基本不等式-PPT教学课件人教A版高中数学
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基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件
函数的最小值为 4.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
练习
1、若x 0，求f ( x) 12 3x的最小值 x
2、已知x 0，y 0，求证 x y 2 yx
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
2.基本不等式 基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件 （均值定理）
如果a 0, b 0，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时，取""号)
我们把 a b 叫做正数a, b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a, b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
解：∵ x 0
x
x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 ,即x 1时，原式有最小值 2 x
变式、已知x 0，求x 1 的最值 x
解：∵ x 0， x 0
x 1 [( x) 1 ] 2 ( x) 1 2
x
( x)
( x)
运用均当且值仅不当等式x 的1过,程即x中，1时a、，b原必式须有最为大“正值 数 2”．
(1)a、b均为正数;
(2)a+b与ab有一个为定值;
(3)等号必须取到。பைடு நூலகம்
以上三个条件缺一不可. “一正”、“二定”、“三相等”。
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例1、求函数y 1 x( x 3)的最小值
x3
练习:
已知x 1，求x 1 的最小值以及取得最小 值时x的值 x1
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
高中数学人教版必修5 2.2基本不等式(共27张PPT)
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
引入新课 提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个 不等式 a 2 b2 2ab ，什么时候这两部 分面积相等呢？
D GF C A HE
B
讲授新课
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a 2 b2 2ab ，当且仅当a＝b时，等号 成立.
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数； (2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值； (3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
即用均值不等式求某些函数的最值时， 应具备三个条件：一正二定三取等.
称 ab 为正数a, b的几何平均数.
a2 b2 2ab和 a b ab成立的条 2
件是不同的.
讲授新课
提问5：观察右图，你能得到不等式
ab a b (a 0, b 0)
2
D
的几何解释吗？
A
C
E
讲授新课
ab a b 2
我们常把a b 叫做正数a, b的算术平 2
讲授新课
基本不等式：
(1) 如果a, b R,那么a2 b2 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ; (2) 如果a, b是正数,那么 a b ab(当且
2 仅当a b时取“”号) ;
前者只要求a, b都是实数，而后者要 求a, b都是正数.
讲授新课
2. 我们称 a b 为正数a, b的算术平均数， 2
2.2基本不等式：
ab a b 2
引入新课 提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
2.2基本不等式(第1课时) 高中数学人教版必修一 课件(共14张PPT).ppt
追问1. 基本不等式实质上就是比较大小，以前学习的比较大小的方法都有哪些?你会用这些
方法证明基本不等式吗？ 作差法
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
ab 2
1 ( a b)2 0 2
ab
，即
ab a b 2
【师生共探，证明新知】
问题3. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨性，请
同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式？
追问2：除了以上的方法，你还能用其它的方法证明吗？
要证 只要证 要证①，只要证 要证②，只要证
2 ab a b
①
2 ab a b 0 ②
( a b)2 0 ③
要证③，只要证
( a b)2 0
④
显然，④成立，当且仅当a=b时，等号成立。
分析法（执果索因法）
a2 b2 2ab(a,b R) ，当且仅当 a b 时，等号成立。那么， 当 a 0,b 0 时，我们用 a , b 分别代替上式中的 a, b ，上述
不等关系变为什么？
a2 b2 2ab(a, b R) a b 2 ab
基本不等式 （均值不等式）
【合作交流，生成新知】
基本不等式的结构特征：
2.2 基本不等式
【创设情境，发现新知】
【地主分地的故事】 地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分
给小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？
你分这块长 方形的地
你分这块正 方形的地
【合作交流，生成新知】
