初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法-章节测试习题(50)
苏科版九年级数学上册第1章1.2《一元一次方程的解法---因式分解法》教学课件(共12张PPT)
，x2=2
概念巩固
1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次 方程为 和 ，方程的根是 . 2.已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
探究：
思考：在解方程（x＋2）2 = 4（x＋2）时，
在方程两边都除以（x＋2），得x＋2=4， 于是解得x =2，这样解正确吗？为什么？
典型例题
例 3用适当方法解下列方程 （1）4（2x-1）2-（x+4）2=0 (2) (x-1)2=3 (3) x2-2x=4 （4）（x－1）2－6（x－1）+9=0
（1）x2－x =0 （2） x2－4x=0 （3）x＋3－x（x＋3）=0 （4）（2x－1）2－x2=0
问：你能用几种方法解方程x2－x = 0？
本题既可以用配方法解，也可以用公式法 来解，但由于公式法比配方法简单，一般选用 公式法来解。还有其他方法可以解吗？
概括总结 1、你还能用其它方法解方程x2－x = 0吗？ 另解：x2-x＝0， x(x-1)＝0， 于是x＝0或x-3＝0． ∴x1=0，x2=3
如何选用解一元二次方程的方法？ 首选因式分解法和直接开平方，其次选 公式法，最后选 配方法
归纳总结
1.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）通过移项把一元二次方程右边化为0 （2）将方程左边分解为两个一次因式的积 （3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次 方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是 原方程的解 2. 解一元二次方程有哪几种方法?如何选用？
典型例题
例 2 用因式分解法解下列方程 （1）（x+3）2-x（x+3）=0 （2）（2x－1）2=x2 （3）（2x-5）2-2x+5=0
数学苏科版九年级上册1.2一元二次方程的解法
1.2一元二次方程的解法（1）教学目标【知识与能力】了解形如（x ＋m ）²＝n （n ≥0）的一元二次方程的解法——直接开平方法.【过程与方法】会用直接开平方法解形如b ax =2（a ≠0,a b ≥0）的方程.【情感态度价值观】会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,a b ≥0）的方程.教学重难点【教学重点】一元二次方程的概念和一般形式.【教学难点】正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，“项”和“系数”.课前准备无教学过程一、知识回顾：1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。
（1）245x x -=（2）235x =（3）()()()22122-+=+-y y y y 2.我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根。
3、填空：4 的平方根是 ，81的平方根是，100的算术平方根是 。
二、自学自悟思考：如何解方程2x =2呢？根据平方根的意义， 是 的平方根，所以， x=即此一元二次方程的两个根为结论：1、根据平方根的意义，x 就是2的平方根，∴x=2±这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
2、形如方程02=-k x )0(≥k 可变形为)0(2≥=k k x 的形式，用直接开平方法求解。
三、例题学习例1：解下列方程（1）042=-x ；（2）0142=-x ；例2：解下列方程（1）（x ＋1）2－2＝0；（2）12（2－x ）2－9＝0.（这两题和上面两题有什么异同点？解法上有什么联系？小结：如果一个一元二次方程具有（x+h ）2=k （k ≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解例3.解方程(2x －1)2=(x －2)2分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解练习：(2x-1)2 =(3-x)2四、知识梳理与小结1、1.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？形如())0(2≥=+k k h x 的方程。
初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法-章节测试习题(68)
章节测试题1.【题文】解方程：（1）3（x＋1）2＝12；（2）（漳州中考）x2-4x＋1＝0；（3）2（t-1）2＋t＝1；（4）（3x-1）2-4（2x＋3）2＝0．【答案】（1）x1＝1，x2＝-3；（2）x1＝2＋，x2＝2-；（3）；（4）x1＝-，x2＝-7．【分析】（1）直接开平方法．（2）公式法．（3）因式分解法．（4）因式分解法．【解答】（1）（x＋1）2＝4，x＋1＝±2，∴x1＝1，x2＝-3．（2）∵Δ＝（-4）2-4×1×1＝12，∴x＝，即x＝2±．∴x1＝2＋，x2＝2-．（3）2（t-1）2＋（t-1）＝0，（t-1）（2t-1）＝0，∴t-1＝0或2t-1＝0，∴t1＝1，t2＝．（4）（3x-1）2-[2（2x＋3）]2＝0，（3x-1＋4x＋6）（3x-1-4x-6）＝0，（7x＋5）（-x-7）＝0，∴x1＝-，x2＝-7．2.【题文】嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是______．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．【答案】见解答【分析】（1）观察嘉淇的解法找出出错的步骤，写出求根公式即可；（2）利用配方法求出方程的解即可．【解答】解：（1）嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是x=；故答案为：四；x=；（2）x2﹣2x=24，配方得：x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，开方得：x﹣1=±5，解得：x1=6，x2=﹣4．3.【题文】已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m-1=0有两个相等的实数根．（1）求m的值；（2）解原方程．【答案】（1）2，（2）x1=x2=-1．【分析】（1）根据题意得到：△=0，由此列出关于m的方程并解答；（2）利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4×m×（m﹣1）=0，且m≠0，解得m=2；（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x2+2x+1=0，即（x+1）2=0，解得x1=x2=﹣1．4.【题文】（已知关于x的方程x2-（2m＋1）x＋m（m＋1）＝0．求证：方程总有两个不相等的实数根．【答案】证明见解答．【分析】要证明方程总有两个不相等的实数根，即要证明Δ＞0恒成立，将Δ用含m的式子表示出来，然后配方即可证明．【解答】△＝（2m＋1）2-4m（m＋1）=4m2+4m+1-4m2-4m=1＞0，∴方程有两个不相等实数根．①b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；②b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根；③b2-4ac＜0，方程没有实数根．（2要证明多项式恒大于0或者恒小于0可用配方法证明．5.【题文】解方程（1）x2＝49（2）3x2-7x＝0（3）（直接开平方法）（4）（用配方法）（5）（因式分解法）（6）（7）（x-2）（x-5）=-2【答案】（1）（2）0，（3）2，-1（4）-4，1（5）-4，1（6）1（7）3，4【分析】要根据方程形式的不同灵活运用不同的方法来解方程：（1）（3）直接开平方法；（2）（5）用因式分解法；（4）用配方法；（6）（7）去括号，移项化为一般形式，进而求解．【解答】解：（1）x＝±，∴x＝±7，∴x1=7，x2=﹣7；（2）x（3x-7）＝0，∴x1=0，x2=；（3）2x﹣1=±3，∴x1=2，x2=﹣1；（4），∴x+=±，∴x1=1，x2=﹣4；（5）（x+4）2﹣5（x+4）=0，∴（x+4）（x+4﹣5）=0，∴x1=﹣4，x2=1；（6）x2+2x+1﹣4x=0，∴x2﹣2x+1=0（x﹣1）2=0，∴x1=x2=1；（7）x2﹣7x+12=0，∴（x﹣3）（x﹣4）=0，∴x1=3，x2=4．6.【题文】已知关于的方程mx2+（2m-1）x+m-1=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数的值．【答案】（1）证明见解答（2）m=1或m=-1【分析】（1）由于m≠0，则计算判别式的值得到，从而可判断方程总有两个不相等的实数根；（2）先利用求根公式得到然后利用有理数的整除性确定整数的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，∴方程为一元二次方程，∴此方程总有两个不相等的实数根；（2）∵∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数，∴m=1或m=−1．7.【题文】按要求解方程．（1）（3x+2）2=24（直接开方法）（2）3x2﹣1=4x（公式法）（3）（2x+1）2=3（2x+1）（因式分解法）（4）x2﹣2x﹣399=0（配方法）【答案】（1）x1=，x2=（2）x1=，x2=（3）x1=﹣，x2=1（4）x1=21，x2=﹣19【分析】按照题目要求的方法解方程即可．【解答】（1）（2）（3）或（4）8.【题文】如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况．【答案】当m=5时，方程有一个实数根，当m≠5时，方程有两个不相等的实数根【分析】先根据关于的方程没有实数根可得：，在的情况下对关于的方程进行分类讨论．【解答】关于的方程没有实数根，当m=0时，方程为方程有一个实数根，不符合题意，当m≠0时，∵方程没有实数根，∴，，即解得：，，，，，，，．9.【题文】解下列方程：（1）x2＋4x-5＝0；（2）x（x-4）＝2-8x；（3）x-3＝4（x-3）2．【答案】（1）x1＝1，x2＝-5；（2）x1＝-2＋，x2＝-2-；（3）x1＝3，x2＝．