定积分的概念同步练习题(理科)(学生版)汇编

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定积分练习题

定积分练习题定积分练习题在微积分学习中，定积分是一个重要的概念和工具。

它不仅可以用来计算曲线下的面积，还可以解决各种实际问题。

为了更好地理解和应用定积分，下面将给出一些练习题，通过解题的过程来加深对定积分的理解。

1. 计算定积分∫[0, 2] x^2 dx。

解析：根据定积分的定义，我们可以将曲线y = x^2与x轴所围成的面积表示为∫[0, 2] x^2 dx。

为了计算这个积分，我们可以使用定积分的基本性质，即将曲线下的面积分成若干个小矩形，然后将这些矩形的面积相加。

将区间[0, 2]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (2-0)/n = 2/n。

在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = (xi)^2。

然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。

当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[0, 2] x^2 dx。

通过计算这个和式，我们可以得到∫[0, 2] x^2 dx = 8/3。

2. 计算定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。

解析：这个定积分的计算与上一个例子类似。

我们可以将曲线y = 2x+1与x轴所围成的面积表示为∫[1, 3] (2x+1) dx。

同样地，我们可以将区间[1, 3]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (3-1)/n = 2/n。

在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = 2xi+1。

然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。

当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。

通过计算这个和式，我们可以得到∫[1, 3] (2x+1) dx = 12。

3. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

解析：这个定积分的计算稍微复杂一些，因为它涉及到三角函数。

我们可以将曲线y = sin(x)与x轴所围成的面积表示为∫[0, π/2] sin(x) dx。

定积分单元练习题

定积分单元练习题定积分单元练习题定积分是微积分中的重要概念，它在解决实际问题和计算曲线下面积等方面起着关键作用。

下面我们来看一些定积分的练习题，通过解题的过程来深入理解定积分的概念和应用。

练习题1：计算定积分∫[0,2] (3x^2+2x-1)dx解析：根据定积分的定义，我们需要求出被积函数在区间[0,2]上的曲线下面积。

首先，我们可以对被积函数进行积分运算，得到∫(3x^2+2x-1)dx = x^3 + x^2- x。

然后，我们将上限2代入该函数，再减去将下限0代入该函数，得到∫[0,2] (3x^2+2x-1)dx = (2^3 + 2^2 - 2) - (0^3 + 0^2 - 0) = 10。

练习题2：计算定积分∫[1,4] (1/x)dx解析：这个练习题中的被积函数是1/x，我们需要求出其在区间[1,4]上的曲线下面积。

首先，我们可以对被积函数进行积分运算，得到∫(1/x)dx = ln|x|。

然后，我们将上限4代入该函数，再减去将下限1代入该函数，得到∫[1,4] (1/x)dx =ln|4| - ln|1| = ln(4)。

练习题3：计算定积分∫[0,π/2] (si nx)dx解析：这个练习题中的被积函数是sinx，我们需要求出其在区间[0,π/2]上的曲线下面积。

首先，我们可以对被积函数进行积分运算，得到∫(sinx)dx = -cosx。

然后，我们将上限π/2代入该函数，再减去将下限0代入该函数，得到∫[0,π/2] (sinx)dx = -cos(π/2) - (-cos(0)) = -1 - (-1) = 0。