问题1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个重要不等式：
【师生共探，证明新知】 问题4. 以上的方法都是从代数的角度证明的，你能从几何的角度解释基本不等式吗？
方法证明基本不等式吗？ 作差法
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
ab 2
1 ( a b)2 0 2
ab
，即
ab a b 2
【师生共探，证明新知】
问题3. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨性，请
同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式？
追问2：除了以上的方法，你还能用其它的方法证明吗？
要证 只要证 要证①，只要证 要证②，只要证
2 ab a b
①
2 ab a b 0 ②
( a b)2 0 ③
要证③，只要证
( a b)2 0
④
显然，④成立，当且仅当a=b时，等号成立。
分析法（执果索因法）
a2 b2 2ab(a,b R) ，当且仅当 a b 时，等号成立。那么， 当 a 0,b 0 时，我们用 a , b 分别代替上式中的 a, b ，上述
不等关系变为什么？
a2 b2 2ab(a, b R) a b 2 ab
基本不等式 （均值不等式）
【合作交流，生成新知】
基本不等式的结构特征：
2.2 基本不等式
【创设情境，发现新知】
【地主分地的故事】 地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分
给小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？
你分这块长 方形的地
你分这块正 方形的地
【合作交流，生成新知】
问题1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个重要不等式：
【师生共探，证明新知】 问题4. 以上的方法都是从代数的角度证明的，你能从几何的角度解释基本不等式吗？
人教A版高中数学必修第一册第二章基本不等式课件
/人A数学/ 必修 第一册
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4．若 a≥b＞0，试比较 a，
a2＋2 b2，a＋2 b， ab，1a＋2 1b，b 的大小．
解：a≥b>0，∴
a2＋b2 2≤
a2＋a2 2 ＝a，
∵a2＋b2≥2ab，
a2＋b2 a＋b ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴ 2 ≥( 2 )2.
∴a≥
a2＋b2 a＋b 2 ≥2≥
ab≥a1＋2 1b≥b.
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1．知识清单：(1)基本不等式． (2)利用基本不等式求最值的两类模型． (3)利用基本不等式判断不等关系及比较大小． 2．方法归纳：配凑法． 3．常见误区：忽略利用基本不等式求最值的条件：“一正、二定、三 相等”，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字．
(2)已知 x＞－2，求 x＋x＋162的最小值． 解：(2)因为 x＞－2， 所以 x＋x＋162＝(x＋2)＋x＋162－2≥2 (x＋2)·x＋162－2＝6. 当且仅当 x＋2＝x＋162，即(x＋2)2＝16，x＝2 时等号成立， 因此所求的最小值为 6.
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利用基本不等式判断不等关系及比较大小 已知 a＞0，b＞0，则 a＋b_≥___2 ab， ab_≤___a＋2 b.
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[例 3] (1)(多选)下列条件中能使ba＋ab≥2 成立的是(ACD)
A．ab＞0
利用基本不等式求最值的两类模型 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时， 和x＋y有最小值_2__P__；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，
2新人教A版高中数学(选修4-5)《基本不等式》ppt课件
2
基本不等式
我们已 经 学 过 重 要 不等式 a b 2ab2 Nhomakorabea2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1
如果 a, b R, 那么a b 2ab, 当
2
2
且仅当a b时, 等号成立 .
证明 因为 a b 2 ab a b 0 , 当且仅
2 2 2
a b 时等号成立 成立 .
, 所以 , 当且仅当 a b 时 , 等号
探究 你能从几何的角度解释 定理1 吗?
A
如果把实数 , b作为线段 a 长度那么可以这样来解 释定理1 :
借助几何画板 解释定理1 .
B H
I
K
b
D
G
F
a
b
J
a
C
b
E
图 1 .1 2
以 a b 为例 , 如图 1 . 1 2 , 在正方形 a ; 在正方形 S 正方形
1设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;
2 当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .
解
2
1 设 DQ
y米 , 则
D
2
H
Q
G
x 4 xy 200 ,
从而 y 200 x 4x
2
P
N F
C B
A
M E
.
于是
2
S 4200 x 210 4 xy 80 2 y
C B
M E
2 4000 x
400000 x
2
80000 ,
基本不等式
我们已 经 学 过 重 要 不等式 a b 2ab2 Nhomakorabea2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1
如果 a, b R, 那么a b 2ab, 当
2
2
且仅当a b时, 等号成立 .
