2018年天津市南开中学高三模拟考试数学(理)(扫描版)
天津市南开中学2018届高三上第一次月考数学(理)试卷(含答案)
天津市南开中学2018届高三第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知全集}5,4,3,2,1,0{=U ，集合}5,3,2,1{=A ，}4,2{=B 则B A C U ⋃)(为（ ）.A.}4,2,1{B.}4{C.}4,2,0{D.}4,32,0{， 2. 设R x ∈，则”“12<-x 是”“022>-+x x 的（ ）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3. 设π2log =a ，π21log =b ，2-=πc ，则（ ）.A.c a b >>B.c b a >>C.b c a >>D.a b c >> 4. 在下列区间中34)(-+=x e x f x的零点所在区间为（ ）.A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,41 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛410， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， D.⎪⎭⎫⎝⎛4321， 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=,则)(x f 是（ ）.A.奇函数，且在()10，上是增函数 B.奇函数，且在()10，上是减函数 C.偶函数，且在()10，上是增函数 D.偶函数，且在()10，上是减函数 6. 已知函数xx x f 2ln )(+=，若2)4(2<-x f ,则实数x 的取值范围是（ ）.A.)2,2(-B.)5,2(C.)2,5(--D.)2,5(--)52(，⋃ 7. 若)53(log 231+-=ax x y 在[)+∞-,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）.A.)6,(--∞B.)0,6(-C.]6,8(--D.[]6,8--8.已知)(x f 为偶函数，当0≥x 时，)0)(12()(>--=m x m x f ，若函数))((x f f 恰有4个零点，则m 的取值范围是（ ）.A.)3,1(B.)1,0(C.],1(+∞D.[]∞+，3二、填空题（每小题5分，共30分）9.13. 函数3()12f x x x =-在区间[]3,3-)1,3-上不是单调函数，则实数a 的取值范围三、解答题（共80分）（1）确定角C 的大小；（216. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为X ,求随机变量X 的分布列与数学期望.17. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”求事件A 发生的概率. （2）设X 为事件“选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件X 发生的概率.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 底面ABC ,（1）证明C A AB 1⊥;（2）求异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值; （3）求二面角B C A A --1的平面角的余弦值.19. 已知3=x 是函数x x x a x f 10)1ln()(2-++=的一个极值点. （1）求a ；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若直线b y =与函数)(x f y =的图象有3个交点，求b的取值范围.20. （1）当2,3==b a 时，求函数)(x f 的单调区间； （2恒成立，求实数a 的取值范围；AC1C 1A 1B B（3),(11y x A ,),(22y x B ,求证：.2221e x x >参考答案1-4 CACC 5-8 ADCB 9.15.解：（12sin c A =2sin sin A C A =，于是sin C =，由于是锐角三角形，故3C p=（2）()22222cos 3c a b ab C a bab =+-=+-，()262sin 737373725sin sin s ab C a b ab C C +=+=+=+==V ，故5a b +=。
天津南开中学2018届高三第四次月考数学(理工类)试卷(解析版)
天津南开中学2018届高三第四次月考数学（理工类）试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.集合，1，，则A. B. 1，C. D.【答案】C【解析】解：集合，1，，则，所以．故选：C．根据补集和交集的定义，写出运算结果即可．本题考查了交集和补集的定义与运算问题，是基础题．2.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C【解析】解：第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第n次循环：，令解得输出的结果是故选：C．通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．3.已知p，q是简单命题，那么“是真命题”是“￢是真命题”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：p，q是简单命题，那么“是真命题”说明都是真命题，推不出￢是真命题，反之￢是真命题则p是假命题，则是假命题，所以“是真命题”是“￢是真命题”既不充分也不必要条件．故选：D．利用复合命题的真假以及充要条件的判断方法，判断即可．本题考查充要条件的判断，复合命题的真假的判断，是基本知识的考查．4.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为A. 3B.C.D.【答案】C【解析】解：，，即，，，解得，则三角形的面积，故选：C．根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出是解决本题的关键．5.设变量x，y满足不等式，则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由变量x，y满足不等式作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与坐标原点距离的平方，则其最小值为．故选：B．由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与坐标原点距离的平方，结合点到直线的距离公式求解．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．6.设实数a，b，c分别满足，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，则，．．故选：C．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：上有的一点，，点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB 的面积为1，则双曲线的标准方程是。
南开中学高三数学模拟试卷(理科)(参考答案).doc
南开中学高三数学模拟试卷(理科)参考答案一、选择题:二、填空题:三、解答题：15.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道 题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是2,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分，答错一•题(不答视为答错)得0分.(I) 求乙的得分X 的分布列和数学期望E(X )；(II) 规定：每个人至少得2()分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过 测试的概率.16.【解】设乙的得分为X, X 的可能值有0,10, 20,30 (1)分 ~\ cJ 1~ \ C/C? 9 玖X = 0)= —= —P{X = 10)= '・•=— C/20 C;20VvP(X = 20) == — Pjx = 30)=空=丄 ......................... 5 分 20 C/ 20VV乙得分的分布列为：1 99 £Y = 0x — +10x — +20x —20 20 20+ 30 x A = 1520所以乙得分的数学期望为15 ............................................ 8分⑵乙通过测试的概率为刃...................................... 9分甲通过测试的概率为刁+訂(尹；=善1A分1 212。
甲、乙都没通过测试的概率为(1 - 1) . (1 -—)=—2 125 125因此甲、乙两人中至少4人通过测试的概率为】-总=豈………“16.已知函数/(x) = 2A /3sin x cos x-2cos 2x + 1. (I )求函数/(兀)的最小正周期及单调递增区间；A(II)在\ABC 中，d,b,c 分别为角A 9B,C 所对的边，若/(y) = 2, fe = l, c = 2,求 a 的值. 16.解：(I ) fix)=羽 sin lx 一 cos 2x............. 2 分rr TT rr由 2k;r - - < 2x - - < 2心T + 二得,2 6 271x < kz + —(keZ h ........... 了分3rr故f(x)的单调超増区间为；后-二k7l6&分A jr jr(II) /(-) = 2,则2sin(A 一一) = 2 => sin(A 一一) = 1 ....................... 9 分 2 6 6 71 7T 2/r/. A-- = -+ 2kg A = — + 2kgk G Z ............. 10^ 6 2 3 乂0 v A <%,・•• A =互 ................. 11 分3a 2 =b 2 +c 2 -2hc cos A = 7 ..................... 12 分a =.................. 13 分17.如图，在三棱柱ABC-A.B, G 中，AA.C.C 是边t 为4的正方形，.平丄平面 AA|C]C, AB — 3 , BC = 5 .(I) 求证：AA 丄平面ABC ； (II) 求二面角A - BG- 的余弦值；(III) 证明:在线段BC X 存在点D ，使得AD 丄A.B , 并求竺的值. BC.解：(I )因为AAiCjC 为正方形，所以AA|丄AC.因为平面ABC 丄平面AA.CjC,且AAj 垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 】丄平面ABC. (II)由(I)知 AAI 丄AC, AAi 丄AB.由题知 AB=3, BC=5, AC=4,所以 AB 丄AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A —兀yz,则 B(0, 3, 0),A|(0, 0, 4),B ((0, 3, 4),C )(4, 0, 4), 设平面A 】BC]的法向量为n = (x,y,z),则＜ 皿3 = 0 n • A l C [ = 0 3y-4z = 0 4x = 0令 z = 3,则兀=0, y = 4,所以n - (0,4,3). 同理可得,平而BB,C 1的法向量为皿=(3,4,0).,所以cos(/z,m} = n m=—.由题知二面角Aj —BCj —Bj 为锐角,' '\n\\m\ 25 ...................................................所以二而角A| —BC| —B|的余弦值为一.25(III)设 D(x,y,z)是直线 BC1 ± 一点，且=所以 g-3,z) = 2(4,-3,4) •解得x = 42 f y = 3 — 3A f z = 4A.所以 而= (42,3 - 3入 4/1).由X5•丽=0,即9一252 = 0.解得2 = 2.125 9因为—6[0,1],所以在线段BC 】上存在点D,25使得AD 丄A|B.此时，丝=1BC, 252 218-如图’已知椭圆吟+斧1心＞。
天津市南开中学2017-2018学年高三下学期第四次月考数学试卷(理科) Word版含解析
天津市南开中学2017-2018学年高三下学期第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A．1+25ln5 B．8+25ln C．4+25ln5 D．4+50ln22．若（a∈R）的展开式中x9的系数是﹣，则的值为（）A．1﹣cos2 B．2﹣cos1 C．c os2﹣1 D．1+cos23．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=﹣，且满足S n+（n≥2），则S2015等于（）A．B．C．D．4．若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（+β）的值为（）A．0B．C．D．5．关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）6．如图，在△ABC中，=2，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q，若=m，=n，则mn+m的最小值为（）A．6B．2C．6D．27．函数，则下列说法中正确的个数是（）①函数y=f（x）﹣ln（x+1）有3个零点；②若x＞0时，函数f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是[，+∞）；③函数f（x）的极大值中一定存在最小值；④f（x）=2k f（x+2k），（k∈N），对于一切x∈[0，+∞）恒成立．A．1B．2C．3D．48．已知不等式a+2b+27＞（m2﹣m）（+2）对任意正数a，b都成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣1，2）D．（﹣1，4）二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．已知复数z=2+i（i是虚数单位），则的虚部为．10．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=8cosθ与直线l：（t为参数）相交于P，Q两点，则|PQ|=．11．如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且∠EDF=∠C，若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2．则PA=．12．已知实数x，y满足时，z=+（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为．13．已知定义域是R的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，若时，f（1+xlog27•log7a）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=，若函数y=f[f（x）]﹣有且只有3个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．设f（x）=sinx+sin（x+）﹣cos（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．且f（A）=，a=2，b=，求角C及边c．16．在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观．在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A区，3个场馆分布在B区，3个场馆分布在C区．已知A区的每个场馆的排队时间为2小时，B区和C区的每个场馆的排队时间为1小时．参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．（Ⅰ）求小红每个区都参观1个场馆的概率；（Ⅱ）设小红排队时间总和为X（小时），求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．17．如图：已知矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，直角梯形ABB1N中AN∥BB1，AB⊥AN，CB=BA=AN=2，BB1=4．（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）求二面角C﹣C1N﹣B1的正弦值；（Ⅲ）在BC边上找一点P，使B1P与CN所成角的余弦值为，并求线段B1P的长．18．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=10，a2=15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．19．已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B．经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C、D两点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，且|S1﹣S2|=2，求直线l的方程；（Ⅲ）若M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上的两动点，且满足x1x2+2y1y2=0，动点P满足=+2（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程．20．设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．天津市南开中学2015届高三下学期第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A．1+25ln5 B．8+25ln C．4+25ln5 D．4+50ln2考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S=，解出即可．解答：解：令v（t）=7﹣3t+，化为3t2﹣4t﹣32=0，又t＞0，解得t=4．∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5．故选C．点评：熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键．2．若（a∈R）的展开式中x9的系数是﹣，则的值为（）A．1﹣cos2 B．2﹣cos1 C．c os2﹣1 D．1+cos2考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于09，求得r的值，即可求得展开式中的x9的系数，再根据x9的系数为﹣，求得a的值，从而求得的值．解答：解：（a∈R）的展开式的通项公式为T r+1=••x18﹣3r，令18﹣3r=9，求得r=3，可得展开式中x9的系数是﹣•a﹣3=﹣，求得a=2，可得=sinxdx=﹣cosx=﹣（cos2﹣cos0）=1﹣cos2，故选：A．点评：本题主要考查定积分，二项式展开式的通项公式，属于基础题．3．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=﹣，且满足S n+（n≥2），则S2015等于（）A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过将a n=S n﹣S n﹣1代入S n+（n≥2），整理即得S n=﹣，写出n=1、2、3时对应的值，猜测通项公式并用数学归纳法证明，进而可得结论．解答：解：∵S n+=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n﹣1++2=0，∴S n=﹣，∵S1=a1=﹣，∴S2=﹣=﹣=﹣，S3=﹣=﹣=﹣，…猜测：S n=﹣．下面用数学归纳法来证明：（1）当n=1时显然成立；（2）假设当n=k≥2时，有S k=﹣，∴S k+1=﹣=﹣=﹣=﹣；综上所述：S n=﹣．∴S2015=﹣=﹣，故选：D．点评：本题考查求数列的前n项和，考查数学归纳法等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．4．若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（+β）的值为（）A．0B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：综合题；三角函数的求值．分析：由题意可得﹣2β和α﹣是方程x3+sinx﹣2λ=0 的两个实数解．再由﹣α和2β的范围都是[﹣，]，方程x3+sinx﹣2λ=0在[﹣，]上只有一个解，可得﹣α=2β，所以+β=，由此求得cos（+β）的值．解答：解：∵4β3+sinβcosβ+λ=0，∴（﹣2β）3﹣2sinβcosβ﹣2λ=0，即（﹣2β）3+sin（﹣2β）﹣2λ=0．再由（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，可得（α﹣）3 +sin（α﹣）﹣2λ=0．故﹣2β和α﹣是方程x3+sinx﹣2λ=0 的两个实数解．