高考数学总复习基础知识第二章第十五节用导数解决生活中的优化问题理

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苏教版高中数学选修(2-2)-1.4利用导数解决生活中的优化问题1

利用导数解决生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为生活中的优化问题。

导数是解决优化问题的有力工具，利用导数解决优化问题的主要步骤为：1．建立优化问题的数学模型，写出优化问题中变量间的函数关系式，确定函数的定义域；2．求函数的导数ｆ'(x)，解方程ｆ'(x)=0，求出极值点；3．比较函数在区间端点和在极值点的取值大小，确定其最大（小）者为最大（小）值；4．检验所得结果是否符合问题的实际意义。

其中，关键在于如何建立优化问题的数学模型。

什么是数学建模？当人们面对一个实际问题时，不是直接就现实材料本身寻找解决问题的办法，而是经过一番必要而且合理的假设和简化，恰当地运用数学语言、方法去近似地刻划实际问题，得到一个数学结构（数学模型），通过数学上的结构揭示其实际问题中的含义，合理地返回到实际中去，这个过程就称为数学建模。

数学建模的全过程应该包括：（1）分析问题：了解问题的实际背景，掌握第一手资料。

（2）假设化简：根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述。

（3）建立模型：在假设的基础上利用适当的数学工具、数学知识，来刻划变量之间的数量关系，建立其相应的数学结构。

（4）求解并检验模型：对模型求解，并将求解结果与实际情况相比较，以此来验证模型的准确性。

例：（2005年全国卷Ⅲ文）用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如下图),问:该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：（1）读题：把“问题情境”翻译为数学语言，找出问题的目标与条件的关系因为焊接而成的容器为长方体，所以求容器的容积最大即为求长方体的体积最大，而长方体的高x满足0<x<24条件。

（2）建模：设容器的高为xcm,，容器的体积为V(x)cm3，则V(x)=x（90-2x）（48-2x）=4x3-276x2+4320x (0<x<24) （3）求解：∵V'(x)=12 x2-552x+4320由V'(x)=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36 (舍去）当0<x<10 时，V'(x)>0, 那么V(x)为增函数；当10<x<24时，V'(x)<0, 那么V(x)为减函数；所以,在定义域（0，24）内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=1960（cm3）答：当容器的高为10cm时,容器的容积最大，最大容积是1960（cm3）由此例可知，要完成数学建模这一过程，必须过三关：1．事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件；2．文理关：需要将“问题情境”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系；3．数理关：在构建数学模型的过程中，要求有对数学知识的检索能力，认定或构建相适应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，此后解答过程也需要较扎实的基础知识和较强的数理能力。

高考数学总复习第二章第十五节用导数解决生活中的优化问题课件文

大利润是多少？(利润＝收入－成本)
思路点拨：根据题意，列出利润的函数关系式，进而可用导数(dǎo shù)求最值的方法进行求解．
第八页，共43页。
解析：每月生产
x
吨时的利润为
f(x)＝24
200－51x2x－(50
000＋
200x)＝－15x3＋24 000x－50 000(x≥0)．
由 f′(x)＝－35x2＋24 000＝0，解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)．
zhí)点 (3)比较函数在_区__间__端__点___和__极__值__点__的函数值的大小，获得所求函数的最大(小)值； (4)还原到实际(shíjì)问题中作答．
第四页，共43页。
基础(jīchǔ) 1．以自长测为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为
A．10
B．15
C．25
第十六页，共43页。
解析：由题意得，总成本函数为 C＝C(x)＝20 000＋100x，所以总利润函数为 P＝P(x)＝R(x)－C(x)＝ 300x－x22－20 000，0≤x≤400， 60 000－100x，x>400，而 P′(x)＝3－001－00x，，x0>≤40x0≤，400，令 P′(x)＝0，得 x＝ 300，易知 x＝300 时，P 最大．答案：300
②当
20<t≤30
时，由
Q(t)>6Fra bibliotek300⇒
70 3
<t<30
⇒
t
＝
24,25,26,27,28,29；
③当 30<t≤40 时，Q(t)<Q(30)＝6 300.
综上所述，第一批产品 A 上市后，在第 24,25,26,27,28,29 天，

