江苏盐城市射阳高中数学第2章数列23等比数列(6)学案苏教版5!

合集下载

高中数学第二章 2.3等比数列学案苏教版必修5

听课随笔2.3等比数列第1课时【学习导航】知识网络学习要求1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念；2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法；3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题. 【自学评价】1．等比数列：一般地，如果一个数列从__________，每一项与它的前一项的比等于________，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的_____；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0）注:⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ,｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）⑵ 隐含：任一项00≠≠q a n 且 ⑶______________时，{a n }为常数列. 2.等比数列的通项公式： ⑴ ______________________ ⑵1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠3．既是等差又是等比数列的数列：_______． 4.等比中项的定义：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.且2G ac =5．证明数列{}n a 为等比数列： ⑴定义：证明1n na a +=常数； ⑵中项性质：212121n n n n n n n a a a a a a a +++++==或；【精典范例】【例1】判断下列数列是否为等比数列：（１）１，１，１，１，１；（２）０，１，２，４，８；（３）1，21-，41，81-，161.【解】【例2】求出下列等比数列中的未知项：（１）２，ａ，８；（２）－４，ｂ，ｃ，21．【解】【例3】在等比数列{a n }中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．【解】【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．【解】听课随笔追踪训练一1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：（1）２，６，１８，５４，…；（2）7，314，928，;,2756（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…；（4）5，15+c ，125+c ， ,513+c .2. 数列m ,m ,m ,…m , ( ) A. 一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列C.一定是等差数列，不一定是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列3.已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n +a n +1},{a n +1－a n }，{1+n na a }na n 这四个数列中，是等比数列的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【选修延伸】【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数. 【解】【例6】已知数列｛a n ｝满足：lg a n ＝3n ＋5，试用定义证明｛a n ｝是等比数列. 【证明】【点评】若｛a n ｝是等差数列，b n ＝b an 可以证明数列｛b n ｝为等比数列，反之若｛a n ｝为等比数列且a n ＞0，则可证明｛lg a n ｝为等差数列. 追踪训练二 1．在等比数列｛a n ｝中，a 3·a 4·a 5＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 9·a 10·a 11的值等于( ) A.48 B.72 C.144 D.192 2．在等比数列中，已知首项为89，末项为31,公比为32，则项数n 等于___ __. 3．已知等比数列{a n }的公比q =－31,则86427531a a a a a a a a ++++++=___ ___.4．已知数列｛a n ｝为等比数列，(1)若a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5.(2)a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .。

高中数学第二章数列 2.3 等比数列教案苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案

等比数列教学过程一、复习回顾师：前面我们已经学习了有关等差数列的有关知识，请一位同学来回答一下等差数列的定义的文字语言是什么？生：如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

师：等差数列的定义的数学表达式是什么？生：*+∈=-N n d d a n )(a 1n 为常数师：等差数列的通项公式是什么？生：d n a )1(a 1n -+=二、新知探究（一）等比数列的定义师：学完等差数列后，有学生问我：“老师，既然研究了差，我们是不是还要研究等和数列，等积数列，等商数列呢？我充满了好奇！”请问如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“和”都等于同一个常数，请同学们举例子。

生：生：师：如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“积”都等于同一个常数，请同学们举例子。

生：生：师：如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“比”都等于同一个常数，请同学们举例子。

生：生：“等和数列”，“等积数列”，“等比数列”三者中，哪种更具有研究价值呢？生：生：我们的生活中“等比数列”的例子很多，如商品打折，银行存款等。

师：探究，类比等差数列定义同桌之间互相讨论，总结等比数列定义的文字语言。

生：师：定义中你觉得关键的字眼有哪些？生：生：师：你会用数学表达式来表示等比数列定义吗？生：生：例1：观察以下几个数列，回答下面问题：1, 1, 1, 1, 1；0, 1, 2, 4, 8；1, 2, 0, 4, 8；1, 2, 4, 8，0；-3，-9，-27，-81，-243；-1，1/2，1/4，1/8.师：①有哪几个是等比数列？若是，公比等于多少？生：师：②公比q能等于零吗？首项能为零吗？等比数列中会有某一项等于0吗？生：师：③存在公比q=1的等比数列吗？存在公比q=-1的等比数列吗？生：师：④从第三项起，每一项与它的前一项之比是同一个常数，这个数列是否是等比数列？生：师：⑤既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，请举例！例2：求出下列等比数列中的未知项（1）2，a ，8（2）-4,b ，c ，8（二）等比中项师：由例2中的（1），类比等差中项的概念，你能给出等比中项的概念吗？生：师：2,-6之间是否存在等比中项？生：师：1和4的等比中项是什么？生：师：若ab G =2，则G 是否一定是a 和b 的等比中项吗？生：师：如果把例2中的（2），变为 -4,a,b ，c ，d,e,f,8呢？（三）等比数列的通项公式：这两个等比数列的通项公式。

江苏省盐城市射阳县高中数学第2章数列 2.3 等比数列(1)学案(无答案)苏教版必修5

等比数列（1）学习目标：1、掌握等比数列的定义；2、理解等比中项的概念；学习重、难点：能根据等比数列的定义判断或证明一个数列为等比数列；预习任务：看书P49-P50，弄懂下列概念，完成相应问题。

