重庆市名校高二数学期末试题及答案
重庆市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．双曲线的渐近线方程为（ ）22135x y -=A ． B ．C ．D ．53y x =±y =y =35y x =±【答案】B【分析】确定双曲线的即可得渐近线. ,a b 【详解】由已知a b ==则双曲线的渐近线方程为，即22135x y -=y =y x =故选：B.2．空间向量，，且向量与共线，则的值为（ ）()2,1,3a =-r ()4,,b m n =r a bm n +A ．－8 B ．8 C ．－4 D ．4【答案】A【分析】存在实数使，代入坐标计算可得答案.λa b λ=【详解】向量与共线,a b则存在实数使，即λa b λ=()()2,1,34,,m n λ-=，可得 4213m n λλλ=-⎧⎪∴=⎨⎪=⎩8m n +=-故选：A.3．若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（ ） ()12:l y k x =+2l ()1,22l A ． B ． C ． D ．()4,0()4,2()2,4()4,4【答案】D【分析】求出直线恒过的定点，并求出其关于点对称点即可. 1l ()1,2【详解】直线恒过定点， ()12:l y k x =+()2,0-又关于点对称点为 ()2,0-()1,2()4,4所以直线恒过的定点为 2l ()4,4故选：D.4．已知圆，直线（其中为自然对数的底数），则直线()()22:122C x m y m -++-+=:e 0l x y -+=e与圆的位置关系为（ ） l C A ．相切 B ．相离 C ．相交 D ．无法确定【答案】C【分析】通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系来得答案.【详解】圆C ：的圆心为()()22122x m y m -++-+=()1,2--m m 则圆心到直线 l， 0=<所以直线与圆的位置关系为相交 l C 故选：C. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若点满足，则实数a22184x y +=1F 2F (1,)P a 1290F PF ∠≥︒的取值范围是（ ）A ．[]B ．[－，]C ．[] D ．[7272【答案】D【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，利用向量数量积建立不等式求解. 【详解】因为椭圆的焦点，，22184x y +=12(2,0),(2,0)F F -(1,)P a 所以，，1(3,)PFa →=--2(1,)PF a →=-因为，1290F PF ∠≥所以，解得 21230PF PF a →→⋅=-+≤a ≤≤故选：D6．已知等比数列的前n 项和为，且，，则（ ）{}n a n S 610S =2523a a +=-32S a =A ．－20 B ．－15C ．－10D ．－5【答案】B【分析】利用，代入可得的值，再变形得到()()()6142536S a a a a a a =+++++25a a +1q q+可得答案. 12332211a a q a S a a q ==++++【详解】设等比数列的公比为，{}n a q则， ()()()614253622210333S a a a a a q a q =+++++--==-则， 116q q +=- 2332211116115q a a a S a a q∴==+++-+=+=-故选：B.7．设是过抛物线的焦点F 的一条弦（与y 轴不垂直），其垂直平分线交y 轴于点G ，则AB 24x y =＝（ ） ||FG AB A ．B ．C ．D ．2342312【答案】C【分析】联立直线与抛物线方程，求出点坐标以及直线的方程，可得，利用定义求AB E EG ||FG 出弦长，可得比值．||AB 【详解】因为抛物线的焦点为，设，，，24x y =()0,1F ():10AB y tx t =+≠()11,A x y ()22,B x y AB 的中点为，()00,E x y 联立方程组，消去得，214y tx x y =+⎧⎨=⎩y 2440x tx --=所以，，，即， 124x x t +=12022x x x t +==2021y t =+()22,21E t t +所以的方程为. EG ()21212y t x t t--=--令，得，. 0x =223y t =+()20,23G t +因此.()2||21FG t =+又，12||2AB y y =++=()()2122241t x t x +++=+所以. ||1||2FG AB =故选：.C 8．已知数列满足，且，则的最小值为{}n a 114a =4*1)2(2,N n n n a a n n --=+≥∈()()()11322n n a a a a a a +⋅⋅⋅⋅（ ） A ．B ．C ．D ．116181412【答案】A【分析】利用累加法，得到，然后得到，进而得到32n n a -=2512n n n a a -+=，最后根据二次函数和指数函数的性质，()()()1()122432n n n n a a a a a a -+⋅⋅⋅⋅⋅=得到时，的最小值.2n =()()()11322n n a a a a a a +⋅⋅⋅⋅【详解】，4*1)2(2,N n n n a a n n --=+≥∈，根据累加法，得到，得到∴41512221222n n n n n n a a a a a a ------⎧-=⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 23214312212222124n n n n a a --------=+++==-- ，32n n a -=*(2,N )n n ≥∈检验，当时，满足，， 1n =1a n a 32n n a -∴=*()N n ∈32251222n n n n n a a ---+∴=⋅=，明显地，∴()()()(325)(4)23113(5)122231222n n n n n nn a a a a a a --++++-+-⋅⋅--+⋅⋅==⋅⋅=L 根据指数函数和二次函数的性质，当且仅当时，有最小值，此时，最小值为2n =(4)2n n ⋅- 2(24)412216⋅--==故选：A二、多选题9．关于直线，则下列结论正确的是（ ）310l y --=A ．倾斜角为B 60C ．在y 轴上的截距为D ．与直线垂直13-0x -=【答案】BC【分析】直接求出直线斜率，截距，倾斜角即可判断. 【详解】直线变形得，310l y --=13y =-直线斜率，故倾斜角为，A 错误，B 正确；k =)0,180⎡⎣ 30令，，即直线在y 轴上的截距为，C 正确0x =13y =-l 13-又直线，与直线不垂直，D 错误 0x -=310l y --=故选：BC.10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘以3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）如：取正整数，根据上述运算法则得出6m =6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m 为正整数），，若n a 1a m =1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时61a =，则m 所有可能的取值为（ ） A ．4 B ．5C ．17D ．32【答案】ABD【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可. 【详解】若，则, 61a =52a =则，则或 44a =38a =31a =当时，或5 38a =216,a =132a =当时，， 31a =22a =14a =综上可能的取值为. m 4,5,32故选：ABD11．如图，已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，E 是的中点，则1111ABCD A B C D -1DD 下列结论错误的是（ ）A ．B ．三棱锥的体积为11B E A B ⊥11C B CE -13C ．三棱锥的外接球的表面积为8πD ．平面平面 11C B CD -1//B CE 1A BD 【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求得位置关系判断选项A ；求得平面11B E A B 、1B CE与平面位置关系判断选项D ；求得三棱锥的体积判断选项B ；求得三棱锥1A BD 11C B CE -11C B CD -的外接球的表面积判断选项D.【详解】以A 为原点分别以AB 、AD 、所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系： 1AA 则,,,,,,,(0,0,0)A (1,0,0)B (1,1,0)C (0,1,0)D (0,1,1)E 1(0,0,2)A 1(1,0,2)B 选项A ：由. 11(1,1,1),(1,0,2)B E A B =--=-可得，11(1,1,1)(1,0,2)1210B E A B ⋅=--⋅-=-+=≠则两向量、不互相垂直，则与不互相垂直.判断错误； 1B E 1A B u u u r1B E 1A B 选项B ：三棱锥的体积11C B CE -.判断正确；11111111111211=3323=C B CE B C CE C CE V V S B C --==⋅⨯⨯⨯⨯△选项C ：三棱锥的外接球即长方体的外接球， 11C B CD -1111ABCD A B C D -长方体1111ABCD A B C D -则三棱锥的外接球的表面积为.判断错误；11C B CD -24π=6π⨯选项D ：11(0,1,2),(1,1,1),B C B E =-=--设为平面的一个法向量，111(,,)n x y z =1B CE 则，令，则，，则11111200y z x y z -=⎧⎨-+-=⎩11z =12y =11x =(1,2,1)n =11(1,0,2),(0,1,2),A B A D =-=-设为平面的一个法向量， 222(,,)m x y z =1A BD 则，令，则，，则22222020x z y z -=⎧⎨-=⎩21z =22y =22x =(2,2,1)m =由，可得向量与向量不互相平行， 121221≠=m n 则平面与平面不互相平行.判断错误.1B CE 1A BD故选：ACD12．已知抛物线上三点，，，F 为抛物线的焦点，则下列22(0)y px p =>()11,A x y 2,4B （）()22,C x y 结论正确的是（ ）A ．抛物线的准线l 的方程为4x =-B ．若F 为的重心，则成等差数列ABC ||,||,||FA FB FC u u r u u r u u u rC ．若直线AC 过焦点F ，过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线l 于点D ，则直线DC 平行于抛物线的对称轴D ．若直线AC 过焦点F ，准线l 上存在一点M 满足为等边三角形，则直线AC 的斜率为±MAC △【答案】BCD【分析】由条件求，由此可得抛物线方程，求其准线方程判断A ，由重心性质确定的关p 12,2,x x 系，结合抛物线定义判断B ，联立直线的方程与抛物线方程，利用设而不求法确定关系，AC 12,y y 求点的纵坐标，由此判断C ，结合设而不求法与条件列方程求斜率，判断D.D AC 【详解】因为点在抛物线上，所以，所以，2,4B （）22y px =164p =4p =故抛物线的方程为，其准线方程为，焦点坐标为，A 错误，28y x =2x =-()2,0因为F 为的重心，所以，ABC 0FA FB FC ++=又点的坐标为，，，，F ()2,0()11,A x y 2,4B （）()22,C x y 所以，所以，故， 122020x x -++-=124x x +=12||||228FA FC x x +=+++=u u r u u u r，所以，B 正确；()2||2228FB =⨯+=u u r ||||2||FA FC FB +=u u r u u u r u u r过点，斜率为0的直线与抛物线有且只有一个交点，与已知矛盾，F故设直线的方程为，联立，消得，，AC 2x my =+282y xx my ⎧=⎨=+⎩x 28160y my --=方程的判别式，又，， 28160y my --=264640m ∆=+>()11,A x y ()22,C x y 所以，，即， 128y y m +=1216y y =-2116y y =-又直线的斜率为，所以直线的方程为，与直线联立可得AD 1118y x y =AD 18y x y =2x =-，故点的坐标为，即，故直线与轴平行，C 对， 116y y =-D 1162,y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()22,y -CD x 设点的坐标为，线段的中点为，因为为等边三角形，所以M ()42,y -AC ()55,N x yMAC △ MN AC ⊥因为，所以，因为在直线上，所以，即128y y m +=12542y y y m +==()55,N x y AC 2542x m =+，所以直线的斜率为，()242,4N m m +MN 424422m y m -++当时，直线的斜率为，所以， 0m ≠AC 1m 42411422m y m m-⋅=-++化简可得，3448y m m =+点到直线，M AC212488x m ++=+，288m +)2288m+=AC 的斜率为 =m =当时，直线的方程为，点在直线上，与已知矛盾，D 正确， 0m =AC2x =B AC 故选：BCD.【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的常用方法为设而不求法.三、填空题13．若椭圆经过点，且焦点坐标为，则椭圆的离心率为___． B 12(0,1),(0,1)F F -【分析】根据条件可得，则离心率可求.,a c【详解】设椭圆方程为，()222210y x a b a b +=>>则由已知得，1a c ==所以椭圆的离心率为c e a ==14．已知等差数列的首项为－1，前n 项和为，若，则公差为___． {}n a n S 10510S S -=-【答案】17-【分析】直接根据等差数列的求和公式列方程求解. 【详解】由得， 10510S S -=-109541051022d d ⨯⨯⎛⎫-+--+=- ⎪⎝⎭解得17d =-故答案为：17-15．已知空间三点，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为()()()0,1,2,4,1,8,2,5,6A B C ---_____． 【答案】【分析】利用空间向量的坐标运算求出及，再利用面积公式求解即可. AC AB ，sin ,AC AB【详解】由已知， ()()2,6,44,2,6AC AB =-=--，==，又 1cos ,2AC ABAC AB AC AB ⋅∴===[],0,πAC AB∈则，sin ,AC AB == 以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为∴122S =⨯=故答案为：四、双空题16．如图，在棱长为2的正方体中，G 是棱AB 上的一点，则点到平面的1111ABCD A B C D -1B 1BC G距离d ＝___．若E ，F 分别是的中点，当∥平面DEF 时，则___．111,AA C D 1CG 1C G =【答案】【分析】证明平面，可知为点到平面的距离得解，利用向量法求出点坐1B C ⊥1BC G 1B O 1B 1BC G G 标，即可得解.【详解】连接，设，以D 为原点，为轴的正方向建立空11,BC B C 11BC B C O = 1,,DA DC DD →→→,,x y z 间直角坐标系，如图，则，，，，， (0,0,0)D (2,0,1)E (0,1,2)F 1(2,2,2)B (0,2,0)C 因为平面，平面，AB ⊥11BCC B 1B C ⊂11BCC B 所以，又，，平面， 1AB B C ⊥11B C BC ⊥1AB BC B =I 1,AB BC ⊂1BC G 所以平面，即为点到平面的距离，， 1B C ⊥1BCG 1B O 1B 1BC G 1112d B O B C ===又，，， (2,0,1)DE =(0,1,2)DF = 1(2,2,2)DB = 设平面DEF 的一个法向量为，(,,)n x y z =则，令，则，所以， 2020n DE x z n DF y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 2z =1,4x y =-=-(1,4,2)n =-- 设，则，AG a =1(2,,0),(0,2,2)G a C1(2,2,2)GC a ∴=-- 当∥平面DEF 时，则，1C G 1GC n ⊥ ，解得， 2(2)(4)40a ∴+-⨯-+=12a =即，所以， 13(2,,2)2GC=- 1C G==五、解答题17．已知数列的前n 项和． {}n a ()1*33N 2n n S n +-=∈(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设数列的前n 项和为，若，求n 的值． n T 9n T =【答案】(1) 3n n a =(2)99【分析】（1）利用可求得数列的通项公式；1n n n a S S -=-{}n a （2，然后利用裂项相消法可得，然后解方程可=n T 9n T =得n 的值．【详解】（1）当时，， 2n ≥113333322n n n n n n a S S +---=-=-=由时，符合上式， 1n =2113332a S -===数列的通项公式为；∴{}n a 3n n a =（2）由（1===，1n T ∴ 则，解得.19n T -=99n =18．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，第一象限内的点P 在双曲线上，点2213y x -=1F 2F M 是线段的中点，O 为坐标原点．1PF(1)若点M 在y 轴上，求点P 的坐标；(2)若OM 与垂直，求直线的方程．1PF 1PF 【答案】(1)()2,3(2)(4380x y -+-=【分析】（1）利用M 是线段的中点可得点横坐标，进而可得点P 的坐标；1PF P （2）设，由点P 在双曲线上以及OM 与垂直可列方程组求出点P 的坐标，进而可得直(),P m n 1PF 线的方程．1PF 【详解】（1）若点M 在y 轴上，且点M 是线段的中点，1PF ()()122,0,2,0F F -则点横坐标为，P 2c =又当时，，得 2x =2413y -=29y =故点P 的坐标为；()2,3（2）设，则① (),P m n 2213n m -=又OM 与垂直， 1PF ()122,0,,22m n F M -⎛⎫- ⎪⎝⎭则② 121222OM PF n n k k m m =⨯=--+由①②得， 32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩32P ⎫⎪⎪⎭所以直线的方程为， 1PF )2y x =+整理得直线的方程为，1PF y x=即为.(4380x y -+-=19．已知数列的首项，且满足． {}n a 11a =-()*1N 32n n n a a n a +=∈+(1)求证：数列为等比数列； 13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭(2)设，求数列的前n 项和． 31n n n na b a =+n b n A 【答案】(1)证明见解析(2) 222n n n A +=-【分析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时加3，可证明等比数列. 132n n n a a a +=+（2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由得，即， 132n n n a a a +=+132123n n n n a a a a ++==+111323n n a a +⎛⎫ ⎪⎝++⎭=又，， 1132a +=113213n na a ++∴=+数列为以2为首相，2为公比的等比数列； ∴13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭（2）由（1）得， 11322=2n n na -+=⨯12133n n n n nna n n b a a ∴===++， 231232222n n n A =+++∴+ 231122212122n n n n n A +=++-++∴2311111211122222212211121212nn n n n n n n n A +++∴⎛⎫- ⎪⎝++-=-=--⎭=+++ 222n nn A +∴=-20．如图，在直三棱柱中，，．111ABC A B C -12AA AB ==90ABC ∠=(1)求证：平面⊥平面；1A BC 11ABB A (2)若AC 与平面所成的角为，点E 为线段的中点，求平面AEB 与平面CEB 夹角的大1A BC π61AC 小．【答案】(1)证明见解析；(2). π3【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理得证；BC ⊥11ABB A （2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角.【详解】（1）在直三棱柱中，，111ABC A B C -1A A BC ⊥又，，平面，AB BC ⊥1A A AB A = 1,A A AB ⊂11ABB A 所以平面，又平面，BC ⊥11ABB A BC ⊂1A BC 所以平面⊥平面.1A BC 11ABB A （2）设，连接，如图， 11A B AB M = CM则中点为M ，且，1A B 1AM A B ⊥∵平面平面且交线为，平面，1A BC ⊥11ABB A 1A B AM ⊂11ABB A ∴平面，AM ⊥1A BC 所以直线与平面所成的角为， AC 1A BC π6ACM ∠=又，则12AA AB ==2AM AC BC ====以B 为原点，分别为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系，1,,BA BC BB 则，(2,0,0),(0,2,0),(1,1,1)A C E 设平面的法向量为AEB (,,)n x y z = ，令，则，故， 200n BA x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1y =0,1x z ==-(0,1,1)n =- 设平面的法向量为，CEB ()111,,m x y z = ，令，则，，故， 1111200m BC y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 11x =10y =11z =-(1,0,1)m =- 设平面与平面的夹角为，AEB CEB θ∴，又，. 1cos 2||||n m n m θ⋅==⋅ π02θ<≤π3θ∴=21．已知点（2，1）在不过原点的直线l 上，直线l 在两条坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 是半径为1的圆C 的一条对称轴，点A 的坐标为（0，3），O 为坐标原点．(1)若直线也是圆C 的一条对称轴，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；:220m x y +-=(2)若在圆C 上存在点M 满足，求圆心C 的横坐标的取值范围．2MAOM =【答案】(1)或；0x =4390x y +-=(2)或. ⎡⎢⎣【分析】（1）先求得圆C 的圆心坐标进而求得圆C 的方程，再利用几何法即可求得圆C 的切线方程；（2）先求得点M 的轨迹方程，再利用两圆有公共点即可求得圆心C 的横坐标的取值范围．【详解】（1）不过原点的直线l 在两条坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 可设为，又点（2，1）在直线l 上，y x t =+则，则，则直线l 的方程为，12t =+1t =-1y x =-由，可得，则圆C 的圆心坐标为， 1220y x x y =-⎧⎨+-=⎩10x y =⎧⎨=⎩()1,0又圆C 的半径为1，则圆C 的方程为，()2211x y -+=过点A （0，3）的直线斜率不存在时，其方程为，与圆C 相切，符合题意；0x =过点A （0，3）的直线斜率存在时，其方程可设为，3y kx =+，解之得， 143k =-则切线方程为即， 433y x =-+4390x y +-=综上，所求切线方程为或．0x =4390x y +-=（2）圆心C 在直线l 上，则可设，(,1)C a a -则圆C 的方程为22()(1)1x a y a -+-+=设圆C 上点M 满足，(,)x y 2MAOM =2=整理得22230x y y ++-=则点M 的轨迹为以为圆心以2为半径的圆； (,)x y (0,1)D -则点M 为圆D 与圆C 的公共点，(,)x y 则，即，2121CD -≤≤+13CD ≤≤则，解之得13≤≤a ≤≤a ≤≤则圆心C 的横坐标的取值范围为或. ⎡⎢⎣22．如图，某市决定在夹角为的两条笔直道路边沿EB ，EF 之间建造一个不影响道路45BEF ∠=o 的半椭圆形状主题公园．已知点A 在线段EB 上，O 为AB 的中点，千米，椭圆的短轴长3OE =千米，OD 为椭圆的长半轴．同时，在半椭圆形区域内再建造一个游乐园，其中点2AB =OMN 在半椭圆上，交于点，且．,M N MN OD G 45MGD ∠=o(1)求的取值范围；OD (2)若游乐园面积的最大值为1平方千米，求的值．OMN OG【答案】(1)(1,【分析】（1）建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程，根据已知条件求出直线的方程，根据EF 题意直线与椭圆最多只有一个交点，联立直线与椭圆方程，由及椭圆定义，即可求出EF EF 0∆≤的取值范围.OD （2）设，则，因为，设直线的方程与椭圆方程联立，写出韦0OG m =>(),0G m 45MGD ∠=o MN 达定理，求出，在利用圆心到直线的距离求出的高，表示出的面积，根据MN MN OMN OMN 已知条件，利用基本不等式性质求最值，根据最值条件即可求出的值.OG 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， O ,OD OE ,x y 如图所示：设椭圆的标准方程为：， 22221(0)x y a b a b+=>>则，OD a =由椭圆的短轴长，知，2AB =1b =所以椭圆的标准方程为：， 2221(1)x y a a+=>因为，45BEF OEF ∠=∠=o 所以直线的倾斜角为，斜率为， EF 135 tan1351k ==- 又，所以直线过点， 3OE =EF ()0,3E 所以直线的方程为：，EF 3y x =-+联立，消元整理得： 22231y x x y a=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，()22221680a x a x a +-+=由题意知直线与半椭圆最多一个交点， EF 所以， ()()2222064180a a a ∆≤⇔--⨯+⨯≤即28a a ≤⇒-≤≤因为，所以，1a >1a <≤即的取值范围为：. OD (1,（2）设，则， 0OG m =>(),0G m 因为，45MGD ∠=o 所以直线的斜率为， MN tan 451= 所以直线的方程为：， MN y x m =+联立，消元整理得： 2221y x m x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ()222222120a x ma x a m a +++-=设，()()1122,,,M x y N x y 则， 22221212222,11ma a m a x x x x a a -+=-=++=由到直线的距离为：()0,0O MN ，d 所以 12OMN SMN d =⋅⋅△12===由题意知：，所以， 0m a <<2210a m -+>所以OMN S=≤， ()()221221a a a a +=⋅=+当且仅当，即时，等号成立， 2221a m m -+=2212a m +=所以，122a a =⇒=所以 222215m m =+=⇒=。
2022届重庆市名校高二下数学期末复习检测试题含解析
2022届重庆市名校高二(下)数学期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．3B ．-6C ．10D ．122．某次文艺汇演为，要将A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有( ) A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种3．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ） A ．144种B ．108种C ．72种D ．36种4．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ） A ．112B ．12C ．13D ．165．曲线2sin (0)y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为( ) A ．4233π-B ．2233π C ．4233π D ．2233π 6．在一个袋子中装有12个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球6个、白球4个、黄球2个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ） A ．13B ．14C ．16D ．187．设a ，b ，c 都为正数，那么，用反证法证明“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是（ ）A ．这三个数都不大于2B ．这三个数都不小于2C ．这三个数至少有一个不大于2D ．这三个数都小于28．曲线sin x y e x =+在点01（，）处的切线方程为 A ．y x =B ．1y x =+C ．21y x =+D ．31y x =-9．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线C 上，若12AF F ∆的周长为10a ，则12AF F ∆面积为（）A ．2215aB ．215aC ．230aD ．215a10．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为（ ） A ．60B ．70C ．80D ．9011．如图所示，函数的图象在点P 处的切线方程是，则（ ）A ．12B ．1C ．2D ．012．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，并且满足(3)(1)f x f x +=-，当23x ≤≤时，()f x x =，则(105.5f ）=（ ） A ．12B ．32C ．32-D ．52二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．观察下列等式：(11)21+=⨯2(21)(22)213++=⨯⨯3(31)(32)(33)2135+++=⨯⨯⨯按此规律，第n 个等式可为__________．14．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14 ④他恰好有连续2次击中目标的概率为3×0.93×0.1 其中正确结论的序号是______15．要设计一个容积为π的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径R =_______时，造价最低．16．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为____.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数232()(2ln 1)3f x x x ax =--． （Ⅰ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处切线的斜率等于6-，求a 的值； （Ⅱ）若对于任意的12,(1,)x x ∈+∞，12x x ≠，总有()()121220f x f x x x -+<-，求a 的取值范围．18．已知向量a ,b 满足||||1a b ==，|3(0,)ka b a kb k k R +=-∈． (1)求a b ⋅关于k 的解析式f(k)． (2)若//a b ，求实数k 的值． (3)求向量a 与b 夹角的最大值．19．（6分）在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 过点(),1P a ,其参数方程为212x a t y t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．()1求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；()2已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．20．（6分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝｜x ﹣m ｜+｜x ｜，m ∈N*，存在实数x 使f （x ）＜2成立． （1）求实数m 的值；（2）若α≥1，β≥1，f （α）+f （β）＝4，求证：41αβ+≥1．21．（6分）在2018年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100].如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.（1）请写出第一、二、三、五组的人数，并在图中补全频率分布直方图；（2）若Q 大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.①若Q 大学本次面试中有B ，C ，D 三位考官，规定获得至少两位考官的认可即为面试成功，且各考官面试结果相互独立.已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12，13，15，求甲同学面试成功的概率；②若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望.22．（8分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31124,0a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和为n S ，并求使得n S 取得最大值的序号n 的值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 试题分析：当时，为奇数，，；当时，为偶数，，；当时，为奇数，，；当时，为偶数，，；当时，输出．考点：程序框图．2．B【解析】【分析】由题意知,A B两个截面要相邻，可以把这两个与少奶奶看成一个，且不能排在第3号的位置，可把,A B两个节目排在1,2号的位置上，也可以排在4,5号的位置或5,6号的位置上，其余的两个位置用剩下的四个元素全排列.【详解】由题意知,A B两个节目要相邻，且都不排在第3号的位置，可以把这两个元素看成一个，再让它们两个元素之间还有一个排列，,A B两个节目可以排在1,2两个位置，可以排在4,5两个位置，也可以排在5,6两个位置，所以这两个元素共有12326C A=种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，所以所有节目共有124324624144C A A=⨯=种不同的排法，故选B.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用问题，其中解答时要先排有限制条件的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后再用分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3．C【解析】【分析】根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，有C42种取法，②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有A 42种情况，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况， 则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有C 42A 42×1＝72种， 故选：C ．点睛：能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步有若干种方法．(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 4．C 【解析】 【分析】基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率． 【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教， 每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363m n ===． 故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．B 【解析】由()2sin 0y x x π=≤≤，直线1y =，令2sin 1x =,可得6x π=或56π，∴曲线()2sin 0y x x π=≤≤与直线1y =交于点,16A π⎛⎫⎪⎝⎭或5,16B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此围成的封闭图形的面积()55666622sin 12cos |3S x dx x x πππππ=-=--=⎰，故选B. 6．C 【解析】分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为111,,236， 由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红， 2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，∴下的颜色中有红有黄但没有白的概率为1111111332266626P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选：C.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用. 7．D 【解析】分析：利用反证法和命题的否定分析解答. 详解：“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”的否定是“这三个数都小于2”， 所以做出与命题结论相矛盾的假设是这三个数都小于2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数a,b,c 至少有一个不小于m 的否定是三个数都小于m. 8．C 【解析】 【分析】根据题意可知，结合导数的几何意义，先对函数sin xy e x =+进行求导，求出点01（，）处的切线斜率 ，再根据点斜式即可求出切线方程。
