第 12 章 静电场

矢量式：
q1q2 F =k er 2 r q1q2 =k 3 r r
令 则
q1
q2
r
er
4πε 0 q1q2 F= e 2 r 4πε0 r
为真空介电常数
k=
1
1 = 8.851 × 10−12 C2 /N ⋅ m 2 ε0 = 4πk
二、电力叠加原理
设有n个点电荷组成的点电荷系，点电荷 受到其他点电荷
12.2 库仑定律 电力叠加原理
一、库仑定律
1785年，库仑对电荷间的电力相互作用进行了 定量研究。 在真空中，两个静止点电荷间的相互作用电力的方向沿着 它们的连线；同号电荷相斥，异号电荷相吸；其大小与它 们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
可表示为：
q1q2 F =k r2
k：静电力常数
Φe =
∫∫
S
E ⋅ dS =
1
εo
∑q
i =1
n
i
验证高斯定理： 1. 点电荷在球形高斯面的圆心处 E dS
dq e 2 r 4 0 r
o
x
θ
r
P
dE
x
z
Q
dE x = dE cos θ dE⊥ x = dE sin θ
由对称性分析知 垂直x 轴的场强为0
E Ex i
E Ex i
E = Ex =
dq
y
r
R
∫ ( ) 4π ε
Q
dq
0r 2
cos θ
o
θ
x
x
x cos θ = cos θ r = dq 2 4πε0 r (Q )
教材：
《大学物理教程》 交大物理教研室编 交大出版社
参考教材
（1）《大学物理教程 》 吴锡珑编 （2）《大学物理学》 高教出版社 张三慧编 清华大学出版社
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x
Q L
x a
P
Qdx = dE = 2 4πε0 x 4πε0 Lx 2 a+ L Qdx Q E = ∫ dE = ∫ = 2 4πε0 Lx 4πε0 a (a + L) a
P点的电场强度沿x轴负方向
dq
[例12-3] 均匀带电圆环轴线上的场 解：在圆环上任取电荷元dq
y dq
R
dE
E = E 平面 + E 圆盘 σ ( −σ ) x (1 − )i = i+ 2 2 2 ε 2ε 0 x +R 0 x σ σ x i = (1 − ) E= 2 2 2 2 2ε 0 x + R 2ε 0 x +R
[练习] 真空中一半径为R的均匀带电球面,总电量为q (q＜0)。今在球面面上挖去非常小的一块面积∆S (连同 电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去∆S后球 心处的电场强度大小和方向。
z
E= 4π ε 0 x + R
2
∫
(
xQ
2 32
)
若
x >> R
Q Q ≈ E≈ 2 2 4π ε 0 x 4π ε 0 r
点电荷
[例12-4] 有一均匀带电的薄圆盘，半径为R，面电荷密度 为 σ 。求圆盘轴线上任一点的场强。 解： 利用[例12-3]结果
E=
dr r R
Q → dq = σ 2πrdr R→r
σ x (1 − ) = 3 2 2 2 ε x + R 2 2 2 0 (x + r ) σ
rdr
E= 2ε 0
dr r
dE
P x
R
—点电荷的场！
[练习] 求图示电荷分布在P点的电场强度。 解：用补偿法求解 在圆孔处填补 ± σ 的电荷分布
+ σ 的无限大平面和 − σ 的圆盘

R x
.
P
二、电场强度
描述场中各点电场的强弱变化的物理量— 电场强度 试验电 （1）（正）点电荷—可以准确测量电场的分布 荷条件 （2）电量足够小—不显著地影响电场的分布 把试验电荷放到电场中 任意场点，测量受力情 况，试验表明： 定义电场强度： （1）受力与位置（场点）有关
（2）比值 F E= q0
θ1 =
π
θ2 = π
y d θ1 L
θ2
x
3. p点在直线上或在直线的延长线上，不可 使用上述公式，要具体分析。
[例12-2] 如图所示,真空中有一电荷均匀分布的细直棒, 带电量为Q(Q＞0),长为L。求在棒的延长线的 一端为a的P点处的电场强度(大小及方向) 。
dx
解： dq在P点产生的电场 强度的大小为:
en ——面元的法向单位矢量
把曲面分成许多个面积元，每一 面元处视为匀强电场
非匀强电场
dΦ = E ⋅ dS
对整个曲面积分，即得：
θ
dS
e nE
ΦΦ = ∫∫ d =
∫∫
S
E ⋅ dS
讨论： 1.