1、考察下列数列是否为等差数列?如果是请在后面打“√”，不是的打“×” ①1984 , 1988 , 1992 , 1996 , 2000 , 2004 , ； ②0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.5 , 0.6 , … ； ③11111,,,,,24816∙∙∙ ；2、在上题中不是等差数列的那个数列它有什么特征？；3、请看下面几个数列是否都具有这个特征；与等差数列相比，区别在那里；①2311110,10,10(),10(),222⨯⨯⨯∙∙∙；②2336,360.9,360.9,360.9,⨯⨯⨯∙∙∙③5,5,5,5,∙∙∙∙； ④1.2,4,8,16,32,---∙∙∙∙4、等比数列的定义：；这个常数叫做；通常用字母表示；符号表示为；5、判断下列数列是否为等比数列：正确打“√”，错误打“×”①1,1,1,1,1,1, ；②0，1，2，4，，8；；③0，0，0，0，0，0；； ④2，4，6，8，10；；⑤2222log 2,log 4,log 16,log 256; ； 6、求下列等比数列中的未知项：（1）2,,8a ；则a = ；（2）14,,,;2b c -则b = ；c = ；（3）1,,,,16a b c ；则a = ；b = ；c = ；7、等比中项:如果,,a A b 这三个数成等比数列，那么A ＝____.则称A 叫做,a b 的等比中项。

8、若,,a b c 满足2b ac =，则数列,,a b c 一定是等比数列吗？；若不是，请举例；9、若{a n }为等比数列，首项为1a ，公比为q ，用1a ，q 表示该数列的其它项：2a = ；3a = ；4a = ；∙∙∙∙；n a = ；10、已知{a n }为等比数列，若232,6,a a ==-则公比q = ；6a = ； 11、已知{a n }为等比数列，若427,q 3,a ==-则7a = ；探究案【B ：探究案】探究一：●一个等比数列的第三项与第四项分别是12与18，则1a = ；2a = ； ●已知一等比数列的前三项依次为,22,33x x x ++，那么1132-是此数列的第项； ●在83和272之间插入三个数，使得这五个数成等比数列，则插入的三个数乘积为；探究二：●三个数成等比数列，和为7，这三个数积为8，求三个数变式练习：有四个数，前三个数依次成等比数列，它们积为8，后三个数依次成等差数列，它们的和为12，求这四个数。

高中数学第二章数列数列复习1导学案苏教版必修5

必修5 数列复习小结第1课时第 19 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、知识点总结（一）数列的概念1．数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数a n=f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2．数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是，而不是_______；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a n｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3．数列的分类1）按数列项数的多少可以分为和。

2）按数列中相邻两项的大小可分为、、和 .4．数列的通项a n与前n项和S n之间的关系对任一数列有a n=（二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛a n｝为等差数列，则有a n-a n-1=(其中n≥2，n∈N*).2.等差中项：3.等差数列的通项公式：a n=，其中a1为首项，d为公差.当d>0时，数列｛a n｝为数列；当d<0时，数列｛a n｝为数列；当d=0时，数列｛a n｝为列.4.等差数列的前n项和公式：_____________________________; _____________________________5.等差数列的性质：（1）等差数列｛a n ｝中，a n -a m = d ；（2）等差数列｛a n ｝中，若m+n=p+q (其中m,n,p,q ∈N *)，则；若m+n=2p ，则a m +a n = p ，也称a p 为a m ，a n 的 .（3）等差数列中依次k 项和成等差数列，即___________________________________成等差数列，其公差为。

6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为___________________ 若四个数成等差数列，可设为_____________________________. 7.等差数列的判定方法：1）定义法： ⇔{}n a 是等差数列。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.3 等比数列》

2.3.2等比数列的通项公式类比两个数列问题1若2,,5a 三个数成等比数列，则____a =；【温故知新】等比数列定义：nn a a 1+=q （n N *∈,q ≠0）；等比中项：若,,a b c 成等比数列，则2b ac =问题2在等比数列中，第2021多少？【新知探求】等比数列的通项公式：111(0)n n a a q a q -=⋅⋅≠推广公式：1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠【实践演练】问题3 在等比数列{}n a 中，13,2,a q ==-求6,n a a ；问题4 在等比数列{}n a 中，3620,160,a a ==求1,,n a q a ；问题5 在等比数列{}n a 中，4620,160,a a ==求1,,n a q a ；问题6 在等比数列{}n a 中，514215,6a a a a -=-=，求n a ；小结：解决等比数列问题的重要方法——基本量法；处理等比数列计算问题解方程组时，通常采用两式相除消元法。

问题7 在243和３中间插入三个数，使这五个数成等比数列，求这三个数；问题8（2021年江苏第19题改编）设1a ，2a ，3a ，4a 是各项均不为零的等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，求1a d 的值和等比数列的公比问题9 已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为128-，求这四个数【用心思考】问题10（2021江苏第14题）设是公比为的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，若数列有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则=【课堂小结】（1）等比数列通项公式中的基本量为1a ，q ，n ，n a ，可以“知三求一”；（2）求等比数列中的基本量学会运用方程思想解题；。

江苏省盐城市射阳县高中数学第2章数列2.1数列的概念及其表示(2)学案苏教版必修5

数列(2)学习目标：理解数列通项公式的概念, 会根据通项公式写出数列的前几项, 会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；学习重点: 确定数列的通项公式预习任务：看书P32-P33、弄懂下列概念，完成第1，2，5，6题。

1、下列四种说法：①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列；②数列1，2，3与数列1，2，3是同一数列；③数列a,b,c 与数列,,c b a 一定不是同一数列；④1，2，3不是数列；其中正确的有（填序号）2、写出下列数列的前五项 ①121n n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭ 、、、、；②cos 3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭、、、、； 3、按照的一列数称为数列，数列中的叫做这个数列的。

