第五章 目标规划
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法
1.基本概念
线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式
约束条件为等式（=）
约束条件的常数项非负（b j≥0）
决策变量非负（x j≥0）
3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对
最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析
目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析
对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
运筹学
5.4 目标规划模型的程序求解
☆ 使用LINDO程序求解，比照求解线性 规划模型方法，目标函数特殊处理。
※ ※
赋予权系数法 按优先级次序分次输入（层次算法）
☆ 使用EXCEL求解时，与LINDO的处理
方法相同。
2010/03 --15--
--第5章 目标规划--
5.4 目标规划模型的实际应用
例1： 某计算机公司欲制定购买年度所需的计算机芯片（chip集
p2 d3 0 0 1
0 d3+ 0 0 -1
cj - zj
0 0 p2 x1 d2 d3
p1 p2
10 20 70
-3
1 0 0 0
–2
0 1 2 –2 1 -2 -3 1 3 0 1 0 0 0 1
1
0 0 -1 1
cj - zj
p1 p2
2010/03
--13--
--第5章 目标规划--
目标规划模型如下： Min z=P1d4-+P2(d1-+ d1+ )+3P3(d3-+ d3+)+P3d2+ x1-x2 +d1-- d1+ =0 St. x1+2x2 +d2-- d2+ =8 2x1+2x2 +d3-- d3+=12 4x1 16 4x2 12 2x1+3x2 +d4-- d4+ =12 x1,x2 0, di-, di+ 0, (i=1,2,3,4) Pi——优先级系数，i越小，则级别越高。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
第5章 目标规划
Leabharlann Baidu
目标规划正是为了解决这类多目标规划问题而 产生的，它能把决策者的意愿反映到数学模型 中去。
运筹学第五章 — 目标规划
例：在下表资源限制下，给出利润最大、使用添 加剂尽可能少的生产计划。 max(650x 900y ) min(3x 8 y ) A B 资源限制 3 8 420 3x 8 y 420 添加剂 4 3 500 熟料 4 x 3 y 500 7 4 300 工时 7 x 4 y 300 650 900 利润 x, y 0 目标和约束可以互相转化：在给定资源条件下， 使产量尽可能多，资源是约束，产量是目标；但 如果只需要完成规定的产量，使资源的耗费最小， 则产量是约束，资源耗费是目标。
Harbin Institute of Technology PAGE - 11 -
当实际值超出目标值时，有 d－ = 0，d+ > 0 当实际值未达到目标值时，有d+ = 0，d－ > 0 当实际值同目标值恰好一致时，d+ = d－ = 0 恒有 d+× d－ = 0
©
运筹学第五章 — 目标规划
1.2 数学模型的建立(1)
©
Harbin Institute of Technology PAGE - 7 -
运筹学(第5章 目标规划)
图解法
明确问题，列出
目标的优先级和 权系数
构造目标规 划模型
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
求出满意解
分析各项目标 完成情况
例6．一位投资商有一笔资金准备购买股票。资金总额为 90000元，目前可选的股票有A和B两种（可以同时投资 于两种股票）。其价格以及年收益率和风险系数如表1：
股票 A B
价格（元） 20 50
例； (3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求
充分利用，又尽可能不加班。
要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
线性规划模型存在的局限性：
1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际问 题中并非所有约束都需要严格满足。
2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中，目 标和约束可以相互转化。
