2.3因式分解课件
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初中数学人教版九年级上册 21.2.3 因式分解法教学课件(29张PPT)
即
10x－4.9x2＝0.
①
请你试着用配方法或公式法解方程①.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0
解： x2 100 x 0， 49
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
x
50 49
2
50 49
2
，
x 50 50，
49 49
x1
100 ， 49
x2 0.
概 念 将方程左边因式分解，右边= 0.
因
式 分 依据
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0.
解
法
步 骤 1．移项；2．分解；3．转化；4．求解
谢谢各位同学的观看
基本思路
解 直接开平方
一
法
元
二 配方法
次 方 公式法
程
的 方
因式分解法
法
将二次方程化为一次方程，即降次
用平方根的意义直接进行降次
适用于部分一 元二次方程先配方，再用直接开平方法降次适用于全部一
直接利用求根公式
元二次方程
先使方程一边化为两个一次因
式乘积的形式，另一边为0， 适用于部分一
根据“若 ab = 0，
4
x1
4
3 2
2
，
x2
4
3 2
2 .
练习 7 以下是圆圆解方程 (x 3)2 2(x 3) 的具体过程： 方程两边同时除以 (x 3) ，得 x 3 2，移项，得 x 5，问 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解 答过程.
解：圆圆的解答过程有错误. 正确的解答过程：移项，得 (x 3)2 2(x 3) 0 ， (x 3)(x 3 2) 0 ， x3 0或 x5 0， x1 3 ， x2 5 .
人教版九年级数学上册21.2.3 因式分解法(共24张PPT)
10x-4.9x2=0 ① x=0,或10﹣4.9x=0. ②
通过因式分解， 转化为每个一次 因式等于0,得到 两个一次方程。
7
知识点一：因式分解法解一元二次方程
新知探究
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不 是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两 个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分 别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方 法叫做因式分解法.
14
知识点二：用适当方法解一元二次方程
学以致用
1.解方程(x+4)2=3(4+x),最适当的解法是( D )
A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法
2..方程3x(x+1)=3x+3的解为( D )
A.x=1 B.x=- 1 C.x1=0,x2=-1 D.x1=1,x2=- 1 请选择你认为适当的方法解下列方程.
(1) (x-1)2= 3;
(2) 3(2x-5)=2x(2x-5)
15
知识点二：用适当方法解一元二次方程
归纳总结
配方法要先配方，再降次;通过配方法可以推出求根 公式，公式法直接利用求根公式解方程;因式分解法要先 将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别 使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二 次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.
5
知识点一：因式分解法解一元二次方程
新知探究
10x-4.9x2=0 ①
方程①的右边为0,左边可以因式分解,得 如果a•b=0,那
x(10-4.9x)=0
么a= 0 ,或b= 0 .
这个方程的左边是两个一次因式的乘积,右边是0.我们知 道,如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0； 反之,如果两个因式中任何一个为0,那么它们的积也等于0.
人教版九年级数学上21.2.3因式分解法课件
解：设小圆形场地的半径为rm. 根据题意得(r+5)2×π=2r2π. 因式分解，得
于是得
倍
速
课
时
学
练
答：小圆形场地的半径是m.
一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次
因
倍 速
式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式
课 时
分解法适用于某些一元二次方程．总之，解一元二次方程
学
的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
练
练习 1.解下列方程：
（1）x2+x=0
解：因式分解，得
x(x+1)=0.
倍 速
则有x=0或x+1=0，
因式分解，得
(3x－2)(2x+1)=0. 则有3x－2=0或2x+1=0， 倍 速 课 时 学 练
解：变形有 (x－4)2－(5－2x)2=0.
因式分解，得 (x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.
(3x－9)(1－x)=0.
则有3x－9=0或1－x=0， x1=3,x2=1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一 倍，求小圆形场地的半径．
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
21.2解一元二次方程
21.2.3因式分解法
方程①的右边为0，左边可因式分解，得
于是得
如果a·b=0那么 a=0或b=0．
解得
倍
速
课
时
学
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，x1=0表示物体被上
练
抛时离地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m．
以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的呢？
于是得
倍
速
课
时
学
练
答：小圆形场地的半径是m.