再由α∈[0，π]，β∈[﹣，]，所以﹣α和2β的范围都是[﹣，]，由于函数x3+sinx 在[﹣，]上单调递增，故方程x3+sinx﹣2λ=0在[﹣，]上只有一个解，所以，﹣α=2β，所以+β=，所以cos（+β）=．故选：D．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，式子的变形是解题的关键，属于中档题．5．关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）考点：抛物线的简单性质；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：综合题；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意可知方程有一个根是1，进而可设x3+ax2+bx+c=0=（x﹣1）（x2+mx+n）根据多项式恒等的充要条件，的方程组，联立后可求得m和n，进而可构造函数f（x）=x2+mx+n，则可知f（x）=0的两个根x1，x2分别作为椭圆和双曲线的离心率，根据判别式大于0，令a为横轴，b为纵轴，建立平面直角坐标系，作出这三个不等式所对应的平面区域S，设P（a，b）是平面区域S内的任意一点，A（﹣1，1），则可知的几何意义是直线的斜率，进而可求得范围．解答：解：依题意，关于x的方程x3+ax2+bx+c=0有一个根是1所以可设x3+ax2+bx+c=0=（x﹣1）（x2+mx+n）根据多项式恒等的充要条件，得m﹣1=a①n﹣m=b②n+c=0③取①②两式联立得m=a+1，n=a+b+1构造函数f（x）=x2+mx+n 即f（x）=x2+（a+1）x+（a+b+1）依题意f（x）=0的两个根x1，x2分别作为椭圆和双曲线的离心率故0＜x1＜1＜x2根据一元二次方程根的分布，可得关于实系数a，b的约束条件：判别式=（a+1）2﹣4（a+b+1）=（a﹣1）2﹣4b﹣4＞0f（0）=a+b+1＞0，f（1）=2a+b+3＜0令a为横轴，b为纵轴，建立平面直角坐标系，作出这三个不等式所对应的平面区域S，设P（a，b）是平面区域S内的任意一点，A（﹣1，1），k=，则k的几何意义是直线PA的斜率．作图，得﹣2＜k＜0故选：A．点评：本题主要考查了圆锥曲线的综合知识．涉及到了方程的根的分布，多项式恒等等知识，属中档题．6．如图，在△ABC中，=2，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q，若=m，=n，则mn+m的最小值为（）A．6B．2C．6D．2考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：首先根据的向量的几何意义，利用P，M，Q三点共线，得出m，n的关系，利用基本不等式求最小值．解答：解：由已知，可得===，因为P，M，Q三点共线，所以=1，所以mn+m===（）（）=≥=2，故选：D．点评：本题考查平面向量的几何运算，最值求解，得出=1是关键．7．函数，则下列说法中正确的个数是（）①函数y=f（x）﹣ln（x+1）有3个零点；②若x＞0时，函数f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是[，+∞）；③函数f（x）的极大值中一定存在最小值；④f（x）=2k f（x+2k），（k∈N），对于一切x∈[0，+∞）恒成立．A．1B．2C．3D．4考点：的真假判断与应用；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合．分析：①分别画出y=f（x）和y=ln（x+1）的图象，找其交点个数；②画出y=的图象，通过k的变化，观察双曲线的变化，找出在y=f（x）图象上方的k值；③通过f（x）的图象得到；④不完全归纳得到f（x）的解析式．解答：解：①先画出y=1﹣|x﹣2|（0≤x≤2）的图象C，由f（x）=f（x﹣2）（x＞2）得：将C的图象向右平移2k（k∈N*）个单位，再将纵坐标缩小为（k∈N*）倍，再画出y=ln （x+1）的图象，发现有2个交点，故①错；②画出y=（x＞0）的图象，观察k的变化，当图象过点（3，）时，图象恒在y=f（x）的图象上，此时k=，所以实数k的取值范围是[，+∞），故②正确；③由y=f（x）的图象可知，f（x）的极大值中不存在最小值0，故③错；④当k=0，0＜X＜2时，f（x）=20f（x）=1﹣|X﹣1|；当2＜x＜4时，f（x）=f（x﹣2）；当4＜x＜6时，f（x）=f（x﹣4），…，当2k＜x＜2k+2时，f（x）=f（x﹣2k），即有f（x﹣2k）=2k f（x），从而有f（x）=2k f（x+2k）），（k∈N），对于一切x∈[0，+∞）恒成立，故④正确．故选：B．点评：本题主要考查分段函数的图象和性质，以及函数的零点、恒成立问题，函数解析式求法，意在考查运用数形结合数学思想方法解决问题的能力，是一道中档题．8．已知不等式a+2b+27＞（m2﹣m）（+2）对任意正数a，b都成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣1，2）D．（﹣1，4）考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：将原不等式化为m2﹣m＜，利用基本不等式得a+2b+27=（a+9）+2（b+9）≥6（+2），求出的最小值，再求出m的范围．解答：解：原不等式化为：m2﹣m＜对任意正数a，b都成立，因为a+2b+27=（a+9）+2（b+9）≥2+2×2=6（+2），当且仅当a=b=9时取等号，所以≥6，即当a=b=9时的最小值是6，所以m2﹣m＜6，则m2﹣m﹣6＜0，解得﹣2＜m＜3，则实数m的取值范围是（﹣2，3），故选：B．点评：本题考查不等式的性质，基本不等式的灵活应用求最值，以及恒成立问题，属中档题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．已知复数z=2+i（i是虚数单位），则的虚部为1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算进行化简求解即可．解答：解：∵z=2+i，∴===1+i，故复数的实部为1，故答案为：1点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．10．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=8cosθ与直线l：（t为参数）相交于P，Q两点，则|PQ|=．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C：ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为直角坐标方程，把直线l参数方程代入上述方程可得：3t2﹣16t﹣64=0，利用|PQ|=|t1﹣t2|即可得出．解答：解：曲线C：ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为y2=8x．把直线l：（t为参数）代入上述方程可得：3t2﹣16t﹣64=0，解得t1=﹣，t2=8．∴|PQ|=|t1﹣t2|==．故答案为：．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且∠EDF=∠C，若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2．则PA=．考点：弦切角．专题：立体几何．分析：利用△DEF∽△CED与已知可得EC的长，进而得到BE，利用相交弦定理可得AE•ED=EB•CE，得到AE．再利用AP∥CD，可得△AEP∽△FED，得到PE，进而得到PB，再利用切割线定理可得PA2=PB•PC即可得出．解答：解：在△DEF和△CED中，∵∠EDF=∠C，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴，∵DE=3，EF=2，∴EC==．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由相交弦定理可得AE•ED=EB•CE，∴AE==．∵AP∥CD，∴∠P=∠C，∴∠P=∠EDF．∴△AEP∽△FED，∴，∴==．∴PB=PE﹣EB=．∵PA与⊙O相切，∴PA2=PB•PC==．∴PA=．故答案为：．点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、相交弦定理、切割线定理、平行线的性质等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．已知实数x，y满足时，z=+（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为10．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z=+（a≥b＞0）的最大值为1，得到a，b的关系，利用基本不等式即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=+（a≥b＞0）得y=，∵a≥b＞0，∴直线斜率k=∈[﹣1，0），平移直线y=，当直线y=经过点A时，y=的截距最大，此时z 最大为1，由，解得，即A（1，4），此时，∴a+b=（a+b）（）=5+，当且仅当即b=2a时取等号，但此时不满足a≥b，∴基本不等式不成立，设t=，∵a≥b＞0，∴0＜t≤1，则g（t）=5+t+在（0，1]上是单调递减的，∴当t=1时，g（t）=5+t+取得最小值g（1）=5+1+4=10∴a+b的最小值为10，故答案为：10．点评：本题主要考查线性规划和基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．当基本不等式不成立时，要使用函数f（x）=x+的单调性来解决．13．已知定义域是R的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，若时，f（1+xlog27•log7a）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是[，1]．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，x∈[，1]时，不等式f（1+xlog2a）≤f（x﹣2）恒成立，可得x∈[，1]时，|1+xlog2a|≤2﹣x，化为≤log2a≤，x∈[，1]．再利用函数的单调性即可得出．解答：解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，x∈[，1]时，不等式f（1+xlog2a）≤f（x﹣2）恒成立，∴x∈[，1]时，|1+xlog2a|≤2﹣x，∴x﹣2≤1+xlog2a≤2﹣x，x∈[，1]．∴≤log2a≤，x∈[，1]．由=1﹣在x∈[，1]的最大值为﹣2，=﹣1在x∈[，1]的最小值为0．∴﹣2≤log2a≤0，解得≤a≤1．故答案为：[，1]．点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性，属于中档题．14．已知函数f（x）=，若函数y=f[f（x）]﹣有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（﹣，﹣]．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数y=f[f（x）]﹣有且只有3个零点可化为方程函数f[f（x）]﹣=0有且只有3个根，从而解得．解答：解：①若k≥0，则当f（x）≥0时，f[f（x）]=kf（x）+2≥2，故=，则f（x）=﹣log2＜0；而当x＜0时，f（x）=＞0，当x≥0时，f（x）=kx+2≥2，故不存在x，使f（x）=﹣log2；即函数y=f[f（x）]﹣没有零点；②若k＜0，则方程kx+2=﹣log2有一个根；若f（x）≥0，则kf（x）+2=，故f（x）=﹣；故kx+2=﹣或=﹣；故x=﹣﹣或﹣＞1；故x=﹣﹣≥0或﹣＞1；解得，﹣＜k≤﹣；故答案为：（﹣，﹣]．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．设f（x）=sinx+sin（x+）﹣cos（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．且f（A）=，a=2，b=，求角C及边c．考点：余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用诱导公式、和差化积公式、积化和差公式进行计算得到f（x）=sin （x+），据此求得其最小正周期和单调区间；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论得到，易得A=．由正弦定理得到：sinB==．结合角B的取值范围和特殊角的三角函数值推知角B的大小，利用三角形内角和定理可以求得角C的大小，所以由余弦定理来求c的值即可．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x+）﹣cos（x+），=sinx+sinx+cosx﹣（﹣）cosx+（﹣）sinx，=sinx+cosx，=sin（x+），∴f（x）的最小正周期T=2π．由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），故f（x）的单调递减区间是[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵在锐角△ABC中，f（A）=，∴，即sin（A+）=1．由0≤A≤，得A=．∵a=2，b=，∴由正弦定理=，得sinB==．由0≤B≤，得B=．故C=π﹣A﹣B=π﹣﹣=．由余弦定理，c2=a2+b2﹣2abcosC=4+6﹣2×2×cos=10﹣4×=4+2，故c=+1．点评：本题考查了正弦定理、余弦定理，三角函数的周期性和单调性，函数y=Asin（ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2π÷ω．16．在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观．在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A区，3个场馆分布在B区，3个场馆分布在C区．已知A区的每个场馆的排队时间为2小时，B区和C区的每个场馆的排队时间为1小时．参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．（Ⅰ）求小红每个区都参观1个场馆的概率；（Ⅱ）设小红排队时间总和为X（小时），求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出从10个场馆中选三个的基本事件的总数，小红每个区都参观一个场馆的事件包含的基本事件数，然后求解故小红每个区都参观1个场馆的概率．（Ⅱ）X的取值可能是3，4，5，6，分别对应没有事件参观A区场馆，参观一个A区场馆，参观两个A区场馆，参观三个A区场馆，分别求出概率得到分布列，然后求解期望即可．解答：解：（Ⅰ）从10个场馆中选三个，基本事件的总数为个，小红每个区都参观一个场馆的事件包含的基本事件数为，故小红每个区都参观1个场馆的概率为．（Ⅱ）X的取值可能是3，4，5，6，分别对应没有事件参观A区场馆，参观一个A区场馆，参观两个A区场馆，参观三个A区场馆，=，=，=，=．所以X的分布列为：X 3 4 5 6PE（X）=+=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查计算能力．17．如图：已知矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，直角梯形ABB1N中AN∥BB1，AB⊥AN，CB=BA=AN=2，BB1=4．（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）求二面角C﹣C1N﹣B1的正弦值；（Ⅲ）在BC边上找一点P，使B1P与CN所成角的余弦值为，并求线段B1P的长．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明AB⊥BB1，建立空间直角坐标系，证明B1N⊥BN，BN⊥B1C1，然后证明BN⊥平面C1B1N．（Ⅱ）求出平面法C1B1N向量，设二面角二面角C﹣C1N﹣B1的平面角为θ，求出平面C1CN的法利用向量的数量积求解即可．（Ⅲ）设P（0，0，a）为BC上一点，推出，通过=，求解P，然后求解线段B1P的长度．解答：（Ⅰ）证明：∵矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，则CB⊥底面ABB1N，∵AN∥BB1，AB⊥AN，则AB⊥BB1，建立如图所示的空间直角坐标系，则知N（2，2，0），C1（0，4，2），B1（0，4，0），C（0，0，2），∵，则B1N⊥BN，BN⊥B1C1，且B1N∩B1C1=B1，则BN⊥平面C1B1N．（Ⅱ）解：设平面法C1B1N向量为∵=（2，2，0），∴设=，则求得=（1，1，0）．设二面角二面角C﹣C1N﹣B1的平面角为θ，设平面C1CN的法向量为：=（x，y，z），则，，由．得=（1，0，1）cosθ==，∴．（Ⅲ）解：设P（0，0，a）为BC上一点，则，=（2，2，﹣2），则有=，则a2﹣17a+16=0，解得a=1．∴P（0，0，1），，∴=则线段B1P的长度为．点评：本题考查空间向量的应用，二面角的平面角的求法，空间距离公式的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力以及逻辑推理能力．18．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=10，a2=15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．专题：综合题．分析：（Ⅰ）通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到，利用等差数列的定义得证（Ⅱ）利用等差数列的通项公式求出，求出b n，a n．（Ⅲ）先通过裂项求和的方法求出S n，代入化简得到关于n的二次不等式恒成立，构造新函数，通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值，令最大值小于0，求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知，得2b n=a n+a n+1①，a n+12=b n•b n+1②．由②得③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有．即．∴是等差数列．（Ⅱ）设数列的公差为d，由a1=10，a2=15．经计算，得．∴．∴．∴，．（Ⅲ）由（1）得．∴．不等式化为．即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0．设f（n）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，则f（n）＜0对任意正整数n恒成立．当a﹣1＞0，即a＞1时，不满足条件；当a﹣1=0，即a=1时，满足条件；当a﹣1＜0，即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）关于n递减，因此，只需f（1）=4a﹣15＜0．解得，∴a＜1．综上，a≤1．点评：证明数列是等差数列或等比数列可用的依据是定义或中项；解决不等式恒成立常通过分离参数，构造新函数，转化为求新函数的最值．19．已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B．经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C、D两点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，且|S1﹣S2|=2，求直线l的方程；（Ⅲ）若M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上的两动点，且满足x1x2+2y1y2=0，动点P满足=+2（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过抛物线的焦点，求出椭圆中的c，椭圆的长轴为4得a，然后求解椭圆的标准方程．（Ⅱ）方法一：设直线l：，代入椭圆方程，设C（x1，y1）、D（x2，y2），通过面积关系求出m，然后求解直线方程．方法二：当直线l斜率不存在时，推出△ABD，△ABC面积相等，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为，设C（x1，y1），D（x2，y2）和椭圆方程联立，通过|S1﹣S2|=|2||y2|﹣|y1|求出，得到直线方程．（Ⅲ）设P（x P，y P），M（x1，y1），N（x2，y2），利用=+2，结合x1x2+2y1y2=0…②，M，N是椭圆上的点，推出，可得点P的轨迹方程．解答：解：（Ⅰ）由题设可知：因为抛物线y2=4x的焦点为（，0），椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点，可得c=，且椭圆的长轴长为4，所以椭圆中的a=2，∴b=．故椭圆的标准方程为：．（Ⅱ）方法一：设直线l：，，代入椭圆方程得，设C（x1，y1）D（x2，y2），A（﹣2，0）B（2，0）于是=所以故直线l的方程为方法二：当直线l斜率不存在时，直线方程为，此时△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为设C（x1，y1），D（x2，y2）和椭圆方程联立得到，消掉y得显然△＞0，方程有根，且此时|S 1﹣S2|=|2||y2|﹣|y1||=2|y2+y1|==因为k≠0，上式，解得，所以直线方程为．（Ⅲ）设P（x P，y P），M（x1，y1），N（x2，y2），由=+2可得：…①，x1x2+2y1y2=0…②，M，N是椭圆上的点，故，，由①②可得：=，故，即点P的轨迹方程是．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．20．设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；压轴题．分析：（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）≥整理成e x≥1+x，组成新函数g（x）=e x﹣x﹣1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g （x）≥g（0）可得证．（2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直接得到f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函数判断单调性并求出最值，求a的范围．解答：解：（1）当x＞﹣1时，f（x）≥当且仅当e x≥1+x令g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（﹣∞，0]是减函数于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即e x≥1+x所以当x＞﹣1时，f（x）≥（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0当a＜0时，若x＞﹣，则＜0，f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，则f（x）≤当且仅当h（x）≤0因为f（x）=1﹣e﹣x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）﹣1=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f （x）（i）当0≤a≤时，由（1）知x≤（x+1）f（x）h'（x）≤af（x）﹣axf（x）+a（x+1）f（x）﹣f（x）=（2a﹣1）f（x）≤0，h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤（ii）当a＞时，由（i）知x≥f（x）h'（x）=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x）≥af（x）﹣axf（x）+af（x）﹣f（x）=（2a﹣1﹣ax）f（x）当0＜x＜时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞综上，a的取值范围是[0，]点评：本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为2015届高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在．。