学高中数学导数及其应用生活中的优化问题举例教师用书教案新人教A版选修

３.４生活中的优化问题举例学习目标核心素养１．了解导数在解决实际问题中的作用.２．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．（重、难点）借助导数解决实际问题，提升数学建模、数学运算的素养.１．生活中的优化问题（１）生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．（２）用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．２．用导数解决优化问题的基本思路１．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝—错误! x３＋8１x—２３４，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）Ａ．7万件Ｂ．9万件Ｃ．１１万件Ｄ．１３万件B[设y＝f（x），即f（x）＝—错误!x３＋8１x—２３４，故f′（x）＝—x２＋8１．令f′（x）＝0，即—x２＋8１＝0，解得x＝9或x＝—9（舍去）．当0<x<9时，f′（x）>0，函数y＝f（x）单调递增；当x>9时，f′（x）<0，函数y＝f（x）单调递减．因此，当x＝9时，y＝f（x）取最大值．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]２．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：℃）为f（x）＝错误!x３—x２＋8（0≤x≤５），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（）Ａ．8 Ｂ．错误!Ｃ．—１Ｄ．—8C[由题意，f′（x）＝x２—２x＝（x—１）２—１，∵0≤x≤５，∴x＝１时，f′（x）的最小值为—１，即原油温度的瞬时变化率的最小值是—１．]３．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝错误!x３—错误!x２—４0x（x>0）．为使耗电量最小，则速度应定为__________．４0 [y′＝x２—３9x—４0，令y′＝0，即x２—３9x—４0＝0，解得x＝４0或x＝—１（舍）．当0<x<４0时，y′<0，当x>４0时，y′>0，所以当x＝４0时，函数y＝错误!x３—错误!x２—４0x有最小值．]面积、体积的最值问题小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图所示）．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨] 错误!―→错误!―→错误!―→错误![解] 设容器的高为x cm，容器的容积为V（x）cm３，则V（x）＝x（90—２x）（４8—２x）＝４x３—２76x２＋４３２0x（0＜x＜２４）．所以V′（x）＝１２x２—５５２x＋４３２0＝１２（x２—４6x＋３60）＝１２（x—１0）（x—３6）．令V′（x）＝0，得x＝１0或x＝３6（舍去）．当0＜x＜１0时，V′（x）＞0，即V（x）单调递增；当１0＜x＜２４时，V′（x）＜0，即V（x）单调递减．因此，在定义域（0,２４）内，函数V（x）只有当x＝１0时取得最大值，其最大值为V（１0）＝１9 600（cm３）．因此当容器的高为１0 cm时，容器的容积最大，最大容积为１9 600 cm３.１．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．２．实际问题中函数定义域确定的方法（１）根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；（２）根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．错误!１．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．错误![设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝２πr２，S圆柱侧＝２πrh，∴圆柱的表面积S＝２πr２＋２πrh.∴h＝错误!.又圆柱的体积V＝πr２h，＝错误!（S—２πr２）＝错误!，V′（r）＝错误!，令V′（r）＝0得S＝6πr２，∴h＝２r，因为V′（r）只有一个极值点，故当h＝２r时圆柱的容积最大．此时，S＝２π×错误!＋πh２，∴h＝错误!.]用料（费用）最省问题筑物要建造可使用２0年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝错误!（0≤x≤１0），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和．（１）求k的值及f（x）的函数解析式；（２）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．[思路点拨] 代入数据求k的值⇒建造费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f（x）⇒利用导数求最值．[解] （１）设隔热层厚度为x cm，由题设可知，每年能源消耗费用为C（x）＝错误!，再由C（0）＝8，得k＝４0，因此C（x）＝错误!，而建造费用为C１（x）＝6x.最后得隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和为f（x）＝２0C（x）＋C１（x）＝２0×错误!＋6x＝错误!＋6x（0≤x≤１0）．（２）f′（x）＝6—错误!，令f′（x）＝0，即错误!＝6，解得x＝５，x＝—错误!（舍去），当0<x<５时，f′（x）<0，当５<x<１0时，f′（x）>0，故x＝５时，为f（x）的最小值点，对应的最小值为f（５）＝6×５＋错误!＝70．当隔热层修建５cm厚时，总费用达到最小值70万元．解决优化问题时应注意的问题１列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.２一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f x在给定区间内只有一个极值点或函数f x在开区间上只有一个点使f′x＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.错误!２．已知A，B两地相距２00千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/时（8<v≤v0）．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝１２千米/时时，每小时的燃料费为7２0元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？[解] 设每小时的燃料费为y１，比例系数为k，则y１＝kv２.当v＝１２时，y１＝7２0，∴7２0＝k·１２２，解得k＝５，∴y１＝５v２.∴全程的燃料费y＝y１·错误!＝错误!（8<v≤v0）．