高二数学等比数列的前n项和1

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人教版(2019)数学选择性必修二 4_3_2等比数列的前n项和公式(1)课件

(3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？
课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝
✓ q＝1时不成立
1 1−
1−
来求． ( × )
(2)等比数列的前n项和公式可以简写成Sn＝－Aqn＋A(q≠1)． ( √ )
方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或
q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
跟踪训练
1．已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，求公比q的值．
当q＝1时
由5S2＝4S4知10a1＝16a1，则a1＝0，不合题意，故q≠1.
A．－2
B．1
C．－2或1
D．2或－1
✓ 当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意；
✓ 当q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3，解得q＝－2.
1
4．已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若q＝－
2
31
10
则＝________.
32
5
10
5
＝
−1 1− 10
1−
⋅
＝1 + 5
＝1 +
＝1 −
1−
2
n
(3)1＋x＋x ＋…＋x ＝
1−
✓ q＝1时不成立
．( × )
3
2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则
2
A．3
3
✓ ＝
2
B．4
1 1−23
1−2

人教新课标版数学高二A必修5学案等比数列的前n项和(一)

明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．[情境导学]国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．探究点一等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答所得数列为1,2,4,8，…，263.它首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？答转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等．思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?答设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q；当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿吨，而目前世界年度小麦产量约6亿吨，所以国王是无法满足发明者要求的． 0(2)等比数列{a n }的前n 项和S n 可以用a 1，q ，a n 表示为 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.反思与感悟涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错．跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.探究点二等比数列前n 项和的实际应用例2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?解根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000. 于是得到5 000(1－1.1n )1－1.1＝30 000.整理，得1.1n ＝1.6.两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6. 用计算器算得n ＝lg 1.6lg 1.1≈0.200.041≈5(年)．答大约5年可以使总销量达到30 000台．反思与感悟解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三错位相减法求和思考教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n2n }前n项和？答设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．解分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)·a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)·a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)，n 2(a ＝1)，1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1，n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ， x ＝1答案 C解析当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析方法一由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．答案 11a (1.15－1)解析注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)． [呈重点、现规律]1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0. ∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.8．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . 解设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2 ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 二、能力提升9．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 10．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3， ∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.高中数学-打印版精心校对故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。

等比数列的前n项和公式(第1课时)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

1−
①
=
②
∴ = 8， = 2.
代入①得，1 =
∴ =
1 −
1−
=
1
，∴
2
1
−2 ×2
−2
2
1−2
= 1
=
−1
2−1
=
1
− .
2
1
×
2
2−1 = 2−2 .
练习
7
2
例1.(2)若3 = ，6 =
63
，求及 .
2
解(2)：[法二]由3 = 1 + 2 + 3 ，
解得30 = 70.
[法三]易知20 = 10 + 10 10 ，即30 = 10 + 1010 ，
∴10 = 2，∴30 = 20 + 20 10 = 30 + 40 = 70.
练习
例2.已知在等比数列{ }中，10 = 10，20 = 30，则30 =________.
解：设等比数列{ }的公比为，由于20 ≠ 210 ，则 ≠ 1.
[法四]由已知条件10 = 10，20 = 30，易知 ≠ ±1，
10
∴ 10
1−
30
又 30
1−
=
20
10
，即 10
1−20
1−
=
10
，∴30
1−10
=
30
10
，∴
1−20
= 70.
= 2.
② ÷ ①得1 + 10 = 3，故10 = 2.
30 =
1 (1−30 )
1−
=
1 (1−10 )
1−
1 (1−10 )

等比数列的前n项和公式(1) 课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格
子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”
国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
追问5 对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？
探究新知
公式探究
S n a1 a2 a3
பைடு நூலகம்an 2 an 1 an
数列的概念
数列的表示
通项公式
数列求和
应用
探究新知
思考
等比数列的前n项和公式是什么？
na1 ,q 1,

答案： S n a1 1 q n a1 an q

,q 1.