的数列叫做又穷数列，的数列叫做无穷数列。

4、如果数列｛n a ｝的的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的。

5、已知数列｛n a ｝的通项公式为21n n a =+。

●则1a = ；12a a += ；123a a a ++= ； 1234a a a a +++= ；定义：数列｛n a ｝中，12n a a a ++•••+称为数列数列｛n a ｝的前n 和，记为n S如：1S 表示前1项和：11s a =；2S 表示前2项和：212s a a =+；依次类推，••••10S = ；1n S -= ；n S = ；接第5题：计算：6S = ；1n S -= ；1n n S S --= ；6、试一下：若数列｛n a ｝中，2n S n n =+，则数列｛n a ｝的通项公式为；7、你能总结出n S 和n a 的关系吗？；探究案探究一：●写出数列的一个通项公式, 使得它的前几项是下列各数:(1) －1 , 21 , －31, 41 ；(2) 3 , 3 , 15, 21 , 3 (3) 9 , 99 , 999 , 9999 ；(4) 3 , 5 , 3 , 5 , 3 , 5 ；探究二：●已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2－5n+4 .(1)数列中有多少项是负数?(2) n 为何值时, a n 有最小值? 并求出最小值.探究三：●已知{a n }的前n 项和为: ①S n =2n 2－n ; ②S n =n 2+n+1 , 求a n .探究四：●若数列{a n }的通项为a n =－2n 2+13n, 画出它在x 轴上方的图象, 请根据图象求出a n 的最大值; 并在同一坐标系中画出函数f(x)=－2x 2+13x 的图象, 根据图象求出f(x)的最大值, 并与a n 的最大值进行比较.主备人：袁彩伟编号： 22016-2017版高中数学必修五数列的概念及其表示作业第2课时1、已知数列{a n }的通项公式为a n =nn +22, 则101是其该数列的第项； 2、写出下列数列的一个通项公式(1) 5 , 55 , 555 , 5555 , … n a = ； (2)31 , 1 , 59 , 38 , … n a = ； (3) 21 , －49 , 625 , －849, …n a = ； (4) 1 , 0 , －31 , 0 , 51 , 0 , －71 , 0 , …n a = ； 3、已知数列{a n }的通项公式是a n =n 2－12n+34 .(1)解不等式 a n >a n+1 ;(2)该数列中是否存在最小的项? 若存在, 是第几项? 若不存在, 请说明理由.4、已知数列{a n }中a 1=1 , a n+1=1+n n a n . (1)写出数列的前5项 ; (2)猜想数列的通项公式 .5、设数列的前n 项和为S n =n 2+2n+4 (n ∈N*), 求这个数列的通项公式。

高中数学第2章数列 2.3 等比数列(6)学案苏教版必修5

等比数列(6 )学习目标：能解决等比数列的一些简单的综合问题（求数列的通项公式）；学习重、难点：进一步掌握等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，并能解决相关问题。

预习任务：弄懂下列概念，完成相应问题。

1、等比数列{}n a 的通项公式为；中项公式为；2、等比数列的性质；（下标和定理）3、等比数列{}n a 的前n 项和公式： n S = = ；4、在等比数列{}n a 中，已知3q =，3133S =，则n a = ；n S = ； 5、在等比数列{}n a 中，2136,630a a a =+=，则n a = ；n S = ；6、在等比数列{}n a 中，141,42a a ==，则数列{}2n a 的前5项和为；则数列{}2n a 的前n 项和为； 7、在等比数列{}n a 中，141,42a a ==，则12233445a a a a a a a a +++= ； 12231n n a a a a a a ++++= ；8、在等比数列{}n a 中，141,4,2a a ==-则126a a a ++= ； 9、在等比数列{}n a 中，12341,1,2a a a a +=+=则78910a a a a +++= ； 10、在数列{}n a 中，已知11a =，121,n n a a +=+则11a += ；21a += ； 31a += ；41a += ；则1(1)n i i a =+∑= ；n a = ；11、数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，113n n a S +=，则1a = ；2a = ；3a = ； 4a = ；5a = ；则n a = ；则242n a a a +++= ；探究案探究一：● 在数列{}n a 中，已知11a =，111,2n n a a +=+，（1）求证：{}2n a -的通项公式；（2）求数列{}n a 的通项公式；变式：若数列{}n a 满足113,23,n n a a a +==+求数列{}n a 的通项公式；探究二：● 已知数列{}n a 是等差数列，26a =，518a =；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且112n n T b +=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证{}n b 是等比数列；变式：已知{}n a 满足：12213311,,222n n n a a a a a ++===- （1）记1,n n n d a a +=-求证：数列{}n d 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；主备人：袁彩伟编号： 62016-2017版高中数学必修五等比数列（6）作业第6课时1、已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式为；2、已知数列{}n a 满足：11a =，1n n a a n +-=，计算：2a = ；3a = ；4a = ；则{}n a 通项公式为；3、已知数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n ++=，则数列{}n a 的通项公式为；4、数列{}n a 的前n 和为n s ，若22n s n n =+，则数列{}n a 的通项公式为。

