矩阵的正定性及其应用论文

正定矩阵的性质及其应用_____

正定矩阵的性质及其应用

姓名：学号：指导教师：

摘要；矩阵是数学中的一个重要基本概念，是代数学中的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类特殊的矩阵，固然有它与其它矩阵不同的性质和应用。本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件，对正定矩阵的一些重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程，最后给出了正定矩阵在不等式证明问题、多元函数极值问题、最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用。

关键词：矩阵；正定矩阵；性质；应用

The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications Abstract:

Matrix is one of the important basic concepts and it is one of the main research object in math . Positive definite matrix is a kind of special matrix, no doubt it has its properties and applications different from other matrix. This paper states some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix, integrates some important properties, then puts forward several applications of the positive definite matrices on inequation problems, multiple function extreme problems, the optimization of convex programming problem and solving linear equations.

正定矩阵及其应用

本科毕业论文(设计)

正定矩阵及其应用

学生姓名：学号：

专业：指导老师：

答辩时间：装订时间：

A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science， Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree

In the Year of 2016

Positive definite matrices and their applications

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Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:

摘要

矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用.

关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值

【论文】正定矩阵的性质和判定方法及应用

【关键字】论文

内蒙古财经大学本科毕业论文

正定矩阵的性质及应用

作者郝芸芸

系别统计与数学学院

专业信息与计算科学

年级10级

学号 3

指导教师高菲菲

导师职称讲师

答辩日期

成绩

内容提要

矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．

关键词：二次型正定矩阵判定方法应用

Abstract

Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite

正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用-毕业论文

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摘要

本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用.

关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值

ABSTRACT

This paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given.

正定矩阵的性质及应用

的取值范围。
266 新教师教学 2017年第16期
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由函数的单调性可知：点评：构造抽象函数这一考点在高考中常以选择题压轴题的形式出现，考法较为固定，常见的形式有：
点评：构造几何模型是求三棱锥外接球的常见方法，在该题中，因为四个面全等，若三边分别为 x，y，z，则可直接计算出
外接球的半径为：
二、构造基本不等式求最值问题
题目 2 已知 a>b>c，求使得：
第 i1,i2 ,",ik 行和第 i1,i2 ,",ik 列交点处的元素按照原来的位置构成的 A 的 k 阶子式大于零。
3)对任意的 k ^1, 2,", n` ,由 A 的前 k 行前 k 列交点处的元素
按照原来的位置构成的 A 的 k 阶子式大于零。 пȽ↙ᇐ⸟䱫Ⲻᓊ⭞ （一）正定矩阵的判定
aij xi x j 是正定二次型。
i1 j1
证明：必要性设 A 是正定矩阵，则 A 与 In 合同，即存在 n 阶可逆矩阵 P，使得
令那么
PT AP In X PY
f x1, x2,", xn X T AX PY T A PY
= Y T PT APY Y T InY
= y12 y22 " yn2 . 因为 P 是可逆矩阵，所以当 x1 , x2 ,", xn 不全为零时， y1, y2,!, yn 也不全为零。因此，对于任意不全为零的实数 x1 , x2 ,", xn ,都有

正定矩阵的性质及应用论文

正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。在本篇论文中，将详细介绍正定矩阵的性质以及其在实际应用中的一些重要应用。

首先，我们来了解一下正定矩阵的定义。对于一个n阶矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^T*A*x > 0，那么这个矩阵就是正定矩阵。也就是说，正定矩阵对于任意非零向量x，都将其映射到一个大于零的数。因此，正定矩阵是一个非常重要的概念。

下面，我们来介绍一下正定矩阵的性质。

1. 正定矩阵的特征值都是正数。这是正定矩阵的一个重要性质，它决定了正定矩阵的行列式大于0。

2. 正定矩阵的行列式大于0。这是由于根据性质1，正定矩阵的特征值都是正数，因此其行列式大于0。

3. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。这是因为对于任意非零向量x，有x^T*A*x > 0，那么x^T*A^(-1)*x = (A^(-1)*x)^T*A*(A^(-1)*x) > 0。

