高中数学第2讲(必修4)两角和与差及二倍角的三角函数
两角和与差的三角函数及二倍角公式
两角和与差的三角函数及二倍角公式在三角函数中，我们经常会遇到两个角的和或差。
为了简化计算，我们可以利用两角和与差的三角函数公式来求解。
同时，在求解过程中，二倍角公式也是一个非常重要的工具。
在本文中，我们将详细介绍两角和与差的三角函数及二倍角公式。
一、两角和与差的三角函数公式1.两角和的正弦和余弦：设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，余弦分别为cosA和cosB，则有：sin(A + B) = sinA × cosB + cosA × sinBcos(A + B) = cosA × cosB - sinA × sinB这两个公式分别称为两角和的正弦公式和余弦公式。
2.两角和的正切：在已知角A和B的正切tanA和tanB的情况下，可以使用以下公式求解两角和的正切tan(A + B)：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA × tanB)这个公式称为两角和的正切公式。
3.两角差的正弦和余弦：设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，余弦分别为cosA和cosB，则有：sin(A - B) = sinA × cosB - cosA × sinBcos(A - B) = cosA × cosB + sinA × sinB这两个公式分别称为两角差的正弦公式和余弦公式。
4.两角差的正切：在已知角A和B的正切tanA和tanB的情况下，可以使用以下公式求解两角差的正切tan(A - B)：tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA × tanB)这个公式称为两角差的正切公式。
以上就是两角和与差的三角函数公式。
在三角函数中，二倍角公式是非常重要的公式。
通过二倍角公式，我们可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
下面是各种三角函数的二倍角公式：1.正弦的二倍角公式：sin(2A) = 2sinA × cosA2.余弦的二倍角公式：cos(2A) = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2A3.正切的二倍角公式：tan(2A) = 2tanA / (1 - tan^2A)这些公式称为正弦、余弦和正切的二倍角公式。
高中数学必修四-两角和与差的三角函数公式
两角和与差的三角函数公式知识集结知识元两角和与差公式的正向运算知识讲解1．两角和与差的三角函数【知识点的认识】：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（1）C（α﹣β）（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（α+β）（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T：tan（α﹣β）＝．（α﹣β）例题精讲两角和与差公式的正向运算例1.'如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在单位圆O上，∠xOA=α，且．（Ⅰ）若，求x1的值；（Ⅱ）若∠AOB=，求y=x12+y22的取值范围．'例2.已知△ABC中，7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sin A sin B sin C，则=__．例3.'若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．'三角函数给值求值问题知识讲解给出三角函数值，求同角的三角函数值或相关角的三角函数值。
例题精讲三角函数给值求值问题例1.已知，则=（）A．B．C．D．例2.已知，则=（）A．B．C．D．例3.设当x=θ时，函数f（x）=sin x+cos x取得最大值，则tan（θ+）=____．两角和与差公式的逆向运算知识讲解1．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（2）C（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：tan（α+β）＝．（5）T（α+β）：tan（α﹣β）＝．（6）T（α﹣β）例题精讲两角和与差公式的逆向运算例1.sin17°sin77°-cos163°cos77°=（）A．B．-C．D．-例2.设角α、β是锐角，若（1+tanα）（1+tanβ）=2，则α+β=__．例3.cos42°sin78°+cos48°sin12°__．例4.tan75°-tan15°-tan15°tan75°=__．当堂练习单选题练习1.若tan（α-）=2，则tan（2α）等于（）A．-2B．C．2+D．练习2.若tanα=-3，则的值为（）A．B．C．D．-2练习3.若，则cos4θ=（）A．B．C．D．练习4.若sin（-5°）=m，则cos100°=（）A．2m B．1-2m2C．-2m D．2m2-1练习5.已知，且α为第三象限角，则tan（2α+）=（）A．B．C．D．填空题练习1.设当x=θ时，函数f（x）=sin x+cos x取得最大值，则tan（θ+）=_____．练习2.设△ABC的内角为A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．则_．的值为__解答题练习1.'已知关于x的方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0（m≠0）的两根为tanα，tanβ．（1）求m的取值范围；（2）求tan（α+β）的最小值；（3）求m sin2（a+β）+（2m-3）sin（α+β）cos（α+β）+（m-2）cos2（α+β）的值．'练习2.'已知函数．（1）求f（x）最小正周期、定义域；（2）若f（x）≥2，求x的取值范围．'练习3.'已知函数f（x）=x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的对称轴和对称中心；（3）若，，求的值．'练习4.'如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在单位圆O上，∠xOA=α，且．（Ⅰ）若，求x1的值；（Ⅱ）若∠AOB=，求y=x12+y22的取值范围．'练习5.'已知函数f（x）=2sin x cos x+2sin（x+）cos（x+）．（1）求函数f（x）的对称轴方程；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）-1=m在[0，）上恰有一解，求实数m的取值范围．'。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 课件
探
究
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前 自 主
5．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝
.