重庆市重点高中高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．在等差数列中，若，，则（ ） {}n a 16a =1110a =39a a +=A ．14 B ．15 C ．16 D ．8【答案】C【分析】根据等差数列性质可知，若则，即可计算出结果. ,m n p q +=+m n p q a a a a +=+【详解】由题意可知，在等差数列中，{}n a 由等差数列性质可知，若则； ,m n p q +=+m n p q a a a a +=+所以 3911116a a a a +=+=故选：C.2．过两点和的直线的倾斜角为（ ） ()1,2-()2,1-A ． B ．C ．D ．ππ2π3π4【答案】D【分析】根据斜率公式，结合倾斜角与斜率直线的关系，建立方程，可得答案. 【详解】斜率，又倾斜角，，．()1211211k --===----[)0,πα∈tan 1α=π4α=故选：D ．3．抛物线的准线方程是（ ） 216x y =A ． B ． 116x =116y =-C ．D ．4x =-4y =-【答案】D【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【详解】解：抛物线，可知抛物线的开口向上，， 216x y =8p =所以抛物线的准线方程是：． 4y =-故选：．D 4．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面l ()2,2,4v =--- α()1,1,2n =l 的位置关系是（ ）αA ．垂直 B ．平行C ．相交但不垂直D ．平行或线在面内【答案】A【分析】根据得到与共线，即可得到直线与平面垂直.2n υ=-υ n l α【详解】因为，所以与共线，直线与平面垂直.2n υ=-υ n l α故选：A.5．已知圆关于直线对称，则的最大值为222440x y x y +-++=()2200,0ax by a b --=>>ab （ ） A ．2 B ．1C ．D ．1214【答案】D【分析】由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出的最大ab 值.【详解】解：由题意在圆中，222440x y x y +-++=()()22121x y -++=∴圆心为，半径为1()1,2A -在直线中， ()2200,0ax by a b --=>>圆关于该直线对称 ∴直线过圆心， ()1,2A -∴，即： 2220a b +-=1a b +=∵ 1a b +=≥解得： 14ab ≤当且仅当时等号成立 12a b ==∴的最大值为. ab 14故选：D.6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，上平面，且，若，，，则P ABCD -PA ABCD 2EC PE = AB a =AC b = AP c = （ ）DE =A ．B ．122333a b c -+ 122333a b c ++C ．D ．2233a b c -+ 2233a b c +- 【答案】C【分析】运用空间向量的加减运算，把已知向量用空间中一组基底表示. 【详解】，1121()3333AE AP PE AP PC AP AC AP AP AC =+=+=+-=+，AD BC AC AB ==- 所以．22223333DE AE AD AB AC AP a b c =-=-+=-+ 故选：C7．如图，在直三棱柱中，已知，D 为的中点，，则111ABC A B C -AB AC ⊥1CC 1AB AC AA ==1AB ，所成角的余弦值是（ ）1A DA B C D 【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，计算，，根据向量的夹角公式计算得()12,0,2AB = ()10,2,1A D =-到答案.【详解】以A 为原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直ABAC 1AA 角坐标系，设，则，，，，2AB =()0,0,0A ()12,0,2B ()10,0,2A ()0,2,1D 所以，，设，所成的角为，()12,0,2AB = ()10,2,1A D =-1AB 1A D θ则cos θ=故选：C8．双曲线C ：的左，右焦点分别为，，过的直线与C 交于A ，B 两()222210,0x y a b a b-=>>1F 2F 2F 点，且，，点M 为线段的中点，则（ ） 222AF F B = 160ABF ∠=︒2AF 112F MF F =A ．B C ．D 4353【答案】B【分析】设，由已知得，利用双曲线定义知，， 2BF t =22AF t =12BF t a =+122AF t a =+在中与中分别利用余弦定理，再结合，可求得12BF F △1BF A 121cos cos 0AMF F MF +=，进而得解 【详解】设，因为，所以， 2BF t =222AF F B =22AF t =由双曲线定义知，则 122B F B F a -=12BF t a =+由双曲线定义知，则122AF AF a -=122AF t a =+设，，因为， 122FF c =222c a b =+160ABF ∠=︒在中，①； 12BF F △22222212(2)(2)1cos 24402(2)2++-∠==⇒++-=⨯+⨯t a t c F BF t at a c t a t 在中， 1BF A 22221(2)(3)(22)1cos 31002(2)32++-+∠==⇒-=⨯+⨯t a t t a F BA t at t a t 解得：，代入①式，得．103t a =73c a =点M 为线段的中点，所以， 2AF 2103A a M MF ==因为，所以121cos cos 0AMF F MF +=，2222221111102610143333010102233a F M a a F M a a F M a F M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯⨯⨯又因为12143F F a =故选：B二、多选题9．已知数列的前项和为，，则下列说法不正确的是（ ）{}n a n n S 25n S n n =-A ．为等差数列 B ．{}n a 0n a >C ．最小值为 D ．为单调递增数列n S 254-{}n a 【答案】BC【分析】根据求出，并确定为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前项和分析求n S n a {}n a n 解.【详解】对于A ，当时，， 2n ≥()()221515126n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-----=-⎣⎦-时满足上式，所以,1n =114a S ==-26,N n a n n *=-∈所以， ()()1216262n n a a n n +-=+---=所以为等差数列，故A 正确；{}n a 对于B ，由上述过程可知，26,N n a n n *=-∈，故B 错误；12340,20,0a a a =-<=-<=对于C ，因为，对称轴为， 25n S n n =-52.52=又因为，所以当或3时，最小值为，故C 错误； N n *∈2n =n S 6-对于D ，由上述过程可知的公差等于2， {}n a 所以为单调递增数列，故D 正确. {}n a 故选:BC.10．已知曲线：，、为实数，则下列说法错误的是（ ）C 221mx ny +=m nA ．曲线可能表示两条直线C B ．若，则是椭圆，长轴长为 0m n >>C C ．若，则0m n =>C D ．若，则是双曲线，渐近线方程为 0m n ⋅<C y =【答案】BD【分析】根据曲线的方程，结合直线，椭圆，双曲线的标准方程及其性质判断即可． C 【详解】当，时，曲线：即为，表示两条直线，选项A 正确； 0m =0n >C 221mx ny +=y =当，曲线：可化为，此时，曲线表示焦点在轴上0m n >>C 221mx ny +=22111x y m n +=110m n<<C y B 错误； 若，曲线：可化为C 正确； 0m n =>C 221mx ny +=221x y m +=若，则是双曲线，其渐近线方程为，选项D 错误． 0m n ⋅<C y =故选：BD ．11．如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则以下结论1111ABCD A B C D -P 11B D 正确的为（ ）A ．三棱锥体积为定值1P A BD-43B ．异面直线成角为 111,A D B D 45C ．直线与面1AA 1A BD D ．当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为 P 11B D 1P A BD -11π【答案】ACD【分析】易证平面，故三棱锥体积为定值；易得，为等边三11//B D 1A BD 1P A BD -11//B D BD 1A BD 角形，故B 错误；由向量法可判断C 正确；转化顶点，易证平面，利用正、余弦定理1A P ⊥BDP 求出的外接圆半径，将所求问题转化为圆柱外接球问题，进而判断D 项. BDP △【详解】因为，所以四边形为平行四边形，所以，11//DD BB 11BDD B 11//B D BD 又因为平面，平面，所以平面，又为线段上动点，所11B D ⊄1A BD BD ⊂1A BD 11//B D 1A BD P 11B D 以到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点与重合时，P 1A BD 1P A BD -P 1D ，故A 正确；1111111142223323P A BD B A DD A DD V V S AB --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△因为，故与所成角等价于与所成角，为等边三角形，所以异面直11//B D BD 1A D 11B D 1A D BD 1A BD 线成角为，故B 项错误；111,A D B D 60 以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，DA x DC y 1DD z 则，，，()()()()10,0,0,2,0,0,2,2,0,2,0,2D A B A ()10,0,2AA = ()()12,0,2,2,2,0DA DB ==设平面的法向量为，则，即，令，得，故1A BD (),,n x y z = 100n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x z x y +=⎧⎨+=⎩1x =1y z ==-，设直线与面所成角为， ()1,1,1n =--1AA 1A BD θ则，故C 项正确；1sin cosAA θ==当点为中点时，，易得，平面，又平面P 11B D 11P A B D D A B P V V --=111A P B D ⊥1BB ⊥1111D C B A 1A P ⊂，所以，，平面，所以平面，即1111D C B A 11A P B B ⊥1111BB B D B ⋂=111,BB B D ⊂11BB D D 1A P ⊥11BB D D 平面，1A P ⊥BDP 1A P =BD CP DP ==所以，的外接圆半径为2221281cos 2263BP DP BD BPD BP DP +--∠===⋅⨯sin BPD ∠=BDP △，故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为32sin 2BDr BDP=∠32r =1h A P =的外接球表面积，设三棱锥的外接球半径为，则，故三棱锥1P A BD -R 22291112424h R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭的外接球表面积为，故D 项正确. 1P A BD -2114π4π11π4S R ==⨯=故选：ACD12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点､的A B 距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗(1)λλ≠尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点xOy (2,2)A (4,2)B -P ||1||2PA PB =所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）P C A ．的方程为 C 228440x y x y +--+=B ．在上存在点到点的距离为4 C M (3,2)--C ．上的点到直线的最大距离为6C 3460x y -+=D ．过点作直线，若上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为B l C l 【答案】ACD【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可. P 【详解】设，则， (,)P x y 12PA PB==化简得，，则选项正确；228440x y x y +--+=A 将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4， C 22(4)(2)16x y -+-=(4,2)则圆上的点到点，(3,2)--444=>则在圆上不存在点到点的距离为4，则选项B 错误；C M (3,2)--上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径，C 3460x y -+=3460x y -+=，则选项C 正确；46=显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， l l 2(4)y k x -=+420kx y k -++=由于圆的半径为4，则要使上恰有三个点到直线的距离为2， C C l 只需圆心到该直线的距离为2，2=解得D 正确． k =故选：ACD ．三、填空题13．已知直线，，若，则的值为______. ()1:1210l a x y -++=2:10l x ay -+=R a ∈12l l ⊥a 【答案】-1【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.【详解】因为，所以，解得. 12l l ⊥()()1120a a -⨯+⨯-=1a =-故答案为：-1.14．已知数列的前项和为，，则_______{}n a n n S 221n S n n =++n a =【答案】 4,141,2n n n =⎧⎨-≥⎩【分析】直接利用即可求的通项公式.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a 【详解】由已知条件，知当时，；1n =114a S ==当时，；2n ≥22121[2(1)(1)1]41n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=-当时不满足上式，1n =∴，4,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩故答案为：. 4,141,2n n n =⎧⎨-≥⎩15．如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为4，，P ABCD -AC BD O = ABCD 60ABC ∠=︒平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线PO ⊥ABCD BP CD E OC E BP的距离为______ .【答案】3【分析】以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直O OB OC OPx y z 角坐标系，由空间向量法求点线距．【详解】连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建BE O OB OC OPx y z 立如图所示的空间直角坐标系，，是等边三角形，点在直线上的射影在边上（靠近的四等分60ABC ∠=︒ABC O AB F AB A 点），由平面，平面，得， PO ⊥ABCD AB ⊂ABCD PO AB ⊥又，，平面，OF AB ⊥OF PO O ⋂=,OF PO ⊂POF 所以平面，而平面，所以，∴为锐角，AB ⊥POF PF ⊂POF AB PF ⊥PBA ∠，为异面直线与所成角，即.//AB CD Q PBA ∴∠PB CD 60PBA ∠= 在菱形中，，， ，，则，ABCD 4AB =60ABC ∠= 2OA ∴=OB =PO a =()0,0,P a ()()(),0,2,00,1,0∴-B A E()2,0)BP a AB =-=cos<,12AB BP PB AB AB BP ⋅>===⋅，a ∴=，，，，()BE ∴=- (BP =- 12BE BP ⋅=6BP =点到直线的距离为.∴E BP 3d =故答案为：3.16．第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为______． 916-【分析】分别设出内外椭圆的方程，求出、点的坐标，得到直线与的方程，分别与内A B AC BD 椭圆联立，根据得到的一元二次方程中的，表示出与，根据，即可得到离心率Δ0=1k 2k 12916k k =-的值.【详解】设内层椭圆方程为，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭22221x y a b +=()0a b >>圆方程为.()()22221x y ma mb +=()1m >所以点坐标为，点坐标为，设切线的方程为，切线的方A (),0ma -B ()0,mb AC ()1y k x ma =+BD 程为，2y k x mb =+联立直线的方程与内层椭圆方程得，AC ()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2222322242211120k a b x ma k x m k a a b +++-=，因为直线与椭圆相切，AC 所以，()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =-+-=整理可得，. 2212211b k a m =⋅-同理，联立直线的方程与内层椭圆方程，可推出， BD 222221x y a by k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222221b k m a =-所以.()224222122224111b b b k k m a m a a =⋅⨯-=-因为，所以，则，12916k k =-22916b a =222222ca b e a a -==227116b a =-=所以e =.四、解答题17．已知圆，直线． 22:4690C x y x y +--+=:20l kx y +-=(1)求圆的圆心坐标和半径；C (2)若直线与圆相切，求实数的值． l C k 【答案】(1)圆心的坐标为，半径为2． C ()2,3(2) 34k =【分析】（1）通过配方将圆的方程化为标准形式，即可得圆心和半径； （2）通过圆心到直线的距离等于半径列出方程解出即可. 【详解】（1）圆，22:4690C x y x y +--+=圆的标准方程为． ∴C 22(2)(3)4-+-=x y 圆的圆心的坐标为，半径为2．∴C C ()2,3（2）直线与圆相切，l C圆心到直线的距离，解得． ∴C l 2d 34k =实数的值为．∴k 3418．已知为等差数列，前项和为，是首项为3且公比大于0的等比数列，{}n a n n S ()*n ∈N {}n b q ，，. 3229b b -=343b a =9211S b =(1)求和的通项公式；{}n a {}n b (2)求数列的前项和.{}n n a b n n T ()*n ∈N 【答案】(1)，；21n a n =+3nn b =(2).13n n T n +=⋅【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式及其性q 质和求和公式，即可解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式；1a d {}n a {}n b （2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和． {}n n a b ×n n T 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则． {}n a d {}n b q 0q >则由可得，，解得或（舍去），3229b b -=2369q q -=3q =1q =-所以，则，.111333n n nn b b q --==⨯=29b =327b =由可得，由可得，， 343b a =49a =9211S b =999S =又，所以. ()1995992a a S a +==511a =所以，，所以， 542d a a =-=411369a a d a =+=+=13a =所以.()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+（2）由（1）知，，，21n a n =+3nn b =所以.()321nn n a b n ⋅=⋅+所以，，211223353(21)3n n n n T a b a b a b n =++⋯+=⨯+⨯+⋯++⋅，21333353(21)3n n T n +=⨯+⨯+⋯++⋅两式作差得，2133(21233232)332n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⋅+⨯-L，()111121(223191)3(21)393923133n n n n n n n n +++-+=+-=+--=+-⋅--⋅⨯⨯+⋅所以，.13n n T n +=⋅19．如图，在四棱锥 中， 已知底面， 底面是正方形，.P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD PA AB =(1)求证： 直线 平面；BD ⊥PAC (2)求直线 与平面所成的角的正弦值. PC PBD 【答案】(1)证明见解析 (2) 13【分析】（1） 证明和，利用直线与平面垂直的判定定理可得证. PA BD ⊥AC BD ⊥（2）建立空间直角坐标系，利用平面法向量解决线面角的问题.【详解】（1）因为 平面， 且平面，所以 . PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥在正方形 中，. ABCD AC BD ⊥而, 平面， PA AC A = ,PA AC ⊂PAC 故 平面.BD ⊥PAC （2）以为坐标原点，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系.A ,,AB AD AP x y z ，，设 ，则，1AB =()()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0B D P C 从而.()()()1,0,1,0,1,1,1,1,1PB PD PC =-=-=-设平面 的法向量为， PBD ()n x y z =，，，令 ， 则. 00PB n x z PD n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 1z =(1,1,1)n = 设直线 与平面所成的角为，则， PC PBD θ1sin cos ,3PC n PC n PC n θ⋅===⋅故直线 与平面的所成角的正弦值为.PC PBD 1320．已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．2222:1(0)x y C a b a b +=>>)F(1)求椭圆的标准方程；C (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若B C ():1l y x m m =+≠C M N ，求直线的方程．BM BN ⊥l 【答案】(1)2214x y +=(2)35y x =-【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程；,,a b c （2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数. 0BM BN ⋅=m 【详解】（1）由题意得，，， c =2ab=222a b c =+，，2a ∴=1b =椭圆的标准方程为．∴C 2214x y +=（2）依题意，知，设，．()0,1B ()11,M x y ()22,N x y 联立消去，可得． 2244y x m x y =+⎧⎨+=⎩y 2258440x mx m ++-=，即，()2Δ1650m ∴=->m <<1m ≠，．1285m x x -+=212445m x x -=，．BM BN ⊥ 0BM BN ∴⋅=， ()()()()211221212,1,121(1)0BM BN x x m x x m x x m x x m ⋅=+-⋅+-=+-++-=，()2244821(1)055m m m m --∴⨯+-+-=整理，得，25230m m --=解得或（舍去）．35m =-1m =直线的方程为．∴l 35y x =-21．如图，分别是矩形上的点，，，把四边形1,A D 11A BCD 1222AB AA AD ===12DC DD =沿折叠，使其与平面垂直，如图所示，连接，得到几何体11A ADD AD ABCD 21A B 1D C ．11ABA DCD -(1)当点在棱上移动时，证明：；E AB 11D E A D ⊥(2)在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存AB E 1D EC D --π6AE 在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，2AE =【分析】（1）利用题设条件及面面垂直的性质定理证得两两垂直，从而建立空间直角1,,DA DC DD 坐标系，求得，由此可证得；11,A D D E11D E A D ⊥（2）利用（1）中结论，求出平面与平面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标DCE 1D CE 公式得到关于的方程，解之即可.0y 【详解】（1）由图1易知图2中，有，1,AD CD AD DD ⊥⊥又因为面面，面面，面， 11A ADD ⊥ABCD 11 A ADD ABCD AD =CD ⊂ABCD 所以面，又面，故，CD ⊥11A ADD 1DD ⊂11A ADD 1CD DD ⊥故以为原点，边所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， D 1,,DA DC DD x y z 则11(0,0,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,2,0),D D A C不妨设，，则，故，0AE y =002y ≤≤()01,,0E y ()110(1,0,1),1,,1A D D E y =--=-所以，故.110D E A D ⋅=11D E A D⊥ .（2）假设存在使二面角的平面角为，其中， ()01,,0E y 1D EC D --π6002y ≤≤因为平面，所以可作为平面的一个法向量， 1DD ⊥DCE 1(0,0,1)DD =DCE 因为， ()110(0,2,1),1,,1CD D E y =-=- 设平面的一条法向量为，则，即，1D CE (,,)r x y z = 1100r D E r CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0020x y y z y z +-=⎧⎨-+=⎩令，则，故， 1y =02,2x y z =-=()02,1,2r y =-因为二面角的平面角为， 1D EC D --π6所以1πcos ,cos 6DD r ==整理得，解得或（舍去），200312110y y -+=02y =02y =所以， 02AE y ==故在棱上存在点，使二面角的平面角为，且AB E 1D EC D --π62AE =22．已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离C ()222210,0x y a b a b -=>>0x =为1.(1)求双曲线的标准方程.C (2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A ，两点，为坐标原点，直线，12-l C x B O OA OB的斜率之积为，求的面积.18-OAB 【答案】(1)2212x y -=(2)【分析】（1）根据点到直线距离公式求出，求出c =223a b +=a =，得到双曲线方程；1b =（2）设出直线：，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据直线l ()102y x t t =-+>，的斜率之积为，列出方程，得到，得到直线方程，数形结合得到的面积.OA OB 18-1t =OAB 【详解】（1）由题意知焦点到渐近线，则(),0c0x =1=c =因为一条渐近线方程为，所以 0x=b a =又，解得：，223a b +=a =1b =所以双曲线的标准方程为；C 2212x y -=（2）设直线：，，，l ()102y x t t =-+>()11,A x y ()22,B x y 联立， ()22221,2441012y x t x tx t x y ⎧=-+⎪⎪⇒+-+=⎨⎪-=⎪⎩则，()22Δ161610t t =++>所以，，124x x t +=-()21241x x t ⋅=-+由121212121122OA OB x t x t y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⋅=⋅=，()()()221221241112244841t tx x t t t x x t -++--+=+=+=--+解得或（舍去），1t =1-所以，，124x x +=-128x x ⋅=-：，令，得，l 112y x =-+0x =1y =1x -==所以的面积为OAB 1212111()1222S OD x x OD x x =+=-=⨯⨯=。
重庆市名校高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）l ()1,1a =-l A ． B ． 45︒90︒C ． D ．120︒135︒【答案】D【分析】由直线的方向向量的概念，即可求出直线的斜率，进而求出直线倾斜角.l l 【详解】由于直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为l (1,1)a =-l 1-l .135︒故选：D.2．是等差数列，且，则的值为（ ） {}n a 14725815,24a a a a a a ++=++=369a a a ++A ．24 B ．27C ．30D ．33【答案】D【分析】根据等差数列的性质计算．【详解】解：因为是等差数列，设公差为，则，{}n a d ()2581473a a a a a a d ++-++=，()3692583a a a a a a d ++-++=所以，，也成等差数列， 147a a a ++258a a a ++369a a a ++所以． 369a a a ++2582()a a a =++147()a a a -++2241533=⨯-=故选：D ．3．已知椭圆的离心率，则的值可能是（ ）22159x y k +=+13e =k A ．3 B ．7 C ．3或 D ．7或41874【答案】C【分析】根据给定的方程，按焦点位置分类求解作答.【详解】椭圆的离心率，22159x y k +=+13e =当椭圆焦点在x 轴上时，，即，，解得，59k +>4k >2(5)9159k e k +-==+418k =当椭圆焦点在y 轴上时，，即，，解得， 059k <+<54k -<<29(5)199k e -+==3k =所以的值可能是3或. k 418故选：C4．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）221343x y m m +=+-m A ． B ． C ． D ．()4,3,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭4,33⎛⎫ ⎪⎝⎭()4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭43,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据方程表示双曲线，由求解.221343x y m m +=+-()()3430m m +-<【详解】解：因为方程表示双曲线，221343x y m m+=+-所以，即，()()3430m m +-<()4303m m ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭解得或，43m >3m <-所以实数的取值范围为，m ()4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭故选：C5．直线与圆的位置关系是（ ） 1y kx =+22230x y y ++-=A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切【答案】D【分析】求出动直线过的定点，再判断该定点与圆的位置关系即可作答. 【详解】，当时，恒有，即直线过定点， R k ∀∈0x =1y =1y kx =+(0,1)A 在圆中，当时，方程成立， 22230x y y ++-=0,1x y ==22230x y y ++-=即点在圆上，(0,1)A 22230x y y ++-=所以直线与圆的位置关系是相交或相切 1y kx =+22230x y y ++-=故选：D6．已知一个乒乓球从米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的h (01)m m <<倍，则当它第2023次着地时，经过的总路程是（ ） A ．B ．h()2023211hm m h m -+-()2022211hm m m -+-C ．hD ．()202311hm m m-+-()202211hm m h m-+-【答案】B【分析】根据等比数列的求和公式求解即可.【详解】解：从第1次着地到第2次着地经过的路程为 ，第2次着地到第3次着地经过的路2mh程为，，组成以为首项，公比为的等比数列， 22m h 2mh m 所以第1次着地到第次着地经过的路程为，2023()2022211mh m m--所以经过的总路程是.()2022211mh m h m-+-故答案为：B.7．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八O O O 等分，且，则该双曲线的离心率为（ ）AB BO OC CD ===A B C D【答案】B【分析】设双曲线的标准方程为，求出圆与双曲线在第一象限内的交点()222210,0x y a b a b-=>>O E的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可得出的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双E ba 曲线的离心率.【详解】设双曲线的标准方程为，()222210,0x y a b a b-=>>设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、，则O E DE OE 22OE OD OC CD OC a ==+==，因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，则，O O 1π2π84DOE ∠=⨯=故点，)E将点，所以，，E1=ba所以，该双曲线的离心率为. c e a ===故选：B.8．已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的{}n a n 23122n S n n =-11,n n n n b T a a +={}n b n ，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）*n ∈N 124n T n λ<+λA ． B ． C ． D ．(),64∞-(),48-∞(),32-∞()16,∞+【答案】A【分析】根据的关系求出数列的通项公式，再根据裂项相消法求得，从而根据不等式,n n a S {}n a n T 恒成立求实数的取值范围. λ【详解】当时，， 2n ≥2213131(1)(1)322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦当时满足上式，1n =111a S ==所以，32,n a n n *=-∈N 所以， ()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以121111111113434733231n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以， 11133131n T nn n ⎛⎫-= ⎪⎭=++⎝由可得， 124n T n λ<+12431nn n λ<++即恒成立， 24(31)1496n n n n λ+⎛⎫<=⨯++ ⎪⎝⎭因为对勾函数在单调递增， 14(96)y x x=++[)1,+∞所以当时有最小值为64，1n =1496n n ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭所以， 64λ<故选:A.二、多选题9．下列结论错误的是（ ）A ．过点的直线的倾斜角为()()1,3,3,1A B -30 B ．若直线与直线垂直，则 2360x y -+=20ax y ++=32a =C ．直线与直线 240x y +-=2410x y ++=D ．已知，点在轴上，则的最小值是5 ()()2,3,1,1A B -P x PA PB +【答案】AC【分析】求出直线倾斜角判断A ；利用垂直关系求出a 判断B ；求出两条平行线间距离判断C ；利用对称求出最小值判断D 作答.【详解】对于A ，直线倾斜角，斜率，而，A 不AB α131tan 312k α-===--tan 30= 30α≠o 正确;对于B ，直线与直线垂直，则，解得，B 正确； 2360x y -+=20ax y ++=230a -=32a =对于C ，直线与直线平行，它们间的距离，C 不正2480x y +-=2410x y ++=d =确；对于D ，令点关于x 轴的对称点为，连接交x 轴于，P 为x 轴上任意点，连接B (1,1)B '--AB 'P '，如图，PB '则，当且仅当点P 为线段与x 轴的交点时取等||||||||||||||PA PB PA PB AB AP P B ''''+=+≥=+AB 'P '号，，因此的最小值是5，D 正确. ||5AB '==PA PB +故选：AC10．已知等差数列满足，前3项和，则（ ） {}n a 343a =33S =A ．数列的通项公式为 {}n a 1423n a n =-B ．数列的公差为{}n a 13C ．数列的前项和为{}n a n 236n n nS +=D ．数列的前20项和为11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭4511【答案】BCD【分析】通过基本量计算得和d ，可判断ABC ；用裂项相消法求和可判断D. 1a 【详解】设等差数列的公差为{}n a ,d 由题知，，解得，则，3131423333a a d S a d ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩121,33a d ==2111(1)3333n a n n =+-=+，故A 错，BC 正确； 22(1)133236n n n n nS n -+=+⨯=记的前n 项和为，因为， 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 11999(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++所以 ()9999999()()((23349999)12222452n T nn n n n =-+-+-+⋅⋅-==+⋅++-++所以，故D 正确. 209204522211T ⨯==⨯故选：BCD11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，若某直线上存在点，使得点到点的距离比到直线的距离()0,2M :4l y =-P P M l 小2，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点轨迹曲线是抛物线P B ．点的轨迹与直线是没有交会轨迹（即两个轨迹没有交点） P 0:1l y =-C ．是“最远距离直线” 29y x =-D ．不是“最远距离直线” 1223y x =-【答案】ABD【分析】确定出点轨迹是抛物线，再确定此抛物线与BCD 中的直线有无公共点即可得．P【详解】解：平面上点到点的距离比到直线的距离小，则点到点的距离P ()0,2M :4l y =-2P M 与它到直线的距离相等，=2y -因此其轨迹是以焦点，直线为准线的抛物线，其轨迹方程是，故A 正确， M =2y -28x y =此抛物线与直线一定无交点，故B 正确；28x y =0:1l y =-由得，即，， 2829x y y x ⎧=⎨=-⎩28(29)x x =-216720x x -+=216472320∆=-⨯=-<方程组无实数解，因此抛物线与直线无交点， 29y x =-即直线上不存在点满足题意，故C 错误；29y x =-P 由得，，方程组无实数解，281223x yy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩216403x x -+=21616(4)41033∆=--⨯⨯=-<因此抛物线与直线无公共点，所以直线上不存在点满足题意，故D 正确，1223y x =-1223y x =-P 故选：ABD ．12．如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所1111ABCDA B C D -E 1DD M 11CDD C 在平面内一动点，下列说法正确的是（ ）A ．若点是线段的中点，则 F AB 1//CF A E B ．若点是线段的中点，则平面G AD 1C G ⊥1A BE C ．若平面，则点轨迹在正方形1//B M 1A BE M 11CDD C D ．若点到的距离与到的距离相等，则点轨迹是抛物线 M BC 1DD M 【答案】BD【分析】根据给定的正方体，以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A ，B ；设出点M 的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出点M 的轨迹判断C ；利用抛物线定义判断D 作答.【详解】在棱长为2的正方体中，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标1111ABCD A B C D -系，则，111(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,2),(2,2,2),(0,2,1),(1,0,0),(0,1,0)A B A C B C E F G 对于A ，，显然向量与不共线，因此直线与直线不平1(1,2,0),(0,2,1)FC A E ==- FC 1A E CF 1A E 行，A 不正确；对于B ，，则有，11(2,0,2),(2,1,2)A B GC =-= 1122(2)20A B GC ⋅=⨯+-⨯=，即，，从而，， 1121(1)20A E GC ⋅=⨯+-⨯= 11A B GC ⊥ 11A E GC ⊥11A B GC ⊥11A E GC ⊥又平面，所以平面，B 正确；11111,,A B A E A A B A E =⊂ 1A BE 1C G ⊥1A BE 对于C ，由选项B 知，向量是平面的一个法向量，设，1(2,1,2)GC =1A BE (,2,)M x z ，02,02x z ≤≤≤≤，因为平面，则， 1(2,2,2)B M x z =-- 1//B M 1A BE 11B M GC ⊥于是得，整理得，112(2)22(2)0B C M G x z =-++-⋅=3x z +=所以，得，02032x z x ≤≤⎧⎨≤=-≤⎩12x ≤≤满足，的点M 轨迹是正方形内的线段，其中， 3x z +=12x ≤≤11CDD C 12M M 12(2,2,1),(1,2,2)M M所以点轨迹在正方形内的长度为，C 不正确；M 11CDD C 12||M M =对于D ，在正方体中，平面，而点平面， 1111ABCD A B C D -BC ⊥11CDD C ,M C ∈11CDD C 显然点M 与C 不重合，否则，矛盾，即有，0CD =MC BC ⊥因此点到直线的距离等于点到点的距离，又平面，直线，M BC M C 1DD ⊂11CDD C C ∉1DD依题意，在平面内，点M 到定点C 的距离等于它到定直线的距离，点轨迹是抛物11CDD C 1DD M 线，D 正确. 故选：BD【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的轨迹问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算建立动点坐标的关系解决.三、填空题13．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.向OABC 2BD DC =E AD ,,OA a OB b OC c === 量表示向量__________.,,a b cOE =【答案】111236a b c ++【分析】根据给定条件，利用空间向量的基底及线性运算求解作答.【详解】依题意，由得：，2BD DC =111()()333BD BC OC OB c b ==-=- 则，而点为的中点，121()333OD OB BD b c b b c =+=+-=+E AD 所以. 11121111()()22233236OE OA OD a b c a b c =+=++=++ 故答案为：111236a b c ++14．圆关于直线的对称圆的标准方程为__________. 22230x y y ++-=20x y --=【答案】22(1)(2)4x y -++=【分析】求出圆的圆心和半径，再求出圆心关于直线的对称点坐标，即可作答. 20x y --=【详解】圆的圆心，半径， 22(1)4x y ++=(0,1)C -2r =设点关于直线的对称点，(0,1)C -20x y --=(,)C a b '则有，解得，因此所求圆的圆心，半径为，1112022b aa b +⎧=-⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩1,2a b ==-(1,2)C '-2r =所以所求圆的标准方程为：. 22(1)(2)4x y -++=故答案为：22(1)(2)4x y -++=15．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂12,F F P 12PF PF >1PF 直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为__________. 2F 1e 2e 2132e e +【答案】66+【分析】根据给定条件，结合椭圆、双曲线定义，利用半焦距c 及双曲线实半轴长表示椭圆的长半轴长，再利用离心率的意义列式，借助均值不等式求解作答.【详解】令，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为， 12(,0),(,0),0F c F c c ->(0)a a c ''<<因为线段的垂直平分线过，则有，1PF 2F 212||||2PF F F c ==依题意，，，于是得，而12||2||22PF a PF a c =-=-12||2||22PF a PF a c ''=+=+2a a c '=+，12,c c e e a a =='因此21333(2)36662222e a c a c c a c e c a c a c a ''++=+=+=++≥+='''当且仅当，即时取等号， 32a cc a '='c '=所以的最小值为2132e e +6故答案为：6【点睛】关键点点睛：椭圆长短半轴长分别为a ，b ，半焦距为c 满足关系式：；双曲线222a b c =+的实半轴、虚半轴、半焦距分别为、、满足关系式：，在同一问题中出现认真a 'b 'c '222c a b '''=+区分，不要混淆.四、双空题16．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究.如图，图形中的圆点数分别为，以此类推，第7个图形对应的圆点数为__________；若这些数构成数列，则1,5,12,22,⋯{}n a__________. 322412324a a a a ++++=【答案】 70 438【分析】根据给定的信息，令第n 个图形对应的圆点数为，利用观察法探求，再n a 1(2)n n a a n --≥利用累加法求出数列通项即得；求出，再利用等差数列前n 项和公式求解作答. n a n【详解】令第n 个图形对应的圆点数为，观察图形得：，n a 1211,4113a a a =-==+⨯，327123a a -==+⨯，因此有，，4310133a a -==+⨯113(1)n n a a n --=+-,2n n *∈≥N 则当时， 2n ≥12132431()()()()3[123(1)]n n n a a a a a a a a a a n n -=+-+-+-++-=+++++- ，显然满足上式，即有， 3(11)(1)(31)22n n n n n +---=+=11a =(31)2n n n a -=所以第7个图形对应的圆点数；770a =，显然数列是首项为1，公差为的等差数列， 312n a n n -={}n a n 32所以. 3224124233241438232422a a a a ⨯++++=⨯+⨯= 故答案为：70；438五、解答题17．