七校联考 数学试卷
2025届南京协同体七校高三上学期期中联考数学试题
南京市协同体七校2024-2025学年第一学期期中联合考试高三数学试题考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：1.本试卷所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.2.答题务必将自己妵名，准考证信息用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷答题卡上，第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小輀，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2log 2,2A x x B x x =<=>∣∣，则A B ∪=（ ）A.()0,2B.()0,∞+C.()2,∞+D.(),2∞−2.若21i z −=，则z =（ ） B.1 C.22D.12 3.已知向量()()()0,4,3,6,1,6a b c ===− ，若c a b λµ=+ ，则λµ+=（ ） A.73 B.53C.13−D.23− 4.已知0,0m n >>，且1m n +=，则14m n +的最小值为（ ） A.12 B.9 C.6 D.35.已知直径为12的球内有一内接圆柱（圆柱上下底面圆在球面上），则圆柱体积的最大值为（ ）A. B.96π C. D.192π6.已知函数()224,,1,x x a f x x x a+ = +> 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.(]1,3− B.(],3∞− C.[)3,∞+ D.][(),13,∞∞−−∪+7.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A 为“第一次出现偶数点”，事件B 为“两次出现的点数和为9”，则下列结论中正确的是（ ） A.()19P AB =B.()()()P A B P A P B ∪=+C.()13P A B =∣D.A 与B 相互独立8.已知()f x 是定义在R 上的周期函数，周期1T =，且当[)0,1x ∈时()2f x x =，若()g x kx b =+，则下列结论中一定正确的是（ ）A.1k =时，()()f x g x =可以有三个解B.12k =时，()()f x g x =可以有三个解 C.1k =−时，()()f x g x =可以有一个解 D.12k =−时，()()f x g x =可以有四个解 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线2:4C y x =，直线:l y kx k =−与抛物线C 交于,P Q 两点，分别过,P Q 两点作抛物线准线的垂线,PM QN ，垂足分别是,M N ，下列说法正确的是（ ）A.直线l 过抛物线C 的焦点B.当1k =时，,P Q 两点横坐标的和为5C.当1k =时，直线l 截抛物线所得的弦长为8D.以MN 为直径的圆与直线l 相切10.已知正方体1111ABCD A B C D −，点P 满足][1,0,1,0,1BP BC BB λµλµ =+∈∈ ，则下列说法正确的是（ ）A.存在唯一一点P ，使得过1,,D B P 的平面与正方体的截面是菱形B.存在唯一一点P ，使得AP ⊥平面11B D CC.存在无穷多个点P ，使得AP ∥平面1A CDD.存在唯一一点P ，使得11D P BC ⊥11.如果X 服从二项分布(),B n p ，当10np >且()110n p −>时，可以近似的认为X 服从正态分布()2,N µσ，据统计高中学生的近视率0.6P =，某校有600名高中学生.设X 为该校高中学生近视人数，且X 服从正态分布()2,N µσ，下列说法正确的是（ ）（参考数据：()0.682,(22)0.9545P X P X µσµσµσµσ−<<+≈−<<+≈）A.变量X 服从正态分布()360,144NB.()3720.159P X ≈C.()(384)348P X P X <=>D.(384)0.9773P X <≈第II 卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列{}n a 中，()*21n a n n =−∈N ，则20S =__________.13.已知函数()π2sin 06yx ωω =−> 在区间π0,2上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围是__________.__________. 14.已知e 为自然对数的底数，若函数ln y x ax =+的最大值与函数e x y x =−的最小值相等，则实数a 的值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知5,3,cos 2c b c b a C ===−. （1）求A ∠；（2）若D 是BC 中点，求AD 的长度.16.（本题满分15分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为51413,35,,,n S S a a a =成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m n <，且1111,,m na a a 成等差数列，求出所有的正整数,m n . 17.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，AB ∥,DC AC BD ⊥，3,24PA AC DC AB ====.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求二面角D PC B −−的正弦值.18.（本题满分17分）已知函数()()211ln ,2f x x a x a x a =−++∈R . （1）若1a =−，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()()1y f x a x =++的最小值为0，求a 的值.19.（本题满分17分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为22,,3A B 分别是椭圆C 的上下顶点，过A 作两条互相垂直的直线,AP AQ ，分别交椭圆C 于,P Q 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线PQ 恒过定点；（3）求APQ 面积的最大值.南京市协同体七校2024—2025学年第一学期期中联合考试高三数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.C3.B4.B5.A6.C7.D8.B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ACD 10.BD 11.ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.400 13.713,33 14.21e − 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）解：（1）方法一： 因为cosC 2c b a =−， 由正弦定理得：1sin sin cos sin 2B A C C =−， 又sin sin cos cos sin B A C A C =+， 所以1cos 2A =−，又因为在ABC 中，所以2π3A =. 方法二：因为cosC ,5,32c b a b c =−==， 由余弦定理得：225935252a a a +−=−×， 解得249a =，所以259491cos 2532A +−==−××， 又因为在ABC 中，所以2π3A =. （2）方法一：在ABC 中，D 是BC 中点，所以1122AD AB AC =+ ，222111111119||9352542442244AD AB AB AC AC =++=×+×××−+×= ，AD = ，即AD. 方法二：由（1）方法二，知7a =，又D 是BC 中点，72BD CD ==， 在ABD 中由余弦定理有：22792cos 722AD ADB AD ∠ +−=×， 在ABD 中由余弦定理有：227252cos 722AD ADC AD ∠ +− =×， 因为πADB ADC ∠∠+=，所以cos cos ADB ADC ∠∠=−， 即22227792522772222AD AD AD AD +−+−=−××， 解得AD =，即AD . 16.（本题满分15分）解：（1）51545352S a d ×=+=，所以127a d +=… 又因为1413,,a a a 成等比数列，所以24113a a a =×，()()221111312,96a d a a d d a d +=×+=又因为0d ≠，所以132d a =所以13,2a d == 所以21na n =+ （2）由题意：1211m na a a =+ 所以21121321m n =+++ 方法一：2242163n m n +=++ 所以63921622n m n n ++==−++， 因为m n <且*,m n ∈N ，所以2,7m n == 方法二：2111213213m n =+>++， 所以，52m <， 又*m ∈N ，所以1m =或2m =，当1m =时，1n =，与m n <矛盾，当2m =时，7n =，符合条件，所以2,7m n == 17.（本题满分15分）（1）证明：因为PA ⊥面,ABCD BD ABCD ⊂，所以PA BD ⊥又因为,,,AC BD PA AC A PA PAC AC PAC ⊥∩=⊂⊂，所以BD PAC ⊥又因为BD PBD ⊂，所以平面PAC ⊥平面PBD（2）法一：作AE DC ⊥交DC 于E ，以点A 为坐标原点AE 为x 轴，AB 为y 轴如图建立 空间直角坐标系，设AC BD M ∩=，因为AB ∥DC ，所以ABM CDM ∽，又2,4,3AB DC AC ===， 所以1,2AM MC ==， 又因为AC BD ⊥， 所以3,23BM DM == 所以ππ,36BAC EAC ∠∠==， 故()3330,0,3,,,022P C，()35,,0,0,2,022D B −.所以()333331,,3,0,4,0,,,02222PC DC BC =−==−设面PDC 一个法向量为()1111,,n x y z =所以1111330240x y z y +−= = ，所以(1n =设面PBC 一个法向量为()2222,,n x y z =所以222223302102x y z x y +−=−=， 所以(2n =所以sin θ=法二：设AC BD O ∩=，又因为AC BD ⊥，以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OC 为 y 轴如图建立空间直角坐标系，因为AB ∥DC ，所以ABO CDO ∼ ，又因为2,4,3AB DC AC ===， 所以1,2AO OC ==， 又因为AC BD ⊥， 所以3,23BO DO ==故()()0,1,3,0,2,0P C −，()()3,0,0,3,0,0D B −所以()0,3,3PC =− ，()23,2,0CD =− ，)2,0BC =设面PDC 一个法向量为()1111,,n x y z =所以111133020y z y −= −+= ，所以(1n = 设面PBC 一个法向量为()2222,,n x y z =所以222233020y z y −= +=，所以(22,n =所以sin θ=18.（本题满分17分）解：（1）当1a =−时，()()()2111ln ,1,22f x x x f f x x x =−′==−，所以()10f ′=， 所以切线方程为12y = （2）()()()()()()2111,0x a x a x x a a f x x a x x x x−+′+−−=−++==> 若0a ，则()0,1x ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，()1,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增； 若01a <<，则()0,x a ∈时()()0,f x f x ′>单调递增，(),1x a ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，()1,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增若1a =，则()0,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增若1a >，则()0,1x ∈时()()0,f x f x ′>单调递增，()1,x a ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，(),x a ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增（3）令()()()211ln 2h x f x a x x a x =++=+， ()()2,0,a x a h x x x x x′+=+=> 当0a 时，()0h x ′ ，故无最小值所以0a <，由()0h x ′=得x =所以(x ∈时()()0,h x h x ′<单调递减，)x ∞∈+时()()0,h x h x ′>单调递增单增，所以min 1()02h x h a a ==−+=，所以()ln 1,e a a −==−. 19.（本题满分17分）（1）解：因为22,cb a ==，又222a bc =+解得：3,,a b c === 故椭圆的标准方程为：2219x y += （2）证明：方法一：当PQ x ⊥轴时，,AP AQ 不可能垂直，故可设直线PQ 方程为：y kx n =+ 由2219y kx n x y =+ += ，得()2221918990k x knx n +++−=， 设()()1122,,,P x y Q x y 则：21212221899,1919kn n x x x x k k−−+==++， 所以，()()1122,1,,1PA x y PQ x y =−=− ，又因为PA PB ⊥，所以0PA PQ ⋅=即()()1212110x x y y +−−=即：()()1212110x x kx n kx n ++−+−=， 所以，()()221212121(1)0x x k x x k n x x n ++−++−= 代入可得：222222222222229999818(1)9(1)019191919n n k k n k k n n k n k k k k−−−+−+−+++=++++， 整理：210280n n −−=，所以：1n =（舍）或45n =−， 所以直线PQ 的方程为：45y kx =−，令0x =，得45y =−， 所以直线PQ 过定点40,5 −， 方法二： 显然,AP AQ 均不可能与坐标轴垂直，故可设():10AP y kx k =+≠ 由22119y kx x y =+ += ，得()2219180k x kx ++= 设()()1122,,,P x y Q x y所以：211221819,1919k k x y k k −−==++， 因为,AP AQ 互相垂直，同理得22222189,99k k x y k k−==++ 所以直线PQ 的斜率为：2110PQ k k k−=， 直线PQ 的方程为：222219118191019k k k y x k k k −− −=+ ++， 令0x =得()()222291194195519k k y k k −−=+=−++，即直线PQ 过定点40,5 − . （3）方法一：由（2）知：()227281190525k x kx +−−= ()()1212227281,5192519k x x x x k k +==−++， 所以APQ 面积121925S x x =×− ()()22121228125142519k x x x x k +=+−=+ 1t = ，所以22125t k −=代入可得： 281818127169162489t S t t t===++此时4,3t k ==，所以APQ 面积的最大值是278 方法二：由（2）知()2219180k x kx ++=，所以AP =因为,AP AQ互相垂直，同理得AQ = 所以APQ 面积12S AP AQ ==()242221162116299829982k k k k k k k k + + =++++ 令21116227,162162649644889t k t S k t t t+==×=×=++ ， 此时83t =，解得3k =±或13k =±， 所以APQ 面积的最大值是278.。
辽宁省七校协作体2024-2025学年高三上学期期初联考 数学试题
2024—2025学年度（上）七校协作体高三期初联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知命题:1,1p x x ∀>>，则命题p 的否定为（）A.1,1x x ∃>≤ B.1,1x x ∃≤≤C.1,1x x ∀>< D.1,1x x ∀≤>2.已知随机变量()2~2,X N σ，且(3)0.2P X >=，则(13)P X <≤=（）A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.33.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，1472582,4a a a a a a ++=++=，则9S =（）A.18 B.16 C.14 D.124.已知,x y 为正实数，且2x y +=，则66x y xy ++的最小值为（）A.12B.3+ C.252 D.325.下列说法正确的是（）A.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1B.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0C.对具有线性相关关系的变量,x y ，其线性回归方程为ˆ0.3yx m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是-4.D.已知随机变量X 服从二项分布1,3B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()316E X +=，则6n =.6.已知函数()f x 的导函数()f x '的部分图象如图，则下列说法正确的是（）A.()()13f f > B.()()12f f -<C.()f x 有三个零点 D.()f x 有三个极值点7.某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理､丽江､洱海､玉龙雪山､蓝月谷这5个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（）A.58 B.89 C.78 D.678.已知函数()f x 的导函数()()()22f x x x x m =+++'，若函数()f x 有一极大值点为-2，则实数m 的取值范围为（）A.()2,0-B.(]4,2--C.(),4∞--D.(),2∞--二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）9.已知,a b 均为正数，则使得“a b >”成立的充分条件可以为（）A.11a b<B.34a b ->-C.22a b b ab a+>+D.()()22ln 2024ln 2024a b +>+10.对于函数()22ln 3f x x x x =-+-，下列说法正确的是（）A.()f x 在区间()2,∞+上单调递增B.2x =是函数()f x 的极大值点C.()f x 的单调递减区间是()0,2D.函数()f x 的最小值为2ln22--11.甲､乙､丙､丁､戊､已6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n 次传球之后球在乙手中的概率为n a .则下列正确的有（）A.2425a =B.16n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列C.设第n 次传球后球在甲手中的概率为1010,n b b a <D.11165n n a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦三､填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分）12.设{}{}2540,10A x x x B x ax =-+==-=∣∣，若A B A ⋃=，则实数a 的取值集合为__________.13.已知等差数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则1n a +=__________.14.任意一个三次多项式函数()32f x ax bx cx d =+++的图象的对称中心是()0f x ''=的根，()f x ''是()f x '的导数.若函数()32f x x px x q =+++图象的对称中心点为()1,2-，且不等式()()e 32e e ln 13e x mx x f x x x x ⎡⎤-+≥--+⎣⎦对任意()1,x ∞∈+恒成立，则m 的取值范围是__________.四､解答题（本题共5小题，共77分）15.已知函数()()322,f x x ax b a b =++∈R 在1x =处取得极小值为1.（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.16.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，51120S a ==，数列{}n b 是公比大于1的等比数列，且23642,12b b b b =-=，（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值.17.某校举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A 类7道题中任选4道进行答题，答完后正确数超过两道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B 类5道题中任选3道进行答题，直到答完为止.A 类题每答对一道得10分，B 类题每答对一道得20分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜.总分70分或80分为三等奖，90分为二等奖，100分为一等奖.某班小张同学A 类题中有5道会做，B 类5题中，每题答对的概率均为35，且各题答对与否互不影响.（1）求小张同学被终止比赛的概率；（2）现已知小张同学第一轮中回答的A 类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分X 的分布列及期望；（3）求小张同学获得三等奖的概率.18.已知函数()()2ln 2f x a x x =+--.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间()2,4上不是单调函数，求a 的取值范围；（3）若()21,,e x f x ∞⎛⎫∀∈+ ⎪⎝⎭无零点，求a 的取值范围.19.已知数列{}n a 的首项112a =，且满足()()(){}*1,11n n n n na a n a n na +=∈++N 的前n 项和为n S .（1）证明数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）当2n ≥时，1116n n n a S a λ-+≥恒成立，求实数λ的取值范围；（3）在数列{}n b 中，112,4n n n b b b +==，求数列{}n b 的通项公式及()2*1(1)n ii i ib n a =-∈∑N2024—2025学年度（上）七校协作体高三期初联考答案一､单项选择题12345678A B C C C A B D二､多项选择题91011AD ACD ABD三､填空题12.10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭13.2914.(),e ∞--四､解答题15.（1）由题设()262f x x ax =+'，函数()()322,f x x ax b a b =++∈R 在1x =处取得极小值为1，则()()1011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩'，即62021a a b +=⎧⎨++=⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩，检验，当3,2a b =-=时，()32232f x x x =-+，()()26661f x x x x x ∴=='--当()(),01,x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x ∴在()(),0,1,-∞+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，()f x ∴在1x =处取得极小值，满足题意.所以32a b =-⎧⎨=⎩.（2）由（1）得()32232f x x x =-+，()()26661f x x x x x ∴=='--，令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得0x <或1x >，()f x ∴在31,2⎡⎤-⎢⎣⎦上的单调递减区间是[]0,1，单调递增区间为[]31,,1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()302,11,13,22f f f f ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭，∴函数()f x 在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]3,2.-16.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则511115452021020S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得10,2a d ==，所以22n a n =-，设等比数列{}n b 的公比为(1)q q >，则()225312bqq hq hqq bq ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得22q q =⎧⎨=⎩，所以2n n b =；（2）由（1）得()()2212n n nS n n -==-，则()12n n nn n n S c b -==，()()2111113222n n n n n n n n n n n c c ++++---=-=，当1,2n =时，11230,n n c c c c c +-><<，当3n =时，1340,n n c c c c +-==，当4n ≥时，1450,n n n c c c c c +>><-> ，所以当3n =或4时，n c 取得最大值.17.（1）从A 类7道题中任选4道，其中2道会做，2道不会做，则被终止比赛，所以小张同学被终止比赛的概率为225247C C 2C 7=.（2）由题意可知，X 的所有可能取值为40,60,80,100，则()328405125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213323660C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()223325480C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333327100C 5125P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X406080100P 8125361255412527125所以()836542740608010076125125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）小张获得三等奖，共有两种情况，①第一轮得30分（答对3道），则第二轮得40分（对2道），概率为231252347C C 32C C 55⎛⎫⋅⋅⨯ ⎪⎝⎭；②第一轮得40分（答对4道），则第二轮得40分（对2道），概率为2425347C 32C C 55⎛⎫⋅⋅⨯ ⎪⎝⎭，所以小张同学获得三等奖的概率为2231422525334477C C C 323254C C C 55C 55175⎛⎫⎛⎫⋅⋅⨯+⋅⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.