【高中】高中数学第2章数列2322等比数列的性质学案苏教版必修5

【关键字】高中第2课时等比数列的性质1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点)2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1 等比数列与指数函数的关系阅读教材P53，完成下列问题．如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．若等比数列{an}的通项公式an＝2n＋p，则p＝________.【解析】结合等比数列{an}的图象特点，可知p＝0.【答案】0教材整理2 等比数列的性质阅读教材P54第12题，P55第14题，第16题，完成下列问题．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….1．在等比数列{an}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.【解析】a2·a8＝a＝1.【答案】 12．在等比数列{an}中，a2＝3，a6＝27，则a4＝________.【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)＝3×27＝81，∴a3a4＝±9.【答案】±9[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]在等比数列(1)若a11＝243，求的值；(2)若an>0，且a6＝32，求log1＋log2＋…＋log8的值．【精彩点拨】利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解．【自主解答】(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，∴a7＝3.又＝＝a7，∴＝3.(2)log1＋log2＋…＋log8＝log1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．[再练一题]1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.【解】(1)∵{a n}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a28，a3·a5＝a24，∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4， ∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.灵活设项求解等比数列有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【精彩点拨】解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．【自主解答】法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.∴当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1．三数成等比数列，一般可设为aq，a ，aq .2．四数成等比数列，一般可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3. 3．五数成等比数列，一般可设为a q2，a q，a ，aq ，aq 2. [再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【导学号：】【解】设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.∵⎝⎛⎭⎪⎫aq －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]等差数列与等比数列的综合应用探究n 2n 【提示】 {log 2a n }是等差数列，由log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n可知．探究2 若{a n }是等差数列，则{2a n }是什么数列？【提示】 {2a n }是等比数列，由2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n 可知．设{a n }是公差大于0的等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18， (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求等差数列{a n }的通项a n . 【精彩点拨】 (1)证明b n ＋1b n为同一常数；(2)先求b n ，由b n 求a n . 【自主解答】 (1)证明：设{a n }的公差为d (d ＞0)， ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d为常数，且b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＞0， ∴{b n }为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1为首项，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫12d的等比数列．(2)∵b 1b 2b 3＝18，∴b 32＝18，∴b 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178，b 1b 3＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18，b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18.∵q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d∈(0,1)，∴b 1＞b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3，∴a n ＝2n －3，(n ∈N *)．等差数列与等比数列的转化1．若数列{a n }为等差数列，则数列{ma n }(m >0，m ≠1)为等比数列．2．若数列{a n }为等比数列，且a n >0，则数列{log b a n }(b >0，b ≠1)为等差数列． [再练一题]3．已知{x n }为各项不为1的正项等比数列，{y n }满足y n ·log x n a ＝2(a ＞0且a ≠1)，设y 4＝17，y 7＝11.则数列{y n }的前多少项的和最大？最大值是多少？【解】 y n ＝2log x n a ＝2log a x n ，且{x n }为等比数列，∵y n －1＋y n ＋1＝2log a x n －1＋2log a x n ＋1＝2log a (x n －1·x n ＋1)＝2log a x 2n ＝4log a x n ＝2y n ，n ≥2，n ∈N *， ∴{y n }为等差数列．又y 4＝17，y 7＝11＝y 4＋3d ，∴d ＝－2， ∴y n ＝y 4－2(n －4)＝25－2n (n ∈N *)．由y n ≥0，知n ≤12.故{y n }的前12项和最大，其最大值为12×23＋12＝144.[构建·体系]1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是________．①a 1，a 3，a 9成等比数列；②a 2，a 3，a 6成等比数列；③a 2，a 4，a 8成等比数列；④a 3，a 6，a 9成等比数列．【解析】 ∵3＋9＝2×6，∴a 26＝a 3·a 9，∴a 3，a 6，a 9成等比数列．【答案】 ④2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝50， ∴a 4a 5a 6＝±52，又a n >0，∴a 4a 5a 6＝5 2. 【答案】 5 23．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________.【导学号：】【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝362324＝4.【答案】 44．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.【解析】因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7. 又∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝a 1a 10＝a 4a 7＝a 3a 8＝a 2a 9＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2a 3…a 10)＝log 395＝log 3310＝10. 【答案】 105．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．【解】依题意可设这四个数分别为：4－d24，4－d,4,4＋d ，则由前三个数和为19，可列方程得，4－d 24＋4－d ＋4＝19，整理得，d 2－12d －28＝0，解得d ＝－2或d ＝14.∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2. 我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a，即a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a＝1. 【答案】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【答案】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.【答案】－74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.【导学号：】【解析】设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6，.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5，解得q ＝26， ∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 【答案】 325．已知数列{a n }是等比数列，且a 2a 6＝2a 4，则a 3a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 6＝2a 4，由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝2a 4，∴a 4＝2，∴a 3a 5＝4. 【答案】 46．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.【解析】由题意知a ＋c ＝2b ， ∴5b ＝10，b ＝2， ∴a ＋c ＝4.∵a c ＝b a，∴a 2＝bc ，∴a 2＝2c ， ∴a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，a ＝b ＝2不合题意，∴a ＝－4. 【答案】－47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q ＝________.【解析】设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0，则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d .∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1， ∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 38．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 【解析】设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【答案】 14 二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128.(3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2<0， ∴a 5＝－4 2.10．若a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又∵边a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，由余弦定理∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cos π3＝12，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．若正数a ，b ，c 成公比大于1的等比数列，则当x >1时，下列关于log a x ，log b x ，log c x 的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列．【解析】 a ，b ，c 成等比数列，则b a ＝cb，即b 2＝ac,2log x b ＝log x a ＋log x c ，即2log b x ＝1log a x ＋1log c x，即1log a x ，1log b x ，1log c x成等差数列．【答案】 ③2．(2016·启东高二检测)设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0，给出下列结论： ①0<q <1；②T 198<1；③a 99a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199. 其中正确的编号为________．【解析】根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a 99a 100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a 99－1a 100－1<0，可知a 99，a 100一个大于1，一个小于1，因为a 1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q <1，而且a 99>1，a 100<1，又a 99·a 101＝a 2100<1，①③正确；T 198＝a 1a 2…a 99a 100…a 197·a 198＝(a 99a 100)99>1，②不正确；T 199＝a 1a 2…a 100…a 198a 199＝(a 100)199<1，故④正确．【答案】 ①③④3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 ∵b n ＝a n ＋1， ∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1， ∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝－3624＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】－94．若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4.(2)假设存在常数a ，b .由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1，代入a n ＝log a b n ＋b ，得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高中数学第二章数列§231等比数列的概念导学案苏教版必修

§2.3.1等比数列的概念第 1 5 课时一、学习目标（1）明确等比数列的定义，初步掌握等比数列的通项公式；（2）会解决知道n q a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题；（3）培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识。

二、学法指导1．等比数列必须是从第2项起，每一项与它前一项的比是同一个常数。

若从第3或第4项起，每一项与它前一项的比是同一个常数，则不能断定这个数列是等比数列。

2．类比思想的应用三、课前预习1．如果一个数列从起，每一项与它前一项的等于，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示。

