线性离散哈密顿系统谱理论
哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析
哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析一切真实的,耗散可忽略不计的物理过程都可以用哈密顿系统进行描述.哈密顿系统有两个最重要的性质,一个是辛结构,另一个就是能量守恒.正确计算哈密顿系统非常重要.近年来,能够保持哈密顿系统辛结构或能量的保结构方法已经得到了很大的发展.本文讨论哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析,主要研究成果如下：I.近几年,人们构造了等离子物理中洛伦兹力系统的保结构格式,比如保体积格式和保辛格式.然而这些格式都不能保持系统能量.我们把洛伦兹力系统写为一个非典则的哈密顿系统,然后利用Boole离散线积分方法进行求解,得到洛伦兹力系统的一个新的格式.该方法可以保持系统哈密顿能量达到机器精度.II.我们研究如何利用二,三和四阶AVF方法求解哈密顿偏微分方程.对非线性薛定谔方程,空间用Fourier拟谱方法半离散,时间用三个AVF方法进行离散,得到该方程三个不同精度的AVF格式.我们用数值实验验证了这三个格式的精度和保能量守恒特性.III.基于根树和B-级数理论,我们给出了5阶树的带入规则的具体公式.利用新得到的带入规则,我们把二阶AVF方法提高到高阶精度,给出了一个新的AVF方法.我们证明了,新方法具有6阶精度,并且可以保持哈密顿系统能量.我们利用六阶AVF方法求解非线性哈密顿系统,并测试了其精度和能量守恒特性.IV.在哈密顿偏微分方程保结构算法框架下,我们研究了基于系统弱形式的空间离散方法.首先,空间用有限元法或谱元法对偏微分方程进行半离散,把得到的常微分方程组写成一个哈密顿系统.然后,我们用一个保结构方法对这个常微分哈密顿系统进行求解,得到一个全离散保结构格式.我们用这个方法对一维非线性薛定谔(NLS)方程进行求解,其中空间用Legendre谱元法,时间用AVF方法,得到一个新的保能量方法.同样对一维NLS方程,我们在空间用Galerkin有限元方法,时间用Crank-Nicolson格式离散,则得到一个同时保能量和质量的格式.对二维NLS方程,空间用Galerkin谱元法,时间用Crank-Nicolson格式离散,得到一个同时保能量和质量的格式.而对Klein-Gordon-Schrodinger方程空间用Galerkin方法,时间用辛Stomer-Verlet方法离散,得到一个显式辛格式.对自旋为1的Bose-Einstein凝聚态(BEC)中耦合Gross-Pitaevskii(GP)方程,空间用Galerkin方法,时间用隐中点辛格式离散,则得到一个新的同时保系统辛结构,质量和磁场强度的格式.对自旋轨道耦合的BEC中耦合GP方程离散,空间用Galerkin方法,时间用Crank-Nicolson格式,得到的新格式可以同时保能量和质量.我们做了数值实验验证理论结果.。
拉格朗日方程与哈密顿方程
01
通过勒让德变换，拉格朗日方程可以转化为哈密顿方程，两者
在描述物理系统的运动规律时具有等价性。
拉格朗日方程的优势
02
在处理具有约束条件的系统时，拉格朗日方程具有较大的优
势，可以通过引入拉格朗日乘子来简化问题的求解。
哈密顿方程的特点
03
哈密顿方程具有明确的物理意义，可以方便地引入正则量子化
方法，为量子力学的发展奠定了基础。
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05 拉格朗日方程与哈密顿方 程在物理学中的应用
在力学中的应用
描述质点和刚体的运动
拉格朗日方程和哈密顿方程可用于描述质点和刚体在力作用下的运动，通过定义适当的拉格朗日函数或哈密顿函数， 可以推导出质点和刚体的运动方程。
约束条件下的运动
对于受到约束的力学系统，拉格朗日方程和哈密顿方程同样适用。通过引入约束条件，可以推导出系统在约束条件下 的运动方程。
1 2 3
经典力学中的应用
哈密顿方程在经典力学中用于描述质点和刚体的 运动，可以方便地处理约束和非保守力的问题。
量子力学中的应用
在量子力学中，哈密顿算符对应于经典力学中的 哈密顿函数，用于描述微观粒子的运动状态和能 级结构。
控制理论中的应用
在控制理论中，哈密顿方程被用于描述系统的动 态行为和最优控制问题，如最小时间控制、最小 能量控制等。
哈密顿函数是描述物理系统总能量的函数，通常表示为H(q, p, t)，其中q是广义坐 标，p是广义动量，t是时间。
哈密顿函数与拉格朗日函数的关系
哈密顿函数可以通过对拉格朗日函数进行勒让德变换得到，即H(q, p, t) = p·q̇ L(q, q̇, t)，其中L是拉格朗日函数，q̇是广义速度。
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
量子力学中的哈密顿算符
量子力学是描述微观世界的一种物理学理论，而哈密顿算符（Hamiltonian operator）则是量子力学中的一个重要的数学工具。
它在量子力学的框架下，描述了体系的总能量。
本文将以“量子力学中的哈密顿算符”为题，分析哈密顿算符的定义、性质和应用。
首先，我们来看哈密顿算符的定义。
在量子力学中，哈密顿算符用符号“H”表示，它是一个数学算符，用来描述体系的总能量。
哈密顿算符是通过物理系统的动能算符和势能算符的线性组合得到的。
动能算符通常用“T”表示，而势能算符通常用“V”表示。
哈密顿算符的形式可以表示为H = T + V。
接下来，我们来探讨哈密顿算符的性质。
首先，哈密顿算符是一个厄米算符。
厄米算符指的是一个算符与其自身的共轭转置相等。
对于哈密顿算符来说，这意味着H† = H，其中†表示共轭转置操作。
由于哈密顿算符是厄米算符，它的本征态一定是正交归一的，因此可以用来描述物理系统的一组完备基。
其次，哈密顿算符具有一个重要的性质，即它的本征值对应着物理系统的能量。
量子力学中，物理量的测量结果是一个数值，称为该物理量的本征值。
对于哈密顿算符来说，它的本征值就是物理系统的能量。
物理系统的状态可以由哈密顿算符的本征态展开，而不同本征值对应的本征态描述了不同能量的物理状态。
哈密顿算符在量子力学中有广泛的应用。
