无理数指数幂及其运算性质-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
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4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件(共21张PPT高一上学期数学 人教A版必修第一册
思
.
、
自研教材107-108页，导学案177-179页，课时练85-86页，思考
以下问题：
2
1.类比无理数的发现和确定过程，如何理解5 的意义？
2.无理数指数幂的含义是什么？
3.实数指数幂的运算性质是什么？与有理数指数幂的
运算性质有何区别？
4. 如何用a m , an 表示am-2n ？a1/2+a-1/2和a+a-1有怎样的联
过用连分数近似表示的方法得到,如
3.14159265=3+
1
1
0.14159265
≈3+
1
7+0.0625135
1 22
≈3+ = ,舍去 0.0625135,得到逼近的一个
7
7
1 22
有理数为 3+ = ,类似地,把 2化为连分数形式:1+
7
7
1
+
1
+
1
+
到 1 之间的无理数),舍去 r 得到逼近 2的一个有理数为
系？
高一数学组
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
无理数指数幂
类比无理数的发现和确定过程，如何理解5
2
的意义？
每一个无理数都是一个定值，能够用数轴上的一个点表示.
的值呢？
那么，如果不用计算器，我们如何来估算
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
小数位数相同的 2的过剩近似值与不足近似值的差是有规律的：
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
7-9
2+2+3-2 2
-2
1
=4 =4 = .
16
4.1.2无理指数幂及其运算性质课件(人教版)
(2)做完《一线课堂》对应习题
5
102
6. 填空: (1) 若 围是______.
则a 取值范
(2)已知a, b, c为三角形的三边,则
七、课堂小结：
1.分数指数概念
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
2.对于任意的实数r，s均有下面的运算性质:
作业： (1)课本P109 , 习题4.1 T 5,7,8
和另一串逐渐减小的有理
数指数幂
逐步逼近的结果，它是一个确定
的实数.用下图表示如下.
52
2.无理指数幂
是一个确定的实数
一般地,无理数指数幂
是无理数 )
是一个确定的实数. 有理指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.
3.对于任意的实数r，s均有下面的运算性质:
四、巩固新知
1.例2.由下面的两串有理数幂逐渐逼近,可得到
解:(1)原式 =
(3)( 3 a2 a3 ) 4 a2
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有理指数幂, 再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
三、探究新知 2.根据 的不足近似值x和过剩近似值y(如下表)利用计算工具计算相
应的5x,5y的近似值填入下表,视察变化趋势，你有何发现？
的不足近似值x 1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213 1.4142135 1.4142136 1.414213562 …
的数为( C )
2.例3.计算下列各式
3.例4.求解下列各式
解: 3 2 2 3 2 2 12 2 2 ( 2)2 12 2 2 ( 2)2
当x
1, 2
y
5
102
6. 填空: (1) 若 围是______.
则a 取值范
(2)已知a, b, c为三角形的三边,则
七、课堂小结：
1.分数指数概念
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
2.对于任意的实数r，s均有下面的运算性质:
作业： (1)课本P109 , 习题4.1 T 5,7,8
和另一串逐渐减小的有理
数指数幂
逐步逼近的结果，它是一个确定
的实数.用下图表示如下.
52
2.无理指数幂
是一个确定的实数
一般地,无理数指数幂
是无理数 )
是一个确定的实数. 有理指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.
3.对于任意的实数r，s均有下面的运算性质:
四、巩固新知
1.例2.由下面的两串有理数幂逐渐逼近,可得到
解:(1)原式 =
(3)( 3 a2 a3 ) 4 a2
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有理指数幂, 再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
三、探究新知 2.根据 的不足近似值x和过剩近似值y(如下表)利用计算工具计算相
应的5x,5y的近似值填入下表,视察变化趋势，你有何发现？
的不足近似值x 1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213 1.4142135 1.4142136 1.414213562 …
的数为( C )
2.例3.计算下列各式
3.例4.求解下列各式
解: 3 2 2 3 2 2 12 2 2 ( 2)2 12 2 2 ( 2)2
当x
1, 2
y
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3 + −3
1
+ −
1
3 + −3
3
= 2 +
1
2
+ 1 = 2 2 + 1．
5 + 2，
+1
（3） ∵ + = 8， = 9，
∴ − 2 = + 2 − 4 = 64 − 36 = 28．
∵ > > 0， ∴ − = 2 7 ．
（5） − .