已知等差数列的前项和为，，，求：{}n a n n S 864S =611a =(1)；n S (2)若、、成等比数列，求.3S 1413S S -k S k 【答案】(1)2n S n =(2)9k =【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出通项1a d 1a d 公式与；n S （2）由（1）可得、、的值，再根据等比中项的性质得到方程，解得即可.3S 1413S S -k S 【详解】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，1a d 由，，所以，解得，所以， 864S =611a =8161878642511S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩121d a =⎧⎨=⎩21n a n =-则. ()21212n n n S n +-==（2）解：由（1）可知，，，2339S ==14141327S a S =-=2k S k =又、、成等比数列，3S 1413S S -k S 所以，即，解得或（舍去）.()214133k S S S S =-⋅22279k =⨯9k =9k =-18．如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，111ABC A B C -ABC 是侧棱上一点. ,2,4,AB AC AB AC AA M ⊥===1CC(1)若，求的值； 1BM A C ⊥1C M MC(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.2MC =1BA ABM 【答案】(1)3【分析】(1)根据垂直的空间向量的坐标表示求解；(2)根据线面夹角的空间向量的坐标表示即可求解.【详解】（1）因为平面,平面,所以，1AA ⊥ABC ,AB AC ⊂ABC 11,AA AB AA AC ⊥⊥且，所以以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， AB AC ⊥A所以，设，1(2,0,0),(0,2,0),(0,0,4)B C A (0,2,)M h 所以1(2,2,),(0,2,4),BM h A C =-=- 因为，所以解得，1BM A C ⊥1440BM A C h ⋅=-= 1h =所以，所以. 13,1C M MC ==13C M MC=（2）因为，所以，2MC =(0,2,2)M ,1(2,0,4),(2,0,0),(0,2,2)BA AB AM =-== 设平面的法向量为，直线与平面所成角为，ABM (,,)m x y z = 1BA ABM θ所以令，所以， 20220AB m x AM m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1,0,1y x z =-==(0,1,1)m =- 所以111sin cos ,BA m BA m BA m θ⋅==== 19．已知圆圆心为直线与轴的交点，半径等于直线与直线E ()4y k x =-x 3450x y +-=的距离.34100x y ++=(1)若直线与圆交于两点，求.20x y +-=E A B ､AB (2)过点作圆的切线分别交轴与轴于点，若O 为坐标原点，求.(5,E x yC D ､OCD S A 【答案】(1)【分析】（1）根据给定条件，求出圆的方程，再利用圆的性质求出弦AB 长作答.E （2）由（1）的信息，求出切线方程，进而求出点C ，D 的坐标，再求出三角形面积作答.【详解】（1）直线交轴于点，直线与直线的距离()4y k x =-x (4,0)E 3450x y +-=34100x y ++=，3d ==依题意，圆的圆心，半径，方程为，E (4,0)E 3r =22(4)9x y -+=圆心到直线的距离 (4,0)E 20x y +-=d ==所以AB ==（2）显然点在圆：上，则过点的圆的半径所在直线斜率为(5,E 22(4)9x y -+=(5,E=因此过点的圆切线斜率为， (5,E 5)y x -=-令得：，令得：，则有 0y =(13,0)C 0x =D ||13,||OC OD ==所以. 11||||1322OCD S OC OD ==⨯=A 20．已知数列满足，数列的前项和为. {}n a 2212372222n n n n a a a ++++= {}n a n n S (1)求数列的通项公式；{}n a (2)求.n S 【答案】(1) 322n n n a +=(2) 3882n nn S +=-【分析】（1）利用“退一作差”法求得.n a （2）利用错位相减求和法求得. n S 【详解】（1）依题意， 2212372222nn n n a a a ++++= 当时，， 1n =1137525,22a a +===当时，由， 2n ≥2212372222nn n n a a a ++++= 得， ()()222112131713422222n n n n n n a a a ---+-+-+++== 两式相减得， ()32232,22n n n nn a n a n +=+=≥也符合上式，所以. 1a 322n nn a +=（2）， 25832222n n n S +=+++ ， 231158322222n n n S ++=+++ 两式相减得， 2311533332222222n n n n S ++=++++- 213333252222n n n n S -+=++++- . 1311322251212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--3882n n +=-21．如图，在四棱锥中，，，P ABCD -122PD PCCB BA AD =====//AD CB ，平面平面，为中点.90CPD ABC ∠=∠= PCD ⊥ABCD E PD(1)求证：面；//CE PAB (2)求证：面；PD ⊥PCA (3)点在棱上，设，若二面角. Q PA (01)PQ PA λλ=<< P CD Q --λ【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 12λ=【分析】（1）取中点F ，连接，，即可得到且，从而得到，即PA EF BF //EF BC EF BC =//CE BF 可得证；（2）依题意可证，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由CD AC ⊥AC ⊥PCD PD AC ⊥，即可得证；PC PD ⊥（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：取中点F ，连接，，因为为中点，PA EF BF E PD 则且，又且， //EF AD 12EF AD =//BC AD 12BC AD =∴且，//EF BC EF BC =∴四边形是平行四边形，EFBC ∴，//CE BF 又面，面，CE ⊄PAB BF ⊂PAB ∴面；//CE PAB（2）证明：由题意：，，2BC AB ==90ABC ∠=∴，AC ==CD =又，∴，4=AD 222CD AC AD +=∴，CD AC ⊥又平面平面，平面平面， 平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =AC ⊂ABCD ∴平面，平面，AC ⊥PCD PD ⊂PCD ∴，PD AC ⊥又且面，面，，PC PD ⊥PC ⊂PCA AC ⊂PCA PC AC C ⋂=∴面；PD ⊥PCA（3）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，C则，，，， (0,0,0)C ()0,A ()D P∴，，， ()CD = CP = (PA = 由，(01)PQ PA λλ=<<有，)),)CQ CP PQ CP PA λλλ=+=+=-- 令是平面的一个法向量，(,,)n x y z = CDQ 则即， 00n CD n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩))0110x y z λλ⎧=⎪-⋅+⋅+-⋅=令，有， 1y =20,1,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭取面的一个法向量，PCD (0,1,0)m = 由. cos ,n 〈= 12λ=22．设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，已知是抛物线22221(0)x y a b a b+=>>F A 12A 的焦点，到抛物线的准线的距离为1.22(0)y px p =>Fl (1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点l ,P Q x AP (B B )A BQ x ，若的面积为，求直线的方程.D APD △AP 【答案】(1)椭圆的方程为，抛物线的方程为 22143x y +=28y x =(2)或360x -=360x -=【分析】（1）由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率A F l 11a c -=为，求出、、，即可得出椭圆的标准方程和抛物线方程；12c a b （2）设直线方程为设，解出、两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联AP 2(0)x my m =+≠P Q AP 立解出点坐标，写出所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为B BQ D APD △求出，得出直线的方程.m AP 【详解】（1）解：设，，(),0F c -(),0A a 依题意可得，，，解得，，，于是， 12c a =2p a =1a c -=2a =1c =4p =2223b a c =-=所以椭圆的方程为，抛物线的方程为. 22143x y +=28y x =（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，AP ()20x my m =+≠l 2x =-42,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故， 42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭将与联立，消去整理得，解得，或， 2x my =+22143x y +=x ()2234120m y my ++=0y =21234m y m -=+由点异于点，可得点， B A 2226812,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭由，可得直线的方程为， 42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭BQ ()2221246842203434m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，解得，故， 0y =224326m x m =+-2246,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭所以， 2222461223232m m AD m m -=-=++又因为的面积为 APD △221124232m m m⨯⨯=+整理得， 230m -=m =所以直线的方程为或.AP 360x +-=360x -=【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．。
重庆市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（ ） l k 23k =l A ．或 B ．或 C ．或 D ．或30 150 45 135 60 120 90 180 【答案】C【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为， l α0180α≤< 因为，所以，23k=k =当； k tanα=60α= 当， k =tan α=120α= 所以直线的倾斜角为或. l 60 120 故选：C.2．已知点在坐标平面内的射影为点，则（ ）()2,1,3A -Oxz B OB =A BCD【答案】C【分析】根据已知条件及向量的模公式即可求解.【详解】因为点在坐标平面内的射影为点, ()2,1,3A -Oxz B 所以，()2,0,3B -所以，()2,0,3OB =- 所以.OB == 故选：C.3．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）22131x y m m +=+-m A ． B ．C ．D ．()3,1-()1,1-()3,1--()()3,11,1--- 【答案】D【分析】根据方程表示椭圆的条件即可求解.【详解】因为方程表示椭圆，22131x y m m+=+-所以，解得且，301031m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩31m -<<1m ≠-所以实数的取值范围为. m ()()3,11,1--- 故选：D.4．大衍数列0，2，4，8，12，18，…来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其通项公式为，则（ ）221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数100101a a -=A ． B ．C ．100D ．101101-100-【答案】B【分析】根据通项公式直接计算得到答案.【详解】，故.221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数221001*********10022a a --=-=-故选：B5．如图，在棱长为的1正方体中，点是线段的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -E 11A C 1AE D B ⋅=A ．1B ．0C ．D ．12-1-【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，()()()1111,0,0,,,1,1,1,0,0,0,122A E B D ⎛⎫⎪⎝⎭所以，，()111,,1,1,1,122A B E D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以，.1111122AE D B ⋅=-+-=- 故选：D6．已知圆，直线与圆相交于，两点，则的22:2410C x y x y +---=:210l ax y a --+=C A B AB 最小值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】C【分析】由题意得直线过定点且点在圆内，由结合弦长公式可得结果． ()2,1D D d CD ≤=【详解】圆：的圆心，半径C ()()22126x y -+-=()1,2C r =直线即，则直线经过定点 :210l ax y a --+=(2)10a x y --+=l ()2,1D由,得点在圆内CD r =<D设圆心到直线的距离为，则，（当时取等号） C l d d CD ≤=CD l ⊥则，（当时取等号） 4AB ==≥=CD l ⊥则的最小值为4. AB 故选：C.7．已知，则方程表示的曲线可能是（ ）0a ≠(()20ax x ay a -+=A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物(()20ax x ay a -+=0ax =20x ay a -+=线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可.【详解】方程，得或，(()20ax x ay a -+=0ax =20x ay a -+=当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的0a >22y a x =()0,0x y ≥≥1y x a a=+0,0x y ≥≥部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A ，B ，D 不符合，C 符合； y 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的0a <22y a x =()0,0x y ≤≥1y x a a=+0,0x y ≤≥部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A ，B ，C ，D 均不符合， y综上，方程表示的曲线可能是C.(()20ax x ay a -+=故选：C.8．双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线的右支上存在一点，()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F C P 使得为钝角等腰三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） 12PF F △CA ．B ．C ．D ．(()1)+∞)1,+∞【答案】B【分析】当时，．因为为钝角等腰三角形，则，且212PF F F ⊥22b PF a=12PF F △2122PF F F c ==为钝角，所以，结合的关系求解即可．21PF F ∠22b c a>,,,a b c e 【详解】当时，． 212PF F F ⊥22b PF a=因为为钝角等腰三角形，则，且为钝角，所以，12PF F △2122PF F F c ==21PF F ∠22bc a>即，所以，结合，解得． 2222ac b c a >=-2210e e --<1e >11e <<故选：B.二、多选题9．已知数列的通项公式为，则（ ） {}n a 316n na n =-A ．数列为递增数列 B ． {}n a 4862+=a a a C ．为最小项 D ．为最大项5a 6a 【答案】CD【分析】根据数列的通项公式，利用分离常数法得出，结合及函数的{}n a 11616393n a n =+⎛⎫- ⎪⎝⎭*N n ∈性质即可判断A 、C 、D ；求得即可判断B ．486,a a a +【详解】， 11616316393n n a n n ==+-⎛⎫- ⎪⎝⎭当()时，，且单调递减；当()时，，且单调递减， 5n >*N n ∈0n a >5n ≤*N n ∈0n a <则为最小项，为最大项，故C 、D 正确，A 错误；5a 6a ，，则，故B 错误，4803414863816a a +=⨯-⨯-+=6336616a ⨯==-4862a a a +≠故选：CD ．10．椭圆上一点和圆上一点，则的值可能是（ ）22143x y +=P ()22114x y -+=Q PQ A ． B ．1 C ．3 D ．414【答案】BC【分析】先转化为椭圆上一点到圆心的距离，利用二次函数单调性求出范围，再由圆上点的几何性质，求出的取值范围.PQ 【详解】设圆心为，，()1,0C 00(,)P x y 则，其中， ()222200001||1244PC x y x x =-+=-+[]02,2x ∈-由对称轴为知，时，函数单调递减，04x =[]02,2x ∈-则，所以，[]2||1,9PC ∈[]||1,3PC ∈则有，． 17||||22PQ PC ≤+≤11||||22PQ PC ≥-≥故选：BC11．若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ） {},,AB AC ADA ．存在，使得,x y ∈R AB x AC y AD =+B ．也构成空间的一个基底{},,BC CD AB C ．若，则直线与异面AP AB AC AD =++AP BD D ．若，则，，，四点共面AP AB AC AD =-+P B C D 【答案】BCD【分析】根据空间向量基本定理判断A,B 选项，再由共线向量基本性质及为一组基底{},,AB AC AD判断出C 、D.【详解】由题意知，三向量不共面，所以错误；,,AB AC ADA 若三向量共面，则有，,,BC CD AB()()AB xBC yCD x AC AB y AD AC =+=-+- 化简有：，因为不共面，()()10x AB x y AC y AD --+-+= ,,AB AC AD则，无解，故三向量不共面，能够构成一组基底，故B 正确； 1000x x y y --=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,,BC CD AB 若与共面，则有，则有，与题意矛盾，故AP BDAP mAB nAD =+ ()()110m AB AC n AD -++-= C 正确； 若，化简有，则有，所以四点共面，故D 正确． AP AB AC AD =-+ AP AB AC AD -=-+ BP CD =故选：BCD12．设圆与圆的公共点为，，点在圆上运221:6260C x y x y +-+-=222:60C x y y +-=A B M 1C 动，则（ ）A ．直线的方程为B ． AB 3430x y -+=125=AB C ．的面积的最大值为 D ．圆，在公共点的切线互相垂直MAB △432251C 2C 【答案】ACD【分析】由题意可判断两圆相交，两圆方程相减可得直线的方程，即可判断A ；求出圆心到AB 1C 直线的距离，然后用弦长公式求得，即可判断B ；设为点到直线的距离，则有AB AB M h M AB，从而可得的面积的范围，即可判断C ；由勾股定理可得，即可11365M h d r ≤+=MAB △12C A C A ⊥判断D ．【详解】圆，圆心，半径，()()221:3116C x y -++=()13,1C -14r =圆，圆心，半径，()2223:9x y C +-=()2C 0,323r =因为，则两圆相交.1212125r C r r C r -<=<+两圆方程相减得，即得，故A 正确；()()222206266x x y x y y y ++----=+:3430AB x y -+=圆心到直线的距离，则，故B 错误； 1C AB 1165d 245AB ==设为点到直线的距离，则有，所以的面积，M h M AB 11365M h d r ≤+=MAB △1432225M S AB h =⋅≤故C 正确；因为，，，则，所以，所以两圆在处14C A =23C A =125C C =2221212C A C A C C +=12C A C A ⊥A 的切线互相垂直，故D 正确． 故选：ACD.三、填空题13．若两直线与互相垂直，则实数的值为______．10x my +-=()2220m m x y -++=m 【答案】0或3【分析】利用直线的一般式方程中，直线相互垂直的系数关系列方程即可得出.【详解】因为直线与直线互相垂直，10x my +-=()2220m m x y -++=则，解得：或，()220m m m -+=0m =3m =故答案为：0或3.14．与椭圆有公共的焦点且离心率为2的双曲线的标准方程为______．22126x y +=【答案】2213x y -=【分析】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出，即可得解.,a b 【详解】椭圆的焦点为，22126x y +=(0,2),(0,2)-即双曲线的焦点为，故，(0,2),(0,2)-2c =又离心率为，解得，故， 22c e a a===1a =2223b c a =-=所以双曲线的方程为.2213x y -=故答案为：.2213x y -=15．已知等差数列的前项和为，，，则______． {}n a n n S 11a =63236S S -=9S =【答案】153【分析】根据等差数列的前n 项和公式求出公差，据此求出，即可得出. 5a 9S 【详解】由有，，， ()112n n n S a n d -=+61615S a d =+3133S a d =+则有，解得， 632936S S d -==4d =所以，所以．51417a a d =+=()1995991532a a S a +===故答案为：15316．与平面解析几何类似，在空间直角坐标系中，平面与直线可以用关于，，的三元O xyz -x y z 方程来表示，过点且一个法向量为的平面的方程为()000,,P x y z (),,n a b c =α；过点且一个方向向量为的直线()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z (),,v r s t =()0rst ≠l的方程为．已知平面的方程为，直线的方程为000x x y y z z r s t---==α2350x y z +-+=l ，若直线在平面内，则经过原点且与直线垂直的平面的方程为______． 12x p y zp q--==l αO l β【答案】20x y z -+=【分析】由题意列出关于的方程组，求得的值，进而得出答案.,p q ,p q 【详解】由题意有，解得，26023050p q p +-=⎧⎨+-+=⎩42p q =-⎧⎨=-⎩所以经过原点且与直线垂直的平面的方程为， O l β()()()()4020200x y z -⨯-+-+-⨯-=即． 20x y z -+=故答案为：．20x y z -+=四、解答题17．已知等差数列和等比数列满足，，． {}n a {}n b 113a b ==222a b =-73a b =(1)求数列和的通项公式；{}n a {}n b(2)在数列中，去掉与数列相同的项后，将剩下的所有项按原来顺序排列构成一个新数列{}n a {}n b ，求数列的前20项和．{}n c {}n c 【答案】(1)，41n a n =-3nn b =(2)960【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）找出数列前20项中与相同的项只有2项，故只需求前22项和去掉相同项即可{}n a {}n b {}n a 得解.【详解】（1）设的公差为d ，的公比为q ，{}n a {}n b 由题意知，，()113n a a n d nd d =+-=+-13n n b q -=⋅故得，222733,3,36,3a d b q a d b q =+==+=所以，所以解得，代入则有，2332,363d q d q +=-+=35d q =-2690q q -+=所以，．所以，．3q =4d =41n a n =-3nn b =（2）因为，令，解得，则有，2079a =379n ≤3n ≤1233,9,27b b b ===的前20项中只有两项与相同，即3和27，{}n a {}n b 又均不在数列， 212283,87a a =={}n b 故的前20项和为． {}n c 2227872721279602a a ++⋅⋅⋅+-=⨯-=18．设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．()2222:10,0x y C a b a b-=>>1A 2A C P C(1)若，点，求双曲线的方程；124A A b =()1P -C (2)当异于点，时，直线与的斜率之积为2，求双曲线的渐近线方程．P 1A 2A 1PA 2PA C 【答案】(1)2214x y -=(2) y =【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解即可；,a b（2）设点，根据点在双曲线上及，求得的值，即可得出答案. ()00,P x y P C 122PA PA k k ⋅=ba【详解】（1）由题意有：，解得，所以双曲线的方程为．2224811a b a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=（2）设点，则，即，又()00,P x y 2200221x y a b-=2202220y b x a a =-()()12,0,,0A a A a -则有，所以12220002220002PA PA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--ba=所以渐近线方程为．y =19．已知四棱锥中，平面，，，点在棱P ABCD -PA ⊥ABCD AB DC A 2PA AD DC AB ===E 上，平面．PC BE A PAD(1)证明：；BE PD ⊥(2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 90PDC ∠= BE PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）过作的平行线交于点，结合线面平行的性质得，可得，分E DC PD F BE AF ∥E F 别为，的中点，结合得，又即可证得；PC PA AP AD =AF PD ⊥BE AF ∥BE PD ⊥（2）由已知条件证得面，得．建空间直角坐标系，求出面的法向量，然AB ⊥PAD AB AD ⊥PBD 后利用向量夹角公式求得结果.【详解】（1）过作的平行线交于点，连接， E DC PD F AF 又，则，则四点共面，AB DC A EF AB ∥,,,B E F A∵面，面，面面，BE A PAD BE ⊂BEFA BEFA ⋂PAD AF =∴，故为平行四边形，从而， BE AF ∥BEFA 12EF AB DC ==∴，分别为，的中点，又，E F PC PA AP AD =∴，又，∴．AF PD ⊥BE AF ∥BE PD ⊥（2）因为，，所以，DC PD ⊥AB DC A AB PD ⊥由平面，平面，得，PA ⊥ABCD AB ⊂ABCD PA AB ⊥又，面，所以面，又面，所以． PA PD P = ,PA PD ⊂PAD AB ⊥PAD AD ⊂PAD AB AD ⊥所以，以为原点，为轴建空间直角坐标系，设， A ,,AB AD AP ,,x y z 1AB =则有． ()()()()()()0,0,0,1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,1,1A B C D P E 所以，， ()1,2,0BD =- ()1,0,2BP =- 设面的法向量为，则，令，所以． PBD (),,n x y z =r 2020n BD x y n BP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 2x =()2,1,1n = 又有，记为与平面所成角，()0,1,1BE = αBE PBD 则sin cos ,BE nBE n BE nα⋅==== 所以与平面 BE PBD 20．已知直线与圆交于，两点，．210x y -+=22:420C x y x y a +-+-=A B CA CB ⊥(1)求实数的值；a (2)若点在圆上运动，为坐标原点，动点满足，求动点的轨迹方程．P C O M 2OP CM = M 【答案】(1)5a =(2) ()2235322x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意得圆心到直线的距离，求解即可； CAB d =（2）设，，由可得，结合点在圆上，即可得动点的00(,)P x y (,)M x y 2OP CM = 002422x x y y =-⎧⎨=+⎩P C M 轨迹方程．【详解】（1）将圆化为标准方程为，，()()22215x y a -++=+50a +>则圆心，半径(2,1)C -r =记为圆心到直线的距离，d C AB 因为，所以，又因为， CA CB ⊥d=d． =5a =（2）设，，00(,)P x y (,)M x y 因为，即，解得， 2OP CM = 00(,)2(2,1)x y x y =-+002422x x y y =-⎧⎨=+⎩又点在圆上，则，从而得，P C ()()22002110x y -++=()()22262310x y -++=所以动点的轨迹方程为． M ()2235322x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭21．如图，是以为直径的圆上异于，的一点，平面平面，是边长C AB OA B PAC ⊥ABC PAC △为2的等边三角形，，是的中点．3BC =E PC(1)求证：；AE PB ⊥(2)过直线与直线平行的平面交棱于点，线段上是否存在一点，使得二面角AEBC PB F AF Q ？若存在，求的值；否则，说明理由． A CQ B --AQ QF 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 2AQ QF=【分析】（1）取中点，可得面，以为原点，，分别为，轴建立空间AC D PD ⊥ABC C CA CB x y 直角坐标系，利用数量积的运算证明即可；0AE PB ⋅= （2）设，则有，分别求出面与面的法向AQ AF λ=332,22CQ CA AQ λλ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭ACQ BCQ 量，利用向量夹角公式求解即可.【详解】（1）取中点，连接，则有，AC D PD PD AC ⊥又因为面面，面，面面，所以面， PAC ⊥ABC PD ⊂PAC PAC ABC AC =PD ⊥ABC 又，以为原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图，BC AC ⊥C CA CB x y 则有：，，，， ()2,0,0A ()0,3,0B ()0,0,0C (1,P 12E ⎛ ⎝所以，，所以，32AE ⎛=- ⎝(1,3,PB =- 330022AE PB ⋅=+-= 所以．AE PB⊥（2）因为面，面，面面，所以．BC ∥AEF BC ⊂PBC AEF ⋂PBC EF =EF BC ∥又因为点是线段的中点，所以点为线段的中点，，， E PC FPB 13,22F ⎛ ⎝33,22AF ⎛=- ⎝ 设，则有，且，．AQ AF λ=332,22CQ CA AQ λλ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭()2,0,0CA = ()0,3,0CB = 设为面的法向量，则有，令，解得()1111,,n x y z =ACQ 11111120332022n CA x n CQ x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⎛⎫⋅=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩1y =．(10,1,n = 同理，设为面的法向量，则有，令()2222,,n x y z =BCQ 22222230332022n CB y n CQ x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⎛⎫⋅=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得．2x =23,0,22n λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭由题意有，解得，所以． 13cos ,4n = 640λ-=23λ=所以． 2AQ QF=22．椭圆的焦距为2，左、右顶点分别为，，点是椭圆上异于左()2222:10x y C a b a b+=>>1A 2A P C 右顶点的点，直线与直线的斜率之积为． 1PA 2PA 34-(1)求椭圆的方程；C (2)直线与椭圆相切于点，直线与平行且与圆相切，直线交椭圆于，两1l C M 2l 1l 221x y +=2l C A B 点，坐标原点位于直线，之间，记，的面积分别为，，求的取值范O 1l 2l MAB △OAB A 1S 2S 12S S 围． 【答案】(1) 22143x y +=(2)1,3⎤⎦【分析】（1）设为椭圆上一点，根据直线与直线的斜率之积为可得，00(,)P x y 1PA 2PA 34-2234a b =即可得解；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，直线斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由根1l 与系数关系得出，分别求出，的面积，作商后由函数性质求值域，当斜率不存,M M x y MAB △OAB A 在时，验证即可.【详解】（1）由题意知：，设为椭圆上一点，所以 22c =00(,)P x y 2200221x y a b +=则有， 122200022200034PA PA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==-=-+--所以，又，所以2234a b =2221a b c -==224,3a b ==所以椭圆C 的方程． 22143x y +=（2）①当斜率存在时，设直线，则有， 11:l y kx m =+1223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩解得，()222113484120k x km x m +++-=且有， ()()22222211164434431612390k m k m k m ⎡⎤∆=-+⋅-=-+=⎣⎦所以．22143m k =+且有，． 1214434M km k x k m -==-+211143M k y m m m =-+=设（与异号），则有圆心到直线的距离为，22:l y kx m =+2m 1m 2l 11d ==解得． 2221m k =+设两条直线的距离为，则有，且，所以． 2d 1212S AB d =⋅212S AB =122S d S =所以，1211S S=+记，其中，所以， ()1f k =[)211,k +∈+∞[)2143,41k -+∈+所以． )121,3S S ∈②当斜率不存在时，不妨设，，此时， 1:2l x =-2:1l x =3AB =所以，，所以． 1132S AB =⨯212S AB =123S S =综上，的范围为． 12S S 1,3⎤⎦。
重庆市重点高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1的倾斜角的大小为（ ） 10y -+=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】B【详解】,可知直线的斜率 10y -+=k =设直线的倾斜角为，则， αtan α又，所以， [0,180)α∈︒︒60α=︒故选．B 2．已知空间向量，，且与垂直，则等于（ ） ()3,2,5=-r a ()1,,1b x =- a bx A ．4 B ．1C ．3D ．2【答案】A【分析】向量垂直，数量积为0，可求x 的值.【详解】与垂直，所以，解得. a b 3250b a x ⋅=-+-=4x =故选：A3．已知为等差数列，，则（ ） {}n a 24636a a a ++=562a a -=A ．8 B ．12C ．16D ．20【答案】B【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 因为，∴，解得， 24636a a a ++=4336a =412a =∴， ()()5644422212a a a d a d a -=+-+==故选：B4．在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P xOy ()15,0F -()25,0F 218PF PF -=的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．双曲线的一支【答案】D【分析】由双曲线的定义可得答案.【详解】因为，，所以，若动点Р满足，则动()15,0F -()25,0F 1210F F =1212810PF PF F F -=<=点P 的轨迹是以、为焦点的双曲线.1F 2F 而题目中动点Р只满足，有，所以动点P 的轨迹是以、为焦点的双218PF PF -=12PF PF >1F 2F 曲线的右支. 故选：D5．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） {}n a 379a a =313539log log log a a a ++=A ．7 B ．9 C ．81 D ．3【答案】D【分析】根据等比数列的性质以及对数的运算性质可求出结果.【详解】依题意可得，2537199a a a a a ===又，所以，0n a >53a =所以.313539log log log a a a ++=31953log ()log (93)a a a =⨯33log 33==故选：D6．已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为l 40x y -+=C ()()22112x y -+-=C l （ ）A BCD ．1-1【答案】C【分析】先判断直线与圆的位置关系，再结合图形求距离最小值.【详解】易知圆心，半径 (1,1)C r =圆心到直线l ：的距离d ，(1,1)C 40x y -+=r >所以圆与直线相离，如图所示：C l所以圆C 上各点到l 距离的最小值为 d r -=故选：C ．7．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的体积ABCD ,ADE BCF ::,4EF CD EF =∥为（ ）A B ．C D ．【答案】A【分析】如图，分别过点A ，B 作的垂线，垂足分别为G ，H ，连接，取的中点EF ,DG CH ADO ，连接，求出. GO ADG BCH S S ==::【详解】如图，分别过点A ，B 作的垂线，垂足分别为G ，H ，连接， EF ,DG CH易得1,EG HF AG GD BH HC ======取的中点O ，连接，易得， AD GO GO∴122ADG BCH S S ===::∴多面体的体积2E ADG F BCH AGD BHC E ADG AGD BHC V V V V V V -----=++=+三棱锥三棱锥三棱柱三棱锥三棱柱， 11223=⨯=故选：A.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示x ∈R []x 不超过的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且x ()[]f x x ={}n a 11a =，若，数列的前项和为，则（ ）()1121n n n a na n ++-=+[]lg n n b a ={}n b n n T 2024T =A ．4956 B ．4959C ．4962D ．4965【答案】D【分析】先利用累加法求出，得到当时，；当时，；当n a n =19n ≤≤0n b =1099n ≤≤1n b =时，；当时，，直接求和可得答案.100999n ≤≤2n b =10002022n ≤≤3n b =【详解】由，且，根据累加法可得：()1121n n n a na n ++-=+11a =时， 2n ≥()()()1122111122n n n n n na na n a n a n a a a a ---=--+---+⋅⋅⋅+-+2(1)12(2)12111n n =-++-+++⨯++ 2(1221)n n n =+++-+-+ ，(1)(11)22n n n -+-=⨯+2n =所以，又也适合上式， (2)n a n n =≥11a =所以. n a n =所以.[]lg n n b a =当时，；当时，；当时，；当19n ≤≤0n b =1099n ≤≤1n b =100999n ≤≤2n b =10002024n ≤≤时，.3n b =因此. 2022091902900102534965T =⨯+⨯+⨯+⨯=故选：D.9．下列说法正确的是（ ）A ．若数列的公差，则数列是递减数列{}n a 0d <{}n a B ．若数列的前项和，则数列为等比数列{}n a n 123n n S +=-{}n a C ．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列{}n a n 223n S n n t =++t {}n a D ．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列； {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋅⋅⋅【答案】A【分析】根据等差数列等比数列的性质，逐个验证选项中的结论.【详解】若数列的公差，即，所以数列是递减数列，A 选项正{}n a 10n n d a a +=-<1n n a a +<{}n a 确；若数列的前项和，则，当时，{}n a n 123n n S +=-211231a S ==-=2n ≥11222n n n n n n a S S +-=-=-=，此时有，但，所以数列不是等比数列，B 选项错误；11222n n nn a a ++==2142a a =≠{}n a 若数列的前项和（为常数），则，当时，{}n a n 223n S n n t =++t 115a S t ==+2n ≥，此时有，但()()21223213141n n n a S n n t n n S t n -=-=⎡⎤++--+-+=+⎣⎦14n n a a +-=，当时，，所以数列不一定为等差数列，C 选项错误；()21954a a t t -=-+=-0t ≠44t -≠{}n a 数列是等比数列，为前项和，当公比， 为偶数时，则均为{}n a n S n 1q =-n 232,,,n n n n n S S S S S --⋅⋅⋅0，不为等比数列，D 选项错误. 故选：A二、多选题10．已知圆：，则下列说法正确的是（ ） M 22430x y x +-+=A ．