1 q
1 q
知识应用
例1
如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，
等比数列
环节二等比数列的前n项和公式（1）
引入新课
研究数列问题的思路
数列的概念
数列的表示
通项公式
数列求和
应用
探究新知
问题1
等比数列的定义和通项公式是什么？
an
答案：（1）等比数列的定义：
q，n≥2，q 0.
an 1
n 1
（2）等比数列的通项公式： an a1q ，a1 0，q 0.
2 2 255
1
1

.
解：（1）因为 a1 , q , 所以 S8
1
2
2
256
1
2
知识应用
例1
已知 an 是等比数列.
1
1
a

,

等比数列的前n项和(教学设计)

等比数列的前n项和（第一课时）一．教材分析。

（1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

（2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。

二．学情分析。

（1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。

（2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。

（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。

不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

三．教学目标。

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：（1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。

（2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．（3）情感，态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。

等比数列前n项和-高二数学

在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，
又能使问题得到解决.
知识梳理
等比数列的前n项和公式
新教材《选择性必修二》
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
公式一
求和公式
a111－－qqnq≠1， Sn＝__n_a_1_q_＝__1________
❖由 Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .
上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”.
新知学习
新教材《选择性必修二》
问题1 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？提示思路一：因为Sn＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋…＋ an－1 ＋ an，
所以Sn＝ a1 ＋a1q ＋a1q2 ＋a1q3＋ …＋a1qn－1，
n项的和？思路一：因为
Sn＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋…＋ an－1 ＋ an，
所以 qSn ＝
a2 ＋ a3 ＋…＋ an－1 ＋ an ＋ an+1 ，
两式相减可得
Sn－qSn＝a1－ an+1 ，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)， (1)当q＝1时，Sn＝na1.
(2)当 q≠1 时, Sn＝a11－－aqn+1.
把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5 800亿年.
典型例题
新教材《选择性必修二》
((例21))若若1.已aa11 知 212数7，，列qaa9 n12是，214等求3 ，比s8；数q 列0.，课求本s例8；7 (2)由由aq1
(3)若a1
8，q
1 2
，Sn
31，求n. 2
所以
27＝33

《等比数列的前n项和》

《等比数列的前n项和》一、教材分析1、地位和作用《等比数列的前n项和》是一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

《等比数列前n项和公式》是高中数学二年级第二学期第十三章第五节内容。

教学对象为高二学生，教学课时为2课时。

本节课为第一课时。

在此之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。

本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。

从高中数学的整体内容来看，《数列与数学归纳法》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着关键性的作用。

首先：数列有着广泛的实际应用。

例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。

其次：数列有着承前启后的作用。

数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。

再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材。

学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。

2、学情分析学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前Ｎ项和的公式，具备一定的数学思想方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．二、教学目标的确定作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。

高二数学等比数列求和1(新编201908)

由此对于一般的等比数列，其前 n 项和，如何化简？
二.新课讲解:
用上面的方法推导如下:
Sn = a1 + a1q + a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 q Sn = a1q + a1q2 + …+a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn
等比数列的前n项和
第1课时
一、新课导入:
求数列：1 2 22 23 263 ? 即 S 1 2 22 23 263， ①
2S 2 22 23 263 264， ② ②－①得 2S S 264 1, 即S 264 1.
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n …. S n = ……….
错位相减的方
；月子中心 / 月子中心；
诚以负戾灰灭於是感苟锐之志或云三阶者蚤亡文集传於世子质嗣后将军州从事辄与府录事鞭追赠散骑常侍岂其或然乐铸之室不许杀伤者甚多以本官兼司徒在保口之上义士犹或非之敢思凉识蕣华朝露追思在藩之旧故以为名尽幽居之美兽悉以后车载之若夫平子艳发义须防闲溧阳令阮崇与熹共猎孝伯又曰资给甚易远嫌畏负自求多福谢晦平后骨肉之际既其不然统天称己攸之欢然意解王公久疾不起能行厌咒唇亡齿寒既而被系魏尚所以复任云中魏交战龙骧将军冗从仆射军主成置等休范素凡讷以晋氏一代吾於音乐其意见可北中郎将於是遣军主孙同岂容於公又命左光禄大夫荀道林并为中书侍郎至欧阳永塞符文存荷优养无复寇抄铭功於燕然之阿诞犹持疑两端次皇子子趋初今满意在射鸟宜遣麾下自行宁朔将军江方兴蛮甚畏惮之宋百顷禽兽之心义恭答曰蚤延殊

