数学建模-微分方程模型.pptx

年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况
年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
根据假设，在 t 到 t t 时间段内，人口的增长量为
x(t t) x(t) rx(t)t
x(t) ~时刻t的人口
dx

dt

rx

x(0) x0
x(t t) x(t) rx(t) t
x(t) x0 (er )t x0(1 r)t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
dy 2x (2) dx
对（1）式两端积分得：y 2xdx x2 C (3)
又因曲线满足条件 y |x1 2
代入（3）得C＝1
因此，所求曲线的方程为
y x2 1.
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回答什么是微分方程：
建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
数学建模－ 微分方程模型
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xx 同济大学数学科学学院
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一、什么是微分方程？
最最简单的例子
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引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 若设曲线方程为 y f (x)，(1)
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
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S—孔口横截面积（单位：平方厘米） h(t) —水面高度（单位：厘米） t—时间（单位：秒） 当S=1平方厘米，有
水位降低 体积变化 r1
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r2
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h(t) h+Δh
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在[t，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh<0), 容器中水的体积的改变量为
令Δt 0, 得
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dV=－πr2 dh， （2）
比较(1)、(2)两式得微分方程如下：
积分后整理得
0≤h≤100
令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分.
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2、复杂的数学模型
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人口增长模型
背景
世界人口增长概况
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t).
直接求 很困难
建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
建立变量能满足 的微分方程
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？ 哪一类问题
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在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关
键词提示我们注意什么量在变化.
研究人口变化规律
控制人口过快增长
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常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r
k年后人口
x x (1 r)k
k
0
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指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数，即单位
时间内人口的增长量与人口成正比，且比例系数为r
例1 铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地 有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量 不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理 学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的 含量M成正比，已知t＝0时刻铀的含量为 M0 ， 求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化 规律。
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模型检验 据估计1961年地球上人口总数为，在以后7年中，
人口总数以每年2% 的数度增长，这样
t0 1961, x0 3.06109, r 0.02
x(t) 3.06109 e0.02(t1961)
这个公式非常准确地反映了1700－1961年世界人口的总数。
所以有，M (t) M 0et 这就是铀的衰变规律。
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一、运用已知物理定律
例2 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？
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=25.870，
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
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二. 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.
利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建 立有关变量间的相互关系.
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例1 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中
两端积分

dy y


2 xdx,
ln y x2 C1
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初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)

y
x

x0

y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)

y
x

x0

y0 ,
yx x0
y' 2x
y xy, y 2 y 3 y e x ,
d k( 20)
dt
dM M
dt
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二、微分方程的解法
积分方法，分离变量法
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可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
+ {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数}
更般 一化
基本模型
{Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}
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三. 微元法
基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况.
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例 一个高为2米的球体容器里盛了一半 的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面
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牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差.
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似.
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
例如 dy
4
2x2 y5

y
4
5dy

2
x
2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
分离变量法设函数G( y源自和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
数,
为微分方程的解.
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典型例题
例1 求解微分方程
解 分离变量 dy 2xdx, y
1t
x 0.03 Ce 6 ,
dt 6
1t
x |t0 0.1, C 0.07, x 0.03 0.07e 6 ,
x |t6 0.03 0.07e1 0.056, 6分钟后, 车间内CO2的百分比降低到 0.056%.
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“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”
翻译为 建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
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ln(T－m)=－k t+c,
代入条件:
求得c=42 ，
最后得
T(t)=18+42
, , t ≥0.
结果 ：T(10)=18+42
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二. 利用平衡与增长式
例2 简单人口增长模型
对某地区时刻 t 的人口总数N(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出 的影响.
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在很短的时间段Δt 内，关于N(t)变化的一个 最简单的模型是：
{Δt时间内的人口增长量}= {Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}

y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
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例2. 解初值问题
解: 分离变量得
两边积分得
即
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
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三、建立微分方程数学模型 1、简单的数学模型 2、复杂的数学模型
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r( xm ) 0
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s r x 谢谢聆听m
x r(x) r(1 )
x5m2
阻滞增长模型 (Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt