D2.5-2.6偏微分方程理论与函数

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方程化为： 方程化为： uab = 0 齐次方程通解为： 齐次方程通解为：u = f ( x+iy) +g( x−iy)
原方程通解为： 原方程通解为：
u = f ( x+iy) +g( x−iy) +(x − y )
4 4
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齐次化原理
齐次化原理1 齐次化原理
∂ 2ω = Lω , ( M ∈ ∂t 2 ω t =τ = 0, ∂ ω t =τ ∂t
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(二)、 δ函数 二 、 函数
1、 定义 、
δ函数是指满足下面两个条件的函数 0 , x ≠ x 0 (1 ) δ ( x − x 0 ) = + ∞ , x = x
0
(2 )
∫a
b
δ ( x − x 0 )d x =

1, x 0 ∈ ( a , b ) 0, x0 ∉ (a ,b )
∂ H =α +β ∂n
4.函数项级数的一致收敛 定义：对级数
∑
∞
n =1
un (x)
若对 ∀ε > 0, ∃N
当n>N时，对任意 ), 有 S(x)-S n(x) < ε x ∈ ( a, b 称级数一致收敛于和函数S(x). 主要判定方法有：M判别法，柯西一致收敛 准则，狄里赫列判别法，阿贝尔判别法。
∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂ L = a11 2 + 2a12 + a22 2 + b1 + b2 + c ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y
2
于是 二阶线性偏微分方程
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
可以简记为：Lu =
f
齐次形式为： Lu = 0
3
3.边界条件算子
δ (− x)φ ( x)dx = φ (0) = ∫ δ ( x)φ ( x)dx
−∞
+∞
所以， 所以， δ ( − x ) = δ ( x )
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(2) 由动量定理 mv得： 由动量定理I= 得
I = ∫ ρ ut dx
0
L
I δ ( x − x0 ), x = x0 所以有： 所以有： t =0 = ρ ut 0, x ≠ x0 定解问题为： 定解问题为： utt = a 2u xx u x = 0 = 0, u x = L = 0 I δ ( x − x0 ), x = x0 u t = 0 = 0 , ut t = 0 = ρ 0, x ≠ x0
几点说明： 几点说明：
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(1) 、 几何意义
δ(x-x0)
x0
x
曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为 。 曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为1。 (2)、物理意义 、 定义中条件(1)反映物理量集中在 定义中条件 反映物理量集中在x0处，该 反映物理量集中在 处称为点源；条件(2)反映物理量有限 反映物理量有限。 处称为点源；条件 反映物理量有限。
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的导热杆， 例4、一根长为L的导热杆，密度为 ，比热 一根长为 的导热杆 密度为ρ， 为c，初始时刻在 0处用火焰烧了一下，传杆 ，初始时刻在x 处用火焰烧了一下， 的热量为Q。求初始温度分布和定解问题。 的热量为 。求初始温度分布和定解问题。 u(x,t)
0
x0
L
x
解:(1)
+∞, x = x0 u |t =0 = 0, x ≠ x0
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叠加原理
定理： 定理：非齐次线性方程的一般解等于对应 的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程 的一个特解之和。 的一个特解之和。 例1 求泊松方程 ：
∆ 2u = 12 x − 12 y
2
2
的一般解。
先求出方程的一个特解u 解:(1)先求出方程的一个特解 1 先求出方程的一个特解 由方程右端的形式可令u 代入方程可得： 由方程右端的形式可令 1=ax4+by4,代入方程可得： 代入方程可得
dφ (u) ∂f = ∫ dx + f (b(u), u)b′(u) − f (a(u), u)a′(u) du ∂u a (u )
b (u )
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证明：首先， 证明：首先， u
t= 0
= 0
t ∂ω ∂u =∫ dτ + ω ( t , M ; t ) = 0 ∂t ∂t
∫
t 0
∂ω dτ ∂t
u ( x, t ) = ∫ V ( x, t ;τ ) dτ
0
是定解问题
ut
− a u
2
xx
I 2R + u = cρ cρ h
的解
u
x=0
= 0,u u
t=0
x=L
= 0,
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= 0.