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课
1 7
[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋12－12×31 31＝17.]
课 后 限 时 集 训
堂
考
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主回顾 第1课时Fra bibliotek时 集 训
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考 点 探 究
cos 2α＝ccooss22αα－＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα.
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2．降幂公式
自
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sin2α＝1－c2os 2α；
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cos2α＝1＋c2os 2α；
时 集 训
堂
考 点 探
sin αcos α＝12sin 2α.
究
用．
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公式的变形用
课
1
前 自
sin235°－2
主
(1)化简cos 10°cos 80°＝
.
回
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(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是
．
后 限 时
课 堂 考 点
(1)－1
(2)12
[(1)cossin1203°5c°o－s 8120°＝1c－osc1o20s°s7i0n°－1012°＝－112cos
课
前
二、教材改编
自
主 回 顾
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α为(
19.必修四数学两角和与差的三角函数
两角和与差的三角函数知识点：两角和与差的正弦、余弦、正切函数公式类型一、化简类问题化简类问题的基本思路1、化为特殊角的三角函数值；2、化为正负相消的项，消去求值；3、化为分子分母出现公约数，约分求值。
例1.求下列各式的值（1）（2）sin 13°cos 17°+sin 77°cos 73°-变式练习1、(1)sin cos; (2)-; (3)tan 72°-tan 42°-tan 72°tan 42°2、化简(1) (2)解决给值求值问题的关键1、寻求“已知角”与“所求角”之间的关系，用“已知角”表示“所求角”。
2、已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差；3、已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍数关系”或“互余关系”。
例2、已知，求的值。
变式练习1、已知α∈,且sin α=,tan β=,则tan(α+β)=.2、已知α为锐角,sin α=,β是第四象限角,cos β=,则sin(α+β)=.3、设α∈,若sin α=,则cos 等于() A. B. C.- D.-4、若tan α=3,tan β=,则tan (α-β)等于() A.-3 B.- C.3 D.5、已知sin,且<α<,求cos α的值.6.[2016·江西临川模考]已知，且，求.7、已知为第二象限角，求的值。
例3、已知α,β均为锐角,且sin α =,cos β=,求α-β的值。
例4、已知x,y∈,且cos x=,cos y=,求x+y.变式练习1、已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<,-<β<,则α+β的值为()A. B.- C.-或 D.无法确定2.若A,B是△ABC的内角,且(1+tan A)(1+tan B)=2,则A+B等于.3、已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值.4、如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.课后作业1.sin -cos 的值是()A. B. C.- D.sin2.(2016•山东青岛平度四校联考)已知tan(α+β)=,tan-,那么tan等于()A. B. C. D.3.设α,β都为锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则sin β等于()A. B. C. D.-或4.已知tan =2,则的值为.5.若cos =-,θ∈,则cos θ的值为.6.已知cos-+sin α=,则sin=.7.已知cos α=-,tan β= π<α<,0<β<,求α-β的值.8.(2016•广东揭阳惠来一中检测)已知函数f(x)=2sin-,x∈R.(1)求f的值;(2)设α,β∈,f,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.9、已知<β<α<π cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos 2α的值.。
高中数学必修四北师大版 两角和与差的三角函数 课件(54张)
2.cos 165°=cos(45°+120°)=
cos 45°cos 120°-sin 45°sin 120°
2 1 2 3 6 2 ( ) . 2 2 2 2 4 答案： 6 2 4
=
3.(1)sin(α+30°)cos α+cos (α+30°)sin(-α) =sin(α+30°)cos(-α)+cos (α+30°)sin (-α) =sin(α+30°-α)=sin 30°= 1 .