dΦ = E ⋅ dS 的正、负取决于面元
的法线方向与电场强 度方向的关系
F
与试验电 q0 荷无关
电场强度的方向为正电荷所受电场力的方向。
讨论: •静电场为矢量场：
E = E ( x, y , z )
N ⋅C
-1
•电场强度单位：国际单位制
或： V ⋅ m
-1
•定义电场强度后，点电荷（q）处于外场中时受 电场作用力：
F = qE
三、点电荷电场的电场强度
根据库仑定律，
q σ= 4πR 2 EO = E球面补 +E E补 = k
E球面 = 0
σ∆S
R
2
方向背向小面积元
12.3 高斯定理
描述电场的两种方法：电场线和电通量。
一、电场线
（1）曲线上各点的切线方向都与该点处的场强方向一致 （2）电场线密度
dN E= dS
EP
Q P
EQ
dS
dN
电场线的性质： 电场线起自于正电荷或无穷远，止于负电荷 或无穷远 ，没有电荷处不中断； 对于静电场不可能出现单一绕向的闭合电场线。 两条电场线不会相交，不能相切。
y
q dq = dx = λ dx L
dE = dq 4πε0 r 2
dE
dE y
P d o
dE x
λ dx E x = ∫ dE x = ∫ dE cos θ = ∫ cos θ 2 4πε0 r λ dx E y = ∫ dE y = ∫ dE sin θ = ∫ sin θ 2 4πε0 r
dE x = dE cos θ dE y = dE sin θ
q1
q2
q2 受到的电场力为 q1q2 F= e 2 r 4πε0 r
根据电场强度的定义有 球对称
r
er
F q1 = E= e 2 r q 2 4πε0 r
E ( x, y , z ) = E ( r )
E (r)
= const. r =c
四、点电荷系电场的电场强度
设源电荷是有 n 个点电荷 则在场中 P 处的场强：
q
qi
作用的总电力为
F = ∑ Fi =
i
qqi ∑ 2 ei 4πε0 i ri 1
qi
q
ri
§12.3 电场强度
一、电场 静电场 两种观点：超距作用与近距作用
电荷 注意： •处于电场中的任何电荷都将受到电场力的作用 •当电荷相对于观测者运动时，电场是变化的 •相对于观察者静止的电荷产生的电场—静电场 电场 电荷
θ1
r
x
θ
dx
θ2
x
d r= sin θ
λdx Ex = ∫ cos θ 2 4πε0 r
x = −d cot θ
y
dE
dE y
P d o
dE x
d dx = dθ 2 sin θ
θ2
θ1
r
x
θ
dx
θ2
x
λ λ cos θdθ = (sin θ 2 − sin θ1 ) Ex = ∫ θ1 4πε d 4πε0 d 0 θ2 λ λ sin θdθ = (cos θ1 − cos θ 2 ) Ey = ∫ θ1 4πε d 4πε0 d 0
q1, q2, qn
F = i E= q0 q0 n n = ∑ Ei = ∑
i =1 i =1
∑
n
Fi
qi
P
ri
qi 4π ε0 ri
e 2 i
这一结论称为场强叠加原理
五、任意带电体的场强
若为电荷连续分布的带电体，如图所示 可以把带电体切割成无穷多个电荷 元，每个电荷元可看作点电荷：
二个上夸克及一个下夸克所构成的质子
∑q
i
i
= const.
2 e 3 1 − e 下夸克带电： 3
上夸克带电：
（4）电荷运动不变性，即具有相对论不变性
（5）点电荷模型
当带电体的大小和形状可以忽略时 —点电荷—与带电体电量相同 r P l l<<r (a) 点电荷的实验基础：
.
r (b)
.P
（1）质子的散射实验表明质子线度<10-15m （2）电子对撞实验表明电子线度<10-18m
答疑安排 时间：周四下午 2：00—4：00 晚上 6：00—8：00 地点：上-207 成绩构成 平时成绩：30％，包括平时作业、课堂练习、 网上提问等。 期终考试：70％。