证明：首先， 证明：首先， u
t= 0
= 0
其次， 是齐次定解问题的解， 其次，因V(x,t,τ)是齐次定解问题的解，因 此，不难证明 u x = 0 = 0, u x = L = 0,
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叠加原理
原理3： 原理 ： 满足线性方程(线性定解条件 设u(M,M0)满足线性方程 线性定解条件 满足线性方程 线性定解条件)
Lu = f (M , M 0 )
其中，M表示自变量组，M0为参数组 . 表示自变量组， 其中， 表示自变量组 且积分 U ( M ) = ∫ u ( M , M 0 ) dM 0 收敛， 收敛，
第二章 定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容
二阶线性偏微分方程理论与δ函数 (一)、二阶线性偏微分方程理论 一、 (二)、 δ函数 二 、 函数
1
(一)、二阶线性偏微分方程理论 一、
基本概念 1. 线性算子
T为算子，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，称T 为算子， 为算子 ， 为线性算子 2. 二阶线性偏微分算子
∂ω = L ω , (M ∈ R 3 , t > τ ), 满足方程： 满足方程： ∂t ω t =τ = f (τ , M ),
那么非齐次柯西问题 那么非齐次柯西问题
∂u ∂t = Lu + u t =0 = 0
t
f ( t , M ) ,(M ∈ R3 , t > 0)
的解为： 的解为：
u = ∫ W ( t , M ;τ ) dτ
0
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例2、若V(x,t;τ)是定解问题 、 是定解问题
h u − a 2u + u xx t cρ u x=0 = 0,u x=L = I 2R u t =τ = . cρ
t
= 0 0,
的解， 的解，则：
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的弦， 例3、两端固定的长为L的弦，密度为 ，初 两端固定的长为 的弦 密度为ρ， 始时刻在x 处受到冲量I的作用 的作用。 始时刻在 0处受到冲量 的作用。求初速度和 定解问题。 定解问题。 u(x,t)
0 x0 L x
解:(1)
ut t = 0
+∞, x = x0 = 0, x ≠ x0
若 W (M , t;τ ) 满足方程： 满足方程： 那么非齐次柯西问题 那么非齐次柯西问题
R 3,t > τ ) = f (τ , M
)
∂ 2u = Lu + f (t , M ), ( M ∈ R 3 , t > 0 ) ∂t 2 ∂u u = 0, t=0 = 0 t =0 ∂t
因为
t =0
1, t = 0 q (t ) = 0, t ≠ 0
2、 性质 、 (1)筛选性质：对任意连续函数 ( ), ),有 (1)筛选性质：对任意连续函数φ(x),有： 筛选性质
+∞
∫
−∞
δ ( x − x0 )φ ( x)dx = φ ( x0 )
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证明： 证明：由于 x ≠ x0 有 所以， 所以，
n
Lu = f 的解
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叠加原理
原理2： 1, 2,L) ⇒
L∑ ci ui = ∑ ci fi
i =1 i =1
说明：原理2是原理 的有条件推广。条件 是原理1的有条件推广 说明：原理 是原理 的有条件推广。 是算子L与求和符号能交换次序 与求和符号能交换次序。 是算子 与求和符号能交换次序。
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叠加原理
原理1： 原理 ：
Lui = f i (1 ≤ i ≤ n) ⇒
L∑ ci ui = ∑ ci fi
i =1 i =1
n
n
意义：欲求 Lu = f 的解，如果 f =
∑c
i =1
n
i
fi
且求出 Lu = f i (1 ≤ i ≤ n) 的解为： i (1 ≤ i ≤ n) u 则
∑1 c i u i 为方程 i=
v
并满足L中出现的偏导数与积分号交换次 并满足 中出现的偏导数与积分号交换次 序所需要的条件，那么U(M)满足方程 或 满足方程(或 序所需要的条件，那么 满足方程 定解条件） 定解条件）
7
叠加原理
LU (M ) =
∫ f ( M , M ) dM
0 v
0
说明：原理 可以理解为 可以理解为： 说明：原理3可以理解为：若 Lu = f (M , M 0 ) 那么：L U ( M ) = ∫ f ( M , M 0 ) dM 0 那么：
v
U (M ) =
∫ u (M , M ) dM
0 v
0
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叠加原理
原理3的证明： 原理 的证明： 的证明