答案：0
【要点探究】 知识点 两角和与差的正弦、余弦公式
1.公式的记忆
(1)对于两角和与差的余弦公式Cα±β可以简记为：“余余正正，
和差相反”.
(2)对于两角和与差的正弦公式Sα±β可以简记为：“正余余正，
和差相同”.
2.公式的适用条件 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团 体”，如 cos( ) 中的“
的特例.如sin (2π-α)=sin 2πcos α-cos 2πsin α=0〓
cos α-1〓sin α=-sin α.当α或β中有一个角是 的整数
2
倍时，通常使用诱导公式较为方便 . (2)逆用公式的关键是什么？ 提示：关键是利用相关三角变换公式使其满足公式右边的结构 特征.
【即时练】
§2 两角和与差的三角函数 2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
两角和与差的正弦、余弦函数 名称 差的正弦 差的余弦 和的正弦 和的余弦 公式 sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β __________________________ 简记 S α-β C α-β S α+β C α+β
两角和与差的三角函数及二倍角公式
两角和与差的三角函数及二倍角公式在三角函数中，有两个非常重要的公式，即两角和与差的三角函数公式和二倍角公式。
这些公式在解决三角函数问题时非常有用，因此了解和掌握它们是非常必要的。
一、两角和与差的三角函数公式：1.两角和公式：对于任意两个角A和B，有以下两个公式：sin(A + B) = sin A * cos B + cos A * sin Bcos(A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B由这两个公式可以推出以下公式：sin(A - B) = sin A * cos B - cos A * sin Bcos(A - B) = cos A * cos B + sin A * sin B这些公式可以帮助我们求解诸如sin(A + B)的表达式，将其转化为由sin A、sin B、cos A和cos B组成的表达式，从而简化问题的解决。
2.单角和差公式：单角和差公式是两角和公式的特殊情况，即当A和B取相同的值时，有以下公式：sin(2A) = 2 * sin A * cos Acos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2 * cos^2 A - 1 = 1 - 2 *sin^2 A这些公式在解决二倍角问题时非常有用。
通过这些公式，我们可以将一些角的双倍角表示为该角的sin、cos的函数，从而简化问题的解决。
二、二倍角公式：二倍角公式是指将一个角的双倍角表示为该角本身的sin、cos的函数。
有以下四个二倍角公式：sin(2A) = 2 * sin A * cos Acos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2 * cos^2 A - 1 = 1 - 2 *sin^2 Atan(2A) = 2 * tan A / (1 - tan^2 A)cot(2A) = (cot^2 A - 1) / (2 * cot A)这些公式可以帮助我们将一些角的双倍角表示为该角本身的sin、cos等函数的形式，从而简化问题的解决。
两角和与差及二倍角公式
计算cos(π/3 - α)的值。
例题2
计算sin2α的值。
解
利用两角和与差公式，cos(π/3 - α) = cosπ/3cosα + sinπ/3sinα = 1/2cosα + √3/2sinα。
解
利用二倍角公式，sin2α = 2sinαcosα。
THANKS
谢谢
二倍角公式的应用
计算三角函数值
利用二倍角公式，可以计算一些三角函数值，例如计算sin2α、 cos2α等。
证明三角恒等式
通过二倍角公式，可以证明一些三角恒等式，例如 sin2α=2sinαcosα等。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度的调整、测量等，可以利用二倍角 公式进行计算。
例题解析与解答
公式应用与例题解析
两角和与差公式的应用
计算角度的和与差
利用两角和与差公式，可以方便 地计算两个角的和或差，例如计 算两个角的和或差的角度。
简化三角函数式
通过两角和与差公式，可以将复 杂的三角函数式进行简化，从而 便于计算或化简。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度 的调整、测量等，可以利用两角 和与差公式进行计算。
04
角的乘法性质是三角函数中一个重要的性质，它可以用于推导其他的 三角函数公式和定理。
03
CHAPTER
公式推导与证明
两角和与差公式的推导
两角和公式推导
利用三角函数的加法公式，将两角视 为不同象限的角，通过三角函数的性 质推导出两角和的三角函数公式。
两角差公式推导
利用三角函数的减法公式，将两角视 为同象限的角，通过三角函数的性质 推导出两角差的三角函数公式。
两角和与差及二倍角公式
高中数学新北师大版必修第二册 第四章 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 课件(26张)
cos17 °
2
tan12 °+tan33 °
(2)因为1-tan12 °tan33 °=tan(12°+33°)=tan 45°=1,
所以 tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°,
所以 tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.
sin(α-β)=cos
=cos
2
-(α-β) =cos
2
-α cos β-sin
2
2
-α +β
-α sin β=sin αcos β-cos αsin β.