∵正负偏差不可能同时出现，故总有： x1－x2+d--d+ =0
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束
运筹学第五章_目标规划
第一节目标规划实例与模型
如 8x1+10x2≥56 8x1+10x2+d-－d+=56 d-表示：当决策变量x1,x2取定一组值后，由原始目标式左端 计算出来的值与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ想值之偏差—不足理想值的偏差 d+表示超过理想值之偏差 计算值与理想值关系： 不足：d+=0 超过：d-=0 等于：d-=d+=0 因此将总有：d+*d-=0必成立
第一优先级 决策目标 正偏差：决策 值超过目标值的 偏差部分 负偏差：决策 值小于目标值的 偏差部分
指标偏离函数
min( x1 , x2 ) {P1 (d1 d 2 ), P2 (d 3 ), P3 (d 4 ), P4 (d1 1.5d 2 )} s.t. 8 x1 12x2 d 3 d 3 1000 x1 2 x2 d 4 d 4 40 决 策 x d d 变 1 1 1 30 量 x2 d 2 d 2 15 x1 , x2 , d , d 0
第一节目标规划实例与模型
(5)目标函数—准则函数 目标函数是由各目标约束的正负偏差变量及其相应 的优先级、权因子构成的函数，且对这个函数求极小值， 其中不包含决策变量xi.因为决策者的愿望总是希望尽可能 缩小偏差，使目标尽可能达到理想值，因此目标函数总是 极小化。有三种基本形式：
第五章目标规划
一、目标规划概述
LP与 GP比较： 与 比较： 比较
一个目标 （1）线性规划只能处理一个目标，而目标规划能统 ）线性规划只能处理一个目标， 多种目标的关系 顾处理多种目标的关系，求得更切实际要求的解。 筹兼 顾处理多种目标的关系，求得更切实际要求的解。 所有约束条件的可行解， （2）线性规划立足于满足所有约束条件的可行解， ）线性规划立足于满足所有约束条件的可行解 而在实际问题中可能存在相互矛盾的约束条件； 而在实际问题中可能存在相互矛盾的约束条件；目标 规划可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解 满意解， 规划可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解，即满 意方案。 意方案。 不分主次地同等对待的 （3）线性规划的约束条件是不分主次地同等对待的， ）线性规划的约束条件是不分主次地同等对待的， 而目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑。 轻重缓急的考虑 而目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑。
甲 原 材 料/kg 设备台时/h 利润（ 利润（元/ 件） 乙 拥有量
2 1 8
1 2 10
11 10
数学模型
为产品甲 设x1 ，x2为产品甲，产品乙的产量。
minz=P1d1++P2(d2-+d2+)+P3(d3-) 2x1+x2 ≤ 11 x1 -x2 +d1- -d1+=0 x1 +2x2 +d2- -d2+=10
运筹学课件 第五章-目标规划
(d11
),
P3
(5d
2
3d
3
),
P4 (d1 )
80
0 5*70+3*45=485 0
ci
0
zi
V
B
x1
P1
d1 -
80
1
5P3
d2-
70
1
3P3
d3 -
45
d11 -
10
P4
0
zi ci
P3 P2
485 0
5
P1
80
1
0
P1
5P3 3P3
0
P4
P2
x2
d1 -
d2-
d3-
d11-
,
d1
,
d
i
0,i
1,2,3
P1：第一目标是避免开工不足（≥80小时）； P2：第二目标是加工时间不超过10小时； P3：第三目标是努力达到最大销售量，即窗帘布70000尺，衣料45000尺。 P4：第四目标是尽可能减少加班时间。
单纯形方法——解决
P1
(d1
),
P2
称为目标规划的目标函数。
目
录
目标规划实例与模型
目标规划求解方法
用Excel求解目标规划的解 目标规划的灵敏度分析
运筹学第五章 目标规划
第五章 目标规划
§5.1重点、难点提要
一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。
当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。 （2）模型特征。
目标规划的一般模型：
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎨⎧
=≥=≥==-+=≤⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++
--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1
1
11K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i n
j j ij L
r K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+
-
rk rk ωω,为目标权系数，+
-
k k d d ,为偏差变量。 1）正、负偏差变量,i i d d +-。正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。
2）硬约束和软约束。硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。
运筹学基础-目标规划(1)
目标规划与线性规划相比，有以下优点：
1.线性规则只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题 1.线性规则只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题 实际问题中，往往要考虑多个目标的决策问题，这些目标可能 互相矛盾，也可能没有统一的度量单位，很难比较。目标规划就能 够兼顾地处理多种目标的关系，求得更切合实际的解。 2.线性规划是在满足所有约束条件的可行解中求得最优解。 2.线性规划是在满足所有约束条件的可行解中求得最优解。 线性规划是在满足所有约束条件的可行解中求得最优解 而在实际问题中往往存在一些相互矛盾的约束条件，如何在这 些相互矛盾的约束条件下，找到一个满意解就是目标规划所要讨论 的问题。 3.线性规划问题中的约束条件是不分主次 线性规划问题中的约束条件是不分主次、 3.线性规划问题中的约束条件是不分主次、同等对待的 线性规划问题是一律要满足的“硬约束”。而在实际问题中， 多个目标和多个约束条件不一定是同等重要的，而是有轻重缓急和 主次之分的，如何根据实际情况确定模型和求解，使其更合实际是 目标规划的任务。
2 x1 + 3 x 2 + d − − d + = 12
这样就将目标函数 目标函数则转化为目标约束 目标函数 目标约束
(2) 将系统约束转化为目标约束 系统约束转化为目标约束 有时也可以根据需要将绝对约束转化为目标约束，这时只 须将该约束的右端项看作目标值，再引入正、负偏差变量即可。 如在例2中，考虑到市场需求，Ⅰ,Ⅱ 两种产品的生产量需 保持1:1的比例；
运筹学第五章
21
5.5 目标规划的灵敏度分析
例5：已知目标规划问题： min Z p ( 2 d 3 d ) p d p d
2 3 1 1 2 3 4 10 x x d d 1 2 1 1 4 x1 d 2 d 2 s .t . 5 x 1 3 x 2 d 3 d 3 56 x 1 x 2 d 4 d 4 12 , , , 0 ( i 1, 2 , 3 ,4 ) x1 x 2 d i d i ( 1 ) min z ( 2 3 ) d p p d d d 1 2 4 p 3 目标函数的等级变化为：
OR2 8
7）目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是按各约束的正、负偏 差变量和赋予相应的优先因子而构造的。 目标函数的基本形式有三种： 1、要求恰好达到目标值，即正负偏差变量都要尽 可能地小，这时， minZ＝f(d+＋d-). 2、要求不超过目标值，即允许达不到目标值但正 偏差变量要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+). 3、要求超过目标值，即超过量不限但负偏差变量 要尽可能的小，这时， minZ＝f(d-) 显然，本题目标函数表示为：
OR2
14
5.2目标规划的图解法
图解法的基本步骤： （1）先作硬约束与决策变量的非负约束， 同一般线性规划作图法。 （2）作目标约束，此时，先让di -di+＝ 0，然后标出di- 及di+的增加方向（实际上 是目标值减少与增加的方向）。 （3）按优先级的次序，逐级让目标规划 的目标函数中极小化偏差变量取0，从而 逐步缩小可行域，最后找出问题的解。
系统工程---第五章目标规划
n
max f 2 i a i x i
i1
max f 3 a 1 x 1
n
maxf1'( xi T) i1
bi ai xi 0, i 2,3,, n
n
xi T 0
i1
xi 0, i 1, 2,, n
山东理工大学管h理学院
8
5.1 目标规划数学模型的建立
n
min f 1 x i T