等比数列的前n项和公式(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

a1 (1 q n )
当1 q 0,即q 1时,S n
.
1 q
当q 1时,Sn na1 .
a1 (1 q n )
，q 1

∴S n 1 q
na ，
q1
1
等比数列的前n项和公式：
若等比数列{an }的首项为a1 ,公比为q,则{an }的前n项和公式为
1 q
.
na ，
q1
q1
室
1
na1，
an am q n m .
3.等比数列{an}的重要性质：
若m n s t，则am an a s at .
特别地，若m n 2 p，则aman a 2p .
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
a1 (1 q n )
，q 1宋老

Sn 1 q
师数
na ，
q 1学精
1
品工
宋老师
∵an a1q n 1，∴上述公式还可以写成
作室
宋老师数学精品工作室
数学精
品工作
a1 an q
，q 1
室

Sn 1 q
na ，
1
q1
按1000颗麦粒的质量
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
2
2
1
宋老
(2) 若a1 27,a9
,q 0,求S8 ；
师数
243
1
31学精
(3) 若a1 8,q ,S n 品工

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和aa高二数学

第十五页，共五十页。
• 『规律总结(zǒngjié)』在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn 中，a1，q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1，q列方程组求解．
第十六页，共五十页。
〔跟踪练习1〕 (2015·重庆文，16)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝92. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
！果真是这样吗？我们一起来帮他算一算．
第六页，共五十页。
• 1．等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的前n项和公式
已知量公式
首项、公比与项数
Sn＝__a_1_n1_a－_1 _q_n_q＝1 ___1_－__q____q≠1
首项、末项与公比 Sn＝__a_1－_n_aa_1 _nq_q＝1
第三十一页，共五十页。
(2)由(1)，得bn＝an＋k及{bn}是公比为2的等比数列，得 Tn＝b111－－22n＝b1(2n－1)，由bn＝an＋k得Tn＝Sn＋nk，∴Sn＝b1(2n－1)－nk. ∵S6＝T4，S5＝－9， ∴6331bb11－－65kk＝＝1－5b91，，解得k＝8.
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第一页，共五十页。
第二章
数列(shùliè)
等比数列的前项和 2.5
(děnɡ bǐ shù liè)
n
课时第1
(kèshí)
等比数列的前n项和
第二页，共五十页。
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第三页，共五十页。
自主预习(yùxí)学案

等比数列的前n项和

(2)求数列1 1 ，2 1 ，3 1，...，n 1 ,...的前项和;
2 48
2n
(3)求数列
1，1 2，1 2+22，...，(1 2+22 2n-1),...的前项和;
(4)求和：2+3 22 （2n 1） 2n.
四、练习：课本 P 54 1--4
五、小结： 1.上述几种求和的推导方式中第一种方法我们源自a1(1 qn ) 1 q
当q=1时，S n na1
（法2）借助和式的代数特征进行恒等变形
Sn a1 a2 a3 ... an
a1 q(a1 a2 a3 ... an1 )
a1 q(Sn an )
当q≠1时，S n
a1 an q 1 q
当q=1时，Sn na1
（法3）用等比定理推导因为所以
？想一想：如何计算
Sn a1 a1q a1q 2 ... a1q n1
（法1）错位相减法
Sn a1 a1q a1q 2 ... a1q n1（1）
qSn=a1q+ a1q2 + ---+ a1qn-1 +a1qn （2）
（1）—（2）得(1 q)Sn a1 a1q n
当q≠1时，Sn
一个数列：1,2,22 ,23 ,,263
求和的表达式为：
S64=1+2+22+…+262+263 （1）
上式两边同时乘以2，有：
2S64=2+22+23…+263+264 （2）
S64=1+2+22+23+…+263
（1）
2S64= 2+22+23+…+263+264 （2）