−
−
− ( + ) +
−
+
×
+ − . + − . �� ；
25 2
9
5
3
+
（5）8 − 0. 5
−3
1 −3
2
−
64 −3
27
+
4 −2
3
2
3
2
3
−3+
+
+ 3
2 3
3
2
+1
−
= 0. 43
2
−2
+ 2
10 −3
27
− 3π0 +
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
br(b>0) ④ar÷as=ar－s
典型例题
题型一：利用分数指数幂的运算性质化简求值
【 例 1】（ 2023·全 国·高 一专 题练 习） 计算 下列 各式 的值 ．
（1）.
（4）
−
1
+ −
1
3 + −3
3
= 2 +
1
2
+ 1 = 2 2 + 1．
5 + 2，
+1
（3） ∵ + = 8， = 9，
∴ − 2 = + 2 − 4 = 64 − 36 = 28．
∵ > > 0， ∴ − = 2 7 ．
（5） − .
−
−
− ( + ) +
−
+
×
+ − . + − . �� ；
25 2
9
5
3
+
（5）8 − 0. 5
−3
1 −3
2
−
64 −3
27
+
4 −2
3
2
3
2
3
−3+
+
+ 3
2 3
3
2
+1
−
= 0. 43
2
−2
+ 2
10 −3
27
− 3π0 +
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
br(b>0) ④ar÷as=ar－s
典型例题
题型一：利用分数指数幂的运算性质化简求值
【 例 1】（ 2023·全 国·高 一专 题练 习） 计算 下列 各式 的值 ．
（1）.
（4）
−
无理数指数幂及其运算性质-【新教材】人教A版高中数学必修
3
)3，所以有a21 a2
3
－a－2
1
－a－2
1
1
1
1
＝a2
－a－2
a＋a－1＋a2
1
1
·a－2
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
a2 －a－2
[归纳提升] (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已
知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条
1
1
件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过 a2 ＋a－2___.
3．(mn ) 3＝____n_3_m_－__3___.
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 无理数指数幂的运算
例 1 计算下列各式：
(1)(3 23 2 2)3 2；
π 2π
a6 a 3 (2) aπ .
[解析] (1)原式＝(3 2×2 32)3 2＝36×22＝2 916.
件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求．
学科素养
用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
例 4 已知 pa3＝qb3＝rc3，且1a＋1b＋1c＝1.求证：(pa2＋qb2＋rc2)13
1
1
1
＝p3 ＋q3 ＋r3 .
[分析] 看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去 构建能用到题干中已知值的式子．
(1)无理数指数幂有的不是实数．
(2)指数幂 ax(a>0)中的 x 只能是有理数．
(3)(3 2) 2＝9.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] (1)无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确； (2)指数幂 ax(a>0)中的 x 是任意实数，不正确； (3)(3 2) 2＝3 2× 2＝32＝9，正确，故选 B．
无理数指数幂及其运算性质-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件(人教A版2019必一)
人教A版2019必修第一册
第 4 章 指数函数与对数函数
4.1.2
无理数指数幂及其运算性质
目录
教学目标
1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.
2.理解指数幂的运算性质.