一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次
因
倍 速
式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式
课 时
分解法适用于某些一元二次方程．总之，解一元二次方程
学
的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
练
练习 1.解下列方程：
（1）x2+x=0
解：因式分解，得
x(x+1)=0.
倍 速
则有x=0或x+1=0，
因式分解，得
(3x－2)(2x+1)=0. 则有3x－2=0或2x+1=0， 倍 速 课 时 学 练
解：变形有 (x－4)2－(5－2x)2=0.
因式分解，得 (x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.
(3x－9)(1－x)=0.
则有3x－9=0或1－x=0， x1=3,x2=1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一 倍，求小圆形场地的半径．
初中数学课件
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21.2解一元二次方程
21.2.3因式分解法
方程①的右边为0，左边可因式分解，得
于是得
如果a·b=0那么 a=0或b=0．
解得
倍
速
课
时
学
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，x1=0表示物体被上
练
抛时离地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m．
以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的呢？
21.2.3 因式分解法 公开课课件
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
三、巩固练习 教材第14页 练习1，2. 四、课堂小结 本节课要掌握： (1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二 次方程及其应用． (2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0， 再分别使各一次因式等于0. 五、作业布置 教材第17页 习题6，8，10，11.
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？ 解：略 (方程一边为 0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( ) A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7
21.2.3 因式分解法 课件(共21张PPT)
( + )( − )
−
( − )( + )
情境引入
对于方程 − = ，除了可以用配方法或公式法求
解，还可以怎样求解呢？
观察和分析小亮的解法，你认为他的解法有没有道理？
小亮的思考及解法
解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程，因此，
可将方程的左边分解因式.于是，得( − ) = .
那么这两个因式中至少有一个等于0;
（3）用因式分解法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边
化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；
（4）解一元二次方程时，如果能用因式分解法进行解题，那么它是
首选.
知识点2：换元法解一元二次方程（难点）
1. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使
0,解得y₁=2,y₂=-1(不合题意,舍去),∴|x|=2,∴x₁=2,x₂=-2.
变式：已知(x+y-3) (x+y+4)=-10, 求x+y的值.
解：整理，得( − ) = ，
直接开平方，得 − = 或 −
= −，
解得 = ， = −.
（） + − = .
解： = , = , = −,
− = + = > ,
所以 =
−±
= − ± ，
21.2.3 因式分解法
1.通过阅读课本 ， 学生会用因式分解法解某些简单的数字系
数的一元二次方程，提高了学生的运算能力．
2.通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生
分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二
次方程转化为两个一元一次方程的转化思想．
人教版九年级数学上册21.2.3因式分解法教学课件
配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式;因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘,另一
x(104.9x)0 边为0,再分别使各一次因式等于0.
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为
（4）4x2-121=0；
解：4.9x210x0 a = 4.9，b =－10，c = 0
x50 492 Nhomakorabea50
2
49
b2－4ac = (－10)2－4×4.9×0=100
x 50 50 49 49
x 50 50 49 49
x1
100 49
，
x2 0
xb b2 4ac 10 10
2a
2 4.9
x1
100 49
于:x 是 0 或 1得 0 4 .9 x 0 设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0，即
(x+p)(x+q).
②
（3）3x2-6x=-3 ；
这种解法叫做因式分解法.
100 x2 + 10x – 11 = 0
可以 :x得 0,x到 2.04 方法解由问题得出的方程①?
（4）4x2-121=0；
am+bm+cm=m(a+b+c).
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为
2 ） 5(xx)3(xx) 2 2 把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
以上解方程①的方法是如何使二次方程降为一次的? 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
九年级数学上册 21.2.3 因式分解法课件 (新版)新人教
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
例3.解下列方程:
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“A×B=0,则A=0或B=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
1.解下列方程： （1）x2+x=0 ； （2）x2 2 3x 0; （3）3x2-6x=-3 ； （4）4x2-121=0； （5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场 地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为r.