首先，哈密顿算符是薛定谔方程的重要组成部分。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，它描述了量子态随时间的演化。
薛定谔方程的形式为Ĥψ = Eψ，其中Ĥ表示哈密顿算符，ψ表示体系的波函数，E表示体系的能量。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到物理系统的波函数以及能级结构。
其次，哈密顿算符的本征值问题与能级分析相关。
通过求解哈密顿算符的本征值问题，我们可以得到物理系统的能级信息。
能级分析在原子、分子和凝聚态物理等领域具有重要的应用价值。
通过研究能级结构，我们可以理解物质的性质，例如电子能带结构、光谱特性等。
最后，哈密顿算符也与物理系统的演化和动力学过程相关。
矩阵理论中的谱理论及应用
矩阵理论中的谱理论及应用矩阵理论是现代数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域，从线性代数到量子力学，都离不开矩阵理论的支持。
其中，谱理论作为矩阵理论中的一个重要内容，具有深远的意义和广泛的应用。
本文将对矩阵理论中的谱理论进行探讨，并介绍其在科学研究和工程技术中的应用。
一、谱理论概述1.1 谱的定义在矩阵理论中，谱是指矩阵特征值的集合。
特征值是一个数值，表示矩阵在某个方向上的拉伸或压缩程度。
而谱则是由特征值组成的集合，常用于描述矩阵的性质和特征。
1.2 谱的性质谱具有许多重要的性质，其中一些性质对于研究矩阵的行为和性质具有重要意义。
例如，谱半径和谱范数可以用于描述矩阵的稳定性和收敛性，而矩阵的谱分解则可以将矩阵表示为特征向量和特征值的形式，便于进行分析和计算。
二、谱理论在科学研究中的应用2.1 线性代数中的谱理论在线性代数中，谱理论是一个基本概念。
通过对矩阵的特征值和特征向量进行分析，可以得到矩阵的谱分解，进而研究矩阵的性质和行为。
例如，对于对称矩阵，其谱分解可以分解为正交矩阵和实特征值的乘积。
这一概念在矩阵对角化、矩阵相似性以及线性系统的稳定性等方面有广泛的应用。
2.2 量子力学中的谱理论在量子力学中，谱理论是研究量子系统能级和能量的一种重要方法。
谱理论通过对量子算符的谱分解，得到量子系统的能级和能量分布，从而揭示量子系统的行为和性质。
例如，量子力学中的哈密顿算符的特征值和特征向量描述了量子粒子的能级和波函数。
三、谱理论在工程技术中的应用3.1 图像处理中的谱理论在图像处理领域，谱理论被广泛应用于图像分析、图像压缩和图像恢复等方面。
通过对图像的谱分解，可以提取图像的频谱信息，从而实现图像分析和特征提取。
同时，谱理论还可以用于图像压缩算法的设计，提高图像的压缩比和重建质量。
3.2 控制系统中的谱理论在控制系统领域，谱理论被应用于系统的稳定性分析和性能优化。
通过对系统的传递函数进行谱分析，可以得到系统的频率响应和频谱特性。
哈密顿量和能量本征态
哈密顿量和能量本征态在物理学中，哈密顿量是描述一个物理系统动力学的重要量。
它可以通过量子力学的框架来推导得到，并且与系统的能量本征态有密切的关系。
本文将探讨哈密顿量和能量本征态之间的关系和重要性。
1. 哈密顿量的定义和意义哈密顿量（Hamiltonian）是描述一个物理系统总能量的算符，在量子力学中通常用H或者Ĥ表示。
它是由系统的动能和势能构成的，可以形式化地表示为H = T + V，其中T表示动能算符，V表示势能算符。
哈密顿量的本质是为了描述系统的演化和变化。
根据量子力学的运动方程，系统的演化可以由哈密顿量对状态函数的作用得到，即iħdψ/dt = Hψ，其中ħ为约化普朗克常数，ψ为系统的状态函数。
因此，通过求解哈密顿量的本征值问题，可以得到系统的能量本征态。
2. 能量本征值和能量本征态能量本征值（Energy Eigenvalues）是指在给定的哈密顿量下，系统可能具有的特定的能量值。
在量子力学中，一个物理系统的能量是量子化的，具有离散的能级。
数学上，能量本征值可以通过求解哈密顿量的本征值方程得到，即H|Ψ⟩ = E|Ψ⟩，其中Ψ为能量本征态，E为对应的能量本征值。
能量本征态则是系统在特定能量下的稳定态。
它们是线性代数空间中的基矢量，可以用来描述系统的态。
通过将能量本征态展开，可以得到系统在某个能级的概率分布，从而揭示了系统的性质和行为。
3. 哈密顿量和能量本征态的重要性哈密顿量和能量本征态在物理学中有着重要的地位和应用。
首先，哈密顿量是量子力学的基础，它描述了系统的总能量。
在描述量子力学现象和计算物理系统性质时，哈密顿量是必不可少的工具。
通过求解哈密顿量的本征问题，我们可以得到系统的能级结构和能谱分布，从而揭示了系统的能特征和性质。
其次，能量本征态是量子力学中最重要的概念之一。
能量本征态的存在和性质决定了物理系统的行为和性质。
通过研究能量本征态和相应的能量本征值，我们可以预测和解释物理系统的光谱特征、能级跃迁以及与之相关的其他现象。
量子力学中的哈密顿算符和能谱
量子力学中的哈密顿算符和能谱量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，其中哈密顿算符和能谱是量子力学的重要概念。
哈密顿算符描述了系统的总能量，而能谱则给出了系统可能的能量取值。
本文将介绍哈密顿算符和能谱的基本概念和性质。
1. 哈密顿算符的定义和性质在量子力学中，哈密顿算符是描述系统总能量的算符。
它通常表示为H，是一个厄米算符，即满足H†=H。
这意味着它的本征值都是实数，并且它的本征函数可以构成一组正交归一的基。
哈密顿算符的具体形式取决于系统的性质和相互作用。
例如，在自由粒子的情况下，哈密顿算符可以写为动能算符的形式，即H= p^2/2m，其中p是动量算符，m是粒子的质量。
在电磁场中的粒子则需要加入相互作用项。
2. 能谱和本征态能谱是哈密顿算符的本征值的集合。
每个本征值对应一个本征态，即哈密顿算符的本征函数。
本征态是描述系统的量子态，它们是哈密顿算符的本征方程H|ψ⟩=E|ψ⟩的解，其中|ψ⟩是本征态，E是对应的能量本征值。
能谱可以是离散的或连续的，取决于系统的性质。
离散能谱对应着有限个能量本征值，例如氢原子的能级。
而连续能谱对应着无限个能量本征值，例如自由粒子。
3. 哈密顿算符的求解方法求解哈密顿算符的本征值和本征态是量子力学中的核心问题之一。
对于简单的系统，可以使用解析方法来求解。