所以 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(Sα-β).
名师点析1.两角和的正弦为异名积之和,两角差的正弦为异名积之
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
一、两角和与差的正弦公式
sin(α+β)=cos
=cos
2
2
-(α+β) =cos
-α cos β+sin
2
2
-α -β
-α sin β
=sin αcos β+cos αsin β.
所以 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β(Sα+β).
提示不是,α,β,α±β≠kπ+2 ,k∈Z.
微练习 1
π
1
若 tan α=2,则 tan α+4 =
π
答案 3 tan + 4 =
两角和与差及二倍角三角函数公式
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三 角形的边长和角度关系，可以求出第 三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利 用海伦公式结合两角和与差的三角函 数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值， 可以判断三角形的形状（锐角、直角 或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个 角的二倍角的三角函数表达 式化简为单角的三角函数表 达式，这在解决一些特定问 题时非常有用，如求某些特 殊角的三角函数值或证明某 些恒等式。
公式在三角恒等 式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在 三角恒等式的证明中扮演着 重要角色。通过使用这些公 式，我们可以将复杂的三角 函数表达式化简为更简单的 形式，从而更容易地证明恒 等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式， 将两角和与差的三角函数表达式 转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到 两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式 扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将 二倍角的三角函数表达式转化 为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质
北师大版高中数学必修四§2 两角和与差的三角函数.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§2 两角和与差的三角函数2．1 两角差的余弦函数 课时目标 1．会用向量的数量积推导两角差的余弦公式．2．掌握两角差的余弦公式．两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝_______________________________________________________， 其中α、β为任意角．一、选择题1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°等于( )A ．－12B ．12C ．0D ．1 2．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )A ．cos αB ．cos βC ．cos(2α＋β)D ．sin(2α＋β)3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－324．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A ．π6 B ．π4 C ．3π4 D ．5π65．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )A ．－55B ．55C ．11525D ． 5 6．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12， 则cos(α－β)的值为( )A ．12B ．－32C ．34D ．1二、填空题7．cos 15°的值是________．8．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________． 9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．10．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________．三、解答题11．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．12．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．能力提升13．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos α＋β2的值．14．已知α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值． 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．§2 两角和与差的三角函数2．1 两角差的余弦函数答案知识梳理cos αcos β＋sin αsin β作业设计1．C 2．B3．A [原式＝cos (α－45°)cos (α＋15°)＋sin (α－45°)sin (α＋15°)＝cos [(α－45°)－(α＋15°)]＝cos (－60°)＝12．] 4．C [sin (α－β)＝－255(－π2<α－β<0)． sin 2α＝31010， ∴cos (α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)＝1010×55＋⎝⎛⎭⎫31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4．] 5．B [∵sin (π＋θ)＝－35， ∴sin θ＝35，θ是第二象限角， ∴cos θ＝－45． ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， φ是第三象限角，∴sin φ＝－55． ∴cos (θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55．]6．B [由题意知⎩⎨⎧ sin α＋sin β＝1－32 ①cos α＋cos β＝12②①2＋②2⇒cos (α－β)＝－32．]7．2＋648．83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos (α－β)＝83． 9．－12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ② ①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos (α－β)＝－12． 10．－π4解析 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝255，sin β＝31010， ∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0． ∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22， ∴α－β＝－π4． 11．解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝43， ∴sin α＝437，cos α＝17． ∵α＋β∈(0，π)，cos (α＋β)＝－1114， ∴sin (α＋β)＝5314． ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12．12．解 ∵π2<α－β<π，cos (α－β)＝－45， ∴sin (α－β)＝35． ∵32π<α＋β<2π，sin (α＋β)＝－35， ∴cos (α＋β)＝45． ∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝45×⎝⎛⎭⎫－45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝－1． ∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π，∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2． 13．解 ∵π2<α<π，∴π4<α2<π2． ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0，－π4<－β2<0． ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2． 又cos (α－β2)＝－19<0， sin (α2－β)＝23>0， ∴π2<α－β2<π，0<α2－β<π2． ∴sin (α－β2)＝1－cos 2(α－β2)＝459． cos (α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝53． ∴cos α＋β2＝cos [(α－β2)－(α2－β)] ＝cos (α－β2)cos (α2－β)＋sin (α－β2)sin (α2－β) ＝(－19)×53＋459×23＝7527． 14．解 由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β．平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1．∴－2cos (β－α)＝－1，∴cos (β－α)＝12， ∴β－α＝±π3． ∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝π3．。
高一下学期数学北师大版必修第二册4.2两角和与差的三角函数公式(复习课)课件
3
4
+ + cos
×
5
13
=
63
65
4
+
,
4
3
解析(1)因为 < < ,所以
4
4
2
3
3
所以 < + < , 因此 sin
4
4
3
= −sin
+ +
+
4
4
= − sin
sin
−
4
+ cos
3
+ ]=
4
4
12
× −
3.若α，β为锐角，则sin(α+β)<sinα+sinβ.()
4. tan
2
+
4
可以根据公式Tα+β,直接展开（）.