4. 正定矩阵可以通过Cholesky分解进行分解。Cholesky分解是将正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置的乘积。

5. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。这是因为对于任意非零向量x，有x^T*A*x > 0，那么x^T*A^(-1)*x = (A^(-1)*x)^T*A*(A^(-1)*x) > 0。

现在，让我们来了解一些正定矩阵在实际应用中的一些重要应用。

1. 在数学和物理建模中，正定矩阵常常被用来描述能量、势能、距离等非负量。例如，在分子动力学模拟中，正定矩阵可以用来描述原子之间的势能，从而模拟分子在空间中的运动。

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矩阵的正定性及其应用

摘要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是

实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例．

一、二次型有定性的概念

定义1 具有对称矩阵之二次型A ,

AX X f T =(1) 如果对任何非零向量, 都有（或）成立，则称

X 0>AX X T 0

AX X f T =A (2) 如果对任何非零向量, 都有（或）

X 0≥AX X T 0≤AX X T 成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二

0X 000=AX X T AX X f T =次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.

A 注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不

具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.

二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的

正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.

二．矩阵正定性的一些判别方法

定理 1 设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵.

A B A ≌)(合同与B A B 定理2 对角矩阵正定的充分必要条件是.

),,,(21n d d d diag D =),,2,1(0n i d i =>定理3 对称矩阵为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.

A 定理4 为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数A A .

n p =定理5 矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵, 使

矩阵的正定性及其应用论文

论文题目：矩阵的正定性及其应用学生姓名：

学生学号：

专业班级：

学院名称：

2011年4月6日

矩阵的正定性及其应用

摘要：

矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例．

关键字：矩阵实矩阵正定性应用

Matrix's qualitative and its application

Abstract

Matrix is qualitative can from solid matrix and complex matrix two aspects elaborated, due to complex matrix more tedious and some properties of complex matrix can have a matrix on get, so here is mainly expounds the matrix is qualitative and application. Based on the introduction of a matrix of the definition and is qualitative identification method, simple cited some examples to described the application of matrix is qualitative.

关于正定矩阵的性质及应用的研究

，得证。
性质3 、是正定矩阵，则证明：、是正定矩阵，所以
是实对称矩阵。
对任意的维列向量，
，
，其中，因是任意的，所以
也是正定矩阵。
，
，有
学术研讨 135
，
，所以，
也是正定矩阵，得证。
性质4 是正定矩阵，则
、、也是正定矩
阵。
证明：是正定矩阵，故
，，
，是实对称矩阵。
若是的特征值，则是的特征值。由
134
◇朔州师范高等专科学校董改芳
关于正定矩阵的性质及应用的研究
2019 年第 6 期
正定矩阵是高等代数矩阵理论中非常重要的内容，本文给出了正定矩阵的一些性质和判定方法，并在实例中得到了正定矩阵的一些应用。
二次齐次多项式在数学的其它分支、物理以及力学中常常用到，是一类非常重要的多
项式。二次型是数域上的二次齐次多项式，在讨论二次型时，我们把二次型
可得
，由定理2，也是正定矩阵。
又由于
，
，由性质3，也是正定矩阵，
得证。
性质5 是正定矩阵，则
也是正定矩阵。
证明：是正定矩阵，故
，
，是
实对称矩阵。
令的特征值为，
，则
为
的特征值。由定理2，
，又，故
，

正定矩阵的性质和判定方法及应用概要

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用

作者郝芸芸

系别统计与数学学院

专业信息与计算科学

年级10级

学号*********

指导教师高菲菲

导师职称讲师

答辩日期

成绩

内容提要

矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．

关键词：二次型正定矩阵判定方法应用

Abstract

Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.