(r 5)2 2r2 r 10 200 .
r2 10r 25 0
2
负值舍去,r 5 5 2.
练习2：解下列方程：
1) x2 = 3x
2）5(x2 x) 3(x2 x)
3) x2 + 10x – 11 = 0 4) t ( t – 12 ) = 28
5)(y-1)2- 4(y-1)+4=0
6) ( y – 2 )2 – 3 = 0
7)x2 ( 3 5)x 15 0
配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出 求根公式,公式法直接利用求根公式;因式分解法要 先使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分 别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有 一元二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程. 总之,解一元二次方程的基本思路是:将二次方程化 为一次方程,即降次.
21.2.3因式分解法课件 人教版 九年级数学 上册
3、3x(2x 1) 4x 2
PART THREE 能 力 提 升 强化训练（二）
多种方法求解
1、x(2x 5) 4x 10
感受中考真题
2、（惠安中考）x2 25 0
课堂小结
OF THIS SCHEME, WE THANK YOU FOR YOUR
同学们先尝试自我总结 READING, THE PROPOSAL IS IN WE UNDERSTAND
3、根据“至少有一 个因式为零”,得到 两个一元一次方程
2、将方程左 边因式分解
4、两个一元一 次方程的根就 是原方程的根
PART FOUR 课 堂 小 结
因式分解的方法,突出 了转化的思想方法—— “降次”， 鲜明地显示了“二次” 转化为“一次”的过程
谢谢观看！
PART ONE 温 故 知 新
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法
x2=a (a≥0)
配方法 公式法
(x+m)2=n (n≥0)
x b b2 4ac (a 0, b2 4ac 0) 2a
2.什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.
有哪些常见形式？
1.用因式分解法解一元二次方程的条件是: 方程左边易于分解,而右边等于零;
2.理论依据是. “如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
3
能力提升
掌握例题，强化巩固
例题欣赏 ☞
（1） x(x 2) x 2 0
因式分解，得
例3 解下列方程:
（2） 5x2 2x 1 x2 2x 3 移项、合并4同类项，得 4
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
九年级数学21.2.3因式分解法课件
〔3〕至少有一个因式为零，得到两 个一元二次方程；
〔4〕两个一元一次方程的解就是原 方程的解．
作业： 1. 用分解因式法解方程
(1)x2-4=0〔2〕 〔x＋1〕 2 -25＝0
2、解以下方程 〔1〕x-4)2=(5-2x)2 〔2〕x2 －6x+9=0
谢谢
〔m-1〕x2 +3mx+(m+4)(m1)=0有一个根为0，求m 的值
1.因式分解法的条件是 方程左边易于分解， 而右边等于零，关键 是熟练掌握因式分解 的知识；
理论依旧是“如果两 个因式的积等于零， 那么至少有一个因式
因式分解法解一元二次方程的 步骤是：
〔1〕化方程为一般形式；
〔2〕将方程左边因式分解；
例题解析：
解以下方程
解〔：1原〕方5程X可2=变4形X 为
5X2-4X=0 ∴ X(5X-4)=0
原来的一元二 次方程转化成 了两个一元一
次方程
∴ X=0或5X-4=0
∴ X1=0,
X2=4/5
(2) X(X-2) = X-2