（1）0a =时，()2ln 2f x x x =--，()()()12,(0),11,10f x x f f x=->''==，所以()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =-（2）因为()()12,f x a f x x=+-'在区间()2,4上不是单调函数，所以()0f x '=在()2,4上有变号解，即12a x+=在()2,4上有变号解.因为()2,4x ∈，所以11242a <+<，所以7342a -<<-（3）因为()()()21120,a x f x a x x x ∞+-=+-=∈+'，当20a +≤，即2a ≤-时，()0f x '<，所以()f x 在21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，因为()22112220e e f a ⎛⎫=++-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上无零点，符合题意；当2a >-时，令()0f x '=，则102x a=>+，当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0f x '<，当1,2x a ∞⎛⎫∈+ ⎪+⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间是10,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭；单调递增区间是1,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，所以()f x 的最小值为11ln 122f a a ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭当1ln 102a-->+，即e 2a >-时，()f x 无零点，符合题意；当e 2a =-时，()f x 有一个零点12a +，此时21112e ea =>+，不符合题意；当2e 2a -<<-时，()f x 的最小值11ln 10,22f a a ⎛⎫=--<⎪++⎝⎭因为()221120e e f a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0211,e 2x a ⎛⎫∃∈ ⎪+⎝⎭，使得()00f x =，不符合题意；综上所述，当(](),2e 2,a ∈-∞-⋃-+∞时，()21,,e x f x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭无零点.19.（1）()()()()11111,11n n n n n n n na na a n na a na ++++=∴=++ ，即()11111n nn a na +-=+，又1121a =⋅，∴数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，()111,1n n n a na n n ∴=+=+（2）()11111n a n n n n ==-++，12111111,22311n n n S a a a n n n ∴=+++=-+-++-=++ 由1116n n n a S a λ-+≥，得()()16111n n n n n n λ+-≥++，22161n n λ∴≤+-恒成立，22161817n n+-≥-=，当且仅当2216n n =时取等，此时解得2n =，所以实数λ的取值范围是(],7-∞（3）由11124,4n n n n n n b b b b ++++==，2214n n n n n nb b b b b b ++++∴==，数列{}n b 的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列，偶数项为以2为首项，4为公比的等比数列，12,2,n n n n b n -⎧∴=⎨⎩为奇数为偶数，()()2122121212212(1)(1)2122221224n n n n nn n n nb b n n n n n a a ------+-=--⋅⋅+⋅+⋅=⋅设()123124446422424n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+⋅ ，()2314244422424n n n T n n +=⨯+⨯++-+⋅ ，两式相减得23132424242424,n n n n +-Γ=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅ 1628499n n n T +-∴=⋅+，所以211628(1)499n in i i b n a +=--=⋅+∑。
重庆市七校2023-2024学年高一上学期开学联考数学试卷(含解析)
重庆市七校2023-2024学年高一上学期开学联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．的相反数是( )A. B. C.2．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的主视图是( )A. B.C. D.3．如图,直线a,b被直线c所截,若,,则∠2的度数为( )A. B. C. D.4．如图,与是位似图形,点O为位似中心,位似比为,则与的面积之比为( )2023-2023-2023//a b158∠=︒32︒42︒58︒122︒ABC△DEF△2:5ABC△DEF△A. B. C. D.5．下列函数的图象不经过点的是( )A. B.D.A.7与8B.8与9C.9与10D.10与117．下图是用黑白两种颜色的正六边形地板砖铺成的图案,以此规律,第7个图案中的白色地板砖的块数为( )A.26B.30C.34D.388．如图,为圆O 的直径,直线与圆O 相切于点C ,B 为圆上一点,连接,,若,则的度数为( )A. B. C. D.9．如图,在正方形内有一点F ,连接,,有,若的角平分线交于点E ,若E 为中点,,则的长为( )25:42:54:255:2()1,1y x =y =2y x =2y x=-+AC CD AB BC 52BCD ∠= BAC ∠38︒48︒52︒55︒ABCD AF CF AF AB =BAF ∠BC BC 2CF =ADA.10．定义：如果代数式（,,,是常数）与（,,,是常数）,满足,,,则称这两个代数式A 与B 互为“同心式”,如,代数式：的“同心式”为,下列三个结论：①若与互为“同心式”,则的值为-1;②当时,无论x 取何值,“同心式”A 与B 的值始终互为相反数;③若A 、B 互为“同心式”,且是一个完全平方式,则.其中,正确的结论有_____个( )A.0B.1C.2D.3二、填空题11．计算：_____________.12．一个布袋里装有只有颜色不同的5个球,其中3个红球,2个白球.从中任意摸出2个球,则摸出的2个球都是红球的概率是___________.13．若一个正多边形的一个内角是,则这个多边形的边数为_________.14．在中,,,于点D ,,点E 为边中点,连接,则的长为______________.15．某工厂废气年排放量为450万立方米,为改善空气质量,决定分两期治理,使废气的排放量减少到288万立方米.如果每期治理中废气减少的百分率相同,设每期减少的百分率为x ,则可列方程为_______________.16．如图,矩形的对角线,交于点O ,分别以点A ,C 为圆心,长为半径画弧,分别交,于点E ,F .若,,则图中阴影部分的面积为__________.2111A a x c b x ++=10a ≠1a 1b 1c 2222B a x b x c =++20a ≠2a 2b 2c 120a a +=12b b =120c c +=2235x x -++2235x x +-23mx nx k +-()246nx n x k +-+()2023m n +120b b ==23A B -2111100b a c =()0tan 3023π︒+---=150︒ABC △30ABC ∠=︒AB AC =AD BC ⊥3BD =AC DE DE ABCD AC BD AO AD BC 4BD =50CAB ∠=︒（结果保留）的解为正整数,且关于y 的不等式组的解集为,则所有符合条件的整数m 的值之和为_______________.三、双空题18．两位数m 和两位数n ,它们各个数位上的数字都不为0,将数m 和数n 的个位数字与十位数字交叉相乘再求和所得的结果记为.例如：.又如：.则_________;若一个两位数,两位数（,,且a ,b 都取整数）,交换m 的十位数字和个位数字得到新两位数,当与n 的个位数字的5倍的和能被11整除时,称这样的两个数m 和n 为“快乐数对”,则所有“快乐数对”的最大值为____________.四、解答题19．计算：(1)(2)20．如图,四边形是平行四边形,是对角线(1)基本尺规作图：过点B 作于点E ,再在线段上截取.（尺规作图,保留作图痕迹,不写作法）π23m x-=-1423()30y y y m ⎧+>-⎪⎨⎪-≥⎩3y >-(),F m n ()13,24143210F =⨯+⨯=()35,16365123F =⨯+⨯=()36,72F =21m a b =+53n b =+14a ≤≤15b ≤≤m 'm '(),F m n ()()()22x y x y x y -+--231222x x x x x+⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭ABCD AC BE AC ⊥AC CF AE =(2)连接、、,猜想四边形的形状,将下面的推理过程补充完整.证明：四边形是平行四边形,,①__________,.在和中,,,②___________..③__________四边形是④__________.21．某校为庆祝中国共产主义青年团成立100周年,特开展了“建团百年锵辉煌、凝心聚力再出发”共青团知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示,共分成四组：A.;B.;C. ;D.）.下面给出了部分信息;七年级10名学生的竞赛成绩是：99,84,99,99,100,100,95,94,89,81,八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：92,93,94,94,七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表DE DF BF BEDF ABCD ∴AB DC =BAE DCF ∠=∠∴ABE △CDF △AB DC BAE DCFAE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE CDF ∴≌△△∴BE DF =FEB EFD ∠=∠∴∴∴DFBE x 8085x ≤<8590x ≤<9095x ≤<95100x ≤≤C根据以上信息,解答下列问题：(1)直接写出上述图表中a ,b ,c 的值;(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握共青团知识较好?请说明理由（一条理由即可）;(3)该校七、八年级分别有600人、800人参加了此次竞赛活动,估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少?22．如图,正方形是边长为4,动点以每秒1个单位长度的速度从点出发,沿折线运动,动点F 以每秒1个单位长度的速度同时从点B 出发,沿折线运动,当两者相遇时停止运动.设运动时间为x 秒,的面积为y .(1)请直接写出y 关于x 的函数表达式并注明自变量x 的取值范围;(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质;(3)结合函数图象,直接写出的面积为6时x 的值.23．甲和乙两位同学是骑行爱好者,甲从A 地出发前往B 地,乙从B 地出发前往A 地,已知A 、B 两地相距20千米,乙的速度是甲的速度的1.5倍.(1)若甲先骑行2千米,乙才开始从B 地出发,两人54分钟后相遇,求乙每小时骑行多少千米?(2)若甲先骑行40分钟,乙才开始从B 地出发,甲、乙两人同时到达终点,求乙每小时骑行多少千米?()90x ≥ABCD E A A D C →→B C D →→AEF △AEF △24．如图,在东西方向的海岸线上有港口A 和港口B ,在港口A 处测得海岛C 在北偏东60°方向,从港口B 处测得海岛C 在北偏东45°方向,已知港口A 与海岛C 的距离为30千米,(1)求港口B 到海岛C 的距离;（结果精确到个位）(2)一游客要从港口A 前往海岛C 取物品,他有两条路线可以选择.路线一：从港口A 乘坐快艇以每小时30千米的速度直达海岛;路线二：从港口A 乘坐交通车以每小时60千米的速度沿海岸线前往港口B ,再沿方向乘坐快艇以每小时30千米的速度前往海岛C .）25．如图,抛物线与x 轴交于和两点,与y 轴交于点C ,点P是直线下方的抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式;(2)过点P 作直线于点F ,过点P 作轴于点D ,交直线于点E ,求的最大值及此时点P 的坐标;(3)在（2）的条件下,将该抛物P 线向左平移3个单位,点M 为点P 的对应点,平移后的抛物线与y 轴交于点N ,Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点Q 的坐标,并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来.26．在中,,,点D 为平面内一点,MN C MN BC ≈ 1.732≈()240y ax bx a =+-≠()4,0A ()1,0B -AC PF ⊥AC PD x ⊥AC 12PE QN QMN △Rt ABC △2AB AC ==90BAC ∠=︒(1)如图1,当点D 在边上,且的长度(2)如图2,若,求证：(3)如图3,当,将沿直线翻折至平面内得到,点E 、F 分别为、中点,G 为线段上一动点,连接,将线段绕点E 顺时针方向旋转90°,得到,请直接写出的最小值.BC AD =45BDC ADB ∠-∠=︒CD =AD =ACD △AC ABC △ACD '△AC BC BF GE GE G E 'G D ''参考答案1．答案：B解析：因为数a的相反数为,所以的相反数是2023.故选：B.2．答案：B解析：从正面看,底层是三个小正方形,上层的中间是一个小正方形.故选：B.3．答案：C解析：因为,所以,又因为与为对顶角,则,故选：C.4．答案：C解析：与是位似图形,位似比为,则与的面积之比为.故选：C.5．答案：D解析：把点代入函数解析式,ABC选项中的函数都满足,D选项中的函数不成立.故选：D.6．答案：C,,.a-2023-//a b3158∠=∠=︒2∠3∠2358∠=∠=︒ABC△DEF△2:5ABC△DEF△4:25()1,15==+1.414≈45∴<<9510∴<+<故选：C.7．答案：B解析：观察题图可知,第1个图案中有6块白色地板砖,从第2个图案开始,每个图案中白色地板砖的数量都比前一个多4块,故第n 个图案中的白色地板砖有(块).当时,.故选：B.8．答案：C解析：因为直线与圆相切,且为直径,所以,又因为,所以,由为直径,得,所以.故选：C.9．答案：A解析：由题意,设的长为, 连接, 过点E 作于点H ,过点F 作 于点 G . 如图所示,四边形是正方形..为的中点..平分,,,,.,,.64(1)(42)n n +-=+7n =4247230n +=⨯+=AC 90ACD ∠=︒52BCD ∠=︒38ACB ∠=︒AC 90ABC ∠=︒52BAC ∠=︒AD 2x EF EH FC ⊥FG AE ⊥ ABCD 2AB BC AD x ∴===E BC BE EC x ∴==AE BAF ∠BAE FAE ∴∠=∠2AF AB x == AE AE =(SAS)BAE FAE ∴≌△△EF EB x ∴==90AFE B ∠=∠=︒AEB AEF ∠=∠. .,. ,.在中,,,在 中,,,.解得：故选：A.10．答案：D解析：①若与互为“同心式”,则,,,故①正确;②当时,,,EF EC ∴=.ECF EFC ∴∠=∠180ECF EFC CEF ∠+∠+∠=︒ 180AEB AEF CEF ∠+∠+∠=︒ECF AEB ∴∠=∠//FC AE ∴EH FC ⊥ FG AE ⊥EH FG∴=Rt AEF △AE ===1122AEF S AF EF AE FG =⋅=⋅ △·AF EF FG AE ∴==EH ∴=Rt EHC △112HC FC ==EC x =222EC HC EH =+ 221x ∴=+x =∴2AD x ==23mx nx k +-()246nx n x k +-+3406m n n n +=⎧⎨=-⎩43m n =-⎧⎨=⎩()20232023()11m n ∴+=-=-120b b ==211A a x c +=222B a x c =+,,无论x 取何值,“同心式”A 与B 的值始终互为相反数,故②正确;③若A 、B 互为“同心式”,,,令,,即,故③正确.故选：C.解析：,.解析：由题意,颜色不同的5个球,其中3个红球,2个白球,任意摸出2个球,则有下列几种情况：12120,0a a c c +=+= A B ∴=-∴()()221112222323A B a x b x c a x b x c ∴-=++-++()()()2121212232323a a x b b x c c =-+-+-211155a x b x c =-+2111550a x b x c -+=()21114550b a c ∴∆=--⨯=⨯2111100b a c =1+()0tan 3023π211︒+---=-=+1+摸出的2个球都是红球的概率为：13．答案：12解析：一个正多边形的每个内角是,正多边形的每个外角为,多边形的外角和等于,,这个正多边形的边数是12.故答案为：12.解析：,,于点D ,则D 为的中点,中,点E 为边中点,则15．答案：解析：依题意得：.故答案为：.解析：在矩形中,,由,得,所以阴影部分的面积为.∴620P == 150︒∴18015030︒-︒=︒ 360︒3601230∴=∴30ABC ∠=︒AB AC =AD BC ⊥BC Rt ABD △cos ABC ∠=3cos cos30BD AB ABC ===∠ AC 12DE AB ==()24501288x -=()24501288x -=()24501288x -=ABCD 11222OA OC AC BD ====50CAB ∠=︒40OCF OAE ∠=∠=︒240π22360⨯⨯=17．答案：-19,解得显然,解得,又x 为正整数,因此m 是大于-11且不等于-5的奇数,不等式组化为：,依题意,,因此且,m 是奇数,所以所有符合条件的整数m 的值之和为.故答案为：-19.18．答案：48;58解析：①由题得：;②因为一个两位数,两位数,且,,a ,b 都取整数,根据题意有,n 的个位数字为,所以,因为能被11整除,因为,,所以,当,,当,,所以当,,,此时,当,,,此时,故的最大值为58.3m x -=-2=x =x ≠3≠5m ≠-1423()30y y y m ⎧+>-⎪⎨⎪-≥⎩3y y m >-⎧⎨≥⎩3m ≤-113m -<≤-5m ≠-3(7)(9)19-+-+-=-()36,72326748F =⨯+⨯=21m a b =+53n b =+14a ≤≤15b ≤≤()102m a b a '=++3b +()()()5310253121515m b a b a b a b '++=++++=++()53m b '++121515111a b a b ++==++14a ≤≤15b ≤≤94428a b ≤++≤44113a b a ++=⇒=1b =44222a b a ++=⇒=4b =3a =164b m =⇒=54n =()(),64,54644544F m n F ==⨯+⨯=2a =446b m =⇒=57n =()(),46,57476558F m n F ==⨯+⨯=(),F m n故答案为：48;58.19．答案：(1)(2)解析：(1)(2)20．答案：(1)作图见解析(2)①;②;③平行四边形.解析：(1)由题意,尺规作图如下图所示,(2)由题意证明如下,四边形是平行四边形,,,,在和中,,254y xy-+2x x-()()()22x y x y x y -+--()222244x y x xy y =---+222244x y x xy y =--+-254y xy=-+231222x x x x x+⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭()()2322122x x x x x x++-⎡⎤+÷⎢⎥++⎣⎦=()()()11221x x x x x x +-+⨯++=()()()11221x x x x x x +-+⨯++=2x x=-//AB CD BEA DFC ∠=∠ ABCD ∴AB DC =//AB CD BAE DCF ∠=∠∴ABE △CDF △AB DC =AE CF=ABE CDF∴≌△△,,..四边形是平行四边形.21．答案：(1),,;(2)七年级学生掌握共青团知识较好,平均成绩一样,七年级学生成绩比八年级学生竞赛成稳定;(3)1060解析：(1)根据扇形统计图可知,A 组有1人,B 组有1人,C 组有4人,,八年级D 组有(人),,,七年级学生的竞赛成绩众数为：99;所以,,;(2)七年级学生掌握共青团知识较好,因为平均成绩一样,七年级学生成绩方差更小,成绩更稳定;(3)抽取的学生成绩中,七年级成绩优秀的学生人数有7人,八年级成绩优秀的学生人数有8人,估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是.22．答案：(1)(2)图象见解析,当时,函数有最大值（答案不唯一）(3),或解析：(1)当时,;当时,,所以y 关于x 的函数表达式为;BE DF ∴=BEA DFC ∠=∠FEB EFD ∴∠=∠∴//BE DF ∴DEBF 40a =94b =99c =94=104114---=4%100%40%10a =⨯=40a =40a =94b =99c =()90x ≥()90x ≥()90x ≥7860080010601010⨯+⨯=2,04244,46x x y x x ≤<⎧=⎨-≤≤⎩4x =8x =3x = 4.5x =04x ≤<1422y x x =⋅⋅=46x ≤≤()6642442x x y x -+-=⨯=-2,04244,46x x y x x ≤<⎧=⎨-≤≤⎩(2)列表如下：根据图象可知当时,函数有最大值;(3)由图象可知：当,或时,的面积为6.23．答案：(1)乙每小时骑行(2)乙每小时骑行解析：(1)设甲的速度为,则乙的速度为,则由题意有解得,则.则乙每小时骑行.(2)设甲的速度为,则乙的速度为,解得,经检验是原方程的根,则,则乙每小时骑行.24．答案：(1)21千米(2)应选择路线二,见解析解析：(1)如图,作交于D ,4x =8x =3x = 4.5x =AEF △12km15kmkm/h x 1.5km/h x ()542 1.52060x x +⨯+=8x = 1.5 1.5812x =⨯=12km km/h a 1.5km/h a 20201.5a a -=10a =10a =1.5 1.51015a =⨯=15km CD MN ⊥由题可知,在中,在中,即B ,C 的距离为21千米.(2)由题意得,当用路线一时,;当用路线二时,在中,中,,,,用路线二时,,;因此游客应选择路线二.25．答案：(1)的最大值为4,此时点P的坐标为.(3)所有点Q 的坐标为,,,,30CAD ∠=︒45CBD∠=︒Rt ACD △sin CAD ∠=()sin30sin 30k 15m CD AC CAD ∴=⋅∠==︒⨯RtBCD △sin CD CBD BC ∠=()1521sin sin 45km CD BC CBD ∴===≈∠︒1301(h)30t ==Rt ACD △cos CAD ∠=)cos 30cos3km 0AD AC CAD ∴=⋅∠=⋅︒=Rt CBD △tan CD CBO BD ∠=()1515km tan tan 45CD BD CBD ︒∴===∠()15km AB AD BD ∴=-=-∴210.89(h)4t =+=-≈12t t ∴>234y x x =--PE (2,6)-39(,)22--3(6)2--3(,6)2-3(4)2-解析：(1)将和代入,可得解得,所以.（2）与轴交于点, 设直线的解析式为,直线经过点,所以,解得:,所以直线的解析式为,设点,则,所以,所以当时,最大,最大值是4,因为,,,,因为轴,,,所以,的最大值为4,此时点P的坐标为;(3)向左平移3个单位可得,点,,此时抛物线的对称轴为,若解得若3(,4)2--()4,0A ()1,0B -()240y ax bx a =+-≠16440,40a b a b +-=⎧⎨--=⎩13a b =⎧⎨=-⎩234y x x =--234y x x =--y (0,4)C -AC 4y kx =-AC ()4,0A 044k =-1k =AC 4y x =-()24,3P x x x --(4),E x x -2224(34)4(2)4PE x x x x x x =----=-+=--+2x =PE (4),0A (04,)C -OA OC =45OCA ∠=︒PD x ⊥45CEP OCA ∠=∠=︒PF AC ⊥PFE △,PE =111222PE PF PE PE PE =+=PE (2,6)-234y x x =--()()22334343y x x x x =++-=+--(1,6)M --(0,4)N -x =3(,)2m -QM QN ==m =QM MN ==整理得;若整理得;综上,所有点Q 的坐标为,,,,.(2)证明见解析解析：(1)BC 的中点E ,连接AE ,则,,;(2)将绕A 点逆时针旋转得,连接EC ,EC 与BD 的交点为H ,则,,是等腰直角三角形,,,,,设,则,,是等腰三角形,;(3)依题意做上图,其中,,连接EF ,则EF 是的中位线,()26m +=6=-MN QN ==()24m +=4=39(,22--3(6)2--3(,6)2--3(4)2--3(,4)2--1+AE BC ⊥12AE BC ==1==1DC DE EC ∴=+=+ABD △90︒AEC △AE AD =AE AD ⊥AED △45ADE ∠=︒ACE ABD ∠=∠90HBC HCB ABC ABD ACB ACE ∴∠+∠=∠-∠+∠+∠=︒BD CE ∴⊥ADB α∠=45BDC α∠=︒+45EDH BDC α∠=︒+=∠EDC △∴DC ED ==G E GE '⊥GE G E '=ABC △,,,,,,,,A ,F 三点共线,又,点在AQ 线段上;到圆A 的圆周上最近的距离,显然综上,（1）,（3）.//EF AB 12EF AB AE ==90G EA AEG GEF AEG '∠+∠=∠+∠=︒G EA GEF '∴∠=∠GEF G EA '≌△△135GFE G AE '∠=∠=︒180G AE EAF '∠+∠=︒G 'G A GF '=0G A '∴≤≤AQ ='AD AD '== D '=1DC =+'G D。
2025届贵州市贵阳七校联盟高三上学期第一次联考数学试卷