例如，对于一维谐振子，哈密顿算符可以写为H= (p^2/2m) + (1/2)kx^2，其中k是弹性系数。
通过解本征方程，可以得到谐振子的能级和波函数。
然而，对于复杂的系统，解析方法往往不可行。
在这种情况下，可以使用数值方法来求解哈密顿算符的本征值和本征态。
常用的数值方法包括矩阵对角化方法和变分法。
矩阵对角化方法将哈密顿算符表示为一个矩阵，然后通过对矩阵进行对角化来求解本征值和本征态。
变分法则通过猜测一个波函数的形式，然后优化波函数的参数来得到近似的本征值和本征态。
4. 哈密顿算符的应用哈密顿算符和能谱在量子力学中有广泛的应用。
第3章-线性离散系统数学描述
根据线性系统叠加原理 ，已知 h * ( t )后，任意输入脉冲序列 u * ( t )， 可得系统输出为 y * ( t ) = u( 0 ) h * ( t ) + u (1) h * ( t − T ) + L + u( n ) h * ( t − nT ) + L y ( k ) = ∑ u ( j ) h( k − j ) =
z →1
i =0 i =1 m n
已知，用递推法求解。 例3 − 2 − 2 y ( k + 1) = ay ( k ) + bu( k ), 设 y ( 0 )、 u( k )已知，用递推法求解。 解： k = 0 k =1 M
k
y (1) = ay ( 0 ) + bu( 0 ) y ( 2 ) = ay (1) + bu(1) = a 2 y ( 0 ) + abu ( 0 ) + bu(1)
它的齐次方程为 y( k + n) + a1 y( k + n − 1) + L + a n y( k ) = 0
它的特征方程为 r n + a1 r n −1 + a 2 r n − 2 + L + a n = 0
个特征根： 有 n个特征根： 则方程通解为： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 , L , rn , 则方程通解为： y ( k ) = c 1 r1k + c 2 r2k + L + c n rnk； 重根， （2）若解有 m 重根，则 m 重根的解的形式为 r k , kr k , k 2 r k， ， k m -1 r k的线性组合， 的线性组合， L 通解中的系数 c n由系统的初始条件确定 。
高等量子力学 课件 【ch05】开放量子系统动力学
01弱耦合限
其中，
。是相互作用的最一般形式。如果把相互作用哈密顿量H, 分解为系统哈 密顿量H₅ 的
马尔科夫量子主方程 如果量子动力学半群存在，在某种数学条件下(见下面),一个线性映射L, 即半群的生成元， 可以表示成如下 指数形式： 由此，立刻可以得到开放系统约化密度矩阵的一阶微分方程
02马尔科夫量子主方程
方程式(5.19)叫作马尔科夫量子主方程。半群生成元L 为超算符，它可以看成方程式(1.113)中刘 维超算符的
由式(5.13)容易看出， V(4)具有描述一般量子测量操作 (见式(2.28))的形式。再者，算符 满足条件
由此，可推导出 因此，我们说， 一个动力学映射V(t)是凸线性的、完全正和保迹的量子操作。
02马尔科夫量子主方程
上面给出了t 固定时的动力学映射V(1) 。如果让t 变化，即可得到动力学映射的一个参数簇 {V(t)}t≥0}, 其 中V(0) 为单位映射。这个簇描述了开放系统全部的时间演化。然而，如果库关联 函数衰减的特征时间远小 于系统演化的特征时间，则约化系统的记忆效应可以忽略。因此，像经 典理论那样可以获得马尔科夫型的行 为。对于均匀情况这一理论将借助如下半群特征构建。
其中 约化密度矩阵Ps(t) 在t 时刻可表示为
其运动方程为
02
量子马尔科夫过程
01开放量子系统动力学概述
设初始时刻t=0 时，总系统S+B 处于不关联的乘积态
离散哈密顿系统
离散哈密顿系统
离散哈密顿系统是指系统状态在时间上以离散的方式演化，且满足哈密顿原理。
它的研究对象一般为有限自由度的机械系统，如弹性杆、自由振动系统等。
离散哈密顿系统的关键在于离散时间演化，它可以通过哈密顿方程来描述。
与连续哈密顿系统相比，离散哈密顿系统在数学上更加简单，因为它的运动由离散的步进组成。
离散哈密顿系统的研究有着广泛的应用，如在计算机科学中的动力学系统、混沌控制等方面，都有着重要的应用。
同时，它也为物理学研究提供了一种新的思路，能够更加深入地理解物理现象的本质。
- 1 -。
量子力学中的哈密顿算符解析
量子力学中的哈密顿算符解析量子力学是描述微观粒子行为的理论，而哈密顿算符则是量子力学中重要的数学工具，用来描述粒子的能量和运动。
在量子力学中，哈密顿算符被广泛应用于求解粒子的波函数和能谱，并帮助我们理解微观粒子的行为。
本文将探讨量子力学中的哈密顿算符的解析方法和应用。
首先，让我们回顾一下哈密顿算符的定义。
在量子力学中，波函数是描述粒子状态的数学函数。
而哈密顿算符则表示了粒子的总能量和运动状态。
哈密顿算符通常用符号"H"表示，它由动能算符和势能算符组成。
动能算符表示粒子的动量和质量，而势能算符表示粒子在外部力场中的受力情况。
解析哈密顿算符意味着通过求解哈密顿算符的本征值和本征函数来得到系统的能谱和波函数。
本征值表示量子系统的能量值，而本征函数则描述了对应能量的粒子的波函数。
解析哈密顿算符的方法主要有数学分析和近似方法。
在实际应用中，数学分析是解析哈密顿算符的一种常用方法。
这种方法基于量子力学的数学公式和运算法则，通过求解哈密顿算符的特征方程来得到它的本征值和本征函数。
然而，由于哈密顿算符的形式复杂，特征方程往往难以直接求解。
因此，在实际计算中需要运用一些数学技巧和方法，如量子力学的近似方法和数值计算等。
另一种解析哈密顿算符的方法是近似方法。
近似方法是通过近似处理哈密顿算符，得到系统的主要能谱和波函数。
在量子力学中，常用的近似方法包括微扰法和变分法。
微扰法在哈密顿算符中引入小的扰动，将扰动项作为微小修正，从而求得系统的能量修正和波函数修正。
变分法则通过将哈密顿算符中的参数视为变量，通过变分原理求得系统的最优能谱和波函数。
值得注意的是，解析哈密顿算符并不意味着一定能得到精确的结果。
量子力学中存在一些特殊的系统，如氢原子系统，可以通过数学分析得到精确解析解。