天津市南开区2018届高三上学期期末数学试卷理科 含解析
2018-2018学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合M={x|1+x≥0}，N={x|＞0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x≥﹣1}2．复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣13．如果命题“￢（p∧q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个为真命题D．p、q至多有一个为真命题4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πcm3B．3πcm3C．πcm3D．πcm35．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．26．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．7．抛物线y=x2与直线x=0、x=1及该抛物线在x=t（0＜t＜1）处的切线所围成的图形面积的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.9．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是．10．阅读下列程序框图，该程序输出的结果是．11．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＜﹣1的解集是．12．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．13．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=．14．已知实数a，b满足：a≥，b∈R，且a+|b|≤1，则+b的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或验算过程．15．（13分）已知函数f（x）=2cosxsin（x+）﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[，π]上的取值范围．16．（13分）在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（1）求角C的大小；（2）若且a+b=5求△ABC的面积．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）当点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心时，求二面角B﹣PD ﹣C的余弦值．18．（13分）在等差数列{a n}中，首项a1=1，数列{b n}满足b n=（）an，b1b2b3=（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1b1+a2b2+…+a n b n＜2．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为．（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1⊥OQ2．20．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜e x．（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞），恒有x2＜ce x．2018-2018学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合M={x|1+x≥0}，N={x|＞0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x≥﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合M和N，由此能求出M∩N的值．【解答】解：∵集合M={x|1+x≥0}={x|x≥﹣1}，N={x|＞0}={x|x＜1}，∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部是1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．如果命题“￢（p∧q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个为真命题D．p、q至多有一个为真命题【考点】复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出．【解答】解：∵命题“￢（p∧q）”为假命题，∴命题“p∧q”为真命题，∴命题p、q均为真命题．故选：A．【点评】本题考查了“或”“且”“非”命题的真假判断方法，属于基础题．4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πcm3B．3πcm3C．πcm3D．πcm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，据此可计算出体积．【解答】解：由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，所以其体积为V=πr2h﹣πr3=3π﹣π=π（cm3）．故选D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．5．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点之间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键．6．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．7．抛物线y=x2与直线x=0、x=1及该抛物线在x=t（0＜t＜1）处的切线所围成的图形面积的最小值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分的几何意义求积分，利用积分函数即可S的最小值．【解答】解：∵y=f（x）=x2，∴f'（x）=2x，即切线l在P处的斜率k=f'（t）=2t，∴切线方程为y﹣t2=2t（x﹣t）=2tx﹣2t2，即y﹣t2=2t（x﹣t）=2tx﹣2t2，y=2tx﹣t2，作出对应的图象，则曲线围成的面积S====，∵0＜t＜1，∴当t=时，面积取的最小值为．故选：A．【点评】本题主要考查积分的应用，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分公式即可得到面积的最小值，考查学生的计算能力．8．已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用已知条件求出f（1﹣x）的表达式，利用函数的图象，求解两个函数图象交点个数即可．【解答】解：函数f（x）=，f（1﹣x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数，就是y=f（1﹣x）与y=1交点个数，如图：可知两个函数的图象由三个交点，函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为3．故选：C．【点评】本题考查函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.9．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是27．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系．【解答】解：由频率分布直方图知，成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38=27（人）∴该班成绩良好的人数为27人．故答案为：27．【点评】解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算．10．阅读下列程序框图，该程序输出的结果是729．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=9×9×9的值．【解答】解：分析框图可得该程序的作用是计算并输出S=9×9×9的值．∵S=9×9×9=729故答案为：729【点评】要判断程序的运行结果，我们要先根据已知判断程序的功能，构造出相应的数学模型，转化为一个数学问题．11．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＜﹣1的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇函数．【分析】设x＜0，则﹣x＞0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x＜0时的解析式，再对x分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，∴f（﹣x）=log2（﹣x），∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x），①当x∈（0，+∞）时，f（x）＜﹣1，即log2x＜﹣1=，解得0＜x＜，②当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜﹣1，即﹣log2（﹣x）＜﹣1，则log2（﹣x）＞1=log22，解得x＜﹣2，综上，不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，）．【点评】本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x就设在该区间内，再利用负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义f（x），再求出不等式的解集．12．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆心C的坐标和圆的半径，根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式列式=1，解得k=，再根据切点在第四象限加以检验，可得答案．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+8=0的圆心为（3，0），半径r=1∴当直线y=kx与圆C相切时，点C（3，0）到直线的距离等于1，即=1，解之得k=∵切点在第四象限，∴当直线的斜率k=时，切点在第一象限，不符合题意直线的斜率k=﹣时，切点在第四象限．因此，k=﹣故答案为：﹣【点评】本题给出直线与圆相切，在切点在第四象限的情况下求直线的斜率k，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．13．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】设=，=，则=+，=+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，利用平面向量基本定理，建立方程，求出λ，μ，即可得出结论．【解答】解：设=，=，则=+，=+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，∴λ+μ=1，且λ+μ=1，解得λ=μ=，∴λ+μ=，故答案为：．【点评】本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，14．已知实数a，b满足：a≥，b∈R，且a+|b|≤1，则+b的取值范围是[﹣1，] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，结合图象可知，关键求当a+b=1时和当a﹣b=1时的最值，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a +b=1时， +b 才有可能取到最大值，即+1﹣a ≤+1﹣=，当a ﹣b=1时， +b 才有可能取到最小值，即+a ﹣1≥2﹣1=﹣1，（当且仅当=a ，即a=时，等号成立），结合图象可知，+b 的取值范围是[﹣1，]．【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了分类讨论的思想应用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或验算过程．15．（13分）（2018秋•南开区期末）已知函数f （x ）=2cosxsin （x +）﹣．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和对称中心；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[，π]上的取值范围．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （x ）=sin（2x+），利用三角函数周期公式可求T，令2x+=kπ，k∈Z，解得函数的对称中心．（Ⅱ）由范围x∈[，π]，利用正弦函数的图象和性质即可得解函数的取值范围．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosxsin（x+）﹣=2cosx（sinxcos+cosxsin）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），…5分∴T==π，…6分∴令2x+=kπ，k∈Z，解得：x=﹣，k∈Z，即函数的对称中心为：（﹣，0），k∈Z…7分（Ⅱ）∵x∈[，π]，∴f（x）在区间[，]单调递增，在区间[，π]单调递减，∵f（）=sinπ=0，f（）=sin=﹣1，f（π）=sin=，∴函数f（x）在区间[，π]上的取值范围为[﹣1，]…13分【点评】本题值域考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．16．（13分）（2018•都昌县校级模拟）在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（1）求角C的大小；（2）若且a+b=5求△ABC的面积．【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（1）利用两角和与差的正切函数，求出tanC的值，即可求出∠C；（2）先利用c2=a2+b2﹣2abcosC，求出ab，然后根据△ABC的面积公式absinC，求出面积．【解答】解：（1）∵∴（2分）∴∵在△ABC中，0＜C＜π∴（2）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴7=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab（8分）∴ab=6∴．（12分）【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数和三角形的面积公式，注意巧用两角和与差的正切函数，求出tanC的值．17．（13分）（2018•濮阳一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）当点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心时，求二面角B﹣PD ﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】第（1）问，要证平面PBD⊥平面PAC，只需证平面PBD经过平面PAC 的一条垂线，观察可看出应选直线BD作为平面PAC的垂线，由PA垂直于底面可得PA垂直于BD，再根据底面ABCD中已知条件借助三角形全等可证AC垂直AC，则第一问可证；第（2）问，先确定P点位置，利用几何法不容易分析，因此考虑建立空间直角坐标系，将之转化为坐标计算问题，通过解方程求出P点坐标，然后再利用向量法求二面角的大小．【解答】解：（Ⅰ）依题意Rt△ABC≌Rt△ADC，∠BAC=∠DAC，△ABO≌△ADO，∴AC⊥BD．而PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，又PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，又BD⊂面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．（Ⅱ）过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示坐标系，则B，D（0，1，0），C，设P（0，0，λ），所以G，，由AG⊥PB得，=0，解得，所以．∴P点坐标为，面PBD的一个法向量为，设面PCD的一个法向量为=∴，∴，cos＜＞==，所以二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．【点评】当二面角的平面角不好找或者不好求时，可以采用向量法，一般是先求出两个半平面的法向量，然后将二面角的大小转化为它们法向量之间的夹角，要注意结合图形判断二面角是钝角或是锐角，从而确定最终的结果．18．（13分）（2018秋•南开区期末）在等差数列{a n}中，首项a1=1，数列{b n}满足b n=（）an，b1b2b3=（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1b1+a2b2+…+a n b n＜2．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（I）通过b1=、b2=、b3=，利用b1b2b3=计算即得结论；（Ⅱ）通过a n=n可知a n b n=n•，利用错位相减法计算即得结论．【解答】（I）解：设等差数列{a n}的公差为d，依题意，b1=，b2=，b3=，∵b1b2b3=，∴••=，∴1+（1+d）+（1+2d）=6，解得：d=1，∴a n=1+（n﹣1）=n；（Ⅱ）证明：∵a n=n，∴b n=，a nb n=n•，记T n=a1b1+a2b2+…+a n b n=1•+2•+3•+…+n•，则T n=1•+2•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减得：T n=+++…+﹣n•=﹣n•=1﹣﹣n•，∴T n=2（1﹣﹣n•）=2﹣﹣，∵2﹣﹣＜2，∴a1b1+a2b2+…+a n b n＜2．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）（2018秋•南开区期末）已知椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为．（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1⊥OQ2．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知得，由此能求出椭圆的方程．（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x2﹣24x+36﹣2b2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出b的值．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为，椭圆上的一点A到两焦点的距离之和为4，∴，解得a=2，b=，∴椭圆的方程为．（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x2﹣24x+36﹣2b2=0，由△＞0，得b＞，，，y1y2=2x1x2﹣6（x1+x2）+18=，由OQ1⊥OQ2，知x1x2+y1y2=0，解得b2=9，即b=±3，∵b＞，∴b=3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．20．（14分）（2018•漳州校级模拟）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜e x．（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞），恒有x2＜ce x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（Ⅱ）构造函数g（x）=e x﹣x2，求出导数，利用（Ⅰ）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（Ⅲ）令x0=，利用（Ⅱ）的结论，即得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（Ⅱ）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（III）对任意给定的正数c，取x0=＞0，由（II）知，当x＞0时，e x＞x2，∴，当x＞x0时，，因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x．【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、综合性较强，难度较大．。