2025届贵州市贵阳七校联盟高三上学期第一次联考数学试卷一、单选题1．已知复数z 满足i i a z z +⋅=-，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．22．设集合{}2320,{2}A xx x B x a x a =-+≤=<<+∣∣，则0a >是A B ⊆的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若向量,,a b c r r r 都是单位向量，且a b c +=r r r ，则a r 与a b -r r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（ ） A ．77.5,5B ．77.5,11C ．78,5D ．78,115．已知函数()e 1e 1x x f x -=+，且满足()()220f m f m +->，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(),2-∞-C ．()(),21,-∞-+∞UD ．()2,1-6．如图甲，在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，将,,AED BEF DCF V V V 分别沿,,DE EF DF 折起，使得,,A B C 三点重合于点A '，如图乙，若三棱锥A EFD '-的所有顶点均在球O 的球面上，则球O 的体积为（ ）A B ．6π C ．8π D ．7．已知函数()32f x x bx cx =++的图像如图所示，12,x x 是()f x 的极值点，则()()1212f x f x x x --等于（ ）A ．12-B ．23-C ．1-D ．43-8．已知0,0a b >>，且22a b +=，若223b t t a b-≤+恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．4,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．2ω=B ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称 C ．函数2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D ．将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象10．已知直线:210l kx y k ++-=与圆22:670C x y y +--=相交于,A B 两点，下列说法正确的是（ ）A ．直线l 恒过某一定点B ．1k =时，AB 最大 C．AB 的最小值为D ．当2k =时，对任意R λ∈，曲线()2226370x y x y λλλ+++-+-=过直线l 与圆C 的交点三、单选题11．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()g x ，若函数()21y f x =+-是奇函数，函数()1y g x =+是偶函数，则（ ）A ．()21f =B ．()12g =C ．函数()1y f x =-是奇函数D ．20241()1012k f k ==∑四、填空题12．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin A B cC B a b-=-+，则A =.13．若na x ⎫⎪⎭的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为.14．设函数()()()3212log f x x ax x a x b =-+-+，若()0f x ≤，则33a b +的最小值为.五、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-. (1)求证{}1n a +为等比数列； (2)求数列{}n S 的前n 项和n T .16．如图甲，中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.某种风筝的骨架模型是是四棱锥P ABCD -，其中AB AD AP CB CD CP AC =====交BD 于点O ，如图乙.(1)求证：AC ⊥平面PBD ；(2)若5,AC PB ==Q 是线段PC 的中点，求直线BQ 与平面PAD 所成角的正弦值. 17．已知函数()ln f x ax x =-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，且()2e x k xf x x-≤，求k 的取值范围.18．某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在M 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在N 处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）.甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为15，投中2分球的概率为12，且每次投篮结果互不影响.(1)若甲同学先投3分球，求他投篮2次就终止投篮的概率； (2)为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？ (3)为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？19．已知椭圆()2222:102x y C a a a +=>-过点,P F 为C 的右焦点，PF x ⊥轴，且1PF =，如图，过点P 的两条动直线交椭圆于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .(1)求实数a 的值；(2)设M 是C 的动点，过点M 作直线x =,MN N 为垂足，求MF MN；(3)记,FBA FAB αβ∠=∠=，若直线AB ，求sin sin αβ-的最大值.。
2024届广东省东莞市虎门中学等七校高三上学期联考数学试题及答案
东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（ ）A. ∅B. SC. TD. Z2. 在复平面内，复数z 对应点为()1,1-，则1iz=+（ ）A. 2 B. 1C. D.123. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（ ）A. ()()0f x f x -->B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤ D. ()()0f x f x ⋅->4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（ ）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（ ）A. 1B. 1- C.23D. 23-7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（ ）的A. 9B. 8C. 3D.838. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a 上的投影向量为（ ）A ()2,0 B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x 568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（ ）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r 增大10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下..列结论正确的是（ ）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（ ）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．14. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-值为______.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率的是________．16. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC 的面积为ABC 的周长.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.05000100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投.进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（ ）A. ∅B. SC. TD. Z【答案】C 【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.2. 在复平面内，复数z 对应的点为()1,1-，则1iz=+（ ）A. 2B. 1C.D.12【答案】B 【解析】【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，所以1i z =-.所以()()()()212i i i 1i 1i 1i i 21i 1i 11i z -⨯----+====-+++⨯，所以11iz ==+.故选：B.3. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（ ）A. ()()0f x f x --> B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤D. ()()0f x f x ⋅->【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.【详解】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()()()()2=0f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅-=-≤⎣⎦⎣⎦，又()0=0f ，∴()20f x -≤⎡⎤⎣⎦，故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<【答案】B 【解析】【分析】设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列，然后求出投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，即可判断大小．【详解】解：设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，则40n a =，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．设投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，则10400A =；101091010105502B ⨯=⨯+⨯=；10100.4(12)409.212C -==-，所以101010B C A >>．故选：B ．【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题.5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（ ）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得()y x x t =-的单调性，从而可求得t 的取值范围.【详解】因为函数e x y =在R 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数()y x x t =-在()2,3上单调递减，则32t≥，解得6t ≥.故选：A6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（ ）A. 1B. 1- C.23D. 23-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】如图所示，由ABC 是边长为2的等边三角形，且13BD BC = ，可得AD AB BD =+，所以()2222cos120233AD BC AB BD BC AB BC BD BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-.故选：D.7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（ ）A. 9 B. 8C. 3D.83【答案】C 【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可【详解】由条件知113a b+=，1111414(4)553333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当21a b ==时取等号.故选：C8. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a上投影向量为（ ）A. ()2,0B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-【答案】D 【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】b 在a 上的投影向量为.()··30,3a b a a a a=-=-故选：D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912的y 1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（ ）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本相关系数r 增大【答案】ABC 【解析】【分析】计算样本中心点可得验证选项A ；由样本中心点计算 a验证选项B ；根据残差的定义计算验证选项C ；根据相关系数r 的分析验证选项D ．【详解】56891285x ++++==，1720252835255y ++++==，所以样本中心点为(8,25)，则A 正确；由ˆ2.6y x a=+，得ˆ 2.625 2.68 4.2a y x =-=-⨯=，则B 正确；由B 知，ˆ 2.6 4.2yx =+，当5x =时，ˆ 2.65 4.217.2y =⨯+=，则残差为1717.20.2-=-，则C 正确；由相关系数公式可知，去掉样本点(8,25)后，相关系数r 的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数r 的大小不变，故D 不正确．故选：ABC ．10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B. ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的图象确定函数的表达式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可结合选项逐一求解.【详解】由图可知：1πππ24126T T ω⎛⎫=--⇒=⇒= ⎪⎝⎭，又()f x 经过点π,112⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈,故π2π,Z 3k k ϕ=+∈，由于ππ,,23ϕϕ<∴=故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π6个单位长度得到，故A 错误，对于B ，()ππππcos 2=sin 2=sin 26623f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确，对于C ， ()2πsin π03f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，故C 正确，对于D ，令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得ππ,Z 5ππ1212k x k k +≤≤+∈-，故()f x 的其中两个单调递增区间为7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19π25π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故()f x 在7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调递增，故D 错误，故选:BC11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下列结论正确的是（ ）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO 的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据SO ⊥面ABC ，由cos OCSCO SC<=判断；对于B ，由圆锥SO 的侧面积公式求解判断；对于C ，由π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭求解判断；对于D ，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，易得SDO ∠为二面角S BC O --的平面角求解判断.【详解】对于A ，因为SO ⊥面ABC ，所以SCO ∠是SC 与底面所成角，在Rt SOC △中，圆锥的母线长是，半径2r OC ==，则cos OC SCO SC ∠===，所以SCO ∠=45︒，则A 正确；对于B ，圆锥SO 的侧面积为rl π=，表面积为+4π，则B 错误；对于C ，当点B 与点A 重合时，0ASB ∠=为最小角，当点B 与点C 重合时π2ASB ∠=，达到最大值，又因为B 与A ，C 不重合，则π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又2πSAB ASB ∠+∠=，可得ππ,42SAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则C 正确；对于D ，如图所示，，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，又O 为AC 的中点，则//OD AB ，因为AB BC ⊥，所以BC OD ⊥，又SO ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以BC SO ⊥，又SO OD O = ，BC ⊥面SOD ，故BC SD ⊥，所以SDO ∠为二面角S BC O --的平面角，因为点B 为弧AC的中点，所以AB =，12OD AB ==tan SO SDO OD∠==D 错误.故选：AC.12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔/m第一级阶梯4000≥第二级阶梯10002000~第三级阶梯2001000~若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（ ）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，列出不等式，根据对数函数的性质解对数不等式即可求解.【详解】设在第一级阶梯某处的海拔为1h ，则4011ln ln 10p p h --=，即41110lnp h p =.因为14000h ≥，所以40110ln4000p p ≥，解得010.4ep p ≤A 正确；由0ln ln p p kh -=，得0ekhp p =.当0h >时，0e 1khp p=>，即0p p >，所以03p p >，B 错误；设在第二级阶梯某处的海拔为2h ，在第三级阶梯某处的海拔为3h ，则40224033ln ln 10ln ln 10p p h p p h --⎧-=⎨-=⎩两式相减可得()43232ln 10p h h p -=-.因为[][]231000,2000,200,1000h h ∈∈，所以[]230,1800h h -∈，则4320ln1018000.18p p -≤≤⨯=，即0.18321e p p ≤≤，故0.18232e C,D p p p ≤≤，均正确.故选:ACD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．【答案】10【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.【详解】依题意，2235C (1)10a =-=.故答案为：1014. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-的值为______.【答案】43【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】()222222sin π2sin22sin cos 2tan 4tan 2,2cos 1cos sin cos sin 1tan 3αααααααααααα+---=====----.故答案为:43.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________．【答案】1537【解析】【分析】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，由题可得()()(),,P A P B P AB ，后由条件概率公式可得答案.【详解】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，则()11111137343536180P A =⨯+⨯+⨯=， ()1113412P AB =⨯=.则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为()()()115123737180P AB P B A P A ===.故答案为：153716. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.【答案】48π【解析】【分析】当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥体积最大，设球O 的半径为R ，列方程求解即可.【详解】如图所示，当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，此时11sin 60632P OAB R V R R =⨯⨯⨯⨯⨯= －，故R =，则球O 的表面积为24π48πS R ==.故答案为：48π.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC的面积为ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）6+的【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出1cos 2B =，进而求出B ；（2）根据余弦定理可得到()2312a b ab +-=，再根据三角形面积公式得到 8ab =，即可求出6a b +=，进而求出ABC 的周长.【详解】解：（1）cos cos 2cos a C c A b B += ，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，整理得：()sin 2sin cos sin A C B B B +==，∵在ABC 中，0B π<<，∴sin 0B ≠，即2cos 1B =，∴1cos 2B =，即3B π=；（2）由余弦定理得：(222122a c ac =+-⋅，∴()2312a c ac +-=，∵1sin 2S ac B ===，∴8ac =，∴()22412a c +-=，∴6a c +=，∴ABC 的周长为6+.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）1【解析】【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．【小问1详解】如图，连接1AD ，11B D ，BD .因为长方体1111ABCD A B C D -中,1//BB 1DD 且11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形.所以E 为1BD 的中点，在1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点，所以//EF 1AD .因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以//EF 平面11ADD A .【小问2详解】如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为长方体中12A A AD ==,CD =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A，(0,C，B，F，1B，E .所以(1,CE =，(2,CF =，.设平面CEF 的法向量为111(,,)m x y z =，则0,0,m CE m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111020x z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x =，则1y =，11z =，可得m =.AF =，所以点A 到平面CEF 的距离为||1||AF m d m ⋅== .19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．【答案】（1）3nn a = （2）12【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系计算即可；（2）利用等比数列、等差数列的求和公式及分组求和法求n T ，再由函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】当1n =时，1112332S a a =-=，解得13a =，当2n ≥时，11233n n S a --=-，因为233n n S a =-，所以1122233n n n n n S S a a a ---==-，即13n n a a -=，所以()132nn a n a -=≥，所以，{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为3nn a =；【小问2详解】由题意知：1213n nb n =+-，所以()211112111331122313nn nn n T n ⎛⎫-⎪+-⎛⎫⎝⎭=+=-+ ⎪⎝⎭-，易知{}n T 在*n ∈N 上单调递增，而1213121311111441150,16911502323T T ⎛⎫⎛⎫=+-<=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以满足150n T <的n 的最大值为12．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.0500.0100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过0.7t亩产量不超过0.7t 合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？【答案】（1）0.75（2）用河水灌溉是比井水灌溉好.【解析】【分析】（1）先根据频率之和为1求出b 的值，再根据公式求出平均值；（2）运用卡方公式进行求解.【小问1详解】由题：(0.752 1.252 1.75 2.25)0.1=1b ⨯+⨯+++⨯，解得=2b ，所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为：(0.450.750.55 1.250.65 1.750.75 2.250.8520.95 1.25 1.050.75)0.