解法来求解．版问题2：解下列方程：（1）x 2＝4x ；（2）x ＋3－x (x ＋3)＝0．（3） (2x －1)2－x 2＝0 （4）9x 2+6x +1=0练一练：用因式分解法解下列方程:(1) 2)4(4-=-x x (2) x x 5252=+(3) 04)23(22=-+x x (4) 24)12)(14(-=--x x x版总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程的右边化为0;(2)将方程的左边分解为______________;(3)令每个因式分别为0,得到两个___________;(4)解这两个____________________,它们的解就是原方程的解.三.【变式拓展】问题3：解方程：(x＋2) 2＝4（x＋2）．解法1：原方程可变形为解法2：原方程两边都除以（x＋2），得(x＋2)2－4(x＋2)＝0，x＋2＝4．(x＋2)(x－2)＝0．所以x＝2．x＋2＝0或x－2＝0．所以x1＝－2，x２＝2．哪种解法正确？你是怎样思考的？四.【总结提升】通过这节课的学习，你有什么收获呢？五. 【课堂反馈】姓名：版六. 【课后作业】（选做题）【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。

苏科(部审)版九年级数学上册《1章一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法直接开平方法》优课导学案_18

1.2一元二次方程的解法（1）【教学目标】1、会用直接开平方法解一元二次方程；2、在解方程的过程中渗透转化的思想，让学生明白解方程的过程就是化归的过程.【教学重点】会用直接开平方法解一元二次方程【教学难点】化归思想的渗透【教学过程】1、情境创设：在上一节课的探索中，我们从实际问题中得到了如下四个一元二次方程：22=x ， 24)219(=-x x ， 8.9)1(52=+x ， 25)1(22=-+x x如何解方程22=x 呢？设计意图：上一节课中，学生在用方程刻画实际问题时，列出了上面的四个方程，它们不同于之前学过的一元（二元）一次方程，归纳后得到了一元二次方程的定义。

类比一元（二元）一次方程的学习，自然需要研究如何解所得到的一元二次方程，进而引入本节课的课题“一元二次方程的解法（1）”。

面对着所列出的四个一元二次方程，又该从哪个方程着手，著名数学家、教育学家波利亚的“从最简单做起”，给学生的探究提供了方向。

“从最简单做起”其实是数学研究中常用的方法，这里可以很好地培养学生的数学素养，为将来学生的探究活动积累经验。

此外22=x 解法的探究，又为后续问题的展开做好了铺垫。

2、探索活动：活动一：探寻解法问题1：从方程22=x 中，你能知道x 与2之间有什么关系？问题2：如何解方程022=-x . 设计意图：“问题1”的设计引导学生发现22=x 中x 与2之间的关系，从而初步感受到，用开平方的方法可以实现降次，把一元二次方程转化成两个一元一次方程，进而发现了一种解一元二次方程的方法，直接开平方法。

“问题2”的设计，一方面是让学生再次感受转化在解方程中的重要性，另一方面也为后面的“活动二”做铺垫。

练一练：0942=-y设计意图：初步学习用直接开平方法解方程，及时发现问题，及时纠正，规范学生解题的规范性。

活动二：编制方程请利用方程022=-x 编制一道一元二次方程，并用直接开平方法求解.设计意图：活动二是一个开放型的活动，“请利用方程022=-x 编制一道一元二次方程，并用直接开平方法求解”，就是让学生设计出一道可以转化成方程022=-x 的一元二次方程，这样做，可以充分让学生自己探寻“哪些方程可用直接开平方法解？”，能够更深入理解直接开平法的本质，也能更好地理解转化在解方程的作用。

苏科(部审)版九年级数学上册《1章一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法直接开平方法》优课导学案_3