5. sin + cos = 2 + 2 sin(+ )(a，b不同时为0)中的
φ是唯一的()
6. sin4 + 3cos4 = 2cos 4 −
6
.()
∈
2
判断××√××
√
− ≠ +
题型分类
深度剖析
第1 利用公式解决给角求值问题
第2 利用公式解决给值求值问题
第3 利用公式解决给值求角问题
第3 利用三角函数的叠加研究函数性质
利用公式解决给角求值问题
讲解
利用公式解决给角求值问题的关键是通过公式的合理
两角和与差及二倍角的三角函数PPT41页
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
两角和与差及二倍角的三角函数
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
两角和与差的三角函数二倍角公式ppt课件
答案
17 (1)18
5 (2)7
24 (3)25
规律方法 两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公 式在学习时应注意以下几点： (1)不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；
(2)善于拆角、拼角，如 α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＋β＝(α＋β)＋α 等； α
＝scions（（αα＋＋ββ））ccooss（（αα－－ββ））＋＋csoins（（αα＋＋ββ））ssiinn（（αα－－ββ））＝1t＋an（tanα（＋αβ＋）β＋）ttaann（（αα－－ββ））. 将 tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3 代入，得原式＝1＋2＋2×3 3＝57.
(3)由 sinα＋π6 ＝35，可得 cosα＋π6 ＝±45， 当 cosα＋π6 ＝－45时，cos α＝cosα＋π6 －π6 ＝3－140 3<0，与 α 是锐角矛盾， 所以 cosα＋π6 ＝45， 从而 cos2α－π6 ＝cos2α＋π6 －π2 ＝2sinα＋π6 ·cosα＋π6 ＝2×35×45＝2245.
(3)(2017·如东中学调研)已知 α 为锐角，若 sinα＋π6 ＝35，则 cos2α－π6 ＝________.
解析 (1)由 sin α＋cos α＝13两边平方得 1＋sin 2α＝19，解得 sin 2α＝－89，所以 sin2π4 －α＝1－cos2π2 －2α＝1－si2n 2α＝1＋2 89＝1178. (2)csoins 22αβ＝csoins[[（（αα＋＋ββ））＋－（（αα－－ββ））]]
10°·cos
10°＋ 3sin cos 10°
10°·
2sin
80°＝(2sin
高中数学必修4教学案：第三章两角和与差的三角函数 二
第1课时 二倍角的三角函数（1）【学习目标】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明。
【学习重点难点】重点：1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用。
难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。
【学习过程】（一）预习指导：1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式：sin(α+β)= (S βα+)cos(α+β)= (C βα+) tan(α+β)= (T βα+)(α,β, α+β≠κπ+ ,Z ∈κ)(二)基本概念2.二倍角公式的推导在公式（S βα+），（C βα+），（T βα+）中，当α=β时，得到相应的一组公式： sin2α= (S α2)cos2α= (C α2)tan2α= (T α2) 注意：1°在（T α2）中2α≠ +κπ,α≠ +κπ(Z ∈κ) 2°在因为sin 2α+cos 2α=1，所以公式（C α2）可以变形为cos2α=或cos2α= (C ′α2)公式（S α2），（C α2），（C ′α2），（T α2）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式。
（二）典型例题选讲：一、倍角公式的简单运用 2π2π2π例1不查表，求下列各式的值 (1)( ) (2) (3) (4)1+2θθ2cos cos 2-例2求tan θ=3，求sin2θ-cos2θ的值例3已知sin (0＜θ＜ ),求cos2θ,cos( +θ)的值。
二、sin α,cos α,sin α±cos α,sin α²cos α之间的关系例4已知sin θ+cos θ= , θ ,求cos θ,cos ²cos θ,sin2θ,cos2θ,sin θ, cos θ的值。
125cos 125sin ππ+)125cos 125(sin ππ-2sin 2cos 44αα-ααtan 11tan 11+--135)4(=-θπ4π4π51 ⎝⎛⎪⎭⎫∈43,2ππ三、倍角公式的进一步运用例5求证：例6求 的值。
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方法提炼
1.准确选用两角和与差及二倍角公式的关 键是观察、分析角之间的和、差与二倍关系，
同时应注意角之间的差别是 的整数倍时仍可 2
运用和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式
变形，最后运用诱导公式实现目标解决.