通过以上练习题的解析，我们可以看到定积分的计算过程并不复杂，只需要对被积函数进行积分运算，然后将上限和下限代入得到结果。

定积分在实际问题中的应用非常广泛，例如计算曲线下面积、求解物体的质量、计算函数的平均值等等。

掌握了定积分的概念和计算方法，我们可以更好地理解和应用微积分的知识。

人教新课标A版高中选修2-2数学1.5定积分的概念同步练习(I)卷

人教新课标A版选修2-2数学1．5定积分的概念同步练习（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A .B . 1C . 2D .2. （2分）(2017·临汾模拟) 一物体A以速度v（t）=t2﹣t+6沿直线运动，则当时间由t=1变化到t=4时，物体A运动的路程是（）A . 26.5B . 53C . 31.5D . 633. （2分）在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离按胡克定律计算.今有一弹簧原长，每压缩1cm需0.049N的压缩力，若把这根弹簧从70cm压缩至50cm（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：J）A . 0.196B . 0.294C . 0.686D . 0.984. （2分） (2017高二下·枣强期末) 已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）A .B .C .D .5. （2分）求由抛物线与直线所围成的曲边梯形的面积时，将区间[ 等分成个小区间，则第个区间为（）A .B .C .D .6. （2分）由函数y=ex ， y=e及直线x=0所围成的图形的面积为（）A . 1B .C . e7. （2分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A . 3B .C . 3或D . 3或8. （2分） (2016高一下·宜春期中) 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A . 3B .C . 3或D . 3或9. （2分）已知，，记则的大小关系是（）A .B .C .D .10. （2分）设物体以速度v(t)=3t2+t(m/s)作直线运动，则它在0～4s内所走的路程为（）A . 70mC . 75mD . 80m11. （2分）（1+x+x2）（x﹣）6的展开式中常数项为m，则函数y=﹣x2与y=mx的图象所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·临淄期末) 由直线x=﹣，x= ，y=0与直线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A .B . 1C .D .13. （2分） (2016高二下·昌平期中) 由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .14. （2分）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如右图所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是（）A . 在时刻，甲车在乙车前面B . t1时刻后，甲车在乙车后面C . 在时刻，两车的位置相同D . 时刻后，乙车在甲车前面15. （2分） (2018高二下·虎林期末) 由曲线与所围成的平面图形的面积是（）A . 1B . 2C . 1.5D . 0.5二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）函数f（x）=x2﹣2x与x轴围成的曲边梯形的面积等于________．17. （1分）已知函数y=x2与y=kx（k＞0）的图象所围成的封闭区域的面积为，则k=________18. （1分） (2019高二下·黑龙江月考) 曲线和所围成的封闭图形的面积是________.19. （1分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________20. （1分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为________三、解答题 (共5题；共40分)21. （5分）计算下列积分：（1）；（2）．22. （15分）已知f（x）是定义在R上的奇函数恒满足，且对任意实数x恒满足f（x+2）=﹣f（x）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2（1）求证：函数f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]，求f（x）的解析式；（3）计算f（x）dx 的值．23. （10分） (2018高二下·巨鹿期末) 设函数在点处有极值 .（1）求常数的值;（2）求曲线与轴所围成的图形的面积.24. （5分） (2018高二下·大庆月考) 计算由直线曲线以及轴所围图形的面积。

定积分的概念练习(含答案)

定积分的概念练习（含答案）班级姓名一、填空题 1.⎰202dx = 42.⎰-11sin xdx = 03.⎰-1)1(dx x = 21-4.若f(x)-g(x)=0.且f(x)和g(x)都是可积函数,则⎰1)(x f -⎰1)(dx x g 与0的大小关系是等于0 5.⎰-2|1|dx x = 16.设函数y=f(x)在区间[0,2]上是连续函数,那么下列表示⎰2)(dx x f 正确的是 (填序号) （1）、（2）、（3）（1）⎰+10)(dx x f ⎰21)(dx x f （2）⎰+5.00)x (dx f ⎰20.5)(dx x f（3）⎰1)(dt t f +⎰21)(du u f （4）⎰1)(dx x f +⎰25.0)(dx x f7.下列各式中正确的是 (填序号) （2）（1）121102<<⎰dx x （2）21<dx x ⎰1<1 （3）⎰-<<113121dx x （4）0<dx x ⎰10<218.下列表示图中f(x)在区间[]b a ,上的图像与x 轴围成的面积总和的式子中，正确的是 (填序号)（4）（1）⎰badx x f )( （2）|⎰badx x f )(（3）⎰⎰⎰++1212)()()(c a c c cc dx x f dx x f dx x f （4）⎰⎰⎰+-1212)()()(c ac c cc dx x f dx x f dx x f 9.由一条曲线）其中0(1≥=x xy 与直线2,1==y y 轴所围成的曲边梯形的面积= ln2. 二、解答题10．中间部分是直线，下面部分是圆弧。