______周______月______日总课时_________
课题
§1.2一元二次方程的解法（1）
课型
新授
教学
目标
1、了解形如（x+m）2=n（n≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法。
2、会用直接开平方法解一元二次方程。
重点难点
重点：会用直接开平方法解一元二次方程。
难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系。
总结概括：我们把这种通过求平方根来解一元二次方程的方法叫直接开平方法。
4、请你写出一些可以用直接开平方法求解的方程，并独立求解。
5、我们能用直接开平方法求解下列方程吗？
思考：如何解方程？
如何解方程？
问题引导：1.以上一元二次方程有什么点？
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明
教法
类比、小组讨论、总结归纳。
教学过程
教师点拨义。
二、问题探究
1、已知一元二次方程
你能判断下列哪些数值是以上一元二次方程的解吗？
2、5、-2、0、4、-5。
2、你能求解以上一元二次方程吗？怎样解？
3、如何解方程呢？
分析：由平方根的定义可知即此一元二次方程两个根为。
总结特点与步骤
学生板演，集体矫正，共同提高
（多人）
课堂小结
谈谈本课你有哪些收获？还有哪些疑惑？
课后作业
解下列方程：
（1）（＋2）2－16＝0（2）－1)2－18＝0；
（3）(1－3 )2＝1；（4）4( ＋3)2－25＝0
教
学
反
思
(1)4 2-9=0；(2)（ +2）2=16

九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法(2)教案(新版)苏科版

一元二次方程的解法（2）教学目标【知识与能力】会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会配方法是一种重要的数学方法.【过程与方法】经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，理解配方法的意义，体会转化的思想，向学生渗透知识来源于生活.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----配方法.【情感态度价值观】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.教学重难点【教学重点】掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.【教学难点】把一元二次方程转化为的（x ＋h ）2= k （k ≥0）形式.教学过程1.填空1、请写出完全平方公式。

（a ＋b ）2 = （a-b ）2 =2、用直接开平方法解下例方程：（1）5)3(2=+x （2）134)5(2=+-x2、将下列各进行配方：___)(___)(___)(___)(22222222____21)4(_____5)3(_____8)2(_____2)1(-+-+=+-=++=+-=++y y y y x x x x y y x x（5）2x +b x ＋_____＝（x ＋___）23.两个方程之间有什么联系？提示：能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？定义：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.目的：把左边转化成（。

）2=k 的形式，右边的k 是一个非负数。

例1：用配方法解下列方程(1)x2 － 4x ＋3 =0(2)x2 ＋ 3x －1=0注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方小结：用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;开方:根据平方根意义，方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.1 用配方法解下列方程：(1) x2＋12x =－9(2) －x2＋4x －3=0知识梳理与小结 ?0462=++x x 想一想如何解方程02422=-+x x 程用配方法解一元二次方?5962=++x x 想一想如何解方程课堂反馈练习（一）（看谁准确率高）1、填空：（1）++x x 62（）＝（）2（2）2x －8x ＋（）＝（）2（3）2x ＋x ＋（）＝（）2（4）42x －6x ＋（）＝4（）22、用配方法解方程：（1）2x ＋2x ＝5；（2）2x －4x ＋3＝0；（3）2x ＋8x －2＝0；（4）276x x +=-课堂反馈练习（二）(看谁又快又准)1、解下列方程：（1）2x +2x-3=0；（2）2x +10x+20=0；（3）2x -6x=4；（4）2x -x=1；（5）2x -7x+12=0；（6）2x +6x-16=0本节课主要学习了用配方法解一元二次方程，配方时一定要注意等式两边都加一次项系数一半的平方，尤其要注意负号。

苏科(部审)版九年级数学上册《1章一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法直接开平方法》优课导学案_10

（板书：形如或可化为(x+h)2=k (k≥0)的一元二次方程，可用直接开平方法求解.）
观察、分析例题与前面所解一元二次方程的异同点，得出本题的解题思路.观察对比，归纳总结符合直接开平方法的一元二次方程的基本特征.
引导学生感悟、理解解一元二次方程的过程本质是不断“变形”的过程.只是“变形”过程中又应用了整体思想，且变形的步骤更复杂了而已.
（4）体会到了类比、转化、整体、变量代换等数学思想的应用.
同学们自主总结，感悟、理解解方程本质是不断变形的过程。获得解一元二次方程的一般经验，将二次方程降次转化为一次方程后求解．直接开平方法仅仅是降次的一种方法。
这里需要学生在回顾本节课的基础上整理探究思路，最终获得一般方法和经验．
4、作业布置
1.课本P19，习题T1
所以“降次”就成为解一元二次方程的“一条主线”，怎样“降次”也成为学习解一元二次方程的重点内容。
学生回顾解二元一次方程组的解题思路，明确把二元一次方程组转化为一元一次方程的关键是消元。类比已有学习经验，合理猜想解一元二次方程的基本思路为转化为一元一次方程来解。通过对比一元二次方程与一元一次方程的主要区别，合情猜想一元二次方程转化为一元一次方程的关键是“降次”，明确怎样“降次”也成为学习解一元二次方程的重点内容。
数学教学设计
教材：苏科版·数学（九年级上册）
作者：
一元二次方程的解法
教学目标
1．学会利用直接开平方法解一元二次方程；
2．理解“降次”将一元二次方程转化为一元一次方程的过程，体会化归的数学思想方法．
3．类比一元一次方程、分式方程、二元一次方程组的解法，运用从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法探索一元二次方程的解法，积累解方程的基本活动经验．