解：原方程可变形为 X〔X-2〕-(X-2)=0 ∴ (X-2)(X-1)=0 ∴ X-2=0或X-1=0 ∴ X1=2 ， X2=1
1、用因式分解法解以下方程：
解：(1) x+2 =0 或 x- 4 =0 ∴x1＝－2, x2＝4
(2) ( x+2)(x- 2)=0 x+2=0或 x- 2=0 ∴ x1＝－2, x2＝2
(3) 4x(2x＋1) －3(2x＋ 1) =0 〔2x＋1〕(4x－3)=0 2x＋1=0或 4x－3=0 ∴x1＝－1/2, x2＝3/4
(3) (X+1)2-25=0
〔4〕两个一元一次方程的解就是原 方程的解．
作业： 1. 用分解因式法解方程
(1)x2-4=0〔2〕 〔x＋1〕 2 -25＝0
2、解以下方程 〔1〕x-4)2=(5-2x)2 〔2〕x2 －6x+9=0
谢谢
〔m-1〕x2 +3mx+(m+4)(m1)=0有一个根为0，求m 的值
1.因式分解法的条件是 方程左边易于分解， 而右边等于零，关键 是熟练掌握因式分解 的知识；
理论依旧是“如果两 个因式的积等于零， 那么至少有一个因式
因式分解法解一元二次方程的 步骤是：
〔1〕化方程为一般形式；
〔2〕将方程左边因式分解；
例题解析：
解以下方程
解〔：1原〕方5程X可2=变4形X 为
5X2-4X=0 ∴ X(5X-4)=0
原来的一元二 次方程转化成 了两个一元一
次方程
∴ X=0或5X-4=0
∴ X1=0,
X2=4/5
(2) X(X-2) = X-2
解：原方程可变形为 X〔X-2〕-(X-2)=0 ∴ (X-2)(X-1)=0 ∴ X-2=0或X-1=0 ∴ X1=2 ， X2=1
1、用因式分解法解以下方程：
解：(1) x+2 =0 或 x- 4 =0 ∴x1＝－2, x2＝4
(2) ( x+2)(x- 2)=0 x+2=0或 x- 2=0 ∴ x1＝－2, x2＝2
(3) 4x(2x＋1) －3(2x＋ 1) =0 〔2x＋1〕(4x－3)=0 2x＋1=0或 4x－3=0 ∴x1＝－1/2, x2＝3/4
(3) (X+1)2-25=0
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6 x y z 9 xy 3 xy (2 xz 药方：___________________________ 3 y )
2 2 3 2
（2） 9 a 6 a b 3 a 3 a (3 a 2 b )
2
漏掉一个因式“1” 病因：__________________________
7 ab 14 abx 49 aby 药方：__________________________7 ab (1 2 x 7 y )
（4） 4 a b 6 a b 8 a 2 a b ( 2 a 3 b ) 8 a
2 2
提取部分公因式后，式子不是乘积形式 病因：__________________________
6.1 因式分解
2.3因式分解
温三中 吴立
一.概念
因式分解：把一个多项式转化为几个整 式积的形式 （也称分解因式）
试一试:判断下列各式是不是因式分解
1.
x x x x 1
2
2.
3. 4.
a a b a ab
2
2
a 3 a 3
2
a
2 3
2
4 a b (1 3 ab )
2
（３） a b a b
3 3 2
2
ab
2 2
解： a b a b a b a b ( a b
3 3 2 2
a b 1)
（４） 3 a ( a b ) 5( a b ) 解： 3 a ( a b ) 5( a b ) ( a b )(3 a 5)
4 a b 8 a b 2 ab ( 2 a b 4 ab )
3 2 2 3 2 2
一、公因式的确定方法：
各项系数的最大公约数与各项 相同字母的最低次幂的乘积。
二、提公因式法分解因式的步骤：
1、确定公因式。
2、确定多项式提出公因式后得到的另一个因式。 3、写成这两个因式的积的形式。
课堂练习
3. 4.