证明 因为 a b 2 ab a b 0 , 当且仅
2 2 2
a b 时等号成立 成立 .
, 所以 , 当且仅当 a b 时 , 等号
探究 你能从几何的角度解释 定理1 吗?
A
如果把实数 , b作为线段 a 长度那么可以这样来解 释定理1 :
借助几何画板 解释定理1 .
B H
I
K
b
D
G
F
a
b
J
a
C
b
E
图 1 .1 2
以 a b 为例 , 如图 1 . 1 2 , 在正方形 a ; 在正方形 S 正方形
1设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;
2 当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .
解
2
1 设 DQ
y米 , 则
D
2
H
Q
G
x 4 xy 200 ,
从而 y 200 x 4x
2
P
N F
C B
A
M E
.
于是
2
S 4200 x 210 4 xy 80 2 y
C B
M E
2 4000 x
400000 x
2
80000 ,
高中数学人教A版《基本不等式》教学课件1
a b 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
AC = DC E
DC BC
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b ,CD=＿＿＿＿ 2
高中数学人教A版《基本不等式》教学 课件1
2高.2中基数本学不人等教式A-版【《新基教本材不】等人式教》A版 教（ 学 课20件19） 1 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
例 6.已 知 0x,求 函 数 ysinx 1
sinx 的 最 小 值 .
解：0x 0sinx1
ysinx 1 2 sinx 1 2
sinx
sinx
当且仅当sinxsin1x，即x2时，ymin 2
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
课堂小结
a2+1与b、2初≥本2步a节应b课用主。（要１学）习了若基a,本b∈不等R，式的那证么明
例 7 若 0 x 1 ， 求 函 数 y x ( 1 - x ) 的 最 大 值 .
人教版高中数学A版必修一2.2 基本不等式课件
提示:①AB 表示圆的直径;②������+2������表示线段 OD;③ ������������对应线段 CD; ④圆的半径大于或等于 CD,即������+2������ ≥ ������������.基本不等式的几何意义是 “半径不小于半弦”.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
人教版高中数学必修五第三章不等式基本不等式第一课时教学课件共16张PPT
合作探究，成果展示
合作探究，成果展示
合作探究，成果展示
法二 ：
合作探究，成果展示
c
【课堂小结】 本节课你的收获是什么？
【随堂检测 】
【作业布置 】
1.必做作业： 学案【巩固训练】
2.选作作业： 学案【拓展延伸】
（×）
反思总结: 使用基本不等式求最值应具备哪些条件?
利用
求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数.
（2）二定：两个正数积为定值,和有最小值. 两个正数和为定值,积有最大值.
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”, 否则会出现错误.
合作探究，成果展示
【课堂探究一】运用基本不等式求最值
。
【知识梳理】 1.基本不等式 可变形为
(1)
（当且仅当
时取等号）
;
(2)
.
2.已知 x >0,y>0,
(1)若xy=p（p为定值），则当
(2)若x+y=s（s为定值），则当
时，x+y有最 值 .
时，xy有最 值.【回顾题组来自】225
3.判断下列命题正误,错误的请说明理由.
1
1
5
5
（×）
（×） （×）
人教版高中数学必修五 第三章不等式基本不等 式第一课时教学课件共
16张PPT
2020/9/19
【学习目标】
1、准确掌握应用基本不等式求最值应具备的三个条件。
2、灵活运用基本不等式求一些函数（或代数式）的最值 。
3、体会转化与化归、消元等数学思想方法的应用。
【学习重点】运用基本不等式求最值。
【学习难点】创造条件使用基本不等式求数式的最值
人教A版高中数学必修三课件§3.3基本不等式
求最小总费用.