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯0.75≈；【小问2详解】()()()()222()400(180607090) 6.154250*********n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯，因为6.154 3.841>，所以根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关,用河水灌溉是比井水灌溉好.21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．【答案】（1）最大值点023=p （2）小李应选规则一参加比赛．【解析】【分析】（1）先求出连续投篮6次，恰好投进4次的概率()f p 的解析式，再利用导数研究其单调性及其最值即可；（2）若选规则一,利用二项分布概念即可求出其数学期望；若选规则二，可分别求出离散型随机变量的各种情况概率，从而可求得其分布列，进而得出其数学期望，比较这两种规则下求得的数学期望，进而判断即可.【小问1详解】由题意得则()()()2446C 1,0,1f p p p p =-∈，则()()()()()24344366C 4121C 146f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦，令()0f p '=，得23p =，当20,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，当2,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在区间2,13⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，所以()f p 的最大值点023=p ．【小问2详解】若选规则一，记X 为小李投进的次数，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．的则2~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2643E X =⨯=，记Y 为小李所得鸡蛋的盒数，则2Y X =，()()28E Y E X ==．若选规则二，记Z 为小李投进的次数，则Z 的所有可能取值为0，1，2，3．记小李第k 次投进为事件()1,2,3k A k =，未投进为事件k A ，所以投进0次对应事件为123,,A A A ，其概率为()()1231255033627P Z P A A A ===⨯⨯=；投进1次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2121121217133333333627P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；投进2次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2212111117133333333327P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．投进3次对应事件为123A A A ，其概率()2228333327P Z ==⨯⨯=，所以Z 的分布列为Z 0123P527 727 727 827所以()577850123272727273E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=；记L 为小李所得鸡蛋的盒数，则4L Z =，()203E L =，因为()()E Y E L >，所以小李应选规则一参加比赛．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分0m ≤和0m >两种情况，得到函数的单调性；（2）变形为12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，构造函数()e (2)xg x x =-，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到0e m <<，再构造差函数，证明出122x x +<.小问1详解】()f x 的定义域为R ，由题意，得e ()1e exx x m f x m'-=-=，x ∈R ，当0m ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增；当0m >，且当(,ln )x m ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上，当0m ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0m >时，()f x 在区间(),ln m -∞上单调递减，在区间()ln ,m +∞上单调递增．【小问2详解】证明：由()()122f x f x ==，得1x ，2x 是方程2e xmx +=的两个实数根，即12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根．令()e (2)xg x x =-，则()e (1)xg x x '=-，所以当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()max 1e g x g ==．因为当x →-∞时，()0g x →；当x →+∞时，()g x →-∞，()20g =，所以0e m <<．不妨设12x x <，因为1x ，2x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，则1212x x <<<．要证122x x +<，只需证122x x <-．因为11<x ，221x -<，【所以只需证()()122g x g x <-．因为()()12g x g x =，所以只需证()()222g x g x <-．今()()(2)h x g x g x =--，12x <<，则()22()()(2)e (1)e(1)(1)e e xxx xh x g x g x x x x --'''=+-=-+-=--22e e (1)0ex xx -=-⋅<在()1,2恒成立．所以()h x 在区间(1,2)上单调递减，所以()(1)0h x h <=，即当12x <<时，()(2)g x g x <-．所以()()222g x g x <-，即122x x +<成立．【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数.。
辽宁省七校2024-2025学年高一上学期10月联考模拟练习数学试卷(含解析)
辽宁省七校2024-2025学年高一上学期10月联考模拟练习数学试卷（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．已知命题，，则其否定为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，2．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（ ）A ．{﹣2，1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣2，﹣1，0}D ．{﹣1，0，1}3．已知集合，，则集合（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知全集，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知集合，，且，则的所有取值组成的集合为（ ）A ．B ．C ．D ．7．是的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件8．已知集合，若对于任意，以及任意实数，满足:p x ∀∈R 0x x +≥x ∀∈R 0x x +<x ∃∈Z 0x x +<x ∃∈R 0x x +<x ∃∈R 0x x +≤{}N |30A x x =∈-≤{}2Z |20B x x x =∈+-≤A B = {}1{}0,1{}0,1,2{}1,2{}{}21,2,3,30A B x x x ==-<A B =∅ A B⊆{}1,2A B = {}0,1,2,3A B ⋃={}33U x x =-<<{}01A x x =<<U A =ð()1,3()()3,01,3- ()3,0-(][)3,01,3-⋃{}1,4,A x ={}21,B x =A B B = x {}2,0-{}0,2{}2,2-{}2,0,2-12x y >⎧⎨>⎩32x y xy +>⎧⎨>⎩(){},,,R I a a x y x y ⊆=∈,m n I ∈[]0,1λ∈，则称集合I 为“封闭集”．下列说法正确的是（ ）A ．集合为“封闭集”B ．集合为“封闭集”C ．若是“封闭集”，则A ，B 都是“封闭集”D ．若A ，B 都是“封闭集”，则也一定是“封闭集”二、多选题（本大题共3小题，共18分）9．下列关系中正确的是（ ）A ．0∈NB ．π∈QC ．D ．10．下列说法正确的是（ ）A ．“”是“”的充分不必要条件B ．“”是“”的必要不充分条件C ．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题D ．命题“，”的否定是“，”11．已知，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．命题“”的否定为 .13．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集为14．（1）已知集合，，则满足条件的集合的个数为 ；（2）已知集合，．若，则的取值范围是 ；（3）在（2）中，若“”改为“”，其他条件不变，则的取值范围()1m n I λλ+-∈(){}3,,A a a x y y x ==≥(){},,ln B a a x y y x ==≤A B ⋂A B 0∈∅{}0∅⊆22ac bc >a b >0xy >0x y +>x 2x R x ∃∈210x +=R x ∀∈210x +≠a b c >>20a b c ++=0,0a c ><2c aa c +<-0a c +>21a ca b+<-+2010x x x ∀>+->，x 20ax bx c ++<1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎩⎭或20cx bx a -+>2{|320,R}A x x x x =-+=∈{|05,}B x x x =<<∈N A C B ⊆⊆C ()(){|130}A x x x =+-<{|}B x m x m =-<<A B ⊆m A B ⊆B A ⊆m是 ．四、解答题（本大题共5小题，共77分）15．已知集合（1）若，求实数m 的取值范围.（2）命题q ：“，使得”是真命题，求实数m 的取值范围.16．（1）已知，求的取值范围.（2）比较与的大小，其中.17．已知函数（1）解不等式；（2）若存在实数使不等式对任意实数恒成立，求的取值范围.18．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设的最小为m ，若正实数a ，b ，c 满足，求的最小值．19．已知集合，，其中，且．若，且对集合A 中的任意两个元素，都有，则称集合A 具有性质P ．(1)判断集合是否具有性质P ；并另外写出一个具有性质P 且含5个元素的集合A ；(2)若集合具有性质P ．①求证：的最大值不小于；②求n 的最大值．{}{}34,211A x x B x m x m =-≤<=-≤≤+B A ⊆x A ∃∈x B ∈1423x ,y -<<<<x y -2(1)(1)x x x -++2(1)(1)x x x +-+R x ∈()3326f x x x =+--()4f x x ≥-()f x ()f x a b c m ++=-222a b cc a b++11100,M k k k *⎧⎫=≤≤∈⎨⎬⎩⎭N 且{}12,,,n A a a a = n *∈N 2n ≥A M ⊆,,i j a a i j ≠130i j a a -≥11111,,,,34567⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}12,,,n A a a a = ()i j a a -130n -参考答案：题号12345678910答案C C B C D D A B AD AD 题号11 答案ABD12．13．【详解】因为的解集是，所以为的两根，且，即因此，即不等式的解集为.14． 4 解；（3）由（2），结合，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.【详解】解：（1）由集合，，则满足条件的集合可能为，所以满足条件的集合的个数为4个；（2）由集合，，因为，则满足，解得，即实数的取值范围为；（3）由（2）知：集合，，当时，若，则满足，解得；2010x x x ∃>+-≤，122⎛⎫⎪⎝⎭，20ax bx c ++<1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或122--，20ax bx c ++=0a <1152(),2,222c b c a b aa a =-⨯--=--∴==22255100102222a cx bx a ax x a x x x -+>⇒-+>⇒-+<⇒<<20cx bx a -+>122⎛⎫⎪⎝⎭[)3,+∞(],1-∞B A ⊆B ≠∅B =∅2{|320,R}{1,2}A x x x x =-+=∈={}{|05,}1,2,3,4B x x x =<<∈=N A C B ⊆⊆C {}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4C ()(){|130}{|13}A x x x x x =+-<=-<<{|}B x m x m =-<<A B ⊆13m m -≤-⎧⎨≥⎩3m ≥m [)3,+∞{|13}A x x =-<<{|}B x m x m =-<<B ≠∅B A ⊆013m m m >⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩01m <≤当时，即时，此时满足，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：4个；；.15．（1）；（2）.【详解】解：（1）①当B 为空集时，成立.②当B 不是空集时，∵，，∴综上①②，.（2），使得，∴B 为非空集合且.当时，无解或，，∴.16．（1）； （2）.【详解】（1）解：由不等式，可得，因为，所以，即的取值范围为.（2）解：由，，因为，所以，故.17．（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）零点分段去绝对值求解不等式即可；（2）由（1）得的最小值为，由题意知对任意的恒成立，又，只需即可.试题解析：（1）令B =∅0m ≤B A ⊆m (],1-∞[)3,+∞(],1-∞1m ≥-[4,2]-121,2m m m +<->B A ⊆12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩12m -≤≤1m ≥-x A ∃∈x B ∈,121,2A B m m m ≠∅+≥-≤ A B =∅ 2142m m -≥⎧⎨≤⎩132m m +<-⎧⎨≤⎩4m <-,[4,2]A B m ≠∅∈- ()4,2-22(1)(1)(1)(1)x x x x x x -++<+-+23y <<32y -<-<-14x -<<42x y -<-<x y -()4,2-23(1)(1)1x x x x -++=-23(1)(1)1x x x x +-+=+331(1)20x x --+=-<3311x x -<+22(1)(1)(1)(1)x x x x x x -++<+-+33,)(,)44（-∞-⋃+∞()g x 52-由解得所以不等式的解集为（2）由（1）可知的最小值为则的最小值为由题意知对任意的恒成立又当且仅当时取等号所以只需故的取值范围是18．(1)(2)8【分析】(1)通过讨论，化简绝对值不等式求其解；(2)根据(1)求出，再利用基本不等式求的最小值.【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得．综上所述，原不等式的解集是．33,),44⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（51,,24⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭x m 222a b c c a b++1x ≤-()33264x x x -++--≥52x ≤-13x -<<33264x x x ++--≥134x -≤<3x ≥()33264x x x +---≥3x ≥51,,24⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）因为，所以，则．因为，，，所以，即，当且仅当时等号成立，故的最小值为8．19．(1)不具有性质,(2)①证明见解析，②n 的最大值为10【分析】（1）根据性质满足的条件可验证，不符合要求即可判断，根据性质满足的要求即可写出集合;（2）根据，由累加法即可得最大项与最小项的关系；【详解】（1）因为，故该集合不符合性质;符合性质的集合（2）①，不放设，则，故，故的最大值不小于；②要使最大，，不妨设，则，又,,所以，所以，()9,153,139,3x x f x x x x x --≤-⎧⎪=--<<⎨⎪+≥⎩()()min 18f x f =-=-8a b c ++=22a c a c +≥22b a b a +≥22c b c b +≥()222216a b c a b c a b c c a b +++++++=≥2228a b c c a b++≥83a b c ===222a b c c a b++11111,,,,34567⎧⎫⎨⎬⎩⎭P 1111=12345A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，P 1111=674230-<P A 130i j a a -≥1111=674230-<P P 1111=12345A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，{}12,,,n A a a a = 123n a a a a <<<< ()130i j a a i j -≥>()()()1112211=30n n n n n a a a a a a a a n ------+-++-≥()i j a a -130n -n {}12,,,n A a a a = 123n a a a a >>>>L (),1,2,3,4,...,130k n n ka a k n --≥=-A M ⊆111123n >>>⋅⋅⋅>1k a k≤()1,1,2,3,4,...,130k n n k a a k n k-≤-<=-所以，又时等号成立，当或6时，，所以，当时，符合题意，所以最大值为10.()130,,1,2,3,4,...,130n k n k k n k k-<<+=-30k k+≥()5,6k 5n =3011k k+=11n <10n =111111111=1,,234568111845A ⎧⎫⎨⎩⎭,,,,,,,n。
2025届湖南省永州零冷两区七校联考数学七年级第一学期期末监测试题含解析
2025届湖南省永州零冷两区七校联考数学七年级第一学期期末监测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．我国作家莫言获得诺贝尔文学之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到5100000册．把5100000用科学记数法表示为（ ）A ．80.5110⨯B ．65.110⨯C ．75.110⨯D ．55110⨯2．已知数a ，b 在数轴上对应的点在原点两侧，并且到原点的距离相等，数x ，y 互为倒数，那么2a b +－2xy 的值等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣13．若a 2-3a=-2,则代数式1+6a-2a 2的值为（ )A ．-3B ．-1C ．5D ．34．单项式25mn -的次数是（ ）A ．5-B ．5C ．3D ．25．若∠1＝40°，则∠1的补角为（ ）A ．50°B ．60°C ．140°D ．160°6．初一年级 14 个班举行了篮球联赛，规则如下：（1）每一个班都要和其他 13 个班打一场比赛，且每一场比赛一定分出胜负；（2）胜一场积 2 分，负一场积,1 分；（3）比赛结束后按照班级总积分高低颁发奖项. 若一个班已经完成了所有的比赛，胜m 场，则该班总积分为（ ）A ．2mB ．13－mC ．m +13D ．m +147．下列说法正确的有（ ）①绝对值等于本身的数是正数；②将数60340精确到千位是③连接两点的线段的长度就是两点间的距离；④若AC=BC ，则点C 就是线段AB 的中点.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．一组按规律排列的多项式： 233547,,,,x y x y x y x y +-+-，其中第10个式子是( )A ．1019x y -B ．1019x y +C ．1021x y -D ．1017x y - 9．下列说法正确的是A ．0不是单项式B ．πr 2的系数是1C ．5a 2b ＋ab －a 是三次三项式D ．12xy 2的次数是2 10．在一条直线上，依次有E F G H 、、、四点，如果点F 是线段EG 的中点，点G 是线段FH 的中点，则有（ ） A ．2EF GH = B ．EF GH > C ．2EF GH > D ．EF GH =二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分)11．已知直线AB 和CD 相交于O 点，射线OE ⊥CD 于O ，且∠BOE ＝25°．则∠AOC 的度数为__．12．如图所示，甲从A 点以66m /min 的速度，乙从B 点以76m /min 的速度，同时沿着边长为100m 的正方形按A →B →C →D →A …的方向行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的______边上．（用大写字母表示）13．已知关于x 的函数()124y a x a =-+-，当1x =-时，0y =.那么，当函数值等于10-时，自变量的取值为______．14．若∠1=35°21′，则∠1的余角是__． 15．如图，已知O 为原点，点B 表示的数为4，点P 、Q 分别从O 、B 同时出发，沿数轴向不同的方向运动，点P 速度为每秒1个单位，点Q 速度为每秒2个单位，设运动时间为t ，当PQ 的长为5时，t 的值为__________16．写出一个大于3且小于4的无理数：___________．三、解下列各题(本大题共8小题，共72分)17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 、C 三点的坐标分别为(0，1)(2，0)(2，1.5)，(1)求三角形ABC 的面积．(2)如果在第二象限内有一点P (a ，2)，试用含a 的式子表示四边形ABOP 的面积．(3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，请求出点P 的坐标？若不存在，请说明理由．18．（8分）已知：如图，线段AB .（1）根据下列语句顺次画图.① 延长线段AB 至C ，使BC=3AB ，② 画出线段AC 的中点D .（2）请回答：① 图中有几条线段；② 写出图中所有相等的线段.19．（8分） “水是生命之源”，某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：（1）如果1月份小明家用水量为18吨，那么小明家1月份应该缴纳水费 元； （2）小明家2月份共缴纳水费134．5元，那么小明家2月份用水多少吨？（3）小明家的水表3月份出了故障，只有83%的用水量记入水表中，这样小明家在3月份只缴纳了5．4元水费，问小明家3月份实际应该缴纳水费多少元？20．（8分）根据下列语句列式并计算；（1）2-的绝对值的平方与3的和； （2）13的倒数与2的积减去4- 21．（8分）先化简，再求值： 222221382(32)(3)3535x x xy y x xy y -+-+++，其中2x =-，12y = 22．（10分）今年秋季，斗门土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙，丙三种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一士特产，且必须装满，设装运甲种士特产的汽车有x 辆，装运乙种特产的汽车有y 辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）装运丙种土特产的车辆数为 辆（用含有x ，y 的式子表示）；（2）用含有x ，y 的式子表示这10辆汽车共装运土特产的数量；（3）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x ，y 的式子表示）．23．（10分）一个安有进水管和出水管的蓄水池，每单位时间内进水量分别是一定的．若从某时刻开始的4小时内只进水不出水，在随后的8小时内既进水又出水，得到时间x （小时）与蓄水池内水量()3m y 之间的关系如图所示．（1）求进水管进水和出水管出水的速度；（2）如果12小时后只放水，不进水，求此时y 随x 变化而变化的关系式．24．（12分）计算：（1）()()75364-⨯+-÷（2）()()21862⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭（3）()1311264⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭（4）()()201911293⎛⎫-+-÷--- ⎪⎝⎭（5）2316564+（6）2713229⎫⨯-⎪⎪⎭参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数．【详解】解：5100000=65.110⨯．故选B ．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2、B【详解】解：由题意得：0,1a b xy +==，22022a b xy ∴+-=-=-，选B ．【点睛】此题考查数轴上的点的特征，数轴上左边的数小于右边的数，在数轴上在原点的两侧且到原点的位置相等的数互为相反数，互为相反数的和为0，互为倒数的两数的乘积为1.3、C【分析】先对所求式子进行化简，再将已知条件直接代入即可.【详解】2212(2)631a a a a -=+-+212(3)a a =--+12(2)=-⨯-5=故答案为：C.【点睛】本题考查了有理数的乘法和减法法则、代数式的化简求值，将所求代数式进行化简是解题关键.4、C【解析】根据次数的定义即可求解．【详解】单项式25mn -的次数是1+2=3故选C ．【点睛】此题主要考查单项式的次数，解题的关键是熟知次数的定义．5、C【分析】互补的两角之和为180°，计算即可．【详解】∠1的补角＝180°－∠1＝180°－40°＝140°，故选C ．【点睛】本题考查补角的性质，牢记互补的两角之和为180°．6、C【分析】根据胜一场积2分，负一场积1分，以及胜m 场，进而列出式子求出答案．【详解】解：由题意得：()21313+m m m +-=故选C.【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意知道一共参加了13场比赛是解题的关键.7、B【解析】①根据绝对值等于本身的数是非负数可判断；②60340精确到千位即在千位数四舍五入得60000，再用科学计数法表示即可；③根据两点之间的距离定义即可判断；④根据AC=BC ，点C 在线段AB 上，那么点C 就是线段AB 的中点即可判断正误.【详解】①绝对值等于本身的数是非负数，①错误；②将数60340精确到千位是60000，用科学计数法表示为③连接两点的线段的长度就是两点间的距离，正确；④若AC=BC ，点C 在线段AB 上，点C 就是线段AB 的中点，④错误.故选B.