点在圆内()4,0B ．圆关于对称 M 320x y +-=C ．直线与圆相切0x =M D ．若圆与圆恰有三条公切线，则 M 22460x y x y a +--+=9a =【答案】BCD【分析】将圆M 的一般方程转化为标准方程，可知圆心和半径，利用点到圆心的距离和半径比较，可知点与圆的位置关系，判断A 选项正误；利用圆的对称直线过圆心，判断B 选项正误； 利用圆心到直线的距离和半径的关系判断C 选项正误；利用两圆外切，判断D 选项正误. 【详解】对于A ，已知圆：，则其标准方程为，∴，圆心M 22430x y x +-+=()2221x y -+=1r =，点到圆心的距离，所以点在圆外，A 错()2,0M ()4,0()2,0M 12d r ==>()4,0误；对于B ，将圆心代入直线，得成立，所以直线过圆心，则圆()2,0M 320x y +-=23020+⨯-=M 关于直线对称，B 选项正确；320x y +-=对于C ，因为圆心到直线的距离，所以直线与圆()2,0M 0x =21d r ==0x =相切，C 选项正确；M 对于D ，由圆的方程可得，，所以圆心为，半22460x y x y a +--+=()()222313x y a -+-=-()2,3，故D 选项正确.31==9a =故选：BCD11．在棱长为2的正方体中，E 、F 、G 分别为、、的中点，则下列选1111ABCD A B C D -BC 1CC 1BB 项正确的是（ ） A ． 1D D AF ⊥B ．平面1//A G AEF C ．三棱锥的体积为GAEF -13D ．直线与1A G EF 【答案】BD【分析】以点D 为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法分别判断1,,DA DC DD ,,x y z ABD 即可，根据即可判断C.G AEF A EFG V V --=【详解】以点D 为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图：1,,DA DC DD ,,x y z则，，，，，，，()0,0,0D ()2,0,0A ()10,0,2D ()0,2,1F ()2,2,1G ()12,0,2A (1,2,0)E 对于A ，，，则，所以，不垂直，故A 错误； ()10,0,2DD = ()2,2,1AF =- 12DD AF ⋅=1D D AF 对于B ，设平面的法向量，，，则有AEF (),,n x y z = (2,2,1)AF =- (1,0,1)EF =- ，令，则，，所以， 220n AF x y z n EF x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 2x =2z =1y =()2,1,2n = 因为，所以，又平面， 1(0,2,1)(2,1,2)220A G n ⋅=-⋅=-+= 1A G n ⊥1AG ⊄AEF 所以平面，故B 正确；1//A G AEF对于C ，，则，故C 错误.12112EFG S =⨯⨯=:121233G AEF A EFG V V --==⨯⨯=对于D ，，，则()10,2,1A G =- ()1,0,1EF =- 111cos ,AG EF A G EF A G EF ⋅<>=== 即直线与D 正确； 1A G EF 故选：BD.12．公元前 300 年前后， 欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著， 书中描述： 把一条线段分割为两部分， 使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为， 与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点2222:1(0,0)x y E ab a b -=>>A A y F E 为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为B PQ M PQ E e ， 则下列说法中， 正确的有（ ） A ． B ． e =2||||||OA OF OB =C ． D ．若， 则恒成立 OM PQ k k e ⋅=OP OQ ⊥2211||||e OP OQ +=【答案】ABC【分析】由黄金分割双曲线定义求得双曲线的离心率，判断A ，证明，利用射影定理证明AB BF ⊥，判断B ，利用点差法求判断C ，联立方程求出坐标，计算2||||||OA OF OB =OM PQ k k ⋅,P Q ，判断D. 2211||||OP OQ +【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得E a c c a c=+22a ac c +=(*)(*)2a ，则，A 正确； 210e e --=e =对继续变形得，，(*)222ac c a b =-=222222222222||||2()3AB BF a b c b a c c a c a +=+++=++-=-∴22||()AF a c =+=，，222223a ac c c a ++=-AB BF ∴⊥所以，又，90ABF ∠= AOB 90∠= 所以，，所以， BAO FBO ∠=∠ABO BFO ∠=∠AOB BOF :::所以，所以， B 正确； OA OBOB OF=2||||||OA OF OB =设，，，将坐标代入双曲线方程可得， 11()P x y ，22()Q x y ，00()M x y ，P Q ，，作差后整理可得，即 22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩2212122121y y y y b x x x x a -+=-+:20212210y y y b x x x a -=-:所以C 正确； 22221PQ OMc a k k e a -==-:设直线，则直线，将代入双曲线方程，可得OP y kx =：1OQ y x k=-：y kx =222222b x a y a b -=，则，，将换成即得，222222a b x b a k =-2222222a b k y b a k =-222222222(1)||a b k OP x y b a k +=+=-∴k 1k-2||OQ =222222(1)a b k b k a +-则与，的值有关，故D 错误， 2222222222222211()(1)11||||(1)b a k b a OP OQ a b k a b a b -+-+===-+a b 故选：ABC ．【点睛】点差法是解决中点弦问题的常用的方法.三、填空题13．设是等差数列的前项和，若，则_____． n S {}n a n 46a =7S =【答案】42【分析】根据等差数列的前项和公式求解. n 【详解】设等差数列的公差为， {}n a d 所以. 71147677(3)7422S a d a d a ⨯=+=+==故答案为：.4214．双曲线的渐近线方程是__________．2214y x -=【答案】2y x =±【详解】根据双曲线的渐近线公式得到 ,2ay x y x b=±=±故答案为.2y x =±15______ 【答案】9π【详解】依题可以构造一个正方体，其体对角线就是外接球的直径．，． 23r ==249s r ππ==16．过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线()1M m -，2:2C y px =A B AB 的焦点，那么的最小值为_________．C F 22MA MB +【答案】16【分析】设，写出以为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以为切点的切()11,A x y A A 线方程，同理求出以为切点的切线方程，结合在两条切线上得直线的方程，()22,B x y (1,)M m -AB 联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合抛物线定义得出结果． AB 【详解】设，，以为切点的切线斜率为， ()11,A x y 10y ≠A 1k 则以为切点的切线方程为，()11,A x y ()111y y k x x -=-与抛物线联立，得，2:2C y px =211112220k y py py k px -+-=由，即，0∆=2211114880p k py k px -+=则，即，解得， 22211114840p k py k y -+=211(220)p k y -=11p k y =则以为切点的切线方程为，即，()11,A x y ()111py y x x y -=-()2111y y y p x x -=-()1112y y px p x x -=-，整理得；()11y y p x x =+同理，设，，则以为切点的切线斜率为， ()22,B x y 20y ≠B 22p k y =以为切点的切线方程为， ()22,B x y ()22y y p x x =+又因为在切线和，(1,)M m -()11y y p x x =+()22y y p x x =+所以，， ()111my p x =-+()221my p x =-+所以直线的方程， AB ()1my p x =-+又因为直线经过抛物线的焦点， AB C F 所以令得，即，，=0y =1x (1,0)F =2p 所以抛物线方程为，直线的方程，24y x =AB 22my x =-联立，消去得，2=22=4my x y x -⎧⎨⎩x 2240y my --=∴，12122,4y y m y y +==-∴，()()()222221212121211222424444x y y x y y y y m m ⎡⎤⎡⎤+=+=+-=-⨯-=+⎣⎦⎣⎦，2212||224A x p B x m m =+++=+=+∵，∴， 2121144p p k k y y =⋅==--MA MB ⊥所以， ()22222||||||4MA MB AB m +==+则当时，取最小值16． 0m =22||||MA MB +故答案为：16．四、解答题17．已知是公差的等差数列，其中，，成等比数列，11是与的等差中项. {}n a 0d ≠1a 4a 13a 3a 7a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)令，求数列的前项和. 12n n n b a -=+{}n b n n T 【答案】(1)21n a n =+(2)2221n n T n n =++-【分析】（1）根据等差中项求出，再根据等比中项列式求出，从而可得； 511a =2d =n a （2）根据分组求和法以及等差等比数列的求和公式可求出结果.【详解】（1）因为为等差数列且11是与的等差中项，所以，则，{}n a 3a 7a 375222a a a =+=511a =又因为，，成等比数列，所以，1a 4a 13a 24113a a a =即，()()()22111141182d d d d d -=-+⇒=又因为，所以，则0d ≠2d =()55221n a a n n =+-⨯=+（2）∵()112212n n n n b a n --=+=++∴ ()()()0111212222n n n n T b b b a a a -=++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++()()01112222n n a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+. ()()2112321221212n n n n n n ⨯-++⋅=+=++--18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，P ABCD -ABCD 60ABC ∠= PAD ⊥ABCD ，，PD 的中点为F .PA AD ⊥2PA AB ==(1)求证：平面；//PB ACF (2)求直线到面的距离.PB ACF 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接FO ，得，根据线面平行的判定可得平面//OF PB //PB ；ACF （2）根据线面平行，将线到面的距离化为点到面的距离，再根据等体积法可求出结果.【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，连接FO ，∵F 为AD 的中点，O 为BD 的中点，则，//OF PB ∵平面ACF ，平面ACF ，∴平面ACF .PB ⊄OF ⊂//PB（2）因为平面平面ABCD ，平面平面，，平面，PAD ⊥PAD ⋂ABCD AD =PA AD ⊥PA ⊂PAD 所以平面ABCD .PA ⊥由于平面ACF ，则PB 到平面ACF 的距离，即P 到平面ACF 的距离.//PB 又因为F 为PD 的中点，点P 到平面ACF 的距离与点D 到平面ACF 的距离相等.取AD 的中点E ，连接EF ，CE ，则，因为平面ABCD ，所以平面ABCD ，//EF PA PA ⊥EF ⊥因为平面，所以，CE ⊂ABCD EF CE ⊥因为菱形且，，ABCD 60ABC ∠= 2PA AD ==所以，CE =1EF =则，，2CF =2AC=12AF PD ===12ACF S ==△，设点D 到平面ACF 的距离为，由得 D h DACF F ACD V V --=1133ACD ACF D ACD D ACF S EF S hS EF h S ⨯⨯=⨯⇒===△△△△即直线PB 到平面ACF 19．已知圆C 经过，两点，且圆心在直线上.()1,3A ()1,1B -y x=(1)求圆C 的标准方程；(2)设直线l 经过点，且l 与圆C 相交所得弦长为l 的方程；()2,2-(3)若Q 是直线上的动点，过点Q 作圆C 的两条切线QM 、QN ，切点分别为M 、N ，探4y x =+究：直线MN 是否恒过定点.若存在请写出坐标；若不存在请说明理由.【答案】(1)()()22114x y -+-=(2)或.20x -=4320x y +-=(3)过定点()0,2【分析】（1）求圆的方程,需要三个独立条件,一般设标准式,代入三个条件,解方程组即可;本题也可设成圆的一般式 ,再将两个点坐标代入,解方程组可得.0x y Dx Dy F ++++=（2）涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理，即将弦长条件转化为圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率，注意验证直线斜率不存在的情形.（3）根据题意求出以为圆心，为半径的圆的方程与圆的方程作差，即可得到直线的Q QM C MN 方程，从而得到定点坐标.【详解】（1）设圆的圆心坐标为，C (),a a， =解得，所以，1a =2r =所以圆的标准方程为.C ()()22114x y -+-=（2）依题意，圆的圆心到直线的距离为，C ()1,1l 1d =（1）若直线的斜率不存在，则，符合题意，此时直线的方程为.l 1d =20x -=（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，即l l ()22y k x +=-220kx y k ---=1，解得. 43k =-此时直线的方程为l 4320x y +-=综上，直线的方程为或.l 20x -=4320x y +-=（3）根据题意，设，又因为QM 、QN 是过圆做的两条切线，则(),4Q m m +C,CM QM CN QN ⊥⊥则是圆与以为圆心，为半径的圆的两圆的公共弦，MN C Q QM 且以为圆心，为半径的圆的方程为① Q QM ()()()()22224134x m y m m m -+-+=-++-⎡⎤⎣⎦且圆方程为②C ()()22114x y -+-=所以①②可得即为直线的方程 -()2360x y m x y --++-+=令解得，则直线必过点 20360x y x y --+=⎧⎨-+=⎩02x y =⎧⎨=⎩()0,220．如图，在直三棱柱中，，，.111ABC A B C -AB BC ⊥AC =12AA AB ==(1)证明：平面平面；1AB C ⊥1A BC (2)求二面角的大小.11A B C A --【答案】(1)证明见解析 (2).6π【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.1AB ⊥1A BC 1AB C ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，进而求得其大小.11A B C A --【详解】（1）连接，由三棱柱为直三棱柱可得平面， 1A B 111ABC A B C -1BB ⊥ABC 平面，所以，BC ⊂ABC 1BB BC ⊥因为，，，平面，所以平面，BC AB ⊥1AB BB B Ç=AB 1BB ⊂11AA B B BC ⊥11AA B B 因为平面，所以，1AB ⊂11AA B B 1BC AB ⊥因为，所以四边形是正方形，所以，12AA AB ==11AA B B 11AB A B ⊥又因为，，平面，所以平面，1BC A B B ⋂=BC 1A B ⊂1A BC 1AB ⊥1A BC 因为平面，所以平面平面.1AB ⊂1AB C 1AB C ⊥1A BC（2）因为，，，根据勾股定理可知：AB BC ⊥AC =2AB =BC =从而有：，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在直线为轴， BA BC 1BB B BC BA 1BB x 轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：y z则，，，，()0,2,0A ()10,2,2A ()10,0,2B )C 设平面的法向量为，因为，， 1AB C ()111,,m x y z =)2,0AC =- ()10,2,2AB =- 则，，1120m AC y ⋅=-= 111220m AB y z ⋅=-+= 令，则，1x=)m = 设平面的法向量为，因为，， 11A B C ()222,,x n y z =)12,2A C =-- ()110,2,0A B =- 则，，令，1222220n AC y z ⋅=--= 11220n A B y ⋅=-= 2x=)n = 设二面角的平面角为，11A B C A --θ根据几何体特征可知为锐角，θ所以cos cos ,m n m n m n θ⋅====⋅ 所以二面角的大小为. 11A B C A --π621．已知正项数列的前项和为，且，数列满足且{}n a n n S ()241n n S a =+{}n b ()*12n n nb b n b +=∈+N .11b =(1)分别求数列和的通项公式；{}n a {}n b (2)若，设数列的前项和为，且，对任意正整数恒成立，求实11n n n c a a +={}n c n n T ()22n n T n b λλ-⋅≥⋅数的取值范围.λ【答案】(1)， 21n a n =-121n nb =-(2)(][),13,-∞-+∞【分析】（1）根据与的关系和等差数列的定义可求出，根据递推公式和等比数列的定义求n a n S n a出；n b （2）根据裂项公式求出，将恒()()111111212122121n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n T ()22n n T n b λλ-⋅≥⋅成立化为对任意正整数恒成立，再根据数列的单调性求出的最大值，代入221221n n λλ+-≥-n 2121n n +-解不等式即可得解.【详解】（1）∵，∴，()241n n S a =+()()211412n n S a n --=+≥所以，()()()2211411n n n n S S a a ---=+-+(2)n ≥∴，化简. ()()221411n n n a a a -=+-+(2)n ≥()()1120n n n n a a a a --+⋅--=(2)n ≥∵，∴.又，解得， 0n a >()122n n a a n --=≥()21141S a =+11a =∴是以1为首项，2为公差的等差数列.{}n a ∴.()12121n a n n =+-=-由，可得，，又， 12n n n b b b +=+12121n n n n b b b b ++==+11211221n n n b b b +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭1112b +=故数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 11n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭则. 111122221n n n n n b b -+=⨯=⇒=-（2）由（1）知，则， 21n a n =-()()111111212122121n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以， 11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故即对任意正整数恒成立， ()22n n T n b λλ-⋅≥⋅221221n n λλ+-≥-n 设，， ()2121n n f n +=-()*N n ∈则， ()()()()()11212223211021212121n n n n n n n n f n f n ++-++++-=-=-<----即，则单调递减，， ()()1f n f n +<()2121n n f n +=-()()max 13f n f ==，解得或.223λλ-≥1λ≤-3λ≥故的取值范围为.λ(][),13,-∞-+∞22．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，直线与2y =()2222:10x y a b a b Ω+=>>1:1x y l a b +=圆相切．222x y +=(1)求椭圆的方程；Ω(2)设不过原点的直线与椭圆相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，2l Ω射线OM 与椭圆相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记，的面积分别为ΩAOM :BOP △，，求的取值范围． 1S 2S 12S S 【答案】(1) 22163x y +=(2)【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，即可求解椭圆方程；,a b （2）根据数形结合可知，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，12AOM BOP OM S S S S OP==△△三种情况讨论的值或范围. 12S S 【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴2y =)c =从而①， 223a b =+∵直线与圆相切，②，1:1x y l a b+=222x y +==由①②得：，a =b =∴椭圆的方程为： Ω22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴， 12AOM BOP OM S S S S OP==△△（1）当直线的斜率不存在时，轴，由题意知，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所2l 2l x ⊥OA OB ⊥在直线的方程为，得，y x =22A x =从而，， 22M x =26P x =12M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线的斜率存在时，2l设直线，，()2:0l y kx m m =+≠()11,A x y ()22,B x y 由可得：， 22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214260k x kmx m +++-=由可得：（*）()()222216421260k m k m ∆=-+->22630k m -+>∴，， 122421km x x k +=-+21222621m x x k -=+∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴，即，0OA OB ⋅= 12120x x y y +=∴， ()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=即， ()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭（**）满足（*）式．2222,m k ⇒=+∴线段AB 的中点， 222,2121km m M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭若时，由（**）可得：，此时0k =22m =若时，射线OM 所在的直线方程为， 0k ≠12y x k =-由可得：， 2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2221221P k x k =+12M P OM x S S OP x ∴=====随着的增大而减小，∵，∴，∴ 2k 0k ≠20k>12S S ∈综上， 12S S ∈【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y（5）代入韦达定理求解.。
重庆高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） tan 392023y x =-︒⋅+A ． B ．C ．D ．51︒129︒141︒149︒【答案】C【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合三角函数诱导公式可得倾斜角. 【详解】斜率， ()tan 39tan 18039tan141k =-=-=︒︒︒︒故选：C ．2．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为( )A ．B ．22143x y +=22143y x +=C ．D ．2211615x y +=2211615y x +=【答案】A【分析】由题得c=1,再根据△MF 2N 的周长＝4a ＝8得a ＝2，进而求出b 的值得解.【详解】∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c ＝1，又根据椭圆的定义，△MF 2N 的周长＝4a＝8，得a ＝2，进而得b .22143x y +=故答案为A【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3．若平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则实数α()1,2,1m =-β()2,4,n k =-- αβ⊥（ ）k =A ．2 B ． C ． D ．1010-2-【答案】B【分析】直接利用数量积为零计算即可.【详解】若，则 αβ⊥m n ⊥则， ()()2,4,2801,2,1k k -=----⋅-=解得： 10k =-故选：B.4．在四面体中分别是的中点，P 是的三等分点（靠近点N ），若OABC ,M N ,OA BC MN ，则（ ）,,OA a OB b OC c === OP =A ．B ．111366a b c ++ 111633a b c ++C ．D ．111263a b c ++ 111623a b c ++ 【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理求解. 【详解】如图所示：，23OP OM OM MP MN =+=+， ()12121112323222OA ON OM OA OB OC OA ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭.111633OA OB OC =++111633a b c =++ 故选：B【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 5．在等差数列中，为前项和，，则 {}n a n S n 7825a a =+11S =A ． B ． C ． D ．55115060【答案】A【详解】由. 111786116()1125,511552a a a a a S a +⋅=+====，故选：A.6．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要A ．3233万元B ．4706万元C ．4709万元D ．4808万元【答案】C【分析】设备费为万元，根据等比数列的性质可得，由此可求出；设每个实验n a 527442,168,a a a a -=⎧⎨-=⎩10a 室的装修费用为万元，由题意可知，即，再根据等比数列前 项和，即可x 15361700x +≤164x ≤n 求出结果.【详解】设每个实验室的装修费用为万元，设备费为万元，x n a ()1,2,3,,10n = 则所以解得故. 527442,168,a a a a -=⎧⎨-=⎩411631142,168,a q a q a q a q ⎧-=⎨-=⎩13,2.a q =⎧⎨=⎩91011536a a q ==依题意，即. 15361700x +≤164x ≤所以总费用为.()1012103121010103069470912x a a a x x -++++=+=+≤- 故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的前和公式的应用，属于基础题.n 7．平面直角坐标系xOy 中，P 为圆C 1：上的动点，过点P 引圆：()2231x y +-=2C ()2231x y ++=的切线，切点为TP 有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【答案】C【分析】设点的坐标为，根据切线长的性质求，由条件列方程求点的坐标即可. P (),a b PT P 【详解】设点的坐标为，则①，P (),a b ()2231a b -=+由已知圆的圆心的坐标为，半径为1，()2231x y ++=2C()3,0-所以， ()22223133a b a b ++-=+化简可得②，22340a b a +--=联立①②可得，或，02a b =⎧⎨=⎩45125a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点的坐标为或，P ()0,2412,55⎛⎫⎪⎝⎭P 有2个， 故选：C.8．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆1C x ()24，,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值222:430C x y x +-+=2C l ,,,P Q M N 4PN QM +为A ．23B ．42C ．12D ．52【答案】A【详解】由题意抛物线过定点（2，4），得抛物线方程，焦点为F(2,0).圆的标准方程为28y x =，所以圆心为（2，0），半径r=1.由于直线过焦点，所以有，又22(2)1x y -+=1121F 2PF Q P +===4PN QM +(1)(44)45PF QF PF QF =+++=++112(4)()5FPF QF PF Q +++，当且仅当时等号成立．选A. 42(5)523QF PFPF QF=+++≥2PF QF =【点睛】当抛物线方程为，过焦点的直线与抛物线交于，则有，22(p>0)y px =，l ,P Q 112F PF Q P+=抛物线的极坐标方程为，所以，1cos pρθ=-1PF ρ==1cos pθ-，所以，即证． 21cos()1cos p p QF ρθπθ===-++112F PF Q P +=二、多选题9．空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） O xyz -()()1,2,2,0,1,1A B -A ．B ．若，则 (1,1,3)AB =--()2,1,1m = ⊥ m ABC ．点A 关于平面对称的点的坐标为D ．xOy ()1,2,2-||AB =【答案】AB【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果.【详解】，()()1,2,2,0,1,1A B -∴(1,AB =--A 正确,D 错误.若，则,则,B 正确， ()2,1,1m = ()()=211113=0m AB ⋅⨯-+⨯-+⨯ ⊥ m AB 点A 关于平面对称的点的坐标为，故C 错误， xOy ()1,2,2故选：AB.10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） 1l 0x ay a +-=2l ()2310ax a y ---=A ．始终过定点2l 21,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．若，则或-3 12l l //1a =C ．若，则或212l l ⊥0a =D ．当时，始终不过第三象限 0a >1l 【答案】ACD【分析】将直线化为可判断A ；将或-3代入直线方程可判断B ；根据(2)310a x y y -+-=1a =可判断C ；将直线化为，即可求解.12120A A B B +=11y x a =-+【详解】：过点，A 正确；2l (2)310a x y y -+-=21,33⎛⎫⎪⎝⎭当时，，重合，故B 错误；1a =1l 2l 由，得或2，故C 正确；1(32)0a a a ⨯+⨯-=0a =：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确.1l 11y x a =-+()0,1故选：ACD【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.11．椭圆的离心率为，短轴长为 ）22221(0)x y a b a b+=>>12A ．椭圆的方程为22143x y +=B ．椭圆与双曲线的焦点相同22221y x -=C ．椭圆过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．直线与椭圆恒有两个交点 ()1y k x =+【答案】ACD【分析】根据椭圆离心率公式、短轴长定义，结合双曲线焦点公式、代入法、直线点斜式方程的性质逐一判断即可.【详解】因为椭圆的短轴长为，2223b b a c ==⇒-=而椭圆的离心率为，所以， 12221242c a c a c a =⇒=⇒=所以可得：..2221,4,3c a b ===A ：因为，所以该椭圆的标准方程为：，因此本选项正确；224,3a b ==22143x y +=B ：由 ，该双曲线的焦点在纵轴上， 222222111122y x y x -=⇒-=而椭圆的焦点在横轴，所以本选项说法不正确；22143x y +=C ：因为，所以点在该椭圆上，因此本选项说法正确； 223()12143-+=31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ：直线恒过点，而，所以点在椭圆内部，因此直线()1y k x =+(1,0)-22(1)0143-+<(1,0)-与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确， ()1y k x =+故选：ACD12．已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是n S {}n a n 121a a ==()1223n n n a a a n --=+≥（ ）A ．数列为等比数列B ．数列为等比数列 {}1n n a a ++{}12n n a a +-C ．D ． ()1213nn n a ++-=()10202413S =-【答案】ABD【分析】根据已知递推公式进行变形求解判断AB ．求出数列前几项，验证后判断C ，求出前{}n a 20项和可判断D ，【详解】因为，所以，()1223n n n a a a n --=+≥11212222()n n n n n n a a a a a a -----+=+=+又，所以是等比数列，A 正确；1220a a +=≠1{}n n a a ++同理，而， 112112122222(2)n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---------=+-=-+=--2121a a -=-所以是等比数列，B 正确；1{2}n n a a +-若，则，但，C 错；12(1)3n n n a ++-=3222(1)33a +-==213a =≠由A 是等比数列，且公比为2，1{}n n a a -+因此数列仍然是等比数列，公比为4，123456,,,a a a a a a +++ 所以，D 正确．101020123419202(14)2()()()(41)143S a a a a a a -=++++++==-- 故选：ABD ．【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是由已知递推关系变形推导出新数列的递推关系，从而得证新数列的性质．而对称错误的结论，可以求出数列的某些项进行检验．三、填空题13．直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的l ()2,3P -x y A B P AB l 方程为__________. 【答案】32120x y -+=【分析】根据题意设出点，的坐标，利用中点坐标公式求出，，再写出直线的方程即可. A B A B l 【详解】设点､，(),0A x ()0,B y 由中点坐标公式得：，22032x y +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得：，， 4x =-6y =由直线过点､，l ()4,0A -()0,6直线的方程为：， ∴l 146x y-+=即.32120x y -+=故答案为：.32120x y -+=四、双空题14．设数列满足，且，则______，数列前10项的和为{}n a 11a =()*11n n a a n n N +-=+∈n a =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭______.【答案】## 22n n+20119111【详解】因为，()*11n n a a n n N +-=+∈所以，，，…，， 1n n a a n --=121n n a a n ---=-232n n a a n ---=-212a a -=左右分别相加得，即()()1122342n n n a a n -+-=++++=2(2)2nn n an +=≥又也满足此式，所以，故，11a =22n n n a +=2121121n a n n n n æöç÷==-ç÷++èø所以数列前10项的和. 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭101111111120221223*********S ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：；.22n n +2011五、填空题15．已知双曲线C ：的左焦点为F ，过F 且与C 的一条渐近线垂直的直线()2222100x y a b a b-=>>，l 与C 的右支交于点P ，若A 为PF 的中点，且为坐标原点，则C的离心率为3(2bOA a O =-)________. 【解析】设双曲线的右焦点为，设直线l 与渐近线交于，可求出，，1F by x a=-B ||BF b =||OB a =，由椭圆定义可得，，在直角三角形中，132PF b a =-||3PF b =||2bAB =ABO ，即可求出，得出离心率. 222322b b a a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32b a =【详解】如图所示，设双曲线的右焦点为，不妨设直线l 与渐近线交于， 1F by x a=-B 在直角三角形中，由点到直线的距离可得， BOF |bca BFbc a=，，||OF c = ||OB a ∴==为的中位线，，， OA 1PFF A 3||2bOA a =-132PF b a ∴=-，，1||2PF PF a -= ||3PF b ∴=， 3||,||||||22b b AF AB AF BF ∴==-=则在直角三角形中，，化简得，ABO 222322b b a a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32b a =c e a ∴===.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解题的关键是正确利用直角三角形的性质和椭圆的定义表示出各线段长度，得到.222322b b a a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF //AE ，AB ＝2，CF ＝3．若直线OF 与平面BED 所成的角为45°，则AE ＝________．【答案】2【分析】设AE ＝a ，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量的线面角公式求出a 即可.【详解】设AE ＝a ，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，则△ABC 为正三角形，又AB =2，易得OA =1，OB如图，以O 为坐标原点，以OA ，OB 所在直线分别为x 轴、y轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系．则，()()()(),0,,1,0,3,1,0,B D F E a -所以，设平面BED的法向量为，则()()()1,0,3,0,,OF DB EB a →→→=-==--(),,n x y z →=，令z =1则，，00n DB n EB x az ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ (),0,1n a →=-因为直线OF 与平面BED 所成角的大小为45°，所以，|cos ,|||||||n OFn OF n OF →→→→→→⋅<>===易知a >0，解得：a =2，所以AE ＝2． 故答案为：2.六、解答题17．设为等差数列的前n 项和，. n S {}n a 9238S a a +＝81，＝（1）求的通项公式；{}n a （2）若成等比数列，求. 314m S a S ，，2m S 【答案】（1）（2）32421n a n -＝【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n 项和公式，列出关于和的方程组，解方程组即可求1a d 解；（2）由题意，写出数列前n 项和公式，根据等比中项公式列方程，求解值，即可求解.m【详解】（1）为等差数列的前项和，.n S Q {}n a n 9238S a a +＝81，＝∴， ()95123199481238S a a d a a a d ⎧==+=⎨+=+=⎩解得，112a d ＝，＝. ()11221n a n n ∴+-⨯-＝＝（2）由（1）知，.()21212n n n S n +-==成等比数列，， 314m S a S ，，2314m S S a ∴=即解得， 22927m ＝9m ＝2218324m S =∴=【点睛】本题考查（1）等差数列基本量的求解（2）等比中项概念，属于基础题.18．已知圆，定点.()22:()(21)4C x a y a a -+-+=∈R ()1,2M -(1)过点作圆的切线，切点是A ，若线段的标准方程；M C MA C (2)过点且斜率为1的直线，若圆上有且仅有4个点到的距离为1，求的取值范围. M l C l a 【答案】(1)或 22(3)(5)4x y -+-=22(1)(3)4x y +++=(2) (44【分析】（1）由题可知，圆心，，由勾股定理有，根据两点间距离(),21C a a -2r =222MC MA r =+公式计算即可求出a 的值，进而得出圆的方程；（2）因为圆上有且仅有4个点到的距离为1，圆的半径为2，因此需圆心到直线的距离C l C C l 小于1，设直线的方程为：，根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求出的l ()211y x -=+a 取值范围.【详解】（1）解：由题可知，圆心，(),21C a a -2r =由勾股定理有，则222MC MA r =+222(1)(23)225a a ++-=+=即，解得：或，2510150a a --=3a =1a =-所以圆的标准方程为：或. C 22(3)(5)4x y -+-=22(1)(3)4x y +++=（2）解：设直线的方程为：，即，l ()211y x -=+30x y -+=由题，只需圆心到直线的距离小于1即可， C l 所以，所以1d4a -<44a <<所以的取值范围为.a (4419．双曲线 4.