然而，对于大多数实际系统，如复杂分子体系和固体材料等，由于哈密顿算符的复杂性和体系的复杂性，往往只能通过近似方法得到解析解。
因此，在实际应用中，除了解析方法外，数值计算方法也是解决哈密顿算符的常用方法。
函数的闭合算子与谱理论
函数的闭合算子和谱理论1. 函数的闭合算子在数学中，函数的闭合算子是满足特定条件的算子。
它们在函数分析中起着重要作用，并被广泛应用于物理学、工程学和其他领域。
给定一个定义在某个集合上的函数空间，一个函数的闭合算子是一个线性算子，它将函数空间中的一个函数映射到同一个函数空间中的另一个函数。
闭合算子的一个重要性质是，它将函数空间中的收敛序列映射到收敛序列。
也就是说，如果函数空间中的一个序列f1,f2,⋯收敛于某个函数f，那么闭合算子T作用于这个序列后的结果Tf1,Tf2,⋯也收敛于Tf。
2. 函数的闭合算子的例子函数的闭合算子的一个例子是微分算子。
微分算子将函数映射到它们的导数。
微分算子是一个闭合算子，因为如果函数序列f1,f2,⋯收敛于某个函数f，那么它们的导数序列f′1,f′2,⋯也收敛于f′。
另一个函数的闭合算子的例子是积分算子。
积分算子将函数映射到它们的积分。
积分算子也是一个闭合算子，因为如果函数序列f1,f2,⋯收敛于某个函数f，那么它们的积分序列∫f1,∫f2,⋯也收敛于∫f。
3. 函数的闭合算子和谱理论函数的闭合算子与谱理论有着密切的关系。
谱理论是研究算子的谱的数学分支。
算子的谱是指算子作用于函数空间时所产生的所有可能的值的集合。
谱理论可以用来研究函数的闭合算子的性质。
例如，谱理论可以用来确定函数的闭合算子的逆算子是否存在。
谱理论还可以用来研究函数的闭合算子的稳定性。
4. 函数的闭合算子在物理学中的应用函数的闭合算子在物理学中有着广泛的应用。
例如，函数的闭合算子可以用来描述量子力学中的哈密顿算子。
哈密顿算子是量子力学中描述粒子能量的算子。
哈密顿算子是一个函数的闭合算子，它的谱可以用来确定粒子的能量状态。
函数的闭合算子还可以用来描述电磁场中的电磁势。
电磁势是一个函数，它描述电磁场中电荷和电流的分布。
电磁势是一个函数的闭合算子，它的谱可以用来确定电磁场的性质。
5. 函数的闭合算子在工程学中的应用函数的闭合算子在工程学中也有着广泛的应用。
矩阵理论中的谱理论及应用
矩阵理论中的谱理论及应用矩阵理论是数学领域中重要的分支之一，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
而矩阵理论中的谱理论则是其中的一个重要概念，它在矩阵对称性质、特征值、特征向量等方面扮演着关键的角色。
本文将探讨矩阵理论中的谱理论及其应用。
1. 谱理论概述在矩阵理论中，谱理论一般指的是矩阵的谱分解、特征值和特征向量等相关理论。
矩阵的特征值（eigenvalues）是一个非常重要的概念，在许多实际问题中都有着广泛的应用。
通过求解矩阵的特征方程，可以得到矩阵的特征值，而对应的特征向量则是特征值所对应的线性无关的向量。
2. 谱理论在物理学中的应用在物理学领域中，矩阵的谱理论被广泛用于解决量子力学、热力学等问题。
例如，量子力学中的哈密顿算符的本征值代表了系统的能量，而对应的本征函数就是波函数。
通过矩阵的谱理论，可以解决一些复杂的物理系统的能级和波函数分布等问题。
3. 谱理论在工程学中的应用在工程学领域中，矩阵的谱理论也有着广泛的应用。
例如，在控制理论中，可以利用矩阵的特征值来分析系统的稳定性和控制性能。
通过对矩阵进行特征值分解，可以得到系统的模态分析，从而实现对系统的控制设计。
4. 谱理论在计算机科学中的应用在计算机科学领域中，矩阵的谱理论被广泛应用于图论、数据挖掘等领域。
例如，在图论中，可以利用矩阵的谱理论来分析网络的连通性和稳定性。
另外，在数据挖掘中，可以利用矩阵的谱理论来进行降维和聚类分析，从而实现对数据的处理和分析。
总结：矩阵理论中的谱理论是一个重要且广泛应用的理论，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着重要的作用。
通过对矩阵的特征值和特征向量进行分析，可以更深入地理解和应用矩阵理论，实现对复杂问题的解决和应用。
希望本文能够对读者对矩阵理论中的谱理论有所帮助。
量子力学中的哈密顿算符与能级结构
量子力学中的哈密顿算符与能级结构量子力学是描述微观世界的一门理论，它以波函数和算符为基础，通过哈密顿算符来描述物理系统的能级结构。
本文将介绍量子力学中的哈密顿算符与能级结构的相关概念和原理。
在量子力学中，哈密顿算符是描述系统能量的算符。
它是由经典力学中的哈密顿函数演化而来，通过量子化的方式得到。
哈密顿算符通常用H来表示，它的本征值和本征函数分别代表了系统的能量和相应的态。
量子力学中的哈密顿算符可以分为两部分：动能算符和势能算符。
动能算符描述了粒子的动能，通常用动量算符p的平方除以2倍粒子的质量m来表示。
而势能算符则描述了粒子所处的势能场，它通常是位置算符x的函数。
在实际应用中，哈密顿算符的形式取决于系统的性质和所受的力场。
例如，对于自由粒子，哈密顿算符可以简化为动能算符；对于粒子在势阱中运动，哈密顿算符则由动能算符和势能算符的和构成。
通过求解哈密顿算符的本征值问题，我们可以得到系统的能级结构。
本征值代表了系统可能的能量值，本征函数则是对应于这些能量的态。
系统的能级结构可以通过谱线实验来验证，例如光谱实验可以测量出原子的能级跃迁。
在量子力学中，能级结构的性质与哈密顿算符的性质密切相关。
例如，对于简谐振子系统，哈密顿算符是位置算符和动量算符的平方和的线性组合。
由于哈密顿算符是一个厄米算符，它的本征值是实数，而且本征函数是正交归一的。
这导致了简谐振子的能级是离散的，且能级之间的能量差是等差的。
另一个重要的例子是氢原子系统。
氢原子的哈密顿算符由动能算符和势能算符构成，其中势能算符是库仑势能。
通过求解氢原子的哈密顿算符的本征值问题，我们可以得到氢原子的能级结构。
这些能级被标记为主量子数n、角量子数l和磁量子数m，并且符合能级简并的规律。
除了求解哈密顿算符的本征值问题，我们还可以通过微扰理论来研究系统的能级结构。
微扰理论是一种近似求解的方法，它将系统的哈密顿算符分解为一个已知的部分和一个微扰的部分。
通过对微扰部分的一阶或高阶展开，我们可以得到系统的能级修正。
奇异离散线性哈密顿系统的亏指数及自伴扩张