【分析】（1）直接利用因式分解法解方程即可；（2）把方程化为一般形式后利用公式法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【解答】（1）（x-1）（x+5）=0，x-1=0或x+5=0，∴x1＝1，x2＝-5；（2）x（x-4）＝2-8xa=1，b=4，c=-2，△=16+8=24∴（3）x-3＝4（x-3）24（x-3）2-（x-3）＝0（x-3）[4（x-3）-1]=0（x-3）（4x-13）=0x-3=0或4x-13=0∴x1＝3，x2＝．10.【题文】解方程：x2＋2x-1=0．【答案】x1=-1＋，x2=-1-．【分析】利用公式法即可求解．【解答】解：∵a=1，b=2，c=-1，∴b2-4ac=22-4×1×（-1）=8，∴x=，即x1=-1＋，x2=-1-．11.【题文】用适当的方法解下列方程：（1）（6x-1）2＝25；（2）x2-2x＝2x-1；（3）x2-x＝2；（4）x（x-7）＝8（7-x）．【答案】（1）x1＝1，x2＝-；（2）x1＝2＋，x2＝2-；（3）x1＝，x2＝；（4）x1＝7，x2＝-8．【分析】（1）、两边直接开平方得出方程的解；（2）、首先将方程的左边转化为含有x的项，右边保留常数项，然后利用配方法求出方程的解；（3）、首先将方程转化为一般式，然后利用公式法得出方程的解；（4）、首先将方程进行移项，然后利用提取公因式将方程进行因式分解，从而得出方程的解．【解答】解：（1）两边开平方，得6x-1＝±5，即6x-1＝5或6x-1＝-5，∴x1＝1，x2＝-；（2）移项，得x2-4x＝-1，配方，得x2-4x＋4＝-1＋4，即（x-2）2＝3，两边开平方，得x-2＝±，即x-2＝或x-2＝-，∴x1＝2＋，x2＝2-；（3）将原方程化为一般形式，得x2-x-2＝0.∴b2-4ac＝（-）2-4×1×（-2）＝10，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（4）移项，得x（x-7）＋8（x-7）＝0，变形，得（x-7）（x＋8）＝0，∴x-7＝0或x＋8＝0，∴x1＝7，x2＝-8．12.【答题】下列说法：若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是若，则是一元二次方程的一个根若，则一元二次方程有不相等的两个实数根当m取整数或1时，关于x的一元二次方程与的解都是整数．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式．【解答】①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则a2+b×（-a）+a=0整理得出：a（a-b+1）=0，则代数式a-b=-1，故此选项正确；②若a+b+c=0，则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项错误；③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，∴△＞0，故此选项正确；④∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，则m≠0，∴△≥0mx2-4x+4=0，∴△=16-16m≥0，即m≤1；x2-4mx+4m2-4m-5=0，△=16m2-16m2+16m+20≥0，∴4m+5≥0，m≥-；∴-≤m≤1，而m是整数，∴m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为x2-4x+4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；当m=0时，mx2-4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去．故m=1，故此选项错误；故正确的有2个，选B．13.【答题】若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．【解答】根据题意得，△=≥0，解得k≥-8，但k是二次根式的被开方数，∴k≥0，则k≥0，选D.14.【答题】一元二次方程的两个实数根中较大的根是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的解法-公式法．【解答】用公式法解方程得，，∴较大的实数根是，选B.15.【答题】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）A. B.C. 且D. 且【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．【解答】根据题意得，△=＞0，解得m＜2，选B.16.【答题】在下列方程中，有实数根的是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．【解答】A. ，△==5＞0，有实数根；B.∵≥0，∴没有实数根；C.，△==-8＜0，没有实数根；D.，x=1是增根，没有实数根，选A．17.【答题】已知两个关于x的一元二次方程M：；N：，其中，有下列三个结论：①若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根；②若6是方程M的一个根，则是方程N的一个根；③若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式．【解答】（1）∵在方程M中，△=，在方程N中，△=，∴方程N和方程M的“根的判别式相等”，又∵方程M有两个相等的实数根，∴方程N也有两个相等的实数根，故①正确；（2）∵6是方程M的一个根，∴，∴，即，∴方程N有一个根是，故②错误；（3）∵方程M与方程N有一个根相同，∴，∴，又∵，∴，∴或，即这个相同的根是1或-1，故③错误；综上所述，正确的结论只有①．选B．18.【答题】下列说法中，正确的是（）A. 方程5x2=x有两个不相等的实数根B. 方程x2﹣8=0有两个相等的实数根C. 方程2x2﹣3x+2=0有两个整数根D. 当k＞时，方程（k﹣1）x2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．【解答】A.方程5x2=x可变形为5x2−x=0，∴△=（−1）2−4×5×0=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，A正确；B. 在方程x2−8=0中，△=02−4×1×（−8）=32＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，B错误；C. 在方程2x2−3x+2=0中，△=（−3）2−4×2×2=−7＜0，∴该方程没有实数根，C错误；D. 如要方程（k−1）x2+2x−3=0有两个不相等的实数根，则△＞0且k−1≠0，∴△=22−4×（k−1）×（−3）=12k−8＞0，k−1≠0，解得：k＞23且k≠1，D错误．选A．19.【答题】下列方程中，无实数根的是（）A. x2=4B. x2=2C. 4x2+25=0D. 4x2-25=0 【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．【解答】解：A．x2=4，x=±2，∴方程有两个不相等的实数根；B. x2=2，x=，∴方程有两个不相等的实数根；C. 4x2+25=0，△=02-4×25=-100＜0，∴方程没有实数根；D. 4x2-25=0，△=02-4×（-25）=100＞0，∴方程有两个不相等的实数根．选C．20.【答题】用公式法解方程x2-2=-3x时，a，b，c的值依次是（）A. 0，-2，-3B. 1，3，-2C. 1，-3，-2D. 1，-2，-3 【答案】B【分析】本题考查了公式法．【解答】解：x2+3x-2=0，∴a=1，b=3，c=-2．选B．。
一元二次方程的解法-配方法-九年级数学上册(苏科版)
（1）x2+2x+____=(x+1)
12
2；
（2）x2-4x+____=(x-2)
22
（3）x2+6x+____=(x+____)
32
3 2；
p2
p 2
（4）x2-2px+____=(x-____)
2
2
（5）x +hx+____=(x+____)
．
【结论】常数项=一次项系数一半的平方
补成一个正方形．
知识精讲
02
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程
x
割
x(x+2)=24
24
x+20
补
x
x2 x x
个
1
x
x
11
1
正
x
x2
x
x
1
成
一
方
形
x+1
1
x
x
x2
x
x
1
x+1
x2+2x=24
配
方
x2+2x+12=24+12
x+1=±5
25
配方的过程
即x1=4，x2=-6
(x+1)2=25
【解答】
2
x +3x+ =0
(x+ )2=0
x+ =±0
即x1=x2=-
例2-3、解方程：3x2-8x+7=0．
【解答】
江苏省九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法4教案新版苏科版
课题：1.2 一元二次方程的解法（4）
教学目标: 教学时间：
1. 会用公式法解一元二次方程；
2. 体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2－4ac ≥0； 3．在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，体会转化的思想方法． 教学重点：会用公式法解一元二次方程．
教学难点：体验推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2－4ac ≥0 教学方法：
教学过程：
一.【情景创设】
用配方法解方程：02
122=--y y
二.【问题探究】
问题1：你会解关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax a 、b 、c 是常数，a ≠0)吗？
归纳：一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax
（1） 当_____________时，它的根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根公式，
利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。
（2） 当_____________时，方程没有实数根。
问题2：用公式法解下列方程
（1）0432=--x x （2）322
=-x x
练一练：用公式法解下列方程
（1）01222=-+-x x
（2）0121322=++-x x
（3）055.02.12.02=+-x x
（4）0122=-+x x
（5）6)6(=-x x
（6）04322=-+-x x
三.【变式拓展】
问题3：用公式法解关于x 的方程：0)2(3222=--+-n mn m mx x 。
四.【总结提升】
通过这节课的学习，你有什么收获呢？。
一元二次方程的解法课件苏科版数学九年级上册
(2)确定公式中a，b，c 的值.