y′＝错误!＝错误!.令y′＝0得v＝１6或v＝0（舍去）．所以函数在v＝１6时取得极值，并且是极小值．当v0≥１6时，v＝１6使y最小，即全程燃料费最省．当8<v0<１6时，可得y＝错误!在（8，v0]上递减，即当v＝v0时，y min＝错误!.综合上述得：若v0≥１6，则当v＝１6千米/时时，全程燃料费最省；若8<v0<１6千米/时，则当v＝v0时，全程燃料费最省．利润最大（成本最低）问题１．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．２．你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示：（１）利润＝收入—成本．（２）利润＝每件产品的利润×销售件数．【例３】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝错误!＋１0（x—6）２，其中３<x<6，a为常数，已知销售价格为５元/千克时，每日可售出该商品１１千克．（１）求a的值；（２）若该商品的成本为３元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路点拨] （１）根据x＝５时，y＝１１，求a的值．（２）把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．[解] （１）因为x＝５时，y＝１１，所以错误!＋１0＝１１，a＝２．（２）由（１）知，该商品每日的销售量y＝错误!＋１0（x—6）２，所以商场每日销售该商品所获得的利润f（x）＝（x—３）错误!＝２＋１0（x—３）（x—6）２,３<x<6，从而，f′（x）＝１0[（x—6）２＋２（x—３）（x—6）]＝３0（x—４）（x—6），于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （３,４）４（４,6）f′（x）＋0f（x）↗极大值４２↘由上表可得，x所以，当x＝４时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于４２．故当销售价格为４元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．１．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入—成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．２．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．错误!３．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（6<x<１１），年销售为u万件，若已知错误!—u 与错误!错误!成正比，且售价为１0元时，年销量为２8万件．（１）求年销售利润y关于售价x的函数表达式；（２）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．[解] （１）设错误!—u＝k错误!错误!，∵售价为１0元时，年销量为２8万件，∴错误!—２8＝k错误!错误!，解得k＝２．∴u＝—２错误!错误!＋错误!＝—２x２＋２１x＋１8．∴y＝（—２x２＋２１x＋１8）（x—6）＝—２x３＋３３x２—１08x—１08（6<x<１１）．（２）y′＝—6x２＋66x—１08＝—6（x２—１１x＋１8）＝—6（x—２）（x—9）．令y′＝0，得x＝２（舍去）或x＝9，显然，当x∈（6,9）时，y′>0；当x∈（9,１１）时，y′<0．∴函数y＝—２x３＋３３x２—１08x—１08在（6,9）上单调递增，在（9,１１）上单调递减．∴当x＝9时，y取最大值，且y max＝１３５，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为１３５万元.１．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤（１）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）．（２）求函数的导函数f′（x），解方程f′（x）＝0．（３）比较函数在区间端点和使f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值．２．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：（１）合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；（２）与实际问题相联系；（３）必要时注意分类讨论思想的应用．１．判断正误（１）生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题．（）（２）生活中的优化问题必须运用导数解决．（）（３）广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题．（）[答案] （１）√（２）×（３）√２．做一个容积为２５6 m３的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（）Ａ．6 m Ｂ．8 mＣ．４m Ｄ．２mC[设底面边长为x m，高为h m，则有x２h＝２５6，所以h＝错误!.所用材料的面积设为S m２，则有S＝４x·h＋x２＝４x·错误!＋x２＝错误!＋x２，S′＝２x—错误!，令S′＝0，得x＝8，因此h＝错误!＝４（m）．]３．某件商品的成本为３0元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（２00—x）件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．１１５[利润为S（x）＝（x—３0）（２00—x）＝—x２＋２３0x—6 000（３0<x<２00），S′（x）＝—２x＋２３0，由S′（x）＝0，得x＝１１５，这时利润达到最大．]４．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为１8 000 cm２，四周空白的宽度为１0 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为５cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？[解] 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为（x—２0）cm，错误!cm，其中x>２0，y>２５．两栏面积之和为２（x—２0）·错误!＝１8 000，由此得y＝错误!＋２５．广告的面积S＝xy＝x错误!＝错误!＋２５x，∴S′＝错误!＋２５＝错误!＋２５．令S′>0得x>１４0，令S′<0得２0<x<１４0．∴函数在（１４0，＋∞）上单调递增，在（２0,１４0）上单调递减，∴S（x）的最小值为S（１４0）．当x＝１４0时，y＝１7５，即当x＝１４0，y＝１7５时，S取得最小值２４５00，故当广告的高为１４0 cm，宽为１7５cm时，可使广告的面积最小．。