【点睛】此题主要考察绝对值、有理数的精确位、线段的长短及中点的定义.8、A【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【详解】多项式的第一项依次是x ，x 2，x 3，x 4，…，x n ，第二项依次是y ，-y 3，y 5，-y 7，…，(-1)n+1y 2n-1，所以第10个式子即当n=10时，代入到得到x n +(-1)n+1y 2n-1=x 10-y 1．故选：A ．【点睛】本题主要考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．9、C【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行分析即可．【详解】A、0是单项式，说法错误；B、πr2的系数是1，说法错误；C、5a2b+ab-a是三次三项式，说法正确；D、12xy2的次数是2，说法错误；故选：C．【点睛】此题考查单项式和多项式，解题关键是掌握单项式的相关定义．10、D【分析】根据题意，由中点的知识进行求解即可得解.【详解】如下图所示，∵点F是线段EG的中点，∴EF FG=，∵点G是线段FH的中点，∴FG GH=，∴EF GH=，故选：D.【点睛】本题主要考查了线段的中点，熟练掌握线段的和差倍分计算是解决本题的关键.二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分)11、65°或115°．【分析】先根据题意画出图形，再由邻补角的定义、对顶角相等和垂线定义求得∠AOC的度数．【详解】分两种情况：如图1，∵OE⊥CD，∴∠COE＝90°．又∵∠BOE＝25°，∴∠BOC＝115°，∴∠AOC＝180°﹣115°＝65°．如图2，∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°．∴∠BOD＝90°+25°＝115°，又∵直线AB和CD相交于O点，∴∠AOC＝∠BOD＝115°．故答案为：65°或115°．【点睛】考查了垂线、对顶角、邻补角和性质，解题关键是根据题意，画出图形．12、AD【分析】根据题意可得：乙第一次追上甲时所走的路程＝甲走的路程＋3×100，设所用的时间为x min，由此等量关系可列方程，则可求出追到时的时间，再求出路程．根据路程计算沿正方形所走的圈数，即可得出结论．【详解】解：设乙第一次追上甲时，所用的时间为x min，依题意得：76x＝66x＋3×100解得：x＝30，∴乙第一次追上甲时，甲所行走的路程为：30×66＝1980m，∵正方形边长为100m，周长为400m，∴当乙第一次追上甲时，将在正方形AD边上．故答案为：AD．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决此题的关键是要求出它们相遇时的路程，然后根据路程求沿正方形所行的圈数，即可知道在哪一边上．13、-6【分析】将x 和y 值代入()124y a x a =-+-，求出a 值即函数表达式，再把y=-10代入表达式求得即可．【详解】解：∵当1x =-时，0y =，代入()124y a x a =-+-，()()01124a a =-⨯-+-，解得：a=3，则y=2x+2，令y=-10，解得：x=-6.故答案为：-6.【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，解题的关键是利用已知条件求出表达式，再求出具体的自变量值.14、54°39′．【解析】试题解析：根据定义，∠1的余角度数是90°-35°21′=54°39′． 考点：1．余角和补角；2．度分秒的换算．15、t=13或t=1． 【分析】根据题意可以分两种情况，然后根据题意和数轴即可解答本题．【详解】解：①当P 向左，Q 向右，可列t+4+2t=5， 解得：13t =； ②当P 向右，Q 向左，可列t-4+2t=5，解得：3t =；故答案为：t=13或t=1． 【点睛】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．16π等，答案不唯一．【详解】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，因为2239,416==，故而9和16,15都是无理数.三、解下列各题(本大题共8小题，共72分)17、 (1)1.5；(2)112a -；(3)存在，P (1-，2) 【分析】(1)根据A 、B 、C 三点的坐标即可得出△ABC 的面积；(2)作PE ⊥y 轴于E ，四边形ABOP 的面积=△AOB 的面积+△AOP 的面积，即可得出结果；(3)根据题意得：11 1.52a -=，求出1a =-，即可得出点P 的坐标． 【详解】(1)∵A 、B 、C 三点的坐标分别为(0，1)(2，0)(2，1.5)，∴△ABC 的面积=12×1.5×2=1.5； (2)作PE ⊥y 轴于E ，如图所示：则四边形ABOP 的面积=△AOB 的面积+△AOP 的面积=12OA •OB +12OA •PE =12×1×2+12×1×(﹣a )=1﹣12a ； (3)存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等，点P 的坐标为(1-，2)；理由如下：根据题意得：11 1.52a -=， 解得：1a =-，∴P (1-，2)．【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握坐标与图形性质是解决问题的关键．18、（1）画出图形，如图所示见解析；（2）① 6；② ,AB BD AD CD ==.【解析】(1)根据题意画出图形即可；(2)根据线段和中点的定义直接写出答案即可.【详解】解：(1)画出图形，如图所示.(2)①图中的线段有：AB 、BD 、DC 、AD 、BC 、AC ，共6条；②相等的线段有：AB=BD ，AD=CD.故答案为：(1)画图见解析；(2)①6；②AB=BD ，AD=CD.【点睛】本题考查了基本的作图和线段及中点的定义.19、（1）6．3；（2）43吨；（3）74元【分析】本题是一个实际应用题：（1）小明家用水量没有超过25吨，直接单价×数量即可；（2）设小明家2月份用水量为x 吨，可列方程()25 1.4x 25 2.10.95x 104.5⨯+-⨯+=，求出x 的值即可； （3）应先算出水表中3月的用水量，再计算实际的用水量，最后根据收费标准计算应缴纳水费．【详解】（1）18×（1.4+3.95）=6.3（元）（2）∵25(1.40.95)58.75104.5⨯+=<∴小明家2月份用水超过25吨．设小明家2月份用水x 吨根据题意得：25 2.35(25)(2.10.95)104.5x ⨯+-⨯+=解这个方程得：40x =答：小明家2月份用水43吨（3）水表计数：56.4 2.3524÷=实际用水：2480%30÷=应缴水费：25 2.35(3025) 3.05⨯+⨯-74=（元）答：小明家3月份实际应交水费74元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程；易错点是忽略污水处理费．20、（1）7；（2）10【分析】直接将所给语句用数学式子表示出来，计算即可得解．【详解】解：（1）2(2)3437-+=+=；（2）32(4)6410⨯--=+=．【点睛】本题考查的知识点是列式计算，解题的关键是能够将所给语句转化为数学式子．21、2xy y +；34- 【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则化简，然后代入求值即可．【详解】解：222221382(32)(3)3535x x xy y x xy y -+-+++ =2222213823233535x x xy y x xy y --++++ =2xy y +将2x =-，12y =代入，得 原式=()21113212244⎛⎫-⨯+=-+=- ⎪⎝⎭ 【点睛】此题考查的是整式的化简求值题，掌握去括号法则和合并同类项法则是解决此题的关键．22、（1）(10﹣x ﹣y )；（2）(60﹣2x ﹣3y )吨；（3）(96000﹣5600x ﹣6900y )元．【分析】（1）根据“装运丙种土特产的车辆数=总汽车辆数10-装运甲种土特产的车辆数-装运乙种土特产的车辆数”列式表达便可；（2）根据“装运甲种土特产的每辆车运载重量⨯装运甲种土特产的车辆数+装运乙种土特产的每辆车运载重量⨯装运乙种土特产的车辆数+装运丙种土特产的每辆车运载重量⨯装运丙种土特产的车辆数10=辆汽车共装运土特产的数量”列出代数式并化简便可；（3）根据“甲种土特产每吨利润⨯甲种土特产的总吨数+乙种土特产每吨利润⨯乙种土特产的总吨数+丙种土特产每吨利润⨯丙种土特产的总吨数=总利润”列出代数式，并化简便可．【详解】解：（1）由题意得，装运丙种土特产的车辆数为：10x y --（辆)故答案为：(10)x y --；（2）根据题意得，436(10)x y x y ++--436066x y x y =++--6023x y =--，答：这10辆汽车共装运土特产的数量为(6023)x y --吨；（3）根据题意得，10004900316006(10)x y x y ⨯+⨯+⨯--400027009600096009600x y x y =++--9600056006900x y =--答：销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为(9600056006900)x y --元．【点睛】本题主要考查了列代数式和整式的加减应用，正确理解各种数量关系之间的运算关系是列代数式的关键所在．23、（1）进水管速度53m /h ，出水速度3.753m /h ；（2） 3.7575y x =-+．【分析】（1）根据图象和题意，在0到4小时共进水203m ，从而求出进水管进水速度；然后根据4到12小时既进水又出水即可求出进水管进水速度与出水管出水速度的差，从而求出出水管出水速度；（2）利用蓄水池内水量减去出水速度乘出水时间即可得出结论．【详解】解：（1）由图象和题意可得：在0到4小时共进水203m ，4到12小时既进水又出水，蓄水池中水量增加了30－20=103m∴进水管进水速度为20÷4=53m /h ，出水管出水速度为5－10÷（12－4）=3.753m /h ；（2）根据题意可得：y=30－3.75×（x －12）= 3.7575x -+即 3.7575y x =-+．【点睛】此题考查的是利用函数图象解决实际问题，掌握函数图象横纵坐标表示的实际意义是解题关键．24、（1）44-；（2）40；（3）-19；（4）-4；（5）25；（6）72【分析】（1）先计算乘除运算，再进行加减运算即可得到结果；（2）先计算乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可得到结果；（3）先用乘法的分配律计算后，相加即可得到结果；（4）先计算乘方运算，将除法运算转化为乘法运算，最后进行加减运算即可得到结果；（5）直接利用二次根式的性质、乘方的定义、立方根的性质分别化简得出答案；（6）先利用二次根式的性质、乘方的定义分别化简后，再按顺序计算即可得出答案．【详解】（1）()()75364-⨯+-÷359=--44=-；（2）()()21862⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭436=+40=；（3）()1311264⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭()()()131********=⨯--⨯-+⨯- 1229=-+-19=-；（4）()()201911293⎛⎫-+-÷--- ⎪⎝⎭1239=-+⨯-4=-；（5）25+4254=-++25=；（6）27322⎫⨯-⎪⎪⎭ 719223⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭ ()7322=⨯- 72=． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
福建省平潭综合实验区七校联考2024-2025学年数学九上开学统考试题【含答案】
福建省平潭综合实验区七校联考2024-2025学年数学九上开学统考试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）在△ABC 中，已知∠A 、∠B 、∠C 的度数之比是1：1：2，BC=4，△ABC 的面积为（）A ．2B ．C ．4D ．82、（4分）△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，则下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（）A ．a ＝3，b ＝4，c ＝5B ．a ＝4，b ＝5，c ＝6C ．a ＝6，b ＝8，c ＝10D ．a ＝5，b ＝12，c ＝133、（4分）关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．k≤﹣4B ．k ＜﹣4C ．k≤4D ．k ＜44、（4分）把一元二次方程(x 1)3x 2x +=+化为一般形式，正确的是()A ．2+4x+30x =B ．2-2x+20x =C ．2-3x-10x =D ．2-2x-20x =5、（4分）不等式325243x x +>+（）（）的解集为（）A ． 4.5x >B ． 4.5x <C ． 4.5x =D ．9x >6、（4分）下列各式正确的是（）A ．B ．C ．D ．7、（4分）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小明的三项成绩（百分制）依次是90，80，94，小明这学期的体育成绩是（）A．88B．89C．90D．918、（4分）下列说法正确的是（）A．两锐角分别相等的两个直角三角形全等B．两条直角边分别相等的两直角三角形全等C．一个命题是真命题，它的逆命题一定也是真命题D．经过旋转，对应线段平行且相等二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）弹簧原长(不挂重物)15cm，弹簧总长L(cm)与重物质量x(kg)的关系如下表所示：弹簧总长L(cm)1617181920重物质量x(kg)0.5 1.0 1.5 2.0 2.5当重物质量为4kg（在弹性限度内）时，弹簧的总长L(cm)是_________．10、（4分）用换元法解方程324 2x xx x---+3＝0时，如果设2xx-＝y，那么将原方程变形后所得的一元二次方程是_____．11、（4分）若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是___边形.12、（4分）如图，菱形ABCD的边长为2，点E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足2AE CF BD+==，设BEF∆的面积为S，则S的取值范围是__．13、（4分）一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）计算：（1+（2））+15、（8分）如图，矩形花坛ABCD 面积是24平方米，两条邻边AB ，BC 的和是10米（AB BC ），求边AB 的长.16、（8分）如图平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，E ．F 是AC 上的两点，并且AE ＝CF ．求证：四边形BFDE 是平行四边形17、（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts ．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．18、（10分）已知△ABC，AB＝AC，D 为BC 上一点，E 为AC 上一点，AD＝AE．（1）如果∠BAD＝10°，∠DAE＝30°，那么∠EDC＝°．（2）如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么∠BAD＝°，∠CDE＝°．（3）设∠BAD＝α，∠CDE＝β猜想α，β之间的关系式，并说明理由．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，△ABC中，AB=AC，点B在y轴上，点A、C在反比例函数y=kx（k ＞0，x＞0）的图象上，且BC∥x轴．若点C横坐标为3，△ABC的面积为54，则k的值为______．20、（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AB=8，则DE的长为________.21、（4分）根据指令[,](0,0180)S Sαα≥<<，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度α，再朝其面对的方向沿直线行走距离S，现机器人在平面直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向．请你给机器人下一个指令__________，使其移动到点()3,3-．22、（4分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝_____．23、（4分）如图所示，一次函数的图象与x 轴的交点为，则下列说法：①y 的值随x 的值的增大而增大；②b>0；③关于x 的方程的解为．其中说法正确的有______只写序号二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH （即四边形ABCD 的中点四边形）．（1）四边形EFGH 的形状是，证明你的结论；（2）当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是矩形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．（不证明）25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y mx n m =+≠的图象与x 轴交于点()30A -,，与y 轴交于点B ，且与正比例函数2y x =的图象交于点()3,6C .=+的解析式；（1）求一次函数y mx n+最小时，求出点P的坐标；（2）点P在x轴上，当PB PC（3）若点E是直线AC上一点，点F是平面内一点，以O、C、E、F四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点F的坐标.26、（12分）某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：环数6789人数152（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是，中位数是．（2）求这10名学生的平均成绩．（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D 【解析】根据比例设∠A=k ，∠B=k ，∠C=2k ，然后根据三角形的内角和等于180°列方程求出k 的值，从而得到三个内角的度数，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB ，利用勾股定理列式求出AC ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：设∠A=k ，∠B=k ，∠C=2k ，由三角形的内角和定理得，k+k+2k=180°，解得k=45°，所以，∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，∴AC=BC=4，，所以，△ABC 的面积=．故选：D.本题考查的知识点是直角三角形的性质和三角形的内角和定理，解题关键是利用“设k 法”求解三个内角的度数．2、B【解析】根据勾股定理进行判断即可得到答案.【详解】A ．∵32+42＝52，∴△ABC 是直角三角形；B ．∵52+42≠62，∴△ABC 不是直角三角形；D．∵122+42＝132，∴△ABC是直角三角形；故选：B．本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理.3、C【解析】根据判别式的意义得△=12﹣1k≥0，然后解不等式即可．【详解】根据题意得△=12﹣1k≥0，解得k≤1．故选C．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣1ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4、D【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），首先把方程左边的两式相乘，再移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．【详解】x+=+得由(x1)3x22-2x-20x=故选：D本题考查了一元二次方程的一般形式．去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．5、B【解析】先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为1，即可得出答案.【详解】解：325243x x +>+（）（）6x+15>8x+66x-8x>6-15-2x>-9x<4.5因此答案选择B.本题主要考查了一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.6、D 【解析】对于选项A ，给的分子、分母同时乘以a 可得，由此即可作出判断；对于选项B 、C ，只需取一对特殊值代入等式两边，再判断两边的值是否相等即可；对于选项D ，先对的分子、分母分别因式分解，再约分即可判断.【详解】对于A 选项，只有当a=b 时，故A 选项错误；对于B 选项，可用特殊值法，令a=2、b=3，则，因此B 选项是错误；同样的方法，可判断选项C 错误；对于D 选项，=，因此D 选项是正确.故选D本题可以根据分式的基本性质和因式分解的知识进行求解。
2025届哈尔滨松北区七校联考九上数学开学学业质量监测试题【含答案】
2025届哈尔滨松北区七校联考九上数学开学学业质量监测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）已知△ABC 中，∠BAC =90°，用尺规过点A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（）A．B ．C ．D ．2、（4分）在菱形中，，点为边的中点，点与点关于对称，连接、、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④3、（4分）若点P （a ，2）在第二象限，则a 的值可以是（ ）A ．B ．0C ．1D ．24、（4分）在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称的点的坐标是( )ABCD 60ADC ∠=︒E AB P A DE DP BP CP DP CD =222AP BP CD +=75DCP ∠=︒150CPA ∠=︒2-A ．(2，3)B ．(－2，3)C ．(－2，－3)D ．(－3，2)5、（4分）在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，（如图）则∠EAF 等于（ ）A ．75°B ．45°C ．60°D ．30°6、（4分）一次函数的图像不经过的象限是：（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7、（4分）直线y=2x 向下平移2个单位长度得到的直线是（ ）A ．y=2（x+2） B ．y=2（x﹣2） C ．y=2x﹣2 D ．y=2x+28、（4分）点(1，- 6)关于原点对称的点为( )A ．(-6，1)B ．(-1，6)C ．(6，- 1)D ．(-1，- 6)二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图所示，折叠矩形的一边 AD ，使点D 落在边 BC 的点 F 处，已知 AB =8cm ，BC =10cm ，则 EC 的长为_____cm ．10、（4分）已知________11、（4分）平面直角坐标系中，A 、O 两点的坐标分别为（2，0），（0，0），点P 在正比例函数y ＝x （x ＞0）图象上运动，则满足△PAO 为等腰三角形的P 点的坐标为_____．12、（4分）如图，已知矩形的对角线相交于点，过点任作一条直线分别交，于，，若，，则阴影部分的面积是______.112y x =-+0,0a b <>=ABCD O O AD BC E F 3AB =4BC =13、（4分）如图，在的两边上分别截取、，使，分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的周长为，则的长为___________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）化简：.15、（8分）某学校打算招聘英语教师。
2025届贵州市贵阳七校联盟高三上学期第一次联考数学试卷答案