3.能进行指数幂(实数幂)的运算。
01
情景导入
情景导入
公元前5世纪，古希腊有一个数学学派名
叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕
1.414 2
1.414 3
9.738 461 907
1.414 21
1.414 22
1.414 213
1.414 213 5
1.414 213 56
1.414 213 562
…
9.738 508 928
9.738 516 765
9.738 517 705
9.738 517 736
…………
…
1.414 214
…………
…
概念讲解
由图表可以发现，当 2的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近 2时，
，这个数就是
．也就是说，5 2 是一串逐渐增大的有
理数指数幂51.4，51.41，51.414，51.4142，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5，
51.42，51.415，51.4143，…
的结果，它是一个
时意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，
那么它有什么运算性质呢？
02
无理数指数幂
概念讲解
目前我们将 ax (x＞０)中的指数x的取值范围从整数拓展到了
当指数x是
．
时，ax 的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那
么它有什么运算性质？
在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数. 类似地，也可以
人教A版高中数学必修第一册4无理数指数幂及其运算性质课件
例题讲解
例2：某种细菌在培养过程中,每15min分裂一次(由1个分裂成2个), 这种细菌由1个分裂成4096个需经过( C )
A.12h
B.4h
C.3h
D.2h
例题讲解
指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中,常常用到指数运算, 用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
课堂小结
无理数指数幂 及其运算性质
1.无理数指数幂 2.实数指数幂运算性质 3.指数幂综合练习
谢谢观看！
1.受地形影响,亚洲的河流多发源于中 部山地 、高原, 呈放射 状流向 周边的 海洋,源 远而流 长 2.季风气候雨热同期,有利于农业生产, 但是降 水很不 稳定,容 易发生 旱涝灾 害。
3.亚洲各种气候类型中,影响范围最大 的是温 带大陆 性气候;降水最 多的是 热带雨 林气候 。 4.亚洲地跨寒温热三带,且气候复杂多 样,除温 带海洋 性气候 和热带 草原气 候之外, 世界上 各种气 候在亚 洲都有 分布。 5.综合思维是地理学基本的思维方法, 指人类 具备的 全面、 系统、 动态地 认识地 理事物 和现象 的思维 品质与 能力。 6.人地协调观是地理学和地理教育的 核心观 念,指人 们对人 类与地 理环境 之间形 成协调 关系的 必要性 和可能 性的认 识、理 解和判 断。 7.能够理解人们对人地关系认识的阶 段性表 现及其 原因;能 够结合 现实中 出现的 人地矛 盾的实 例,分析 原因,提 出改进 建议。 8.中东地区气候以热带沙漠气候为主, 终年高 温,太阳 辐射强 。白色 服装对 太阳辐 射的反 射作用 强,吸收 热量较 少,所 以阿拉 伯人传 统服装 是白色 的缠头 巾和宽 大的白 色长袍 。
人教A（2019版）高一上
高中数学(新人教A版)必修第一册：无理指数幂及其运算【精品课件】
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
…
指数幂的运算法则
由上可以看出：5 2 可以由 2 的不足近似 值和过剩近似值进行无限逼近。
2.指数幂的运算法则是：
(1) ar as ars (a 0, r, s R);
1
m2＋1 [(m2)4＋(－1)0＝m2＋1.]
探究新知
无理数指数幂
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数) 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无
理数指数幂．
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一 个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指 数幂
当堂达标
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
[答案]A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；( a－1)0＝1，若成立， 需要满足 a≠1，故选 A.]
2．把根式 a a化成分数指数幂是( )
＝－1ac－1＝－ a .
3
3c
(3)原式＝2a
1 3
÷(4a
1 6
b
1 6
)·(3b
3 2
)＝1a
1 -1 36
-1
b6
3
·3b 2
＝3a
1 6
ห้องสมุดไป่ตู้
4
b3
)
[答案] (1)× (2)× (3)×
2
2．45等于( )
…
指数幂的运算法则
由上可以看出：5 2 可以由 2 的不足近似 值和过剩近似值进行无限逼近。
2.指数幂的运算法则是：
(1) ar as ars (a 0, r, s R);
1
m2＋1 [(m2)4＋(－1)0＝m2＋1.]
探究新知
无理数指数幂
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数) 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无
理数指数幂．
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一 个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指 数幂
当堂达标
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
[答案]A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；( a－1)0＝1，若成立， 需要满足 a≠1，故选 A.]
2．把根式 a a化成分数指数幂是( )
＝－1ac－1＝－ a .