导数及其应用生活中的优化问题举例

根据数据特点和预测需求，选择适合的时间序列预测模型，如 ARIMA、SARIMA、LSTM等。
模型参数设置
为预测模型设置合适的参数，以便进行模型训练和预测。
模型训练和优化
使用历史数据训练预测模型，并不断优化模型参数，以提高预测准确性。
时间序列预测模型的检验与应用
模型检验
使用独立的验证数据集评估预测模型的性能，比较实际值与预测值的差异。
导数及其应用生活中的优化问题举例
2023-11-08
contents
目录
• 导数的定义与计算 • 导数在生活中的应用 • 导数在优化问题中的应用举例 • 导数在最优问题中的应用 • 导数在时间序列预测中的应用 • 导数在其他领域的应用举例
01
导数的定义与计算
导数的定义
函数在某一点的导数
函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率。
通过运用导数，企业可以找到运营成本的最优解，以降低企业的运营成本。
在最小成本问题中，企业需要通过对运营成本的分析，寻找降低成本的途径。导数方法可以通过对成本函数进行求导，找到成本最低的运营方案。例如，在物流行业中，通过优化运输路线和装载方式可以降低运输成本。
04
导数在最优问题中的应用
最优路径问题
模型应用
将经过验证的预测模型应用于实际时间序列数据的预测，为决策提供支持。
06
导数在其他领域的应用举例
工程领域：结构优化设计、强度分析等
结构优化设计
在航空航天、建筑等领域，结构优化设计是至关重要的。导数可以帮助我们更好地理解结构的形状、尺寸和材料等参数对结构强度、刚度和稳定性的影响，从而优化设计。例如，通过有限元分析方法，利用导数求解结构中的应力、应变分布，进一步优化结构设计。

生活中优化问题

练习：
见《卓越新方案》P7？三基要点自测
谢谢！
数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值。
③在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间。
例题示范
例1：
要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 厘米，要使其体积为最大，则高为（）
A、
3 3
厘米
C、 16 3 中春 2008年11月24日
知识点：
1、生活中经常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为最优化问题。
2、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
①分析实际问题中变量之间的关系，列出实际
问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的
函数关系
例3：
某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元。
1、求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；
2、若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）。问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由。
B、 10 3 厘米
3
D、 20 3 厘米
3
例2．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格 p （元/吨）之间的关系式为：p 24200 1 x2 ，
5
且生产x吨的成本为 R 50000 200x
（元）.
问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）

2021届新高考数学一轮：第二章第15讲导数的意义及运算

f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝xln1 a(a>0，且 a≠1)
f(x)＝ln x
1 f′(x)＝___x____
4.运算法则
[u(x)±v(x)]′＝u′(x)___±___v′(x)； [u(x)·v(x)]′＝___u_′__(_x)_v_(_x_)＋__u_(_x_)_v_′__(x_)__； uvxx′＝u′xv[xv－xu]2xv′x[v(x)≠0].
1.已知函数f(x)＝4π2x2，则f′(x)＝( C )
A.4πx C.8π2x
B.8πx D.16πx
2.(2018年新课标Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的
斜率为－2，则 a＝___－__3____.
3.若 f′(x0)＝－3，则lim h0
fx0＋h－h fx0－h＝(
(2)导数的物理意义：①在物理学中，如果物体运动的规律是s＝s(t)，那么该物体在时刻t0的瞬时速度为v＝s′(t0)；②如果物体运动的速度随时间变化的规律是v＝v(t)，则该物体在时刻t0的瞬时加速度为a＝v′(t0).
3.基本初等函数的导数公式表
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xα(α∈Q*)
A.①②
B.①③
C.②③ D.①②③④
解析：① lim Δx→0
fx0－fx0－2Δx 2Δx
＝ lim Δx→0
fx0－2Δx＋22ΔΔxx－fx0－2Δx＝f′(x0)；
② lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0－Δx Δx
＝2 lim Δx→0
fx0－Δx＋22ΔΔxx－fx0－Δx＝2f′(x0)；
lim
Δx→0

高考数学总复习(整合考点+典例精析+深化理解)第二章第十五节用导数解决生活中的优化问题课件理

骤：
①分析实际问题中各量之间的关系，构造出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，并根据实际意义确定定义域；
第四页，共26页。
②求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f ′(x)＝0得出(dé chū) 定义域内的实根，确定极值点；
③比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；
时)的关系可近似地表示为：f(x)＝
只有
当污染河道水中碱的浓度不低于 1 时，才能对污染产生有效的抑
制作用．
3
第八页，共26页。
(1)如果只投放1个单位的固体(gùtǐ)碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？
(2)第一次投放1单位固体(gùtǐ)碱后，当污染河道水中的碱浓度减少到时，马上再投放1个单位的固体(gùtǐ)碱，设第二次投放后水中碱浓度为g(x)，求g(x)的函数式及水中碱浓度的最大值．(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加)
④还原到实际问题中作答． (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，则只需根据实际情况判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.
第五页，共26页。
变式探究 (tànjiū)
1．(2012·泉州检测)某公司生产一种产品，每生产1千件需投入成本(chéngběn)81万元，每千件的销售收入R(x)(单位：万元)与年产量x(单位：千件)满足关系：R(x)＝－x2＋324(0<x≤10)．该公司为了在生产中获得最大利润(年利润＝年销售收入－年总成本 (chéngběn))，则年产量应为( )
(tǐjī)为V＝π(R2－h2)h＝－πh3＋πR2h(0<h<R)，V′＝－3πh2＋πR2，

