2巩固练习_归纳与类比_基础

【巩固练习】一、选择题
1．下列几种推理过程是类比推理的是( )
A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠
B 是两条直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°
B ．某校高三（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52人，由此得高三所有班人数均超过50人
C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D ．在数列中，，由此得出的通项公式2．观察图中各正方形图案，每条边上有n （n ≥2）个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S n ，按此规律推出S n 与n 的关系式为（
）。

A. n 2
B. 2n
C.4n
D.4n -4
3．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }
中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是（ ）
A ． b 4＋b 8>b 5＋b 7
B ． b 5＋b 7>b 4＋b 8
C ． b 4＋b 7>b 5＋b 8
D ． b 4＋b 5>b 7＋b 8
4. 对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和（
）”
A ．为定值
B ．为变数
C ．有时为定值，有时为变数
D ．与正四面体无关的常数
5．图是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式是（
）
A ．C 4H 9
B ．
C 4H 10
C ．C 4H 11
D ．C 6H 12
6．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。

在ABCD 中，有AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)
，
{}n a ()111
11
1(22n n n a a a n a +≥－－＝，
＝{}n a
那么在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，等于（
）
A ．2(A
B 2+AD 2+AA 12) B ．3(AB 2+AD 2+AA 12)
C ．4(AB 2+A
D 2+AA 12) D ．4(AB 2+AD 2)
二、填空题
7．如图所示，第n 个图形是由正n +2边形拓展而来（n =1，2，3，…—），则第n －2个图形共有________个顶点．
8．已知f (x
+1)=
， f (1)=1，(x ∈N*)，猜想f (x )的表达式为
．
9．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是________．10． 已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝
，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝． 通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题：____________________________．11．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1，2，3，4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1，2，3，4)，若
，则，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1，
2，3，4)，若，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于_________．三、解答题
12． 如图所示，图(a )是棱长为1的小正方体，图(b )、图(c )是由这样的小正方体摆放而
成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n ．解答下列问题：
(1)按照要求填表：
n
1
2
3
4
…
2212
1111AC BD CA DB +++2()
()2
f x f x +323
2
3124
1234
a a a a k ====12342234S
h h h h k ＋＋＋＝3124
1234
S S S S k ====
S n
136…
(2)求出S 10的值，并猜想S n ．13．观察以下各等式：
，，，分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性加以证明．14．类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．15、在数列{a n }中，a 1=1， a n +1=(n ∈N +)，归纳猜想这个数列的通项公式，无须证明．
【答案与解析】1．【答案】C ．
【解析】选项B 、D 是归纳推理，选项A 是演绎推理2．【答案】D
【解析】仔细观察所给图形的变化规律，每条边上增加一个圆圈，正方形图案的圆圈总数就增加4个。

3．【答案】A
【解析】 排除法．令，
则b 4+b 8=136，b 5+b 7=80，b 4+b 8> b 5+b 7，排除选项B ；
b 4＋b 7=72，b 5＋b 8=144，b 4＋b 7<b 5＋b 8，排除选项C ； b 4< b 7，b 5<b 8，则b 4＋b 5<b 7＋b 8，排除选项D ；
故选A ．
4. 【答案】A
【解析】 类比猜想A 对，再取值验证。

5．【答案】B
【解析】 观察得其规律，每增加一个碳元素则同时增加两个氢元素，所以C3H8的后一种化合物的分子式为C 4H 10．
223sin 30cos 60sin 30cos604︒+︒+︒⋅︒=223sin 40cos 70sin 40cos704︒+︒+︒⋅︒=223sin 15cos 45sin15cos 454
︒+︒+︒⋅︒=
22n
n
a a +=2n n b
6．【答案】C
【解析】 在ABCD 中，等式AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)，实际上是对角线的平方和问题，在平行六面体中，不妨设为长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，则其体对角线AC 12=AB 2+AD 2+AA 12，又此时AC 1=BD 1=CA 1=DB 1，所以只有C 选项满足。

7．【答案】n 2+n
【解析】 正三角形每边长出一个正三角形后，其顶点数为3+3×3；正四边形每边长出一个正四边形后，其顶点数为4+4×4．故正n 边形每边长出一个正n 边形后，其顶点数为n +n ×n ．
而第n ―2个图形刚好是由正n ―2+2=n 边形每边长出一个正n 边形所得，故顶点数为n 2+n ．
8． 【答案】 f (x )=
【解析】 归纳规律猜想可得．
9．【答案】各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等 【解析】 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．10．【答案】s in 2(α－60°)＋s in 2α＋s in 2(α＋60°)＝
32
【解析】30，90，150；5，65，125都是以60为公差的等差数列．11．【答案】
【解析】
12．【解析】(1)；(2) 按摆放规律，，
2
1
x +3V
k
43410S S =+=11S =
，，，
…
依次规律，，
．
13．【解析】反映一般规律的等式是（表述形式不唯一）：
．证明如下：
14．【解析】如答图12（1）所示，在直角三角形ABC 中，∠B=90°，设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，则勾股定理，得b 2=a 2+c 2．
类似地，在四面体D—EFG 中，∠EDG=∠EDF=∠FDG=90°，设S 1、S 2、S 3和S 分别为△GDF 、△GDE 、△EDF 和△EFG 的面积(如答图12（2）所示)，相应答图12（1）中直角三角形的两条直角这a 、c 和斜边b ，答图12（2）中的四面体有3个“直角面”S 1、S 2、S
3和一个“斜面”S
．于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2=S 12+S 22+S 32成立．15． 【解析】在数列{a n }中，∵a 1=1， a n +1
=(n ∈N +)∴
21=1+2S S =32=1+2+3S S =43=1+2+3+4S S =101011
1+2+3++10=
=552
S ⨯= ()11232n n n S n +=++++= 223
sin cos (30)sin cos(30)4
++︒+⋅+︒=
αααα22sin cos (30)sin cos(30)++︒+⋅+︒αααα222sin (cos cos30sin sin 30)sin (cos cos30sin sin 30)=+⋅︒-︒+︒-︒αααααα2
22
11sin sin cos sin 22⎫=+-+-⎪⎪⎭
αααααα2222311sin cos sin cos cos sin 442
=+++-αααααααα
2233(sin cos )44
=+=αα22n
n
a a +
∴这个数列的通项公式是a n =．证明步骤省略．
3124123451234222222222
1,,,,,2221231241251
a a a a a a a a a a a a a ==========++++++++
2
1
n +。