3
3c
(3)原式＝2a
1 3
÷(4a
1 6
b
1 6
)·(3b
3 2
)＝1a
1 -1 36
-1
b6
3
·3b 2
＝3a
1 6
ห้องสมุดไป่ตู้
4
b3
)
[答案] (1)× (2)× (3)×
2
2．45等于( )
【新教材精创】412无理数指数幂及其运算性质课件(2)-人教A版高中数学必修第一册(共18张PPT)
1
解:(1)将 2
-
1 2
5的两边平方,
得a+a-1+2=5,即a+a-1=3. (2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9, 即a2+a-2=7. (3)设y=a2-a-2,两边平方,得
y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
所以 y=±3 5,即 a2-a-2=±3 5.
(3)2 3 a ÷4 6 a· b ·3 b3.
解：(1)原式＝(0.33)
1
3－
5 22
1 2
＋(44)
3 4
＋(2
3 2
)
2 3
－1＋1＝
3
0.3－5＋43＋2－1＋1＝64 7 .
2
3
15
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－1a－3－(－4)b－2－(－2)c－1 3
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
∵a＜b，∴a－b＝－6 3.
③
11
1
a 2 -b2
将②③代入①，得 1 1
a2 b2
12 - 2 92
＝ -6 3
＝－
3. 3
人教版必修上册
解:原式=
25 4
3
27 + 4
8
10620500-1=52
3 2
+
12-1=12.
题型分析 举一反三
题型一 指数幂的运算性质化简求值
例 1 化简求值
(1)0.027
1 3
－
614
1
3
高中数学第四章指数函数与对数函数无理数指数幂及其运算性质课件新人教A版必修第一册
1ห้องสมุดไป่ตู้
2
2+
1
2
5
2
＝a .
3
2
3
4
2 3
+
3 2
13
6
(2)原式＝ a · a ＝ a = a .
2
3
3
2
(3)原式＝a · a = a
(4)原式＝ a
1
3
2
·
＝a .
1
2
ab3 2 ＝a3
1
2
3
2
·a ·b =a
2 1
+
3 2
3
2
7
6
3
2
·b ＝a ·b .
方法归纳
根式与分数指数幂互化的2个策略
巩固训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是(
助 学 批 注
批注❶ 求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.
批注❷ 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负
数．
批注❸ 正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方
根．
批注❹ 分数指数幂是根式的一种表示形式，分数指数不能随意约
2
−4
1
2
分，如(－3) 约分后为(－3) ＝ −3，而 −3在实数范围内是无意义
方法归纳
根式化简或求值的策略
巩固训练1 (1)下列各式正确的是(
4
3
3
A．( a) ＝a
B．( 7)4＝－7
6 6
5
5
C．( ) ＝|a|
D． a ＝a
)
答案：A
解析：(
3
4
a)3＝a，(
7)4＝7，( 5
2
2+
1
2
5
2
＝a .
3
2
3
4
2 3
+
3 2
13
6
(2)原式＝ a · a ＝ a = a .
2
3
3
2
(3)原式＝a · a = a
(4)原式＝ a
1
3
2
·
＝a .
1
2
ab3 2 ＝a3
1
2
3
2
·a ·b =a
2 1
+
3 2
3
2
7
6
3
2
·b ＝a ·b .
方法归纳
根式与分数指数幂互化的2个策略
巩固训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是(
助 学 批 注
批注❶ 求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.
批注❷ 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负
数．
批注❸ 正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方
根．
批注❹ 分数指数幂是根式的一种表示形式，分数指数不能随意约
2
−4
1
2
分，如(－3) 约分后为(－3) ＝ −3，而 −3在实数范围内是无意义
方法归纳
根式化简或求值的策略
巩固训练1 (1)下列各式正确的是(
4
3
3
A．( a) ＝a
B．( 7)4＝－7
6 6
5
5
C．( ) ＝|a|
D． a ＝a
)
答案：A
解析：(
3
4
a)3＝a，(
7)4＝7，( 5
无理指数幂及其运算性质课件高一上学期数学人教A版
21
11
15
(1) (2a3b2 ) (6a2b3 ) (3a6b6 );
(2)
1
(m4
3
n8
)8；
(3)（3 a2 - a3） 4 a2 .
21
11
15
解： (1) (2a 3b2 ) (6a 2b3 ) (3a 6b6 )
＝[2×(－6)÷(－3)]
a
2 3
1 2
1 6
b
1 2
1 3
5 6
＝4ab0 ＝4a.