2．思考等比数列与等差数列的联系与区别课堂探究等比数列的概念☆问题情境：（1）“一尺之锤，日取其半，万世不竭。

”（2）“细胞分裂”探究：1．什么是等比数列？探究：2．等比数列的通项公式：若等比数列}{n a 的首项为1a ，公比是q ，则11-=n n q a a （推导）注：（1）一个等比数列可以由首项和公比来唯一确定。

)0(≠q（2）在n q a a n ,,,1四个基本量中，“知三求一”数学运用：例1：判断下列数列是否为等比数列：（1）1，1，1，1；（2）0，1，2，4，8；（3）11111,,,,24816-- .例2：求出下列等比数列中的未知项：（1）8,,2a （2）.21,,,4c b -例3：（1）在等比数列{}n a 中，是否有211n n n a a a -+=⋅（2n ≥）？（2）在数列{}n a 中，对于任意的正整数n （2n ≥），都有211n n n a a a -+=⋅，那么数列{}n a 一定是等比数列吗？．例4：在等比数列{}n a 中，（1）已知13a =，2q =-，求6a ；（2）已知320a =，6160a =，求n a ．（3）983是等比数列Λ,3,3,3,121147中的第几项？四、巩固训练（一）当堂练习（47页书后练习）（二）（补充选做）1、等比数列}{n a 中，8,1842==a a ，则________1=a ，公比.________=q2、将100,50,20加上相同的常数，使它们成等比数列，则其公比为_________________五、反思总结。

高中数学等比数列教案2 苏教版必修5.doc

第8课时：§2.3 等比数列（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；2.深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；3.提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.二、过程与方法通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

三、情感、态度与价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：等比中项的理解与应用难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题【学法与教学用具】：1.学法：2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母g表示（（?工0）,即：d=q（gzO）a…-i2.等比数列的通项公式：a n = , a n = a m -q n~m{a m - 0）3.［a n］成等比数列o 也 =g （ " w N+, gHO）“ a…工0”是数列［a n］成等比数列的必要非充分条件a”4.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列.二、研探新知1.等比中项：如果在&与方中间插入一个数使a,G,b成等比数列，那么称这个数0为$与方的等比中项.即Q 土y［ab （②方同号）推导：若在仪与方中间插入一个数使a,G,b成等比数列，则—=^>G2= ab^> G = ±y/~ab / a G反之，若G? =ab,则9 = 2,即aGb成等比数列/. a,G,b成等比数列o G? =ab〈ab壬0)a G探究：已知数列｛a”｝是等比数列，(1) af = a3a7是否成立？af = 成立吗？为什么？(2) a； = a”-%](“〉1)是否成立？你据此能得到什么结论？a： = a n_k a n+k(n >k>0)是否成立？你又能得到什么结论？结论：若｛a”｝为等比数列，m + n = p + q (m,n,q,p & NJ ,贝0 a m - a n =a p-a q.由等比数列通项公式得：a m =a l q m^ a n = a x q n^ , a p=a x q p~x ,a^= a x-q q ｛, 故a,” • a n = Q冷2 且勺.仙=a^q p+q 2, '： m + n = p + q, :. a m• a” =a p-a q.2.等比数列的性质：(1)与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。

高中数学第2章数列 2.3.2.1 等比数列的概念及通项公式学案苏教版必修5-苏教版高中必修5

第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．( )(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．( )(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n －1＝3n，∴n ＝6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题，完成下列问题．1．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且满足G 2＝ab . 2．若数列{a n }是等比数列，对任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1·a n ＋1.1．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.【解析】 ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. 【答案】 ±32．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. 【解析】 ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4， ∴a ＝±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)．又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列． (3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ；当ab ＝0时，不是等比数列．等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为________． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1，所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 成等比数列吗？【提示】不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列．探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？【提示】不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】法一：利用等比数列的通项公式求解；法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________. 【解析】由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8.【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)．【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数．【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列．设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】－243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.【答案】－3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2. 【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数．【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1qn －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －1＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3q ＝1舍去，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列：由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－n ＋1a n －n＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.【答案】13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．【解析】由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)．故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q和－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

高中数学第二章数列231等比数列的概念学案苏教版必修

2．3.1 等比数列的概念学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一等比数列的概念思考观察下列4个数列，归纳它们的共同特点． ①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，116，…；③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，….梳理等比数列的概念和特点．(1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的________一项的________都等于____________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示(q ≠0)． (2)递推公式形式的定义：a n a n －1＝q (n >1)(或a n ＋1a n＝q ，n ∈N *)． (3)等比数列各项均________为0.知识点二等比中项的概念思考在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？梳理等差中项与等比中项的异同，对比如下表：类型一等比数列的判定例1 判断下列数列是不是等比数列．(1)0,1,2,4；(2)1,1,1,1；(3)0.1,0.01,0.001,0.000 1；(4)3，－33，9，－9 3.反思与感悟(1)等比数列任一项均不为0.(2)等比数列的公比可以是任意非零常数．跟踪训练1 根据下列条件，写出等比数列的前4项．(1)a1＝1，q＝2；(2)a1＝－1，q＝2；(3)a1＝1，q＝－2；(4)a1＝－1，q＝－2.类型二证明等比数列例2 已知数列{a n}满足a1＝78，且a n＋1＝12a n＋13，n∈N*.求证：{a n －23}是等比数列．反思与感悟判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列．1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3＝________.2．若等比数列的首项为4，公比为2，则这个数列的第6项为________． 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则公比q ＝________. 4．45和80的等比中项为________．1．等比数列的判断或证明 (1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．答案精析问题导学知识点一思考从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．梳理(1)二前比同一个公比 (3)不能知识点二思考设这个数为G .则G 2＝8G，G 2＝16，G ＝±4.所以这样的数有2个．题型探究例1 解 (1)10无意义，不是等比数列．(2)每项与前一项的比均为1，是等比数列．(3)0.010.1＝0.1，0.0010.01＝0.1，0.000 10.001＝0.1，是等比数列．(4)－333＝－3，9－33＝－3，－939＝－3，是等比数列．跟踪训练1 解 (1)a 1＝1，a 2＝a 1×2＝2，a 3＝a 2×2＝4，a 4＝a 3×2＝8. (2)a 1＝－1，a 2＝a 1×2＝－2，a 3＝a 2×2＝－4，a 4＝a 3×2＝－8. (3)a 1＝1，a 2＝a 1×(－2)＝－2，a 3＝a 2×(－2)＝4，a 4＝a 3×(－2)＝－8. (4)a 1＝－1，a 2＝a 1×(－2)＝2，a 3＝a 2×(－2)＝－4，a 4＝a 3×(－2)＝8. 例2 证明 ∵a n ＋1＝12a n ＋13.∴a n ＋1－23＝12a n ＋13－23＝12a n －13＝12(a n －23)，∵a 1－23＝78－23＝524≠0，∴a n ＋1－23a n －23＝12，n ∈N *，∴{a n －23}是公比为12的等比数列．跟踪训练2 (1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减得，a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．当堂训练1．32 2.128 3.2 4.－60或60。