正定矩阵的性质及应用

摘要：正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了.

关键字：正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值.

研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用．

一、正定矩阵的定义

定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,

21 都

有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵.

定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量),,,(21n x x x f X =都有0>'A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵.

注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定.

二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别.

正定矩阵的性质及应用

摘要：正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。基于此，本文首先对正定矩阵的定义进行了描述，其次研究了正定矩阵的性质与判定方法，最后简单介绍了其具体应用。

关键词：正定矩阵；基本性质；推论；判定；应用

前言：矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，正定矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具。本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。

1.正定矩阵的基本性质

1.1 正定矩阵的定义

设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x1，……，xn) 都有X′MX＞0，就称M正定(Positive Definite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。

另一种定义：一种实对称矩阵，正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵。

1.2 正定矩阵的性质

当矩阵A为正定矩阵的时候，则必有以下几个性质，即：

（1）aii＞0，i=1，2，……，n；

（2）A的元素的绝对值最大者，必定为主对角元；

（3）≤annAn-1 ，其中，An-1是A的n-1阶主子式；

正定矩阵的判定、性质及其应用.

学校代码：10722 学号：1006024112

分类号：O151.21 密级：公开

题目：正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作者姓名：

专业名称：

学科门类：

指导老师：

提交论文日期： 2014年5月

成绩评定:

I

咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。本文首先介绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。

关键词：实对称；正定矩阵；判定；性质

正定矩阵的判定、性质及其应用

Abstract

We have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.In fact,positive definite matrix is a kind of very important matrix in algebra, it can be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstly introduced the definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,then the related properties of positive definite matrix were summarized, the positive definite matrix in the application of proving inequality,function extreme and so on were illustrated finally.

正定矩阵的性质及推广论文

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2012届本科毕业论文正定矩阵的性质及推广

院（系）名称数学科学学院

专业名称数学与应用数学

学生姓名李俊霞

学号080414076

指导教师黄盛讲师

完成时间2012.5

正定矩阵的性质及推广

李俊霞

数学科学学院数学与应用数学专业学号： 080414076

指导教师：黄盛

摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质. 其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用. 最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明.

关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵

1 关于正定矩阵的定义

本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为

定义[]11 n 阶实对称矩阵A 称为正定的，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,T

x x x ∈n 1R ⨯ ,都

有0T X AX >.这种正定矩阵的全体记作S P .

1970年，Johnson R C ..首先提出了较广义的正定矩阵的定义，即

定义[]22 设A ∈n n R ⨯，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,T

x x x ∈n 1R ⨯ ，都有0T X AX >,则

称A 为正定矩阵,这种正定矩阵的全体记作l P .

1984年，佟文廷把这种矩阵推广为

定义[]33 设A ∈n n R ⨯，如果对∀0≠=X ()12n ,, ... ,T

正定矩阵的性质和判定方法及应用

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用

作者郝芸芸

系别统计与数学学院

专业信息与计算科学

年级10级

学号102093113

指导教师高菲菲

导师职称讲师

答辩日期

成绩

内容提要

矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．

关键词：二次型正定矩阵判定方法应用

Abstract

Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.

正定矩阵的判别及其应用

毕业论文

题目正定矩阵的判别方法及其应用学院数学与统计学院

专业数学与应用数学

姓名周永辉

班级11级数应1班

学号20111010148

指导教师董芳芳讲师

提交日期2015/5/12

原创性声明

本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名:

年月日论文指导教师签名:

正定矩阵的判别及其应用

摘要本文从正定矩阵的定义出发，给出了矩阵正定性的一些判别方法，并得到了正定矩阵的一些应用.

关键词矩阵；正定性；判别；应用

Methods and the applications of the judgment of

positive definite matrix

Yonghui zhou

(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,China) Abstract In this paper, Some Methods of judgement matrix are given by the definite and some application are obtained.

Key Words matrix；positive definiteness；method；application