…
5 2 的近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736
…
2 的不足近似值 1.4 1.41
归纳总结
有理数指数幂的运算性质：
（1） aras ars (a 0, r, s Q) ； （2） (ar )s ars (a 0, r, s Q) ；
（3） (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q) .
例题
课本106页
例 2：求值：
2
（1）83 ;
（2）(16
)
3 4
.
81
b 4)
2 3
1(
5 3
)
3 2
a0b2
=
3 2
b2
.
答案：A
3．计算：
－338
2 3
＋(0.002)
1 2
－10(
5－2)－1＋(
3－
2)0.
4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
网络上盛极一时的数学恒等式“ <
1.0130 ≈ 1.35<
>
m
>
/m
， 1
m
<
>.01365 ≈ 37.8<
>， <
/m
1.01730 ≈ 1427.6<
>
m
>”
/m
形象地向我们展示了通过努力每天进步 <
1%<
>
m
>，就会在一
/m
个月、一年以及两年后产生巨大差异.虽然这是一种理想
化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和
的值，视察变化趋势；
x
1
（2）x 取正实数，使得 x 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 ( x R )
的值，视察变化趋势.
2
解:（1）
由此可以看出，x 取负实数，使得 |x| 的值逐渐增大并趋向于无穷大时, 2 x趋向于0.
课堂练习
解：（2）
由此可以看出，x
取正实数，使得 x 的值逐渐增大，当 x 的值趋向于无穷
9.738 517 862
1.414 213 562
9.738 517 736
1.414 213 563
9.738 517 752
…
…
…
…
探究新知
通过视察，可以发现：
⟶ 2⟵
5 ⟶ ⟵ 5
A是一个确定的数，就是5 2
可以发现，当 2 的不足近似值 x 和过剩近似值 y 逐渐逼近 2 时，5 x 和5 y 都
时间累积的力量”.
上面我们将 a x (a 0) 中指数x的取值范围从整数拓
1.0130 ≈ 1.35<
>
m
>
/m
， 1
m
<
>.01365 ≈ 37.8<
>， <
/m
1.01730 ≈ 1427.6<
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m
>”
/m
形象地向我们展示了通过努力每天进步 <
1%<
>
m
>，就会在一
/m
个月、一年以及两年后产生巨大差异.虽然这是一种理想
化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和
的值，视察变化趋势；
x
1
（2）x 取正实数，使得 x 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 ( x R )
的值，视察变化趋势.
2
解:（1）
由此可以看出，x 取负实数，使得 |x| 的值逐渐增大并趋向于无穷大时, 2 x趋向于0.
课堂练习
解：（2）
由此可以看出，x
取正实数，使得 x 的值逐渐增大，当 x 的值趋向于无穷
9.738 517 862
1.414 213 562
9.738 517 736
1.414 213 563
9.738 517 752
…
…
…
…
探究新知
通过视察，可以发现：
⟶ 2⟵
5 ⟶ ⟵ 5
A是一个确定的数，就是5 2
可以发现，当 2 的不足近似值 x 和过剩近似值 y 逐渐逼近 2 时，5 x 和5 y 都
时间累积的力量”.
上面我们将 a x (a 0) 中指数x的取值范围从整数拓
无理指数幂及其运算性质课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
则
x
n
a
•••• (n为奇数），
n a•••(a 0，n为偶数）.
(2)••(n a )n a .
(3) 当n为奇数时，n an a .
当n为偶数时，n
an
|a|
a a
(a 0)， (a 0).
3. 分数指数幂
m
a n n a m (a 0，m，n N*，且 n 1)
m
a n
2
2 1 2
5
a 2 3a6
6
a5
.
a2 a3
巩固练习 3.化简或求值：
1
(1)0.00814
3
(4 4
)2
(2
4
2) 3
160.75
解：
1
0.00814
3
(4 4
)2
(2
4
2) 3
160.75
=(0.34)
1 4
+4
3 2
+
1
(2 22
4
)3
(24
)
3 4
=0.3+ 1 + 1 1 =0.55 848
4.1.2 无理数指数幂及其运算
复 习：
1. 根式
定义：如果 xn = a（n>1,且n∈N* ），
那么 x 叫做 a 的 n 次方根 .