某粮店用一杆不准确的天平（两臂长不相等） 称大米，某顾客要购买20kg大米，售货员先 将10kg的砝码放入左盘，置大米于右盘，使 之平衡后给顾客，然后又将10kg砝码放入右 盘。置大米于左盘，平衡后再给顾客，则（） A粮店吃亏B顾客吃亏C都不吃亏D不一定
小结 使用基本不等式要注意 “一正，二定，三相等”
1）适用范围？ 2）何时取等？ 3）有何结构特征？
重要不等式
你还能将不等式进 行怎样的变形？
基本不等式
Zxxk 2）何时取等？ 3）有何结构特征？
证明基本不等式
重要不等式
基本不等式
Zxxk
说一说它们有什么异同？
试一试
例题：
积定→和最小
和定→积最大
总结
你这节课学到了那些知识？ 总要不等式 基本不等式
§3.3基本不等式
如图，这是在北 京召开的第22届 国际数学家大会 会标．会标根据 中国古代数学家 赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗 使它看上去象一 个风车，代表中 国人民热情好客。 ICM2002会标E
a
Zxxk
C
比较正方形ABCD的面积与四个直角 三角形面积和的大小
B
重要不等式
适用范围 取等条件
试一试
平方 平均数
算术 平均数
几何 平均数
调和 平均数
例6
围建一个面积为360m2的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙（利 用旧墙需维修），其他三面围墙要 新建，在旧墙的对面的新墙上要留
图3-5-1
例7
一个宽度为2m的进出口，如图3-5-1所示，已知旧墙的维 修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙 的长度为x(单位：元). （1）将总费用y表示为x的函数； （2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
由������
������
+
������=1,得������
������
������
+
������≥2
������
������ ������
·
������ ������
=
������ ,
������������
∴xy≥36.∴x+y≥2 ������������=12.
这显然是错误的,因为两个不等式中,不能同时取得“等号”,即不
剖析:应用基本不等式
������������
≤
������+������ ������
求最值的条件是“一正、二定、
三相”等,具体如下:
2. 基本不等式
一正:
a,b都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出错误的答案.
例如,当x<0时,函数f(x)=x+������������≥2 ������ × ������������=2,所以函数f(x)的最小值是2.由于f(-2)=-2+−������������=-������������<2, 那么显然这是一个错误的答案.其原因是当x<0时,������<0,不符合基本不等式中a,b均为正数.
4. 例题学习
解析:∵a>0,b>0,a≠b,∴������+������
������
>
������������,
∵a2+b2>2ab,∴
������������+������������ ������
>
������������,
∴选项A,B,C中, ������������最小.
人教版高中数学必修一《基本不等式》PPT课件
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1．基本不等式的内容是什么？
2．基本不等式成立的条件是什么？
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栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式(x－2y)＋x－12y≥2 成立的前提条件为(
)
A．x≥2y
B．x>2y
C．x≤2y
D．x<2y
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x＋（21－x）2＝122＝14，当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时“＝”
《基本不等式》人教A版高中数学实用课件
(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 方法一：因为 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24， 所以 l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48. 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由x2yx＝＝234y， 解得xy＝ ＝64，. 故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
• (2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
• [分析] (1)已知a＋b为定值，可用基本不等式求ab的最大值． • (2)已知ab为定值，可用基本不等式求a＋b的最小值．
[解析] (1)设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知：4x＋6y＝36， 即 2x＋3y＝18.
2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】 人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 (共28 张PPT)
2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】 人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 (共28 张PPT)
学科素养 • 基本不等式求最值 • 基本不等式在解决数学问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的
方法二：由 2x＋3y＝18，得 x＝9－32y. 因为 x>0，所以 9－32y>0，所以 0<y<6，S＝xy＝(9－32y)y＝32(6－y)·y. 因为 0<y<6，所以 6－y>0，所以 S≤32·[6－2y＋y]2＝227. 当且仅当 6－y＝y 即 y＝3 时等号成立，此时 x＝4.5. 故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大．
当且仅当 2t＝1t ，
即
t＝
22时，y
有最大值为
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