(3)求出b2－4ac 的值.
(4)若b2－4ac ≥ 0, 则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求
解；若b2－4ac ＜ 0，则方程没有实数根.
感悟新知
特别提醒
1. 公式法是解一元二次方程的通用解法
(也称万能解法)，它适用于所有的一元二次
方程，但不一定是最高效的解法.
方程的两个根.
感悟新知
知识储备
第一将方程化成左边是含有未知数的平方式，
右边是非负数的情势；其次化平方式的系数为1；
最后根据平方根的意义开平方求解.
感悟新知
例 1 用直接开平方法解下列方程：
(1)4x2－13＝12； (2)4(2x－1)2－36＝0.
解题秘方：紧扣用直接开平方法解一元二次方程的步骤
的情势，再用直接开平方法求出方程的解.
感悟新知
(1)x2－2x－5＝0；
解：移项，得x2－2x＝5.
配方，得x2－2x＋12＝5＋12，即(x－1)2＝6.
解这个方程，得x－1＝± .
所以x1＝1＋ ，x2＝1－ .
感悟新知
(2)2x2－4x＋1＝0.
2
解：两边都除以2，得x －2x＋ ＝0.
得5x2+4x－1＝0.
∵a＝5，b＝4，c＝－1，
∴ b2－4ac＝42－4×5×(－1)＝36＞0，
∴ x＝
－±
×
－± －±
＝
＝
. ∴ x1＝ ，x2＝－1.
2
移项，得x －2x＝－ .
2
即(x－1) ＝ .
所以x1＝1＋
苏科版九年级上册 1.2 一元二次方程的解法 讲义
一元二次方程的解法1、直接开方法：对于形如x ²=k(k ≥0)的方程，我们可以根据平方根的意义，其中x 表示k 的平方根，即x=±k ，所以对于一元二次方程x ²=k 有两个根，它们分别记为k x =1，k x -2=注意：这里有时候要将等号两边看作整体，常见形式：①ax ²=k ②(ax+h)²=k ③（ax+b)²=（cx+d)²例题解析：4x ²-1=0 (x+1)²=2解：412=x 解；将(x+1)看作一个整体21±=x ()21±=+x121-=x 1-2-2=x(3x+2)²=(x-2)²解：将(3x+2)和（x-2）分别看作一个整体 ()()223-±=+x x21-=x 02=x2、配方法：首先要将一个一元二次方程变形为(x+h)²=k,当k ≥0时，然后就可以直接用开平方法求出方程的解。
步骤：①移项：把常数项移到等号的右边；②二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项的系数； ③配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； ④用直接开平方法求出变形后的方程；注意：配方法用到一个公式：完全平方公式逆运算：a ²±2ab+b ²=（a ±b ）² 配方法最关键的就是第二个步骤，一定要加上一次项系数一半的平方。
（这里可以不用考虑一次系数前面的正负号）例题分析：x ²+8x+ 4² =(x+ 4 )² x ²-62x+ ()223 =(x- ²加上一次项系数的一半的平方，不需要考虑正负号。
02522=+-x x 解：移项： 2522-=-x x二次项系数化为1：1252-=-x x加上一次项系数一半的平方：2224514525⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x配方：169)45(2=-x解得：4345±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x21=x 212=x3、公式法：一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0)的根是由方程的各项系数决定的，它的实数根是：240)x b ac =-≥ 步骤：① 要将已知方程化为一般表达式，且注意二次项系数不为0；② 计算出△=b ²-4ac 的值，注意各项系数包括符号； ③ 若△=b ²-4ac ≥0，直接带入公式求解；注意：看清楚是指一元二次方程还是指一元一次方程，或只是说方程（两种情况都要考虑）。
1.2一元二次方程的解法(第5课时 一元二次方程根的判别式)(课件)九年级数学上册课件(苏科版)
b2－4ac叫做一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.
例题讲解
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1)x2+5x+6=0；
(2)2x2+4x－3=2x－4.
解：b2-4ac
解：化简得
=52-4×1×6
=1>0，
的值为1，求m的值及该方程的根.
解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)
=9m2-6m+1-8m2+4m
=m2-2m+1
=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(舍去).
2
∴当m=2时，原方程变为2x -5x+3＝0，x＝ 或x=1.
当堂检测
12.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
， =
= =
(3) 2x2－2x ＋ 1＝0.