天津南开中学2018届高三第四次月考数学(理科)试题及答案
天津南开中学2018届高三第四次月考数学（理工类）试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.集合，1，，则A. B. 1， C. D.2.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 173.已知p，q是简单命题，那么“是真命题”是“￢是真命题”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为A. 3B.C.D.5.设变量x，y满足不等式，则的最小值是A. B. C. D.6.设实数a，b，c分别满足，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.7.已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：上有的一点，，点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的标准方程是A. B. C. D.8.定义在上的函数满足，当时，，若函数在内恰有3个零点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.设复数，则z的虚部是______．10.的展开式中，常数项为______．11.已知直线l的参数方程为为参数，则圆C的极坐标方程为，则圆上的点到直线l的最大距离为______．12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．13.已知圆C：的圆心在第一象限，直线l：与圆C相交的弦长为4，则的最小值为______．14.在梯形ABCD中，已知，，，动点E和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛种子选手M与，，三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．若M至少获胜两场的概率大于，则M入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？求M获胜场数X的分布列和数学期望．16.已知函数求在区间内的单调区间；若，，求的值．17.如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中，，，，P为DF的中点．求证：平面ABCD；求二面角的余弦值；设G为线段AD上一点，，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．18.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，，，各项均为正数的等比数列满足，．求数列，的通项公式；若，数列的前n项和；求；若对任意，，均有恒成立，求实数m的取值范围．19.已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆C的两交点间的距离为8．求椭圆C的方程；如图，设是椭圆C上的一动点，由原点O向圆引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为，，求证：为定值；在的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．20.已知函数，．若在上的最大值为，求实数b的值；若对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围；在的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形为坐标原点，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．天津南开中学2018届高三第四次月考数学（理工类）试卷解析一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）21.集合，1，，则A. B. 1，C. D.【答案】C【解析】解：集合，1，，则，所以．故选：C．根据补集和交集的定义，写出运算结果即可．本题考查了交集和补集的定义与运算问题，是基础题．22.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C【解析】解：第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第n次循环：，令解得输出的结果是故选：C．通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．23.已知p，q是简单命题，那么“是真命题”是“￢是真命题”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：p，q是简单命题，那么“是真命题”说明都是真命题，推不出￢是真命题，反之￢是真命题则p是假命题，则是假命题，所以“是真命题”是“￢是真命题”既不充分也不必要条件．故选：D．利用复合命题的真假以及充要条件的判断方法，判断即可．本题考查充要条件的判断，复合命题的真假的判断，是基本知识的考查．24.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为A. 3B.C.D.【答案】C【解析】解：，，即，，，解得，则三角形的面积，故选：C．根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出是解决本题的关键．25.设变量x，y满足不等式，则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由变量x，y满足不等式作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与坐标原点距离的平方，则其最小值为．故选：B．由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与坐标原点距离的平方，结合点到直线的距离公式求解．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．26.设实数a，b，c分别满足，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，则，．．故选：C．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．27.已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：上有的一点，，点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的标准方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可知：在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，即，由双曲线方程可得渐近线方程，由，设过P平行于的直线为l，则l的方程为：，l与渐近线交点为A，则，，P点到OA的距离是：，，，，由P在双曲线上，，且，，，双曲线的方程为，故选：A．求得直线l的方程，求得A点坐标，求得，利用点到直线的距离公式，求得d，由，即可求得a和b的直线，求得双曲线的标准方程．本题考查双曲线标准方程，直线与椭圆的关系，注意运用渐近线方程和两直线平行的条件：斜率相等，联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．28.定义在上的函数满足，当时，，若函数在内恰有3个零点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：当时，，，若函数在内恰有3个零点，即方程在内恰有3个根，也就是函数与的图象有三个不同交点．作出函数图形如图：由图可知，过点与点的直线的斜率为；过点，且与曲线相切的切点为，则，切线方程为，则切点为切线的斜率为，由对称性可知，过点与曲线在上相切的切线的斜率为．使函数与的图象有三个不同交点的m的取值范围为故选：C．由题意求出当时的，把函数在内恰有3个零点，转化为函数与的图象有三个不同交点数形结合得答案．本题考查函数的零点判定定理，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，训练了利用导数求曲线的切线方程，是中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）29.设复数，则z的虚部是______．【答案】【解析】解：，的虚部是．故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．30.的展开式中，常数项为______．【答案】【解析】解：展开式中常数项是展开式中的项与x的乘积，加上含x项与的乘积；由展开式的通项公式为，令，解得，；令，解得，；所求展开式的常数项为．故答案为：．根据展开式中常数项是展开式中的项与x的乘积，加上x项与的乘积；利用展开式的通项公式求出对应的项即可．本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．31.已知直线l的参数方程为为参数，则圆C的极坐标方程为，则圆上的点到直线l的最大距离为______．【答案】【解析】解：直线l的参数方程为为参数，化为：．圆C的极坐标方程为，即，可得直角坐标方程：．配方为：．圆心到直线的距离则圆上的点到直线l的最大距离为．故答案为：．直线l的参数方程为为参数，化为普通方程圆C的极坐标方程为，即，利用互化公式可得直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，可得圆上的点到直线l的最大距离为．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．32.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．【答案】【解析】解：由三视图可知该几何体为圆锥与三棱柱的组合体．圆锥的底面直径为1，高为1，三棱柱的底面是边长直角边为1的等腰直角三角形，棱柱高为2，．故答案为．由三视图可知该几何体为圆锥与三棱柱的组合体代入数据计算即可．本题考查了空间几何体的体积计算，由三视图还原几何体是关键．33.已知圆C：的圆心在第一象限，直线l：与圆C相交的弦长为4，则的最小值为______．【答案】【解析】解：圆心，半径，圆心在第一象限，，．直线l：与圆C相交的弦长为4，圆心到直线的距离，即，即，则，即，则，当且仅当，即时取等号，故答案为：．根据直线和圆相交的弦长公式，求出m，n的关系，结合基本不等式进行求解即可．本题主要考查基本不等式的应用，根据直线与圆相交的性质，利用1的代换是解决本题的关键．34.在梯形ABCD中，已知，，，动点E和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为______．【答案】【解析】解：由，得．根据数量积的几何意义，可知，当点E在D处时，最大，过D、C分别作AB的垂线，垂足为M、N则的最大值为，，，以A为原点，ADF方向为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，根据数量积的几何意义，可知，当点F在C处时，最小，此时．当点F在B处时，最大，此时．则的取值范围为故答案为：根据数量积的几何意义，可知，当点E在D处时，最大，过D、C分别作AB的垂线，垂足为M、则的最大值为，得BM，AM，根据数量积的几何意义，可知，当点F在C处时，最小，此时，当点F在B处时，最大，此时．本题主要考查两个向量数量积运算，特别是几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）35.中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛种子选手M与，，三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．若M至少获胜两场的概率大于，则M入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？求M获胜场数X的分布列和数学期望．【答案】解：与，，进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则，由于事件A，B，C相互独立，所以，由于，所以M会入选最终的名单．获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则，，，．数学期望．【解析】利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．利用相互独立事件与互斥事件的概率计算公式即可得出．本题考查了随机变量的概率分布列及其数学期望、相互独立与互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．36.已知函数求在区间内的单调区间；若，，求的值．【答案】解：函数化简可得：，令，可得．，在区间内的单调递增区间为，令，可得．，在区间内的单调递增区间为，由，即，，那么：．【解析】利用和与差，二倍角和辅助角公式化简，即可求解在区间内的单调区间；根据，，代入计算，利用构造思想，结合和与差公式即可求解的值．本题主要考查和与差，二倍角和辅助角公式化简能力和三角函数的图象和性质的应用属于基础题．37.如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中，，，，P为DF的中点．求证：平面ABCD；求二面角的余弦值；设G为线段AD上一点，，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．【答案】本小题满分13分解：Ⅰ取AD的中点Q，连接PQ，BQ，则，且，所以四边形BEPQ为平行四边形，分所以，又平面ABCD，平面ABCD，则平面分Ⅱ取AB中点O，连接CO，则，因为平面平面ABEF，交线为AB，则平面分作，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则分于是，设平面DEF的法向量，则令，则分平面AEF的法向量分所以分又因为二面角为锐角，所以其余弦值为分Ⅲ，则，，而平面ABEF的法向量为，设直线FG与平面ABEF所成角为，于是分于是，分【解析】Ⅰ取AD的中点Q，连接PQ，BQ，证明，即可证明平面ABCD．Ⅱ取AB中点O，连接CO，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面DEF的法向量，平面AEF的法向量，利用向量的数量积求解二面角的余弦值．Ⅲ求出，平面ABEF的法向量，设直线FG与平面ABEF所成角为，利用数量积列出方程求解即可．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面市场价的求法，直线与平面平行的判断，考查空间想象能力以及计算能力．38.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，，，各项均为正数的等比数列满足，．求数列，的通项公式；若，数列的前n项和；求；若对任意，，均有恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ因为，所以，两式相减得：，即，又因为数列的各项均为正数，所以，又因为，，即，所以当时上式成立，即数列是首项为1、公差为3的等差数列，所以；因为，，所以；Ⅱ由可知．，，两式相减，得：，所以；由可知若对任意，，均有恒成立，等价于恒成立，所以，即恒成立，设，则，所以当时，当时，所以当的最大值为，故，即实数m的取值范围是：．【解析】Ⅰ通过阶差法整理可知，进而验证可知数列是首项为1、公差为3的等差数列，利用、计算即得结论；Ⅱ通过利用错位相减法计算可知；通过可知问题转化为对任意、，均有恒成立，参数分离可知恒成立，进而考虑的单调性即可．本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查转化思想、函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．39.已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆C的两交点间的距离为8．求椭圆C的方程；如图，设是椭圆C上的一动点，由原点O向圆引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为，，求证：为定值；在的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．【答案】解：Ⅰ由椭圆的离心率，则，由直线过点，代入，解得：，则，椭圆的标准方程：；Ⅱ证明：由直线OP：，直线OQ：，由直线OP为圆R的切线，，，同理可得：，，是方程的两个不相等的实根，由，，则，由在椭圆上，即，，为定值；Ⅲ经判断为定值，由直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，联立，解得，，同理，得，分由，得，，，，丨OP丨丨OQ丨为定值，定值为25．【解析】Ⅰ由椭圆的离心率公式求得，由椭圆过点，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；Ⅱ利用点到直线距离公式，同理求得：，则，是方程的两个不相等的实根，根据韦达定理即可求得为定值；Ⅲ将直线OP和OQ的方程，代入椭圆方程，即可求得P和Q点坐标，根据两点之间的距离公式，由，即可求得为定值．本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．40.已知函数，．若在上的最大值为，求实数b的值；若对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围；在的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形为坐标原点，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．【答案】解：由，得，令，得或．列表如下：，，，即最大值为，分由，得．，，且等号不能同时取，，即，恒成立，即．令，求导得，，当时，，，，从而，在上为增函数，，分由条件，，假设曲线上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设，则，且．是以为坐标原点为直角顶点的直角三角形，，，分是否存在P，Q等价于方程在且时是否有解．若时，方程为，化简得，此方程无解；分若时，方程为，即，设，则，显然，当时，，即在上为增函数，的值域为，即，当时，方程总有解．对任意给定的正实数a，曲线上总存在两点P，Q，使得是以为坐标原点为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上分【解析】求导函数，令，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；由，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值范围；由条件，，假设曲线上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设，则，且，则是否存在P，Q等价于方程在且时是否有解．本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查是否存在问题的探究，综合性强。