江苏省盐城市射阳县高中数学第2章数列 2.1 数列的概

数列的概念及其表示（1）教学目标：1、了解数列的概念及其表示方法, 理解数列通项公式的有关概念；2、给出数列的通项公式, 会写出数列的第几项; 给出简单数列的前几项, 会写出它的通项公式。

学习重点: 用函数的观点理解数列的概念.预习任务：看书P31-P32，弄懂下列概念，完成第9题。

1、大千世界蕴含着无数的自然规律, 从细胞分裂到放射性物质的衰变, 从树木的生长模式到葵花种子, 鹦鹉螺壳花纹的排列……它们各有其消长的方式和特点, 如：⑴: 树木生长规律: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , ……⑵ 彗星每隔83年出现一次 1740 , 1823 , 1906 , 1989 , 2072, ……⑶ 一尺之棰, 日取其半, 万世不竭 1 , 21 , 41 , 81 , 161, …… ⑷: 我国参加6次奥运会获得金牌总数 15 , 5 , 16 , 16 , 28 , 32 ,问题: 上述例子有何共同特点；2、上题第（4）题中，第五次获得的金牌数为；3、数列的定义：的一列数叫做数列4、数列的项：数列中的都叫做这个数列的项.5、.数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第项.6、.数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用来表示，那么就叫做这个数列的通项公式.7．数列的分类：1）根据数列项数的多少分数列和数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为数列，数列，数列，和数列。

8、在第1题中，有穷数列序号为；无穷数列序号为；递增减数列序号为；9、.已知数列{a n }的通项公式为 (1)a n =1+n n ; (2)a n =n n 2)1(- , 分别写出这两个数列的前5项, 并作出它们的图象.探究案探究一：●写出一个数列的通项公式, 使它的前4项分别是下列各数: (1) 211⨯ , 321⨯- , 431⨯ , 541⨯- ;(2) 0 , 2 , 0 , 2变式练习：写出数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数.(1) －1 , 2 , －3 , 4 ；(2) 2 , 4 , 6 , 8 ；(3) 1 , 4 , 9 , 16 ；(4) 1 , －21 , 21 , －31 , 31 , －41 , 41 , －51 ；探究二：已知数列2，74，2，…的通项公式为2n an b a cn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式练习：1、根据数列{a n }的通项公式a n = 1－3n, 写出它的前5项；2、根据数列{a n }的通项公式) a n =n 2+n , 写出它的第6项和第10项；主备人：袁彩伟编号： 12016-2017版高中数学必修五数列的概念及其表示作业第1课时1、数列{a n }的通项公式a n =f(n)是一个函数关系式, 它的定义域为2、已知a 1=1 , a n+1=22+n n a a , (n ∈N*), 依次写出{a n }的前5项为_______ _______ .3、在数列1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , x , 34 , 55 , … 中, x 的值是___________ .4、写出下面数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数.(1) 3 , 6 , 9 , 12 (2) 2122- , 3132- , 4142- , 5152- (3) 12 , 23 , 34 , 45 (4) 121⨯- , 221⨯ , 321⨯- , 421⨯(5) 1 , 41 , 91 , 161（6）－21, 61, －121, 2015、已知无穷数列1×2 , 2×3 , 3×4 , … , n(n+1) , …(1)求这个数列的第10项, 第31项及第48项.(2) 420是不是这个数列中的项? 如果是, 是第几项?6、已知数列{}n a 的通项公式 221n n a n =+ ，判断并证明数列{}n a 的单调性。

江苏省盐城市射阳县高中数学第2章数列 2.3 等差数列与等比数列的综合应用学案(无答案)苏教版必修5

等差数列与等比数列的综合应用学习目标：1、进一步熟练掌握等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．学习重点：有关公式的使用；学习难点：数列的综合应用探究一：●完成下列填空，并写出所用等差数列与等比数列知识(表格)及方法。