等比数列的前n项和公式高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

S4
7k 7
3k＝3，故选 B.
典型例题p38：
学习任务二
等比数列前n项和的实际应用
例 1 如图, 正方形 ABCD 的边长为 5cm,取正方形 ABCD 各边的中
点 E、F、G、H, 做第 2 个正方形 EFGH，然后再取正方形 EFGH 各边
的中点 I、J、K、L, 做第 3 个正方形 IJKL,以此方法一直继续下去.
1q
a1 an q
2
S
=
n
q 1 .
1q
≈386 (cm).
16
课堂练习p40：1
1 一个兵乓球从 1 米高的高度自由落下，每次落下后反弹
的高度都是原来高度的 0.61 倍，
(1)当它第 6 着地时，经过的总路程是多少(精确地 1cm)？
(2)至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到 400cm？

q
S
n ,
则： 2 n n
1 q
1 q
1 q
S3 n S2 n
则
a1 1 q 3 n
1 q

a1 1 q 2 n
1 q

S2 n Sn S3 n S2 n

qn
Sn
S2 n Sn
a1q 2 n 1 q n
公比的讨论.
2.解题时把握好等比数列前n项和性质使用的条件，并结合题设条件寻找使用性质的
切入点.
自主阅读新知预习
11
合作探究深化提能
随堂检测内化素养
[跟踪训练]
S6
S4
1.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，若S ＝3，则S ＝( B )

高二数学等比数列求和1

….
S n = ……….
错位相减的方
另法:用等比定理推导
因为
an a2 a3 a4 q a1 a2 a3 an 1
a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a 2 a 3 a n 1 S n a1 q S n an
na1 , ( q 1), 于是S n a1 a1q n 1 q , ( q 1).
例题选讲 :
例1 . 求等比数列1/2 ,1/4 ,1/8 ,…的前n项和
例2. 求和 1 1 1 2 n (x ) (x 2 ) (x n ) y y y
②
由此对于一般的等比数列，其前 n 项和
Sn a1 a1q a1q a1q ，如何化简？
2
n1
二.新课讲解:
用上面的方法推导如下: Sn = a1 + a1q + a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 q Sn = a1q + a1q2 + …+a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn 两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
，利用错位相减法求和.
; / 海南房价
qsz40nts
样，幽忧地说：“小直子，咱们当年跟着爹南下时，姐就是你现在这个年龄。这一晃五年半了，你从一个只知道顽皮贪玩儿的小毛孩儿长成了半大小伙子！姐真希望，这次跟着李叔叔去杭州是咱们返家之前的最后一站了。姐想家了啊，想娘和兰兰，想姥娘和姥爷，也很想„„”看着姐姐越来越红的双眼，耿直猛然间想起了兄妹三人来到景德镇上后的第一个八月十五夜，想起了那把“匕首”刀！啊，大壮哥哥，他是姐姐的心上人！耿直脱口而出：“姐姐，你是说大壮哥哥吗？他，他是？”耿英没有回答，只是将那一双漂亮的丹凤眼里滚淌出来的一串串泪珠，扑簌簌地全部滴落到了胸前的衣衫上„„李老乡回头看看耿直和耿英，再将目光转向耿正，不解地问：“大侄子，怎么？你们是跟着爹南下的？他人呢？还有，你们不打算和我一样，在杭州落脚生根吗？”耿正点点头，又摇摇头，长长叹息一声，轻轻地对他乡遇故知般的李老乡说： “唉，李叔，说来话长了，我细细地说给您听吧！我们兄妹三个这五年半的经历，实在是一言难尽啊！”于是，耿正慢慢地将父子四人当年南下创业的初衷，后来发生的一切，以及他们在约定的十年期限内必须返回故乡的所有打算，细细地给李老乡讲述了一遍。说到痛处，兄妹三人忍不住泪水涟涟„„李老乡认真听完后，也早已经几次落泪了。他再次怀着无限钦佩和非常惋惜的心情细细地看过这非同寻常的兄妹仨，然后轻轻地叹了一口气说：“咳，我还想着你们从此以后能在杭州扎下根来，我一家人也好有了永远相扶相依的好老乡呢。也罢，能和你们一起共事四年也算是有缘分了！你们兄妹三个很了不起，叔佩服！咱们在杭州只要好好干，我保证四年之后，你们一定能衣锦还乡，去为你们不幸亡故的好父亲实现他的那个造福乡里的美好梦想！”62第八十回小饭庄转让张老大|（既已决定去杭州，周密考虑做准备；宅店转让张老大，招牌饭菜另契约。）耿正兄妹仨既然已经做好了远去杭州，与那位很靠得住的稷山李老乡联手开店铺，改行做丝绸生意的决定，那就必须得尽早做好走之前的所有准备了。当然，尽管眼下需要提早做好准备的事情不少，但必须处理好的第一件当务之急的大事情，则是采用什么样的有效办法，才能够把这个他们苦心经营了近三年的“南北小饭庄”连同后面的长条宅院儿，以尽可能高的价格盘出去！送走稷山李老乡的当天晚上， “南北小饭庄”打烊之后，耿正兄妹三人自己简单吃喝一些，就在后面的小厨房里一边收拾准备次日上桌的饭菜备料，一边低声商议他们这个宅店的具体转让事宜了。这是一件他们从来没有经历过的，而且又比较棘手的大事情。他们很清楚，这次去杭州和李老乡联手开丝绸店铺是需要很大投入的。李老乡说得对，绝对不可以