推荐-天津南开中学2018届高三理科数学第五次月考检测试卷附答案 精品
天津南开中学18届高三理科数学第五次月考检测试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共50分）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 设集合}64|),{(=+=y x y x A ，}723|),{(=+=y x y x B 则满足B A C ⋂⊆的集合C 的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知、为两个非零向量，有以下命题：① 22= ② 2=⋅ ③=b a //，其中可以作b a =的必要但不充分条件的命题是（ ）A. ②B. ①③C. ②③D. ①②③3. 把函数152++=x y 的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为（ ）A. 72+=x yB. 92+=x yC. 12+=x yD. 32+=x y 4. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>--+=)1(1)1(132)(2x ax x x x x x f 在点1=x 处连续，则=a （ ） A. 3 B. 2 C. 2- D. 4-5. 已知：l m ,是直线，βα,是平面，给出下列四个命题：（1）若l 垂直于α内的两条直线，则α⊥l ；（2）若α//l ，则l 平行于α内的所有直线；（3）若βα⊂⊂l m ,，且m l ⊥，则βα⊥；（4）若β⊂l ，且α⊥l ，则βα⊥；（5）若βα⊂⊂l m ,且βα//，则l m //。
其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 36. 数列}{n a 中，20062005--=n n a n ，则该数列前100项中的最大项与最小项分别为（ ）A. 451,a aB. 4546,a aC. 4645,a aD. 4445,a a7. 椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的两焦点分别为1F 、2F ，以21F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ） A.21 B. 23 C. 13- D. 324- 8. 若P （b a ,）是双曲线m y x =-224（0≠m ）上一点，且满足02,02>+>-b a b a ，则该点P 一定位于双曲线的（ ）A. 右支上B. 上支上C. 右支或者上支上D. 不能确定 9. 函数132)(-+=x x x f ，若函数)(x g 的图象与)1(1+=-x f y 的图象关于x y =对称，则=)3(g （ ）A. 3B. 5C.29 D. 27 10. 如果直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y m y kx y kx 所表示的平面区域的面积是（ ）A. 41B. 21C. 1D. 2第II 卷（非选择题共100分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2017-2018年天津市南开中学高三(下)第四次月考数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题；共40分）1．（5分）集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，+∞）B．{﹣2，﹣1，1，2}C．{﹣2，﹣1}D．{1，2}2．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14B．15C．16D．173．（5分）已知p，q是简单命题，那么“p∧q是真命题”是“￢p是真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，则△ABC的面积为（）A．3B．C．D．35．（5分）设变量x，y满足不等式，则x2+y2的最小值是（）A．B．C．D．26．（5分）设实数a，b，c分别满足2a3+a＝2，b log2b＝1，c log5c＝1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b7．（5分）已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：＝1（b＞a＞0）上有的一点P（，m），（m＞0），点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形P AOB的面积为1，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．8．（5分）定义在（﹣1，1]上的函数f（x）满足f（x）+1＝，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m+1在（﹣1，1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，）C．（，）D．（，）二、填空题（共6小题；共30分）9．（5分）设复数z＝，则z的虚部是．10．（5分）（x﹣）（2x+）5的展开式中，常数项为．11．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的极坐标方程为ρ＝2 sin（θ+），则圆上的点到直线l的最大距离为．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（5分）已知圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝9的圆心在第一象限，直线l：x+2y+2＝0与圆C相交的弦长为4，则的最小值为．14．（5分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD＝2，＝，动点E 和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为．三、解答题（共6小题；共80分）15．（13分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛．种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（1）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？（2）求M获胜场数X的分布列和数学期望．16．（13分）已知函数f（x）＝cos sin（+）﹣+（1）求f（x）在区间[0，π]内的单调区间；（2）若f（x0）＝，x0∈[0，]，求sin x0的值．17．（13分）如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝AF＝2，∠CBA＝，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求二面角D﹣EF﹣A的余弦值；（3）设G为线段AD上一点，＝λ，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，＝6S n+9n+1，n∈N*，各项均为正数的等比数列{b n}满足b1＝a1，b3＝a2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若∁n＝（3n﹣2）•b n，数列{∁n}的前n项和T n；①求T n；②若对任意n≥2，n∈N*，均有（T n﹣5）m≥6n2﹣31n+35恒成立，求实数m的取值范围．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y＝1与椭圆C的两交点间的距离为8．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设R（x0，y0）是椭圆C上的一动点，由原点O向圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝4引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为k1，k2，求证：k1•k2为定值；（3）在（2）的条件下，试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2+b，g（x）＝alnx．（1）若f（x）在x∈[﹣]上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）＝，对任意给定的正实数a，曲线y＝F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题；共40分）1．（5分）集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，+∞）B．{﹣2，﹣1，1，2}C．{﹣2，﹣1}D．{1，2}【解答】解：集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则∁R A＝{x|x≤0}，所以（∁R A）∩B＝{﹣2，﹣1}．故选：C．2．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14B．15C．16D．17【解答】解：第一次循环：，n＝2；第二次循环：，n＝3；第三次循环：，n＝4；…第n次循环：＝，n＝n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1＝16故选：C．3．（5分）已知p，q是简单命题，那么“p∧q是真命题”是“￢p是真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p，q是简单命题，那么“p∧q是真命题”说明p．q都是真命题，推不出￢p 是真命题，反之￢p是真命题则p是假命题，则p∧q是假命题，所以“p∧q是真命题”是“￢p是真命题”既不充分也不必要条件．故选：D．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，则△ABC的面积为（）A．3B．C．D．3【解答】解：∵c2＝（a﹣b）2+6，∴c2＝a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2＝2ab﹣6，∵C＝，∴cos＝＝＝，解得ab＝6，则三角形的面积S＝ab sin C＝＝，故选：C．5．（5分）设变量x，y满足不等式，则x2+y2的最小值是（）A．B．C．D．2【解答】解：由变量x，y满足不等式作出可行域如图，x2+y2的几何意义为可行域内的动点与坐标原点距离的平方，则其最小值为（）2＝．故选：B．6．（5分）设实数a，b，c分别满足2a3+a＝2，b log2b＝1，c log5c＝1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【解答】解：∵2a3+a＝2，b log2b＝1，c log5c＝1，如图所示：则a∈（0，1），1＜b＜c．∴c＞b＞a．故选：C．7．（5分）已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：＝1（b＞a＞0）上有的一点P（，m），（m＞0），点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形P AOB的面积为1，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，即c＝，由双曲线方程可得渐近线方程bx±ay＝0，由（m＞0），设过P平行于bx+ay＝0的直线为l，则l的方程为：bx+ay﹣b﹣am＝0，l与渐近线bx﹣ay＝0交点为A，则A（，），|OA|＝||，P点到OA的距离是：d＝，∵|OA|•d＝1，∴||•＝1，5b2﹣a2m2＝2ab，由P在双曲线上，5b2﹣a2m2＝a2b2，且a2+b2＝5，∴b＝2，a＝1，∴双曲线的方程为，故选：A．8．（5分）定义在（﹣1，1]上的函数f（x）满足f（x）+1＝，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m+1在（﹣1，1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），f（x）＝﹣1＝﹣1，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m+1在（﹣1，1]内恰有3个零点，即方程|f（x）﹣|﹣mx﹣m+1＝0在（﹣1，1]内恰有3个根，也就是函数y＝|f（x）﹣|与y＝mx+m﹣1的图象有三个不同交点．作出函数图形如图：由图可知，过点（﹣1，﹣1）与点（，0）的直线的斜率为；过点（﹣1，1），且与曲线y＝＝相切的切点为（x0，y0），则＝，切线方程为y+（x﹣x0），则切点为（）．∴切线的斜率为k＝，由对称性可知，过点（﹣1，﹣1）与曲线|f（x）﹣|在（﹣1，0）上相切的切线的斜率为．∴使函数y＝|f（x）﹣|与y＝mx+m﹣1的图象有三个不同交点的m的取值范围为（，）．故选：C．二、填空题（共6小题；共30分）9．（5分）设复数z＝，则z的虚部是．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部是．故答案为：．10．（5分）（x﹣）（2x+）5的展开式中，常数项为﹣40．【解答】解：（x﹣）（2x+）5展开式中常数项是（2x+）5展开式中的项与x的乘积，加上含x项与﹣的乘积；由（2x+）5展开式的通项公式为T r+1＝•（2x）5﹣r•＝25﹣r••x5﹣2r，令5﹣2r＝﹣1，解得r＝3，∴T4＝22••＝；令5﹣2r＝1，解得r＝2，∴T3＝23••x＝80x；所求展开式的常数项为•x+80x•（﹣）＝40﹣80＝﹣40．故答案为：﹣40．11．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+），则圆上的点到直线l的最大距离为．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），化为：x﹣y+4＝0．圆C的极坐标方程为，即ρ2＝2ρ（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2＝2x+2y．配方为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．∴圆心（1，1）到直线的距离d＝＝2则圆上的点到直线l的最大距离为d+r＝3．故答案为：．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为+1．【解答】解：由三视图可知该几何体为圆锥与三棱柱的组合体．圆锥的底面直径为1，高为1，三棱柱的底面是边长直角边为1的等腰直角三角形，棱柱高为2，∴V＝×π×12×1+×1×1×2＝+1．故答案为+1．13．（5分）已知圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝9的圆心在第一象限，直线l：x+2y+2＝0与圆C相交的弦长为4，则的最小值为．【解答】解：圆心C（m，n），半径R＝3，∵圆心在第一象限，∴m＞0，n＞0．∵直线l：x+2y+2＝0与圆C相交的弦长为4，∴圆心到直线的距离d＝＝，即，即m+2n+2＝5，则m+2n＝3，即+＝1，则＝（+）×（+）＝+++≥+2＝＝，当且仅当＝，即m＝2n时取等号，故答案为：．14．（5分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD＝2，＝，动点E和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为[，]．【解答】解：由＝，得∠DAC＝60°．根据数量积的几何意义，可知，当点E在D处时，最大，过D、C分别作AB的垂线，垂足为M、N则的最大值为BA•BM＝，∴BM＝，⇒AM＝，BN＝以A为原点，ADF方向为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（2，0），C（），D（）根据数量积的几何意义，可知，当点F在C处时，最小，此时＝．当点F在B处时，最大，此时＝．∴则的取值范围为[]故答案为：[]三、解答题（共6小题；共80分）15．（13分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛．种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（1）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？（2）求M获胜场数X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则，由于事件A，B，C相互独立，所以，由于，所以M会入选最终的名单．（2）M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则，，，．数学期望．16．（13分）已知函数f（x）＝cos sin（+）﹣+（1）求f（x）在区间[0，π]内的单调区间；（2）若f（x0）＝，x0∈[0，]，求sin x0的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos sin（+）﹣+化简可得：f（x）＝cos sin cos+cos2sin﹣（cos x）+＝sin x+（cos x）﹣cos x＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），令，可得．∵x∈[0，π]，∴f（x）在区间[0，π]内的单调递增区间为[0，]，令，可得．∵x∈[0，π]，∴f（x）在区间[0，π]内的单调递增区间为[，π]，（2）由f（x0）＝，即sin（x0﹣）＝∵x0∈[0，]，∴x0[，]，∴cos（x0﹣）＝那么：sin x0＝sin[（x0）]＝sin（x0﹣）cos+sin cos（x0﹣）＝．17．（13分）如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝AF＝2，∠CBA＝，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求二面角D﹣EF﹣A的余弦值；（3）设G为线段AD上一点，＝λ，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）取AD的中点Q，连接PQ，BQ，则PQ∥AF∥BE，且，所以四边形BEPQ为平行四边形，…（2分）所以PE∥BQ，又BQ⊂平面ABCD，PE⊄平面ABCD，则PE∥平面ABCD．…（3分）（Ⅱ）取AB中点O，连接CO，则CO⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，交线为AB，则CO⊥平面ABEF…（4分）作OM∥AF，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则…（5分）于是，设平面DEF的法向量，则令x＝1，则…（6分）平面AEF的法向量…（7分）所以…（8分）又因为二面角D﹣EF﹣A为锐角，所以其余弦值为．…（9分）（Ⅲ），则，，而平面ABEF的法向量为，设直线FG与平面ABEF所成角为θ，于是…（11分）于是，．…（13分）18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，＝6S n+9n+1，n∈N*，各项均为正数的等比数列{b n}满足b1＝a1，b3＝a2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若∁n＝（3n﹣2）•b n，数列{∁n}的前n项和T n；①求T n；②若对任意n≥2，n∈N*，均有（T n﹣5）m≥6n2﹣31n+35恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为＝6S n+9n+1，所以＝6S n﹣1+9（n﹣1）+1（n≥2），两式相减得：﹣＝6a n+9，即＝（n≥2），又因为数列{a n}的各项均为正数，所以a n+1＝a n+3（n≥2），又因为a2＝4，42＝6a1+9+1，即a1＝1，所以当n＝1时上式成立，即数列{a n}是首项为1、公差为3的等差数列，所以a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；因为b1＝a1＝1，b3＝a2＝4，所以b n＝2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知∁n＝（3n﹣2）•b n＝（3n﹣2）•2n﹣1．