1、已知{}n a )0(>n a 是等比数列，则数列{}n a 2log 是数列（填等差或等比），若6log log 2252=-a a ，则{}n a 的公比是；2、已知121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，则212a ab -的值是； 3、若公差不为零的等差数列{}n a 的2a 、3a 、6a 成等比数列，则其公比q ，135246a a a a a a ++=++ ；4、公差不为零的等差数列}{n a 中，有02211273=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列，且8677,b b a b 则== ；5、n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比是 __ ___；若123,,s s s 成等差数列，则{}n a 的公比是 __ _；6、若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，200820090a a +>，20082009.0a a <，，则使前n 项和n S 取最大值时的最大自然数n 是；使得0n S >成立的最大自然数n 是；探究案探究二：● 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ， …，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5， k 3＝17，求k n探究三：●将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵： 111213121222323132333123n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a aa 已知a 11＝2，a 13＝a 61＋1．该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，其中m 为正实数．（Ⅰ）求第i 行第j 列的数a ij ；（Ⅱ）求这n 2个数的和主备人：袁彩伟编号： 72016-2017版高中数学必修五等差数列与等比数列综合应用（7）作业第7课时1、等差数列{a n }的首项是a 1=1,公差0d ≠,如果a 1,a 2,a 5成等比数列,那么d 等于；2、在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5= ；3、已知函数f(x)满足f(0)=1，f(x+1)=23+ f(x) (x ∈R)，则数列{f(n)}的前20项和为；4、等差数列{a n }中，已知a 1<0，前n 项之和为S n ，且S 7=S 17，则S n 最小时n 的值为；5、在等差数列{a n }中，24)(2)(31310753=++++a a a a a ，则等差数列的前13项之和为；6、等差数列{a n }与等比数列{b n }满足：a 1=b 1>0，a 5=b 5, 则a 3与b 3的大小关系为；7、已知-9，a 1，a 2，-1四个实数成等差数列，-9，b 1，b 2，b 3，-1五个实数成等比数列，则)(122a a b -的值等于；8、设数列{a n }的通项为a n =2n-7()n N +∈,则 |a 1|+|a 2|+……|a 15|= ；9、已知1)(+=x xx f ，数列{a n }满足：a n =f(a n －1)(n ∈N +，n ≥2)，且a 1=f(2)，则a 10= ；10、已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项之和分别S n 和T n ,若22,3n n S n T n +=+则77a b =11、已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求21321111n na a a a a a ++++---12、数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；（II ）2462n a a a a ++++的值.。

高中数学第二章数列数列复习2导学案(教师版) 苏教版必修5

必修5 数列复习小结第2课时第 20 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、例题探究例1（2009浙江文）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．I ）求1a 及n a ；II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n（Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例 2 (2009山东卷文)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=,111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=-- 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=- 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和n T .例3.某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n 为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解: (Ⅰ)依题意知，数列n A 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以2(1)480(20)490102n n n A n n n -=+⨯-=-， 2111500(1)500(1)500(1)600222n n B =++++++-＝2111500500()600222nn ++++- ＝11[1()]22500500600112n n -+⨯--＝5005001002n n -- (Ⅱ)依题意得，n n B A >，即2500500100490102n n n n -->-，可化简得250102n n n <+-， ∴可设n n f 250)(=，2()10g n n n =+- 又+∈N n ，∴可设)(n f 是减函数，)(n g 是增函数，又5050(3)(3)2,(4)(4)8816f g f g =>==<= 则4n =时不等式成立，即4年三、课后作业1.（2007宁夏）已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于________22．（2006江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝_________1003.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为．答案262n n-+四、反思总结。

高中数学第2章数列 2.3.1 等比数列的概念教案苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案

等比数列的概念教学目标：1. 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等比数列的概念．2. 利用等比数列解决实际问题．教学重点：等比数列的概念．教学难点：理解等比数列“等比〞的特点．可以通过与等差数列进行类比来突破难点．教学方法：启发式、讨论式．教学过程：一、问题情境情境1：某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1,2,4,8,16,情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰〞视为1份，那么每日剩下的部分依次为1111,,,,24816情境3：某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10﹪〔就是说这辆车每年减少它的价值的10﹪〕，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为23⨯⨯⨯36,360.9,360.9,360.9,问题：与等差数列相比，上面这些数列有什么特点？二、学生活动通过观察，发现：1．上述数列的共同特征，从第2项起，每一项都与它的前一项的比等于同一个常数．而等差数列的特征是，从第2项起，每一项都与它的前一项的差等于同一个常数． 2．根据这一规律可以发现任何一项都可以找出来．通过讨论，得到这些问题共同的特点是，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．三、建构教学1. 归纳总结，形成等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示．2. 符号记法，假设数列{}n a 为等比数列，公比为q ，那么)2(1≥=-n q a a n n ．问题1：以下数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？〔1〕1,1,1,1,1；〔2〕8,4,2,1,0；〔3〕161,81,41,21,1--；〔4〕432,,,x x x x ．问题2：一个数列是等比数列，那么它的项和公比必须满足什么条件？问题3：当等比数列的公比为负数的时候，数列每一项有什么样的特征？〔学生讨论回答〕答问题1中〔1〕、〔3〕是等比数列，公比分别是1和21-；〔2〕不是；〔4〕当x 不等于0的时候是，等于0的时候不是．问题2中等比数列的每一项都不能为0，公比也不能等于0．问题3中项是呈正负交替出现，形成摇摆数列．3. 等比中项的概念．假设b G a ,,成等比数列，那么G 叫a 和b 的等比中项，且ab G ab G ±==,2．注：同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数．四、数学运用1. 例题．例2 〔1〕在等比数列{}n a 中，是否有)2(112≥=+-n a a a n n n ？〔2〕如果数列{}n a 中，对于任意的正整数()2≥n ，都有112+-=n n n a a a ，那么{}n a 一定成等比数列吗？引导学生利用课本P36例3的证明过程对等比数列进行讨论，只是要提醒学生等比数列每一项均不为0．所以〔2〕不一定成立，只有在每一项均不为0的时候才成立．总结判定数列是否是等比数列的两个方法：定义法和等比中项法．例3 等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ．（1）新数列1221,,,,,a a a a a n n n --也是等比数列吗？如果是，公比是多少？（2）依次取出数列{}n a 所有的奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？（3）数列{}()0≠c ca n 是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？引导学生讨论，按照等比数列的定义，利用)2(1≥=-n q a a n n 判断．归纳总结一般性的结论：如果取出的项下标成等差数列，按照原来的顺序排列形成的新数列依然是等比数列，公比是d q 〔d 为下标成等差数列时的公差〕2. 练习．（1）以下数列是等比数列，请在括号内填上适当的数：①〔〕，3,27； ②3，〔〕，5； ③1，〔〕，〔〕，881．（2）直角三角形的三边c b a ,,成等比，c 为斜边，那么___________sin =A ．（3）数列{}n a 满足：53lg +=n a n ，试用定义证明{}n a 是等比数列．五、要点归纳与方法小结1. 了解等比数列的概念，形成与等差数列的一个对比；2. 对于等比数列的每一项均不为0要进行讨论；3. 证明一个数列是等比数列要用定义法证明，即()21≥=-n q a a n n ．六、课外作业课本练习P51第1，2，3，6题．。