比较这3个方程的解的情况，请你思考方程
这个方程没有实数根
的解可能出现几种不同情况？方程解的情况
与b2－4ac的值是否有关系？
新知归纳
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个不相等的实数根；
当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个相等的实数根；
第1章 · 一元二次方程
1.2
一元二次方程的解法
第5课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1．熟练运用公式法求解一元二次方程；
2．理解一元二次方程根的判别式的意义，能运用根的判别式
第1章 一元二次方程 苏科版九年级数学上册单元复习(解析版)
【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。
初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法-章节测试习题
章节测试题1.【题文】解方程:x2-4x-1=0.【答案】x1=2+,x2=2-.【分析】根据配方法，可得答案.【解答】解：∵x2-4x-1=0,∴x2-4x=1,∴x2-4x+4=1+4,∴(x-2)2=5,∴x=2±,∴x1=2+,x2=2-.2.【题文】解下列方程：（1）x2+10x+25=0（2）x2﹣x﹣1=0．【答案】（1）x1=x2=﹣5；（2）x1=，x2=【分析】本题考查了一元二次方程的解法---配方法，按照先移项，再配方，后开方的步骤求解即可..【解答】解：（1）配方，得：（x+5）2=0，开方，得：x+5=0，解得x=﹣5，x1=x2=﹣5；（2）移项，得：x2﹣x=1，配方，得：x2﹣x+=，（x﹣）2=，开方，得x﹣=±，x1=，x2=．3.【题文】解方程：（1）x2﹣9=0（2）x2+2x﹣1=0．【答案】（1）x1=3，x2=﹣3；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．【分析】（1）根据本题方程的特点，用“直接开平方法”解答即可；（2）根据本题方程的特点，用“配方法”或“公式法”解答即可.【解答】解：（1）x2﹣9=0，∴x2=9，∴x=±3，∴x1=3，x2=﹣3；（2）x2+2x﹣1=0，移项得：x2+2x=1，配方得：x2+2x+1=2，∴（x+1）2=2，∴x+1=±，∴ x1=﹣1+，x2=﹣1﹣.4.【题文】用配方法解方程：．【答案】，【分析】先把常数项移到右边,两边同时加上一次项系数的一半的平方，即都加上9,把左边写成完全平方式，即的形式，然后两边开平方求出未知数的值.【解答】解:，，，，，∴，．5.【题文】用配方法说明下列结论：（1）代数式x2+8x+17的值恒大于0；（2）代数式2x-x2-3的值恒小于0【答案】（1）代数式x2+8x+17的值恒大于0（2）代数式2x-x2-3的值恒小于0【分析】运用配方法的运算方法，第一步：如果二次项数不是1，首先提取二次项系数，一次项与二次项都提取二次项系数并加括号，常数项可以不参与运算；第二步：配方，加常数项为一次项系数一半的平方，注意括号外应相应的加减这个常数项，保证配方后不改变原式的值，分别进行运算即可．【解答】解：（1）x2+8x+17= x2+8x+16-16+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0∴（x+4）2+1＞0即代数式x2+8x+17的值恒大于0（2）2x-x2-3= -x2+2x -3= -（x2-2x +3）= -（x2-2x+1-1 +3）= -［（x-1）2+2］= -（x-1）2-2∵-（x-1）2≤0∴-（x-1）2-2＜0即代数式2x-x2-3的值恒小于0．6.【题文】解方程：【答案】，【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据完全平方公式配方，配方的方法是：先将常数项移到右边，然后两边都加一次项系数一半的平方.【解答】解：，7.【题文】解方程：x2+4x﹣4=0．【答案】x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2．【分析】根据这个一元二次方程的特点，用“配方法”或“公式法”解即可.【解答】解：方程移项得：x2+4x=4，配方得：x2+4x+4=8，即（x+2）2=8，∴x+2=±2，解得：x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2．8.【题文】解方程：2x2-4x-1=0.【答案】．【分析】根据配方法解方程即可．【解答】解：移项得，2x2-4x=1，将二次项系数化为1得，，配方得，x2-2x+1=+1，，∴，∴．9.【题文】用配方法解下列方程：（1）4x2 -4x -1 = 0；（2）7x2 -28x +7= 0. (3) x2-x-4=0(4) 3x2-45=30x【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）把二次项系数化为1，常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（2）把二次项系数化为1，常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（3）把二次项系数化为1，常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（4）整理成一般式，把二次项系数化为1，常数项移到等号的右边后，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案.【解答】解：（1）4x2 -4x -1 = 0，x2-x-=0，x2-x=，x2-x+=+，即(x-)2=，则x-1=±，；（2）7x2 -28x +7= 0，x2-4x=-1，x2-4x+22=-1+22，即(x-2)2=3，则x-2=±，x=2±，即；（3）x2-x-4=0x2-4x=16，x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，则x-2=±，x=2±，即；（4）3x2-45=30x，x2-10x=15，x2-10x+52=15+52，即(x-5)2=40，则x-5=±，x=5±，即.10.【题文】用配方法解下列方程：（1）x2+2x-8=0 （2）x2+12x-15=0（3）x2-4x=16 （4）x2=x+56【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）常数项移到等号的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（2）常数项移到等号的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（3）两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（4）整理成一般式，常数项移到等号的右边后，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案.【解答】解：（1）x2+2x-8=0，x2+2x=8，x2+2x+12=8+12，即(x+1)2=9，则x+1=±3，x=−1±3，即；（2）x2+12x-15=0，x2+12x=15，x2+12x+62=15+62，即(x+6)2=51，则x+6=±，x=−6±，即；（3）x2-4x=16，x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，则x-2=±，x=2±，；（4）x2=x+56，x2-x+2=56+2，（2=，则x-=±，x-=±+，即.11.【题文】x2﹣4x+1=0（用配方法）【答案】x1=2+，x2=2﹣.【分析】先移项，然后配方，解出x即可.【解答】解：x2－4x+1=0，移项，得x2－4x=－1，配方，得x2－4x+4=－1+4，即（x－2）2=3，解得，x－2=，即x1=2+，x2=2－.12.【题文】解下列方程：（1）(1+x)2－2=0；(2)9(x－1)2－4=0．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先移项，再用“直接开平方法”解方程即可；（2）先移项，再把二次项系数化为1，然后用“直接开平方法”解方程即可.【解答】解：（1）移项得：，∴，∴.（2）原方程可化为：，∴，∴.13.【题文】解关于x的方程（x+m）2=n．【答案】当时，方程无解；当时，，.【分析】由于题目中没有告诉“n”的取值范围，所以分“n0”和“n<0”进行解答即可.【解答】解：（1）当n≥0时，x+m=±，∴ x1=－m，x2=－－m．（2）当n<0时，方程无解．14.【题文】解方程：（1）x2+4x﹣1=0．（2）x2﹣2x=4．【答案】（1）x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x1=1+，x2=1﹣【分析】（1）利用配方法即可解决；（2）利用配方法即可解决．【解答】解：解：（1）∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．