七个无敌模型——全搞定空间几何的外接球

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八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版)

相同的外接球.

3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；

三、内切球的有关知识与方法

1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.

2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.

3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.

4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.

5．基本方法：

（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；

（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.

四、与台体相关的，此略.

五、八大模型

第一讲柱体背景的模型

类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

c a

图1-1

P A B

c 图1-2

P C

c 图1-3

a b

B A

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2

222

)

2(c b a R ++=，

即2

222c b a R ++=

，求出R

例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 解： 162

==h a V ，2=a ，24

164442222

=++=++=h a a R

，π24=S ，选C ；

（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：9

33342

=++=R

，π

π942

==R

S ；

（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，

八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

图2

图3

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R

例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）

A ．π16

B ．π20

C ．π24

D ．π32

（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是

π9

解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；（2）9

33342=++=R ，ππ942==R S

（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则

H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，

∴AB SH ⊥

，

ΘBC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，

(3)题-1

∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， ΘMN AM ⊥，MN SB //，

∴SB AM ⊥，ΘSB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥，ΘSA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，

八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题高考资料高考复习资料中考资料

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2，即2R a2b2c2，求出R

例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（C）A．16B．20C．24D．32

（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9

解：（1）V a2h16，a2，4R2a2a2h2441624，S24，选C；（2）4R23339，S4R29

（3）在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM MN,若侧棱SA23,则正三棱锥S ABC外接球的表面积是。36

解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角

形ABC的中心，SH平面ABC，SH AB，

AC BC，AD BD，CD AB，AB平面SCD，

AB SC，同理：BC SA，AC SB，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2，AM MN，SB//MN，

AM SB，AC SB，SB平面SAC，

SB SA，SB SC，SB SA，BC SA，

SA平面SBC，SA SC，

故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，

(2R)2(23)2(23)2(23)236，即4R236，

正三棱锥S ABC外接球的表面积是36

自信是迈向成功的第一步

（4）在四面体 S ABC 中， SA 平面ABC ， BAC

八个无敌模型__全搞定空间几何的外接球和内切球问题

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

图1

图2

图3

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2

)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162

==h a V ，2=a ，24164442

222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；（2

）933342

=++=R ，ππ942

==R S

（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，

BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，

∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，

∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，

八个超强模型——彻底解决立体几何的外接球和内切球问题

八个超强模型——彻底解决立体几何的外

接球和内切球问题

摘要

本文介绍了八个超强模型，这些模型可以用来彻底解决立体几何中的外接球和内切球问题。每个模型都具有独特的特点和优势，能够有效地求解球的外接和内切问题，为立体几何的研究提供了有力的工具和方法。

引言

在立体几何中，外接球和内切球问题是非常常见的问题。求解这些问题通常需要借助一些数学模型和方法。本文介绍了八个超强模型，这些模型在解决外接球和内切球问题方面表现出色。

模型一：球心法线模型

该模型基于球的法线方程，通过求解法线方程的交点来得到球心坐标。利用该模型可以快速准确地求解外接球和内切球的球心坐标。

模型二：点坐标向量模型

该模型利用点的坐标向量来表示球心坐标，通过计算坐标向量

的运算得到球心坐标。该模型适用于各种类型的球体，求解效果良好。

模型三：坐标平移模型

该模型基于坐标平移的概念，通过平移球心坐标来求解外接球

和内切球的球心坐标。该模型简单易懂，适用于多种立体几何结构。

模型四：线段接触模型

该模型利用线段的接触点来求解外接球和内切球的球心坐标。

通过求解线段接触点的几何关系，可以得到球心坐标。该模型适用

于特定的立体几何结构。

模型五：平面交线模型

该模型基于平面交线的概念，通过求解平面交线的方程来得到

球心坐标。该模型对于立体几何结构较复杂的情况下求解效果较好。

模型六：圆心半径模型

该模型通过求解球的圆心和半径来得到球心坐标。该模型适用

于已知球的圆心和半径的情况下求解。

模型七：曲线拟合模型

该模型通过对曲线进行拟合来得到球心坐标。该模型适用于曲线较为复杂的情况下求解。

高中数学解题秘籍系列一篇文章攻克外接球

【高中数学解题秘籍系列】

————一篇文章攻克外接球

⚫外接球

指一个空间几何图形的外接球，对于旋转体和多面体，外接球有不同的定义，广义理解为球将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球上.正多面体各顶点同在一球面上，这个球叫做正多面体的外接球.