xi 0,决定不投资第i个项目， （i1,2,3,,n） ，并称它们为投
资决策变量。按问题所给的条件，投资第i个项目的金额应为aixi 万
n
元（i1,2,3,,n） ，因而总投资金额为aixi 万元。
i1
为使投资所用的资金尽可能地少，应使
n
ai xi min
例 5-2 投资决策问题。某投资开发公司拥有总资金 A 万元，
今有 n( 2) 个项目可供选择投资。设投资第 i （ i 1, 2 , 3,, n ）个项 目要用资金 ai 万元，预计可获得收益 bi 万元，问应如何决策投资方案。
分析：一个好的投资方案应该是投资少、收益大的方案。设
1,决定投资第i个项目
1）工人加班时间尽量地少； 2）工厂获得最大利润； 3）满足市场对 1 号品的尽可能多的需求。
山东理工大学管h理学院
5
5.1 目标规划数学模型的建立
运筹学课件 第五章多目标规划
d
2
d
2
10，
8x1
10x2
d
3
d
3
56，
x1
, x2
,
d
i
,
d
i
0,i
1, 2,3。
目标规划的一般数学模型，见教材 135~136页。
§2．目标规划的图解分析法
对于只有两个决策变量的线性目标规划的数学模型， 可以用图解法来分析求解。传统的线性规划一般只是寻求 一个点，在这个点上得到单目标的最优值，目标规划一般 是寻求一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折 衷方案。
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
目标规划的目标函数是由各目标约束的正、负偏差变 量及相应的优先因子、权系数构成的，其中不含决策变量。 因为决策者的愿望总是尽可能缩小偏差，实现目标。故总 是将目标函数极小化，其基本形式有三种。
步骤1 建立直角坐标 系，令各偏差变量为0，作 出所有的约束直线 。满足 所有绝对约束条件的区域， 用阴影标出。
步骤2 作图表示差变量增减对约束直线的影响 在所有目标约束直线旁标上 d +， d - ，如图所示。这 表明目标约束直线可以沿d +， d - ，所示的方向平移。
5.目标规划
0
0 1
0
0 -1
0
0 0
0
0 0
P1 d1-
P3 d3j
48
P1 P2 P3
6
-1 -6
8
2 -8
0
0
1
0
1
0
0
1
1
-1
1
1
20
目标规划 Goal Programming（GP）
目标规划的单纯形解法
例
cj CB 基 解
60
0 x1
0 5
0 x2
20 10
0 x3
1
P1 d1-5 0
0 d1+
d4
-
d2- 、d3+、d3- 、d4+、d4- ≥ 0
满意解 （24，26）
d1
-
x1 + x2 = 50
d1+ d2d2
+
x1
16
x1 + x2 = 40
目标规划 Goal Programming（GP）
目标规划模型的一般形式：
Min Z =∑ Pl（∑（ w lk-dk- + wlk+dk+ ））
7
目标规划 Goal Programming（GP）
家具制造问题——王老板遇到的新问题
运筹学习题解答(chap5 目标规划)
第五章 目标规划
一、建立下列问题的数学模型
1、P164, 5.8 某种牌号的酒由三种等级的酒兑制而成。已知各种等级的酒每天供应量和单位成本如下：等级I ：供应量1500单位/天，成本6元/单位；
等级Ⅱ：供应量2000单位/天，成本4.5元/单位； 等级Ⅲ：供应量1000单位/天，成本3元/单位。
该种牌号的酒有三种商标（红、黄、蓝）各种商标酒的混合比及售价如表所示。
确定经营目标：P1：兑制要求配比必须严格满足；P2：企业获取尽可能多的利润； P3：红色商标酒产量每天不低于2000单位。试对此问题建立相应的目标规划模型。
解：设红黄蓝分别为1、2、3号酒，ij x 表示i 号酒中j 原料的用量。则依题意建立如下模型：
-+-+-=33222)(min d P d d P Z
.
3,2,3,2,1,,0,,020000
)(3)(5.4)(6)
(8.4)(0.5)(5.51000
20001500)%(10)%(50)%(20)%(70)%(50)%(103313121122332313322212312111333231232221131211332313322212312111333231313332313323222121232221231312111113121113==≥≥=+-++=+-++-++-++-++++++++≤++≤++≤++++≥++≤++≥++≤++≥++≤-+-+-
+k j i d d x d d x x x d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k ij
Chap5多目标规划
当无绝对最优解时，希望得到有效解或弱有效解.