假设该断面最上面抛物线段方程为 y=1-x 2, x []1,0∈，用定义求它所围的那一块面积。

解：将]1,0[等分成n 等份，抛物线下面部分分割成n 个小曲边梯形，第i 个小曲边梯形用宽为n 1，高为2⎪⎭⎫⎝⎛-n i 1的矩形代替，它的面积nn i s i 1221(⋅-≈∆)分割越细，越接近面积准确值所求的总面积32261322123111121(12→+--=∑-=⋅∑=-≈=nn n n i n n n i n i n s i )附加题：求由曲线1,42==x x y 所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

高中数学北师大版选修2-2同步训练：(12)定积分的概念

（12）定积分的概念1、由直线1,22y y ==，曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是( ) A ．2ln 2 B ．2ln 21- C ．1ln 22 D ．542、由曲线y =直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为()A.103B.4C.163D.63、直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B. C. 2 D. 44、下列等式不成立的是( ) A.()()()()bb ba a a mf x ng x dx m f x dx n g x dx ⎡⎤+=+⎣⎦⎰⎰⎰B. ()()1bba a f x dx f x dxb a ⎡⎤+=+-⎣⎦⎰⎰ C. ()()()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx =⎰⎰⎰D.2π2π2π2π0sin sin sin xdx xdx xdx --=+⎰⎰⎰5、定积分1xdx ⎰与⎰的大小关系是( )A. 100xdx =⎰⎰B. 100xdx >⎰⎰C.100xdx <⎰⎰D.无法确定6、下列各命题中,不正确的是( )A.若()f x 是连续的奇函数,则()0aa f x dx -=⎰B.若()f x 是连续的偶函数,则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰C.若()f x 在[],a b 上连续且恒正,则()0baf x dx >⎰D.若()f x 在[],a b 连续,且()0baf x dx >⎰,则()f x 在[],a b 上恒正7、计算: 11||d x x -=⎰( )A. 11d x x -⎰B. 11d x -⎰C. 0110()d d x x x x --+⎰⎰D.11d ()d x x x x -+-⎰⎰8、在求由抛物线26y x =+与直线1,2,0x x y ===所围成的平面图形的面积时,把区间[]1,2等分成n 个小区间,则第i 个区间为()A. 1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,n i n i n n +-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []1,i i -D. 1,i i n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、当n 很大时,函数()2f x x =在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =上的值可以用哪个近似代替( )A.i n B. 1f n ⎛⎫⎪⎝⎭ C. i f n ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1n10、若定积分4π-=⎰,则m 等于( )A.-1B.0C.1D.2 11、由直线0x =、1x =、0y =和曲线22y x x =+围成的图形的面积为__________.12、已知函数2()321f x x x =++,若11()2()f x dx f a -=⎰成立,则实数a =__________.13、若11(2)d 3ln 2ax x x+=+⎰,则实数a =__________.14、已知12013x dx =⎰,22173x dx =⎰,则()2201x dx +=⎰__________.15、求由曲线2y 2x =+与3y x =,0x =,2x =所围成的平面图形的面积(画出图形).答案以及解析1答案及解析：答案：A 解析：2答案及解析：答案：C解析：根据题意,作出图形,联立{2y x y x ==-,得(4,2)C ,∵(2,0)B ,∴OAB △DCB △,则所求阴影部分的面积为433422002216|4333S xdx x ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭⎰.3答案及解析：答案：D 解析：由 34{y x y x==,得2x =± ,或0x = ,所以两图象的交点坐标为()0,0,()2,8,()2,8--. 