奇异离散线性哈密顿系统的亏指数及自伴扩张连续Hamilton(哈密顿)系统的基本理论研究开始于十九世纪三十年代.一切守恒的真实的物理过程都可以表示为Hamilton系统.因此,自从连续Hamilton 基本理论建立以来,它就成为非线性科学领域里面一个重要的组成部分,并且在数理科学、生命科学等领域,特别是量子力学、生物工程中有着广泛且重要的应用(参见[4,67]及其参考文献).微分算子的谱问题主要可以分为两类：定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则的谱问题；否则称为奇异的谱问题.正则的谱问题的研究已经形成了比较完整的理论体系,如特征值的性质,特征函数的正交性,平方可积解关于特征函数的展开定理,Rayleigh原理以及正交多项式理论等.同正则情况相比,奇异谱问题的研究相对复杂而困难.因为正则情况下的谱只有点谱,而奇异情况下除点谱外还可能产生其它谱点,如连续谱和奇异点谱.无论是理论上还是应用上,微分算子谱问题的研究都具有重要的意义.而对称算子的自伴扩张问题在算子谱问题的研究中是极其重要的.研究对称算子的自伴扩张问题主要有两种方法,一是von Neumann理论(参见[99]).经典的von Neumann理论给出了抽象的Hilbert空间中闭对称算子存在自伴扩张的充分必要条件.闭对称算子的自伴扩张可以通过对其伴随算子加适当的边界条件得到.第二种方法就是Glazman-Krein-Naimark (GKN)理论(参见[68]).它是由前苏联数学家Glazman, Krein及Naimark于1950年创立.GKN理论将辛几何和辛代数的理论应用于Hilbert空间中对称算子自伴扩张的研究中,指出所有的自伴算子扩张都可以通过对GKN集加适当的边界条件得到.对于奇异连续线性Hamilton系统,如果相应的确定性条件满足,由该系统生成的最大算子是良好定义的,最小算子是稠定的,而且最小算子的正负亏指数恰好等于该系统在上下半平面线性无关平方可积解的个数(参见[59,60,80].利用von Neumann理论和GKN理论,连续Hamilton系统(包括高阶对称微分方程)的自伴扩张域已经给出了完全的刻画(参见[13：14,15,41,75,90,91,92]等).但是,如果相应的确定性条件不满足,则最大算子可能是多值的,即不是通常意义下的算子,而且最小算子也可能不是稠定的[64].从而前面提到的方法就不适用了.随着信息技术的飞速发展和数字化计算机的广泛应用,出现了很多以离散Hamil-ton系统为支撑的数学模型.从而对离散Hamilton系统的研究引起了越来越多的学者的关注(参见[2,6,9,10,11,12,20,81,85]及其参考文献).离散系统有其实际的应用背景.众所周知,连续系统通常用微分系统来描述,但有些系统(如采样系统)却不能用微分系统来描述,而只能用离散系统来描述.另一方面,对于一般的非线性微分系统,其精确解是无法求出的,所以常常将其离散化为离散系统求其近似解.因此,离散Hamilton系统,不仅来源于连续Hamilton系统的离散化,也来自于遵循Hamilton 原理的离散过程,比如离散物理问题,离散控制问题等.虽然离散系统与其对应的连续系统有很多相似之处,但也有很多不同之处.而且,在某些方面,离散系统的问题研究起来更困难.离散的谱问题也分为两类,定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则的谱问题；否则称为奇异的谱问题.与连续系统相比,离散系统问题的研究还不是那么全面.对于正则谱问题的研究历史已经很长,并且取得了很多好的结果(参见[1,2,11,12,17,18,35,56,85]等)Atkinson[6]首先研究了无限区间上二阶对称的纯量差分方程的奇异谱问题,接着Hinton和Lewis等人做了进一步研究[48].随后史玉明,陈绍著,Clark, Smith, Bohner, Dosly, Jirari孙华清等对二阶及高阶形式自伴的向量差分方程与离散Hamilton 系统的谱问题进行了研究[16,19,54,66,71,72,84,85,86,87]. Clark与Gesztesy研究了具有分离型边值条件的奇异离散Hamilton系统的Titchmarsh-Weyl理论[20].对于奇异离散线性Hamilton系统史玉明建立了它的Titchmarsh-Weyl理论[81].随后,孙书荣、史玉明和陈绍著建立了奇异离散Hamilton系统的自伴扩张理论[95].孙华清在其博士论文中给出了由它生成的最小算子的自伴扩张域的刻画[89].但是,随后史玉明和孙华清发现,即使相应的确定性条件成立,文献[81,89,95]中定义的最大算子可能是多值的,即这里定义的最大算子不是通常意义下的算子,而且最小算子可能是不稠定的.不仅如此,最小算子也可能是多值的.这是差分方程与微分方程的又一个重要不同之处.所以我们有必要对离散系统的确定性条件作进一步深入的分析,并对前面出现的问题予以修正.由于离散Hamilton系统生成的最小算子可能是多值的和不稠定的,按照经典的算子理论它没有伴随算子.进而,其它的一些算子理论,如之前介绍过的适用于稠定Hermite算子的von Neumann自伴扩张理论和GKN理论,对离散系统就不适用了.为了解决这些问题,一些学者将稠定的Hermite算子的概念和相关理论推广到Hermite线性子空间Coddington和他的合作者[22,23,24]首先成功地将适用于对称算子的von Neumann自伴扩张理论推广到Hermite子空间.然后,证明了一个Hermite子空间有自伴子空间扩张的充分必要条件是其正负亏指数相等.随后,Lesch和Malamud把von Neumann公式推广到Hermite子空间[64].最近,史玉明又将经典的GKN理论推广到Hermite子空间[82],并在此基础上给出二阶形式自伴差分方程自伴子空间的全部刻画[83].这是奇异差分算子自伴扩张研究的先河.根据经典的或推广的von Neumann理论,一个对称算子或闭Hermite 子空间有自伴扩张当且仅当其正负亏指数相等,并且自伴扩张的表达式与亏指数有直接关系.因此,无论是微分算子还是差分算子,亏指数对研究自伴扩张有非常重要的意义.我们已经知道,在确定性条件下,由2m阶实系数形式自伴纯量微分方程生成的微分算子的正负亏指数相等,即d+=d-=d,且d恰好等于当λ∈C\R时该方程线性无关平方可积解的个数.