例5.3 用图解法考察多目标规划问题
min xD
(x1, x2 )T
D
(x1 ,
x2 )
3 0
x1 x2
x2 2
5,
x2
2d
c
有效解 D
O
弱有a效3 解
5 b x1
解：有效解：线段 [a, d] 上的每一点。
弱有效解：线段 [a, d] 及 (a, b] 内的每一点。
第五章 多目标规划
• 多目标规划：含有多个目标的数学规划问题。 • 应用广泛：比单目标规划更适应实际问题。 • 方法特点：对各个目标分级加权与逐级优化。 • 本章内容：多目标规划概述 、偏差概念的应用、
多目标规划解的概念、多目标线性规划的解法。
§5.1 概 述
1、模型举例
例5.1 某厂生产A与B两种产品。 A、B的单位利润分 别为100、80元。装配一单位的A、B各需要3、2小时， 每周正常装配时间共120小时。工厂允许加班，但加 班生产的产品利润各减少10元。根据合同，每周两种 产品至少各提供30单位。
0 4c2 0 0 0 c2 c1 c1 c2 c3 c2 3c2
在第十列中选主元素，进行旋转运算，得
c1 >> c2 >> c3 > 0
第五章多目标规划习题
习题四 多目标规划习题及参考答案
4.1 分别用图解法和单纯形法求解下述目标规划问题
（1） min z ＝p 1（＋）＋p +1d +2d 2−3d
st. －x 1＋ x 2＋ d －1－ d ＋
1＝1
－0.5x 1＋ x 2＋ d －
2－d ＋
2＝2
3x 1＋3x 2＋ d －3－ d ＋3＝50
x 1，x 2≥0；d －i ，d ＋i ≥0（i =1，2，3）
（2） min z ＝p 1（2＋3）＋p +1d +2d 2−3d ＋p 3+4d st. x 1＋ x 2＋d －1－d ＋
1 ＝10
x 1 ＋d －2－d ＋2 ＝4
5x 1＋3x 2＋d －3－d ＋3 ＝56
x 1＋ x 2＋d －4－d ＋4 ＝12
x 1，x 2≥0；d －i ，d ＋i ≥0（i =1， (4)
参考答案
（1）满意解为X1＝（50/3，0）’，X2＝（88/9，62/9）’间线段
（2）满意解为X ＝（4，6）’
4.2 考虑下述目标规划问题
min z ＝p 1（d ＋1＋d ＋2）＋2p 2d －4＋p 2d －3＋p 3d －1
st. x 1 ＋d －1－d ＋1＝20
x 2＋d －2－d ＋2＝35
－5x 1＋3x 2＋d －
3－d ＋
3＝220
x 1－x 2＋d －4－d ＋4＝60
x 1，x 2≥0；d －i ，d ＋i ≥0（i =1， (4)
（1）求满意解；
（2）当第二个约束右端项由35改为75时，求解的变化；
（3）若增加一个新的目标约束：－4x 1＋x 2＋d －5－d ＋5＝8，该目标要求尽量达
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300 x1 280 x2 450 x3 425 x4 d1 d1 10000 x2 d2 d2 10 x1 x d d x 4 3 3 15 3 6 x3 6 x4 d4 d4 150 s.t. 4 x1 4 x2 3 x 3 x 2 x 2 x d d 2 3 4 5 5 70 1 d5 d6 d6 30 x , x , x , x , d , d 1 2 3 4 i i 0 i 1, 2,3, 4,5,6
3x1 5 x2 d1 d1 30 x2 d 2 d 2 4 x d d 6 3 1 3 2 x 16 s.t. 1 2 x2 10 3x 4 x 32 2 1 x1 , x2 0 dl , dl 0(l 1, 2,3)
8
OR:SM OR:SM
第二节 目标规划的数学模型
三、目标达成函数
目标达成函数：偏差变量之和为最小值。 若要求尽可能达到规定的目标值 正负偏差变量dk+ , dk- 都尽可能小，即minSk=dk++dk 若希望尽可能不低于期望值(允许超过) 负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+ ：minSk= dk 若允许某个目标低于期望值，但希望不超过 正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk- ：minSk= dk+
OR:SM OR:SM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为 200 小时；三种产品销售后，每台可获 利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。 该厂经营目标如下： 1、利润指标为每月16000元，争取超额完成； 2、充分利用现有生产能力； 3、可以适当加班，但加班时间不得超过24小时； 4、产量以预计销售量为准。 试建立目标规划模型。
四、优先等级权数
目标重要度不同，用优先等级因子Pk 表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数， Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。