（2）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．15.【题文】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．【答案】（1）4；（2）7；（3）2【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．【解答】解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=-1，a=3，则a-b=4；（2）∵2a2+b2-4a-6b+11=0，∴2a2-4a++2+b2-6b+9=0，∴2（a-1）2+（b-3）2=0，则a-1=0，b-3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；（3）∵x+y=2，∴y=2-x，则x（2-x）-z2-4z=5，∴x2-2x+1+z2+4z+4=0，∴（x-1）2+（z+2）2=0，则x-1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=-2，∴xy z=2．16.【题文】“a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x2﹣4x+6=（x）2+ ；所以当x= 时，代数式x2﹣4x+6有最（填“大”或“小”）值，这个最值为．（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．【答案】（1）﹣2；2；2；小；2；（2）x2﹣1＞2x﹣3．【分析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；（2）利用求差法和配方法解答即可．【解答】解：（1）x2-4x+6=（x-2）2+2，所以当x=2时，代数式x2-4x+6有最小值，这个最值为2，故答案为：-2；2；2；小；2；（2）x2-1-（2x-3）=x2-2x+2；=（x-1）2+1＞0，则x2-1＞2x-3．17.【题文】如果a、b为实数，满足+b2－12b+36=0，求ab的值．【答案】-8【分析】将原式化为+（b－6）2=0，由此可得，分别求出a、b 的值即可求出ab.【解答】解：原等式可化为+（b－6）2=0，∴，∴a=，b=6，∴ab=－8.故答案为－8.18.【题文】用配方法解下列方程：（1）x2+4x+1=0；（2）2x2－4x－1=0；（3）9y2－18y－4=0；（4）x2+3=2x.【答案】（1）x1=－2，x2=－－2；（2）x1=1+，x2=1－；（3）y1=+1，y2=1－；（4）x1=x2=.【分析】（1）先移项，再配方，解出x即可；（2）先移项，再将二次项系数化为1，最后配方解出x即可；（3）先移项，再将二次项系数化为1，最后配方解出x 即可；（4）先移项，再配方解出x即可.【解答】解：（1）移项，得x2+4x=－1，配方，得x2+4x+22=－1+22，即（x+2）2=3，解得x1=－2，x2=－－2；（2）移项，得2x2－4x=1，二次项系数化为1，得x2－2x=，配方，得x2－2x+12=+12，即（x－1）2=，解得x－1=±，即x1=1+，x2=1－；（3）移项，得9y2－18y=4，二次项系数化为1，得y2－2y=，配方，得y2－2y+12=+12，即（y－1）2=，解得y－1=±，即y1=+1，y2=1－；（4）移项，得x2－2x+3=0，配方，得（x－）2=0，解得x1=x2=.19.【题文】用配方法解方程，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．解：方程两边都除以2并移项，得，配方，得，即，解得，即．【答案】．【分析】上面过程不对，错在配方一步，改正即可.【解答】解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：配方，得x2－x+=15+，即（x－）2=，解得x－=±,即x1=3，x2=.20.【题文】解下列方程：（1）x2+6x+5=0；（2）2x2+6x－2=0；（3）（1+x）2+2（1+x）－4=0.【答案】（1）∴x1=－1，x2=－5；（2）x1=－，x2=－－；（3）x1=－2，x2=－－2【分析】（1）先移项，再配方解出x即可；（2）先移项，再将二次项系数化为1，然后配方解出x即可；（3）先去括号，再移项，然后配方解出x即可.【解答】解：（1）移项，得x2+6x=－5，配方，得x2+6x+32=－5+32，即（x+3）2=4，由此可得：x+3=±2，∴x1=－1，x2=－5；（2）移项，得2x2+6x=－2，二次项系数化为1，得x2+3x=－1，配方，得x2+3x+（）2=－1+（）2，即（x+）2=，由此可得x+=±，∴x1=－，x2=－－；（3）去括号整理，得x2+4x－1=0，移项，得x2+4x=1，配方，得（x+2）2=5，由此可得x+2=±，∴x1=－2，x2=－－2.。
九年级数学上册1-2一元二次方程的解法第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程新版苏科版
课程讲授
1 配方法的概念
问题1：根据前面的内容，试着解方程x2+6x+4=0.
降次
x2+6x+4=0
移项
x+3= 5
x2+6x=-4
两边加9，使得左边配 成完全平方公式
配方法
解二次项系数为1 的一元二次方程
1.移项 2.配平方 3.开平方（降次） 4.解一次方程
2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
(2)x2 ＋ 3x －1=0
解：（2）移项，得 x2+3x=1.
配方，得
x2
2
x
3 2
3 2
2
1
3 2
2
x
3 2
2
13 4
解这个方程，得 x 3 13 ,
22
x1
3 2
13 2
,
x2
3 2
13 . 2
课程讲授
2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
归纳：把方程化为（x+h)2=k的形式，将一元二次方程 降次，转化为一元一次方程求解．
课程讲授
1 配方法的概念
试一试：填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1) x2 6x 32 =( x+3)2
(2) x2 8x 42 =(x4)2
(3) x2 4x 22 =(x 2 )2
x (4)
C.p=-4,q=2
D.p=-4,q=-2
3.将方程x2－2x＝2配方成(x＋a)2＝k的形式，则方程的两边需 加上____1_.
九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法(2)教案苏科版(2021年整理)
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课题：1。
2 一元二次方程的解法(2)教学目标： 教学时间:1. 理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；2。
在配方过程中体会“转化"的数学思想，掌握转化的技巧．教学重点：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．教学难点:把一元二次方程转化为(x ＋h )2＝k 的形式．教学方法：教学过程:一.【情景创设】1．解下列方程，并说明解法的依据：（1）1232=-x （2)()0612=-+x （3） ()2210x -+=2．请写出完全平方公式.（1） __________________________(2）_____________________二。
【问题探究】问题1：如何解方程0462=++x x ?解: 点拨：如果能化成()k h x =+2的形式就可以求解了步骤:（1）移项（2）配方．．（方法：方程两边同时加上______________）(3）将方程写成()k h x =+2的形式（4）用直接开平方法解方程归纳：由此可见,只要把一个一元二次方程变形为()k h x =+2的形式（其中h 、k 都是常数），如果k ______0，可通过直接开平方法求方程的解；如果k ______0，则原方程无解。
初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法-章节测试习题(31)