所以直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积:()2324021144|024S x x dx x x ⎛⎫=-=⨯- ⎪⎝⎭⎰11441684424=⨯⨯-⨯=-=,故选D.4答案及解析：答案：C解析：利用定积分的性质进行判断,选项C 不成立.例如1012xdx =⎰,12013x dx =⎰,13014x dx =⎰,11132000x dx xdx x dx ≠⋅⎰⎰⎰.故选C.5答案及解析：答案：C解析：在同一坐标系中画出y x =与y x =的图象如图,由图可见,当[]0,1x ∈时, y x =y x =的图象上方,由定积分的几何意义知,1xdx xdx <⎰⎰.6答案及解析：答案：D解析：奇函数关于原点成中心对称,其在区间(,)a a -的图像与直线,x a x a =-=,x 轴围城的面积(考虑正负)之和为零;偶函数关于y 轴对称在y 轴两侧的面积应该相等,B 正确;C 显然正确;当在区间(),a b 内负的面积少于正的面积时, ()0baf x dx >⎰,但()f x 在[],a b 上可以为负.7答案及解析：答案：C 解析：因为(0)||(0)x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩,所以111111||d ||d ||d ()d d x x x x x x x x x x ---=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰,故选C.8答案及解析：答案：B解析：在区间[]1,2上等间隔地插入1n -个点,将它等分成n 个小区间11,n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦,12,n n n n ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,1,n i n i nn +-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,21,2n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以第i 个区间为1,n i n i n n +-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =.9答案及解析：答案：C解析：()2f x x =在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值可以用区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上每一点对应的函数值近似代替,故选C.10答案及解析：答案：A解析：根据定积分的几何意义知,定积分-⎰的值就是函数y =的图像与x 轴及直线2,x x m =-=所围成的图形的面积.y =是一个半径为1的半圆,其面积等于2π,而4π-=⎰,所以1m =-.11答案及解析：答案：43解析：将区间[]0,1,n 等分,每个区间长度为1n区间右端点函数值为22222i i i i y n n n n ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭.22223232111121212nn n ni i i i i i i i i i nn n n n n n ====⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑()32121112()(1)62n n n n n n n +++=⨯+⨯2223116n n n n n +++=+228916n n n ++=,∴所求面积2228914314lim lim 63263n n n n S n n n →+∞→+∞++⎛⎫==++= ⎪⎝⎭.12答案及解析：答案：1?-或13解析：取32()F x x x x =++,则(1)3F =,()11F -=-, 所以11()(1)(1)4f x dx F F ---==⎰,所以2()4f a =,所以()2f a =,即23212a a ++=,解得1a =-或13.13答案及解析：答案：2 解析：221111111(2)d 2d d ln 1ln 3ln 2aa a aa x x x x x x xa a xx +=+=+=-+=+⎰⎰⎰,解得2a =.14答案及解析：答案：143解析：22x dx ⎰122201x dx x dx =+⎰⎰178333=+=,2012dx =⎰, ∴()2222200081411233x dx x dx dx +=+=+=⎰⎰⎰.15答案及解析：答案：画出曲线2y 2x =+与3y x =,则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩,可得1x =或2x =.故平面图形的面积为3223122212010133(2)3d 3(2)d (2)|(2)|3223x x x x S x x x x x x x x =+-+-+=+-+--⎰⎰1=,所以所求图形的面积为1. 解析：由Ruize收集整理。