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(1)求的值及双曲线的渐近线方程；,a b C (2)直线与双曲线相交于互异两点，求的取值范围.2y kx =-C k 【答案】(1)，，双曲线的渐近线方程为和； 1a =2b =C 0x y -=0x y +=(2). (2)(2,2)(2,--⋃-⋃【分析】（1）根据双曲线的离心率公式，结合虚轴长的定义进行求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，利用方程解的个数进行求解即可.【详解】（1）因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>所以有，ca =5⇒c 2=5a 2⇒a 2+b 2=5a 2⇒b 2=4a 2而该双曲线的虚轴的长为4，所以，所以， 242b b =⇒=1a =因此双曲线的浙近线方程为：或； C y =±x⇒x−y =00x y +=（2）由（1）可知：，，1a =2b =所以该双曲线的标准方程为：，与直线联立得：2214y x -=2y kx =-，因为直线与双曲线相交于互异两点， 22221(4)48042y x k x kx y kx ⎧-=⎪⇒-+-=⎨⎪=-⎩2y kx =-C 所以有：且， ()()2222408Δ164480k k k k ⎧-≠⎪⇒<⎨=--⋅->⎪⎩24k ≠所以的取值范围为：.k (2)(2,2)(2,--⋃-⋃20．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PA AB ==E 的中点．PB （Ⅰ）求直线与平面的距离；AD PBC （Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值．AD =A EC D --【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）证明直线平面，建立空间直角坐标系，求直线与平面的距离，转//AD PBC AD PBC 化为点到平面的距离；A PBC （Ⅱ）若，求出平面、平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角3AD =AEC DEC 的平面角的余弦值．A EC D --【详解】（Ⅰ）证明：在矩形中，， ABCD //AD BC 又平面，平面， AD ⊂PBC BC ⊂PBC 所以平面//AD PBC 如图，以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标A AB AD AP x y z 系．A xyz -设，，，则 0，，，，，，0，，0． (0D a 0)B 0)C a 0)(0P E因此0，，，，0，． AE =(0BC = a 0)PC = 则，，0AE BC = A 0AE PC =A 因为， BC PC C = 所以平面．⊥AE PBC 又由，知平面，//AD BC //AD PBC故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为AD PBC A PBC ||AE =（Ⅲ）解：因为，． ||AD =(0D 0)C 0)设平面的法向量，，，则，．AEC 11(n x = 1y 1)z 10n AC =A 10n AE =A 又，，0，故AC =0)AE =110110==所以，．11y =11z x =-可取2．1x =1(n =设平面的法向量，，，则，，DEC 22(n x =2y 2)z 20n DC =A 20n DE =A 又，0，，，，故DC =0)DE = 222200x x =⎧=所以，，可取，则，1．20x=22z =21y =2(0n =故，1cos n < 12212||||n n n n n ⋅>=【点睛】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查面面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．21．已知数列满足a 1＝1，an ＋1＝{}n a 2,3,n na n a n ⎧⎨+⎩为奇数为偶数(1)从下面两个条件中选一个，写出b 1，b 2，并求数列的通项公式； {}n b ①bn ＝a 2n －1＋3；②bn ＝a 2n ＋1－a 2n －1． (2)求数列的前n 项和为Sn ．{}n a 【答案】(1)所选条件见解析，；； 124,8b b ==12n n b +=(2). 7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数【分析】（1）分为奇数和为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果.n n （2）分为奇数和为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果.n n【详解】（1）当为奇数时，，则，且，则n 21323n n n a a a ++=+=+()2323n n a a ++=+134a +=，即，12342n n a ++=⋅3223n na +=-当为偶数时，，则，且，n ()2122326n n n n a a a a ++==+=+()2626n n a a ++=+2122a a ==268a +=，则，即，12682n na ++=⋅4226n na +=-若选①，则，则；213122132332n n n n b a -++-=+=-+=124,8b b ==若选②，则，则，2132132112221212323222n n n n n n n n b a a ++-+++++-⎛⎫=-=---=-= ⎪⎝⎭124,8b b ==（2）当为偶数时，n 12n n S a a a =+++()()13124n n a a a a a a -=+++++++ 24233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 232221221236122122n nn n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅--4622922122n n n ++=+--当为奇数时，n 12n n S a a a =+++()()13241n n a a a a a a -=+++++++ 33233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1123222122121136122122n n n n +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅--72921222n n +=--. 7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数22．已知椭圆：在上.C22221(0)xy a b a b +=>>P C （1）求椭圆的标准方程；C （2）设为坐标原点，，试判断在椭圆上是否存在三个不同点(其中的纵O 1(0,2H -C ,,Q M N ,M N坐标不相等)，满足，且直线与直线倾斜角互补？若存在，求出直线12OM ON OQ +=HM HN MN的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，方程为或.2214x y +=2y x=-2y =-【解析】（1）由离心率及过的点的坐标，及，，之间的关系可得，的值，进而可得椭圆的a b c a b 方程；（2）设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意可得，可MN 12OM ON OQ +=得的坐标，由题意可得，进而求出参数的值，求出直线的方程． Q 0HM HN k k +=【详解】解：（1）由题意知可得，，解得， c a =222a c b -=2281133a b +=2a =1b =则椭圆的方程为；C 2214x y +=（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， MN MN y kx m =+设点，1122(,),(,)M x y N x y 联立，得，2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(41)8440k x kmx m +++-=所以，，122814km x x k -+=+21224441m x x k -=+，121222()214my y k x x m k +=++=+因为，12OM ON OQ += 所以， 22164(,)1414km mQ k k -++因为在椭圆上，所以， Q 222216()414(1414km m k k -++=+化简得， 221614m k =+满足，0∆>又因为直线与直线倾斜角互补， HM HN 所以，0HE HF k k +=所以， 121211220y y x x +++=所以，121211220kx m kx m x x +++++=所以，121212()02kx x m x x +++=所以，24(2)014k m k +=+因为，所以，代入得， 0k ≠2m =-221614m k =+k =所以存在满足条件的三个点，此时直线的方程为或. MN 2y =-2y =-【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
重庆重点高中高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知椭圆的一个焦点为，则实数的值为（ ）2213x y m m +=()1,0mA ．B ．2CD 12【答案】A【分析】根据方程是椭圆方程，得，然后由关系得出值． 0m >,,a b c m 【详解】由题意， 0m >223,a m b m ==，， 231m m ∴-=12m =故选：A ．2．已知等比数列的各项均为正数，目，则{}n a 1598a a a ⋅⋅=2123252729log log log log log a a a a a ++++=（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】利用的等比数列的下标和性质推得，再根据对数的运算结合等比数列下标和性质，52a =即可求得答案.【详解】由题意等比数列的各项均为正数，目，{}n a 1598a a a ⋅⋅=则，故，2195a a a =3159558,2a a a a a ⋅⋅=∴==所以2123252357271992log log log log log log a a a a a a a a a a ++++=，55252log log 25a ===故选：C3．已知函数，则（ ） ()()321233f x x f x x '=-+-()2f '=A ． B ．1 C ． D ．51-5-【答案】B【分析】利用导数运算求得.()2f '【详解】，()()2221f x x f x ''=-+令得. 2x =()()()24421,21f f f '''=-+=故选：B4．已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于22214x y b-=12,,F F 1F A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为，则b 的值是（ ）14A ．2 BC ．D32【答案】D【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公()11,A x y ()22,B x y 2121212124y y y y b x x x x -+⋅=-+式，从而得到，即可得解；2124b =【详解】解：设、，则，，()11,A x y ()22,B x y 2211214x y b -=2222214x y b-=两式相减可得，()()()()1212121221104x x x x y y y y b-+--+=为线段的中点，，，P AB 122p x x x ∴=+122p y y y =+，又，， 2121212124y y y y b x x x x -+∴⋅=-+12122AB y y k x x -==-121214y y x x +=+，即， 2124b ∴=22b =b ∴=故选：D.5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹尺，一丈尺），问日益几何？”其意思为：40=10=“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹一丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）n n a 13292428a a a a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+A ．15 B ．C ．D ．2829131514【答案】D【分析】根据给定的信息可得数列为等差数列，再利用等差数列前n 项和公式及通项的性质求{}n a 解作答.【详解】依题意，数列为递增等差数列，且，{}n a 15a =所以. 12913291522824281515151521414142a a a a a a a a a a a a +⨯++⋅⋅⋅+===+++⋅⋅⋅+⨯故选：D6．已知抛物线，圆：，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自2:4E y x =C 222x y x +=C l E C 上而下依次为，，，，若，，成等差数列，则直线的斜率为（ ） A M N B AM MN NB lA B ．C D ．【答案】B【分析】根据给定条件，可得圆心C 为抛物线的焦点，求出弦AB 长，设出直线AB 方程并与抛物线方程联立，求解作答【详解】圆：的圆心，半径，显然点为抛物线的焦C 22(1)1x y -+=(1,0)C 1r =(1,0)C 2:4E y x =点，其准线为，=1x -设，则，而， 1122(,),(,)A x y B x y 1212||||||112AB AC BC x x x x =+=+++=++||2MN =由，，成等差数列得，，因此， AM MN NB 2||4AM NB MN +==||6AB =即有，解得，设直线的方程为，显然，1226x x ++=124x x +=l (1)y k x =-0k ≠由消去y 得：，则有，解得2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩2222(24)0k x k x k -++=122424x x k +=+=k =所以直线的斜率为l 故选：B7．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且()f x R ()f x '()22e f =()()0f x f x '->，则关于的不等式的解集为（ ） x ()ln f x x ≥A ． B ．(]0,e (20,e ⎤⎦C ． D ．[)e,+∞)2e ,⎡+∞⎣【答案】B【分析】依题意令，求导分析单调性，不等式，可转化为，()()e x f x g x =()ln f x x ≥()()2ln ln 2e ex f x f ≥即，即可得出答案．()()ln 2g x g ≥【详解】解：依题意令，则， ()()ex f x g x =2e ()e ()()()()0e e x x x x f x f x f x f x g x ''--'==<所以在上单调递减，()g x R 对于不等式，显然，则，即， ()ln f x x ≥0x >()ln 1f x x ≥()ln ln 1ex f x ≥又，所以， ()22e f =()()2221e f g ==所以，即， ()()2ln ln 2e exf x f ≥()()ln 2g x g ≥所以，ln 2x ≤解得，即关于的不等式的解集为.20e x <≤x ()ln f x x ≥(20,e ⎤⎦故选：B ．8．设函数（）（为自然对数的底数），若恰好存在两个正整数()2e =-+xf x ax ax R a ∈e 2.718= ，使得，，则实数的取值范围是（ ） m n ()0f m <()0f n <a A ．B ．24e e ,212⎛⎤ ⎥⎝⎦34e e ,612⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．D ．32e e ,62⎛⎤ ⎥⎝⎦24e e ,212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据给定条件，只需考查当时，成立的正整数有且只有两个，再构造函1x >2e xa x x >-数，探讨其性质即可作答.【详解】函数中，，而恰好存在两个正整数使得()2e =-+xf x ax ax (1)e>0f =,m n ，则，()()00,f m f n <<1,1m n >>当时，，因此有且只有两个大于1的正整数使得成立，1x >2e ()0x f x a x x <⇔>-2e xa x x>-令，求导得：，由得，由得2e (),1x g x x x x =>-222(31e ()())x x x x g x x -+'=-()0g x '<1x <<()0g x '>x >因此函数在上单调递减，在上单调递增，而， ()g x )+∞23<则必有，又，因此符合题意的正整数只有2和3两个，2e (2)2a g >=322e e e e (3)(2)6232g g ==⋅<=于是得，所以实数的取值范围是.4e (4)12a g ≤=a 24e e 212a <≤故选：A【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.二、多选题9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）{}n a n n S 27n S n n =-+A ．数列是递增数列 B ．{}n a 28n a n =-+C ．当时， D ．当或4时，取得最大值4n >0n a <3n =n S 【答案】BCD【分析】根据给定的前项和，求出，再逐项判断作答.n n a 【详解】数列的前项和，当时，{}n a n 27n S n n =-+2n ≥， 2217[(1)7(1)]28n n n a S S n n n n n -==-+---+-=--+而满足上式，所以，B 正确；116a S ==28n a n =-+数列是公差为的等差数列，是单调递减的，A 不正确； {}n a 2-当时，，C 正确；4n >2(4)0n a n =--<当时，，即数列前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负， 4n ≤2(4)0n a n =--≥{}n a 因此当或4时，取得最大值，D 正确. 3n =n S 故选：BCD 10．已知函数，则（ ） ()11ln f x x x=-+A ．在处的切线为轴 B ．是上的减函数 ()f x 1x =x ()f x ()0,∞+C ．为的极值点 D ．最小值为01x =()f x ()f x 【答案】ACD【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义可判断A ；结合函数的单调性与导数的关系，判断B;根据导数的正负与函数极值的关系，判断C,继而判断D.【详解】由题意知，故，()11ln ,(0)f x x x x=-+>()22111x f x x x x -'=-+=故在处的切线的斜率为，而， ()f x 1x =()10f '=()11n 1l 10f =-+=故在处的切线方程为，即， ()f x 1x =00(1)y x -=-0y =所以在处的切线为轴，A 正确； ()f x 1x =x 当时，，当时，，01x <<()0f x '<1x >()0f x ¢>故在上单调递减，在上单调递增，B 错误； ()f x (0,1)(1,)+∞由此可得为的极小值点，C 正确；1x =()f x 由于在上只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值， ()0,∞+()f x 最小值为，D 正确， ()10f =故选：ACD 11．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，下列结论C 28x y =F F C A B 正确的是（ ）A ．若，则12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭52AF =B ．若，则的最小值为4 ()2,3E AE AF +C ．以线段为直径的圆与直线相切AB =2y -D ．若，则直线的斜率为1 3AF FB =AB 【答案】AC【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出点A ，B 的坐标及直线AB 方程，再结合各选C 项的条件分别计算判断作答.【详解】抛物线：的焦点为，准线，设点，C 28x y =(0,2)F =2y -1122(,),(,)A x y B x y 对于A ，显然在抛物线上，则，A 正确；12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭C 15(2)22AF =--=对于B ，，当且仅当时取等号，()111232AE AF y y y +=--≥-++12x =当时，，有，因此当时取得最小值12x =112y =111132325y y y y -++=-++=12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭AE AF +5，B 不正确；对于C ，，线段AB 的中点M 纵坐标为，1212||||||224AB AF BF y y y y =+=+++=++0y则，显然点M 是以线段为直径的圆的圆心， 1201||222y y y AB +==-AB 点M 到直线的距离为，所以圆M 与直线相切，C 正=2y -011(2)||22||22y AB AB --=-+==2y -确；对于D ，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：，2y kx =+由消去y 得：，有， 228y kx x y=+⎧⎨=⎩28160x kx --=12128,16x x k x x +==-由得：，于是得，解得D 不正确.3AF FB = 123x x =-213k =k =故选：AC12．已知函数，则（ ）()()e 1sin =--xf x x x A ．函数在上单调递增()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数在上有两个零点()f x []π,0-C ．对恒有，则整数的最大值为 []π,0x ∀∈-()20f x k -≥k 3-D ．若，则有 01x <<()e ln f x x <-【答案】ABD【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再求出的导数，推导正负判断()f x ()f x '()f x '()f x 'A ；结合零点存在性定理推理判断B ；利用导数探讨最值判断C ；利用导数证明不等式判断D 作答.【详解】函数，求导得，()()e 1sin =--xf x x x ()e sin (1)cos x f x x x x '=---令，求导得， ()()e sin (1)cos xg x f x x x x '==---()e 2cos (1)sin x g x x x x '=-+-对于A ，当时，，有，函数在上单π02x -<<()e 0,sin 0,1cos 0x x x x >->-->()0f x '>()f x π[,0]2-调递增，A 正确； 对于B ，当时，，有，函数在上π2x π-<<-e cos 0,(1)sin 00,x x x x ->>->()0g x '>()f x 'π[,2π--单调递增， 而，则使得，2()e10,(e102f f πππππ--''-=--<-=+>0(,)2x ππ∃∈--0()0f x '=当时，，当时，，因此在上递减，在0x x π-<<()0f x '<02x x π<<-()0f x '>()f x 0[,]x π-0[,2x π-上递增，由选项A 知，在上递增，又，()f x 0[,0]x 20()e 0,(0)10,()()e1022f f f x f πππππ---=>=><-=--<则，1020(,),(,0)x x x x π∃∈-∈使得，因此函数在上有两个零点，B 正确；12()()0f x f x ==()f x []π,0-对于C ，对恒有，由选项B 知，，[]π,0x ∀∈-()202()f x k k f x -≥⇔≤min 0()()f x f x =则有，由得：，()00002()e 1sin x k f x x x ≤=--()00f x '=0000e sin (1)cos xx x x =+-， ()0000000000()sin (1)cos 1sin sin (1)(cos sin )f x x x x x x x x x x =+---=+--令，，()sin (1)(cos sin ),2h x x x x x x ππ=+---<<-()(3)cos sin 0h x x x x x '=--<函数在上单调递减，，又，()h x π[,2π--()()222h x h ππ>-=--20()()e 122f x f πππ-<-=--则有，因此整数的最大值为，C 不正确；()201111e 42242f x πππ---<<--k 2-对于D ，当时，令，则， 01x <<()sin ,()ln (1)u x x x t x x x =-=--1()cos 10,()10u x x t x x'=-<=->函数在上递减，，即，函数在上递增，()u x (0,1)()(0)0u x u <=0sin 1x x <<<()t x (0,1)，即，()(1)0t x t <=ln 1x x <-令，， 2e (1)sin ln e (1)1e ((1()n ))l x x x x x x x x x f x x x x ϕ+--+<--+=-=-=-01x <<显然在上单调递增，则有函数在上单调递增， 2(1)x --(0,1)2e (1)x y x =--(0,1)因此，即，所以当时，成立，D 正确. 2e (1)e x x --<e ()x ϕ<01x <<()e ln f x x <-故选：ABD【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.三、填空题13．函数有极值，则实数的取值范围是______．()322f x x x ax a =-++a 【答案】1(,3-∞【分析】求出函数的导数，再利用存在变号零点求出a 的范围作答.()f x '()f x '【详解】函数定义域为R ，求导得：，()322f x x x ax a =-++2()32f x x x a '=-+因为函数有极值，则函数在R 上存在变号零点，即有两个不等实根，()f x ()f x '()0f x '=即有方程有两个不等实根，于是得，解得，2320x x a -+=4120a ∆=->13a <所以实数的取值范围是.a 1(,)3-∞故答案为：1(,)3-∞14．双曲线：（，）的渐近线与抛物线的准线交于，两点，C 22221x y a b-=0a >0b >2y =A B 为坐标原点，的面积为1，则双曲线的渐近线方程为______．O OAB A 【答案】或2y x =-2y x =【分析】求出抛物线的准线及双曲线的渐近线，再联立求出线段AB 长，结合三角形2y =C 面积，求出作答. ba【详解】双曲线：的渐近线方程为：，抛物线的准线为直线：C 22221x y a b -=b y xa =±2y =x =联立与b y x a =±x =y =||(|AB ==而的面积，即，OAB A 1||122OAB bS AB a ====A 2b a =所以双曲线的渐近线方程为或. 2y x =-2y x =故答案为：或2y x =-2y x =15．已知数列满足，且是函数（）的极值点，设{}n a 12a =1x =()4321114n n f x a x a x x +=--+N n *∈，，则______． ()3log 1n n b a =+12231202420242024n n n S b b b b b b +=++⋅⋅⋅+2023S =【答案】2023【分析】根据给定条件，利用导数结合函数极值点的意义求出数列的通项，进而求出，再求{}n a n b 作答.2023S 【详解】函数，求导得：，依题意，()4321114n n f x a x a x x +=--+()13232n n f x a x a x x +'=--，()10f '=即，有，而，因此数列是首项为3，公比为3的等比数132n n a a +=+113(1)n n a a ++=+113a +={1}n a +列，此时，而，()32(32)32(1)[(32)2]n n n f x a x a x x x x a x '=+--=-++320n a +>即当时，，当时，，则是函数的极值点，01x <<()0f x '<1x >()0f x ¢>1x =()f x因此，，，， 132n n a a +=+13nn a +=3log 3n n b n ==120242024112024((1)1n n b b n n n n +==-++，11111120242024[(1()(2024(1)223111n nS n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++所以. 20232023S =故答案为：202316．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点C ()222210x y a b a b+=>>1F 2F 12l 且交C 于A ，B 两点（点A 在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为1F 12AF F △1r 12BF F △，若，则椭圆的离心率___________． 2r 122r r =e =【分析】由题意得，联立直线与椭圆方程得，，再122A B r y r y =-=22244A B b c y y a b +=+4224A B b y y a b -⋅=+利用，再代入值计算即可得答案. ()22AB A B A BB Ay y y yy y y y +=++⋅【详解】如图所示，由椭圆定义可得，， 122AF AF a +=122BF BF a +=设的面积为，的面积为，因为， 12AF F △1S 12BF F △2S 123r r =所以，即， ()()()111222112222221122222A A BB a c r c y S r y S r y a c r c y +⨯⨯==⇒=-=+⨯⨯-2A B y y =-设直线，则联立椭圆方程与直线，可得:2l x y c =-l ， 222242222222(4)40x y ca b y b cy b b x a y a b=-⎧⇒+--=⎨+=⎩由韦达定理得：， 22244A B b cy y a b +=+4224A B b y y a b -⋅=+又，即 ()22A B A B A B B A y y y y y y y y +=++⋅2222422441122224b c a b b a b ⎛⎫⎪+⎝⎭=-+-=--+化简可得，即， ()222222216132442c ca a c ab =⇒=+-+22365c a =即时，有22365c a =2536e e =⇒=四、解答题17．已知数列是公差不为零的等差数列，，且是和的等比中项． {}n a 2410a a +=-5a 2a 14a (1)求数列的通项公式：{}n a (2)已知，求数列的前20项和．2,5,6n n n n b a n ⎧≤=⎨≥⎩{}n b 20T 【答案】(1)； 21n a n =-+(2). 313-【分析】（1）根据给定条件，结合等比中项列式求出数列的公差，即可求解作答. {}n a （2）利用（1）的结论，利用分组求和法，结合等差等比数列前n 项和公式计算作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得，解得，{}n a ()d d ≠02410a a +=-3210a =-35a =-又是和的等比中项，有，则，5a 2a 14a 25214a a a =2333(2)()(11)a d a d a d +=-+整理得，而，解得，，23156d a d =0d ≠2d =-3(3)21n a a n d n =+-=-+所以数列的通项公式是.{}n a 21n a n =-+（2）由（1）知，，，N n *∈2,521,6n n n b n n ⎧≤=⎨-+≥⎩所以 5234562020672015()2(12)22222122a a T a a a +-=++++++++=+- .1362156215(25)313a =+=+⨯-=-18．设函数．()33f x x ax a =--(1)当时，求的极值；4a =()f x(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围． ()f x a 【答案】(1)极大值，极小值； (2)12f -=(2)20f =-(2). 14a >【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值作答.4a =（2）根据给定条件，求出函数的极大值与极小值，再利用三次函数的图象特征列出不等式求解作答.【详解】（1）当时，，求导得：，4a =()3124f x x x =--2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-当或时，，当时，， <2x -2x >()0f x '>22x -<<()0f x '<因此函数在上单调递增，在上单调递减，()f x (,2),(2,)-∞-+∞(2,2)-所以函数在取得极大值，在取得极小值.()f x 2x =-(2)12f -=2x =(2)20f =-（2）函数，求导得：，()33f x x ax a =--2()33f x x a '=-当时，，当且仅当且时取等号，函数在R 上单调递增，最多一0a ≤()0f x '≥0x =0a =()f x ()f x 个零点，不符合题意，当时，当，当， 0a >x <x ()0f x '>x <<()0f x '<因此函数在上单调递增，在上单调递减，()f x (,)-∞+∞(则函数在，在，()fxx =(2f a =x=2f a =--因为三次函数有三个零点，从而，即，解得，()f x (00f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2020aa ⎧>⎪⎨--<⎪⎩14a >所以实数的取值范围是. a 14a >19．已知双曲线经过点，点．C ()3,4P Q (1)求双曲线的标准方程；C (2)已知，过点的直线与双曲线交于不同两点，，若以线段为直径的圆()2,2A -()2,0l C M N MN 刚好经过点，求直线的方程．A l 【答案】(1)；2212y x -=(2)或. 20x y --=7140x y --=【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的向量表示求解作答. l 【详解】（1）依题意，设双曲线的方程为：，而双曲线经过点，点C 221,0mx ny mn -=>C ()3,4P ，Q则有，解得，即有，9161221m n m n -=⎧⎨-=⎩11,2m n ==22112x y -=所以双曲线的标准方程为：.C 2212y x -=（2）显然直线不垂直于y 轴，设直线的方程为：，l l 2x t y =+由消去得：，显然， 22222x ty x y =+⎧⎨-=⎩x 22(21)860t y ty -++=2210t -≠，设，2226424(21)16240t t t ∆=--=+>1122(,),(,)M x y N x y 则有，因为以线段为直径的圆刚好经过点， 12122286,2121t y y y y t t +=-=--MN A 即有，而， 0AM AN ⋅=1122(2,2),(2,2)AM x y AN x y =-+=-+ 于是得，即，1212(2)(2)(2)(2)0x x y y --+++=21212(1)2()40t y y y y ++++=有，整理得：，解得或，2226(1)16402121t tt t +-+=--27810t t -+=1t =17t =因此直线：或，l 2x y =+127x y =+所以直线的方程为或. l 20x y --=7140x y --=20．已知数列的前项和为，． {}n a n n S 22n n S a =-(1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，数列前项和为，是否存在实数，使得对任意，21n nn b a -={}n b n n T λ()13mn m T a λ<-+m 恒成立，若存在，求出实数的所有取值；若处存在，说明理由．*N n ∈λ【答案】(1)； 2n n a =(2)存在，0.【分析】（1）根据给定的递推公式，探讨数列的性质，再求出其通项公式作答. {}n a （2）由（1）求出，利用错位相减法求出，再结合数列不等式恒成立求解作答.n b n T【详解】（1）数列的前项和为，，当时，，两式相减得：{}n a n n S 22n n S a =-2n ≥1122n n S a --=-，即有，而，即，因此数列是首项为2，公比为122n n n a a a -=-12n n a a -=11122a S a ==-12a ={}n a 2的等比数列，所以数列的通项公式是. {}n a 2n n a =（2）由（1）知，， 212n nn b -=， 23135212222-=++++ n n n T 则， 234111352321222222n n n n n T +--=+++++ 两式相减得：， 1211111111111121121323221222222222212n n n n n n n n n T --+++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=++++-=+-=-- 于是得，显然，， 2332n nn T +=-N n *∀∈3n T <假设存在实数，使得对任意，恒成立， λ()13mn m T a λ<-+m *N n ∈则存在实数，使得对任意恒成立，即，λ()133mm a λ-+≥*N m ∈*N m ∀∈成立，()()10102m m mλλ-≥⇔-≥⋅当为正偶数时，，当为正奇数时，，从而，m 0λ≥m 0λ≤0λ=所以存在实数，使得对任意，恒成立，的值为0.λ()13mn m T a λ<-+m *N n ∈λ21．已知直线：，点，点是平面内一个动点，过点作于点，且l 3x =()1,0F P P PQ l ⊥Q(1)求点的轨迹方程；P (2)设点是一定点，且，过点的直线交点的轨迹于，两点，该平面内是(),0M t0t ≠t ≠M P A B 否存在不同于点的一定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；M N ||||||||MA NB MB NA ⋅=⋅N 若不存在，说明理由．【答案】(1)；2212x y +=(2)存在，.2(,0)t【分析】（1）根据给定条件，设出动点P 的坐标，列出方程化简得解.（2）假定存在符合条件的点N ，设出其坐标，直线AB 不垂直于y 轴时设出其方程，与（1）中轨迹方程联立，结合已知计算推理即可，再验证直线AB 垂直y 轴的情况作答. 【详解】（1）设点，依题意，(,)P x y |||3|,||PQ x PF=-，|3|1x -=+当时，，即， 3x ≥4x -=222414x y x ++=22(2)218x y ++=因为，则当时，不成立，22(2)22518x y ++≥>3x ≥当时，，显然符合题意，3x <2x -=2222x y +=所以点的轨迹方程是.P 2212x y +=（2）假设存在符合条件的点，设，000(,),N x y x t ≠1122(,),(,)A x y B x y 当直线不垂直于y 轴时，设其方程为，由消去x 得： AB x my t =+2222x my tx y =+⎧⎨+=⎩，有，即，222(2)220m y mty t +++-=222244(2)(2)0m t m t ∆=-+->2220m t +->，由得， 212122222,22mt t y y y y m m -+=-=++||||||||MA NB MB NA ⋅=⋅12||||||||||||y NA MA NB MB y ==，即， 12||||y y =22222222210210120120()()()()y x x y y y y x x y y y -+-=-+-，2222222221020011201002()(2)()(2)y my t x y y y y y my t x y y y y +-+-=+-+-，2222222222200122001100121002()2()(2)()2()(2)y t x m t x y y y y y y y t x m t x y y y y y y -+-+-=-+-+-，2222222100122102101221()()2()()()2()0y y t x m t x y y y y y y y y y y y y --+--+---=，22210012021012()()2()()20y y t x m t x y y y y y y y y +-+-++-=，， 2221000012()[()][2()2]0y y t x y m t x y y y +-++--=22200002[()][2()2](2)0mt t x y m t x y t --++---=，，222200002[()(2)()]2(2)0m t x t t t x ty y t -------=2222000002[(2)2]2(2)0m x t x y t x y t -+++--=因为对符合题意的任意m 值恒成立，2222000002[(2)2]2(2)0m x t x y t x y t -+++--=因此且，由得，2220000(2)20x t x y t x -+++=202(2)0y t -=202(2)0y t -=00y =则有，即，于是得，即点为定点，22000(2)20x tx t x -++=00(2)()0x t t x --=02x t=2(,0)N t 当直线垂直于y 轴时，不妨令，由得：AB (A B ||||||||MA NB MB NA ⋅=⋅且时，上述等式成立， |||t t =02x t=00y =综上得：存在定点，使得恒成立，2(,0)N t||||||||MA NB MB NA ⋅=⋅所以存在不同于点的一定点，使得恒成立，点的坐标是.M N ||||||||MA NB MB NA ⋅=⋅N 2(,0)t【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.22．已知函数．()e -=x kf x x(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；()f x ()0,∞+k (2)若存在极小值，且极小值等于，求证：．()()ln g x f x k x =-()2ln k -ln 2e k k +>【答案】(1)； 1k ≥(2)证明见解析.【分析】（1）由条件可得在上恒成立，然后可得，然后()()2e e 0x x x kf x x --'=≥()0,∞+()e 1xk x ≥-利用导数求出的最大值即可；()()=e 1xx x ϕ-（2）求出，分、、、四种情况讨论的单调性，然后可得()g x '1k ≤1k e <<e =k e k >()g x ，令、，然后利用ln ln e e e tt t t t t ==()()ln 1x h x x x =>()()()()2e ln ln 2e 1e G x x x x x x =---<<()h x 、的单调性可证明.()G x 【详解】（1）因为在上单调递增，()e -=x kf x x ()0,∞+所以在上恒成立，且不恒等于，()()2e e 0x x x kf x x--'=≥()0,∞+()f x '0由可得，()()2e e 0x x x kf x x --'=≥()e 1xk x ≥-令，则，()()=e 1x x x ϕ-()()=e 1e =e 0x x xx x x ϕ'---<所以在上单调递减，()()=e 1xx x ϕ-()0,∞+所以；()01k ϕ≥=（2）因为，其定义域为，()()ln g x f x k x =-()0,∞+所以， ()()()()2e 1x k x k g xf x x x--''=-=①当时，，所以当时，单调递减， 1k ≤e 0x k -≥()0,1x ∈()0g x '<()g x 当时，单调递增，()1,x ∈+∞()0g x '>()g x 所以的极小值为，而，不合题意，()g x ()1e 0g k =->()2ln 0k -≤②当时，由可得或， 1k e <<()0g x '=ln x k =1x =当时，，单调递增， ()0,ln x k ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减， ()ln ,1x k ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增，()1,x ∈+∞()0g x '>()g x 所以的极小值为，而，不合题意，()g x ()1e 0g k =->()20ln k -<③当时，，在上单调递增，不合题意， e =k ()0g x '≥()g x ()0,∞+④当时，由可得或， e k >()0g x '=ln x k =1x =当时，，单调递增， ()0,1x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减， ()1,ln x k ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增， ()ln ,x k ∈+∞()0g x '>()g x 所以的极小值为，()g x ()()()2ln ln ln ln g k k k k =-=-令，则，()ln 1,t k =∈+∞2e ln t t t =所以，ln ln e e e tt t t t t ==令，则，，()()ln 1x h x x x=>()()e t h t h =()21ln xh x x -'=所以在上单调递增，在上单调递减，所以， ()h x ()1,e ()e,+∞1e e t t <<<令， ()()()()2e ln ln 2e 1e G x x x x x x =---<<则 ()()2e ln ln 2e 2e x xG x x x x x-'=-+--+-()()2222e 2e ln 2e ln e e ln e 202e 2e x x x x x x x x x x x--⎡⎤=--++=---+++>-+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦--所以在上单调递增，所以，()G x ()1,e ()()e 0G x G <=所以当时有， ()1,e x ∈()ln 2e ln 2e x x x x-<-因为，所以， 1e e tt <<<()ln 2e ln e ln e 2e t t t t t t -=<-又因为在上单调递减，所以， ()h x ()e,+∞e 2e t t >-所以，即.e 2e t t +>ln 2e k k +>。