数学参考答案·第1页（共8页）贵阳市七校2025届高三年级联合考试（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CBADCABD【解析】1．因为i i a z z +=- ，所以i (1)(1)i1i 2a a a z -+--++==+，因为复数z 为纯虚数，所以1010a a -=+≠，，所以1a =，故选C ．2．集合2{|320}[12]A x x x =-+=≤，，(2)B a a =+，，01A B a ⊆⇔<<，所以0a >是A B⊆的必要不充分条件，故选B ．3．设OA = a ，OB = b ，OC = c ，因为+=a b c ，所以四边形OACB 是2π3AOB ∠=的菱形，所以a 与-a b 的夹角即π6OAB ∠=，故选A ． 4．可估计全班学生数学的平均分为3280757855⨯+⨯=，方差为2232[7(8078)][2(7578)]55+-++-11=，故选D ．5．因为e 11e ()()e 1e 1x x xx f x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，又因为1e ()1e 12x x f x +-==-+ 2e 1x+，所以()f x 为R 上的增函数．因为2()(2)0f m f m +->，所以2()(2)(2)f m f m f m >--=-，所以22m m >-，即220m m +->，解得2m <-或1m >，所以实数m 的取值范围为(2)(1)-∞-+∞ ，，，故选C ． 6．根据题意可得A D A E A D A F A E A F ''''''⊥⊥⊥，，，且1A E A F ''==， 1，2A D '=，所以三棱锥D A EF '-可补成一个长方体，则三棱锥D A EF '-的外接球即为长方体的外接球，如图1所示，设长方体图1的外接球的半径为R，可得2R=，所以2R=，所以外接球的体积为3344ππ33V R===⎝⎭，故选A．7．由函数的图象可知：(1)0(2)0f f==，，解得32b c=-=，，所以32()32f x x x x=-+，可得2()362f x x x'=-+，由韦达定理得1212223x x x x+==，，所以21212121212()()2()3()23f x f xx x x x x xx x-=+--++=--，故选B．8．因为2224b b a b b aa b a b a b++=+=++≥，当且仅当23a b==时，等号成立，因为223bt ta b-+≤恒成立，所以234t t-≤，即(34)(1)0t t-+≤，解得413t-≤≤，故选D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号9 10 11答案ABD ACD AC【解析】9．由图可得，2A=，ππ12π3124ω-=⨯，解得2ω=，故A正确；又函数图象经过点π212⎛⎫⎪⎝⎭，，则π2sin2212ϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，即πsin16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因π||2ϕ<，故ππ62ϕ+=，解得π3ϕ=，故π()2sin23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭；对于B，当5π12x=-时，ππ232x+=-，此时函数取得最小值，故B 正确；对于C，2π4ππ2sin22sin2333f x x x⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是奇函数，故C错误；对于D，将函数π()2sin23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，将得到函数π2sin3y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故D正确，故选ABD．10．对于A：直线210l kx y k++-=：，整理为(2)10k x y++-=，不管k为何值，直线l始终过点(21)-，，故A正确；对于B：1k=时直线l的方程为10x y++=，它不过圆C的圆心(03)，，故B不正确；对于C：由A知当(21)-，是线段AB的中点时，此时弦长AB数学参考答案·第2页（共8页）数学参考答案·第3页（共8页）最短，而圆22(3)16C x y +-=：，圆心是(03)，，半径4r =，圆心(03)，和点(21)-，的距离是||AB ==，故C 正确；对于D ：当2k =时，直线230l x y ++=：，曲线222(6)370x y x y λλλ+++-+-=，即2267x y y +--+(23)0x y λ++=，显然该曲线过直线l 与圆C 的交点，故D 正确，故选ACD ．11．由题意知函数()y f x =的图象关于点(21)，对称，所以(2)1f =，A 正确；若函数()sin(π)1f x x =+，则函数()πcos(π)g x x =，(2)πg =，B 错误；易得函数()y f x =的周期也为2，而函数(2)1y f x =+-是奇函数，所以函数()1y f x =-是奇函数，C 正确；若函数()sin(π)1f x x =+，则(1)1f =，所以20241()2024k f k ==∑，D 错误，故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．由正弦定理得a b c c b a b-=-+，即222b c a bc +-=，由余弦定理得222cos 22b c a bc A bc bc +-== 12=，又(0π)A ∈，，所以π3A =． 13．因为na x ⎫⎪⎭的展开式的二项式系数和为32，所以5n =，515C kkk k a T x -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭5325C ()kkk a x--，所以2x -的系数为335C ()80a -=，所以2a =-．14．3220.50.5()()log ()(1)()log ()f x x ax x a x b x x a x b =-+-+=+-+，且210y x =+>恒成立，y x a =-在定义域上单调递增且零点为x a =，0.5(log )y x b =+在定义域上单调递减且零点为1x b =-，故y x a =-与0.5(log )y x b =+在定义域内函数值正负相反且零点重合，则11a b a b =-⇔+=，所以33a b +=≥．数学参考答案·第4页（共8页）四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）证明：由2n n S a n =-可得，当1n =时，1121a a =-，解得11a =， …………………………………………………（2分） 当2n ≥时，112(1)n n S a n ++=-+， 所以111221n n n n n a S S a a +++=-=--，即121n n a a +=+， …………………………………………………………………………（4分） 所以11211211n n n n a a a a ++++==++为常数，且112a +=， 所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．………………………………………………………………………………………（6分） （2）由（1）得11222n n n a -+== ，则21n n a =-，………………………………………………………………………………………（7分） 所以1222n n n S a n n +=-=--，…………………………………………………………（9分） 所以23112(222)[34(2)]n n n T S S S n +=+++=+++-++++22242(32)5241222n n n n n n ++-+++=-=---． …………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：因为AB AD =，CB CD =，所以ABC ADC △≌△，所以ABO ADO △≌△．所以BO OD =，90AOB AOD ∠=∠=︒，所以AC BD ⊥．……………………………（3分） 因为AB AP BC PC AC AC ===，，，所以ABC APC △≌△． 因为BO AC ⊥，所以PO AC ⊥，又因为PO BD O = ，PO ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． …………………………………………………………………（6分）数学参考答案·第5页（共8页）（2）解：由（1）可知OB OC ⊥，因为5AB BC AC ===， 所以222AB BC AC +=，所以90ABC ∠=︒， 从而由等面积法，可知1025BO ==，由勾股定理，可知1AO ==，因为PB =222PB PO BO =+，所以PO OB ⊥．又因为PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ．……………………………………………（8分） 以O 为原点，OB OC OP ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，由（1）可知BO OD OP ==， 所以2OD OP ==，所以(002)P ，，，因为(200)(010)(200)(040)B A D C --，，，，，，，，，，，，………………………………………………………………………………………（10分） 因为点Q 为线段PC 的中点，所以(021)Q ，，，………………………………………（11分） 所以(221)(012)(202)BQ PA PD =-=--=--，，，，，，，，， 设平面PAD 的法向量为()n x y z =，，，则00PA n PD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，令1z =-，解得12x y ==，，所以平面PAD 的法向量为(121)n =-，，，……………………………………………（13分） 设直线BQ 与平面PAD 所成角为θ，则||sin |cos |||||18n BQ n BQ n BQ θ〉=〈===，， 所以直线BQ 与平面PAD15分） 图2数学参考答案·第6页（共8页）17．（本小题满分15分）解：（1）由题意得()f x 的定义域为(0)+∞，，11()ax f x a x x='-=-………………………………………………………………………………………（2分） 当0(0)a x ∈+∞≤，，时，()0f x '<，所以()f x 在区间(0)+∞，内单调递减； 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0()f x f x <'，单调递减；当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0()f x f x >'，单调递增．综上，当0a ≤时，()f x 在区间(0)+∞，内单调递减；………………………………（4分） 当0a >时，()f x 在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增．………………（6分）（2）当1a =时，由2e ()x k x f x x -≤，得2e ln x k xx x x--≤， 整理得22e ln xk x x x x +-≥，即2ln 2e xx x x xk +-≥．……………………………………（8分）令2ln ()exx x x xh x +-=， 则22(21ln 1)e (ln )e (ln )(1)()(e )e x x x xx x x x x x x x x h x +---+---='=，……………………（10分）由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为(1)10f =>，即ln 0x x ->恒成立， …………………………………………………………………（11分）所以当(01)x ∈，时，()0()h x h x >'，单调递增；当(1)x ∈+∞，时，()0()h x h x <'，单调递减．…………………………………………（13分） 故当1x =时，()h x 取得最大值2(1)e h =，即22ek ≥， 故k 的取值范围为1e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．…………………………………………………………（15分）18．（本小题满分17分）解：（1）记甲同学先投3分球，投篮2次就终止投篮的事件为A ， 11111()11.52522p A ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………………………………（4分）数学参考答案·第7页（共8页）（2）记甲同学先投3分球通过测试的概率为1p ，则1111111117115252252220p ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；…………………………………（7分）记甲同学先投2分球通过测试的概率为2p ， 则2111111117112222220255p ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 因为12p p =，故甲同学先投2分或先投3分是一样的．……………………………（10分） （3）记甲同学先投3分球投篮累计得分为X ，先投2分球投篮累计得分为Y ，X 可能取0，2，3，4，5，………………………………………………………………（11分） 412(0)525P X ==⨯=，411(2)51225P X ==⨯⨯=， 1111(3)52220P X ==⨯⨯=，411(4)51225P X ==⨯⨯=，111113(5)5252220P X ==⨯+⨯⨯=，1113()2345 2.1520520E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………………………（14分）Y 可能取0，2，4，5， 111(0)224P Y ==⨯=，121142(2)C 2255P Y ==⨯⨯⨯=， 111(4)224P Y ==⨯=，121111(5)C 22510P Y ==⨯⨯⨯=， 21123()245 2.1541010E Y =⨯+⨯+⨯=>． 故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大． ………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分）解：（1）因为点P 在椭圆C 上，PF x ⊥轴，且||1PF =，故0)F ，所以P的坐标为1)， 所以222112a a +=-，解得24a =，2a =．……………………………………………（4分） （2）由（1）知椭圆C 的方程为22142x y +=，设动点00()M x y ，，则2200142x y +=，所以220022x y =-，………………………………（5分）故||||2MF x==-，…………………………………………（7分）|||MN x=-，………………………………………………………………………（9分）所以||||2MFMN=．………………………………………………………………………（10分）（3）不妨设AFB∠γ=，ABF△的外接圆半径为R，则由正弦定理||||||2sin sin sinAF BF ABRαβγ===，所以||2sin||2sin||2sinAF R BF R AB Rαβγ===，，．…………………………………（12分）如图3，过A B，分别作直线x=D E，，过B作BG AD⊥于点G，由（2）的结论可得||||||||AF BFAD BE==所以||||(||||)2AF BF AD BE-=-，即2sin2sin||2R R AGαβ-=，所以||(sin sin)AGαβ=-，………………………………………………………（14分）又2ABk=，得tan2BAG∠=，则||cos||3AGBAGAB=∠=，即(sin sin)2sin3Rαβγ-=，…………………………（16分）所以sin sinαβγ-=，当且仅当π2γ=时等号，所以sin sinαβ-的最大值为3．……………………………………………………（17分）图3数学参考答案·第8页（共8页）。
2023-2024学年湖北省武汉市黄陂区七校联盟七年级(下)月考数学试卷(5月份)+答案解析
2023-2024学年湖北省武汉市黄陂区七校联盟七年级（下）月考数学试卷（5月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，属于无理数的是()A.0B.C.D.2.如图，小明用手盖住的点的坐标可能为()A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度后对应点B ，则点B的坐标是()A. B.C. D.4.如图，在中，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，AC 上，下列不能判定的条件是() A. B. C.D.5.若与是同一个数两个不同的平方根，则m 的值()A. B.1C.或1D.6.由得到，需要的条件是() A.B.C.D.7.某工厂的一条流水线匀速生产产品，在有一些产品积压的情况下，经过实验，若安排9人包装，则需要5h 可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要10h 才能包装完所有产品.假设每个人包装速度一样.现要在2h 内完成产品包装任务，则至少需要安排的人数是()A.16B.17C.18D.208.若方程组与有相同的解，则a、b的值为()A.2，B.2，C.3，D.，29.我们用来表示不大于a的最大整数.例如，若，则x的取值范围是()A. B. C. D.10.下列命题中：①若，则点在原点处；②点一定在第四象限；③已知点与点，m、n均不为0，则直线AB平行于x轴；④在平面直角坐标系中，二四象限角平分线上的点横纵坐标一定互为相反数.是真命题的有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.1的平方根是______，1的立方根是______，的算术平方根是______.12.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______.13.已知关于x、y的方程组，则的值为______用含m的代数式表示14.在平面直角坐标系中，点，，若轴，则当线段BC最短时，点C的坐标为______.15.已知m为整数，方程组有正整数解，则______.16.在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x 轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”.例如：点，互为“最距等点”；点，互为“最距等点”.已知点与点互为“最距等点”，则n的值为______.三、解答题：本题共8小题，共72分。
哈尔滨松北区七校联考2025届数学九上期末监测试题含解析
哈尔滨松北区七校联考2025届数学九上期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中，是中心对称图形的卡片是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程x 2﹣4x +5＝0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根3．已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（―1，―3），则代数式mn +1有（ ）A ．最小值―3B ．最小值3C ．最大值―3D ．最大值34．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，D 为圆周上一点，若BC 的度数为50°，则∠ADC 的度数为 （ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．50°5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若AD ：DB ＝1：2，则△ADE 与△ABC 的面积之比是（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：9D ．1：166．如图，正比例函数y x =与反比例函数4y x=的图象交于A 、B 两点，其中(2,2)A ，则不等式4x x >的解集为（ ）A ．2x >B ．2x <-C ．20x -<<或02x <<D ．20x -<<或2x >7．如图，下列条件中，能判定ACD ABC △∽△的是（ ）A ．BAC ABC ∠=∠B ．BAC ADC ∠=∠ C ．AD CD AC BC = D ．ACADAB AC =8．如图，,AC BD 是O 内两条互相垂直的直径，则ACB ∠的度数是（ ）A ．30B ．36C ．45D ．729．反比例函数y ＝(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n 等于( )A ．﹣8B ．﹣4C ．﹣D ．﹣210．下列运算正确的是（ ）A ．a •a 1＝aB ．（2a ）3＝6a 3C ．a 6÷a 2＝a 3D ．2a 2﹣a 2＝a 211．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误的是（ ）A ．BDC β∠=∠B ．2sin a AO β=C ．tan BC a β=D ．cos a BD β= 12．入冬以来气温变化异常，在校学生患流感人数明显增多，若某校某日九年级8个班因病缺课人数分别为2、6、4、6、10、4、6、2，则这组数据的众数是（ ）A ．5人B ．6人C ．4人D ．8人二、填空题（每题4分，共24分）13．若a ，b 是一元二次方程22510x x -+=的两根,则11a b+=________. 14．如图△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC=35，则BC 的长为_____．15．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB ，在点D 和点F 处分别竖立高是2米的标杆CD 和EF ，两标杆相隔52米，并且建筑物AB 、标杆CD 和EF 在同一竖直平面内，从标杆CD 后退2米到点G 处，在G 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C 在同一条直线上；从标杆FE 后退4米到点H 处，在H 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E 在同一条直线上，则建筑物的高是__________米．16．把抛物线2y x bx c =++的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式为223y x x =-+,则b 的值为___________．17．一组数据：2，3，4，2，4的方差是___．18．□ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于O ，现从下列条件：①AC ⊥BD ②AB=BC ③AC=BD ④∠ABD=∠CBD 中随机取一个作为条件，可推出□ABCD 是菱形的概率是_________三、解答题（共78分）19．（8分）如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝2k x的图象分别交于C ，D 两点，点C （2，4），点B 是线段AC 的中点．（1）求一次函数y ＝k 1x +b 与反比例函数y ＝2k x 的解析式； （2）求△COD 的面积；（3）直接写出当x 取什么值时，k 1x +b ＜2k x． 20．（8分）如图，矩形ABCD 中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ，BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB ，BC 所在的直线相交，交点分别为E ，F ．（1）当PE ⊥AB ，PF ⊥BC 时，如图1，则PE PF的值为 ； （2）现将三角板绕点P 逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求PE PF 的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP ：PC=1：2时，如图3，PE PF 的值是否变化？证明你的结论． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC 的三个顶点坐标分别为A （-2,1）、B （-1,4）、C （-3,2）.（1）画图：以原点为位似中心，位似比为1:2，在第二象限作出ΔABC 的放大后的图形111A B C ∆（2）填空：点C 1的坐标为 ，111tan C A B ∠= .22．（10分）关于x 的一元二次方程为（ｍ－1）x 2－2ｍx ＋ｍ＋1＝0（1）求出方程的根；（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？23．（10分）解方程2213x x +=24．（10分）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件(每件售价不能高于240元)．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x 在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？25．（12分）将一元二次方程232=1x x --化为一般形式，并求出根的判别式的值．26．如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．EF 与BD 相交于点M ．（1）求证：△EDM ∽△FBM ；（2）若DB=9，求BM ．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】根据中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．【详解】A.不是中心对称图形，故错误；B.是中心对称图形，故正确；C.不是中心对称图形，故错误；D.不是中心对称图形，故错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．2、A【解析】首先求出一元二次方程2450x x -+=根的判别式，然后结合选项进行判断即可．【详解】解：∵一元二次方程2450x x -+=，∴△＝()2445162040--⨯=-=-<，即△＜0，∴一元二次方程2450x x -+=无实数根，故选A ．【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解题关键是要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．3、A【解析】把点（-1，-3）代入y ＝x 2＋mx ＋n 得n=-4+m ，再代入mn +1进行配方即可.【详解】∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（-1，-3），∴-3=1-m+n ，∴n=-4+m ，代入mn+1，得mn+1=m 2-4m+1=(m-2)2-3.∴代数式mn +1有最小值-3.故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键． 4、B【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°，利用垂径定理得到=AC BC ，然后根据圆周角定理计算∠ADC 的度数．【详解】∵BC 的度数为50°，∴∠BOC=50°，∵半径OC ⊥AB ，∴=AC BC ，∴∠ADC=12∠BOC=25°． 故选B ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．5、C【分析】根据DE ∥BC ，即可证得△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：∵AD ：DB ＝1：2，∴AD ：AB ＝1：3，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴ADE ABC S S ＝（13）2＝19． 故选：C ．【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方．6、D【分析】由题意可求点B 坐标，根据图象可求解．【详解】解：∵正比例函数y=x 与反比例函数4y x =的图象交于A 、B 两点，其中A （2，2）， ∴点B 坐标为（-2，-2）∴由图可知，当x ＞2或-2＜x ＜0，正比例函数y x =图象在反比例函数4y x =的图象的上方， 即不等式4x x >的解集为x ＞2或-2＜x ＜0 故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握函数图象的性质是解决．7、D【分析】根据相似三角形的各个判定定理逐一分析即可．【详解】解：∵∠A=∠A若BAC ABC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故A 选项不符合题意；若BAC ADC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故B 选项不符合题意； 若AD CD AC BC=，但∠A 不是两组对应边的夹角，不能判定ACD ABC △∽△，故C 选项不符合题意； 若AC AD AB AC=，根据有两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似可得ACD ABC △∽△，故D 选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是使两个三角形相似所添加的条件，掌握相似三角形的各个判定定理是解决此题的关键．8、C【分析】根据直径的定义与等腰三角形的性质即可求解．【详解】∵,AC BD 是O 内两条互相垂直的直径，∴AC ⊥BD又OB=OC∴ACB ∠=180902︒-︒=45 故选C ．【点睛】 此题主要考查圆内的角度求解，解题的关键是熟知圆内等腰三角形的性质．9、D【解析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n=1×(-4)，然后解关于n 的方程即可． 【详解】∵点（1，-4）和点（4，n ）在反比例函数y=的图象上，∴4n=1×(-4)， ∴n=-1．故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．10、D【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．【详解】A ．a •a 1＝a 2，故本选项不合题意；B ．（2a ）3＝8a 3，故本选项不合题意；C ．