高中数学第四章定积分1定积分的概念同步练习北师大版选修22

高中数学第四章定积分 1 定积分的概念同步练习北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.用定积分定义求由x=2,x=3,y=21x,y=0围成的图形的面积.解:在[2,3]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间[2,2+n1],[2+n1,2+n2]…[2+ nn1-,3],记第i个区间为[2+ni1-,2+ni](i=1,2,…,n),其长度为Δx=n1.分别过上述n-1个分点作x轴的垂线与曲边梯形相交,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别为ΔS1、ΔS2、…ΔS n,显然S=∑=∆niiS1,设f(x)=21x,如图所示,当n很大时,Δx很小,在区间[2+ni1-,2+ni]上,可以认为函数f(x)=21x的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于ξi=)2)(12(nini+-+处的函数值f(ξi)=)2)(12(1nini+-+,这样在区间[2+ni1-,2+ni]上,用小矩形面积ΔS′i近似地代替ΔS i,则有ΔS i≈ΔS′i=f(ξi)·Δx=)2)(12(nini+-+·n1=(i=1,2,…,n).∴S n=∑=ni1ΔS′i=∑=ni1f(ξi)·n1=n1［3)12(1)22)(12(1)12(21•-+++++++nnnnn］=2161312131121221121121=-=--+++++++-nnnnn.思路分析:定积分的概念产生于分割、近似代替、求和、取极限这四步.故用四步法求定积分要注意解题的层次性,当然本题省略了求极限这一步.2.已知某物体做直线运动,其在时刻t(s)的速度为v(t)=t3(m/s),求物体在时刻t=0秒至时刻t=5秒这5秒时间内运动的距离.解:s=⎰05v(t)dt=∑=nk1(n5·k）3·n5(n→∞)=∑=nk1445n·k3(n→∞)=445n［2)1(+nn］2(n→∞)=454≈(米）.答:该物体在5秒内运动的距离为156.25米.思路分析：⎰abv（t）dt指速度为v（t）的运动的物体从时刻a到时刻b所运动过的路程。

(完整版)定积分练习题

一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析：由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0），利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案：－47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________．解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为。

2-14第十四节定积分与微积分基本定理(理)练习题(年高考总复习)(最新整理)

5 答案
4
三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分)
1
1
2
17
fx
∫ ∫ ∫ 10．若 f(x)是一次函数，且 f(x)dx＝5， xf(x)dx＝，求
6
x
0
0
1
dx 的值．
解 ∵f(x)是一次函数，∴设 f(x)＝ax＋b(a≠0)．
1
1
1
∫ ( ) 由 (ax＋b)dx＝5，得 ax2＋bx |10＝ a＋b＝5.①
0
0
1
2
∫ ∫ 解析面积 S＝ (1－x2)dx＋ (x2－1)dx
0
1
2
2
∫ ＝ |x2－1|dx，故选 C. 0
答案 C 4．(2012·湖北卷)已知二次函数 y＝f(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为( )
2π
4
A.
B.
5
3
3
π
C.
D.
2
2
解析
答案 B
5．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情
1
x2 x3 1 1 1
∫ ( ) S＝ (x－x2)dx＝－ |10＝－＝ . 2 3 236 0
又可得抛物线 y＝x－x2 与 y＝kx 两交点的横坐标为 x′1＝0，x′2
＝1－k，
所以S＝∫1－0 k(x－x2－kx)dx 2
1－k x3
( ) ＝
x2－ |1－0 k
2
3
＝1(1－k)3. 6
B．S2<S1<S3 D．S3<S2<S1
解析本题考查微积分基本定理．

定积分典型例题及习题答案

04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积分为0。
定积分的分部积分法
总结词
分Hale Waihona Puke 积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
详细描述
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导来找到一个函数的定积分。具体来说，对于两个函数u(x)和v'(x)，其乘积的导数为u'v+uv'，其中u'表示u对x的导数。分部积分法可以表示为∫bau(x)v'(x)dx=∫bau'(x)v(x)dx+∫bau(x)v(x)dx，其中u'(x)和u(x)分别是u对x的导数和函
定积分典型例题及习题答案
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分典型例题解析 • 定积分习题答案及解析
01 定积分的基本概念
定积分的定义
总结词
定积分的定义是通过对函数进行分割、近似、求和、取极限等步骤来得到的。
详细描述
定积分定义为对于一个给定的函数f(x)，选择一个区间[a,b]，并将其分割为n个小区间，在每个小区间上选择一个代表点，并求出函数在这些点的近似值，然后将这些近似值进行求和，最后取这个和的极限。
数值。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转换为更简单的形式进行计算。