重庆高二高中数学期末考试带答案解析
重庆高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（）A．B．C．D．3.抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．4.下面图形中是正方体展开图的是（）5.若点在圆外，则的取值范围是（）A．B．C．D．6.设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．7.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为真命题．B．“” 是“”的必要不充分条件．C．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．D．命题“使得”的否定是：“均有”．8.若为两个不同的平面，为不同直线，下列推理:①若；②若直线；③若直线，；④若平面直线；其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．49.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10.设，，若中含有两个元素，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.抛物线上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离是2.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是3.已知，，在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是4.某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为5.已知圆C的方程，P是椭圆上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为三、解答题1.（本小题13分）第（1）小题5分，第（2）题8分（1）已知直线过点且与直线垂直，求直线的方程．（2）已知直线经过直线与直线的交点，且平行于直线．求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；2.（本小题13分）第（1）小题6分，第（2）题7分如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点。
（1）求证：；（2）求证：；3.（本小题13分）已知命题：方程有两个不相等的实根，命题：关于的不等式，对任意的实数恒成立，若“”为真，“”为假，求实数的取值范围。
重庆高二高中数学期末考试带答案解析
重庆高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集，则集合（）A．B．C．D．2.复数（）A．B．C．D．3.命题“使得”的否定是 ( )A．均有B．均有C．使得D．均有4.某地区空气质量监测资枓表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．B．C．D．5.已知为实数，且，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.如果执行右面的程序框图，输入，那么输出的等于（）A．720B．360C．180D．608.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为( )A．2B．3C．5D．79.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A．B．C．D．10.在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为（）A．B．C．D．11.已知点、在半径为的球表面上运动，且，过作相互垂直的平面、，若平面、截球所得的截面分别为圆、圆，则（）A．长度的最小值是2B．的长度是定值C．圆面积的最小值是D．圆、的面积和是定值12.将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第个数为（），若，，，，则不同的排列方法种数为（）A．18B．30C．36D．48二、填空题1.若的展开式中常数项为96，则实数等于__________．2.如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为__________．3.已知圆：（，为正实数）的圆心在直线：上，则的最小为__________．4.已知、是过抛物线（）的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为__________．三、解答题1.选修4-5：不等式选讲设函数．（1）求不等式的解集；（2）如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．2.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线（）与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.3.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素，的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：当产品中的微量元素，满足且时，该产品为优等品（1）若甲厂生产的产品共98件，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（2）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望.4.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.（1）若，求与所成角的余弦值；（2）当平面与平面垂直时，求的长.5.已知椭圆：（）的离心率为，右焦点为，过且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，若点与，两点连线斜率乘积为.（1）求椭圆的方程；（2）对于椭圆上任一点，若，求的最大值.6.已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围.重庆高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知全集，则集合（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以．故选D．【考点】集合的运算．2.复数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故选C.3.命题“使得”的否定是 ( )A．均有B．均有C．使得D．均有【答案】B【解析】存在性命题的否定是全称命题. 命题“使得”的否定是均有，故选.【考点】导数的几何意义，直线方程.4.某地区空气质量监测资枓表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.【考点】条件概率．5.已知为实数，且，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据不等式的性质，若时，成立，而不成立，当且时必有成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.【考点】1、不等式的性质；2、充分条件与必要条件.【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件主要考查不等式的性质，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.6.若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由可知，所以①错，②正确，③正确，④正确，所以正确的个数为个，故选C.【考点】1、不等式的性质；2、基本不等式.7.如果执行右面的程序框图，输入，那么输出的等于（）A．720B．360C．180D．60【答案】B【解析】讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．解：第一次：k=1，p=1×3=3；第二次：k=2，p=3×4=12；第三次：k=3，p=12×5=60；第四次：k=4，p=60×6=360此时不满足k＜4．所以p=360．故选B8.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为( )A．2B．3C．5D．7【答案】B【解析】先做出约束条件下的可行域，观察可行域与直线的位置关系可知：当直线过与的交点时取得最小值3【考点】线性规划问题点评：线性规划问题最值点一般出现在可行域的顶点或边上9.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高，因此底面积为，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为，选C.10.在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，当时有最小值，曲线在出的切线斜率最小为，因为，所以由截距式可得切线方程为，化为，故选C.11.已知点、在半径为的球表面上运动，且，过作相互垂直的平面、，若平面、截球所得的截面分别为圆、圆，则（）A．长度的最小值是2B．的长度是定值C．圆面积的最小值是D．圆、的面积和是定值【答案】B【解析】如图所示，过作互相垂直的平面、平面，则，，，因为分别是的中点，所以，故选B.12.将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第个数为（），若，，，，则不同的排列方法种数为（）A．18B．30C．36D．48【答案】B【解析】分两步：（1）先排时，有种；时，有种；时，有种；共有种；（2）再排共有种，故不同的排列方法为，故选B.二、填空题1.若的展开式中常数项为96，则实数等于__________．【答案】【解析】的展开式的通项是，令，的展开式中常数项为可得故答案为 .【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.2.如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为__________．【答案】【解析】甲、乙的平均成绩分别用、表示,被污损的数字用表示,则有,若甲的成绩超过乙的成绩,则 ,所以可以等于共8种情况, 的值一共有10种可能,故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.3.已知圆：（，为正实数）的圆心在直线：上，则的最小为__________．【答案】【解析】圆为正实数），所以圆的圆心坐标，由直线经过圆心，得，，当且仅当，且时取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查圆的方程及性质、利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.4.已知、是过抛物线（）的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为__________．【答案】【解析】不妨设直线的斜率，如图所示，分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为过作于，，即有为的中点，即，，，即，由，易知直线的斜率为，不妨取直线的方程为，联立得，所以，故答案为.三、解答题1.选修4-5：不等式选讲设函数．（1）求不等式的解集；（2）如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）借助题设条件分类求解；（2）借助题设求函数的最小值即可求解．试题解析：（1），当时，，∴，无解；当时，，∴；当时，，∴综上可得，不等式的解集为（2），由，得，实数的取值范围为【考点】绝对值不等式的性质等有关知识的综合运用．2.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线（）与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.【答案】（1）:;:;（2）.【解析】（1）消去参数即得直线的普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式进行求解；（2）联立相关极坐标方程，利用其几何意义进行求解，再利用三点共线进行求解.试题解析：（1）根据题意可得可化为，根据极坐标与直角坐标的互化公式可得，∴曲线的直角坐标方程为.直线的参数方程分别是（为参数），化为普通方程为,即，化为极坐标方程为.（2）根据题意可得，将代入，可求得，将代入，可求得，根据题意可知点共线，且，∴.3.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素，的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：当产品中的微量元素，满足且时，该产品为优等品（1）若甲厂生产的产品共98件，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（2）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望.【答案】(1) ；（2）.【解析】（1）由分层抽样性质能求出乙厂生产的产品总数；（2）由题意，，由此能求出的分布列和均值.试题解析：（1）由题意知，抽取比例为，则乙厂生产的产品数量为（件）；由表格知乙厂生产的优等品为2号和5号，所占比例为.由此估计乙厂生产的优等品的数量为（件）；（2）由（1）知2号和5号产品为优等品，其余3件为非优等品，的取值为0，1，2.，，，从而分布列为数学期望.4.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.（1）若，求与所成角的余弦值；（2）当平面与平面垂直时，求的长.【答案】(1) ；（2）.【解析】（1）结合已知条件，设与的交点为，则，故考虑分别以为轴、轴，以过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设与所成的角为，则可转化为与所成的角，代入公式可求；（2）分别求平面的法向量，平面的法向量，由平面平面可得从而可求即.试题解析：（1）因为四边形是菱形，所以.又因为平面，所以.又，所以平面.设.因为，，所以，，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，，，，所以，.设与所成角为，则.（2）由（1）知，设（），则，设平面的法向量，则，，所以，令，则，，所以.同理，平面的法向量.因为平面平面，所以，即，解得.所以.【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线成的角，以及向量垂直的应用，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.5.已知椭圆：（）的离心率为，右焦点为，过且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，若点与，两点连线斜率乘积为.（1）求椭圆的方程；（2）对于椭圆上任一点，若，求的最大值.【答案】(1) ；（2）.【解析】（1）根据题意列出关于、、的方程组，结合性质，，求出、、，即可得结果；（2）根据椭圆与直线的关系，联立方程组，消去可得消去得，根据韦达定理结合方程根与系数的关系，利用基本不等式求解即可.试题解析：（1）设，由，得，又,解得椭圆方程为.（2）由（1）知，根据题意可知道方程为,①椭圆的方程可化为. ②将①代入②消去得.设，，则有，设，由得，③又点在椭圆上，. ④又，在椭圆上，故有，. ⑤而. ⑥将⑤，⑥代入④可得，，当且仅当时取“”，则的最大值为.6.已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围.【答案】(1) 当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；（2）.【解析】（1）求出，分两种情况讨论，分别令得增区间，令得减区间；（2），令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果.试题解析：（1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；（2）依题意，，令，则，令，则，即在上单调递增.又，，存在唯一的，使得.当，在单调递增；当，在单调递减.，，，且当时，，又，，.故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为.。
重庆高二高中数学期末考试带答案解析
重庆高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的斜率为（）A．B．C．D．2.命题“，”的否定是（）A．“，”B．“，”C．“，”D．“，”3.抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．4.过点且平行于：的直线的方程为（）A．B．C．D．5.下列说法错误的是（）A．若为假命题，则，均为假命题B．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”C．“”是“”的充分不必要条件D．命题“没有实根，则”是真命题6.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为（）A．B．C．D．7.已知是以，为焦点的椭圆上的一点，若，且，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8.设函数，则（）A．为的极小值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极大值点9.如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面10.若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.圆的圆心坐标为．2.函数在区间上的最小值为．3.如图，网格纸的各小格都是边长为的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是．4.设、满足约束条件，则的最大值为．5.在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是_____________．三、解答题1.（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）已知函数，（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调递减区间．2.（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．3.（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分）已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．4.（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）已知函数在处达到极值，（1）求的值；（2）若对恒成立，求的取值范围．5.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分）如图，四边形是矩形，平面，平面，且．（1）求多面体的体积；（2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．6.（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点，满足．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．重庆高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线的斜率【考点】直线一般方程2.命题“，”的否定是（）A．“，”B．“，”C．“，”D．“，”【解析】特称命题的否定是全称命题，并对结论否定，的否定是，因此原命题的否定为，【考点】全称命题与特称命题3.抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线中，准线【考点】抛物线方程及性质4.过点且平行于：的直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线斜率，所以所求直线斜率也是，点斜式方程为化简得【考点】直线方程5.下列说法错误的是（）A．若为假命题，则，均为假命题B．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”C．“”是“”的充分不必要条件D．命题“没有实根，则”是真命题【答案】A【解析】A中为假命题，则，至少有一个为假命题，B中逆否命题是将条件和结论交换并否定，因此正确，C中或，所以“”是“”的充分不必要条件，D中没有实根，则【考点】1．四种命题；2．充分条件与必要条件6.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与双曲线有共同的渐近线的方程可设为代入点得方程为【考点】双曲线方程及性质7.已知是以，为焦点的椭圆上的一点，若，且，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解析】，【考点】1．椭圆定义；2．椭圆离心率8.设函数，则（）A．为的极小值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极大值点【答案】B【解析】定义域，，令，增区间为减区间为，为的极小值点【考点】函数单调性与极值9.如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面【答案】C【解析】，，是的中点平面，因此有平面平面，且平面平面，C正确【考点】线面垂直，面面垂直的判定10.若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】线段的中点的轨迹为与直线平行的直线，表示以为圆心，半径为的圆及内部，所以轨迹为直线与相交的弦，可看作到距离的平方，结合图形可知取值范围是【考点】1．点的轨迹；2．圆的方程3．两点间距离公式二、填空题1.圆的圆心坐标为．【答案】【解析】圆的一般方程中为圆心，此题中，圆心为【考点】圆的一般方程2.函数在区间上的最小值为．【答案】【解析】，当时，所以增区间为，减区间为，所以最小值为【考点】函数导数与最值3.如图，网格纸的各小格都是边长为的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是．【答案】【解析】由三视图可知该几何体为直三棱柱，底面为边长为6的直角三角形，高为4，所以体积为【考点】三视图及棱柱体积4.设、满足约束条件，则的最大值为．【答案】5【解析】约束条件对应的可行域为由直线围成的三角形及内部，当过直线交点时取得最大值5【考点】线性规划问题5.在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是_____________．【答案】【解析】设方程为，令得，与垂直的直线为当时取得最大值【考点】1．导数的几何意义；2．直线方程；3．函数求最值三、解答题1.（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）已知函数，（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调递减区间．【答案】（1）（2）【解析】（1）首先利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，然后写出点斜式方程并整理（2）首先求出函数的导数，令，解不等式求得减区间试题解析：（1）∵，∴ 4分∴过点的切线方程为：，即 7分，令，解得 11分∴单调递减区间为 13分【考点】1．导数的几何意义；2．导数与单调性2.（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）中首先利用三角形中位线得到，进而由，利用两线平行推出线面平行的判定定理得到平面（2）中由等腰得到，利用平面得到，所以平面，试题解析：（1）∵、分别为、的中点，∴， 2分又∵，∴． 4分又∵平面，平面，∴平面 6分（2）∵为等腰底边上的中线，∴．∵平面，平面，∴．又∵，且，∴平面．又平面，∴． 10分∵，，且，∴平面．又平面，∴。
2022届重庆市名校高二下数学期末复习检测试题含解析
2022届重庆市名校高二下数学期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设()22xf x lgx+-＝，则22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为（ )． A ．（－4,0)∪（0,4) B ．（－4，－1)∪（1,4) C ．（－2，－1)∪（1,2) D ．（－4，－2)∪（2,4) 【答案】B 【解析】试题分析：要使函数有意义，则2>02xx +-解得22x ∈-（，），22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有意义，须确保两个式子都要有意义，则222{222x x-<<-<<⇒4114x ∈--⋃（，）（，），故选B . 考点：1.函数的定义域；2.简单不等式的解法.2．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =（ ）A ．53B ．74C ．95D ．116【答案】D 【解析】 【分析】通过分析可知程序框图的功能为计算211n S n +=+，根据最终输出时n 的值，可知最终赋值S 时5n =，代入可求得结果. 【详解】根据程序框图可知其功能为计算：()111111111211111112231223111n S n n n n n n +=+++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=⨯⨯++++ 初始值为1n =，当6n =时，输出S 可知最终赋值S 时5n = 25111516S ⨯+∴==+ 本题正确选项：D 【点睛】本题考查根据程序框图的功能计算输出结果，关键是能够明确判断出最终赋值时n 的取值.3．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．60°C ．45°D ．120°【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】324y x x =-+求导得：2'32y x =-在点(1,3)处的切线斜率即为导数值1. 所以倾斜角为45°. 故选C.4．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( ) A ．14B ．23C ．13D ．12【答案】B 【解析】 【分析】根据题目可知，求出事件A 的概率，事件AB 同时发生的概率，利用条件概率公式求得()|P B A ，即可求解出答案． 【详解】依题意，()1214C 1C 2P A ==，()11221143C C 1C C 3P AB ==，则条件概率()()()123|132P AB P B A P A ===．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意()P AB 的求解． 5．如图，在ABC ∆中， ,,BC a AC b AB c ===． O 是ABC ∆的外心， ODBC 于D ， OE AC⊥于E ， OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于 （ ）A ．::a b cB ．111::a b cC ．sin :sin :sin A B CD ．cos :cos :cos A B C【答案】D 【解析】 由正弦定理有2sin aR A= ,R 为三角形外接圆半径,所以2sin a R A =,在RtBOD ∆中,22221cos 4OD OB BD R a R A =-=-= ,同理cos ,cos OE R B OF R C ==,所以::cos :cos :cos OD OE OF A B C = ,选D.6．同学聚会时，某宿舍的4位同学和班主任老师排队合影留念，其中宿舍长必须和班主任相邻，则5人不同的排法种数为（ ） A ．48 B ．56 C ．60 D ．120【答案】A 【解析】 【分析】采用捆绑法，然后全排列 【详解】宿舍长必须和班主任相邻则有2种可能，然后运用捆绑法，将其看成一个整体，然后全排列，故一共有44248A ⨯=种不同的排法故选A 【点睛】本题考查了排列中的位置问题，运用捆绑法来解答即可，较为基础7．双曲线221169x y -=的焦点坐标是A ．（）B ．0,（C ．5,0（）±D ．0,5（）±【答案】C 【解析】分析：由题意求出,a b ，则c =，可得焦点坐标详解：由双曲线221169x y -=，可得4,3,5a b c ==∴==，故双曲线221169x y -=的焦点坐标是5,0±（） 选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.8．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是（ ） A ．()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2-D ．4,2【答案】C 【解析】试题分析：由24iz i =+，可得()2242442i i i z i i i++===-，∴z 对应的点的坐标为（4，－2），故选C ． 考点：考查了复数的运算和复数与复平面内点的对应关系．点评：解本题的关键是根据复数的除法运算求出复数z ，然后利用复数z 所对应的点的横坐标和纵坐标分别为为复数的实部和虚部，得出对应点的坐标．9．在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A 、B 的体积不相等”是“A、B 在等高处的截面面积不恒相等”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解 【详解】由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分条件不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：“两几何体A 、B 的体积不相等”是“A 、B 在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件，故选：A ． 【点睛】本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题。
重庆高二高中数学期末考试带答案解析
重庆高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，，则=（）A．B．C．D．2.已知命题：，，则是（）A．B．C．D．3.已知等比数列的公比为2，则=（）A．B．C．D．4.在中，为的中点，设，则（）A．B．C．D．5.已知函数，则函数的增区间为（）A．B．C．D．6.“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7.已知的值如表所示，若呈线性相关，且回归直线方程为，则（）A． B． C． D．8.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．79.动点满足，点为，为原点，，则的最大值是（）A．B．C．D．10.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若线段与的长度分别为，则的最小值为（）A．B．C．D．11.已知函数的定义域内任意的自变量都有，且对任意的，都有（其中是函数的导函数），设，则的大小关系为（）A．B．C．D．二、填空题1.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则．2.曲线在点处的切线方程为．3.某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如右表，则大约有 %的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：非统计专业统计专业4.已知函数，若，是从集合中任取两个不同的数，则使函数有极值点的概率为．三、解答题1.已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）记，的前项和为，求．2.已知圆经过点，且直线：与圆相交于（1）求圆的方程．（2）若的周长为18，求的值．3.在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）求函数的值域．4.某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。
每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练及考核，若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，若每一次考试是否合格互不影响。
重庆市名校2020年高二下数学期末统考试题含解析
重庆市名校2020年高二下数学期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定积分1(2)x x e dx +⎰的值为( )A ．2e +B ．1e +C ．eD ．1e -【答案】C 【解析】试题分析：121220100(2)()|()|()|x x x x x x e x dx e x e x e x ==+=+=+-+⎰=(1)1e e +-=.故选C.考点：1.微积分基本定理；2.定积分的计算.2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，122n n n a a a ++=+，若37513a a a +-=，770S =，则1a =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】首先根据122n n n a a a ++=+得到数列{}n a 为等差数列，再根据770S =，37513a a a +-=即可算出1a 的值. 【详解】因为122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列. 因为17747()7702a a S a +===，所以410a =. 375555213a a a a a a +-=-==. 543d a a =-=.因为41310a a d =+=，所以11a =. 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了等差中项，属于简单题. 3．已知i 为虚数单位，则复数21ii-+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D 【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可. 详解：由题意可得：()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，该点位于第四象限， 即复数21ii-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．13B ．47C ．23D ．56【答案】B 【解析】 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有1111151********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系. 5．函数3lg x y x=的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D利用函数的奇偶性、特殊值判断函数图象形状与位置即可． 【详解】 函数y=3lg x x是奇函数，所以选项A ，B 不正确；当x=10时，y=3110＞0，图象的对应点在第一象限， D 正确；C 错误． 故选D ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、特殊值等方法判断．6．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，则圆C 的极坐标方程为A ．4cos ρθ=B ．4sin ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=【答案】A 【解析】 【分析】求出圆C 的圆心坐标为（2，0），由圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，得到圆C 过极点，由此能求出圆C 的极坐标方程． 【详解】在sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭中，令0θ=，得2ρ=， 所以圆C 的圆心坐标为（2，0）. 因为圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以圆C 的半径2r ==，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．7．已知ABC ∆的边BC 上有一点D D 满足4BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．4155AD AB AC =+D ．1455AD AB AC =+【答案】D 【解析】 【分析】由AD AB BD =+，结合题中条件即可得解. 【详解】由题意可知()44145555AD AB BD AB BC AB AC AB AD AB AC =+=+=+-==+. 故选D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题. 8．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球数的标准差为0.3，下列说法中，正确的个数为（ ） ①甲队的进球技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】分析：根据甲队比乙队平均每场进球个数多，得到甲对的技术比乙队好判断①；根据两个队的标准差比较，可判断甲队不如乙队稳定；由平均数与标准差进一步可知乙队几乎每场都进球，甲队的表现时好时坏.详解：因为甲队每场进球数为3.2，乙队平均每场进球数为1.8，甲队平均数大于乙队较多，所以甲队技术比乙队好，所以①正确；因为甲队全年比赛进球个数的标准差为3，乙队全年进球数的标准差为0.3，乙队的标准差小于甲队，所以乙队比甲队稳定，所以②正确；因为乙队的标准差为0.3，说明每次进球数接近平均值，乙队几乎每场都进球，甲队标准差为3，说明甲队表现时好时坏，所以③④正确， 故选D.点睛：本题考查了数据的平均数、方差与标准差，其中数据的平均数反映了数据的平均水平，方差与标准差反映了数据的稳定程度，一般从这两个方面对数据作出相应的估计，属于基础题.9．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应 A ．从东边上山 B ．从西边上山C ．从南边上山D ．从北边上山【答案】D 【解析】从东边上山共21020⨯=种;从西边上山共3927⨯=种;从南边上山共3927⨯=种;从北边上山共4832⨯=种;所以应从北边上山.故选D.10．已知三个正态分布密度函数()()2221e2i i x i ix μσϕπσ--=（,1,2,3i =）的图象如图所示则（ ）A ．123123==μμμσσσ<>，B ．123123==μμμσσσ><，C ．123123μμμσσσ=<<=，D ．123123==μμμσσσ<<， 【答案】D 【解析】 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果． 【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为()()2221e2i i x i ix μσϕπσ--=，则对应的函数的图像的对称轴为：i μ，∵正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A ，D 两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等 故选D ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题． 11．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