a 6÷a 2＝a 4，故本选项不合题意；D .2a 2﹣a 2＝a 2，正确，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是幂的运算，比较简单，需要牢记幂的运算公式.11、B【分析】根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断.【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°∴AO=CO=BO=DO,∴∠OCD=∠ODC=β,A 、BDC DCA β∠=∠=∠,故A 选项正确；B 、在Rt △ADC 中，cos ∠ACD=DC AC , ∴cos β=2a AO ,∴AO=2cos a ，故B 选项错误； C 、在Rt △BCD 中，tan ∠BDC=BC DC , ∴ tan β=BC a∴BC=atan β，故C 选项正确； D 、在Rt △BCD 中，cos ∠BDC=DC DB , ∴ cos β=a BD ∴cos a BD β=，故D 选项正确. 故选：B.【点睛】本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键. 12、B【解析】找出这组数据出现次数最多的那个数据即为众数.【详解】解：∵数据2、6、4、6、10、4、6、2，中数据6出现次数最多为3次， ∴这组数据的众数是6.故选：B.【点睛】本题考查众数的概念，出现次数最多的数据为这组数的众数.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】将11a b+通分变形为a b ab +，然后利用根与系数的关系即可求解.【详解】∵a 、b 是一元二次方程210x -+=的两根∴+=a b 1ab =∴11=++=a b a b ab故答案为：【点睛】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握12b x x a +=-，12c x x a =是解题的关键. 14、4 【解析】试题解析：∵3cos 5BDC ∠=， 可∴设DC =3x ，BD =5x ，又∵MN 是线段AB 的垂直平分线，∴AD =DB =5x ，又∵AC =8cm ，∴3x +5x =8，解得，x =1，在Rt △BDC 中，CD =3cm ，DB =5cm ，4.BC ===故答案为:4cm.15、54【解析】设建筑物的高为x 米，根据题意易得△CDG ∽△ABG ，∴CD DG AB BG =，∵CD ＝DG ＝2，∴BG ＝AB ＝x ，再由△EFH ∽△ABH 可得EF FH AB BH =，即24x BH=，∴BH ＝2x ，即BD ＋DF ＋FH ＝2x ，亦即x －2＋52＋4＝2x ，解得x ＝54，即建筑物的高是54米．16、4【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后的抛物线解析式，化为一般形式即可得解.【详解】由题意，得平移后的抛物线为：()()()22332673y x b x c x b x b c =-+-+-=--+-+即62b -=∴4b =故答案为：4.【点睛】此题主要考查根据抛物线的平移规律求参数，熟练掌握，即可解题.17、0.1【分析】根据方差的求法计算即可． 【详解】平均数为2342435++++= ， 方差为：()()()()()222221[2333432343]0.85-+-+-+-+-= ，故答案为：0.1．【点睛】本题主要考查方差，掌握方差的求法是解题的关键．18、34 【分析】根据菱形的判定方法直接就可得出推出菱形的概率． 【详解】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”直接判断①符合题意；根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可直接判断②符合题意；根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，所以③不符合菱形的判定方法；ABD CBD ∠=∠，//AB CD ，∴=ABD CBD BDC ∠=∠∠∴BC=CD ，∴ABCD □是菱形，故④符合题意；∴推出菱形的概率为：34P =．故答案为34． 【点睛】本题主要考查菱形的判定及概率，熟记菱形的判定方法是解题的关键，然后根据概率的求法直接得出答案．三、解答题（共78分）19、（1）y 1＝x +2；y 2＝8x ；（2）S △COD ＝6；（3）当0＜x ＜2或x ＜﹣4时，k 1x +b ＜2k x． 【分析】（1）把点C 的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作CE x ⊥轴于E ，根据题意求得B 的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）联立方程求得D 的坐标，然后根据COD BOC BOD SS S =+即可求得△COD 的面积； （3）根据图象即可求得21k k x b x+＜时，自变量x 的取值范围． 【详解】（1）∵点C （2，4）在反比例函数y ＝2k x 的图象上， ∴2248k ⨯＝＝，∴28y x＝；如图，作CE ⊥x 轴于E ，∵C （2，4），点B 是线段AC 的中点，∴B （0，2），∵B 、C 在11y k x b +＝的图象上，∴1242k b b +=⎧⎨=⎩， 解得112k b ＝，＝， ∴一次函数为12y x +＝；（2）由28y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得24x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩， ∴D （﹣4，﹣2）， ∴1222462COD BOC BOD S S S +⨯⨯+⨯⨯＝＝＝； （3）由图可得，当0＜x ＜2或x ＜﹣4时，21k k x b x+＜． 【点睛】 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得B 点的坐标是解题的关键．20、（1（2）PE PF=；（3）变化.证明见解析. 【分析】（1）证明△APE ≌△PCF ，得PE=CF ；在Rt △PCF 中，解直角三角形求得PE PF的值即可； （2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME ∽△PNF ，并利用（1）的结论，求得PE PF 的值； （3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM ∽△PCN ，求得PM PN =然后证明△PME ∽△PNF ，从而由PE PM PF PN =求得PE PF 的值.与（1）（2）问相比较，PE PF的值发生了变化. 【详解】（1）∵矩形ABCD ，∴AB ⊥BC ，PA=PC.∵PE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴PE ∥BC.∴∠APE=∠PCF.∵PF ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴PF ∥AB.∴∠PAE=∠CPF.∵在△APE 与△PCF 中，∠PAE=∠CPF ，PA=PC ，∠APE=∠PCF ，∴△APE ≌△PCF （ASA ）.∴PE=CF.在Rt △PCF 中，0PF PF 3tan 30CF PE 3===，∴PE 3PF =； （2）如答图1，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥BC 于点N ，则PM ⊥PN. ∵PM ⊥PN ，PE ⊥PF ，∴∠EPM=∠FPN.又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME ∽△PNF.∴PM 3PN=. 由（1）知，PM 3PN 2=， ∴PE 3PF=. （3）变化.证明如下：如答图2，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥BC 于点N ，则PM ⊥PN ，PM ∥BC ，PN ∥AB.∵PM ∥BC ，PN ∥AB ，∴∠APM=∠PCN ，∠PAM=∠CPN.∴△APM ∽△PCN.∴12PM AP CN PC ==，得CN=2PM. 在Rt △PCN 中，PN PN 3tan 30CN 2PM 3︒===，∴32PM PN =. ∵PM ⊥PN ，PE ⊥PF ，∴∠EPM=∠FPN.又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME ∽△PNF. ∴32PE PM PF PN ==. ∴PE PF的值发生变化. 21、（1）见解析；（2）（-6,4），2 【分析】（1）利用位似比为1：2，进而将各对应点坐标扩大为原来的2倍，进而得出答案；（2）利用（1）中位似比得出对应点坐标．【详解】（1）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求；（2）∵C 点坐标为(-3，2)，∴C 1点坐标为（-6，4）；∵22112222C A =+=22114442C B =+=221126210B A =+=，∵((222240+=，(221040=，∴222111111C A C B B A +=，∴111C A B 是直角三角形，且11190B C A ∠=︒，∴111111142tan 222C B C A B C A ∠===.【点睛】本题主要考查了位似变换和锐角三角函数的知识，正确掌握位似比与坐标的关系是解题关键．22、（1）∴12m 1x x 1m 1+==-，． （2）ｍ=2或3 ．【解析】（1）利用一元二次方程求根根式解方程．（2）利用（1）中x 的值来确定m 的值．【详解】解：（1）根据题意得ｍ≠1，△＝（–2ｍ）2－4（ｍ－1）（ｍ＋1）＝4 ，∴()()122m 2m 12m 2x x 12m 1m 12m 1++-====---，． （2）由（1）知1m 12x 1m 1m 1+==+--， ∵方程的两个根都是正整数，∴2m 1-是正整数． ∴ｍ－1=1或2. ．∴ｍ=2或3 ．考点：公式法解一元二次方程，一元二次方程的解．23、11x =，212x =. 【解析】分析：用配方法解一元二次方程即可.还可以用公式法或者因式分解法.详解：方法一：移项，得2231x x -=-，二次项系数化为1，得23122x x -=-， 22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由此可得3144x -=±， 11x =，212x =. 方法二：方程整理得：22310x x -+=，分解因式得：(x −1)(2x −1)=0，解得：11x =，212x =.点睛：考查解一元二次方程，常见的方法有：直接开方法，配方法，公式法和因式分解法，观察题目选择合适的方法.24、(1) y=﹣2x2+400x+25000，0＜x≤1，且x为正整数；(2) 件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元；(3) 每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤1，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元【分析】（1）设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，根据月利润=单件利润×数量，则可以得到月销售利润y的函数关系式；（2）由月利润的函数表达式y=﹣2x2+400x+25000，配成顶点式即可；（3）当月利润y=40000时，求出x的值，结合（1）中的取值范围即可得．【详解】解：(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元，由题意得：y=(130﹣80+x)(500﹣2x)=﹣2x2+400x+25000∵每件售价不能高于240元∴130+x≤240∴x≤1∴y与x的函数关系式为y=﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤1，且x为正整数；故答案为：y=﹣2x2+400x+25000；0＜x≤1．(2)∵y=﹣2x2+400x+25000=﹣2(x﹣100)2+45000∴当x=100时，y有最大值45000元；∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元，故答案为：每件商品的涨价100元时，月利润最大是45000元；(3)令y=40000，得：﹣2x2+400x+25000=40000解得：x1=50，x2=150∵0＜x≤1∴x=50，即每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元，由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当50≤x≤1，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．∴每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤1，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元，故答案为：每件商品的涨价为50元；50≤x≤1；【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，方案设计类营销问题，二次函数表达式的求解，二次函数顶点式求最值问题，由函数值求自变量的值，掌握二次函数的实际应用是解题的关键．25、23210x x -+=，-8【分析】先移项，将方程化为一般式，然后算判别式的大小可得．【详解】解：将方程化为一般形式为:23210x x -+=∴a=3,b=－2,c=1∴ 根的判别式的值为224(2)4318b ac -=--⨯⨯=-．【点睛】本题考查一元二次方程的化简和求解判别式，注意此题的判别式为负数，即表示方程无实数根．26、（1）证明见解析（2）3【解析】试题分析：（1）要证明△EDM ∽△FBM 成立，只需要证DE ∥BC 即可，而根据已知条件可证明四边形BCDE 是平行四边形，从而可证明相似；（2）根据相似三角形的性质得对应边成比例，然后代入数值计算即可求得线段的长．试题解析：（1）证明：∵AB="2CD" , E 是AB 的中点，∴BE=CD ，又∵AB ∥CD ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∴BC ∥DE, BC=DE ，∴△EDM ∽△FBM ；（2）∵BC=DE ， F 为BC 的中点，∴BF=DE ，∵△EDM ∽△FBM ，∴，∴BM=DB ，又∵DB=9，∴BM=3.考点：1. 梯形的性质；2. 平行四边形的判定与性质；3. 相似三角形的判定与性质.。
广东省七校2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析
广东省七校2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．已知函数||()()x x f x x R e=∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(212),e eB ．(20,)2e eC ．(11,1)e+D ．21,12()ee+ 3．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i5．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．34D ．226．已知函数()e x f x x=,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( ) A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ 7．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．28．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ）A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或99．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,1)10．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N11．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 12．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．1339-B ．1339C ．155-D ．155二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届广东省惠州仲恺区七校联考七年级数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析
2025届广东省惠州仲恺区七校联考七年级数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题 考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，12∠=∠，若140AOE ∠=，则AOC ∠的度数为（ ）．A ．40B ．60C ．80D ．1002．已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c ﹣b|等于（ ）A ．a-cB ．a+cC ．a+2b-cD ．a+2b+c3．如图，线段AB 上有C 、D 两点，以AC 、CD 、BD 为直径的圆的周长分别是、、，以AB 为直径的圆的周长为C ，下列结论正确的是（ ）A ．＋＝C ＋B ．＋＋＝C C ．＋＋＞CD ．＋＋＜C4．下列平面展开图是由5个大小相同的正方形组成，其中沿正方形的边不能折成无盖小方盒的是（ ） A ． B ． C ． D ．5．数轴上点A ，B 表示的数分别是5，－3，它们之间的距离可以表示为( )A ．－3＋5B ．－3－5C ．|－3＋5|D ．|－3－5|6．下面合并同类项正确的是（ ）A ．3x+2x 2＝5x 3B ．2a 2b ﹣a 2b ＝1C ．﹣ab ﹣ab ＝0D ．﹣y 2x+xy 2＝07．如图是用直尺和圆规作一个角'''A O B ∠等于已知角AOB ∠的作法，下列结论不一定成立的是（ ）．A ．OC OD =B ．OC CD = C ．''OC O D = D ．''CD C D =8．下列解方程过程中，变形正确的是( )A ．由2x-1=3得2x=3-1B ．由x 4+1=3x 10.1++1.2得31011241x x ++=+C ．由-25x=26得x=-25 26D ．由132x x -=得2x-3x=6 9．珠穆朗玛峰海拔高8848米，塔里木盆地海拔高—153米，求珠穆朗玛峰比塔里木盆地,高多少米列式正确的是（ ） A ．8848+153B ．8848+（-153）C ．8848-153D ．8848-（-153）10．如图,从A 到B 有三条路径，最短的路径是③，理由是( )A ．两点确定一条直线B ．两点之间，线段最短C ．过一点有无数条直线D ．因为直线比曲线和折线短二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分)11．计算：3﹣（﹣5）＋7＝__________．12．已知|a-1|=3，|b|=3，a 、b 在数轴上对应的点分别为A 、B ，则A 、B 两点间距离的最大值等于______13．已知关于x 的方程3x ﹣2k ＝2的解是x ＝k ﹣2，则k 的值是_____．14．如图，直线AB 、CD 相交于O ，COE ∠是直角，148∠=︒，则2∠=______.15．如图，将长方形纸片ABCD 的C ∠沿GF 折叠（点F 在BC 上，不与点B ，C 重合），使点C 落在长方形内部点E 处，若FH 平分BFE ∠，则GFH ∠的度数是__________．16．如果221x x ++的值是7，则代数式2241x x +-的值是__________．三、解下列各题(本大题共8小题，共72分)17．（8分）先化简，再求值：x 1y ﹣（xy ﹣x 1y ）﹣1（﹣xy+x 1y ）﹣5，其中x=﹣1，y=1．18．（8分）点C 在直线AB 上，已知点M 是AB 的中点，点N 是BC 的中点，AB ＝6cm ，BC ＝4cm ，求MN 的长．(要求考虑可能出现的情况，画出图形，写出完整解答过程)19．（8分）如图，已知O 为直线AD 上一点，OB 是∠AOC 内部一条射线且满足∠AOB 与∠AOC 互补，OM ，ON 分别为∠AOC ，∠AOB 的平分线．（1）∠COD 与∠AOB 相等吗？请说明理由；（2）若∠AOB=30°，试求∠AOM 与∠MON 的度数；（3）若∠MON=42°，试求∠AOC 的度数．20．（8分）如图，直线SN 为南北方向，OB 的方向是南偏东60°，∠SOB 与∠NOC 互余，OA 平分∠BON ． （1）射线OC 的方向是 ．（2）求∠AOC 的度数．21．（8分）如图，第一个图形是一个六边形，第二个图形是两个六边形组成，依此类推：(1)写出第n个图形的顶点数（n是正整数）；(2)第12个图有几个顶点？(3)若有122个顶点，那么它是第几个图形22．（10分）列方程解应用题《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元.求人数和羊价各是多少？23．（10分）为了鼓励市民节约用水,某市水费实行分段计费制,每户每月用水量在规定用量及以下的部分收费标准相同,超出规定用量的部分收费标准相同.下表是小明家1至4月份用水量和缴纳水费情况,根据表格提供的数据,回答问题: 月份一二三四用水量(吨) 6 7 12 15水费(元) 12 14 28 37(1)该市规定用水量为吨,规定用量内的收费标准是______元/吨,超过部分的收费标准是___元/吨；(2)若小明家五月份用水10吨,则应缴水费______元；(3)若小明家六月份应缴水费49元,则六月份他们家的用水量是多少吨?24．（12分）已知两个角的大小之比是7：3，它们的差是36°，这两个角是否互余？请说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】试题分析：：∵∠AOE=140°，∠AOE和∠2是邻补角，∴∠2=180°-140°=40°，∵∠1=∠2，∴∠BOD=2∠2=80°，又∵∠BOD和∠AOC是对顶角∴∠AOC=∠BOD=80°．故选C．考点：1．邻补角2．对顶角．2、B【分析】先根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后判断出（a+b），（c-b）的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，合并同类项即可．【详解】解：根据图形，c＜a＜0＜b，且|a|＜|b|＜|c|，∴a+b＞0，c-b<0，∴原式=（a+b）-（b-c）=a+b-b+c=a+c．故选：B．【点睛】本题考查数轴与绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的情况以及（a+b），（c-b）的正负情况是解题关键．3、B【解析】直接利用圆的周长公式求出；进一步得出C与C1、C2、C1的数量关系．【详解】∵⊙O、⊙O1、⊙O2、⊙O1的周长C、C1、C2、C1，∴C=ABπ，C1=ACπ，C2=CDπ，C1=BDπ，∴ABπ=ACπ+CDπ+BDπ=（AC+CD+BD）π，故C与C1、C2、C1的数量关系为：C=C1+C2+C1．故选B.【点睛】此题主要考查了列代数式，正确应用圆的周长公式是解题关键．4、B【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图逐项分析即可得.【详解】由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，C，D选项可以拼成一个正方体，而B选项，上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图，故选B．【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记正方体的特征以及正方体展开图的各种情形是解题的关键.5、D【解析】分析：数轴上两点之间的距离可以用两点所表示的数的差的绝对值来表示．详解：根据题意可得：AB=35--，故选D ．点睛：本题主要考查的是绝对值的几何意义，属于基础题型．理解绝对值的几何意义是解决这个问题的关键． 6、D【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项，合并时系数相加减，字母与字母的指数不变．【详解】A. 3x+2x 2不是同类项不能合并，该选项错误；B. 2a 2b ﹣a 2b ＝a 2b ，该选项错误；C.﹣ab ﹣ab ＝﹣2ab ，该选项错误；D.﹣y 2x+x y 2＝0，该选项正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查同类项的概念和合并同类项的法则．合并同类项的法则是：系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 7、B【分析】根据作一个角等于已知角的的作图方法解答．【详解】解：作图的步骤：①以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点C 、D ；②任意作一点O ′，作射线O'A'，以O'为圆心，OC 长为半径画弧，交O'A'于点C'；③以C'为圆心，CD 长为半径画弧，交前弧于点D'；④过点D'作射线O'B'．∴∠A'O'B'就是与∠AOB 相等的角；∴A. OC OD =，正确；B.OC 不一定等于CD ，错误；C. ''OC O D =，正确；D. ''CD C D =，正确，故选B ．【点睛】本题考查了作图−基本作图，作一个角等于已知角的作法，熟悉作一个角等于已知角的作法是解题的关键，属于基础题． 8、D【分析】根据等式的性质对各方程整理得到结果，即可作出判断．【详解】解：A 、由2x ﹣1＝3得2x ＝3+1，不符合题意；B 、由4x +1＝310.1x ++1.2得4x +1＝30101x ++1.2，不符合题意； C 、由﹣25x ＝26得x ＝﹣2625，不符合题意； D 、由132x x -=得2x ﹣3x ＝6，符合题意， 故选：D ．【点睛】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．9、D【分析】直接用珠穆朗玛峰的海拔高度减去塔里木盆地的海拔高度即可表示．【详解】()8848153--，故选：D ．【点睛】本题考查有理数减法的实际应用，理解用较大的数减去较小的数表示差值是解题关键．10、B【分析】根据线段的性质，可得答案．【详解】解：如图，最短路径是③的理由是：两点之间线段最短，故B 正确；故选B ．【点睛】本题考查了线段的性质，熟记两点之间线段最短是解题的关键．二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分)11、1【分析】先把减法转化为加法，再计算加法即得答案．【详解】解：3﹣（﹣5）＋7＝3+5+7=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了有理数的加减运算，属于基础题目，熟练掌握运算法则是解题的关键．12、1【分析】根据题意分别求出a=4或-2，b=±3，分为四种情况：①当a=4，b=3时，②当a=4，b=-3时，③当a=-2，b=3时，④当a=-2，b=-3时，求出A 、B 两点间的距离，再进行比较即可．【详解】解：∵|a-1|=3，∴a-1=3，a-1=-3，a=4或a=-2；∵|b|=3，∴b=±3，分为四种情况：①当a=4，b=3时，A、B两点间的距离是4-3=1；②当a=4，b=-3时，A、B两点间的距离是4-（-3）=1；③当a=-2，b=3时，A、B两点间的距离是3-（-2）=5；④当a=-2，b=-3时，A、B两点间的距离是（-2）-（-3）=1；即A、B两点间距离的最大值等于1，故答案为：1．