最新(0003)高等数学(下)复习大纲

(0003)高等数学(下)
复习大纲
（0003）《高等数学》(下)复习大纲
说明: 大纲中“掌握”是重点内容.
一、多元函数微分法及其应用
1、了解区域、开区域、闭区域的概念；了解多元函数的概念；掌握多元函数的定义域的计算；掌握多元函数的极限的定义及计算方法，特别是多元函数在某点极限不存在时的证明方法；掌握多元连续函数的概念，理解多元函数在其定义域内连续的结论，了解闭区域上连续的多元函数的性质.
2、理解多元函数偏导的定义, 掌握偏导的计算方法；了解偏导存在与多元函数的连续性的关系；了解高阶偏导以及两个二阶混合偏导相等的充分条件.
3、理解多元函数微分的定义、多元函数微分与连续的关系；理解多元函数微分与偏导的关系.
4、掌握多元复合函数的偏导的计算.
5、掌握隐函数的求导方法.
6、理解空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念；掌握曲面的法向量的计算；理解曲面的法向量的方向角及方向余弦.
7、了解函数的梯度的概念.
8、理解多元函数的极值与极值点的概念；掌握多元函数的极值的计算方法，特别是条件极值的计算.
二、重积分
1、结合例子理解二重积分的概念，理解二重积分的性质.
2、掌握二重积分利用直角坐标以及利用极坐标进行计算的方法.
3、了解三重积分的概念以及三重积分(利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标)的计算.
4、了解二重积分在计算曲面面积时的应用.
三、曲线积分与曲面积分
1、结合例子理解对弧长的曲线积分的概念；了解对弧长的曲线积分的性质；掌握对弧长的曲线的计算方法.
2、理解对坐标的曲线积分的概念；了解对坐标的曲线积分的性质；掌握对坐标的曲线的计算方法.
3、理解格林(Green)公式, 并能了解平面曲线积分与积分路径无关的充要条件以及«Skip Record If...»是某函数«Skip Record If...»的全微分的充要条件以及«Skip Record If...»的计算方法.
4、结合例子理解对面积的曲面积分的概念；了解对面积的曲面积分的性质；掌握对面积的曲面的计算方法.
5、理解对坐标的曲面积分的概念；了解对坐标的曲面积分的性质；掌握对坐标的曲面的计算方法.
6、理解高斯(Gauss)公式.
7、理解斯托克斯(Stokes)公式.
四、无穷级数
1、理解常数项级数的概念；理解常数项级数收敛与发散的定义；掌握等比级数的收敛性；理解收敛级数的五条性质；会证明调和级数是发散级数.
2、理解正项级数的概念并掌握正项级数的四种审敛法；掌握p-级数的收敛
性；理解交错级数的概念及判定其收敛的莱布尼茨定理；掌握绝对收敛与条件收敛.
3、了解函数项级数及其收敛域的概念；理解幂级数的收敛半径及收敛区间的概念,掌握利用正项级数的比较审敛法的极限形式计算幂级数的收敛半径的直接方法,并能求出幂级数的收敛区间(关键是能判定端点处的收敛情况)；了解幂级数的和函数的性质.
4、了解将函数展开成幂级数的步骤.
5、了解三角级数及其正交性；理解函数«Skip Record If...»的傅里叶(Fourier)级数的收敛性定理.
五、微分方程
1、理解微分方程、微分方程的阶、微分方程的解(通解及特解)、微分方程的初始条件等概念.
2、掌握可分离变量的微分方程的计算方法.
3、掌握齐次微分方程的计算方法,并能利用简单的变量替换技巧求解微分方程.
4、掌握一阶线性微分方程的求解过程；了解伯努利(Bernoulli)方程的一般形式.
5、了解全微分方程的概念及积分因子的概念.
6、掌握常见的三种可降阶的高阶微分方程(«Skip Record If...»)的计算方法.