九年级数学上册第1章一元二次方程1-2一元二次方程的解法(3)教案苏科版【2019-2020学年度】

九年级数学上册第1章一元二次方程1-2一元二次方程的解法（3）教案苏科版【2019-2020学年度】
编辑：__________________
时间：__________________
课题：1.2 一元二次方程的解法（3）
教学目标: 教学时间：
1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；
2.在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想．
问题4：你能用配方法求代数式的最小值吗？
问题5：把关于的方程化为的形式，当、、满足什么关系时，方程有实数根？你能解出这个方程吗？
四.【总结提升】
通过这节课的学习，你有什么收获呢？
（1）__________（2）_______ ___（3）___________ _____
（4）__________________ （5）________________ ___ _
问题2：用配方法解方程：
（1）（2）
练一练：用配方法解方程：：
（1）（2）
（3）（4）
三.【变式拓展】
问题3：解方程。
教学重点：会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；
教学难点：在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想．
教学方法：பைடு நூலகம்
教学过程：
一.【情景创设】
用配方法解下列方程：
(1)x2－6x－16＝0； (2)x2＋3x－2＝0．
二.【问题探究】
问题1：如何解方程2x2－5x＋2＝0？
归纳：二次项系数不为1的一元二次方程的解法步骤为：

九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法第1课时用直接开平方法解一元二次

C. X 1= 3, X 2 = — 2D. X 1= 3, X 2= 81.2 第1课时用直接开平方法解一元二次方程当堂检测1 .解方程：X = 5. 解：Tx 2= ________--X 1 = _________ , X 2= ________ .22. 解方程：（x + 2） =3.解：直接开平方，得 x + 2 = _________ , x + 2 = ________ 或 x + 2= __________ , 解得 X 1 = ________ , X 2 = _________ .23. 解方程：2（x — 1） — 8= 0.解：移项，得 ________ , 两边同时除以2,得___________ ,两边直接开平方，得 ________ 或 _________ , 解得 X 1 = _________ , X 2 = _________ .4 .若方程（x — 4） 2= a 有实数根，则a 的取值范围是（）A. a < 0B. a > 0C. a > 0 D 无法确定 5.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（）A. x 2— 5 = 5B.— 3X 2= 0r・2 2C. x + 4 = 0D. （x + 1） = 0 0课后训练一、选择题#1 . 一元二次方程 X 2— 4 = 0的根为（）A. x = 2 B . x = — 2 \.C . X 1= 2, X 2=— 2D. x = 42.如果x =— 3是一元二次方程 ax 2= c 的一个根，那么该方程的另一个根是（）A. 3B. — 3C. 0D. 1 3.若2x 2+ 3与2x 2— 4互为相反数，则 x 为（）11 Ac B.2 C. ± 2 D. ± 门 224.关于x 的一元二次方程（x — 5）2= m-7,若能用直接开平方法解，则 m 的取值范围是（）A. m > 0B. m> 7C. m>75 .关于x 的一元二次方程(x — a) 2= b , A.有两个解为x =±J bC.当b >0时，有两个解为x =±诽6. 关于 x 的方程 a(x + m) + n = 0(a , iD.任意实数 F 列说法中正确的是A . X1 =—2, X2= 3 B. X1 =—7, X2=—2 C. X1= 3, X2 = —2 D. X1= 3, X2= 8二、填空题7 .方程4X 2= 9的解是 ___________________ .8 .方程(X + 3)2— 2 = 0的解为 __________________ .9. ______________________________________________________________________ 若关于X 的一元二次方程(a + 1)X 2+ 4X + a 2— 1 = 0的一根是0,贝U a= _____________________ . 10. ____________________________________________________________ 若关于X 的方程X 2— m = 0的一个根为Q 2,则另一个根为 ______________________________________ .11.[2014 •济宁]若关于X 的一元二次方程 ax 2= b(ab>0)的两个根分别是 1与2m r rb—4，贝y a= _______ .三、解答题 12. 解方程： (1)4 = X 2 — 1;(2)16X 2— 49= 0;21 2 2(3)2(X — 2) = 2； (4)(2X— 1) = (X + 1).13 .