导数.06导数在最优化中的应用(A级)文科.学生版

一、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤1) 分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系().y f x =2) 求出函数的导数'()f x ，解方程'()0.f x =3) 比较函数在区间端点和'()0f x = 的点的函数值得大小，最大（小）者为最大（小）值．二、特别提醒：1) 在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合题意的值应该舍去．2) 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得'()0f x =的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值．知识要点导数在最优化中应用【例1】某市在一次降雨过程中，降雨量y （mm ）与时间t （min ）的函数关系式可近似的表示为()2100t f t =，则在时刻10min t =的降雨强度为（）A ．15mm/min B ．14mm/min C ．12mm/min D ．1mm/min【例2】将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2s =梯形的周长梯形的面积，则s 的最小值是．【例3】设球的半径为时间t 的函数()R t ．若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A ．成正比，比例系数为CB ．成正比，比例系数为2CC ．成反比，比例系数为CD ．成反比，比例系数为2C【例4】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y =210(63a x x +--），其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（I ）求a 的值（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．例题精讲【例5】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为()10x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）【例6】某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式3 5 (06),814 (6).k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩，，已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值。

高考数学复习点拨：利用导数解决生活中的优化问题

利用导数解决生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为生活中的优化问题。

其中，关键在于如何建立优化问题的数学模型。

数学建模的全过程应该包括：（1）分析问题：了解问题的实际背景，掌握第一手资料。

（2）假设化简：根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述。

（3）建立模型：在假设的基础上利用适当的数学工具、数学知识，来刻划变量之间的数量关系，建立其相应的数学结构。

（4）求解并检验模型：对模型求解，并将求解结果与实际情况相比较，以此来验证模型的准确性。

例：用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如下图),问:该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：（1）读题：把“问题情境”翻译为数学语言，找出问题的目标与条件的关系因为焊接而成的容器为长方体，所以求容器的容积最大即为求长方体的体积最大，而长方体的高x满足0<x<24条件。

（2）建模：设容器的高为xcm,，容器的体积为V(x)cm3，则V(x)=x（90-2x）（48-2x）=4x3-276x2+4320x (0<x<24)（3）求解：∵V'(x)=12 x2-552x+4320由V'(x)=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36 (舍去）当0<x<10 时，V'(x)>0, 那么V(x)为增函数；当10<x<24时，V'(x)<0, 那么V(x)为减函数；所以,在定义域（0，24）内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=1960（cm3）答：当容器的高为10cm时,容器的容积最大，最大容积是1960（cm3）由此例可知，要完成数学建模这一过程，必须过三关：1．事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件；2．文理关：需要将“问题情境”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系；3．数理关：在构建数学模型的过程中，要求有对数学知识的检索能力，认定或构建相适应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，此后解答过程也需要较扎实的基础知识和较强的数理能力。

高二数学导数在生活中的优化问题公开课优秀课件(经典、值得收藏)

1.题型探究——利润最大问题
于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0－Biblioteka f(x)单调递增极大值 42
单调递减
由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是
最大值点．此时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.
答当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
随堂练习
(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．令 y′＝0，得 x＝2(舍去)或 x＝9，显然，当 x∈(6,9)时，y′>0；当 x∈(9,11)时，y′<0. ∴函数 y＝－2x3＋33x2－108x－108 在(6,9)上是单调递增，在(9,11) 上是单调递减． ∴当 x＝9 时，y 取最大值，且 ymax＝135， ∴售价为 9 元时，年利润最大，最大年利润为 135 万元．
3.题型探究——用料最省问题
【例 3】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为 y＝1281000x3－830x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距 100 千米． (1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要
知识讲解
1．生活中的优化问题
在社会经济生活、生产实践与科学研究等问题中，有关求利润最大、费用最少、用料最省、面积（体积）最大、效率最高等问题称为优化问题。
所谓生活中的优化问题，其实就是求最值或求最值条件的实际应用问题，导数是求最值的有力工具，因此和函数有关的优化问题可利用导数来研究.