3 2
2
2
2
4m n ， m n 12
2
a ，b 2
2
5. a ( m n ) ， b ( m n )
．找出下列各多项式中的公因式：
（1） 8x+64
（2） 2ab2+ 4abc （3） m2n3 -3n2m3
练一练
１．找出下列各多项式中的公因式： （1） 8x+64 （2） 2ab2+ 4abc （3） m2n3 -3n2m3 （4）3ax2y+6x3yz
1.把下列多项式分解因式
（1）3a+3b= (3) 3a2-9ab= (2) 5x-5y+5z= (4) -5a2 +25a=
2.已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
（1） 6 x y z 9 xy 3 xy (2 xyz 3 y )
2 2 3 2
还有公因式没提取 病因：___________________________
∴4－a2 = ( ∴ 3a2+12a = (
)( )(
); );
（2）∵3a(a+4) =3a2+12a
（3）∵m(a+b+c)=ma+mb+mc
∴ ma+mb+mc = (
(4) ∵ xy(x+3y)=x2y+3xy2
)(
);
∴ x2y+3xy2=( )( )
3 . 14 16 3 . 14 84
（A）-x（4x2-8x+16）
（C）4（-x3+2x2-4x）
（B）x（-4x2+8x-16）
（D）-4x（x2-2x-4）
（3）若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab， 那么另一 个因式是（ D ） （A）-1-3x+4y （C）-1-3x-4y （B）1+3x-4y （D）1-3x-4y
4a b 6ab 8a 2a (2ab 药方：__________________________ 3 b 4 )
2 2 2
1.选择
（1）多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ C ）
（A）-6ab2c （B）-ab2 （C）-6ab2 （D）-6a3b2C （2）分解-4x3+8x2+16x的结果是（ D）
2 2
方法一
2 a b c ( 2 a 5 b 1)
解：原式 1 0 a b c 4 a b c 2 a b c )
2 2
方法二
2 a b c (5 b 2 a 1)
4.填空
（1）3x2+6= 3（x2+2） （2）7x2 － 21x= 7x（x － 3） （3）8a3b2 － 12ab2c+ab= ab（8a2b － 12bc+1）
（4） － 24x3 － 12x2+28x= － 4x（6x2+3x － 7） （５）如果 a b 6, ab 7
那么 a b 2 a 2 b ____________
ab a b
2 2
a b (b a ) 7 (6) 42
观察多项式：
9m n
整式乘法
2 3 6
整数乘法
6 2 3
因数分解
m a b c ma mb mc
整式乘法
整式乘法: 几个整式的乘积
因式分解
一个多项式
ma mb mc m a b c
因式分解: 一个多项式
几个整式的乘积
3 2
(4)a (m n) b(m n)
2
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号, 多项式的各项都要变号 如果多项式的公因式恰好是多项式的某一项时, 提出来公因式后,该项为1不可丢. 如果公因式是多项式时,提出后作为因式时要加括号
1）整式乘法与因式分解的区别 2)利用提公因式法进行因式分解
（4）下列用提公因式法分解因式正确的是（ C ） （A）12abc-9a2b2=3abc（4-3ab）
（B）3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）
（C）-a2+ab-ac=-a（a-b+c）
（D）x2y+5xy-y=y（x2+5x）
2、将下列各式分解因式
（1）ma+mb= m（a+b） （2）5y3+20y2= 5y2(y+4）
9 a 6 a b 3 a 3 a (3 a 药方：__________________________ 2 b 1)
2
（3）
7 ab 14 abx 49 aby 7 ab (1 2 x 7 y )
提取系数为负的因式，没有变号 病因：__________________________
归纳总结 :
用提取公因式法分解因式的一般步骤是： 1、找出：找出应提取的公因式 2、除以：用这个多项式去除以公因式， 所 得的商作为另一个因式。 3、整理：把多项式写成这两个因式的 积的形式。
(1) 5 a b ab
2
2
( 2 ) 3 a b 9 ab
2
2
2
( 3 ) 4 m n 2 m n mn
8
2ab
m2n2 3x2y
小结：找公因式具体方法：
系数：当各项系数都是整数时，公因 式的系数应取各项系数的最大公约数； 字母：取各项的相同的字母，而且 各字母的指数取次数最低的 多项式：取相同的多项式，多项式的次 数取最低的。