若2y = (X — 2)2+ 1，且y 的算术平方根是.5，求X + 2y 的值.14.已知等腰直角三角形的两直角边长都增加角边的长.拓展题阅读理解：我们把 a bc d称作二阶行列式,规定它的运算法则为a bc d=ad — bc ，如2 3X + 1 X — 1=2 X 5 — 3 X 4 =- -2.如果=6，求X 的值.4 51 — X X + 11 cm 则斜边长变为5 cm 求原三角形直当堂检测 1. 5 ± 55 - 5 2. ± 3 3 - 3 — 2+ 3 — 2- 32 23.2(x - 1) = 8 (X — 1) = 4 X — 1 = 2 X — 1 = - 2 3 - 14. B ［解析］利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负性列出关于a 的不等式a > 0.故选B.5. C ［解析］A .由原方程得到x 2= 10>0，所以该方程有解.2所以该方程有解.C.由原方程得到 X =— 4V 0,所以该方程无解. 程有解.故选C.课后训练1. ［解析］C 移项，得x 2 = 4, 直接开平方，得 X 1 = 2, X 2=—2. 2.［解析］A •/x =— 3是一元二次方程 ax 2= c 的一个根， a( — 3) = c ，即卩 c = 9a ,•••把c = 9a 代入原方程可得 ax 2= 9a ,即x 2= 9,解得X 1= 3, X 2=— 3, •••该方程的另一个根是 x = 3. 故选A 3.［解析］D •/2x 2+ 3 与 2x 2 — 4 互为相反数，• 2x 2+ 3+ 2x 2 — 4= 0,化简，得 4x 2= 1,2 1 1x = 4, • x =± 2 故选 D4.［解析］B 方程(x — 5)2= m- 7能用直接开平方法求解，只要满足 m-7>0即可，即 m>7.5.［解析］B •••方程中的b 不确定，•当b v 0时，方程无实数根；当 b >0时，X — a =±.b ,即方程有两个解为x =±b + a.故选B6. ［解析］D T 关于x 的方程a(x + m)2 + n = 0的解是X 1= — 2, X 2= 3(a , m n 均为常数，m^ 0)，•方程 a(x + m — 5) + n = 0 可变形为 a ［(x — 5) + m ］ + n = 0,即此方程中 x — 5 = —2或x — 5 = 3,解得x = 3或x = 8.故选D7.［答案］x 1= 3, X 2 = — 32293 ［解析］由4x = 9，得x = 4,两边直接开平方，得 x =± ,3 3•原方程的解是 X 1=^, X 2= — 22［点评］先把方程化为X = a(a > 0)的形式，然后运用直接开平方法求解. & ［答案］x 1= 2 — 3, X 2=— . 2— 3［解析］将x + 3看作一个整体，则原方程可变形为 (x + 3)2= 2,从而可以运用直接开平方法求解.移项，得(x + 3) 2= 2.两边直接开平方，得 x + 3 =±冷2, • x + 3 = , 2或x + 3=— ：：：一：2 •原方程的解是 X 1="Q 2 — 3, X 2=—2 — 3.9.［答案］1答案及解析B.由原方程得到x 2= 0,2D.(x + 1) = 0,所以该方［解析］•••一元二次方程的一根是0,2 2•- (a +1) X0 + 4x 0+ a —1 = 0,a 2— 1 = 0,即卩 a =± 1. •/ a + 1工 0,• • a 工一1,・・ a = 1. 10. ［答案］—2［解析］方法一：由方程的一个根为〔2可求出m = 2，然后直接开平方求出另一根. 方法二：由方程 x 2 — m= 0的根的特点：两根互为相反数，从而得出另一个根. 11. ［答案］42b /b［解析］Vx = a (ab >0) ,• x =±、/a ，•方程的两个根互为相反数，即m+ 1 + 2m-4b 2=0，解得 m = 1, • m + 1 = 2,. = 2 = 4.a12•解：(1)x 2 = 5, x =± 护, 即 X 1 =亠」5, X 2=— J 5.2 49(2) x =话(3)2(x — 2)2= 2 (x — 2)2= ：, x — 2=± 2,5 3即 X 1 =公 X 2= 22 2凶(2x — 1) = (x + 1),即 2x — 1 = x + 1 或 2x — 1 = — (x + 1), 即 X 1 = 2, X 2= 0.13. ［解析］先求得y 的值，再求得x 的值，代入即可得出 x + 2y 的值. 解：Vy 的算术平方根是 5,•• y = 5.2V 2y = (x — 2) + 1,2• 10 = (x — 2) + 1, 移项，得(x — 2) = 9, 开方，得x — 2 =± 3, 解得 X 1 = — 1, X 2 = 5, • x + 2y = 15 或 9. 14.［解析］设原三角形直角边的长为 X cm ,则增加后两直角边的长为(X +1) cm ,可根据勾股定理求解，注意结果要符合题意.解：设原三角形直角边的长为x cm ,则增加后两直角边的长为(x +1) cm2 2 2依题意可列方程为(x + 1) + (x + 1) = 5 , 2(x + 1)2 = 25 , (x + 1)2 = 25 , 5 厂即 x + 1 = ± 2 2,即x1=4,75 i~ 即x i = —1 + 2,2, X2= —因为边长不能为负数，故x=- 1 — 2 2应舍去，即原三角形直角边的长为一1 + 5 ,2 cm 【拓展题】解：根据题意，得x + 1 X—11 —X x+ 12=(x + 1) —(1 —x)(x —1) = 6,整理，得X2= 2,两边直接开平方，得X =±卩2.。