导数在生活中的优化问题举例(可编辑修改word版)

1.4 第一课时生活中的优化问题举例一、课前准备1.课时目标（1）了解函数极值和最值的基本应用.（2）会用导数解决某些实际问题.2.基础预探利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中变量之间的，根据实际意义确定定义域.(2)求函数y =f (x)的导数f '(x)，解方程f '(x)＝0,求定义域内的根，确定.(3)比较函数在和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值.(4)还原到原中作答.三、学习引领1.常见的优化问题主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一.2.解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．解决优化问题的基本程序是：读题建模求解反馈（文字语言）（数学语言）（导数应用）（检验作答）3.需要注意的几个问题(1)目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.(2)如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性.四、典例导析题型一几何图形中的优化问题例1 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB= x cm（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积V（cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.D C60 - 2x2思路导析:明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题（1）中,用底面边长把包装盒侧面积表示出来,观察其特点,用一元二次函数最值解决问题.问题(2)中,建立目标函数,依据目标函数的特征,通过求导,研究函数性质,求相应最值.解：设该盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得a =2x, h ==2(30 -x),0 <x < 30.（1）由题意包装盒侧面积S = 4ah = 8x(30 -x) =-8(x - 15)2+ 1800, 所以当x = 15 时，S 取得最大值.（2）由题意知,V =a 2h = 2 2(30x 2-x3), (0 <x < 30),V '= 6 2x(20 -x) .由V '= 0 得x = 0 （舍）或x = 20 .由于当x ∈ (0,20) 时，V '> 0;当x ∈ (20,30)时V '< 0 ,所以当x = 20 时，V 取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时ha1=1该盒的高与底面边2长的比值为.2规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行. 上述题中,两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一建.立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并研究函数的性质,是解决该最值问题关键之二.变式训练1 今有一块边长a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x 值应为多少？题型二费用最省问题203 c - 2r l = - 例 3 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形, 80 左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为3立方米且，l ≥ 2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c , (c > 3) .设该容器的建造费用为 y 千元.（Ⅰ）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的 r .思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式.解 :（ Ⅰ）因为容器的体积为 803立方米，所以 4r 3 + 23 803,解得l =80 - 4r所, 以圆柱的侧面积为 2rl = 2r ( 80 - 4r ) = 160 8r 2 ,两端两个半球的 3r 2 3 2 160 3r 2 3 2 23r 3l 表面积之和为4r ,所以 y = - 8r r + 4cr ,定义域为(0, ). 2' 160 8[(c - 2)r 3 - 20] ' （Ⅱ）因为 y = - -16r + 8cr = r 2 r 2 ,所以令 y > 0 得: r > ;令 y ' < 0得: 0 < r <,所以 r = 米时, 该容器的建造费用最小.规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.变式训练 2 设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离B 为 100km 处有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 题型三利润最大问题例 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y （单位：千克）与销售价格 x （单位：元/千克）满足关系式 y =ax - 3+10(x - 6)2 ，其中3 < x < 6 ，a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. （I ）求 a 的值; （II ）若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思路导析:问题（I ）,由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程,求 a 的值.问题（II ）,20 3c - 220 3c - 2310 316 3用 x 表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻.解: （I ）因为当 x = 5 时, y = 11,代入 y =a x - 3 +10(x - 6)2 得, a + 10 = 11, a = 2 . 2 （II ）由（I ）知,该商品每日的销售量为 y = 2x - 3+ 10(x - 6)2 ,所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x ) = (x - 3)[2x - 3+ 10(x - 6)2 ] = 2 + 10(x - 3)(x - 6)2 = 2 + 10(x - 3)(x 2 - 12x + 36) , (3 < x < 6) .所以,f '(x ) = 10(x - 6)2 + 20(x - 3)(x - 6) = 30(x - 4)(x - 6) .于是,当 x 变化时, f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表:由上表可知, x = 4 是函数 f (x ) 在(3,6) 上的极大值点,而且为唯一极大值点,即是最大值点所,以当 x = 4 时,函数 f (x ) 取得最大值,最大值为 42.答:当销售价格为 4 元/千克时, 商场每日销售该商品所获得的利润最大.