定积分练习题

定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。

3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。

4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。

5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。

二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。

7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。

8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。

9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。

三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。

11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。

12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。

13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。

14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。

四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。

定积分的概念与性质-习题

定积分的概念与性质-习题1．利⽤定积分的定义计算下列积分：⑴baxdx ?（a b <）；【解】第⼀步：分割在区间[,]a b 中插⼊1n -个等分点：k b ax k n-=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[,]a b 分为n 个等长的⼩区间[(1),]b a b a a k a k n n--+-+，（1,2,,k n =L ），每个⼩区间的长度均为k b an-?=，取每个⼩区间的右端点k b ax a k n-=+，（1,2,,k n =L ），第⼆步：求和对于函数()f x x =，构造和式1()n n k k k S f x ==??∑1n k k k x ==??∑1()nk b a b aa k n n=--=+∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1()nk b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2b a b a n n na n n ---=+? 1()[(1)]2b a b a a n -=-+-1()()22b a b a b a a n --=-+-? 1第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==??∑1lim()()22n b a b a b a n→∞+-=--? ()(0)22b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=，即得baxdx ?222b a -=。

⑵1xe dx ?。

【解】第⼀步：分割在区间[0,1]中插⼊1n -个等分点：k k x n=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[0,1]分为n 个等长的⼩区间1[,]k kn n-，（1,2,,1k n =-L ），每个⼩区间的长度均为1k n ?=，取每个⼩区间的右端点k k x n=，（1,2,,k n =L ），第⼆步：求和1()nn k k k S f x ==??∑1knx k k e ==??∑11k nnk e n ==?∑11kn n k e n ==∑由于数列k n e ??为等⽐数列，其⾸项为11n x e =，公⽐为1n q e =，可知其前n 项和为1111[1()]1k nnn n nk ne e e e=-=-∑11(1)1nne e e-=-，于是1()nn k k k S f x ==??∑11kn n k e n ==∑111(1)1n1(1)1n ne ne e =-- 第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==??∑111lim (1)1n n nen e e →∞=--1 x n=0(1)lim 1x x x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)lim x x x x e xe e e →+--01=(1)lim 1 x xe →+-- =(1)(1)1e e --=-，即得11x e dx e =-?。