记作 x n a (n为奇数），或 n a (a 0，n为偶数）.
式子 n a 叫根式，
n 叫根指数 ，a 叫被开方数.
2. 根式的性质：
（1）若 xn a ，
1、计算下列各式
1
1
1
1
(1)
a
2 1
4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件高一上学期数学人教A版
第四章 指数函数与对数函数
指数 无理数指数幂及其运算性质
互动探究
讲授新课
当堂练习
课堂小结
我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 我们规定，正数的负分数指数幂的意义
我们规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用
aras ars a 0，r，s Q；
ar s ars a 0，r，s Q；
abr arbr a 0，b 0，r Q.
常见形式：
例1 求值： 解：
例1 求值：
解：
总结：（1）用分数指数幂的形式来表示根式，往往会简 化根式的运算。 （2）运算时尽量化为同底数的幂，即便个项不能 都化为相同的底数，也要尽可能减少底数的种类。
无理数指数幂
三、用指数幂的形式表示根式
谢谢收看
因为喜欢而学习 因为通透而热爱！ 让我们一起加油
近似值
整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用，即 对于任意实数r,s 均有下面的运算性质．
aras ars a 0，r，s R；
ar s ars a 0，r，s R；
abr arbr a 0，b 0，r R.
一、有理数指数幂逼近无理数指 数幂
二、实数指数幂的运算性质
实数
有理数
整数 分数
有限小数 无限循环小数
无理数
无限不循环小数
…
1、、、1.111…
1 1.1
1.4
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
一种通用的方式：
、、、、、、…
的不足近似值x 1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213 …
近似值
指数 无理数指数幂及其运算性质
互动探究
讲授新课
当堂练习
课堂小结
我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 我们规定，正数的负分数指数幂的意义
我们规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用
aras ars a 0，r，s Q；
ar s ars a 0，r，s Q；
abr arbr a 0，b 0，r Q.
常见形式：
例1 求值： 解：
例1 求值：
解：
总结：（1）用分数指数幂的形式来表示根式，往往会简 化根式的运算。 （2）运算时尽量化为同底数的幂，即便个项不能 都化为相同的底数，也要尽可能减少底数的种类。
无理数指数幂
三、用指数幂的形式表示根式
谢谢收看
因为喜欢而学习 因为通透而热爱！ 让我们一起加油
近似值
整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用，即 对于任意实数r,s 均有下面的运算性质．
aras ars a 0，r，s R；
ar s ars a 0，r，s R；
abr arbr a 0，b 0，r R.
一、有理数指数幂逼近无理数指 数幂
二、实数指数幂的运算性质
实数
有理数
整数 分数
有限小数 无限循环小数
无理数
无限不循环小数
…
1、、、1.111…
1 1.1
1.4
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
一种通用的方式：
、、、、、、…
的不足近似值x 1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213 …
近似值
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1
＝k3
，
所证等式右边＝(ak3)13
＋(bk3)13
＋(ck3)13
1
＝k3
(a1＋b1＋1c)＝k13
.
1
1
1
1
∴(pa2＋qb2＋rc2)3 ＝p3 ＋q3 ＋r3 .
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
1
1
＝(1－a)(a－1)－1·(－a)4 ＝－(－a)4 .
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
课堂检测·固双基
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
[解析]
(1)原式＝(π
) 3－ 3 2 2
3＝(π 23)2
3＝π3.
ππ
π
(2)原式＝(m3 －6 )12＝(m6 )12＝m2π.
题型二 指数幂运算的综合应用
1
1
例 2 已知 a2 ＋a－2 ＝3，求下列各式的值．
3
3
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a21
－a－2
1
.
a2 －a－2
[分析] 利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．
1
1
[解析] (1)将 a2 ＋a－2 ＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9，
即 a＋a－1＝7.
(2)将 a＋a－1＝7 两边平方，有 a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.