章节测试题1.【题文】解方程：（1）2x2﹣4x﹣9=0（用配方法解）；（2）（用公式法解）【答案】（1）x1=1+，x2=1﹣；（2），【分析】方程（1）用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式；方程（2）用公式法求解方程的根．【解答】（1）∵2x2﹣4x﹣9=0，∴2x2﹣4x=9，∴x2﹣2x=，∴x2﹣2x+1=+1，∴（x﹣1）2=，x=1±，解得x1=1+，x2=1﹣（2）∵a=3，b=﹣4；；，c=2，∴b2﹣4ac=24，⇒x==，解得．2.【题文】解方程（1）（x+6）-9=0；（2）（3）先化简，再求值：，其中m是方程的根．【答案】（1）；（2）x=-1；（3）；（4）【分析】（1）先移项，然后通过直接开平方法解方程；（2）把分式方程化为整式方程，再求解；（3）先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x-1=0的根，那么m2+3m-1=0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可．【解答】（1）由原方程，得（x+6）2=9，开平方，得x+6=±3，解得：x1=−3，x2=9．（2）原方程即去分母得x=2x−1+2，x=−1经检验：x=−1是原方程的解，∴原方程的解是x=−1．（3）原式====，∵m是方程x2+3x−1=0的根．∴m2+3m−1=0，即m2+3m=1，∴原式=．3.【题文】（1）求下列式中的：4（2）计算：【答案】（1）x或；（2）-3.95．【分析】（1）变形后直接开平方即可；（2）先化简二次根式、三次根式后再加减．【解答】（1）.4∴∴x或（2）=-4+0.3-=-3.954.【题文】解方程：x2=3x【答案】x1=0，x2=3【分析】移项后运用因式分解法即可求解．【解答】x2=3xx2-3x=0x（x-3）=0解得：x1=0，x2=35.【题文】解方程：（1）-=0（2）2x2-2x=x+1【答案】x=2；x1=，x2=【分析】（1）先去括号，把分式方程化为整式方程，解这个整式方程，检验即可；（2）先移项，再运用公式法求解即可．【解答】（1）去分母得，3（x-1）-（x+1）=0解得：x=2经检验，x=2是原方程的解；（2）移项得：2x2-2x-x-1=0整是得，2x2-3x-1=0∴x1=，x2=6.【题文】解方程：x2-2x＝2x＋1．【答案】x1＝2-，x2＝2＋．【分析】根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式求解即可．【解答】方程化为x2-4x-1＝0．∵b2-4ac＝（-4）2-4×1×（-1）＝20，∴x＝＝2±，∴x1＝2-，x2＝2＋．7.【题文】解方程：3x2＋2x＋1=0．【答案】原方程没有实数根．【分析】利用公式法解方程即可．【解答】∵a＝3，b＝2，c＝1，∴b2-4ac＝4-4×3×1＝-8＜0．∴原方程没有实数根．8.【题文】（1）解方程：x2―6x+4＝0；（2）解不等式组【答案】（1）；（2）【分析】（1）运用公式法解一元二次方程；（2）先解两个不等式，再求它们的交集.【解答】（1）（2）9.【题文】解方程：（1）（2）【答案】（1），；（2），【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）将括号展开，运用配方法求解即可得解．【解答】（1），（2），，10.【题文】（2）求x值：【答案】（1）；（2）x=7或-3【分析】（1）根据平方根、立方根、乘方可求解；（2）根据平方根的意义，直接开平方即可求解．【解答】（1）原式=（2）解：x-2=x=7或-311.【题文】（1）解方程：（x＋1）2＝64；（2）计算：【答案】（1）x1=7，x2=-8；（2）-36【分析】（1）原式利用平方根计算即可得到结果；（2）根据实数的运算法则进行计算即可得解．【解答】（1）∵（x＋1）2＝64，∴x+1=±8，当x+1=8时，x=7；当x+1=-8时，x=-8．（2）原式=（-8）×4+（-4）×-3=-3612.【题文】解方程或方程组：（1）（2）【答案】（1）4或x=0（2）【分析】（1）方程两边同除以3，然后用直接开平方法即可求得方程的解；（2）先把方程组变形，然后再用加减消元法求解即可．【解答】（1）4或x=0（2）解得13.【题文】如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿以2cm/s 的速度向点D移动．经过多长时间P、Q两点的距离是10？【答案】P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．【分析】作PH⊥CD，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．【解答】当P在Q下方时，方法同上，只不过表示等边三角形底边一半的时候稍有不同．设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作PH⊥CD，垂足为H，则PH=BC=6，PQ=10，HQ=CD﹣AP﹣CQ=16﹣5t．∵PH2+HQ2=PQ2，可得：（16﹣5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm14.【综合题文】如图，长方形的边，在坐标轴上，（0，2），（4，0）．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线方向运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动．设点运动时间为秒（）．15.【题文】请选择适当的方法解下列一元二次方程：（1）（2）【答案】（1）x1=﹣2，x2=2；（2），．【分析】（1）利用直接开平方法直接可求解；（2）先化简，再根据公式法求解．【解答】（1）x2﹣4=0x2=4x=±2（2）x（x﹣6）=5x2-6x-5=0∵a=1，b=-6，c=-5∴△=36-4×（-5）=56＞0∴，∴，16.【题文】解方程：x2﹣5x+3=0【答案】x1=，x2=【分析】首先根据题意得出a、b、c的值，然后根据求根公式得出方程的解．【解答】a=1，b=-5，c=3则=25-4×1×3=13则x=即．17.【答题】我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即一元二次方程有一个根为）．例如：解方程，解：，，，．∴的解为：，．根据上面的解题方法，则方程的解为______．【答案】，【分析】本题考查了新定义，根据一元二次方程的解法解答即可．【解答】，，，，，∴，．故答案为：，18.【答题】方程（x﹣5）2=0的根是______．【答案】x1=x2=5．【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】（x﹣5）2=0，∴x﹣5=0，∴x1=x2=5，故答案为：x1=x2=5．19.【答题】利用解一元二次方程的方法，在实数范围内分解因式x2﹣2x﹣1=______．【答案】（x﹣1﹣）（x﹣1+）【分析】根据一元二次方程的解法解答即可．【解答】令x2-2x-1＝0，解得：x＝1±，则原式＝（x-1-）（x-1＋）．故答案为：（x-1-）（x-1＋）．20.【答题】方程（x﹣1）2=4的解为______．【答案】x1=3，x2=﹣1【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】（x﹣1）2=4，即x﹣1=±2，∴x1=3，x2=﹣1．故答案为：x1=3，x2=﹣1．。
新苏科版九年级数学上册第1章 一元二次方程《1.2一元二次方程的解法》优质课件
试一试：
已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方
程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，
则m、n必须满足的条件是（ B ）
A.n=0
B.m、n异号
C.n是m的整数倍
D.m、n同号
例1解下列方程 （1）x2-1.21=0
典型例题
（2）4x2-1=0
解（1）移项，得x2=1.21 ∵x是1.21的平方根
C.( x 3)2 2
B.( x 3)2 16 D.( x 6)2 16
（2）用配方法解下列方程时，配方有
错误的是（ B）
A.x 2 2x 99 0化为（x 1）2 100
B.x 2 8x 9 0化为（x 4）2 25
C.x 2 3x 1 0化为（x 1.5）2 1.25
然后回答下列问题：
（1）你在求解过程中遇到什么问题？你是 怎样处理所遇到的问题的？ （2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程， 在什么条件下才有实数根？
1.2一元二次方程的解法 配方法2
知识回顾
1.什么是配方法？ 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square)
次方程，用配方法解时，为了便于配方，可把二次
项系数化为1，再求解.
解：两边都除以-3，得 x2 4 x 1 0 33
移项，得 x2 4 x 1
33
系数化为1 移项
配方，得
x2
4
x
2 2
1
2 2
3 3 3 3
苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的解法 配方法》教学设计
苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的解法配方法》教学设计一. 教材分析《一元二次方程的解法——配方法》是苏科版数学九年级上册第1章的内容。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法基础上进行学习的，通过配方法来求解一元二次方程。
教材通过具体的例子引导学生探究配方法解一元二次方程的过程，从而使学生掌握配方法解题技巧。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于解方程的方法已经有了一定的了解。
但是，对于配方法解一元二次方程可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体的例子，引导学生理解和掌握配方法解题的步骤和技巧。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握配方法解一元二次方程的基本步骤和技巧。