对微分算子亏指数的研究结果有很多,如[27,28,29,30,33,37,42,55,57,58,62,63,65,70,98,102].特别地,Glazman在文献[43]中证明当区间(a,b)=(0,+∞),且x=0是正则点时,亏指数d满足不等式m≤d≤2m,且这个范围内的所有值都可以取到.另外,对于复系数形式自伴微分方程,正负亏指数可能不相等Mcleod在文献[65]中给出了一个正负亏指数是(2,3)的四阶复系数微分方程的例子.对于形式自伴差分方程来说,这方面的研究结果很少.本文研究奇异离散线性Hamilton系统的谱理论,包括离散线性Hamilton系统的确定性条件和亏指数,极限点型和极限圆型的判定；离散线性Hamilton系统的自伴子空间扩张的刻画和自伴算子扩张的刻画；2m阶形式自伴差分方程亏指数的取值范围,极限点型和强极限点型的判定,及其自伴算子扩张的刻画.本文分为五章.第一章是知识准备,介绍线性子空间,特别是Hermite线性子空间的基本知识,本文常用的矩阵的基本结论以及离散线性Hamilton系统的基本知识.第二章主要考虑离散线性Hamilton系统的确定性条件和亏指数.首先证明最小子空间的伴随子空间等于最大子空间.这个结论对后面研究由离散线性Hamilton系统生成的最小子空间的亏指数和自伴扩张起到非常重要的作用.然后系统地研究了确定性条件,给出确定性条件的多个等价的叙述和多个充分条件.在此基础上,建立了离散线性Hamilton系统生成的最小子空间的的亏指数与离散线性Hamilton系统线性无关平方可和解个数之间的关系式.特别地,证明亏指数与线性无关平方可和解个数相等的充分必要条件是确定性条件成立.这为接下来研究最小子空问的自伴扩张作好了铺垫.最后,给出几个极限点型和极限圆型的判定.在第三章中,我们讨论离散线性Hamilton系统生成的最小子空间的自伴子空间扩张.在第二章结果的基础上,首先,对离散线性Hamilton系统生成的最小子空间进行刻画.然后,利用线性无关平方可和解再对最大子空间进行刻画.最后,利用边界条件和线性无关平方可和解给出最小子空间的所有自伴子空间扩张的刻画.本章内容修正了文献[89]中的相应结果.我们知道,只有当最小子空间是算子时,它才有可能有自伴算子扩张.根据Coddington的结论,一个Hermite算子有自伴算子扩张的充分必要条件是其正负亏指数相等,并且所有这些自伴算子扩张都包含于其自伴子空间扩张中.所以,我们可以通过对自伴子空间适当加强条件而得到其自伴算子扩张.因此,要想给出最小子空间的自伴算子扩张,必须首先判断最小子空间是否是算子.在第四章,首先分别给出最小算子H0是算子的条件和是稠定的条件,然后再根据第三章所得的最小子空间自伴子空间扩张的刻画,给出最小子空间的自伴算子扩张的刻画.最后,第五章考虑2m阶形式自伴差分方程的亏指数和自伴算子扩张的刻画.首先证明对于实系数纯量差分方程,正负亏指数相等,即d+=d-=d,且满足不等式m≤d≤2m,而且证明在这个范围内的值都可以取到.这与Glazman关于微分方程的结论是一致的,但证明方法不一样.然后考虑纯量方程的极限点型和强极限点型的判定.最后,给出2m阶向量差分方程的所有自伴算子扩张的刻画.。
量子力学中的能谱
量子力学中的能谱量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它对于解释原子、分子以及尺度较小的系统的行为具有重要意义。
能谱是量子力学中一个非常重要的概念，它揭示了系统的能量分布和能级结构，对于理解物理系统的性质和特性至关重要。
1. 能谱的概念能谱是指系统各个状态的能量值以及与之对应的概率分布。
在量子力学中，系统的能量是量子化的，只能取离散值，而能谱则描述了系统可取的不同能量值以及它们所对应的概率。
2. 哈密顿算符在量子力学中，系统的能量通过哈密顿算符来描述。
哈密顿算符是由系统的动能和势能构成的算符，它的本征值即为系统可能的能量值。
通过求解哈密顿算符的本征值问题，可以得到系统的能谱。
3. 能级结构能谱中的每个能量值称为一个能级，而能级之间的差值则决定了系统的能量跃迁。
系统的能级结构揭示了系统的稳定性以及能量转换的规律。
4. 量子态能谱与系统的量子态也密切相关。
量子态描述了系统的波函数，并通过波函数的模的平方来计算系统在不同能级上的概率分布。
能谱可以通过求解薛定谔方程得到，进而得到系统的量子态。
5. 应用能谱在量子力学中有广泛的应用。
例如，在原子物理中，能谱可以解释原子光谱的特征，帮助人们理解原子结构和电子行为；在固体物理中，能谱可以描述晶体中电子的行为，解释材料的导电性和光学性质；在核物理学中，能谱可以用来研究核结构和放射性衰变等现象。
总结：量子力学中的能谱是描述系统能量分布和能级结构的重要工具。
通过哈密顿算符和量子态的求解，可以得到系统的能谱，揭示了系统的能量特性和稳定性。
能谱在物理学的各个领域中有广泛的应用，对于理解微观世界的行为和特性具有重要意义。
第7章 线性离散系统
z变换的定义 ： z eTs
z变换表达式的求解 ：
F (z) Z[ f (t)] Z[ f * (t)] f (nT )z n n0
则 x*(t) (10 10 2n) (t nT) 10 (1 2n) (t nT)
n0
n0
2019年12月2日星期一
自动控制原理
28
留数法
3.留数法
x(nT) 等于函数 X (z)zn1 在其全部极点上的留数 和。
即 x(nT) res[X (z)zn1]
2019年12月2日星期一
自动控制原理
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部分分式展开法
2.部分分式展开法
将函数X(z)展开成若干个简单分式和的形式， 然后利用熟知的一些基本对应关系式，或查z变换表 求得 x*(t) 。
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自动控制原理
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部分分式展开法
例13 已知象函数 X (z) 10z ，试求其z反变换。
自动控制原理
3
采样控制系统
典型采样控制系统结构框图 ：
采样：在系统运行中，采样开关S断开一定时间后