2.角的变换常见途径有:α=（α+β）-β, 2α=
（α+β）+（α-β），α=2·
用”“逆用”“变形用”.
(2)2sin2α+tanα=
sin cos
-
cos sin
1 -1 tan
-（1-2sin2α）
sin 2 cos 2 = -cos2α sin cos 2 cos 2 =-cos2α 点评 欲求角，常变形或构造求出某一角的 sin 2 三角函数值，再根据范围得角；条件等式下 5 2 cos 的求值，常将条件、结论均化简，寻找切合 5 6 cos = 5 6 点，从而代值得值. sin 6 = 5 3. 2
1.cos15°+sin75°=
6 2 2
.
原式=cos(45°-30°)+sin(45°+30°)
=
=
6 2 4 6 2 . 2
+
6 2 4
a1 a2 2.定义运算： a3 a4
=a1a4-a2a3, 1 .
则
sin15 cos15 sin105 cos75
=
原式=sin15°cos75°+sin105°cos15° =sin15°cos75°+sin75°cos15° =sin(15°+75°)=1.
分析 先求出tanα、tanβ，再由二倍角公式
得tan2α,由两角和公式得tan(2α+β).
3 因为α为第二象限角，sinα= ，
则cosα=- 4，所以tanα=5
2 tan 24 所以tan2α= =. 2 1 tan 7 12 又β为第一象限角，cosβ= ， 13 12 12 则sinβ= 13,所以tanβ= .5 tan 2 tan 所以tan(2α+β)= 1 tan 2 .tan 24 12 1 7 5 = - 36 . = 24 12 323 1
分析（1）因为( 4 +2α)+( 4-2α)= ，整体 2 代换、异角化同角,根据整体范围求角；
（2）切化弦，用公式2sin2α-1=-cos2α，迅速向 已知靠拢.
（1）由cos（ +2α）cos（ -2α） 4 4 =sin（ -2α）cos（ -2α） 4 4 1 = sin（ -4α） 2 2 1 1 = cos4α= ， 4 2 1 可得cos4α= .又α∈( ， ),则4α∈(π,2π).因此 2 4 2 5 4α= ，所以α= . 5 12 3
tan tan . 1 tan tan
.
.
2.二倍角公式 2sinαcosα cos2α-sin2α cos2α=⑤ 2sin2α. tan2α=⑦
sin2α=④ .
2 tan 1 tan 2
=⑥
ห้องสมุดไป่ตู้
2cos2α-1 =1.
3.辅助角公式
asinα±bcosα=⑧ b 其中tanφ= . a acosα±bsinα=⑨ b 其中tanφ= . a 4.降幂公式
等.对公式会“正 2
3.常见变换公式有：cos2α= sin2α=
1 cos 2 ，tanα±tanβ= 2
1 cos 2 ， 2
tan(α±β)(1tanα· tanβ)等. 4.三角函数求值的常见题型有两类：给角
求值和给式求值.
课后再做好复习巩固.
谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋
分析50°，10°，80°都不是特殊角，
但它们的和60°,90°都是特殊角，因此 展开巧配和角公式得值，其中 3=tan60° 也可产生特殊角.