(完整版)定积分测试题及答案.doc

定积分测试题及答案班级：姓名：分数：一、选择题：（每小题 5 分）1 1-x 2dx （）1.A.0B.1C.D 42(2010 ·山东日照模考 )a ＝ 2xdx ，b ＝ 2e xdx ，c ＝2sinxdx ，则 a 、b 、c的大小关系是 ()A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b3.(2010 山·东理，由曲线y ＝ 2，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为 ()7) x1 11 7 A. 12B.4C.3D.124．由三条直线 x ＝0、x ＝2、y ＝0 和曲线 y ＝ x 3所围成的图形的面积为()418A ．4B.3C. 5D ．65.(2010 湖·南师大附中 )设点 P 在曲线 y ＝ x 2 上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线 OP ，直线 y ＝x 2 及直线 x ＝2 所围成的面积分别记作 S 1，S 2.如图所示，当 S 1＝S 2 时，点 P 的坐标是 ()4 164 16 4 15 4 13 A.3，9B.5，9C.3，7D.5，76．(2010 ·湖南省考试院调研 )1 -1(sinx ＋1)dx 的值为 ( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos17．曲线 y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线 y ＝1 所围成的图形面积是 ()3πA ．2πB ． 3πC. 2D ．π8．函数 F(x)＝ xt(t －4)dt 在[－1,5]上 ()A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0 和最小值－ 32332C ．有最小值－ 3 ，无最大值D．既无最大值也无最小值S n ＝2n 2＋n ，函数 f(x)＝ x1 9．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 t dt ，若13，则 x 的取值范围是 ()f(x)<a3－A. 6 ，＋∞B ．(0，e 21)C ．(e 11，e)D ．(0，e 11)10．(2010 ·福建厦门一中 )如图所示，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y ＝sinx(0≤x ≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点 (该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的 )，则所投的点落在阴影部分的概率是 ()123πA. D.4．·吉林质检函数x ＋2 －2≤x<0的图象与 x 轴所围 ) f(x) ＝π 11 (20102cosx 0≤x ≤2成的图形面积 S 为()31A. 2B ．1C ．4D.212．(2010 ·吉林省调研 )已知正方形四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)， B(1,1)，C(0,1)，曲线 y ＝x 2(x ≥0)与 x 轴，直线 x ＝1 构成区域 M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域 M 内的概率是 () 11 1 2A. 2B. 4C.3D.5二、填空题：（每小题 5 分）13.sinxdx= ______________14.物体在力 F(x)=3x+4 的作用下，沿着与 F 相同的方向，从 x=0 处运动到 x=4 处，力 F 所做的功为 ______________21x )dx15. (x______________116. 1e x )dx(e x ______________17.(2010 芜·湖十二中 )已知函数 f(x)＝3x 2 1＋2x ＋1，若 -1 f(x)dx ＝2f(a)成立，则 a ＝________.18．(2010 ·安徽合肥质检 )抛物线 y2＝ax(a>0)与直线 x＝1 围成的封闭4图形的面积为3，若直线 l 与抛物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0，则 l 的方程为 ______．19．(2010 ·福建福州市 )已知函数 f(x)＝－ x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与 x 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域 (图1中阴影部分 )的面积为12，则 a 的值为 ________．20．如图所示，在区间 [0,1] 上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定 t 的值，使图中阴影部分的面积 S1＋S2最小为 ________．答案1.D 2D 3A 4A 5A 6B 7A 8B 9D 10A 11C 12 C 13.2 14.40 15 23 + ln 2 16.e- 1e 17.-1 或31 18.16x-8y+1=0 19.-1 20. 41。

微积分基本定理同步练习题(理科)(学生版)

微积分基本定理同步练习题（理科）一、选择题1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( )①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)；③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n →＋∞i ＝1n b －ans ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( )A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3． ʃ10(e x＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．eD ．e ＋14．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0＝( ) A ．±1B.2 C ．± 3D ．25．sin 2x2d x 等于( ) A.π4B.π2－1 C ．2D.π－246．曲线y ＝x 2－1与x 轴所围成图形的面积等于( )A.13B.23C ．1D.437.下列式子正确的是（）A. )()()(a f b f dx x f ba -=⎰ B. )()()(a fb f dx x f ba-='⎰ C.)()(x f dx x f ba=⎰D.)()(x f dx x f ba ='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ 8.=⎰12dx x ( )A. 0B.31 C. 231x D. x 2 9．设函数f(x)＝ax 2＋1，若⎠⎛01f(x)d x ＝2，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．410．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A 12 B ．1 C32D 3 11.=⎪⎭⎫⎝⎛+⎰-dx x x 22421( ) A.214B.54C.338D.21812．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x <1)2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在13.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223C.233D.25314.θθπd ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-3022sin 21 的值为（）A ．－32B ．－12 C.12D.3215．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．sin xC ．－cos xD ．－sin x16．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对17．a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e xd x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b18．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6二、填空题 19.满足212)(xx x F -='的函数)(x F 为_____________。

定积分的概念与性质练习

第一节定积分的概念与性质一、选择题1。

A ； 2. C 。

二、填空题1. （1）1; （2)0; （3)4π. 2。

（1）120x dx ⎰〉130x dx ⎰, （2）21ln xdx ⎰ >()221ln x dx ⎰,（3）2xdx π⎰<20sin xdx π⎰，(4）43ln xdx ⎰ < ()423ln x dx ⎰。