OR:SM OR:SM
9
第二节 目标规划的数学模型
例如 P1 级目标实现利润至少30元； P2级目标是甲乙产品的产量 假设：乙产品产量不少于4件比甲产品产量不少于6 件更重要，取其权重为2
k k k k
目标约束 引入正负偏差变量，对各个目标建立目标约束(软约束)
7
n
j 1
c kj x
j
d k d k E
*
OR:SM OR:SM
第二节 目标规划的数学模型
上例中要求：
目标一是利润最大，拟定利润目标是30； 目标二是减少乙产品产量但希望不低于4件； 目标三是甲产品产量希望不少于6件 ； 对各目标引入正、负偏差变量： 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 +d2- - d2+ =4 x2 x1 +d3– -d3+ = 6
15 OR:SM OR:SM
设x1,x2为分别为两种型号产品的产量，则该问题 的目标规划模型为：
min f p1d1 p2 (300d2 450d3 ) p3 (d4 d4 d5 )
300x1 450x2 d1 d1 10000 x d d 1 2 2 10 x d d 2 3 3 15 s.t. x x d d 4 6 1 2 4 4 150 3x 2 x d d 70 5 5 1 2 x , x , d , d 1 2 i i 0 i 1, 2,3, 4,5
•
实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标
生产计划决策，通常考虑产值、利润、满足市场需求等 生产布局决策，考虑运费、投资、供应、市场、污染等
•
•
这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小 的；有定量的，有定性的；有互相补充的，有互相对立的， LP则无能为力 目标规划（Goal Programming）
16
OR:SM OR:SM
例3 在上题中（例2），如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的产品，每台A 型机减少利润20元，每台B型机减少利润25元，并且工序Ⅱ的加班时间每 周最多不超过30小时，这是p4级目标，试建立这个问题的目标规划模型。 解：设x1,x2分别为在正常时间和加班时间生产A型机台数，x3,x4 分别为在正 常时间和加班时间生产B型机台数，目标规划数学模型为：
x2
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
6 D 4 E
x1=5, x2=4
d
3
d
3
2x1 =16 2x2 =10
C H G
d2
d2
d1
2
d1
B F A 3x1 +4 x2 =32 10
0
18
2
4
6
x1
OR:SM OR:SM
目标规划的图解分析法
• 例5.2 用图解法求解下列目标规划问题
这些目标之间 相互矛盾，一 般的线性规划 方法不能求解
• 根据市场需求/合同规定：
希望尽量扩大甲产品 减少乙产品产量。
maxZ1=3x1+5x2
maxZ2=x1 minZ3=x2
2 x1
• 又增加二个目标：
5
≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
OR:SM OR:SM
OR:SM OR:SM
设 x1 , x2 , x3分 别 表示三种 产 品的 产 量， 则该问题 的目 标规 划模型 为 min Z p1d1 p2 d 2 p3 d 3 p4 ( d 4 d 4 d 5 d 5 d 6 d 6 ) 500 x1 650 x2 800 x3 d1 d1 16000 6 8 10 x x x d d 1 2 3 2 2 200 d d d 24 3 3 2 s.t. x1 d 4 d 4 12 x d d 5 5 10 2 x d d 6 6 6 3 x , x , x 0, d , d i i 0(i 1, 2, , 6) 1 2 3
17 OR:SM OR:SM
第三节 目标规划的图解法
目标规划的图解法 首先，按照绝对约束画出可行域， 其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线， 最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。当目标函数检 查完或可行域缩为一点时算法停。
min G Pd 1 1 P 2 (2d 2 d 3 )
对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量； 引入目标的优先等级和加权系数。
6
OR:SM OR:SM
第二节 目标规划的数学模型
一、目标期望值
每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。
二、偏差变量