规律总结: 在上述问题中,首先需要建立利润的数学模型,即写出利润关于销售价格的函数关系式.由于所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值情形.因为实际问题往往会有更为具体的定义域所, 以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.变式训练 3 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润 x （元）与年产量 t （吨）满足函数关系， x = 2000 甲方 s 元（以下称 s 为赔付价格）..若乙方每生产一吨产品必须赔付（1）将乙方的年利润 w （元）表示为年产量 t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y =0.002t 2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格 s 是多少？五、随堂练习1. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积为最大,则高为()cm.A. B. C. D. 33332. 以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ( ) .A.10B.15C.25D.50t 20 33 V32V3. 若一球的半径为 r ,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为 () .A. 2r 2B. r 2C. 4r 2D. 1r 224. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为 3m ，长和宽的和为 20m ，则仓库容积的最大值为 .5. 统计结果表明,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升),关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为： y = 1 128000 x 3 - 3 80x + 8(0 < x ≤ 120) ，已知甲乙两地相距100 千米.当汽车以 (千米/小时)速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少?6. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时 10 公里时的燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？六、课后作业1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时,底面边长为( )A. B.C.2. 制作一个圆柱形锅炉,容积为V 两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（） a a 2 b b 2 A.B.C.D.2b2b2a2a3. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27,且用料最省则圆柱的底面半径为 .4. 去年初,某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品．若该商品零售价定为 p 元，则销售量 q (件)与零售价 p (元)有如下关系 q = 8300 - 170 p - p 2 ．那么该商品零售价为元时,毛利润最大?(毛利润=销售收入一进货支出)5. 现有 10000 元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别1 2为 x 和 y 时，得到的回报是 P = x 3 y 3 ．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.6. 如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为 r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记CD = 2x ，梯形面积为 S ．（1）求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积 S 的最大值．34VD. 23 V3 3 x 2 + 202 x 2 + 400 a b 最大 = 221.4 第一课时生活中的优化问题答案及解析一、2. 基础预探（1）数学模型；函数关系（2）极值点（3）区间短点（4）实际问题三、变式练习1. 解：折成盒子后底面正三角形的边长为 a - 2x (0 < x < a) ，高为h = x ⋅ tan 30︒ = x 2 3设：容积为 V ，则V = sh = 2 1 (a - 2x )2 sin 60︒⋅x = x 3 - ax 2 + a x .函数求导得: 2 3 4V ' = 3x 2- 2ax +a 2 ,令 V ' = 0 得 x = ,x = a （舍去） ,当 0 < x < a 时， V ' > 0 ；当 4a'a6 2a 3 a 3 a 364a 3 a 3 x > 时，V 6 < 0 ,所以当 x = 时，V = - + = = . 216 36 24 216 54aa 3 答： x 为时，盒子的容积最大为6542.解：设 BD 之间的距离为 x km,则|AD|= ,|CD|=100 - x .如果公路运费为 a 元3a /km,那么铁路运费为5y = 3a(100 - x ) + a 5元/km.故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费 y 为:,( 0 ≤ x ≤ 100 ).对该式求导,得:y ' = - 3a+ axa (5x - 3 =x 2 + 400) ,令 y ' = 2 2 5 5 x 2 + 4000 ,即得 25 x =9( x + 400 ),解之得x 1 =15, x 2 =-15(不符合实际意义,舍去).且 x 1 =15 是函数 y 在定义域内的唯一极小值点,所以 x 1=15 是函数 y 的最小值点.由此可知,车站D 建于B,C 之间并且与B 相距 15km 处时,运费最省.3. 解：（I ）因为赔付价格为 s 元/吨，所以乙方的实际年利润为： w = 2000 - st (t ≥ 0)因为 w = 2000 - st = -s ( -1000 s 2 + 10002s1000 ，所以当t ( )2 s时，w 取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量t = 1000 () 吨 . s（II ）设甲方净收入为v 元，则v = st - 0.002t 2，将t =1000 () 代入上式，得到甲方纯收入 v sx 2 + 400 t t t )100 - x 2 100 - x 2 = 10002 2 ⨯10003 与赔付价格 s 之间的函数关系式：v = - ，又s s 4' 10002 8⨯10003 10002 (8000 - s 3 )v = - + = ，令v ' = 0 得 s = 20 ,当 s < 20 时， v ' > 0 ；s 2 s 5 s5当 s > 20 时， v ' < 0 .所以 s = 20 时， v 取得最大值.所以甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是 20 元. 四、随堂练习1. 答案：D. 解析：设圆锥的高为 h ,则体积V =1(400 - h 2 )h ,(0 < h < 20) ,3V ' = -h 2 + 400 = 0 ,解得 h = 20 3 ,由导数的意义,当 h 20 3 时,V 取极大值且3 3 3唯一,故为最大值.