2.过程与方法：通过探究配方法解题的过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：配方法解一元二次方程的步骤和技巧。
2.难点：对于一些复杂的一元二次方程，如何灵活运用配方法进行解答。
五. 教学方法1.引导法：通过具体的例子，引导学生探究配方法解题的过程。
2.讨论法：让学生分组讨论，共同解决问题。
3.实践法：让学生通过练习题，巩固所学的知识。
六. 教学准备1.准备一些一元二次方程的题目，用于课堂练习和巩固。
2.准备PPT，用于展示和解题过程的演示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的一元二次方程，引导学生回顾已知的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）展示一个典型的一元二次方程，引导学生尝试用配方法进行解答。
在解答过程中，引导学生注意观察和总结配方法的步骤和技巧。
3.操练（10分钟）让学生分组练习，运用配方法解一些一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些配方法解一元二次方程的题目，检验学生对配方法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：对于一些复杂的一元二次方程，如何灵活运用配方法进行解答？让学生通过讨论和练习，提高解题能力。
初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法-章节测试习题(27)
章节测试题1.【答题】方程的解是（）A. ，B.C. D.【答案】C【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】∵（x＋1）2=4，∴x+1=±2，解得x1=1，x2=﹣3．选C．2.【答题】一元二次方程（x+2017）2＝1的解为（）A. ﹣2016，﹣2018B. ﹣2016C. ﹣2018D. ﹣2017 【答案】A【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】（x+2017）2=1x+2017=±1，∴x1=-2018，x2=-2016．选A．3.【答题】一元二次方程（x-1）2=9的解为（）A. 4B. -2C. 4或-2D. 3或-3 【答案】C【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】∵（x-1）2=9，∴x-1=±3，∴x=4或x=-2．选C．4.【答题】若（a+b﹣1）（a+b+1）﹣4＝0，则a+b的值为（）A. 2B. ±2C.D. ±【答案】D【分析】把a+b看作一个整体，根据直接开平方法解答即可．【解答】（a+b）2﹣1﹣4＝0，（a+b）2＝5，∴a+b=±．选D.5.【答题】方程3+9=0的根为（）A. 3B. -3C. ±3D. 无实数根【答案】D【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】原方程可化为：，∵负数没有平方根，∴原方程无实数根．选D．6.【答题】已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x-3)2-1=0的根，则此三角形的周长为（）A. 10B. 12C. 14D. 12或14【答案】C【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】∵(x-3)2-1=0，∴x-3=±1，解得：x=4或x=2．∵6-4＜x＜6+4，即2＜x＜10，∴x=4，故周长为：4+6+4=14．选C．7.【答题】有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③（2x-1）2=1；④．其中能用直接开平方法做的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】①x2-2x=0，因式分解法；②9x2-25=0，直接开平方法；③（2x-1）2=1，直接开平方法；④，直接开平方法，则能用直接开平方法做的是②③④．选C．8.【答题】若a，b，c满足则关于x的方程的解是（）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 无实数根【答案】C【分析】由方程组得到a+c=0，即a=-c，b=0，再代入方程可求解．【解答】∵a+b+c=0——①；a-b+c=0——②且a≠0，联立两式①+②得a+c=0，即a=-c，b=0，代入ax²+bx+c=0得：ax²-a=0解得x=1或x=-1选C9.【答题】如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是______．【答案】【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可．【解答】由题意得：，∴m=1，原方程变为：﹣x2+2=0，x=，故答案为．10.【答题】已知，则的值为______．【答案】1【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】∵，∴，∴，∴，∴．故答案为1．11.【答题】一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是______．【答案】x1=-1，x2=5【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】移项得：（4﹣2x）2=36，开方得：4﹣2x=±6，解得：x1=﹣1，x2=5．故答案为：x1=﹣1，x2=5．12.【答题】若2x2+3与2x2﹣4互为相反数，则x为______．【答案】±【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】由题意可得：解得：故答案为13.【答题】已知，那么______．【答案】3【分析】把看成一个整体设为x，再解一元二次方程舍去负值即可．【解答】设，则原方程化为：，，，，，故答案为：3．14.【题文】（1）（x+5）2+16=80；（2）（x-1）2-9=0【答案】（1）x1=-13，x2=3；（2）x1=4，x2=-2．【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】（1）（x+5）2+16=80，移项，得（x+5）2=64，∴x+5=±8，∴x=-5±8，∴x1=-13，x2=3；（2）（x-1）2-9=0，（x-1）2=9，x-1=3或x-1=-3∴x1=4，x2=-2．15.【题文】解方程：【答案】当时，原方程的解是，当时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得，根据求出，再讨论时，，分别计算出方程的解．【解答】解：移项得：，化简得：，，，当时，，原方程无实数解，当时，，，当时，原方程的解是当时，原方程无实数解．16.【题文】解方程：；【答案】，【分析】移项后利用直接开平方法解方程即可．【解答】．得．即，或．解得，．17.【题文】（1）解方程：（x＋1）2＝64；（2）计算：【答案】（1）x1=7，x2=-8；（2）-36【分析】（1）原式利用平方根计算即可得到结果；（2）根据实数的运算法则进行计算即可得解．【解答】（1）∵（x＋1）2＝64，∴x+1=±8当x+1=8时，x=7；当x+1=-8时，x=-8．（2）原式=（-8）×4+（-4）×-3=-3618.【题文】解方程与计算（1）利用平方根解方程：2（x﹣1）2﹣6=0（2）计算：【答案】（1）；；（2）-2【分析】（1）根据等式的性质，先将方程整理成（x﹣1）2=3的形式，再直接开平方即可；（2）根据实数的运算顺序先开平方和乘方，再加减即可；【解答】（1）方程整理得：（x﹣1）2=3，开方得：x﹣1=±，．解得：x1=1+，x2=1﹣；（2）原式=10×﹣5+2=1﹣5+2=﹣2．19.【题文】解方程：（1）（x＋1）2＝9；（2）x2-4x＋2＝0．【答案】（1）x1＝2，x2＝-4；（2）x1＝2＋，x2＝2-．【分析】（1）直接开平方；（2）先变形，再开平方；【解答】（1）（x+1）2=9x+1=3或x+1=-312（2）x2-4x＋2＝0x2-4x+2+2=2（x-2）2=2或∴x1=2+，x2=2﹣20.【题文】解方程：（x＋1）2-1＝8．【答案】x1=2，x2＝-4．【分析】移项后，直接开平方即可．【解答】（1）去分母得：x（x＋2）-（x-1）（x＋2）＝3，去括号得：2x-2x＋x＋2＝3，解得：x＝1，经检验x＝1时，分母为0，方程无解．（2）（x＋1）2-1＝8（x＋1）2＝9，∴x＋1＝3或x＋1＝-3，12。