（方法一）切化弦，巧用 3 . sin 60 sin10 原式=[2sin50°+sin10°(1+ )]· cos 60 cos10 2 2sin 80 cos 50 =[2sin50°+sin10°× 1 cos10 ]· 2 |sin80°|
3 3.已知α∈( ,π),sinα= ,则tan(α+ )等于 5 2 4 （ A ） 1 1 A. B.7 C.D.-7 7 7 3 因为α∈( ,π),sinα= , 5 2 4 sin 3 所以cosα=- ,tanα= =. 5 cos 4 1 tan 所以tan(α+ )= 4 1 tan 3
所以原式= = =
cos 40 1 2 cos 2 20 2 cos 2 20 2 cos 2 20
= 2 .
题型三 变形求角或求值
例3 已知α∈( ， )， 4 2 -2α）= 1 cos（ +2α）· cos（ . 4 4 4 (1)求α的值； 1 2α+tanα(2)求2sin -1的值. tan
3 sin 2 10 )· cos10° cos10
= 6.
点评 化简求值，当题中没有特殊角时，
常通过恒等变形生成特殊角，或在题中 通过约分消去非特殊角，或将非特殊角 用规律角表示，隐去非特殊角，从而得 值，即“生成——约去——抵消”三步 曲.
变式 求
cos 40 sin 50 (1 3 tan10 ) sin 70 1 cos 40
的值.
=
sin 60 sin10 因为1+ 3 tan10°=1+ cos 60 cos10 cos 60 cos10 sin 60 sin10 2 cos 50 = . cos 60 cos10 cos10
2sin 50 cos 50 cos 40 cos10 cos 20 2 cos 20
7 5
3 . 4
5
点评（1）给值求值，需探明路径，沟通
“目标角”与“已知角”，再逐步求值逼 近；如2α+β可看成α的2倍与β的和，也可以 看成是（α+β)+α等，求解过程不一，但结 果肯定相同. （2）给值求值，如需用平方关系，切 记考察角的范围或分类讨论所在象限.
题型二 化简求值
例2
求[2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°)]· 2sin2 80 的值.
2
2 |sin80°|
=…（同上） =
6.
（方法三）巧拆角、细约分. 原式=[2sin(60°-10°)+sin10°× (1+ 3 sin10 )]· 2 cos10°
cos10
= 2 ( 3 cos10°-sin10°+sin10°+ = 2 ( 3 cos210°+ 3 sin210°)
wxckt@
新疆奎屯
·2007·
王新敞
奎屯
新疆
2sin 50 cos10 2sin10 cos 50 · = cos10
2
2 cos10°
=2sin60°× 2 = 6.
（方法二）切化弦，用辅助角公式.
cos10 3 sin10 原式=[2sin50°+sin10°× ]· cos10
1 3 2sin 80 2( cos10 sin10 ) 2 =[2sin50°+sin10°× 2 · cos10
5 3 A.6 C.- 2 4
5 3 B. 6 D. 2 4
原式=cos215°-sin215°+tan30° =cos30°+tan30°=
3 3 + = 5 3 . 2 3 6
1.两角和与差的三角函数公式 sinαcosβ±cosαsinβ sin（α±β）=① cos（α±β）=②
tan（α±β）=③ cosαcosβsinαsinβ
cos2α=⑩ sin2α=
11
a b sin(α±φ) ,
2 2
φ) a b cos(α ，
2 2
1 cos 2 2 1 cos 2 2
. .
典例精讲
题型一 给值求值 例1已知α为第二象限角，sinα=
第一象限角，cosβ=
3 ，β为 5
值.
5 ，求tan(2α+β)的 13
=
4 3 1 4
1
.故选A.
1 4.已知cos2α= 2，其中α∈(-
sinα的值为( B)
1 A. 2 1 B.- 2
,0)，则 4
3 3 C. 2 D.- 2
1 ,解得sinα=± 2 1 1 . 2
又α∈(- ,0)，所以sinα=4
cos2α=1-2sin2α=
.
2
2 tan15 5.cos215°-cos275°+ 2 =（ B ） 1 tan 15
第2讲
两角和与差及二倍角的三角函数
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦 公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的 正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的 正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4.熟练应用公式进行化简、求值、证明.