7、掌握高阶线性微分方程的解的结构.
8、掌握常系数齐次微分方程的计算方法.
9、掌握特殊的常系数非齐次二阶微分方程的计算方法.
（0003）《高等数学》(下)样题及答案
一、填空题(每小题3分, 共30分)
1、函数«Skip Record If...»的定义域为 .
2、已知函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» , «Skip Record If...» .
3、设«Skip Record If...», 则«Skip Record If...»= .
4、设«Skip Record If...»是从点(1,1,1)到点(2, 3, 4)的有向线段, 则«Skip Record If...»= .
5、设区域G是连通区域,函数«Skip Record If...»在G内具有一阶的偏导数, 则存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»成立的充要条件是 .
6、用«Skip Record If...»将级数«Skip Record If...»表示出来是 .
7、若«Skip Record If...»收敛, 则«Skip Record If...»收敛.
8、微分方程«Skip Record If...»的阶数为.
9、«Skip Record If...»微分方程«Skip Record If...»的解.
10、伯努利(Bernoulli)方程的一般形式为 .
答案:
1. «Skip Record If...»
2.«Skip Record If...»
3.«Skip Record If...».
4.13.
5.单, 连续, «Skip Record If...».
6.«Skip Record If...».
7.一定.
8.1.
9.是.
10.«Skip Record If...».
二、单项选择题(每小题2分, 共10分)
1、极限«Skip Record If...»是
(1)不存在; (2)«Skip Record If...»; (3)0; (4)2.
2、设L为圆周«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»= .
(1)«Skip Record If...»; (2)«Skip Record If...»; (3)«Skip Record If...»;
(4)«Skip Record If...».
3、设«Skip Record If...»是球面«Skip Record If...»外侧在第一卦线中的部分, 则
«Skip Record If...»= .
(1)5; (2)«Skip Record If...»; (3)15; (4)«Skip Record If...».
4、设级数«Skip Record If...»收敛, 则级数«Skip Record If...» .
(1)条件收敛; (2)绝对收敛; (3)发散; (4)不能确定.
5、二阶齐次微分方程«Skip Record If...»的通解为 .
(1)«Skip Record If...»; (2)«Skip Record If...»; (3)«Skip Record If...»; (4)«Skip Record If...».
答案: 1、(2).;2、(3); 3、(4); 4、(2); 5、(4).
三、计算题(每小题8分, 共32分)
1、求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.
解设球面方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点, 则此长方体的长、宽、高分别为«Skip Record If...»，其体积为
«Skip Record If...»
令«Skip Record If...».
由«Skip Record If...»得出«Skip Record If...»
由题意知, 这种长方体必有最大体积，所以当长、宽、高都为«Skip Record If...»时其体积最大.
2、画出积分区域, 并计算«Skip Record If...», 其中«Skip Record If...».
解
y=x+1 y
y=-x-1 y
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
3、计算幂级数«Skip Record If...»的收敛半径及收敛域.
解 «Skip Record If...».
所以, 所给幂级数的收敛半径为R = 3.
当x = 3时, 原幂级数为调和级数«Skip Record If...»,进而是发散的;
当x = -3时, 原幂级数为下述交错级数«Skip Record If...»,进而是收敛的.
因此,所给幂级数的收敛域为[-3, 3].
4、求微分方程«Skip Record If...»的通解.
解令«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»进而有«Skip Record If...»,故原方程变为
«Skip Record If...».
分离变量得,
«Skip Record If...».
两边积分有,«Skip Record If...»进而«Skip Record If...»是原微分方程的通解.
四、证明题或综合题(8分)
证明: 在(-1, 1)内, 幂级数«Skip Record If...».
证可以将其看作公比是x的等比级数, 容易知道,«Skip Record If...»的收敛区间为(-1, 1).
考虑前n项的部分和«Skip Record If...».
显然有
«Skip Record If...»
结论证毕.。