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章节测试题1.【题文】解方程：（1）x2-1=2（x+1）；（2）2x2-4x-5=0．【答案】（1）x1=-1，x2=3；（2）．【分析】（1）根据方程特点，用“因式分解法”解此方程即可；（2）根据方程特点，用“公式法”解此方程即可；【解答】（1）原方程可化为：∴或，解得：．（2）∵在2x2-4x-5=0中，a=2，b=-4，c=-5，∴b2-4ac=16+40=56，∴，．∴．2.【题文】我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请选择合适的方法解下列方程．（2）（x-1）2＝3；（3）x2-3x＝0；（4）x2-2x＝4．【答案】方程（1）用公式法解：x1＝，x2＝．方程（2）用直接开平方法解：x1＝-＋1，x2＝＋1．方程（3）用因式分解法解：x1＝0，x2＝3．方程（4）用配方法解：x1＝-＋1，x2＝＋1．【分析】（1）利用公式法即可解决问题；（2）直接开方法即可解决问题；（3）利用因式分解法即可解决问题；（4）利用配方法即可解决问题；【解答】（1）x2-3x+1=0，∴a=1，b=-3，c=1，∵△=9-4=5，∴x1=，x2=．∴x-1=±，∴x1=1+，x2=1-．（3）∵x2-3x=0，∴x（x-3）=0，∴x=0或x-3=0，∴x1=，0，x2=3．（4）∵x2-2x=4，∴x2-2x+1=4+1，∴（x-1）2=5，∴∴x1=1+，x2=1-．3.【题文】⑴⑵⑶⑷【答案】⑴（2）⑶⑷【分析】（1）直接开平方法．（2）配方法．（3）公式法．（4）因式分解法．【解答】⑴（2）．⑶，，，．⑷4.【题文】解下列方程（1）；（2）．【答案】（1）x1=3，x2=2；（2），【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）公式法求解可得．【解答】（1）原方程即或，（2）原方程即，5.【题文】⑴⑵⑶⑷【答案】⑴（2）⑶⑷【分析】（1）直接开平方法．（2）配方法．（3）公式法．（4）因式分解法．【解答】⑴（2）．⑶，，，．⑷6.【题文】解方程：（1）x2+3x-2=0；（2）x2-2x=x-2．【答案】（1）；（2）【分析】（1）观察、分析可知，这个方程可用公式法或配方法来解；（2）观察、分析可知，这个方程可用因式分解法来解．【解答】（1）∵在方程中，，∴△=，∴，∴．（2）原方程可化为：，∴，∴或，∴．7.【题文】解方程：（3x-2）2＝4（3＋x）2．【答案】，【分析】整体移项后，利用平方差公式进行因式分解，然后求解即可．【解答】（3x-2）2-[2（3＋x）]2＝0，[3x-2＋2（3＋x）][3x-2-2（3＋x）]＝0，（5x＋4）（x-8）＝0，5x＋4＝0，或x-8＝0，，．8.【题文】解方程：（1）（x-2）2=16（2）2x（x-3）=x-3．（3）3x2-9x+6=0（4）5x2+2x-3＝0（用求根公式）【答案】⑴x1=6，x2=-2⑵x1=3，x2=⑶x1=1，x2=2⑷x1=-1，x2=【分析】（1）根据开平方，可得方程的解；（2）根据因式分解，可得方程的解；（3）根据因式分解，可得方程的解；（4）根据公式法，可得方程的解．【解答】（1）开方，得x-2=±4．解得x1=6，x2=-2；（2）移项，得2x（x-3）-（x-3）=0．因式分解，得（x-3）（2x-1）=0，x-3=0或2x-1=0．解得x1=3，x2=；（3）因式分解，得3（x-1）（x-2）=0．x-1=0或x-2=0，解得x1=1，x2=2；（4）a=5，b=2，c=-3，∵△=b2-4ac=22-4×5×（-3）=64＞0，∴5x2+2x-3=0有不相等的二实根．x1=，x2=9.【题文】解下列方程：（1）（配方法解）；（2）（公式法）；（3）．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）按配方法的步骤，先把常数项移到方程的右侧，然后在两边同时加上一次项系数一半的平方，然后进行求解即可；（2）先确定出a、b、c的值，再确定b2-4ac的值，最后利用求根公式进行求解即可；（3）利用因式分解法进行求解即可．【解答】（1）x2-4x=-2，x2-4x+4=-2+4，，x-2=±，∴；（2）中，＞0，∴，∴，；（3）方程变形为，，．10.【题文】解方程：（1）3y（y-1）=2（y-1）（2）（x-1）（x+2）=70（3）2y2-3=4y【答案】（1）y1=1，y2=；（2）x1=-9，x2=8；（3）y1=1+，y2=1-【分析】（1）根据特点，移项后直接用因式分解法解即可；（2）先将原方程化为一般形式，然后再用因式分解法解；（3）用公式法或配方法解；【解答】（1）原方程可化为：，∴或，解得：；（2）原方程化为一般形式为：，∴，∴或，解得：；（3）原方程可化为：，∵，∴△=，∴，∴．11.【题文】解下列方程：（1）x2＋4x-5＝0；（2）x（x-4）＝8-2x；【答案】（1）x1=-3+，x2=-3-（2）x1=4，x2=-2 【分析】第小题用公式法，第用因式分解法．【解答】整理得：12.【题文】解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x1=2，x2=5；（2），【分析】（1）根据本题特点，选用“因式分解法”来解比较简单；（2）根据本题特点，可选用“配方法”或“公式法”来解．【解答】（1）原方程可化为：，∴或，解得；（2）移项，得，配方得：，即，∴，∴．．13.【题文】解方程：（1）2x2+3x=1；（2）x（x+3）=2x+6．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把常数项移至等号左边，然后利用求根公式求解即可；（2）把右边的两项移至左边，然后利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）2x2＋3x＝12x2＋3x-1＝0；（2）x（x＋3）＝2x＋6x（x＋3）-2（x＋3）＝0（x＋3）（x-2）＝0x＋3＝0或x-2＝0x1＝2，x2＝-3．14.【题文】用两种不同方法解方程：x2-3-2x=0【答案】x1=3，x2=-1【分析】观察、分析可知该方程可用“配方法”、“公式法”、“因式分解法”等多种方法来解，这里选择“公式法”和“因式分解法”来解．【解答】（1）用“公式法”解，原方程可化为：，∴，∴△=，∴，∴．（2）用“因式分解法”解，原方程可化为：，∴或，解得．15.【题文】解方程：（1）x2-6x-1=0；（2）x（x-3）=10．【答案】（1）x1=3+，x2=3-；（2）x1=5，x2=-2．【分析】（1）利用配方法进行求解即可；（2）整理成一般形式后再利用因式分解法进行求解即可．【解答】（1）x2-6x-1=0，x2-6x=1，x2-6x+9=10，（x-3）2=10，x-3=±，∴x1=3+，x2=3-；（2）x2-3x-10=0，（x-5）（x+2）=0，x-5=0或x+2=0，∴x1=5，x2=-2．16.【题文】解方程：（1）x2-4x-1=0（2）x2-3x=（2-x）（x-3）【答案】1）x=2±；（2）x=3或x=1．【分析】（1）根据方程特点，用“配方法”解答即可；（2）根据方程特点，用“因式分解法”解答即可．【解答】（1）∵x2-4x=1，∴x2-4x+4=1+4，即（x-2）2=5，则x-2=±，∴x=2±；（2）∵x（x-3）+（x-2）（x-3）=0，∴（x-3）（x+x-2）=0，即（x-3）（2x-2）=0，则x-3=0或2x-2=0，解得：x=3或x=1．17.【题文】计算或解方程：（1）3x2-2x-1=0；（2）x2+3x+1=0（配方法）；（3）（x+1）2-6（x+1）+5=0．【答案】（1）x1=1，x2=-；（2），；（3）x1=4，x2=0．【分析】（1）根据分解因式法解答即可；（2）根据配方法解答即可；（3）根据分解因式法解答即可．【解答】解：（1）原方程变形为：（x-1）（3x+1）=0，解得：x1=1，x2=-；（2）原方程变形为：，解得：，；（3）原方程变形为：（x+1-5）（x+1-1）=0，解得：x1=4，x2=0．18.【题文】解下列方程：（1）2x2-x＝1；（2）x2＋4x＋2＝0．【答案】（1）x1＝-，x2＝1.（2）x1＝-2＋，x2＝-2-【分析】（1）利用因式分解法进行求解即可；（2）利用配方法进行求解即可．【解答】（1）2x2-x=1，2x2-x-1=0，（2x+1）（x-1）=0，∴x1＝-，x2＝1；（2）x2+4x+2=0，x2+4x+4=2，（x+2）2=2，x+2=，∴x1＝-2＋，x2＝-2-．19.【题文】解下列方程：（1）x2-8x+1=0（配方法）；（2）3x（x-1）=2-2x．【答案】（1）x=4±；（2）x=1或x=-．【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）因式分解法求解可得．【解答】（1）∵x2-8x=-1，∴x2-8x+16=-1+16，即（x-4）2=15，则x-4=±，∴x=4±；（2）∵3x（x-1）+2（x-1）=0，∴（x-1）（3x+2）=0，则x-1=0或3x+2=0，解得：x=1或x=-．20.【题文】（1）解方程：；（2）用配方法解方程：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）方程左边提出公因式x，利用提公因式法解答；（2）把常数项移至等号右边，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使左边成为一个完全平方式，然后再开方求解．【解答】解：（1）因式分解得：，于是得：，，；（2）移项得：，配方得：，由此得：，于是得：．。