3
(3)由于 a2
3
－a－2
1
＝(a2
1
)3－(a－2
•知识点2 实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R) • (1)aras＝_____a_r＋__s _.(2)(ar)s＝__a_r_s ___.(3)(ab)r＝a_r_b_r_____.
• 思考2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？ • 提示：
基础自测
1．下列说法正确的个数是( B )
第四章
指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
必备知识·探新知
基础知识 •知识点1 无理数指数幂
• 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是_____一__个__确__定__的__实__数_.
思考 1：2 2一定是实数吗？ 提示：根据无理指数幂的定理 2 2是实数．
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
[证明] 令 pa3＝qb3＝rc3＝k，
则 pa2＝ak，qb2＝bk，rc2＝kc；p＝ak3，q＝bk3，r＝ck3.
∴所证等式左边＝(ak＋bk＋kc)13
＝[k(1a＋1b＋1c)]13
1
[错因分析] 忽略了题中有(－a)2 ，即相当于告知－a≥0，故 a≤0，
1
这样，[(a－1)－2]2 ≠(a－1)－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算
法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．
1
[正解] 由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
1
1
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2 ＝(1－a)(1－a)－1·(－a)4 ＝(－a)4 .
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
素养作业·提技能
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT ) 4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
π 2π
π
(2)原式＝a6 ＋ 3 －π＝a－6 .
• [归纳提升] 关于无理数指数幂的运算
• (1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．
• (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根 式可以保留．
【对点练习】❶ 计算下列各式：
(1)
π
3
2
π
3
3；
π
π
(2)(m3 m－6 )12.
学科素养
用换元法处理指数幂中的化ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与证明问题
例 4 已知 pa3＝qb3＝rc3，且1a＋1b＋1c＝1.求证：(pa2＋qb2＋rc2)13
1
1
1
＝p3 ＋q3 ＋r3 .
[分析] 看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去 构建能用到题干中已知值的式子．
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
又 x－y＝6，xy＝16， ∴(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy＝62＋4×16＝100. ∴x＋y＝10 或 x＋y＝－10. 当 x＋y＝10 时，原式值为10－62×4＝3， 当 x＋y＝－10 时，原式值为－10－6 2×4＝－31.
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
(1)无理数指数幂有的不是实数．
(2)指数幂 ax(a>0)中的 x 只能是有理数．
(3)(3 2) 2＝9.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] (1)无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确； (2)指数幂 ax(a>0)中的 x 是任意实数，不正确； (3)(3 2) 2＝3 2× 2＝32＝9，正确，故选 B．
[方法点拨] 在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条
件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求．
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
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4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
误区警示
因忽略幂底数的范围而导致错误
11
1
例 3 化简(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2 ＝____(_－__a_)4_____.
11
[错解] (1－a)[(a－1)－2·(－a)2 ]2
ππ
π
2．a3 a6 ＝___a_2___.
3．(mn ) 3＝____n_3_m_－__3___.
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 无理数指数幂的运算
例 1 计算下列各式：
(1)(3 23 2 2)3 2；
π 2π
a6 a 3 (2) aπ .
[解析] (1)原式＝(3 2×2 32)3 2＝36×22＝2 916.
3
)3，所以有a21 a2
3
－a－2
1
－a－2
1
1
1
1
＝a2
－a－2
a＋a－1＋a2
1
1
·a－2
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
a2 －a－2
[归纳提升] (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已
知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条
1
1
件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过 a2 ＋a－2 ＝3 解出 a
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )
• [归纳提升] 1.对于“连等式”，常用换元法处理．如本例，我们可令
它等于一个常数k，然后以k为媒介化简，这样使问题容易解决．
• 2．换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一 致，关键时候还要检验．
的值代入求值，则非常复杂．
• (2)解决此类问题的一般步骤是
1
1
x2 ＋y2 【对点练习】❷ 已知 x－y＝6，xy＝16，求 1 1 的值．
x2 －y2
[解析]
1
1
1
1
1
1
x2 ∵1
＋y2
1
＝x2
＋y2
1
x2
1
－y2
x2 －y2
x2 －y2 2
＝
x－y 1 ，
x＋y－2xy2
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 7张PPT )