目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。 正偏差变量 d 表示第k个目标超过期望值的数值； 负偏差变量 d 表示第k个目标未达到期望值的数值。 同一目标的 d 和 d 中至少有一个必须为零。
目标规划问题及其数学模型
• 用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列 出目标的优先 级和权系数 构造目标 规划模型 求出满意解
N
满意否？
分析各项目标 完成情况
Y
据此制定出决策方案
3
OR:SM OR:SM
第一节 多目标规划问题
一、线性规划的局限性
•
线性规划的局限性
只能解决一组线性约束条件下；某一目标而且只能是一个目标 的最大或最小值的问题；解要求最优等
第一节 多目标规划问题
三、多目标规划的解法
• 加权系数法：
为每一目标赋一权数，把多目标转化成单目标。 但权系数难以科学确定。
• •
优先等级法：
各目标按重要性归不同优先级而化为单目标。
有效解法：
寻求能照顾到各目标而使决策者感到满意的解。 但可行域大时难以列出所有有效解的组合。
•
目标规划法：
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第5 章 目标规划
内容提要 Sub title
第一节 多目标规划问题 第二节 目标规划数学模型
目标的期望值 正负偏差变量 目标达成函数 目标优先级别
第三节 目标规划的图解法 第四节 目标规划单纯形法 第五节 目标规划应用案例
2 OR:SM OR:SM
minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3- ) 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 +d2- - d2+ = 4 x2 x1 + d3- - d3+ = 6 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)
10
OR:SM OR:SM
建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列 出目标约束与绝对约束； 2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约 束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即 可。 3、给各目标赋予相应的优先因子 Pk（k=1.2…K）。 4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的
min z P （ 1d1 P 2 d2 d2 ) P 3 (d 3 d 3 ) P 4d4 4 x1 16 (a) 4 x2 12 (b) 2 x1 3 x2 d1 d1 12 (c ) (d ) x1 x2 d 2 d 2 0 2 x 2 x d d 12 (e) 1 2 3 3 x 2 x d d (f) 1 2 4 4 8 x , x d , d (i 1, ,4) 1 2 i i 0
多目标线性规划 含有多个优化目标的线性规划
4
OR:SM OR:SM
第一节 多目标规划问题
二、多目标规划的提出
例：甲乙产品的最优生产计划。
资源 产品 甲 乙 现有资源
设备A 设备B 设备C 单位利润
wk.baidu.com
2 0 3 3
0 2 4 5
16 10 32
解：线规划模型： maxZ=3x1+5x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
Pk ( kl d l kl d l ) l 1
L
n c x d d l l q l ( l 1.2 L ) kj j j 1 n ( i 1.2 m ) s .t . a ij x j ( . ) bi j 1 xj 0 (j 1.2 n) d l . d l 0 ( l 1.2 L )
和 不同，赋予相应的权系数 kl kl 。
5、根据决策者的要求，按下列情况之一构造一个由优先因子和权系数 相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数，即达成函数。 （恰好、不超过、不低于）
11 OR:SM OR:SM
目标规划的一般模型
模型的一般形式：
m in Z
K
k 1
14 OR:SM OR:SM
例2 已知条件如表所示
型号 工序 Ⅰ（小时/台） Ⅱ（小时/台） 利润（元/台） A 4 3 300 B 6 2 450 每周最大 加工能力 150 70
如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下： p1: 每周总利润不得低于10000元； p2: 因合同要求，A型机每周至少生产10台，B型机每周至少生产15台； p3: 希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时，工序Ⅱ的生产时间最好用 足，甚至可适当加班。 试建立这个问题的目标规划模型。