①T n＝1•20+4•21+…+（3n﹣2）•2n﹣1，2T n＝1•21+4•22+…+（3n﹣5）•2n﹣1+（3n﹣2）•2n，两式相减，得：﹣T n＝1+3（21+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣2）•2n＝1+6（2n﹣1﹣1）﹣（3n﹣2）•2n，所以T n＝（3n﹣5）•2n+5；②由①可知若对任意n≥2，n∈N*，均有（T n﹣5）m≥6n2﹣31n+35恒成立，等价于（3n﹣5）•2n•m≥6n2﹣31n+35恒成立，所以m≥＝＝，即m≥恒成立，设k n＝，则k n+1﹣k n＝﹣＝，所以当n≤4时k n+1＞k n，当n＞4时k n+1＜k n，所以当k n的最大值为k5＝，故m≥，即实数m的取值范围是：[，+∞）．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y＝1与椭圆C的两交点间的距离为8．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设R（x0，y0）是椭圆C上的一动点，由原点O向圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝4引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为k1，k2，求证：k1•k2为定值；（3）在（2）的条件下，试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝＝，则a2＝4b2，由直线过点（4，1），代入，解得：b2＝5，则a2＝20，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：由直线OP：y＝k1x，直线OQ：y＝k2x，由直线OP为圆R的切线，＝2，（x02﹣4）k12﹣2x0y0k1+（y02﹣4）＝0，同理可得：（x02﹣4）k22﹣2x0y0k2+（y02﹣4）＝0，∴k1，k2是方程（x02﹣4）k2﹣2x0y0k+（y02﹣4）＝0的两个不相等的实根，由x02﹣4≠0，△＞0，则k1•k2＝，由R（x0，y0）在椭圆上，即y02＝5﹣x02，∴k1•k2＝＝＝﹣，∴k1•k2为定值﹣；（Ⅲ）经判断|OP|2+|OQ|2为定值，（i）由直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，解得，∴x12+y12＝，同理，得x22+y22＝，…13分由k1•k2＝﹣，得|OP|2+|OQ|2＝x12+y12+x22+y22＝+，＝+，＝+，＝＝25，∴丨OP丨2+丨OQ丨2为定值，定值为25．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2+b，g（x）＝alnx．（1）若f（x）在x∈[﹣]上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）＝，对任意给定的正实数a，曲线y＝F （x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．【解答】解：（1）由f（x）＝﹣x3+x2+b，得f′（x）＝﹣3x2+2x＝﹣x（3x﹣2），令f′（x）＝0，得x＝0或．列表如下：∵，，∴，即最大值为，∴b＝0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）＝t（1）＝﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y＝F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）＝0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）＝0，化简得t4﹣t2+1＝0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）＝0，即，设h（t）＝（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h （1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y＝F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）第21页（共21页）。
2018年天津市南开中学高三模拟考试数学(理)(解析版)
2018年天津市南开中学高三模拟考试数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：分别求出不等式和的解集，求得集合，再求出集合的交集即可.详解：，，则，故选B.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，注意正确求解对应的不等式，属于基础题目.2. 若实数满足不等式组，则的最小值为（）A. 2B. 3C.D. 14【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，则在点处取到最小值，，所以最小值为2，故选A.3. 执行如图所示的程序框图，如果输出的，那么判断框中填入的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先从框图中观察各变量和各语句的作用，再根据流程图，可得到该程序所要解决的问题，逐步执行，求出满足条件的，并确定循环的条件，据此即可得到答案.详解：根据题中所给的框图，执行过程中会出现：，；，；，；观察选项，没有合适的条件，继续执行；根据上边的规律可以得到，再执行三次，得到，从而可以从选项中选出合适，故选C.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对执行框中的内容认真分析，虚拟执行，判断条件，得到结果.4. 已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结果.详解：因为，，，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务.5. 已知等比数列的前项和为，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设出等比数列的公比为，利用等比数列的性质，根据已知等式求出的值，进而求出的值，表示出与，即可求出结果.详解：设等比数列的公比为，所以，所以，解得，，，所以，故选D.点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.6. 中，“”是“为直角三角形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：利用正弦定理以及二倍角公式，化简已知表达式，然后确定三角形的形状，即可推出两者的关系，得到选项.详解：由正弦定理可知，化为，所以，因为是三角形内角，所以或，即或，即或，所以中，“”是“为直角三角形”的必要不充分条件，故选B.点睛：该题考查的是有关充分条件和必要条件的判断，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，三角形形状的判断问题，在解题的过程中，需要对题的条件认真分析，理解透彻，从而求得最后的结果.7. 过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，的中点在第一象限，则以下结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：连结，则，在直角三角形中，，连结为线段的中点，为坐标原点，，故选A．考点：1、双曲线和圆的标准方程；2、双曲线的定义和简单几何性质．【思路点睛】本题主要通过双曲线和圆的标准方程考查双曲线的定义和几何性质，属于难题．本题的难点在于怎样巧妙将双曲线的定义运用于解题过程，在解题过程中一定要注意两点：一是圆的半径正是双曲线的实半轴，从而利用切线性质得出；二是利用中位线得出后再巧妙地利用双曲线的定义得到．8. 设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，当时，不等式成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由及的奇偶性求得，进而可把表示出来，分离出参数后，求函数的最值，问题即可解决.详解：由，即，得，又分别为偶函数、奇函数，所以，联立两个式子，可以解得，，即，即，即，因为存在实数，当时，不等式成立，，所以，所以的最小值为，故选A.点睛：该题考查的是有关恒成立问题对应的参数的取值范围问题，涉及到的知识点有奇偶函数的定义、函数解析式的求解、分离参数，恒成立问题向最值靠拢，利用函数的单调性得到最值，从而求得结果.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 随机抽取100名年龄在年龄段的市民进行问卷调査，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在年龄段抽取的人数为__________．【答案】2.【解析】分析：根据频率分布直方图，求出样本中不小于40岁的人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数.详解：根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是，所以不小于40岁的人的频数是；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，在年龄段抽取的人数为，故答案为2.10. 已知，则的展开式中常数项为__________．【答案】.【解析】n＝，二项式的展开式的通项为，令＝0，则r＝3，展开式中常数项为(－2)3＝－8×4＝－32.故答案为：-32.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.11. 一个几何体的三视图如图所示（单位：)，则该几何体的体积为__________.【答案】.【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，将几何体还原，分析得到其为一个圆柱和一个圆锥的组合体，所以其体积为圆柱和圆锥的体积之和，结合图中所给的数据，利用体积公式求得结果.详解：根据题中所给的几何体的三视图，将几何体还原，可以得到几何体是一个圆柱和圆锥的组合体，利用相关数据可知圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故答案是.点睛：该题考查的是有关根据几何体的三视图求其体积的问题，在解题的过程中，还原几何体是解题的关键，之后利用图中的相关数据，结合体积公式求得结果，注意组合体的体积在求解的时候将其分割，计算即可.12. 已知抛物线的参数方程为(为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.若，点的横坐标为3，则__________．【答案】2.详解：抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，消去参数可得，化简可得，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是轴的抛物线，故焦点，准线的方程为，则由抛物线的定义可得，再由，可得为等边三角形，设点的坐标为，则点，把点的坐标代入抛物线的方程可得，即，再由，可得，即，解得或（舍去），故答案是2.点睛：该题考查的是有关抛物线方程的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有抛物线的定义，有关三角形的边的关系，对应的等量关系式的建立，最后求得结果.13. 平行四边形中，，是平行四边形内一点，且，若，则的最大值为__________．【答案】2.【解析】分析：根据，利用，利用向量的平方和向量模的平方是相等的，利用基本不等式得出的最大值.详解：因为，所以，又，即，所以，当且仅当，即时，取得最大值2，故答案是2.点睛：该题考查的是求式子的最值的问题，涉及到的知识点有向量的平方和向量模的平方是相等的，向量数量积的定义式，利用基本不等式求最值，在解题的过程中，注意式子的正确使用.14. 用五种不同的颜色给三棱柱六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有__________种.(用数字作答）【答案】1920.【解析】分析：分两步来进行，先涂，再涂，然后分若5种颜色都用上、若5种颜色只用4种、若5种颜色只用3种这三种情况，分别求得结果，再相加，即可得结果.详解：分两步来进行，先涂，再涂.第一类：若5种颜色都用上，先涂，方法有种，再涂中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有种；第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；先涂，方法有种，再涂中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有种；第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；先涂，方法有种，再涂，方法有2种，故此时方法共有种；综上可得，不同涂色方案共有种，故答案是1920.点睛：该题考查的是有关排列组合的综合题，在解题的过程中，涉及到的知识点有分步计数乘法原理和分类计数加法原理，要认真分析题的条件，列式求得结果.解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数的图象经过点.（1）求的值，并求函数的单调递增区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；的单调递增区间为.(2).【解析】分析：（1）利用倍角公式和辅助角公式可以求得，然后再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间；（2）由，可得，可得的取值范围是，根据不等式恒成立，即，从而求得结果.详解：（1）因为经过点，所以，，因为的单调递增区间为所以所以所以的单调递增区间为.（2）由（1）知，因为，所以，当，即时，，因为恒成立即，所以所.点睛：该题考查的是有关三角函数的恒等变换以及恒成立问题，涉及到的知识点有倍角公式、辅助角公式、正弦函数的单调性、三角函数在闭区间上的最值等，在解题的过程中，注意正确使用公式，再者就是将恒成立问题转化为最值来处理即可.16. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】(1).(2)分布列见解析；.【解析】分析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的槪率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则 ,(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的槪率为；(2)的所有可能取值为0, 2, 4，由于与互斥，与互斥，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望. 详解：（1）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的槪率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则 ,这4个人中恰有2人去参加甲游戏的槪率.（2）的所有可能取值为0, 2, 4.由于与互斥，与互斥，所以，，所以的分布列是所以随机变量的数学期望.点睛：该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列及其期望，在解题的过程中，需要认真审题，正确使用公式计算结果.17. 如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）设点是线段上的一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析.(2).(3)；证明见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形性质得，由平面得，再根据线面垂直判定定理得平面（2）利用空间向量求二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角（3）设点坐标，根据平面得，列方程解得点坐标，再确定位置试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，又∵是正方形，∴，∵，∴平面．（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，∵与平面所成角为，即，∴，由，可知：，．则，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则．因为平面，所以为平面的法向量，∴，所以．因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．（Ⅲ）依题意得，设，则，∵平面，∴，即，解得：，∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18. 已知数列是首项的等差数列，设.（1）求证：是等比数列；（2）记，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值.【答案】(1)证明见解析.(2) .(3)11.【解析】分析：(1)运用等差数列的通项公式，可得公差，进而得到，再由对数的运算性质和等比数列的定义，即可得证；(2)利用裂项相消法求和即可；(3)根据题意，求得，设，判断其为单调递增，求得最小值，再由恒成立思想可得的范围，进而得到最大值.详解：（1）由及，得，所以.因为，所以，即.则，所以数列是首项，公比的等比数列.（2）由（1），得，所以（3）因为，则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立.设，则.所以，故的最小值是/.由，得整数可取最大值为11.点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有用定义证明等比数列，对数的运算，裂项相消法求和，恒成立问题求有关参数的取值范围和最值问题，在解题的过程中，注意对公式的正确使用以及对问题的正确理解.19. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴轴分别交于两点.①设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；②求面积的最大值.【答案】(1).(2) ①证明见解析，；②.【解析】试题分析：（1）首先由题意得到，即.将代入可得，由，可得.得解.（2）（ⅰ）注意从确定的表达式入手，探求使成立的.设，则，得到，根据直线BD的方程为，令，得，即.得到.由，作出结论.（ⅱ）直线BD的方程，从确定的面积表达式入手，应用基本不等式得解. 试题解析：（1）由题意知，可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得，因此，可得.因此，所以椭圆C的方程为.（2）（ⅰ）设，则，因为直线AB的斜率，又，所以直线AD的斜率，设直线AD的方程为，由题意知，由，可得.所以，因此，由题意知，所以，所以直线BD的方程为，令，得，即.可得.所以，即.因此存在常数使得结论成立.（ⅱ）直线BD的方程，令，得，即，由（ⅰ）知，可得的面积，因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，基本不等式的应用.视频20. 已知，其中常数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求证：；（3）求证：.【答案】(1)有极小值，没有极大值.(2)证明见解析.(3)证明见解析.【解析】试题分析：先写出函数的定义域，（1）由，求出的导数，再求出的单调性，即可求得极值；（2）先证明：当恒成立时，有成立，若，则显然成立；若，运用参数分离，构造新函数通过求导数及单调性，结合函数零点存在定理，即可得证；（3）讨论当当时，恒成立，可设设，求出导数，单调区间及最大值，运用不等式的性质，即可得证.试题解析：函数的定义域为，（1）当时，，，而在上单调递增，又，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以有极小值，没有极大值.（2）先证明：当恒成立时，有成立.若，则显然成立；若，由得，令，则，令，由得在上单调递增，又∵，所以在上为负，在上为正，∴ 在上递减，在上递增∴，从而.因而函数若有两个零点，则，所以，由得，则，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递增∴，则∴由得，则∴，综上得.（3）由（2）知当时，恒成立，所以，即，设，则，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以的最大值为，即，因而，所以，即点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．。
天津市南开中学2018-2019学年高三(下)数学(理)---精品解析 Word版