找出下列各多项式的公因式 (1)2a+2b= (2)xy+yz= (3)2ac-4abc= (4)m2n+mn2= (5)3m2a-12ma+3ma2=
(6)ax+ay-a=
(7)(x-y)2+(y-x)=
(8) –3ax2y+6x3yz=
把下列多项式分解因式
（１） 5 a 2 5 a 2 解： 5 a 2 5 a 5 a ( a 5)
2
议一议：提公因式法 分解因式的步骤
（２） 4 a b 1 2 a b
2 3
2
解： 4 a b 12 a b
（4）
6 x 9 x 3 x
3 2
解：原式 (6 x 3 9 x 2 3 x )
3 x ( 2 x 3 x 1)
2
（5） 4 a 2 bc 10 ab 2 c 2 abc
解：原式 ( 4 a b c 1 0 a b c 2 a b c )
(x y)
3
（3） m ( m n ) m ( n m ) 2 解：原式 m ( m n ) m ( m n ) 2
( a b ) (b a )
2
2
m ( m n )[1 ( m n )] m ( m n )(1 m n )
3 . 14 (16 84 )
提公因数
ma mb m ( a b ) 提公因式
像这样把一个多项式的各项都有因式提出 来，从而将多项式化成两个因式乘积的形 式，因式分解的方法，叫做提公因式法。 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式 各项的公因式。
试找出下列各组单项式的公因式 1. 5 a b ， ab 2. 3 a 2 b ，ab 9
2 2 3 2
（2） 9 a 6 a b 3 a 3 a (3 a 2 b )
2
漏掉一个因式“1” 病因：__________________________
7 ab 14 abx 49 aby 药方：__________________________7 ab (1 2 x 7 y )
（4） 4 a b 6 a b 8 a 2 a b ( 2 a 3 b ) 8 a
2 2
提取部分公因式后，式子不是乘积形式 病因：__________________________
6.1 因式分解
2.3因式分解
温三中 吴立
一.概念
因式分解：把一个多项式转化为几个整 式积的形式 （也称分解因式）
试一试:判断下列各式是不是因式分解
1.
x x x x 1
2
2.
3. 4.
a a b a ab
2
2
a 3 a 3
2
a
2 3
2
4 a b (1 3 ab )
2
（３） a b a b
3 3 2
2
ab
2 2
解： a b a b a b a b ( a b
3 3 2 2
a b 1)
（４） 3 a ( a b ) 5( a b ) 解： 3 a ( a b ) 5( a b ) ( a b )(3 a 5)
4 a b 8 a b 2 ab ( 2 a b 4 ab )
3 2 2 3 2 2
一、公因式的确定方法：
各项系数的最大公约数与各项 相同字母的最低次幂的乘积。
二、提公因式法分解因式的步骤：
1、确定公因式。
2、确定多项式提出公因式后得到的另一个因式。 3、写成这两个因式的积的形式。
课堂练习
3. 4.
3 2
2
2
2
4m n ， m n 12
2
a ，b 2
2
5. a ( m n ) ， b ( m n )
．找出下列各多项式中的公因式：
（1） 8x+64
（2） 2ab2+ 4abc （3） m2n3 -3n2m3
练一练
１．找出下列各多项式中的公因式： （1） 8x+64 （2） 2ab2+ 4abc （3） m2n3 -3n2m3 （4）3ax2y+6x3yz
1.把下列多项式分解因式
（1）3a+3b= (3) 3a2-9ab= (2) 5x-5y+5z= (4) -5a2 +25a=
2.已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
（1） 6 x y z 9 xy 3 xy (2 xyz 3 y )
2 2 3 2
还有公因式没提取 病因：___________________________
∴4－a2 = ( ∴ 3a2+12a = (
)( )(
); );
（2）∵3a(a+4) =3a2+12a
（3）∵m(a+b+c)=ma+mb+mc
∴ ma+mb+mc = (
(4) ∵ xy(x+3y)=x2y+3xy2
)(
);
∴ x2y+3xy2=( )( )
3 . 14 16 3 . 14 84
（A）-x（4x2-8x+16）
（C）4（-x3+2x2-4x）
（B）x（-4x2+8x-16）
（D）-4x（x2-2x-4）
（3）若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab， 那么另一 个因式是（ D ） （A）-1-3x+4y （C）-1-3x-4y （B）1+3x-4y （D）1-3x-4y