⚫内切球

球心到某几何体各面的距离相等且等于半径的球是几何体的内切球.如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.

一、外接球七大模型

二、内切球万能公式(棱锥)

①圆柱②直棱柱③侧棱垂直底面

➢

适用几何体：圆柱、直棱柱、一条侧棱垂直底面的棱锥.

②和 ③ 可以通过补形转化为 ①，所以我们只需证明 ① 即可证明：设P 、O '分别为上下底面圆的圆心，O 为线段PO '

的中点，

( 2017•新课标 Ⅲ ) 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π

B ．

3π4 C ．π2

D ．π4

由秒杀公式1得

222

12=1442h R r r ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭

，

解得

234

r =

，因此圆柱的体积

233π

ππ144

V r h =⋅=⋅⋅=，

故选B.

( 2017•新课标 Ⅱ ) 长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为．

由秒杀公式1得

2222

=442h R r +=+=⎝

⎭

，因此球O 的表面积为

4π4π14π2

S R ==⋅⋅

=. 本题还可用秒杀公式4可得

2222222

3217442

a b c R ++++===，

高中数学立体几何外接球7大模型

长方体的每个面都是矩形或正方形，相对的两个面完全相同。
长方体外接球半径计算方法
01
设长方体的长、宽、高分别为a、 b、c，则长方体的体对角线长度为sqrt(a^2+b^2+c^2)。
02
外接球的半径为体对角线长度的一半，即 R=1/2*sqrt(a^2+b^2+c^2)。
典型例题解析
01
答案
$frac{4pi a^{2}}{3}$
07 其他多面体外接球模型
平行六面体外接球半径计算方法
总结词
通过平行六面体的性质，利用空间向量计算外接球的半径。
详细描述
平行六面体有两组平行的对面，通过这两组对面的中点连接，可以得到一个空间向量。这个向量的模就是平行六面体外接球的半径。
正八面体外接球半径计算方法
外接球的性质
外接球的球心位于几何体的重心，半径等于几何体的高。
空间几何体与外接球关系
长方体与外接球
长方体的对角线为其外接球的直径，长方体的体对角线所在直线就是外接球的直径。
正方体与外接球
棱柱与外接球
对于棱柱，如果其底面为正多边形，则其外接球与上下底面中心连线段的中点为球心，球的直径等于该棱柱的体对角线长。
总结词
利用正八面体的性质，通过几何关系计算外接球的半径。
详细描述

八个有趣模型_搞定空间几何体的外接球和内切球

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

图2

图3

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2

==h a V ，2=a ，24164442

=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；

（2

）933342

=++=R ，ππ942

==R S

如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，

ΘBC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，

∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， ΘMN AM ⊥，MN SB //，

∴SB AM ⊥，ΘSB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥，ΘSA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，

高考数学多面体的外接球专题模型总结终极版(七大模型)