重庆重点高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知等差数列的前项和为，若，则（ ） {}n a n n S 255,2S S ==7S =A ．7 B ．C ．D ．107-10-【答案】B【分析】根据等差数列的前项和为公式解决即可. {}n a n n S 【详解】因为，，25S =52S =所以，解得， 52345433S S a a a a -=++==-41a =-所以. ()17747772a a S a +===-故选：B.2．在等差数列中，已知，则（ ） {}n a 4816a a +=2610a a a ++=A ． B ．C ．D ．12162024【答案】D【分析】利用等差中项的性质求出的值，再利用等差中项的性质可求得的值. 6a 2610a a a ++【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，. 486216a a a +==68a =26106324a a a a ++==故选：D.3．两直线与平行，则它们之间的距离为（ ） 3430x y +-=810mx y ++=A ．4 B ． C ．D ．757101710【答案】C【分析】先根据直线平行求得，再根据平行线间的距离公式求解即可.m 【详解】因为直线与平行，故，解得. 3430x y +-=810mx y ++=3840m ⨯-=6m =故直线与. 6860+-=x y 810mx y ++=710故选：C4．已知数列满足，若，则（ ） {}n a 111n n a a ++=502a =1a =A ． B ．C ．D ．21-1232【答案】B【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.【详解】由得 50111,2n n a a a ++==，494847505049481111111,1121,111222a a a a a a a =-=-==-=-=-=-=+==所以数列的周期为3，所以． {}n a 14912a a ==故选：B5．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 30︒()2224x y +-=A ． BCD ．21【答案】A【分析】先根据题意求出直线方程，再由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，最后根据求解出弦长的一半，乘以2得到结果2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】直线的倾斜角为，则其斜率 30︒tan 30k =︒= y =由圆可得:圆心坐标为，半径为2 ()2224x y +-=()02，则圆心到直线()02，y x==故所截得的弦长为22=故选A 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，牢记弦长的计算公式及点到直线的距离公式，较为基础．6．在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成60°的二面角，则()1,6A -()2,6B -x 折叠后，两点间的距离为（ ） A B A ．BC D ．【答案】D【分析】平面直角坐标系中已知，，现沿轴将坐标平面折成60°的二面角后，通()1,6A -()2,6B -x 过向量的数量积转化求解距离即可．【详解】解：平面直角坐标系中已知，，沿轴将坐标平面折成60°的二面角后，()1,6A -()2,6B -x作AC ⊥x 轴，交x 轴于C 点，作BD ⊥x 轴，交x 轴于D 点，则，的夹角为120° 6,3,6,AC CD DB === ,AC CD CD DB ⊥⊥ ,AC DB ∴，AB AC CD DB =++222222212+2+2=6+3+6266452AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅⋅⋅-⨯⨯⨯=AB ∴=即折叠后，两点间的距离为. A B 故选：D ．【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．7．三棱锥O ﹣ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且＝，＝，＝，用，，OA a OB b OC c a b表示，则等于（ ）cNM NMA ．B ．()12a b c -++ ()12a b c +- C ．）D ．()12a b c -+ ()12a b c --+ 【答案】B【分析】根据空间向量运算求得正确答案. 【详解】()1122OM ON O NM A OB OC =-=+-. ()11112222OA OB OC a b c =+-=+-故选：B8．已知F 1,F 2是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且，线段22221(0)x y a b a b +=>>122F PF π∠=PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若与四边形的面积之比为1: 2，则该椭圆的1F OQ △2OF PQ 离心率等于（） A ． B ．CD ．2314-【答案】C【分析】设，由题可得，进而可得，，然后可得(0,)(0),(,)(0)Q m m P x y y >>23m y =2x c =2234y c =，即得222341e e e +=-【详解】由题意设(0,)(0),(,)(0)Q m m P x y y >>与四边形的面积之比为1F OQ A 2OF PQ 1:2,所以与的面积之比为，即，1F OQ △12PF F △1:311213F OQ PF F S S =A A ， 111222323c m c y m y ∴⨯⨯=⨯⨯⨯∴=，因为即，所以 11PF QF k k =y m x c c +＝2cx =，因为所以即122F PF π∠＝，121PF PF k k ⋅=-1y yx c x c ⨯-+-＝即， 223131422y y y c c c ＝，⨯-∴=-将和代入椭圆方程得即 2x c =2234y c =22223241c c a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+＝2222234c c a a c+-＝整理得 即， 222341e e e+=-，42840e e -+=解得或24e =-24e =+所以 1e ==-故选：C二、多选题9．过点与且半径为2的圆的方程可以为（ ） (1,1)A -(1,1)B -A ． B ． 22(3)(1)4x y -++=22(1)(1)4x y -+-=C ． D ．22(1)(1)4x y +++=22(3)(1)4x y ++-=【答案】BC【分析】先根据圆过点与，得出圆心在线段AB 的垂直平分线上，求出圆心所在的(1,1)A -(1,1)B -直线方程，设出圆心坐标，再代入或，求出圆心坐标，进而求出圆的方程. (1,1)A -(1,1)B -【详解】因为圆过点与，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上，其中(1,1)A -(1,1)B -，设圆心所在的直线为l ，则，解得：，又因为()11111AB k --==---1AB l k k ⋅=-1l k =与的中点坐标为，所以直线l 为，设圆心坐标为，因为半径为2，(1,1)A -(1,1)B -()0,0y x =(),m m 所以圆的方程为：，代入得：，解得：，22()()4x m y m -+-=(1,1)A -22(1)(1)4m m -+--=1m =±综上圆的方程为或. 22(1)(1)4x y -+-=22(1)(1)4x y +++=故选：BC10．已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ） n S {}n a n 17a =-315S =-A ．B ．为递减数列 29n a n =-{}n aC ．是和的等比中项D ．的最小值为6a 4a 9a n S 16-【答案】AD【分析】先由题干中条件得到公差，从而求出通项公式，判断出AB 选项；计算出，，2d =4a 6a 发现，故判断C 选项的正误；D 选项为递增数列，且，，从9a 2649a a a ⋅≠{}n a 410a =-<510a =>而得到最小，计算出结果即可判断.4S 【详解】由题意得：，因为，所以，所以通项公式为：313315S a d =+=-17a =-2d ={}n a ，A 选项正确；由于，所以为递增数列，B 选项错误；通过()72129n a n n =-+-=-20d =>{}n a 计算可得：，，，其中，所以不是和的等比中项，C 选项错41a =-63a =99a =2649a a a ⋅≠6a 4a 9a 误；因为为递增数列，且，，故在时取得最小值，{}n a 410a =-<510a =>n S 4n =，D 选项正确 4146281216S a d =+=-+=-故选：AD11．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列命题正确的是（ ） A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角为4πB ．点C 到平面ABC 1D 1C ．异面直线D 1C 和BC 1所成的角为4πD ．三棱柱AA 1D 1- BB 1C1【答案】ABD【分析】对选项A ，首先连接，交于点，易证平面，从而得到为直1B C 1BC O CO ⊥11ABC D CBO ∠线与平面所成的角，再根据即可判断选项A 正确.对选项B ，根据平面BC 11ABC D 4CBO π∠=CO ⊥，得到为点到面的距离，再计算即可判断选项B 正确.对选项C ，首先连11ABC D CO C 11ABC D CO 接，，，根据，得到为异面直线和所成的角，再计算1D C 1A B 11A C 11//D C A B 11A BC ∠1D C 1BC 即可判断选项C 错误.对选项D ，根据三棱柱的外接球与正方体11A BC ∠1111AA D BB C -的外接球相同，计算正方体的外接球的半径即可判断选项D 正确.1111ABCD A BC D -【详解】对选项A ，如图所示：连接，交于点.1B C 1BC O 因为正方体，所以四边形为正方形，. 1111ABCD A B C D -11BCC B 1CO BC ⊥又因为平面，平面，所以.AB ⊥11BCC B CO ⊂11BCC B AB CO ⊥平面. 11AB CO CO BC AB BC B⊥⎧⎪⊥⇒⎨⎪⋂=⎩CO ⊥11ABC D 所以为直线与平面所成的角，又因为，故选项A 正确.CBO ∠BC 11ABC D 4CBO π∠=对选项B ，由上知：平面，所以为点到面的距离. CO ⊥11ABC D CO C 11ABC D又因为正方体边长为，所以B 正确. 1CO 对选项C ，如图所示：连接，，.1D C 1A B 11A C 因为，所以为异面直线和所成的角.11//D C A B 11A BC ∠1D C 1BC又因为，故选项C 错误.1111A B BC AC ===113A BC π∠=对选项D ，因为三棱柱的外接球与正方体1111AA D BB C -1111ABCD A B C D -的外接球相同，设外接球半径为，D 正确. R R ==故选：ABD12．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中22:148x y C +=()1,2M l C A B M AB 点，则下列结论正确的是（ ）A ．的焦点坐标为，B ．的长轴长为C ()2,0()2,0-CC ．直线的方程为D l 30x y +-=【答案】CD【分析】由题意可求得判断AB ，利用点差法求得直线的斜率，写出直线方程判断C ，联立直,a c 线方程与椭圆方程，由弦长公式求弦长判断D【详解】由，得椭圆焦点在轴上，且，则22:148x y C +=y 228,4a b ==，所以椭圆的焦点坐标为，长轴长为，所以AB 2,2a b c ====(0,2),(0,2)-2a =错误，设，则，， 1122(,),(,)A x y B x y 2211148x y +=2222148x y +=两式作差得，12121212()()()()48x x x x y y y y -+-+=-因为为线段的中点，所以，，()1,2M AB 122x x +=124y y +=所以，121212122()2214y y x x x x y y -+⨯=-=-=--+所以直线的方程为，即，所以C 正确， l 2(1)y x -=--30x y +-=由和，得，则， 22148x y +=30x y +-=23610xx -+=121212,3x x xx +==所以D 正确， AB ==故选：CD三、填空题13．设等比数列的公比，前项和为，则______.{}n a 2q =n n S 42Sa=【答案】152【分析】利用等比数列的求和公式以及通项公式可求得的值. 42S a 【详解】由等比数列求和公式以及通项公式可得.()4142112151222a S a a --==故答案为：. 15214．已知数列{}的前n 项和 ，则=________．21n s n n =++89101112a a a a a ++++【答案】100【详解】试题分析：．()()228910111212712121771100a a a a a S S ++++=-=++-++=【解析】数列求和．15．抛物线的焦点为，其准线与相交于A ，两点，若为等边()220x py p =>F 22133y x -=B ABF △三角形，则___________. p =【答案】6【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB 的长，根据为等边三角形，得到关于p 的ABF △方程，即可求得答案.【详解】抛物线的焦点为，其准线为，()220x py p =>(0,)2p F 2p y =-将与联立，得，解得 2py =-22133y x -=221312x p -=x =则， ||AB =由于， ABF △|AB p =，解得 ，p =6p =故答案为：6四、双空题16．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于P ，Q 两点（点P 在第一2:2(0)C y px p =>F l C 象限），，则直线的斜率为______若，点为抛物线上的动点，且点在直3PF FQ =l 1FQ =A C A 线的左上方，则面积的最大值为______. l APQ △【答案】【分析】空1：设直线的方程为，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据线段比例关系l 2px my -=得到两交点纵坐标关系，联立即可解出斜率；空2：根据三角形底为弦长，若面积最大，则高最大，则点到直线的距离最大，则转化为PQ A l 直线与抛物线相切的问题. 【详解】设直线的方程为，，， l 2px my -=()11,P x y ()22,Q x y 联立抛物线方程得，()220y px p =>2220y pmy p --=故①，②，，122y y pm +=212y y p =-||3||PF FQ =则，代入②式得，解得， 123y y =-2223y p -=-2y p =在第一象限，故在第四象限，故，P Q 120,0y y ><故，，则， 2y p =1y =122y y p pm +==解得的斜率 m =l k =，即，则，2222y px = 22123p px =216x p =若，则，则， ||1FQ =1||162pFQ p =+=32p =故抛物线方程为，此时，，23y x =1y 194x =21164x p ==而， 121934442PQ x xp =++=++=若要的面积最大，则只需将直线沿着左上方平移直至与抛物线相切， APQ△此时切点位置即为点位置， A 故设切线方程为：，x t y -=t <将切线方程与抛物线方程联立得，230y t-=则，解得，此时切线方程为：，3120t ∆=+=14t =-104x y +=直线的方程为，则两直线的距离l 304x y -=d此时面积最大值为APQ △142⨯=【点睛】结论点睛：设抛物线方程为，若倾斜角为直线经过焦点交抛物线于()220y px p =>αl F ，则有以下结论：()()1122,,,P x y Q x y （1） ；（2）；（3）. 2124p x x =212y y p =-1222sin p PQ x x p α==++五、解答题17．已知数列，，求： {}n a 22n S n n =+(1)，，的值 1a 2a 3a (2)通项公式．n a 【答案】(1)，， 13a =25a =37a =(2) 21n a n =+【分析】（1）直接计算即可.（2）根据并验证的情况，计算得到答案.1n n n a S S -=-1n =【详解】（1），则，，. 22n S n n =+113a S ==221835a S S =-=-=3321587a S S =-=-=（2）当时，，2n ≥()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+当时，满足.1n =13a =21n a n =+故21n a n =+18．如图：ABCD 是正方形，O 为正方形的中心，底面ABCD ，点E 是PC 的中点.求证： PO ⊥(1)平面BDE ；//PA (2)平面平面BDE .PAC ⊥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接OE ，则由三角形中位线定理可得OE //PA ，再由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，由线面垂直的判定定理可证得BD ⊥面PAC ，再由面面垂直的判定定理可证得结论【详解】（1）证明：连接OE ，∵ABCD 为正方形，∴O 为AC 中点，又∵E 为PC 中点，∴OE //PA ，OE 面BDE ，⊂PA 面BDE ，⊄∴PA //面BDE ，（2）证明：∵ABCD 为正方形，BD ⊥AC ，又∵PO ⊥面ABCD ，BD 面ABCD ，⊂∴BD ⊥PO ，∵PO AC =O ，PO 面PAC ，⊂AC 面PAC ，⊂∴BD ⊥面PAC ，∵BD 面BDE ，⊂∴面BDE ⊥面PAC ，19．已知数列满足，，．{}n a 11a =123n n a a +=+n *∈N （Ⅰ）求证：数列是等比数列；{}3n a +（Ⅱ）求数列的前项和．{}n a n n S 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.2234n n S n +=--【分析】（Ⅰ）由题意转化条件得，结合即可得证；()1323n n a a ++=+1340a +=≠（Ⅱ）由题意可得，进而可得，由分组求和法即可得解.132n n a ++=123n n a +=-【详解】（Ⅰ）证明：，，123n n a a +=+∴()132623n n n a a a ++=+=+又，数列是首项为4，公比为2的等比数列；1340a +=≠∴{}3n a +（Ⅱ）由（Ⅰ）得数列是首项为4，公比为2的等比数列，{}3n a +，，∴113422n n n a -++=⨯=∴123n n a +=-∴()231231122323232223n n n n a a S a n ++=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-. ()2412323412nn n n +⋅-=-=---【点睛】本题考查了等比数列的判定及通项公式的求解，考查了构造新数列与分组求和法的应用，属于中档题.20．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，，AN BM ∥，，2AN AB BC ===4BM =CN =(1)证明：平面；BM ⊥ABCD(2)在线段CM （不含端点）上是否存在一点E ，使得二面角若存在，求E BN M --出的值；若不存在，请说明理由. CE EM【答案】(1)见解析(2)存在，12CE EM =【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；BC BM ⊥BM AB ⊥（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得CE CM λ= BEN BMN λ出.【详解】（1）证明：正方形中，，ABCD BC AB ⊥平面平面，平面平面，平面， ABCD ⊥ABMN ABCD ⋂ABMN AB =BC ⊂ABCD 平面，又平面，BC ∴⊥ABMN BM ⊂ABMN，且，又BC ∴⊥B M BC BN ⊥2,BC CN ==，，BN ∴==2AB AN == 222BN AB AN ∴=+，又，，AN AB ∴⊥//AN BM BM AB ∴⊥又平面，,,BC BA B BA BC =⊂ ABCD 平面；∴BM ⊥ABCD （2）解：如图，以B 为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，,,BA BM BC ,,x y z则，，()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2B A C ()()()2,0,2,2,2,0,0,4,0D N M 设点，，， (),,E a b c ()01CE CM λλ=<< ()(),,20,4,2a b c λ∴-=-，()04,0,4,2222a b E c λλλλ=⎧⎪∴=∴-⎨⎪=-⎩，()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ∴==- 设平面的法向量为，BEN (),,m x y z = ， ()2204220BN m x y BE m y z λλ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+-=⎪⎩令， 221,1,,1,1,11x y z m λλλλ⎛⎫=∴=-=∴=- ⎪--⎝⎭ 显然，平面的法向量为，BMN ()0,0,2BC = ，cos ,BC m BC m BC m ⋅∴====即，解得或（舍）， 23210λλ+-=13λ=1-所以存在一点，且. E 12CE EM =21．已知数列{an }满足，，数列{bn }的前n 项和为Sn ，且．11a =12n n a a +=+2n n S b =-(1)求数列{an }，{bn }的通项公式；(2)设，求数列{cn }的前n 项和Tn ．n n n c a b =+【答案】(1)，21n a n =-112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=(2)12122n n T n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【分析】（1）由已知条件得，利用等差数列的通项公式即可得出an ；再由与的关12n n a a +-=n S n b 系得出{bn }的通项公式；（2）由（1）得，利用分组求和求和即可.12112n n n n c a b n -⎛⎫ ⎝=-⎪⎭=++【详解】（1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列 11a =12n n a a +-={}n a 所以．()11221n a n n =+-⨯=-又当时，，所以，1n =1112b S b ==-11b =当时， ①2n ≥2n n S b =- ②112n n S b --=-由得，即（）， -①②1n n n b b b -=-+112n n b b -=2n ≥所以是首项为1，公比为的等比数列，故． {}n b 12112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=（2）由（1）得， 12112n n n n c a b n -⎛⎫ ⎝=-⎪⎭=++所以． ()121112112212212n n n n n T n -⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪⎝⎭-22．已知椭圆：过点，离心率为. C 22221(0)x y a b a b+=>>31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12（1）求椭圆的方程；C （2），是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线：与圆相切，并1F 2F C O 12||F F l y kx m =+O 与椭圆交于不同的两点，，若，求的值. C A B 32OA OB ⋅=- k 【答案】（1）；（2）22143x y +=k =【分析】（1）由题意得a =2c ，，再结合，可求出，从而可得椭圆方程， 221914a b+=222a b c =+,a b （2）由题意可得圆的方程为，再由直线与圆相切可得，设221x y +=y kx m =+221m k =+11(,)A x y ，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再表示出，而22(,)B x y y 12y y 由可得，再将前面得到的式子代入化简计算即可 32OA OB ⋅=- 121232x x y y +=-【详解】（1）由椭圆的离心率为，得a =2c ， 12又椭圆过点，则，解得 ， ，所以椭圆的方程：. 3(1,)2221914a b +=2a =23b =C 22143x y +=（2）由题意，，圆是以为直径的圆，则方程为 1(1,0)F -2(1,0)F O 12||FF 221x y +=直线：与圆，即l y kx m =+O 1=221m k =+设，，则由 ，有 11(,)A x y 22(,)B x y 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(34)84120k x kmx m +++-=所以 21122228412,3434km m x x x x k k --+=⋅=++2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 222222224128312()343434m km m k k km m k k k ---=⨯+⨯+=+++ 1222222221224123127121234343324m OA OB x x y m k m k k k k y ----+⋅=++=++=-= 又，所以，解得，即. 221m k =+212122553342k x x y y k --+==-+212k =k =。
2022届重庆市名校高二第二学期数学期末复习检测试题含解析
2022届重庆市名校高二第二学期数学期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．1202．已知集合{}{}0,1,|,,A B z z x y x A y A ===+∈∈，则集合B 的子集个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．83．已知三棱锥A BCD -的顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面,,1,2BCD BD CD AB CD BD ⊥===O 的表面积为（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π4．现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为（ ） A ．15 B ．14C ．13D ．125．不等式213x x -+＞0的解集是 A ．（12，+∞） B ．（4，+∞）C ．（-∞，－3）∪（4，+∞）D ．（-∞，－3）∪（12，+∞） 6．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且12(0)()(1)2x f f x f e x x -+'=-，若存在实数x ，使不等式2()3f x m am ≤--对于任意[0,3]a ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(,2][2,)-∞-+∞U B ．(,1][4,)-∞-+∞U C ．(,2][4,)-∞-⋃+∞D ．(,1][2,)-∞-+∞U7．设函数()f x 定义如下表：x1 2 3 4 5 ()f x14253执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是（ ）A ．4B ．5C ．2D ．38．设0sin a xdx π=⎰，则二项式8(a x x展开式的常数项是（ ） A ．1120B ．140C ．-140D ．-11209．若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（ ） A ．40πB ．36πC ．26πD ．20π10．甲、乙、丙三位同学独立的解决同一个间题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12、13、14，则有人能够解决这个问题的概率为（ ） A ．1213B ．34C ．14D ．12411．恩格尔系数100%n =⨯食品消费支出总额消费支出总额,国际上常用恩格尔系数n 来衡量一个地区家庭的富裕程度，某地区家庭2018年底恩格尔系数n 为50%，刚达到小康，预计从2019年起该地区家庭每年消费支出总额增加10%，食品消费支出总额增加5%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数n 满足30%40%n <≤达到富裕水平至少经过（ ）（参考数据：lg 0.60.22≈-，lg 0.80.09≈-,lg 21 1.32≈，lg 22 1.34≈） A ．4年B ．5年C ．11年D ．12年12．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为（） A ．5400海里B ．2700海里C ．4800海里D ．3600海里二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若2624101201256(2)x a a x a x a x a x +=+++++L ，则0246a a a a +++=______.14．某校生物研究社共8人，他们的生物等级考成绩如下：3人70分，3人67分，1人64分，1 人61分，则他们的生物等级考成绩的标准差为________.15．在101()2x +的二项展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示） 16．已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在半平面α 内，且12POB π∠=，若对于半平面β内异于O 的任意一点Q ，都有12POQ π∠≥，则二面角AB αβ--大小的取值的集合为__________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某酱油厂对新品种酱油进行了定价，在各超市得到售价与销售量的数据如下表：（1）求售价与销售量的回归直线方程；（2222225 5.2 5.4 5.6 5.86182.2+++++= ，59.0 5.28.4 5.48.3 5.68.0 5.87.56 6.8262.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/瓶，为使工厂获得最大利润（利润=销售收入-成本），该产品的单价应定为多少元？相关公式：()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$$．18．已知椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上在第二象限内的一点，且直线2PF 的斜率为4-. （1）求P 点的坐标；（2）过点(2,0)Q -作一条斜率为正数的直线l 与椭圆C 从左向右依次交于,A B 两点，是否存在实数λ使得11AF B AF P λ∠=∠？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 19．（6分）已知 函数()()32032a b F x x x x a =++>，()()f x F x ='，若()10f -=且对任意实数x 均有()0f x ≥成立． （1）求()f x 表达式；（2）当[]2,2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围．20．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），将圆221x y +=上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C . （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的参数方程；（2）设点P 在直线l 上，点q 在曲线C 上，求||PQ 的最小值及此时点Q 的直角坐标.21．（6分）某县教育局为了检查本县甲、乙两所学校的学生对安全知识的学习情况，在这两所学校进行了安全知识测试，随机在这两所学校各抽取20名学生的考试成绩作为样本，成绩大于或等于80分的为优秀，否则为不优秀，统计结果如图：甲校 乙校（1）从乙校成绩优秀的学生中任选两名，求这两名学生的成绩恰有一个落在[]90,100内的概率； （2）由以上数据完成下面列联表，并回答能否在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关。
重庆市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含解析
重庆南开高2025级高二（上）期末考试数学试题（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.1.抛物线22y x =的焦点坐标为（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()0,1C.1,02⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,0【答案】C 【解析】【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果.【详解】由抛物线方程知其焦点在x 轴上且122p =，∴其焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.2.若等比数列{}n a 各项均为正数，且244a a =，则3a =（）A.12B.1C.D.2【答案】D 【解析】【分析】由等比中项可知3a 的值.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，所以3a 是2a 和4a 的等比中项，所以23244==a a a ，又因为{}n a 各项均为正数，所以32a =.故选：D.3.已知函数()f x 的导函数是()f x '，若()()2πcos f x f x x '=-，则π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2-B.0C.12D.2【答案】A 【解析】【分析】根据求导公式求出()f x '，可计算()π0f '=，由此确定解析式，进而求值.【详解】由()()2πcos f x f x x '=-得()()2πsin f x f x x ''=+，所以()()π2ππsin πf f ''=+，所以()π0f '=，所以()cos f x x =-，故ππcos 442f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.故选：A4.函数()ln f x x x =-的单调递增区间为（）A.()0,1 B.()0,e C.()1,+∞ D.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用导数求函数的单调区间.【详解】因为()ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，所以()111x f x x x-'=-=，由()0f x ¢>得1x >，所以()f x 的单调增区间为()1,+∞.故选：C5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，936S =，则6S =（）A.12 B.15C.18D.24【答案】B 【解析】【分析】由题意解方程组，求得数列的首项和公差，根据等差数列的前n 项和公式，即可求得答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由132a a +=，936S =，得1122293636a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得101a d =⎧⎨=⎩，故6161515S a d =+=，故选：B6.已知函数()f x 的导函数为()f x '，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据导数的图象变化，判断函数()f x 的图象的变化情况，结合选项，即可得答案.【详解】由()f x '的图象可知0x <时，()0f x ¢>，且()f x '的值逐渐减小，此时()f x 的图象应是上升的，且上升趋势越来越平缓，当0x >时，()0f x ¢>，且()f x '的值逐渐增大，此时()f x 的图象应是上升的，且上升趋势越来越陡峭，结合选项，符合()f x 的图象特征的为选项D 中图象，故选：D7.若椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，左顶点为A ，点P ，Q 为C 上任意两点且关于y 轴对称，则直线AP 和直线AQ 的斜率之积为（）A.14B.12C.34D.45【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆离心率求得2234b a =，设()000,,P x y x a ≠±，表示出AP AQ k k ⋅的表达式，结合椭圆方程化简，即可得答案.【详解】由题意知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，即22222113244c a b b ,,a a a -=∴==，设()000,,P x y x a ≠±，则()00,Q x y -，又(,0)A a -，故220000200AP AQx a x k y k ay a x y +⋅=-+=-⋅-，又22222200002221,()x y b y a x a b a +=∴=-，故022222034AP AQ y b k k a x a ⋅=-=-=，故选：C8.函数()f x 的导函数()f x '满足()()22f x f x '+>，且()12025f =，则不等式()2220241ex f x ->+的解集是（）A.()1,+∞ B.()0,1 C.()1,2025 D.()2025,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数2222()()2e e 024x x g x f x --=--，利用导数探讨函数()g x 的单调性，再利用单调性求解不等式即得.【详解】令函数2222()()2e e 024x x g x f x --=--，而2()()2f x f x '+>，求导得22222222()2()()2[2()()2]0e e e e x x x x g x f x f x f x f x ----'''=+-=+->，因此函数()g x 在R 上单调递增，由(1)2025f =，得(1)(1)120240g f =--=，不等式222222()20240()(1)2024()1e e ex x x f x f g x x g ---⇔+⇔>>>--，解得1x >，所以不等式222024()1ex f x ->+的解集是(1,)+∞.故选：A【点睛】思路点睛：对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要通过构造函数来解决，构造时要结合题中的条件，再判断出所构造的函数的单调性，借助单调性求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.9.下列函数在定义域上为增函数的是（）A.()ln f x x x =B.()ln f x x x =+C.()cos f x x x=- D.()2exf x x =【答案】BC 【解析】【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案．【详解】对于A 中，函数()ln f x x x =，可得()ln 1f x x ='+(0)x >，当1ex >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当10ex <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以A 不符合题意,对于B,函数()ln f x x x =+（0x >），可得()11f x x'=+，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；故B符合，对于C 中，()cos f x x x =-,则()1sin 0f x x ='+≥，故()f x 单调递增；故C 符合，对于D ，函数()2e xf x x =，可得()()2e2xf x x x ='+，当0x >或<2x -时，()0f x '>，()f x 单调递增；当20x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以D 不符合题意；故选：BC ．10.设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知140S >，150S <，则下列选项正确的有（）A.10a >，0d <B.780a a +>C.6S 与7S 均为n S 的最大值D.80a <【答案】ABD 【解析】【分析】根据140S >，150S <，利用等差数列前n 项和公式得到780a a +>，80a <，再逐项判断.【详解】因为140S >，150S <，所以114141147814()7()7()02a a S a a a a ⨯+==+=+>，即780a a +>，因为11515815()1502a a S a ⨯+==<，所以80a <，所以70a >，所以等差数列{}n a 的前7项为正数，从第8项开始为负数，则10a >，0d <，7S 为n S 的最大值．故选：ABD ．11.已知双曲线C ：2214y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆Γ与双曲线C 的一个交点为P ，下列说法正确的是（）A.圆Γ的方程为225x y +=B.双曲线C 的渐近线方程为20x y ±=C.1F 到C 的渐近线的距离为2D.12PF F △的面积为4【答案】ACD 【解析】【分析】根据圆的半径和圆心即可求解A ，根据渐近线方程的求解即可判断B ，根据点到直线的距离公式即可求解C ，根据双曲线定义，结合垂直关系即可求解D.【详解】由2214y x -=可得1,2,a b c ====，对于A ，由于圆心为坐标原点，直径为122F F c =，所以圆的方程为225x y +=，A 正确，对于B ，渐近线方程为20x y ±=，故B 错误，对于C,()1F 到一条渐近线为20x y -=的距离2d ==，所以C 正确；对于D ，由题意可得1290F PF ∠=︒，2221212||PF PF F F += ，又12||||2PF PF a -=，()2222212121224|222PF PF PF PF c PF PF c a b -+=⇒=-=，故12PF F △的面积为2212411||||222PF PF b b ===，故D 正确；故选：ACD12.若函数()32f x x x mx n =+++有极值点0x =，且()()()0f a f b f c ===，a b c <<，则下列说法正确的是（）A.0x ∀>，有()()f x f x >-B.0x ∃>，使得()()f x f x <-C.0b c +>D.43a b +>-【答案】AD 【解析】【分析】根据极值和零点分析可知0m =，213a -<<-，203b -<<，103c <<，对于AB ：结合函数解析式分析判断；对于C ：根据0x ∀>，有()()f x f x >-，结合函数单调性分析判断；对于D ：构建()()43g x f x f x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭分析可得()42,,033f x f x x ⎛⎫⎛⎫--<∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数单调性分析判断.【详解】有题意可得：()232f x x x m '=++，因为函数()32f x x x mx n =+++有极值点0x =，则()00f m '==，可得()32f x x x n =++，()232f x x x '=+，令()0f x '>，解得23x <-或0x >；令()0f x '<，解得203x -<<；则()f x 在()2,,0,3∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，可知()f x 在0x =取到极小值，所以0m =符合题意，则()f x 的极大值为24327f n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，极小值为()0f n =，若()()()0f a f b f c ===，且a b c <<，则4270n n ⎧+>⎪⎨⎪<⎩，解得4027n -<<，且140327f n ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()10f n -=<，所以213a -<<-，203b -<<，103c <<，对于选项AB ：因为()()()323232f x f x x x n x x n x --=++--++=,若0x >，则320x >，故()()f x f x >-，所以A 正确；B 错误；对于选项C ：0x ∀>，有()()f x f x >-，则()()f c f c >-，即()()()f c f c f b -<=，因为120,033c b -<-<-<<，且()f x 在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，可得b c <-，即0b c +<，故C 错误；对于选项D ：令()()()3232444333g x f x f x x x n x x n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--+--+-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦3281624327x x x =----，则()2282686033g x x x x ⎛⎫=---=-+< ⎪⎝⎭'在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭内恒成立，可知()g x 在2,03⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递减，可得()203g x g ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，可得()42,,033f x f x x ⎛⎫⎛⎫--<∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()43f b f b f a ⎛⎫--<= ⎪⎝⎭，且4422,13333b a -<--<--<<-，()f x 在2,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，可得43b a --<，即43a b +>-，故D 正确；故选：AD.