三、解由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分221x dx -⎰是存在的，且它与分法无关,同时也与点的取法无关.将区间[]0,1n 等分,得1i x n =，取() 1,2,,i ii n nξ==作和 ()2321113344001114n n n n ii i i i n n i S x i n nn n ξ---===+⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑∑ 于是 1lim 4n n S →∞=即 13014x dx =⎰.四、细棒的质量()0lx dx ρ⎰.五、113x e dx -+⎰311x e dx +-=-⎰.设()()11,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加,从而 ()()()13f f x f -≤≤，即141x e e +≤≤。

于是 314144x e dx e +-≤≤⎰从而 141344x e e dx -+-≤≤-⎰。

六、设()()221,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点14x =. ()17101,,1482f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以 min ()f x =1, max ()f x =78。

17≤≤, 由定积分性质，得120127≤≤⎰.第二节微积分基本公式一、填空题1.2； 2。

()()33sin cos 3cos cos cos 3sin x x x x --；3. 0.二、 cos y x '= ; 0cos01x y ='==； 2cos02x y ππ='==。

人教版高中数学理科选修2-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：11定积分的概念

定积分的概念【学习目标】1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．【要点梳理】要点一、定积分的定义定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式： 11()()nnn i i i i b aS f x f n x x ==-=D =邋如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx=ò，定积分的相关名称：⎰——叫做积分号，()f x ——叫做被积函数， ()d f x x ——叫做被积表达式，x ——叫做积分变量，a ——叫做积分下限，b ——叫做积分上限，[a ，b]——叫做积分区间。

要点诠释：（1）定积分()baf x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ??时）记为()baf x dxò，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bb baaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如12(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同。

人教版a版高中数学选修22第一章1.5《定积分概念》练习(学生版)

高中数学学习资料金戈铁骑整理制作1.5 定积分的看法一、选择题1．当 n 很大，函数f(x)＝ x 2 在区i 1, i (i ＝ 1,2， ⋯， n)上的可以用 ()近似代替n nA.iB ． f1C ． fi1nnnD ．n2．在求由抛物 y ＝ x 2＋6 与直 x ＝ 1，x ＝ 2， y ＝0 所成的平面形的面，把区[1,2] 均分成 n 个小区，第 i 个区 ()A ．i1, iB ．n i 1, n iC ． i1,iD ． i , i 1n nn nnn3 x dx 56 ， () 3．已知f12 f x dx283x dx 28A.1B.f2223C.12 f x dx56D.1 fx dx2 fx dx5611 xdx 的大小关系是 (4．定分0 xdx 与)1 xdx ＝ 1xdx 1xdx >1 xdxA.0 B ． 0 011 xdxC.xdx <D ．无法确定5．以低等式不成立的是()A.bmf xng x dx ＝ mb x dx ＋nb g x dxa f aabf x 1 dx ＝ bB.f x dx ＋ b －aaaC.b b bf xg x dx ＝ f x dx g x dx a a a2π02πD.sin xdx ＝sin xdx0sin xdx2 π 2 π6．以下命题不正确的选项是()A ．若 f(x)是连续的奇函数，则af x dx0aaf x dxaf x dxB ．若 f(x)是连续的偶函数，则a2bx dx0C．若 f(x)在 [a， b]上连续且恒正，则fabx dx 0 ，则f(x)在[a，b)上恒正D ．若 f(x)在 [a， b)上连续且fa二、填空题11 ，22dx 7，则7．已知x2dx x0313221 dx ＝________. x8．由直线x＝ 0、 x＝1、 y＝ 0 和曲线 y＝ x2＋ 2x 围成的图形的面积为__________ ．三、解答题1x2x dx e2 e ，22dx8， 2 29．已知 e dx e 1 ，e x dx 2ln 2 .求：0103 1 x22e x3x2dx ；(3)21dx .(1) e x dx； (2)e x001x10.弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力 F(x)=kx(k 为常数， x 是伸长量 )，求弹簧从平衡地址拉长 b 所做的功 .。