又闭合，反复动作， 将模拟量变为离散量，这种
间断获取信息的过程称为采样。
采样周期（Sampling Period）：采样开关每间
隔一定时间T内接通及断开一次，时间T称为采样周 期。
2019年12月2日星期一
2019年12月2日星期一
自动控制原理
11
保持器—采样信号的复现
泛函分析中的定理
泛函分析中的定理泛函分析是数学中重要的一个分支，研究的是无限维空间上的泛函和函数序列的性质及其应用。
在泛函分析中，有很多重要的定理和结果，下面我们来介绍一些。
1. 资格定理（Hahn-Banach Theorem）：资格定理是泛函分析中的基础定理之一、它表明，在实或复的赋范空间中，对于任意一个线性泛函 f，如果它在一个线性子空间 M 上的限制所满足的条件可以表示为一个线性不等式，那么总是存在一个线性泛函 F，它在整个空间上与 f 一致，并且满足给定的限制条件。
资格定理的应用十分广泛，例如可以用来证明一些存在性定理，如存在性定理。
2. 化大定理（Banach-Alaoglu Theorem）：化大定理是泛函分析中的基本定理之一，它描述了拓扑空间上单位球面上的点列（依范数拓扑）的一些性质，并且证明了它在乘积空间中的相对紧致性。
化大定理的一个重要应用是弱收敛性的刻画，即如果一个序列具有其中一种趋向，那么可以通过化大定理证明它在一些拓扑意义上收敛于一些点。
3. 谱定理（Spectral Theorem）：谱定理是泛函分析中的一个重要定理，描述了自伴算子（或称为厄密算子）在希尔伯特空间上的一些性质。
谱定理指出，一个自伴算子的谱分解具有简洁的形式，在一定条件下，可以通过一个单位正交基来展开。
谱定理的一个重要应用是量子力学中的哈密顿算子的谱分解。
4. 开映射定理（Open Mapping Theorem）：开映射定理是泛函分析中一个重要的定理，表明如果一个线性映射将一个开邻域映射成一个非空邻域，那么这个映射就是一个开映射。
开映射定理是泛函分析中非常有用的工具，它可以用来证明闭图像定理，即一个连续线性映射的图像是闭的。
5. 闭图像定理（Closed Graph Theorem）：闭图像定理是泛函分析中一个重要的定理，它表明如果一个连续线性映射的图像是闭的，那么它的图像和定义域之间的关系也是闭的。
闭图像定理是泛函分析中很有用的工具，它可以用来证明一些重要的结果，如开映射定理、逆映射定理等。
线性离散系统的数学模型
有干扰信号的采样系统
R( s )
N (s)
E ( s)
*
T
G1 ( s )
G2 (s)
C (s)
C(s) G2 (s) N (s) G 1(s)G2 (s)E* (s)
* G N ( s) * 2 C ( s) * 1 G1G2 (s)
E* (s) C* (s)
G2 N ( z ) C( z) 1 G1G2 ( z )
R( z )
G1(s)
d (t )
G2(s)
c(t )
系统连续信号的拉氏变换为C(s) G1 (s)G2 (s)R* (s)
R (s) r (nT )e nsT
* n 0
注意：G1G2* (s) G1* (s)G2* (s)
* *
* * C* ( s ) G ( s ) G ( s ) R ( s ) G ( s ) G ( s ) R (s) 2 1 2 1
C( z) G1G2 ( z) R( z)
注意：G1G2 ( z) G1 ( z)G2 ( z)
没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数为这 两个环节的传递函数相乘之积的Z变换。 •推广：没有理想采样器隔开的n个线性连续环节串联的脉冲传递函数 等于n个环节乘积后的z变换。
3、有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
* *
* RG ( s) RG( z ) * C ( s) C( z) * 1 HG ( s) 1 HG( z )
*
6、Z变换的局限性及修正Z变换
Z变换的局限： •Z变换的推导建立在采样信号可以用理想脉冲序列来 近似的基础上。 •不能反映采样间隔的信息 •系统连续部分传递函数的极点要比零点多至少2个，即 G(s)的脉冲过渡函数K(t)在t=0时没有跳跃。否则用z变换 法得到的系统输出采样信号c*(t)与实际l连续输出c(t)差别 较大。
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线性离散哈密顿系统谱理论
自从1835年Hamilton提出Hamilton原理以来，Hamilton原理已经成为现代物理的基石。
Hamilton原理描述的是一切真实的，耗散效应可以忽略不计的物理过程均可表示成Hamilton系统。
由于Hamilton系统的广泛应用，因此人们对Hamilton系统的研究长盛不衰。
线性Hamilton系统谱理论不仅具有理论意义，而且是解决实际问题的工具。
例如，Schr(?)dinger方程是量子力学的基本方程。
量子力学中，粒子的行为可由Schr(?)dinger方程的波函数来描述，它的能量对应着Schr(?)dinger
算子的谱。
其中，孤立点谱对应着粒子的能量级，它解释了粒子由一个能量级向另一个能量级跃迁的现象。
这种现象是经典力学无法解释的，而连续谱与粒子的分布有密切关系。
Schr(?)dinger方程就是Hamilton系统的特殊形式。
连续Hamilton系统基本理论的研究已有很长历史(见[1，2]及其参考文献)，它的谱理论也已被集中而深入地研究。
连续线性Hamilton系统的谱问题可分为两类：定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则谱问题；否则，称之为奇异谱问题。
对于正则谱问题，已取得了许多很好的成果(见[3-11，13])。
奇异系统谱问题研究相当困难，这是因为奇异微分算子不但有点谱，还有连续谱等，已不能单纯利用处理有界算子谱问题的方法进行研究。
1910年，H．Weyl 开创了二阶奇异形式自伴微分算子谱理论(奇异Sturm-Liouville理论)的研究[14]。
此后不久，奇异Sturm-Liouville理论就成为刚刚兴起的量子物理学描述微观粒子状态的主要数学手段之一，从而引起了数学界与物理学界的关注。