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上.13.已知数列{}n a 是正项等比数列，且243a a +=，689a a +=，则46a a +=______.【答案】323【解析】【分析】根据等比数列的性质可求出公比的平方，结合24624)(a a q a a +=+，即可求得答案.【详解】由题意知数列{}n a 是正项等比数列，且243a a +=，689a a +=，设数列的公比为q ，则4268243,a a q q a a +==∴=+，则24624()a a q a a +=+=，故答案为：14.若1x =是函数()21ln 2f x x a x bx =+-，(12)a ,b ≠≠的极值点，则a b -=______.【答案】-1【解析】【分析】求出函数的导数，根据极值点的含义可得()10f '=，经验证即可确定答案.【详解】由于()21ln ,(0)2f x x a x bx x =+->，故()af x x b x =+-'，由于1x =是函数()21ln 2f x x a x bx =+-的极值点，故()1101af b +'=-=，即1a b -=-，此时()21(1)(1)x bx b x x b f x x x-+---+=='，由于2b ≠，则11b -≠，故1x =是()y f x ='的变号零点，即1x =是函数()21ln 2f x x a x bx =+-，(12)a ,b ≠≠的极值点，符合题意，故1a b -=-，故答案为：-1.15.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的一点，12F PF ∠的平分线PQ 交x 轴于点Q .若113PF QF =，则椭圆C 的离心率为______.【答案】13【解析】【分析】根据角平分线性质定理结合椭圆定义即可得到关于,a c 的方程，则得到离心率的值.【详解】设1133PF QF m ==，则1QF m =，则22QF c m =-，根据角平分线性质定理得1122PF F QPF F Q =，即232m mPF c m =-，解得263PF c m =-，则根据椭圆定义得123632PF PF m c m a +=+-=，13c e a ==，故答案为：13.16.若函数()ln f x t x =与函数()2g x x =的图象存在公切线，则实数t 的取值范围为______.【答案】(,2e]-∞【解析】【分析】求出函数的导数，设出曲线与公切线的坐标，利用导数的几何意义求得两切点坐标之间的关系式，进而求出t 的表达式，构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案.【详解】由题意得()()ln ,(0),t f x t x x f x x'=>∴=，()2g x x '=，设公切线与曲线()ln f x t x =切于点11(,ln )x t x ，与曲线()2g x x =切于点222(,)x x ，则2122112ln 2t x x t x x x x -==-，则122t x x =，212212ln x x x t x -=，当20x =时，0=t ，函数()ln f x t x =与()2g x x =的图象存在公切线0y =，符合题意；当20x ≠时，121122ln x x x x -=，即2112(1ln )x x x =-，故2121124(1ln )t x x x x ==-，令21111()4(1ln ),0h x x x x =->，则211111111()8(1ln )4()4(12ln )h x x x x x x x '=-+-=-，当1210e x <<时，1()0h x '>，1()h x 在12(0,e )上单调递增，当121e x >时，1()0h x '<，1()h x 在12(e ,)+∞上单调递减，故1max 1()4e(1ln e)2e 2h x =-=，故2e t ≤，综合得实数t 的取值范围为(,2e]-∞，故答案为：(,2e]-∞【点睛】关键点睛：解答时要设出曲线与公切线的切点，利用导数的几何意义，求得切点坐标之间关系，关键在于由此结合该关系求得参数t 的表达式，进而构造函数，利用导数解决问题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.17.已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.（1）求n a ；（2）若()*21N 1n n b n a =∈-，求数列{}n b 的前20项的和.【答案】（1）21n a n =+；（2）521【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，从而求出1a 与d 的值即可得到n a ；（2）根据{}n b 的通项公式可知利用裂项相消求和法即可求出20S ．【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由357726a a a =⎧⎨+=⎩，得112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以32(1)21n a n n =+-=+，所以()2211111141211n n b a n n n ⎛⎫===- ⎪-+⎝⎭+-，【小问2详解】设数列{}n b 的前n 项和为n S ，由（1）可知11111111(1)(1422314144n n S n n n n =-+-+⋯+-=-=+++，所以20204204215S ==⨯+．18.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3，焦距为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线2y kx =+与C 交点P ，Q 两点，O 为坐标原点，且90POQ ∠=︒，求实数k 的值.【答案】（1）2213x y +=（2）3k =±【解析】【分析】（1）由焦距及离心率求出椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆的方程，得12x x +，12x x ，由90POQ ∠=︒得0OP OQ ⋅=，求得k 的值.【小问1详解】由题，22223c c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，所以23a =，21b =，椭圆的方程为2213x y +=.【小问2详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立方程组22132x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(31)1290k x kx +++=，则2214436(31)0k k ∆=-+>，即21k >，1221231k x x k -+=+，122931x x k =+，因为90POQ ∠=︒，所以212121212(1)2()40OP OQ x x y y k x x k x x ⋅=+=++++= ，即21330k -=，得393k =±，满足21k >，合题意.所以3k =±.19.设函数()()23R ex x ax f x a +=∈.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围.【答案】（1）极小值为0，()f x 的极大值为212e ；（2）9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性进而求得极值；（2）先将问题转化为()0f x '≤在[)3,+∞恒成立，分离参数后转化为2361x x a x -+≥-在[)3,+∞恒成立，求出函数最大值即可.【小问1详解】当0a =时，()23e x x f x =，定义域为R ，()()32ex x x f x '-=，当02x <<时，()0f x '>；当0x <或2x >时，()0f x '<；所以()f x 在(,0)-∞和(2,)+∞上为减函数，在(0,2)上为增函数，故()f x 的极小值为()00f =，()f x 的极大值为()2122e f =.【小问2详解】由已知得()()2360e x x a x af x -+-+=≤'在[)3,+∞恒成立，即23(6)0x a x a -+-+≤在[)3,+∞恒成立，分离参数得2361x x a x -+≥-在[)3,+∞恒成立，令236()1x x h x x -+=-，则max ()a h x ≥，且223[(1)1]()0(1)x h x x --+'=<-，所以()h x 在[)3,+∞单调递减，故max 9()(3)2h x h ==-，所以92a ≥-，故a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.20.已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a n +=++.（1）求证：数列{}2n a n ++是等比数列，并求出n a ；（2）记22n n n a b =-，n S 是数列{}n b 的前n 项和.若对任意的*N n ∈都有()24n n n b S mb ->，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；122n n a n +=--（2）154m <【解析】【分析】（1）由数列递推式推出122(2)1n n a a n n +=+++++，结合等比数列定义，即可证明结论，继而求得n a ；（2）由（1）可得22n n na b =-的表达式，利用错位相减法求得n S ，由此分离参数可得(2)(4)2(1)n n m n ++<+，构造函数，结合函数的单调性，即可求得答案.【小问1详解】证明：由题意知数列{}n a 满足11a =，121n n a a n +=++，故12242(2)12n n n a n a n a n +++=+++=++，由于1124a ++=，故12122n n a n n a +++++=+，故数列{}2n a n ++是首项为4，公比为2的等比数列，则11242,22n n n n a n a n -+++=⨯∴=--；【小问2详解】由（1）得1222222n n n n n n b +--+=-=，故211134(22)22n n S n =⨯+⨯+⨯++ ，则12312)2111234(22n n S n +=⨯+⨯++⨯+ ，故123112)211113(22222n n n S n +=⨯++++⨯+- 112)111(1)22221)111((242n n n n n ++=+⨯=-++---⨯，故414)2(n n S n =-+⨯，则对任意的*N n ∈都有()24n n n b S mb ->，即22224)22(21n n n n n n m ++⋅+⨯>⋅，即(2)(4)2(1)n n m n ++<+恒成立；由于2(2)(4)(1)4(1)31322(1)2(1)22(1)n n n n n n n n +++++++==+++++，令3()222x f x ,x x =+≥，则函数3()22x f x x=+在[2,)+∞上单调递增，故37()144min f x =+=，故1315222(1)4n n +++≥+，当1n =时取等号，故154m <.21.已知点()4,0F ，动点(),S x y 到直线l ：1x =的距离为d ，且2FS d =，记S 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）若1A ，2A 分别为曲线C 的左、右顶点，M ，N 两点在直线6x =上，且11MA F NA F ∠=∠.连接1A M ，2A N 分别与C 交于点P ，Q ，求证：直线PQ 过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）221412x y -=（2）证明见解析，定点()6,0【解析】【分析】（1）根据2FS d =，分别表示出FS ，d ，化简即得曲线C 的方程；（2）根据题意，表示出1A M ，2A N 的直线方程，与曲线C 联立，表示出,P Q ，两点坐标，求出直线PQ 方程，进而得到直线恒过定点.【小问1详解】因为点()4,0F ，动点(),S x y 到直线l ：1x =的距离为d ，所以1d x =-，又因为2FS d =，21x =-，两边同时平方得()()222422x y x -+=-，整理得22312x y -=，所以曲线C 的方程221412x y -=.【小问2详解】由（1）可得，()()122,0,2,0A A -,设()6,M m ，因为11MA F NA F ∠=∠，则()6,N m -，()1:28m A M y x =+，()2:24m A N y x =--，将()28m y x =+与221412x y -=联立，消去y 整理得()2222192447680m x m x m ----=，所以21920m -≠，即m ≠±，0∆>，所以2247682192P m x m ---⋅=-，所以222384192P m x m +=-，296192P m y m =-，故222238496,192192m m P m m ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，将()24m y x =--与221412x y -=联立，消去y 整理得()222248441920m x m x m -+--=，所以2480m -≠，即m ≠±，0∆>，所以224192248Q m x m --⋅=-，所以2229648Q m x m--=-，24848Q m y m =-，所以22229648,4848m m Q m m ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，当m ≠±PQ 直线方程为()212696m y x m =--，所以直线PQ 过定点，定点坐标()6,0，当m =±时，PQ两点分别为(6,或(6,-，所以直线PQ 过定点坐标()6,0，所以直线PQ 过定点，定点坐标为()6,0【点睛】方法点睛：求动点轨迹的方法，一般有直接法，转移法以及交轨法．其中转移法适用于两个动点的情形，一个是已知曲线上的动点，另一个是所求动点，先通过条件用所求动点坐标表示已知动点坐标，再代入已知动点所在曲线方程，化简可得所求动点轨迹方程.22.已知函数()()2ln 3R f x x x ax x a =--∈有两个极值点1x ，2x ，其中12x x <.（1）求a 的取值范围；（2）若不等式122ln 31ax k x k +>+恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）310,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）1k ≥【解析】【分析】（1）求导，将问题转化为ln 2()x g x x -=与函数2y a =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，利用导数求解ln 2()x g x x-=的单调性，结合函数图象即可求解，（2）根据极值点可得1212ln ln 2x x a x x -=-，进而利用换元可得2ln 21ln t t x =+-，进而将问题转化为()()ln 11ln F t t t t k t t =-+---，故()0F t <对任意的01t <<恒成立，求导，结合分类讨论即可求解最值求解.【小问1详解】()ln 123ln 22f x x ax x ax =+--=--',由于()()2ln 3R f x x x ax x a =--∈有两个极值点1x ，2x ，所以方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根，即方程ln 220x ax --=有两个不同的正数根；转化为函数ln 2()x g x x -=与函数2y a =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，令23ln ()x g x x -'=，令23ln ()0x g x x-'==，解得3e x =，当3e x >时，()()0,g x g x <'单调递减，当30e x <<时，()()0,g x g x >'单调递增，且当2e x >时，()0g x >，()2e 0g =，故作出()g x的图象如下：由图象可得：3120,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即310,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）知：1x ，2x 是ln 220x ax --=的两个根，故112ln 20x ax -+-=，222ln 20x ax -+-=，则1212ln ln 2x x a x x -=-，不妨设12(0,1)x t x =∈，则21tx x =，则1222212ln ln 2ln 0l 2n ln 1x x x x x x x t t --=-=--++⇒，故122ln 31ax k x k +>+可得12122221222ln ln ln ln ln 31ln 31ln 311x x t t t x k x k tx k x k k x k x x tx x t -+>+⇒+>+⇒+>+---，ln ln 23111t t t k k t t ⎛⎫++>+ ⎪--⎝⎭，化简得ln 11ln 11t t t t t k t t -+--⎛⎫> ⎪--⎝⎭，由于01t <<，所以()ln 11ln 0t t t k t t -+---<对任意的01t <<恒成立，令()()ln 11ln F t t t t k t t =-+---，故()0F t <对任意的01t <<恒成立，则()ln k F t t k t'=-+，设ln ()k t m t k t -+=，则221()k t k t t m t t --='=，当0k ≤时，2)0(t t t m k '=->，()()m t F t ='单调递增，故()()10,F t F '='<()F t 单调递减，故()()1=0F t F >，不满足，舍去，当1k ≥时，2)0(t t tm k '=-<，()()m t F t ='单调递减，故()()10,F t F '='>()F t 单调递增，故()()1=0F t F <，故()0F t <恒成立，符合题意，当01k <<时，令20(=)t m t k t '-=，则t k =，当1k t <<时，()()()0,m x m x F t '>='单调递增，当0t k <<时，()0,m x '<()()m t F t ='单调递减，又()10,F '=故1k t <<时，()0,F t '<此时()F t 单调递减，故()()10F t F >=,因此当1k t <<时，()0F t >，不符合题意，舍去，综上，可得1k ≥.【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。
重庆高二高中数学期末考试带答案解析
重庆高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.抛物线的焦点坐标为（）A．(2，0)B．(1，0)C．(0，－4)D．(－2，0)2.命题“”的否定是（）A．B．C．D．3.复数等于（）A．B．C．D．4.已知直线与直线，若，则的值为（）A．1B．2C．6D．1或25.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．C．D．6.设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则B．若,,则C．若,,则D．若,,则7.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个半径为6 cm，深2 cm的空穴，则该球表面积为( )cm².A．B．C．D．8.右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于（）B．24πA．C．D．12π9.从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于( )A．B．C．D．10.已知点分别是椭圆为：的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．二、填空题1.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 _.2.设双曲线的渐近线方程为，则的值为_____________.3.若在不等式组所确定的平面区域内任取一点，则点的坐标满足的概率是_____________.4.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.5.双曲线的离心率为_________．三、解答题1.已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围．2.已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点.（1）求的取值范围;（2）过作圆的弦，求最小弦长？3.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地第6年的粮食需求量．4.如图，菱形的边长为2，为正三角形，现将沿向上折起，折起后的点记为，且，连接．（1）若为的中点，证明：平面；（2）求三棱锥的体积．5.已知过点的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个顶点，若线段的中点恰为点.（1）求直线的方程；（2）求的面积.6.如图，设椭圆：的离心率，顶点的距离为,为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点.（ⅰ）试判断点到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由；（ⅱ）求的最小值.重庆高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.抛物线的焦点坐标为（）A．(2，0)B．(1，0)C．(0，－4)D．(－2，0)【答案】B【解析】由抛物线方程，∴，∴抛物线的焦点坐标为，故选B．【考点】抛物线的性质．2.命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为命题“”是全称命题，否定应为特称命题，其否定为“”，故选D．【考点】全称命题的否定．3.复数等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C．【考点】复数的运算．4.已知直线与直线，若，则的值为（）A．1B．2C．6D．1或2【答案】D【解析】由题意，得，解得，故选D．【考点】直线垂直的条件．5.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，，，因为，所以，故选C．【考点】双曲线的离心率．6.设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则B．若,,则C．若,,则D．若,,则【答案】B【解析】若，，则平面可能相交，此时交线与平行，故A错误；若，，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若，，则存在直线，使，则，故此时，故C错误；若，，则与可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误，故选B 【考点】空间直线、平面平行与垂直辨析．7.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个半径为6 cm，深2 cm的空穴，则该球表面积为( )cm².A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，设球心为，是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为，为小圆的一条直径，设球的半径为，则，∴中，，，．根据勾股定理，得，即，解之得，∴该球表面积为，故选A．【考点】球的截面性质与表面积．8.右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于（）B．24πA．C．D．12π【答案】A【解析】由题意可得，直观图为底面直径为4，高为4的圆柱的一半，所以该几何体的表面积是正方形面积+圆柱侧面积的一半+圆的面积，即，故选A．【考点】由三视图求表面积．9.从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设三男分别记为，设三女分别记为，从三男三女6名学生中任选2名学生有共，，，，共种选法，其中选出的2名都是女同学的有3种选法，∴2名都是女同学的概率为，故选C．【考点】古典概型的概率．10.已知点分别是椭圆为：的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将点代入：，得，∴，∵过点作直线的垂线交直线于点，，设，得，解得，∴．∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴，即，整理，得，解得，故选C．【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的性质．二、填空题1.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 _.【答案】【解析】由频率分布直方图得合格的频率＝，合格的人数＝．【考点】频率分布直方图的计算问题．2.设双曲线的渐近线方程为，则的值为_____________.【答案】【解析】双曲线的渐近线为，因为与重合，所以．【考点】双曲线的渐近线．3.若在不等式组所确定的平面区域内任取一点，则点的坐标满足的概率是_____________.【答案】【解析】满足约束条件区域为内部（含边界），如图与圆的公共部分如图中阴影部分所示，则点P落在圆内的概率概率为＝＝．【考点】1、线性规划；2、几何概型．4.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.【答案】【解析】由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．【考点】1、平面的基本性质；2、直线与平面平行的判定与性质．5.双曲线的离心率为_________．【答案】【解析】双曲线的中心为原点，对称轴是和，渐近线为和，顶点是双曲线与的交点，．是等轴双曲线，根据双曲线中的几何意义可知，，，所以．或解：将双曲线逆时针旋转，可得到等轴双曲线，其离心率为．【考点】等轴双曲线的性质．三、解答题1.已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围．【答案】【解析】先求出，的等价条件．然后利用是的充分条件，确定实数的取值范围．试题解析：，，∵是的充分条件，∴，∴，解得．综上：的取值范围为．【考点】1、必要条件、充分条件；2、一元二次不等式的解法．2.已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点.（1）求的取值范围;（2）过作圆的弦，求最小弦长？【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）根据直线与圆相交，得到圆心到直线的距离小于半径，即可求出的取值范围；（2）当圆心与连线为弦心距时，弦长最小，利用两点间的距离公式求出弦心距，由垂径定理及勾股定理求出最小弦长即可．试题解析：（1）圆心到直线的距离，解得或．（2）当圆心与连线为弦心距时，弦长最小，∵圆心到的距离为，半径，根据题意得：最小弦长为．【考点】直线与圆的位置关系．3.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地第6年的粮食需求量．【答案】（1）；（2）万吨．【解析】（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，做出平均数，利用最小二乘法做出，写出线性回归方程．（2）把所给的的值代入线性回归方程，求出变化以后的预报值，得到结果．试题解析：（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程：，，∴，∴，∴所求的回归直线方程为．（2）可预测第6年的粮食需求量为（万吨）.【考点】回归分析．4.如图，菱形的边长为2，为正三角形，现将沿向上折起，折起后的点记为，且，连接．（1）若为的中点，证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）连接，交于点，连接、，可得，再由线面平行的判定定理证明平面；（2）在内，过作于，可证平面，求得，根据体积公式计算可得答案．试题解析：（1）如图，连接，交于点，连接、，∵为菱形，∴为中点又∵为的中点，∴，又平面，平面，∴平面.（2）在内，过作于，在菱形中，，又沿折起, ∴．∵∴平面，∴，又，∴平面．∵，∴，∴＝＝．【考点】1、棱锥的体积；2、直线与平面平行的判定．5.已知过点的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个顶点，若线段的中点恰为点.（1）求直线的方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由点差法可求得斜率，进而求得直线方程组；（2）联立圆与直线方程，利用弦长公式求得的长，再利用点到直线的距离求得点到直线的距离，再利用三角形面积公式即可求得结果．试题解析：（1）由点差法，可得直线．（2）联立，，点到直线的距离，．【考点】1、直线与椭圆的位置关系；2、到直线的距离；3、点差法的应用．6.如图，设椭圆：的离心率，顶点的距离为,为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点.（ⅰ）试判断点到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由；（ⅱ）求的最小值.【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．【解析】（1）利用离心率可得，关系．由两个顶点距离可得，距离，由此结合可求得，的值，从而求得椭圆的标准方程；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况求解．当直线的斜率不存在时，情况特殊，易求解；当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立消去得到关于的一元二次方程，然后结合韦达定理与，以及点到直线的距离公式求解；（3）在中，利用＝与，结合基本不等式求解．试题解析：（1）由，得，由顶点的距离为，得，又由，解得，所以椭圆C的方程为．（2）解：（ⅰ）点到直线的距离为定值．设,①当直线AB的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线：，将代入，解得，所以点到直线的距离为；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆：，联立消去得，，．因为，所以，，即，所以，整理得，所以点到直线的距离＝．综上可知点到直线的距离为定值．（ⅱ）在中，因为＝又因为≤，所以≥，所以≥，当时取等号，即的最小值是．【考点】1、椭圆的性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、点到直线的距离．。
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重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（文科）数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
试卷Ⅰ（共 60 分）一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1. 设集合{}2340x x x --<, {}2,1,0,1,2N =-- , 则 M N =（ ）A ．{}1,0-B ．{}2,1,0--C ．{}0,1D ．{}0,1,22. 已知命题p ：R x ∈∀，0122>+x ，则p ⌝是（ ）A.0122≤+∈∀x R x ，B.0122>+∈∃x R x ，C.0122<+∈∃x R x ，D.0122≤+∈∃x R x ， 3. 下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y=cosx （x ∈R ）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx （x ∈R ）是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①4. 已知等比数列{}n a 的公比为2，则123422a a a a ++=（ ）A.116 B. 18C. 14D. 12 5. 在ABC ∆中，D 为AB 的中点，设,CA a CB b ==，则CD = （ ）A.1()2a b +B. 1()2a b -C. a b +D. a b -6.已知函数2()64ln f x x x x =-+，则函数()f x 的增区间为（ ） A.(,1),(2,)-∞+∞ B.(,0),(1,2)-∞ C.(0,1),(2,)+∞ D.(1,2)7. “sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知,x y 的值如表所示，若,x y 呈线性相关，且回归直线方程为72y bx =+，则b =（ ）A ．12-B ． 12C ．110-D ．1109.在ABC中，60,2,ABC A AB S ===，则边BC 的长为( ) AB ．3 C． D ．710.动点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥3521y x y x y ，点Q 为)1,1(-，O 为原点，OQ OP OQ ∙=||λ，则λ的最大值是（ ）A.1-B.1C.211．过抛物线2y x =的焦点F 作直线交抛物线于,P Q ，若线段PF 与QF 的长度分别为,m n ，则2m n +的最小值为（ ） A ．32 BD12.已知函数()y f x =的定义域内任意的自变量x 都有()()22f x f x ππ-=+，且对任意的(,)22x ππ∈-，都有()()tan 0f x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），设421(),(),(0)332a fb fc f ππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b << B. c a b << C. c b a << D. b a c <<第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13. 若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = ． 14．曲线323y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为15. 某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如右表, 则大约有 %的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++16.已知函数321()53f x x ax bx =++，若a ，b 是从集合{}1,2,3,4中任取两个不同的数，则使函数()f x 有极值点的概率为 .三、解答题: （本大题共6小题，共70分.） 17．（本题满分10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3155,150a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记124na nb =⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .18.（本题满分12分）已知圆:Q 220x y Dx Ey F ++++=经过点(0,5),(1,2),(1,6)-，且直线l ：21)(1)760m x m y m +++--=（与圆Q 相交于,C D（1）求圆Q 的方程.（2）若QCD 的周长为18，求m 的值.19．(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos cos 2cos a C c A b A ⋅+⋅=⋅. （1）求角A 的大小； （2）求函数)6sin(sin 3π-+=C B y 的值域.20．（本题满分12分）某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。
每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练及考核，若每个学生身体体能考核合格的概率是12，外语考核合格的概率是23，若每一次考试是否合格互不影响。
（1）求学生甲体能考核与外语考核都合格的概率.（2）设学生甲不放弃每一次考核的机会，求学生甲恰好补考一次的概率。
21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(A ，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点,P Q ，且O P O Q ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数1()x x f x e+=, ()()(1),xg x xf x tx e t R -=+-∈ （1）求函数()f x 的极大值；（2）若存在,,[0,1]a b c ∈满足()()()g a g b g c +<，求实数t 的取值范围．2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数学参考答案（文科）一．选择题：DDBCAC BBADCA二．填空题：13.31y x =- 15.99.5 16.1317.解：（1）根据已知条件，先设{}n a 的首项为1a 错误！未找到引用源。
,公差为d ，则2115125,15157150a a d S a d =+==+⨯=，错误！未找到引用源。
得13,1,a d ==2n a n ∴=+错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
………5分 （2）易知：21224n n n b +=⋅=错误！未找到引用源。
，则有12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+12222n =++⋅⋅⋅+122n +=-…10分错误！未找到引用源。
18. 解：（1）解：由题意得：52582546375E F D D E F E D E F F +=-=-⎧⎧⎪⎪-+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪++=-=-⎩⎩，则圆方程为228450x y x y +---=¡¡6·Ö（2）弦ＣＤ的长度为8，则232310d m m ==⇒++=，则11,2m m =-=-……12分19.解：（1）2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -= 即：2sin cos sin()sin B A A C B =+=¡ßB ÊÇÈñ½ÇÈý½ÇÐεÄÄڽǣ¬¡àsin 0B ≠ ¡à1cos 2A =,3A π=¡¡6·Ö (2) ¡ß3A π=¡à23B C π+=,23C B π=-，ÓÉsin()6y B C π=+-¼´23C B π=-µÃ£ºcos 2sin()6y B B B π=+=+,¡10·ÖÓÖ203B π<<£¬ ¡à(]1,2y ∈¡¡12·Ö 20．解：（1）正面： ①两个项目都不补考能通过概率：1121233P =⨯= ②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：2112112522323318P =⨯⨯+⨯⨯= ③两个项目都要补考才能通过的概率：21121(1)(1)22318P =-⨯⨯-=，12323P P P P =++=反面：被淘汰的概率：22211111111()()()2223233P =⨯+⨯+⨯=，1213P P =-= ¡¡6·Ö （2)恰好补考一次记为1ξ=，则11111127(1)222322312P ξ==⨯+⨯+⨯⨯= ¡¡12·Ö21.解：（1）由题意得：2213,11,24a b a a b =+=⇒==，椭圆C 的方程为2212x y +=…5分 （2）假设满足条件的圆存在，其方程为：222(01)x y r r +=<<当直线,P Q 的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，由2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得: 222(12)4220k x kmx m +++-=，令1122(,),(,)P x y Q x y ，则有：122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+…………8分∵，∴22121212120(1)()0x x y y k x x km x x m +=⇒++++=．∴2222222(1)(22)401212k m k m m k k +--+=++，∴22322m k =+．…………10分 因为直线PQ 与圆相切， ∴222231m r k==+,所以存在圆2223x y += 当直线PQ 的斜率不存在时，也适合2223x y +=． 综上所述，存在圆心在原点的圆2223x y +=满足题意．…………12分 22.解：（Ⅰ）()xxf x e -'=, 当0x ≥时，()0f x '≤，所以()f x 在区间[0,)+∞上为减函数， 当0x <时，()0f x '>，所以()f x 在区间(,0]-∞上为增函数，所以()(0)1f x f ==极大值 …………5分（Ⅱ）因为2(1)1()xx t x g x e+-+=所以()(1)()x x t x g x e ---'= ………6分 设()g x 在[0,1]上的最大值为M ，最小值为N ，则2N M <①当1t ≥时，()0g x '≤，()g x 在[0,1]上单调递减，由2N M <, 所以2(1)(0)g g <，即321te-⋅<，得32et >- ………8分②当0t ≤时，()0g x '≥，()g x 在[0,1]上单调递增，所以2(0)(1)g g <即32te-<，得32t e <- ……10分③当01t <<时，在[0,)x t ∈，()0g x '<，()g x 在[0,]t 上单调递减，在(,1]x t ∈，()0g x '>，()g x 在[,1]t 上单调递增 ,所以2()(0),g t g <且2()g(1)}g t <，即121,t t e +⋅<且132tt te e +-⋅<，由（Ⅰ）知1()t t f t e +=在(0,1)t ∈上单调递减，故1421t t e e +⨯>>，而334t e e e-<<，所以无解，综上所述，(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞ ．…………12分。