4a b 6ab 8a 2a (2ab 药方：__________________________ 3 b 4 )
2 2 2
1.选择
（1）多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ C ）
（A）-6ab2c （B）-ab2 （C）-6ab2 （D）-6a3b2C （2）分解-4x3+8x2+16x的结果是（ D）
2 2
方法一
2 a b c ( 2 a 5 b 1)
解：原式 1 0 a b c 4 a b c 2 a b c )
2 2
方法二
2 a b c (5 b 2 a 1)
4.填空
（1）3x2+6= 3（x2+2） （2）7x2 － 21x= 7x（x － 3） （3）8a3b2 － 12ab2c+ab= ab（8a2b － 12bc+1）
（4） － 24x3 － 12x2+28x= － 4x（6x2+3x － 7） （５）如果 a b 6, ab 7
那么 a b 2 a 2 b ____________
ab a b
2 2
a b (b a ) 7 (6) 42
观察多项式：
9m n
整式乘法
2 3 6
整数乘法
6 2 3
因数分解
m a b c ma mb mc
整式乘法
整式乘法: 几个整式的乘积
因式分解
一个多项式
ma mb mc m a b c
因式分解: 一个多项式
几个整式的乘积
3 2
(4)a (m n) b(m n)
2
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号, 多项式的各项都要变号 如果多项式的公因式恰好是多项式的某一项时, 提出来公因式后,该项为1不可丢. 如果公因式是多项式时,提出后作为因式时要加括号
1）整式乘法与因式分解的区别 2)利用提公因式法进行因式分解
（4）下列用提公因式法分解因式正确的是（ C ） （A）12abc-9a2b2=3abc（4-3ab）
（B）3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）
（C）-a2+ab-ac=-a（a-b+c）
（D）x2y+5xy-y=y（x2+5x）
2、将下列各式分解因式
（1）ma+mb= m（a+b） （2）5y3+20y2= 5y2(y+4）
9 a 6 a b 3 a 3 a (3 a 药方：__________________________ 2 b 1)
2
（3）
7 ab 14 abx 49 aby 7 ab (1 2 x 7 y )
提取系数为负的因式，没有变号 病因：__________________________
归纳总结 :
用提取公因式法分解因式的一般步骤是： 1、找出：找出应提取的公因式 2、除以：用这个多项式去除以公因式， 所 得的商作为另一个因式。 3、整理：把多项式写成这两个因式的 积的形式。
(1) 5 a b ab
2
2
( 2 ) 3 a b 9 ab
2
2
2
( 3 ) 4 m n 2 m n mn
8
2ab
m2n2 3x2y
小结：找公因式具体方法：
系数：当各项系数都是整数时，公因 式的系数应取各项系数的最大公约数； 字母：取各项的相同的字母，而且 各字母的指数取次数最低的 多项式：取相同的多项式，多项式的次 数取最低的。
找出下列各多项式的公因式 (1)2a+2b= (2)xy+yz= (3)2ac-4abc= (4)m2n+mn2= (5)3m2a-12ma+3ma2=
(6)ax+ay-a=
(7)(x-y)2+(y-x)=
(8) –3ax2y+6x3yz=
把下列多项式分解因式
（１） 5 a 2 5 a 2 解： 5 a 2 5 a 5 a ( a 5)
2
议一议：提公因式法 分解因式的步骤
（２） 4 a b 1 2 a b
2 3
2
解： 4 a b 12 a b
（4）
6 x 9 x 3 x
3 2
解：原式 (6 x 3 9 x 2 3 x )
3 x ( 2 x 3 x 1)
2
（5） 4 a 2 bc 10 ab 2 c 2 abc
解：原式 ( 4 a b c 1 0 a b c 2 a b c )
(x y)
3
（3） m ( m n ) m ( n m ) 2 解：原式 m ( m n ) m ( m n ) 2
( a b ) (b a )
2
2
m ( m n )[1 ( m n )] m ( m n )(1 m n )
3 . 14 (16 84 )
提公因数
ma mb m ( a b ) 提公因式
像这样把一个多项式的各项都有因式提出 来，从而将多项式化成两个因式乘积的形 式，因式分解的方法，叫做提公因式法。 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式 各项的公因式。
试找出下列各组单项式的公因式 1. 5 a b ， ab 2. 3 a 2 b ，ab 9