天津市南开中学高三（下）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集，，，则集合等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出A与B的并集，根据全集U＝R，求出并集的补集即可．【详解】全集，，，或，则，故选：D．【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式对应的平面区域，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为，故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,准确画图熟练计算是关键.3.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当时，由得，得，此时，若，由得，此时，若，由得，得，此时，综上，由得，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．4.关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，t＝x2﹣ax+2a在[1，+∞）上为增函数，且在[1，+∞）上大于0恒成立，得到关于a的不等式组求解．【详解】函数在上为减函数，则在上为增函数，且在上大于0恒成立．则，解得．实数a的取值范围是．故选：C．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．5.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】双曲线的一条渐近线,圆心到渐近线的距离为,即,解得,,此双曲线的离心率为,故选D.6.已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，∵，∴，∴，，．∵当时，单调递减，∴，故选A．【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小7.已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O 为坐标原点，则与面积之和的最小值是A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•6消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【详解】设直线AB的方程为：，点，，直线AB与x轴的交点为，代入，可得，根据韦达定理有，，，从而，点A，B位于x轴的两侧，，故．不妨令点A在x轴上方，则，又，，当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是，故选：D．【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．8.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式作出f（x）在[0，+∞）上的图象，结合函数的奇偶性可得f（x）的图象，进而分析可得a的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，当时，，又由函数为奇函数，则其图象如图：若，，即点在点的下方，分析可得：，即a的取值范围为．故选：C．【点睛】本题考查函数图像的应用，函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质，关键是依据题意，作出函数的图象．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案．【详解】，，则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题．10.二项式的展开式中常数项为______用数字表示．【答案】-160【解析】二项式的展开式的通项为，．令，可得，即展开式中常数项为．答案：11.已知正实数x，y满足，则的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题12.在等腰梯形中，，，，，若，，且，则__．【答案】【解析】依题意得∥,，.∵∴∴∵∴∵∴∴故答案为.13.已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为______．【答案】【解析】【分析】化函数为f（x）＝2sin（ωx），由正弦函数的单调增区间求出x的取值范围，结合题意列不等式组求出k的值，再根据函数f（x）的对称轴求出ω的值．【详解】函数，，函数在区间内单调递增，，，；可解得函数的单调递增区间为：，，可得：，，其中，解得：且，，，解得：，，可解得：，又由，；可解得函数的对称轴为：，，由函数的图象关于直线对称，可得：，可解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，正确确定k的值是解题的关键，是中档题14.已知定义在上的函数及如下的4个命题：关于x的方程有个不同的零点；对于实数，不等式恒成立；在上，方程有5个零点；时，函数的图象与x轴图成的形的面积是4．则以上命题正确的为______把正确命题前的序号填在横线上【答案】【解析】【分析】根据题意，对选项中的每一个问题进行分析与思考，结合函数f（x）的解析式进行解答，即可得出正确的选项．【详解】当时，；时，；设，则，；，则，；，则，；，则，．画出草图，当时，在上有6个不相等的实根，上只有一个实根，以后再没有了，共有7个不相等的实根，故错；函数的最高点都在曲线上，对于实数，不等式恒成立，故正确；在上，方程即，由函数及y=的图像，可得方程有5个解，故正确；函数的最高点为以4为首项，公比为的等比数列．故当时，函数的最高点为，与x轴围成的面积为故错；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的图像及运用，考查函数的表达式和值域，等比数列的通项及运用，考查数形结合的能力，判断能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设Ⅰ求函数的最小正周期和单调递减区间；Ⅱ若锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，且，，，求角C及边c．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），【解析】试题分析：（Ⅰ）由两角和与差的正弦、余弦公式、辅助角公式可将化为，故的最小正周期，由可得的单调递减区间是；（Ⅱ）由及为锐角三角形可得，由正弦定理，得得，故，由余弦定理得试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期.由解得，故的单调递减区间是.（Ⅱ）∵在锐角中，，∴，即.由，得. ∵，，∴由正弦定理，得.由，得.故.由余弦定理，，故.考点：三角函数的性质16.某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；Ⅱ设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】【解析】【分析】（Ⅰ）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；（Ⅱ）求出随机变量X的所有可能取值，求出相应的概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．【详解】由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件“恰有1位女棋手”，则，所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为随机变量X的所有可能取值为0，2，其中，，所以，随机变量X分布列为X 0 2 4P随机变量X的数学期望【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．17.如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE 与平面ABCD所成角为．求证：平面BDE；求二面角的余弦值；设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）（3）M的坐标为(2,2,0)，见解析【解析】试题分析：（1）由正方形性质得，由平面得，再根据线面垂直判定定理得平面（2）利用空间向量求二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角（3）设点坐标，根据平面得，列方程解得点坐标，再确定位置试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，又∵是正方形，∴，∵，∴平面．（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，∵与平面所成角为，即，∴，由，可知：，．则，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则．因为平面，所以为平面的法向量，∴，所以．因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．（Ⅲ）依题意得，设，则，∵平面，∴，即，解得：，∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，，，各项为正数的等比数列满足，．求数列，的通项公式；若，数列的前n项和；求；若对任意，，均有恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1），；（2）①；②.【解析】试题分析：（1）利用，化简后可得为等差数列，由此求得数列的通项公式，求得后，利用等比数列通项公式，可求得的通项公式.（2）①由于是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求其前项和. ②利用分离常数法将原不等式分离常数，再利用差比较法可求得的取值范围.试题解析：（1）∴∴又各项为正∴∴开始成等差又∴∴为公差为的等差数列∴∴（2）①∴②恒成立∴即恒成立设当时，时，∴∴.点睛：本题主要考查数列通项公式的求法，考查数列求和的基本方法错位相减法，考查不等式恒成立问题的解决策略.由于和的关系式题目给定，故利用可求得的通项公式.求出的通项公式后通过观察可发现的通项是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求.19.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，离心率为，过椭圆的右焦点F的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．求椭圆的方程；设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；设，是线段为坐标原点上的一个动点，且，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）定点（3）【解析】【分析】（1）根据椭圆的一个顶点，得b＝1，利用离心率求得a和c关系进而求得a，则椭圆的方程可得；（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），代入椭圆方程，得到韦达定理，设存在N（t，0），使得C、B、N三点共线，则∥，利用向量共线定理坐标化，将韦达定理代入可得t，即可求解．（3）利用（2）韦达定理，将坐标化，结合向量的数量积公式，即可求得m的取值范围；【详解】由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为，椭圆C的一个顶点为，即由，解得：，所以椭圆C的标准方程为；由得，设，，设直线l的方程为，代入椭圆方程，消去y可得则，，点C与点A关于x轴对称，假设存在，使得C、B、N三点共线，则，，、B、N三点共线，，，即，．存在定点，使得C、B、N三点共线．由，，，，，，解得：，当时，符合题意故m的范围为【点睛】本题考查直线与椭圆综合问题，定点问题，相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量共线定理、两点之间的距离公式、向量垂直与数量积的关系、三点共线问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知函数在处取得极值．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；Ⅲ证明：参考数据：．【答案】（1）0；（2）；（3）见解析【解析】【分析】(1)求导，由f′(1)＝0构造方程求出a；(2)由(1)将方程f(x)＋2x＝x2＋b化简，令g(x)＝x2－3x＋ln x＋b(x>0)，求导，研究当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况，确定函数的最值，从而建立不等式组，即可求得结论；(3)设φ(x)＝ln x－(x2－1)，求导，根据函数的单调性得当x≥2时，>2，从而累加可得结论．【详解】（1）f′(x)＝1－，∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，即1－＝0，∴a＝0.经检验满足题意.(2)由(1)得f(x)＝x－lnx，∴f(x)＋2x＝x2＋b即x－lnx＋2x＝x2＋b，∴x2－3x＋lnx＋b＝0，设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x>0)，则g′(x)＝2x－3＋＝＝.由g′(x)>0得0<x<或x>1，由g′(x)<0得<x<1，∴当x∈，(1，＋∞)时，函数g(x)单调递增，x∈时，函数g(x)单调递减，当x＝1时，g(x)极小值＝g(1)＝b－2，g＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2，∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在上恰有两个不相等的实数根，∴即解得＋ln2≤b<2.(3)证明：∵k－f(k)＝lnk，∴>.⇔＋＋＋…＋>(n∈N，n≥2)设φ(x)＝lnx－(x2－1)，则φ′(x)＝－＝＝－当x≥2时，φ′(x)<0，∴函数y＝φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴φ(x)≤φ(2)＝ln2－<0，∴lnx<(x2－1)．∴当x≥2时，>＝＝2，∴＋＋＋…＋>2＝2＝.∴原不等式成立．【点睛】本题主要考查了函数的极值，利用导数求函数的最值，证明不等式，属于难题.。
天津市南开中学2018-2019年11月高考数学模拟题
天津市南开中学2018-2019年11月高考数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且)0,0(12222>>=-b a by a x 21F F 、2F Q P ,，若，，则双曲线离心率的取值范围为（ ）.1PF PQ ⊥||||1PF PQ λ=34125≤≤λe A. B. C. D. ]210,1(]537,1(210,537[),210[+∞第Ⅱ卷（非选择题，共100分）2． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（）A. B. C. D. 4π5π2π+【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．3． 设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，1}C ．{1}D ．{1，3}4． 设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则（ ）{}n a n n S 4232()a a a =+74S a = A ．B ．C ．7D ．1474145【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前项和，意在考查运算求解能力.n 5． 以下四个命题中，真命题的是（ ）A ．，(0,)x π∃∈sin tan x x=B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++<C ．，函数都不是偶函数R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+D ．中，“”是“”的充要条件ABC ∆sin sin cos cos A B A B +=+2C π=【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．6． 已知集合A ＝{－1，0，1，2，3}，B ＝{x|－1＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{0，1，2}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{－1，0，1}7． 拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．108． 在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数}{n a 821=+n a a 8123=⋅-n a a }{n a n 121=n S n等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.9． 二项式的展开式中项的系数为10，则（ ）(1)(N )nx n *+Î3x n =A ．5B ．6C ．8D ．10【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．10．设，为正实数，，，则=（）a b 11a b+≤23()4()a b ab -=log a b A.B. C.D.或01-11-0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在横线上）11．圆心在原点且与直线相切的圆的方程为_____.2x y +=【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.12．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为21()sin cos sin 2f x a x x x =-+6x π=()f x ___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．13．自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到C 22(3)(4)4x y -++=(,)P x y Q P 原点的长，则的最小值为（ ）O PQ A ．B ．3C ．4D ．13102110【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．14．已知圆，则其圆心坐标是_________，的取值范围是________．22240C x y x y m +-++=：m【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.15．若x ，y 满足约束条件，若z ＝2x ＋by （b ＞0）的最小值为3，则b ＝________．{x ＋y －5≤02x －y －1≥0x －2y ＋1≤0)三、解答题（本大共6小题，共75分。
推荐-天津市南开区2018年高三质量调查数学理科试卷-人
天津市南开区2018年高中质量调查理科试卷（一）高三数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷（选择题 共50分）一. 选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合14|{<-=x x A ，}R x ∈，},25|{2R x x x B ∈≤=，则=⋂B A （ ） A. )5,3(+ B. )5,5(- C. ]5,3(- D. ]5,5(-2. 复数2+-i 的共轭复数是（ ）A. 2-iB. i +2C. i --2D. i3. 若c b a ,,是常数，则“0>a 且042<-ac b ”是对“对任意R x ∈，总有02>++c bx ax 成立”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要4. 设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的一个是（ ）A. 若γα⊥，γβ⊥，则βα//B. 若αα//,//n m ，则n m //C. 若ββα⊥⊥m ,，则α//mD. 若αα//,n m ⊥，则n m ⊥5. 直线l ：0=+-b y ax ，圆M ：02222=+-+by ax y x ，则l 与M 在同一坐标系中的图形只可能是（ ）6. 在4名男生和2名女生中任选3人参加课外小组，则所选3人中恰有1名女生的概率是（ ）A.51 B. 52 C. 53 D. 54 7. 已知曲线3x y =在点P 处切线的斜率为3，则P 点坐标为（ ） A.（8,2--），（1，1） B.（2，8），（1,1--） C.（1,1--），（1，1） D.（1，1）8. 在R 上定义域运算⊗：)1(y x y x -=⊗。
若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ）A. 11<<-aB. 20<<aC. 2321<<-aD. 2123<<-a 9. 要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ ）A. 横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度B. 横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度10. )(x f 是R 上的偶函数，且0)2(=f ，)(x g 是R 上的奇函数，且对R x ∈，都有)1()(-=x f x g ，则)2002(f 的值是（ ）A. 4B. 2C. 1D. 0第II 卷（非选择题 共100分）二. 填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