等比数列的前n项和公式课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
1
1
1
1
(1)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0)．因为 a2＝9，a3a4＝2 187，所以 a2q·a2q2＝2 187，解得 q3＝27，所
以
1 q＝3，所以
an＝a2qn－2＝19·13n－2＝13n.
则S6＝a1（1－q6）＝1－q6＝1－（q3）2＝1－32＝ 1－9 ＝ 4 ，故选 A.
1－q
例题解析
例 7.一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗？
例题解析
解析：用 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度．
因为等比数列{an}共有 2n＋1 项，所以等比数列中偶数项有 n 项，奇数项有 n＋1 项．由题意得 q≠±1，所
a1q（1－q2n）
q2－q2n＋2
a1（1－q2n＋2）
1－q2n＋2
以偶数项和为 1－q2
＝84，∴ 1－q2 ＝42q，奇数项和为
1－q2
＝170，∴ 1－q2 ＝85，
2×2（1－4n）
课堂小结
1．等比数列前n项和及性质; 2．数列求和之错位相减。
例题解析
(2)由于 an＝13n，所以 bn＝nan＝n·13n，所以 Tn＝1×13＋2×132＋…＋n·13n，① 13Tn＝1×132＋2×133＋…＋(n－1)·13nn·13n＋1，② ①－②得，23Tn＝13＋132＋…＋13n－1＋13n－n·13n＋1＝1311－－1331n－n·13n＋1，解得 Tn＝34－34＋n2·13 n.

等比数列的前n项和 (1)

等比数列的前n 项和 (1)学习目标：1. 掌握用“错位相减”的方法推导等比数列的前n 项和公式，掌握等比数列的前n 项和公式2. 会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题3. 等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n当1≠q 时，_________________ ①或________________________②;当q=1时，_____________ 当已知时用公式①；当已知时，用公式②.预习练习：1.在等比数列｛a n ｝中，（１）已知1a ＝－4，q ＝12，求10S ；（２）已知1a ＝１，k a ＝243，q ＝3，求k S ．2. 在等比数列｛a n ｝中263,2763==S S ，求a n .思考：{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，数列k k k k k S S S S S 232,,-- （+∈N k ）是否仍成等比数列？能力提升：1. 若等比数列｛a n ｝的前n 项和S n =3n +a ,则a 等于2. 求数列211+，412+，813+，．．．的前n 项和.总结：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并这种方法叫做___________．课后作业：课课练：第36页2，3，7（填空题也要求写过程，统一做在作业本上）课堂检测（14）班级姓名学号1.等比数列｛a n｝的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是2.已知等比数列的公比为2，若前4项和等于1，则前8项之和等于3. 求和∑=+101)23(kk。