多面体的外接球专题模型总结终极版

题型一、长方体的外接球

1.长方体外接球半径R=√a2+b2+c2

2.正方体外接球半径R=√3

3.长方体外接球的切割体（从长方体八个顶点中任取四个顶点）（1）三条侧棱两两垂直的三棱锥简称墙角型

（2）一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥（双垂直）

（3）各棱相等的三棱锥（正四面体）

（4）对棱相等的三棱锥

专题练习

例1.在三棱锥BCD A −中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、

ADB ∆的面积分别为

22、32、62

，则三棱锥BCD A −的外接球的体积为（）

A ．6π

B ．26π

C ．36π

D ．46π

例2. 如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，

2===⊥⊥BC AB DA BC AB ABC DA ，，面,则球O 的体积等于．

例 3.已知三棱锥BCD A −的所有棱长都为2，则该三棱锥外接球的体积为_________

例4.四面体BCD A −中，5==CD AB ，34==BD AC ，41==BC AD ，则四面体

BCD A −外接球的表面积为（）

A ．π50

B ．π100

C ．π150

D ．π200

变式练习

1.在三棱锥ABC P −中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥

ABC P −的外接球的表面积为（）

A ．π8

B ．π12

C ．π26

D ．π24

2.已知三棱锥ABC P −的顶点都在球O 的表面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂

直，且2===PC PB PA ，则球O 的体积为（） A ．π312 B ．π28 C ．π34 D ．π4

高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型

墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。

例1：

1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。

解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。

2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。

解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =

4πR^2 = 9π。

3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接

球的表面积。

解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。由AM⊥MN，SB//MN，可得

AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。因此，

三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。

类型二、棱台模型

棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。

外接球与内切八大模型—老师专用

1. 外接球模型

外接球模型是指一个球体将几何体外切。这种模型适用于球体的外切问题，如球体半径、球体体积等问题。例如，一个正方体的外接球就是一个半径等于正方体对角线长度一半的球。

2. 内切球模型

内切球模型是指一个球体可以刚好放入一个几何体中。这种模型适用于球体的内含问题，如球体半径、球体体积等问题。例如，一个正方体的内切球就是一个半径等于正方体边长一半的球。

3. 外接圆柱模型

外接圆柱模型是指一个圆柱体将几何体外切。这种模型适用于圆柱体的外切问题，如圆柱体表面积、圆柱体体积等问题。例如，一个正方体的外接圆柱体就是一个底面积等于正方体面积的圆柱体，高等于正方体边长的圆柱体。

4. 内切圆柱模型

内切圆柱模型是指一个圆柱体可以刚好围绕一个几何体。这种模型适用于圆柱体的内含问题，如圆柱体表面积、圆柱体体积等问题。例如，一个正方体的内切圆柱体就是一个底面积等于正方体面积的圆柱体，高等于正方体边长的一半的圆柱体。

5. 外接球筒模型

外接球筒模型是指一个球筒将几何体外切。这种模型适用于球筒的外切问题，如球筒的表面积、球筒的体积等问题。例如，一个正方体的外接球筒就是一个底面积等于正方体面积的球筒，高等于正方体对角线长度一半的球筒。

6. 内切球筒模型

内切球筒模型是指一个球筒可以刚好围绕一个几何体。这种模型适用于球筒的内含问题，如球筒的表面积、球筒的体积等问题。例如，一个正方体的内切球筒就是一个底面积等于正方体面积的球筒，高等于正方体边长的一半的球筒。

7. 外接圆锥模型

外接圆锥模型是指一个圆锥体将几何体外切。这种模型适用于圆锥体的外切问题，如圆锥体的表面积、圆锥体的体积等问题。例如，一个正方体的外接圆锥体就是一个底面积等于正方体面积的圆锥体，高等于正方体对角线长度一半的圆锥体。

十种求外接球与内切球模型(解析版)

十种求外接球与内切球模型

【必备知识点】

模型一:墙角模型

墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.

外接球的直径等于长方体的体对角线长.

使用范围:3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合

推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径

公式:找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2=a2+b2+c2,即2R=a2+b2+c2,求出R.

例1.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB,AC,AD两两垂直，且AB=3，AC=2，AD= 3，则球O的表面积为( )

A.64π

B.16π

C.4π

D.π

【答案】B

【详解】

四面体ABCD的外接球O即为以AB,AC,AD为长、宽、高的长方体的外接球，

∴球O的外接球半径R=12AB2+AC2+AD2=2，

∴球O的表面积S=4πR2=16π.

故选：B.

例2.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A,B,C三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为( )

A.3π

B.6π

C.6π

D.24π

【答案】C

【详解】

解：在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，折起后OD，OE，OF两两垂直，

故该三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球.因为OD=2，OE=1，OF=1，

所以2R=OD2+OE2+OF2=6，所以R=

2，所以该三棱锥外接球的表面积为S表=4πR2=6π，

八个模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题(教师版)

八个模型搞定空间几何体的外接球与内切球

一、直棱柱模型

1.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是24

2.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9

，底面周长为3，则这个球的体积为

3.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于

20。

4.在直三棱柱ABC A B C 111中，,,,AB AC A AA

14643

则直三棱柱ABC A B C 111

的外接球的表面积为

160

。

5．若三棱锥S ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA 2，SB SC 4，则该三棱锥的外接球半径为

6.三棱锥S ABC 中，侧棱SA 平面ABC ，底面ABC 的正三角形，

SA ，则该三棱锥的外接球体积等于

323

，则其外接球的表面积是

98.在四面体S ABC -中，SA ABC 平面，,,,BAC SA AC AB 12021则该四面体的外接球的表面积为

403

二、棱锥所有侧棱相等模型

1、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一

2．正三棱锥S ABC 中，底面ABC 侧棱长为2，则该三棱锥

3、在三棱锥P ABC 中，PA PB PC ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60 ，则该三棱锥外接球的体积为