2018年天津市南开中学高三模拟考试数学(理)
2018年天津市南开中学高三模拟考试数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,21x M x x N x =<=>，则M N ⋂=（ ）A ．∅B ．{}01x x << C. {}x x <0 D ．{}1x x < 2.若实数,x y 满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3 C.187D ．14 3.执行如图所示的程序框图，如果输出的2a =，那么判断框中填入的条件可以是（ ）A ．5n ≥B ．6n ≥ C. 7n ≥ D ．8n ≥ 4.已知0.30.3 1.20.3, 1.2,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a << C. a b c << D ．a c b << 5.已知等比数列{}n a 的前项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S a =（ ）A ．14n -B ．41n - C. 12n - D ．21n - 6.ABC ∆中，“cos cos a A b B =”是“ABC ∆为直角三角形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件7.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->- C. b a MO MT -<- D ．b a MO MT -=+8.设()x f x e =，()()()f x g x h x =-，且()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，若存在实数m ，当[]1,1x ∈-时，不等式()()0mg x h x +≥成立，则m 的最小值为（ ）A ．2211e e -+B ．221e + C. 2211e e +- D ．2211e e-+ 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.随机抽取100名年龄在[)[)[)10,20,20,30,,50,60 年龄段的市民进行问卷调査，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[)50,60年龄段抽取的人数为 ．10.已知23n x dx =⎰，则32nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．11.一个几何体的三视图如图所示（单位：m )，则该几何体的体积为 3m .12.已知抛物线的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩(p 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M作l 的垂线，垂足为E .若EF MF =，点M 的横坐标为3，则p = ．13.平行四边形ABCD 中，3,2,120AB AD BAD ==∠=︒，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1AP =，若AP xAB yAD =+，则32x y +的最大值为 ．14.用五种不同的颜色给三棱柱ABC DEF -六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有 种.(用数字作答）三、 解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数()()2sin sin cos f x x x x a =+-的图象经过点,1,2a R π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.16.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.17.如图所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒.（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值；（3）设点M 是线段BD 上的一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论. 18.已知数列{}n b 是首项141,10b b ==的等差数列，设()*1223log n n b a n N +=∈.（1）求证：{}n a 是等比数列； （2）记11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S ； （3）在（2）的条件下，记()31n n d n S =+⋅，若对任意正整数n ，不等式1211124n mn d n d n d +++>+++ 恒成立，求整数m 的最大值.19.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32,直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105.（1）求椭圆C 的方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴y 轴分别交于,M N 两点.①设直线,BD AM 斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； ②求OMN ∆面积的最大值.20.已知()ln x f x e a x a =--，其中常数0a >. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()y f x =有两个零点()1212,0x x x x <<，求证：121x x a a<<1<<； （3）求证：221ln 0x x e e x x ----≥.试卷答案一、选择题1-5: BACAD 6-8: BAA二、填空题9. 2 10. 32- 11. 203π12. 2 13. 2 14. 1920三、解答题15. （1）()()2sin sin cos f x x x x a =+- 22sin 2sin cos x x x a =+- 1cos 2sin 2x x a =-+-2sin 214x a π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭因为()f x 经过点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2sin 114x a π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，1a =，因为sin y x =的单调递增区间为2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦所以222,242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈所以3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）知()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当244x ππ-=-，即0x =时，()min 1f x =-，因为()f x m ≥恒成立即()min m f x ≤，所以所(],1m ∈-∞-.16. （1）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的槪率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件()1,2,3,4i A i =，则()4141233ii i P A C -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭这4个人中恰有2人去参加甲游戏的槪率()222241283327P A C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）ξ的所有可能取值为0, 2, 4. 由于1A 与3A 互斥，0A 与4A 互斥，所以()()28027P P A ξ===，()()()1340281P P A P A ξ==+=， ()()()0417481P P A P A ξ==+= 所以ξ的分布列是所以随机变量ξ的数学期望()84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=. 17.（1）因为DE ⊥平面ABCD ,所以DE AC ⊥.因为四边形ABCD 是正方形. 所以AC BD ⊥.又D E BD D ⋂=,所以AC ⊥平面BDE . （2）因为,,DA DC DE 两两垂直，故以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.因为BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒， 所以3EDDB=，由3AD =可知36,6DE AF ==， 则()()()()()3,0,0,3,0,6,0,0,36,3,3,0,0,3,0A F E B C 所以()()0,3,6,3,0,26BF EF =-=-.设平面BEF 的法向量为(),,n x y z = ，则00n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即3603260y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令6z =，则2,4y x ==，即()4,2,6n = . 因为AC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的法向量为()3,3,0CA =-， 所以613cos ,152632n CA n CA n CA⋅===⨯. 又因为二面角为锐角，所以二面角F BE D --的余弦值为1313. （3）点M 是线段BD 上一个三等分点.证明如下:设(),,0M m m ，则()3,,0AM m m =-， 因为//AM 平面BEF ，所以0AM n ⋅=，即()4320m m -+=，解得2m =，所以点M 坐标为()2,2,0，即13BM BD =.18.（1）由11b =及410b =，得41341b b d -==-，所以32n b n =-. 因为1423log 3223n n b a n n +==-+=，所以14log n a n =，即()*14nn a n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.则11114414n n nn a a ++⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎪⎝⎭，所以数列{}n a 是首项114a =，公比14q =的等比数列.（2）由（1），得1111133231n n n c b b n n +⎛⎫==- ⎪-+⎝⎭，所以 11111111113447323133131n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ （3）因为()()313131n n nd n S n n n =+=+⋅=+， 则问题转化为对任意正整数n 使不等式1111224m n n n n +++>+++ 恒成立. 设()1111123f n n n n n n=++++++++ ，则 ()()()()()()111111*********f n f n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤+-=+++-+++⎢⎥⎢⎥+++++++++⎣⎦⎢⎥⎣⎦11121221n n n =+-+++ 1102122n n =->++. 所以()()1f n f n +>，故()f n 的最小值是/()112f =. 由1224m>，得整数m 可取最大值为11. 19. （1）因为32e =，所以32c a =，即2234c a =,22234a b a -=,所以224a b =， 设直线与椭圆交于,P Q 两点.不妨设P 点为直线和椭圆在第一象限的交点， 又因为弦长为4105，所以2525,55P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2244551a b +=，可得222254a b a b +=， 解得224,1a b ==，所以椭圆方程为2214x y +=.（2）①设()()1111,0A x y x y ≠，()22,D x y ，则()11,B x y --， 直线AB 的斜率11AB y k x =，又AB AD ⊥，故直线AD 的斜率11x k y =-，设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠. 由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222148440k x mkx m +++-= 所以122814mk x x k +=-+，()121222214my y k x x m k +=++=+ 由题意知12x x ≠，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+， 所以直线BD 的方程为()11114y y y x x x +=+，令0y =，得13x x =，即()13,0M x ，可得1212y k x =-， 所以1212k k =-，即12λ=-.因此存在常数12λ=-使结论成立.②直线BD 的方程为()11114yy y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即130,4N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭由①知()13,0M x ，可得OMN ∆的面积，11111393248S x y x y =⨯⨯=因为22111114x x y y ≤+=， 当且仅当11222x y ==时等号成立， 此时S 取得最大值98，所以OMN ∆面积的最大值为98.20.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞， 当a e =时，()ln x f x e e x e =--，()x ef x e x'=-， 而()x ef x e x'=-在()0,+∞上单调递增，又()10f '=， 当01x <<时，()()10f x f ''<=，则()f x 在()0,1上单调递减； 当1x >时，()()10f x f ''>=，则()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以()f x 有极小值，没有极大值.（2）先证明：当()0f x ≥恒成立时，有0a e <≤成立.若10x e<≤，则()()ln 10x f x e a x =-+≥显然成立；若1x e >，由()0f x ≥得ln 1xe a x ≤+，令()ln 1xe x x ϕ=+，则()()21ln 1ln 1x e x x x x ϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=+， 令()11ln 1g x x x x e ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，由()2110g x x x '=+>得()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为()10g =.所以()x ϕ'在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上为负，在()1,+∞为正，因此()x ϕ在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上递增，所以()()min 1x e ϕϕ==，从而0a e <≤.因而函数()y f x =若有两个零点，则a e >，所以()10f e a =-<，由()()ln a f a e a a a a e =-->得()ln 2a f a e a '=--，则()1110a a f a e e e a e e''=->->->. 所以()ln 2a f a e a '=--在(),e +∞上单调递增，所以()()2330a f a f e e e ''>=->->所以()ln a f a e a a a '=--在(),e +∞上单调递增，所以()()2220a f a f e e e e e >=->->，则()()10f f a < ，所以21x a <<，由a e >得1111111ln ln ln 0a a aa f e a a e a a e a e a e a a a ⎛⎫=--=+->+-=> ⎪⎝⎭，则()110f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以111x a <<， 综上得1211x x a a<<<<. （3）由（2）知当a e =时，()0f x ≥恒成立，所以()ln 0x f x e e x e =--≥， 即ln x e e x e -≥. 设()()0x x h x x e =>，则()1xxh x e -'=， 当01x <<时，()0h x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增； 当1x >时，()0h x '<，则()g x 在()1,+∞上单调递减. 所以()()0x x h x x e =>的最大值为()11h e =，即1x x e e ≤，因而2x xe e-≤， 所以2ln x x x e e x e e--≥≥，即221ln 0x x e e x x ----≥.。
天津市南开中学2018-2019学年高三(下)数学(理)---精校Word版含答案
天津市南开中学高三（下）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集，，，则集合等于A. B.C. D.2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 53.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是A. B.C. D.5.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为A. 2B.C. D.6.已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是A. B.C. D.7.已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O 为坐标原点，则与面积之和的最小值是A. B. 3C. D.8.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，，则a的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．10.二项式的展开式中常数项为______用数字表示．11.已知正实数x，y满足，则的最小值为______．12.在等腰梯形中，，，，，若，，且，则__．13.已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为______．14.已知定义在上的函数及如下的4个命题：关于x的方程有个不同的零点；对于实数，不等式恒成立；在上，方程有5个零点；时，函数的图象与x轴图成的形的面积是4．则以上命题正确的为______把正确命题前的序号填在横线上三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设Ⅰ求函数的最小正周期和单调递减区间；Ⅱ若锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，且，，，求角C及边c．16.某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；Ⅱ设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望17.如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE 与平面ABCD所成角为．求证：平面BDE；求二面角的余弦值；设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论．18.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，，，各项为正数的等比数列满足，．求数列，的通项公式；若，数列的前n项和；求；若对任意，，均有恒成立，求实数m的取值范围．19.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，离心率为，过椭圆的右焦点F的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．求椭圆的方程；设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；设，是线段为坐标原点上的一个动点，且，求m的取值范围．20.已知函数在处取得极值．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；Ⅲ证明：参考数据：．。