九年级数学上第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法1用直接开平方法解一元二次方程授课课苏科

感悟新知
4 解下列方程：（1）(x ＋ 6)²－9=0 （2） 3(x－1)²－6=0 （3） x²－4x ＋ 4=5
知2－练
感悟新知
解：(1)(x＋6)2－9＝0，整理，得(x＋6)2＝9，x＋6＝3 知2－练或x＋6 ＝－3，所以方程的两个根为x1＝－3，x2＝－9. (2)3(x－1)2－6＝0，整理，得(x－1)2＝2，即x－1＝ 2 或x－1＝－ 2 ，所以方程的两个根为x1＝ 2 ＋1，x2＝－ 2 ＋1. (3)x2－4x＋4＝5，整理，得(x－2)2＝5，即x－2＝ 5 或x －2＝－ 5 ，所以方程的两个根为x1＝ 5 ＋2， x2＝－ 5 ＋2.
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表
面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出
方程 10×6x2=1500.
①
整理，得 x2=25 .
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即
x1=5， x2=－5.
可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱
长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm.
感悟新知
课堂小结
一元二次方程
直接开平方法解一元二次方程的“三步法”
变形
将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式；
开方
利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；
求解
解一元一次方程，得出方程的根．
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了．

九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法4教案新版苏科版

九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法4教案新版苏科版一元二次方程的解法（4）教学目标【知识与能力】理解一元二次方程求根公式的推导过程.会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.【过程与方法】经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac ≥0.【情感态度价值观】感受数学的严谨性和数学结论的确定性.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.教学重难点【教学重点】掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程.【教学难点】求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误. 教学过程活动一、知识回顾1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？2、用配方法解下例方程（1）02722=--x x （2）05422=+-x x活动二、自学自悟请尝试用配方法解一元二次方程：ax2＋bx ＋c = 0（a ≠0）示范： ax2＋bx ＋c ＝ 0x2＋a b x ＋a c＝ 0x2＋a b x ＝－a cx2＋a bx ＋（a b 2 ）2 ＝－a c ＋（a b 2 ）2（ x ＋a b2 ）2 ＝ a ac b 442-x ＋a b2 ＝ ±a ac b 242-∴ x ＝a acb b 24 2-±-小结：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx ＋c = 0（a ≠0），当________时，它的根是________。

这个公式叫做一元二次方程的_______，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做_________。

活动三、例题学习例、请你利用求根公式解下列方程：⑴ x2＋3x ＋2 = 0 ⑵ 2 x2－7x = 4解：（2）移项，得2 x2－7x － 4 ＝ 0∵ a ＝ 2，b ＝ -7 ，c ＝ -4ac b 42-＝（－7）2－4×2×（-4）＝81∴ x ＝2281 )7(⨯±--＝497±∴x 1＝4 x 2＝21活动四、知识梳理与小结1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。

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