2019-2020学年高中数学第2章数列2.3等比数列1学案苏教版必修

2019-2020学年高中数学第2章数列2.3等比数列1学案苏教版必修学习目标：1、掌握等比数列的定义；2、理解等比中项的概念；学习重、难点：能根据等比数列的定义判断或证明一个数列为等比数列；预习任务：看书P49-P50，弄懂下列概念，完成相应问题。

1、考察下列数列是否为等差数列?如果是请在后面打“√”，不是的打“×”①1984 , 1988 , 1992 , 1996 , 2000 , 2004 , ；②0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.5 , 0.6 , … ； ③11111,,,,,24816••• ； 2、在上题中不是等差数列的那个数列它有什么特征？；3、请看下面几个数列是否都具有这个特征；与等差数列相比，区别在那里； ①2311110,10,10(),10(),222⨯⨯⨯•••；②2336,360.9,360.9,360.9,⨯⨯⨯••• ③5,5,5,5,••••； ④1.2,4,8,16,32,---••••4、等比数列的定义：；这个常数叫做；通常用字母表示；符号表示为；5、判断下列数列是否为等比数列：正确打“√”，错误打“×”①1,1,1,1,1,1, ；②0，1，2，4，，8；；③0，0，0，0，0，0；；④2，4，6，8，10；；⑤2222log 2,log 4,log 16,log 256; ；6、求下列等比数列中的未知项：（1）2,,8a ；则a = ；（2）14,,,;2b c -则b = ；c = ；（3）1,,,,16a b c ；则a = ；b = ；c = ；7、等比中项:如果,,a A b 这三个数成等比数列，那么A ＝____.则称A 叫做,a b 的等比中项。

8、若,,a b c 满足2b ac =，则数列,,a b c 一定是等比数列吗？；若不是，请举例；9、若{a n }为等比数列，首项为1a ，公比为q ，用1a ，q 表示该数列的其它项：2a = ；3a = ；4a = ；••••；n a = ；10、已知{a n }为等比数列，若232,6,a a ==-则公比q = ；6a = ；11、已知{a n }为等比数列，若427,q 3,a ==-则7a = ；探究案【B ：探究案】探究一：●一个等比数列的第三项与第四项分别是12与18，则1a = ；2a = ；●已知一等比数列的前三项依次为,22,33x x x ++，那么1132-是此数列的第项； ●在83和272之间插入三个数，使得这五个数成等比数列，则插入的三个数乘积为；探究二：●三个数成等比数列，和为7，这三个数积为8，求三个数变式练习：有四个数，前三个数依次成等比数列，它们积为8，后三个数依次成等差数列，它们的和为12，求这四个数。

江苏省盐城市射阳县高中数学第2章数列 2.2 等差数列(1)学案江苏省盐城市射阳县高中数学第2

等差数列(1)学习目标：理解等差中项的概念，能应用等差中项的性质解题；学习重、难点：利用等差数列解决简单的应用问题。

预习任务：看书P35-P36，弄懂下列概念，完成第1，2，6，8题。

1、考察下列数列有什么共同的特点?①1984 , 1988 , 1992 , 1996 , 2000 , 2004 ,②0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.5 , 0.6 , …③38 , 40 , 42 , 44 , …④9000 , 8500 , 8000 , 7500 , …共同的特点是：；2、在数列{a n }中a 1=3 , a 10=21 , 通项公式是项数的一次函数.●则数列{a n }的通项公式为 ,●写出这个数列的前五项：、、、、；●观察这些数列有什么特征：；●你能否举一个与它有类似特征的数列吗？；3、等差数列的定义：____________________________ __________；这个常数叫做；公差通常用字母表示；即：1n n a a --= ；(2)n ≥4、判断下列数列是否为等差数列：①1，1，1，1，1；②4，7，10，13，16；③-3，-2，-1，1，2，3；④1， 0，1，0，1；5、等差中项:如果,,a A b 这三个数成等差数列，那么A ＝____.则称A 叫做,a b 的等差中项。

6、求等差数列中的未知项.(1) 3 , a , 5 ；则a = ；(2) 3 , b , c , －9则b = ；c = ；7、若{a n }为等差数列，首项为1a ，公差为d ，用1a ，d 表示该数列的其它项：2a = ；3a = ；4a = ；∙∙∙∙；n a = ；8、若{a n }为等差数列，若132,6,a a ==则公差d = ；8a = ；探究案探究一：●在等差数列{a n }中, 已知a 3=10 , a 9=28 , 则a 12 = ；●若{}n a 是等差数列，3315=a ，21761=a ，试判断153是否为该数列的项。

江苏盐城市射阳高中数学第2章数列23等比数列(6)学案苏教版5!

高中数学 第二章 2.3等比数列学案 苏教版必修5

高中数学 第二章 数列 2.3 等比数列教案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案

江苏省盐城市射阳县高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列(1)学案(无答案)苏教版必修5

高中数学 第二章数列 数列复习1导学案 苏教版必修5