许多知名学者，如Titchmarsh，Coddington，Levinson，Weidmann，Hinton，Krall 等，将H．Weyl的工作进一步深化并推广到线性Hamilton系统(见[3，4，6，15-37]及其参考文献)。
这一理论被称为Weyl-Titchmarsh理论。
特别地，Chaudhuri和Everitt[38]建立了二阶自伴微分算子的谱和Weyl函数解析性之间的关系。
Hinton和Shaw[39]将他们的结果推广到奇异Hamilton微分算子。
因此，人们也可以通过研究Weyl函数来研究微分算子的谱。
由于自伴微分算子谱理论已成为数学研究的热门课题之一，微分算子自伴性识别与自伴域的刻画问题也越来越引起许多学者的关注。
由苏联数学家Glazman，Krein，Naimark创立的GKN理论以辛代数为工具研究了最小算子自伴域(见
[40-42]及其参考文献)。
Niessen和Zettl讨论了下方有界二阶对称微分算子的Friedrichs扩张[43]。
曹之江利用解给出了极限圆型时二阶和高阶微分算子自伴域一种直接而完全的描述[44-46]。
孙炯利用解给出了具有中间亏指数的高阶微分算子自伴域一种直接而完全
的描述[47]。
生命科学、物理、力学、经济等领域有些现象只能用离散数学模型描述。
现在，计算机已成为科学研究中的重要工具，计算机只能处理离散的或离散化的数量关系。
因此，最近三十年，对离散系统的研究十分活跃(见[4，48-76])。
离散Hamilton系统不仅来自于连续系统的离散化，还来自遵循Hamilton
原理的离散物理过程，具有很强的实际应用背景。
尽管离散Hamilton系统理论与连续Hamilton系统理论有许多相似之处，但却有很多不同。
例如，有些结论本身就有区别；有些结论虽然相似，但研究方法迥异。
因此，在某些方面，对离散Hamilton系统的研究更困难更具有挑战性。
离散Hamilton系统的谱问题也可分为两类：定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则谱问题；否则，称之为奇异谱问题。
相对于连续Hamilton系统，离散Hamilton系统谱理论的研究还不是很全面。
对于离散Hamilton系统正则谱问题，Atkinson，Bohner，史玉明等人已取得了一些很好的结果[4，51，66，67，70，75]。
奇异系统的研究起始于1964
年Atkinson的工作[4]。
随后，Hinton，Lewis，Mingarelli，Jirari，史玉明，Clark等人进一步深化了他的工作(见[61，63，62，71，57-59，65，73]及其参考文献)。
特别在[71]中，史玉明系统地建立了奇异离散线性Hamilton系统的Weyl-Titchmarsh 基本理论，包括极限点型时线性离散Hamilton自伴算子的谱与M(λ)函数解析性质之间的关系。
因此，也可以利用M(λ)函数的解析性质研究极限点型下离散Hamilton系统所对应自伴算子谱的分布。
关于线性离散Hamilton算子自伴域完全描述的结果很少，目前，只有孙书荣和史玉明建立的奇异离散Hamilton系统的GKN理论。
在该理论中，得到了有关奇异离散Hamilton最小算子自伴域的一系列结果[74]。
本文研究线性离散Hamilton系统谱理论，包括奇异线性离散Hamilton
系统极限点型以及强极限点型的判定；奇异线性离散Hamilton自伴算子谱分布；奇异线性离散Hamilton算子自伴域的刻画；二阶正则自伴差分方程耦合边值问
题特征值的比较。
极限点型连续Hamilton系统可进一步分为强极限点型和弱极限点型(见[21-23，35])。
将系统分为强弱极限点型，便于对Hamilton自伴算子谱进行分析。
史玉明利用最大算子域中元素给出了离散Hamilton系统为极限点型的充要条件[71，定理6.15]。
本文在第一章利用该充要条件将极限点型离散Hamilton 系统进一步分为强弱极限点型。
另外，给出了极限点型二阶向量差分方程强弱极限点型的定义。
对于线性离散Hamilton系统，由于高维系统的复杂性，目前，利用系统系数建立的极限点型判定定理很少。
我们在第二章第二节利用系数矩阵建立了几个极限点型的判别准则，在第二章第三节中首先利用最大算子域的元素给出一个强极限点型的充分必要条件，然后根据该充分必要条件，利用系数矩阵建立了离散Hamilton系统几个强极限点型的判定定理。
另外，利用系数矩阵建立了二阶向量差分方程强极限点型的判定定理。
我们已知无论是连续Hamilton系统还是离散Hamilton系统，都可以利用Weyl函数研究相应自伴算子的谱。
由于Weyl函数定义特殊，目前，仅有少量关于二阶和高阶纯量微分算子谱的结果是利用Weyl函数奇异性得到的。
在第三章中，我们用Weyl函数研究Hamilton自伴算子的谱。
在第三章第三节中，首先利用Schwarz对称原理研究系统是极限点型时Weyl函数M(λ)的性质。
在此基础上，得到了在强极限点型条件下，Hamilton算子谱的一些结果。
特别地，给出了一个纯点谱的充分条件。
最后将所得结果应用于二阶纯量差分算子谱的研究。
在第四章中，通过对相关算子域重新刻画，并以GKN理论为工具，我们利用平方可和解给出自伴域直接而完全的描述。
这一结果完善了奇异离散Hamilton系统谱理论的研究，为奇异离散线性Hamilton算子自伴性识别提供了依据。
早在五十年代，二阶正则微分方程周期和反周期两种边值问题特征值的比较就引起了人们兴趣，得到了漂亮的比较不等式[3]。
王怡和史玉明比较了二阶差分方程的周期和反周期边值问题的特征值，得到了与连续情况类似的比较不等式[75]。
我们在第五章比较二阶差分方程的不同耦合边值问题特征值，得到了特征值之间的比较不等式。
这个结果推广了王怡和史玉明[75]的主要结果。
我们指出Coddington和Levinson在比较二阶微分方程边值问题特征值时主要利用了Prüfer变换。
虽然离散系统的Prüfer变换已在[52]中被建立，但是和微分方程一样利用Prüfer变换来进行不同边值问题特征值的比较是比较困难的。
受[75]思想方法的启发，本章利用史玉明与陈绍著[66]所得到的一些结果来证明二阶差分方程的耦合边值问题特征值的存在性，并计算它们的个数；利用Atkinson[4]所得到的振动性结果比较二阶差分方程的不同耦合边值问题特征值。