三、侧面与底面垂直模型

1、三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，AC 2，PA PC 3，AB BC ，则三棱锥P ABC 外接球的半径为

高考数学专题：外接球与内切球九大模型(解析版)

空间几何体的外接球与内切球九大模型

模型一墙角模型

【方法总结】

墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2

＋b 2

＋c 2

．)，秒杀公式：R 2

＝a 2＋b 2＋c 2

．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：

【例题选讲】

[例](1)已知三棱锥A －BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为(

)A ．12πB ．7π

C ．9π

D ．8π

答案

解析

由AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD 知三棱锥A －BCD 可构造以AC ，BC ，CD 为三条棱的长方体，

设球O 的半径为R ，则有(2R )2＝AC 2＋BC 2＋CD 2＝3＋4＋5＝12，所以S 球＝4πR 2＝12π，故选A ．

(2)若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为()．

A ．3

B ．6

C ．36

D ．9

答案

解析

616164)2(2=++=R ，3=R ，故选A ．

(3)已知S ，A ，B ，C ，是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于(

)．

A ．4π

B ．3π

C ．2π

D ．π

答案

解析

由已知，222211(2)2R =++=，244S R π∴==球π．

高中数学立体几何之外接球与内切球问题常见模型归纳(完整版)

外接球问题

江西省永丰中学陈保进

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

若一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等，则这个定点就是该多面体外接球的球心。以下为常见模型。1、长方体模型

结论：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为体对角线。

公式：2222c b a R ++=（a ,b ,c 为长宽高）

补充：以下情况可转化成长方体模型。

①若三棱锥的三条棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直(墙角模型），则可在长方体中构造。

222PC PB P A R ++=②正四面体P -ABC 可在正方体中构造，正方体棱长2

PA a ③若三棱锥的三组对棱两两相等，则可在长方体中构造。设AC =BP =m ,AP =BC =n ,AB=PC =t ,则

⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+=+222222222t c b n c a m b a ，三式相加,2

22222)(2t n m c b a ++=++2

)2(2

222

t n m c b a R ++=

++=a

2、直三棱柱模型

结论：直三棱柱外接球的球心是上、下底面外心连线的中点，222

()2

R r =+r 为底面三角形外接圆的半径，可用正弦定理求，h 为直三棱柱的高。补充：有一条侧棱垂直底面的三棱锥可补成直三棱柱，如图P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则可补成直三棱柱PB 1C 1-ABC ,外接球半径公式同上。

提醒：底面具有外接圆的直棱柱才有外接球，比如正棱柱，且球心在上、下底面外心连线的中点，底面无外接圆的直棱柱，以及所有斜棱柱均无外接球。3、共斜边模型

(完整word版)高中数学八个有趣模型——搞定空间几何体外接球与内切球

八个风趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

种类一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的地点即可求出球半径）

O 2

a C

图1

图2 图3 图 4

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式

(2R)2

a 2

b 2

c 2 ，即 2R a 2 b 2 c 2 ，求出 R

例 1 （1）已知各极点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为 16，则这个球的表面积是（

）

A ． 16

． 20

． 24

D ． 32

（ 2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是

解：（ 1） V a 2 h 16 ， a 2， 4R 2 a 2 a 2 h 2

4 4

16 24 ， S 24 ，选 C ；

（ 2） 4R 2

3 3 3 9， S

4 R 2

（ 3）在正三棱锥 S ABC 中， M 、 N 分别是棱 SC 、BC 的中点，且 AM MN , 若侧棱 SA

2 3 , 则

正三棱锥 S

ABC 外接球的表面积是

。 36

解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明以下：

如图（ 3）-1 ，取 AB , BC 的中点 D , E ，连结 AE, CD ， AE ,CD 交于 H ，连结 SH ，则 H 是底面正三角

形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， SH AB ，

AC BC ， AD BD ， CD

AB ， AB 平面 SCD ，

AB SC ，同理： BC SA ， AC

SB ，即正三棱锥的对棱互垂直，

此题图如图（ 3） -2 ，

AM MN ， SB// MN ，