故选 D.2. 答案:D.解析:设圆的内接矩形的一边长为 x ,则另一边长为 ,内接矩形的面积S = x , S 2 = x 2 (100 - x 2 ) = -x 4 + 100x 2 , (S 2 )' = -4x 3 + 200x = 0 ,解得x = 0 (舍去), x = ,根据导数的意义知，内接矩形面积的最大值为50 .3. 答案： A.解析 :设内接圆柱的底面半径为 x , (0 < x < r ) ，则圆柱的侧面积S = 4x r 2 - x 2 ， S 2 = 162 x 2(r 2 - x 2) ，求导，判断极大值点 x =2 r ,其侧面积2最大为2r 2 .4. 答案 :300m 3解：设长为xm ，则宽为(20 - x )m ，仓库的容积为 V,则V = x (20 - x ) ⋅ 3 = -3x 2 +60x .V ' = -6x + 60 ，令 V ' = 0 得 x = 10 ,当 0 < x < 10 时，V ' > 0 ；当 x > 10 时，V ' < 0 ,∴ x = 10 时，V 最大 = 300(m 3 ) .1005. 答案:80.解析;由题意可知,以速度 x (千米/小时)从甲地到乙地耗油量为:W = y ⋅ =x1 x2 + 800 - 15 ,W ' = x - 800 = 0 ,解得 x = 80 ,且为唯一极小值点,所以 x = 80 1280 x 4 为最小值点.640 x 26. 解:设船速度为 x (x > 0) 时，燃料费用为Q 元，则Q = kx 3，由6 = k ⨯103可得 k =3，∴500 Q = 3 500 x 3 ， ∴总费用 y = ( 3 500 x 3 + 96) ⋅ 1 = x 3 500 x 2 + 96， xy ' = 6 500 x - 96 ，令x 2 503x 2 3x 23x 2 y ' = 0 得 x = 20 ，当 x ∈(0, 20) 时， y ' < 0 ，此时函数单调递减，当 x ∈(20, +∞) 时，y ' > 0 ，此时函数单调递增，∴当 x = 20 时， y 取得最小值，∴此轮船以 20 公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．五、课后作业1. 答案: C.解析:设底面等边三角形的边长为 x , x > 0 ,直棱柱的高为 h ,则V =⋅ h ,所以4h = 4V.表面积 S = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4V⋅ x = + 2 , S ' = x 3x - x 2 = 0 ,解得 x = , S 取极小值且唯一,即最小,故选 C.2. 答案 C. 解析：设锅炉底面半径和高分别为 r , h ,则 V = r 2h , h = V r 2,总造价y = 2a r 2 + 2b r ⋅ V = 2a r 2 + 2bV , y ' = 4a r - 2bV = 0 ,得 2ar = V⋅ b 即r = b h 2ar 2 r r 2 时取极大值,即最大值.故选 C. r 23. 答案： 3 .解析：设圆柱的底面半径为 r ,高为 h ,则 27= r 2h , h = 27.无盖圆柱形水桶r 2表面积 S = r 2 + 2r ⋅ 27 = r 2 + 54, S ' = 2r - 54= 0 ,解得: r = 3 ,为唯一极小r 2 r r 2值点,即最小值点.4 .答案: 30 .解析:设毛利润 y ,则 y = p ⋅ q - 20q = q ( p - 20) = (8300 - 170 p - p 2 )( p - 20)= - p 3 - 150 p 3 + 11700 p - 166000 ,所以 y = -3 p 2 - 300 p + 11700 = 0 ,解得 p = 30或 p = -130 （舍去）. 根据导数的意义知，当 p = 30 时, y 最大.1 2 1 25. 解：由于 x + y = 10000 ，所以 P = x 3 y 3 = (10000 - y ) 3 y 3 , 0 ≤ y ≤ 10000 ．考虑 P 3 = (10000 - y ) y 2 ，由(P 3 )' = 20000 y - 3y 2= 0 得 y 1 = 0, y 2 = 20000 ，3由于当 y <20000 时， (P 3 )' > 0 ；当3 y > 20000 时， (P 3)' < 0 ， 3 所以 y 2 = 20000 是 P 3的极大值点，从而也是 P 的极大值点．故当投到产品开发的资金320000为元时，得到的回报最大.36．解: 以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为3x 2 3x 24 3V 4 3V 3 4Vr 2 - x 2 r 2 - x 2 (r + x )2 (r 2 - x 2 ) 3 3r 2 + = r y 2 4r 2 x 2r2 1设C (x , y ) 则 y = 2 .（1） S = 1 (2x + 2r ) ⋅ 2 2= 2(r + x ) 定义域为 {x 0 < x < r }．（ 2）由（ 1）知S = 2(r + x ) = 2 .设g(x) = (r+ x)2(r 2- x 2)则 g '(x) = -2(x + r )2 (2x - r ) . 由 g '(x) = 0 得 x =r 当20 < x < r2 g '(x) > 0 当 < x < r2 g '(x) < 0 ,∴当 x = r时 g(x) 取最大值,S 取最大值,2最大值为．2r 2 - x 2 r2- x 2。

高考数学复习点拨：如何利用导数解答生活中的优化问题

如何利用导数解答生活中的优化问题山东胡彬生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．本文主要阐述如何利用导数,解决一些生活中的优化问题．导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题.一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质,提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．二．利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。

磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit ）。

为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n 。

为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域．（1）是不是r 越小，磁盘的存储量越大？（2） r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解:由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达R rm -。

由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2r n π.所以，磁盘总存储量()f r =R rm-×2rn π2()r R r mn π=-. （1）它是一个关于r 的二次函数,从函数解析式上可以判断，不是r 越小,磁盘的存储量越大．（2）为求()f r 的最大值,计算()0f r '=．()2()2f r R r mn π'=- 令()0f r '=，解得2R r = 当2R r <时，()0f r '>；当2R r >时，()0f r '<．因此2R r =时,磁盘具有最大存储量。