【点睛】本题考查数轴依据绝对值相关，注意掌握若数轴上A表示的数是m，B表示的数是n（m＞n），数轴上两点A、B间的距离表示为|m-n|，也可以表示为m-n（大的数减去小的数）．13、8【分析】根据方程的解的概念可将解代入方程，得到等式关系，可解出k.【详解】解：把x＝k﹣2代入方程得：3（k﹣2）﹣2k＝2，去括号得：3k﹣6﹣2k＝2，解得：k＝8，故答案为8.【点睛】本题考查方程的解的概念，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.14、42【分析】根据∠2=180°﹣∠COE﹣∠1，可得出答案．【详解】由题意得：∠2=180°﹣∠COE﹣∠1=180°﹣90°﹣48°=42°．故答案为：42°．【点睛】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，注意仔细观察图形．15、90°【分析】由折叠的性质可知∠CFG=∠EFG=12∠CFE ，根据角平分线的性质可知∠HFE=12∠BFE ，即可得出结果． 【详解】解：∵由折叠的性质可知：△GCF ≌△GEF ，∴∠CFG=∠EFG=12∠CFE ， ∵FH 平分∠BFE ，∴∠HFE=12∠BFE ， ∴∠GFH=∠GFE+∠HFE=12（∠CFE+∠BFE ）=12×180°=90°， 故答案为：90°【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、角平分线的定义以及角的计算，掌握以上知识点是解题的关键．16、1【分析】根据已知条件可得22x x +=6，然后利用整体代入法求值即可．【详解】解：∵221x x ++=7∴22x x +=6∴2241x x +-=()2221x x +-=2×6－1=1故答案为：1．【点睛】此题考查的是求代数式的值，掌握整体代入法是解决此题的关键．三、解下列各题(本大题共8小题，共72分)17、xy ﹣5，﹣2.【解析】试题分析：去括号，合并同类项，化简，代入求值.试题解析：原式=x 1y ﹣xy +x 1y +1xy ﹣1x 1y ﹣5=xy ﹣5，当x =﹣1，y =1时，原式=﹣1×1﹣5 =﹣2． 18、1cm 或5cm【分析】根据题意分两种情况，画出图形，第一种情况是点C 在线段AB 之间时，此时MN 的之间的距离为BM 与BN之差；第二种情况是点C在线段AB的延长线上，此时MN的之间的距离为BM与BN之和．【详解】解：①如图所示，当点C在线段AB之间时，AB＝6cm，BC＝4cm则AM＝BM＝12AB＝3cm，BN＝CN＝12BC＝2cm，∴MN＝BM－BN＝3－2＝1cm;②如图所示，当点C在线段AB之外时，AB＝6cm，BC＝4cm，则AM＝BM＝12AB＝3cm，BN＝CN＝12BC＝2cm，∴MN＝BM＋BN＝3＋2＝5cm综上所述，MN的长为1cm或5cm.【点睛】本题考查了两点间的距离，利用中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．同时注意考虑到各种可能的情况．19、（1）相等，理由见解析；（2）∠AOM=75°，∠MON=60°；（3）132°【分析】（1）由题意可得∠AOC+∠AOB=180°，∠AOC+∠DOC=180°，可以根据同角的补角相等得到∠COD=∠AOB；（2）根据互补的定义可求∠AOC，再根据角平分线的定义可求∠AOM，根据角平分线的定义可求∠AON，根据角的和差关系可求∠MON的度数；（3）设∠AOB=x°，则∠AOC=180°-x°，列方程1804222x x--=，解方程即可求解．【详解】（1）∵∠AOC与∠AOB互补，∴∠AOC+∠AOB=180°，∵∠AOC+∠DOC=180°，∴∠COD=∠AOB；（2）∵∠AOB与∠AOC互补，∠AOB=30°，∴∠AOC=180°-30°=150°，∵OM为∠AOB的平分线，∴∠AOM=75°，∵ON为∠AOB的平分线，∴∠AON=15°，∴∠MON=75°-15°=60°；（3）设∠AOB=x°，则∠AOC=180°-x°．由题意，得18042 22x x--=∴180-x-x=84，∴-2x=-96，解得x=48，故∠AOC=180°-48°=132°．【点睛】本题主要考查了余角和补角，角的计算，角平分线的定义，平角的定义，关键是根据图形，理清角之间的关系是解题的关键．20、（1）北偏东30°；（2）∠AOC＝30°．【分析】（1）先根据余角的定义计算出∠NOC，然后得到OC的方向；（2）由OB的方向是南偏东60°得到∠BOE=30°，则∠NOB=120°，根据OA平分∠NOB得到∠NOA=60°，再根据角的和差计算即可．【详解】解：（1）由OB的方向是南偏东60°，可得∠SOB＝60°，∵∠SOB与∠NOC互余，∴∠NOC＝90°﹣∠SOB＝30°，∴OC的方向是北偏东30°；故答案为：北偏东30°；（2）∵OB的方向是南偏东60°，∴∠BOE＝30°，∴∠NOB＝30°+90°＝120°，∵OA平分∠BON，∴∠NOA＝12∠NOB＝60°，∵∠NOC＝30°，∴∠AOC＝∠NOA﹣∠NOC＝60°﹣30°＝30°．【点睛】本题考查了方向角：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度，若正好为45度，则表示为正西（东）南（北）．21、(1)4n+2;(2)50;(3)第30个图形【分析】（1）由题意可知第1个图形的顶点数为4+2，第2个图形的顶点数为2×4+2，第3个图形的顶点数为3×4+2，…，即可得出第n个图形的顶点数为4n+2；（2）根据题意将n=12代入4n+2，即可得出第12个图有几个顶点；（3）根据题意由4n+2=122，解出n的值即可得出结果．【详解】解：（1）第1个图形的顶点数为：4+2，第2个图形的顶点数为：2×4+2，第3个图形的顶点数为：3×4+2，…，第n个图形的顶点数为：n×4+2=4n+2；（2）第12个图的顶点数为：4×12+2=50，∴第12个图有50个顶点；（3）4n+2=122，解得：n=30，∴若有122个顶点，那么它是第30个图形．【点睛】本题考查图形的变化规律以及解一元一次方程等知识.根据题意认真观察并得出规律是解题的关键．22、21人,羊为150元【分析】可设买羊人数为未知数，等量关系为：5×买羊人数+45=7×买羊人数+3，把相关数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价．【详解】设买羊为x人，则羊价为（5x+45）元钱，5x+45=7x+3，x=21（人），5×21+45=150，答：买羊人数为21人，羊价为150元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．23、（1）8；2；3；（2）22；（3）六月份小明家用水量为19吨.【分析】（1）根据小明家1月和2月的用水量及水费，可判断出这两个月的水费是2元/吨，且没有超过规定用量，3月和4月都超过了规定用量，则可计算出超过部分的收费标准，设规定用水量为a吨，根据3月份收费，列出方程即可得出答案；（2）由（1）可知，5月份用水10吨先算规定用水量中的8吨，每吨2元，再算超出标准用水量中的2吨，每吨3元，相加即可得出答案；（3）设六月份用水量为x ，根据题意可得关于x 的方程，解方程即可得出答案.【详解】解：（1）由表中1月和2月份收费可知，规定用量内的收费标准是1226=元/吨， 则3月和4月用水都超过了标准用水量，则可得，超过部分的收费为372831512-=-， 设规定用水量为a 吨，可得()231228a a +-=，解得8a =，故答案为：8；2；3. （2）由（1）可得，若用水10吨，则需交水费()28108322⨯+-⨯=元，故答案为：22；（3）设六月份用水量为x ，由题可得：()283849x ⨯+-=，解得：19x =；所以小明家6月份用水量为19吨.【点睛】本题考查一元一次方程的应用中分段收费的题型，注意观察表格，找出算法相同的数据，比较可得出收费标准；已知收费标准再算收费的时候注意题中说的是超过的部分收费标准，还是超过之后全部的收费标准.24、两角互余，理由见解析．【分析】由两角之比是7：3，即可设这两个角分别为：7x°，3x°，又由它们的差是36°，即可得方程：7x°-3x°=36°，解此方程即可求得答案．【详解】两角互余．理由：设两角分别为7x°，3x°，由题得7x°-3x°=36，解得x°=9°，则7x°=63°，3x°=27°， ∵63°+27°=90°∴这两个角互余．【点睛】此题考查了角的计算．解题时注意掌握方程思想的应用．。
天津市七校联考2025届高三下学期联合考试数学试题含解析
天津市七校联考2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3πD ．23π 2．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ） A ．74 B ．94 C ．52 D ．23．已知函数()ln a f x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 4．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．已知正四面体A BCD -外接球的体积为，则这个四面体的表面积为（ ）A．B．C．D．6．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞7．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）8．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π2 D ．π49．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2 10．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23B ．33C ．323D ．23311．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2 12．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年湖北省武汉青山区七校联考数学九上开学达标检测试题【含答案】
学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………2024-2025学年湖北省武汉青山区七校联考数学九上开学达标检测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、BC 边上，△AEF 是等边三角形，则∠AED ＝（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°2、（4分）关于x 的不等式21x a -- 的解集如图所示，则a 的取值是()A ．0B ．3-C ．2-D ．1-3、（4分）据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x 分钟后，水龙头滴出y 毫升的水，请写出y 与x 之间的函数关系式是（）A ．y=0.05x B ．y=5xC ．y=100xD ．y=0.05x+1004、（4分）已知P 1（1，y 1），P 2（2，y 2）是正比例函数y =－2x 图象上的两个点，则y 1、y 2的大小关系是（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1≥y 25、（4分）菱形ABCD 对角线交于O 点，E ，F 分别是AD 、CD 的中点，连结EF ，若EF=3，OB=4，则菱形面积（）A ．24B ．20C ．12D．66、（4分）代数式x 取值范围是（）A ．1x 2>B ．1x 2≥C ．1x 2<D ．1x 2≠7、（4分）如图，将5个全等的阴影小正方形摆放得到边长为1的正方形ABCD ，中间小正方形的各边的中点恰好为另外4个小正方形的一个顶点，小正方形的边长为ab -（a 、b 为正整数），则+a b 的值为（）A ．10B ．11C ．12D．138、（4分）如图，四边形AOBC 和四边形CDEF 都是正方形，边OA 在x 轴上，边OB 在y 轴上，点D 在边CB 上，反比例函数8y x =，在第二象限的图像经过点E ,则正方形AOBC 与正方形CDEF 的面积之差为（）A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，菱形的周长为20，对角线的长为6，则对角线的长为______.10、（4分）如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 、F 分别在AB 、AD 上，若CF =，且45ECF ∠=︒，则CE =______．11、（4分）若次函数y ＝（a ﹣1）x +a ﹣8的图象经过第一，三，四象限，且关于y 的分式方程5311y a y y -+=--有整数解，则满足条件的整数a 的值之和为_____．12、（4分）若0x 是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的一个根，则根的判别式24b ac ∆=-与平方式20(2)M ax b =+的大小比较∆_____M （填＞，＜或=）.13、（4分）如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，点D 在BC 上，AD =10，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，且DE =DF ，则DE 的长为______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）某水厂为了了解A 小区居民的用水情况，随机抽查了A 小区10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（3m ）1013141718户数22321如果A 小区有500户家庭，请你估计A 小区居民每月（按30天计算）共用水多少立方米？（答案用科学记数法表示）15、（8分）计算：））16、（8分）为了解上一次八年级数学测验成绩情况，随机抽取了40名学生的成绩进行统计分析，这40名学生的成绩数据如下：55626753588387646885609481985183787766719172637588735271796374677861977672777971（1）将样本数据适当分组，制作频数分布表：分组频数（2）根据频数分布表，绘制频数直方图：（3）从图可以看出，这40名学生的成绩都分布在什么范围内？分数在哪个范围的人数最多？17、（10分）武汉某文化旅游公司为了在军运会期间更好地宣传武汉，在工厂定制了一批具有浓郁的武汉特色的商品．为了了解市场情况，该公司向市场投放A ，B 型商品共250件进行试销，A 型商品成本价160元/件，B 商品成本价150元/件，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件，已知A 型商品的售价为240元／件，B 型商品的售价为220元／件，且全部售出．设投放A 型商品x 件，该公司销售这批商品的利润y 元．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式：_______；（2）为了使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A 型商品？最大利润是多少？（3）该公司决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，当该公司售完这250件商品并捐献资金后获得的最大收益为18000元时，求a 的值．18、（10分）四川汶川大地震牵动了三百多万滨州人民的心，全市广大中学生纷纷伸出了援助之手，为抗震救灾踊跃捐款。
上海市闵行七校2025届高三下第一次测试数学试题含解析
上海市闵行七校2025届高三下第一次测试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．84 4．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①③④D ．①②④5．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-，则M N ⋃=（ ）A ．[0,3)B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg10.1 D ．10–10.17．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.9．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．6 2海里B ．3C ．2海里D ．310．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ）A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π- 12．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ>B ．sin sin αβ<C ．cos cos αβ>D ．cos cos αβ<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省七校联合体2024届高三开学第一次联考(8月)数学试卷及参考答案
七校联合体2024届高三第一次联考试卷（8月）
数学科目
命题学校：潮阳一中命题人：姚超审题人：马文燕
一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
二．多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．下列说法正确的是（）
A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同
B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3
三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某医院传染病科室有5名医生．4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中．已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数
a
表示）．
四.解答题
七校联合体2024届高三第一次联考试卷（8月）
数学科目（答案）
函数过定点（
x
(),0∞−
()0,2
2
()2,+∞
()f x ′ +
0 −
+
()f x
增 极大值 减 极小值 增。
2024-2025学年重庆七校高一上学期第一次联考数学试题及答案
2024—2025学年度上期高一七校第一次联考数学试题满分：150分，考试时间：120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．考试结束后，将答题卷交回。
5．参考公式：二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象的顶点坐标是24,.24b ac b a a −− 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）1．下列各数中最小的数是（ ）A ．π−B ．C ．0D ．3−2．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．反比例函数8y x =−的图象一定经过的点是（ ） A ．()1,8−− B ．()2,4 C ．()4,2− D ．（8，1）4．如图，直线//a b ，点B 在直线a 上，AB BC ⊥，若140∠= ，则2∠的度数为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．1405．若两个相似三角形的相似比为2:3，则这两个三角形面积的比是（ ）A ．2:3B ．2:5C ．4:6D ．4:96．估计的值应在（ ） A ．8和9之间B ．9和10之间C ．10和11之间D ．1和12之间7．下列图形都是由同样大小的基本图形按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有5个基本图形，第②个图形中一共有8个基本图形，第③个图形中一共有11个基本图形，第④个图形中一共有14个基本图形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中基本图形的个数为（ ）A ．21B ．24C ．26D ．298．如图，AB 是O 的直径，C D 、是O 上的点，18CDB ∠= ，过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点E ，则E ∠等于（ ）A ．18B ．36C ．54D ．729．如图，在矩形ABCD 中，9AB =，点E 为CD 上一点，连接BE ，将BCE 沿BE 翻折后得到BEF ，点F 在AD 上，连接BD 交EF 于点G ，已知3DF =，则DG 的长度为（ ）A B ．125 C D ．22910．在多项式()0a b c d a b c d −+++>>>>中，先将其中任意两个加号变为减号，再对相邻的两个字母间添加绝对值，然后进行去绝对值运算，称此为“双减绝对操作”． 例如：a b c d a b c d −+−−=−−−−；a b c d a b c d −−+−=−++− 下列说法中正确的有（ ）①不存在“双减绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“双减绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“双减绝对操作”共有7种不同的结果A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷．．．．．）中对应的位置上． 11．计算：1122−−+=______． 12．某校开展读书日活动，小渝和小津分别从校图书馆的“社会科学”、“自然科学”、“文学”、“艺术”四类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是______．13．若一个多边形的每个外角都等于60 ，则它的内角和等于______．14．随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某95N 口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，设每次下降的平均下降率为x ，根据题意，可列方程为______．15．如图，在ABC 中，90ABC ∠= ，30ACB ∠=，2AB =，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是______．16．若关于x 的一元一次不等式组()4321232x x x a x +≤− +−−>无解，且关于y 的分式方程3122a y y y −+=−−的解均为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是______．17．如图，ABC 为等边三角形，8AB =，AD BC ⊥于点,D E 为线段AD上一点，AE =．以AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形,AEF EF 与AC 交于点G ，连接,CE N 为CE 的中点．连接NG ，则线段NG 的长为______．18．一个三位自然数，若其各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字减个位数字的差的绝对值，则称该三位数为_____“绝对数”例如：三位数538，538,538=−∴ 是“绝对数”则最小的“绝对数”是______；把一个绝对数M 的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，把这三个两位数的和记为()P M ，把M 的百位数字的5倍，个位数字的2倍和十位数字的和记为()Q M ．例如：对绝对数145，()14514154574P =++=，()1451552419Q =×+×+=．已知三位数N 是一个“绝对数”，且()()P N Q N −是一个完全平方数，则这个“绝对数”的最大值是______．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上，19．计算：（1）()()()12324a a a a −+−−（2）2221111a a a a a −+ −÷ +− 20．如图，BD 是矩形ABCD 的对角线，BAD ∠的平分线AE 交BD 于点E ．（1）用尺规完成以下基本作图：作BCD ∠的平分线交BD 于点F ；连接,AF CE ．（不写作法和证明，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，求证：四边形AECF 是平行四边形．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）证明： 四边形ABCD 是矩形，,AD BC ∴=①_____．.ADE CBF ∴∠=∠AE 平分,BAD CF ∠平分BCD ∠12DAE BAD ∴∠=∠，12BCF BCD ∠=∠ 四边形ABCD 是矩形，BAD BCD ∴∠=∠．∴②_____．()ADE CBF ASA ∴≅AED CFB ∴∠=∠，③_____．∴④_____．∴四边形AECF 是平行四边形，21．为了更好地关爱学生的用眼健康，某校开展了“健康用眼”知识答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．8085x ≤<，B ．8590x ≤<，C ．9095x ≤<，D ．95100)x ≤≤，下面给出了部分信息： 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图七年级10名学生的竞赛成绩是：98，80，98，86，98，97，91，100，89，83．八年级10名学生的竞赛成绩在C 组中的数据是：94，92，90．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表：年级 平均数 中位数 众数七年级 92 94 c八年级 92 b97 根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a =______，b =______，c =______．（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握用眼健康知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七年级800人、八年级600人参加了此次答题竞赛活动，请估计两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有多少人？22．某中学准备开展植树活动，计划在荒坡上种植A B 、两种树苗共1000株，其中A 树苗的数量比B 树苗的数量的一半多100株．（1）计划种植A B 、两种树苗各多少株；（2）学校将36名青年志愿者分成两队种植这批树苗．其中第一队种植A 树苗，每人每天平均能种植A 树苗25株；第二队种植B 树苗，每人每天平均能种植B 树苗30株．要使两队同时完成任务，第一队应安排多少名青年志愿者？23．如图，在Rt ABC 中，90B ∠=°，6AB =，8BC =，点D 为BC ．上一动点，过点D 作DE AC ⊥于点E ．设CD 的长度为x ，点D E 、的距离为1,y ABC 的周长与CDE 的周长之比为2y ．（1）请直接写出12,y y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数12,y y 的图象；分别写出函数12,y y 的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出12y y >时x 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）24．随着互联网的普及，外卖已成为人们生活中不可或缺的一部分．如图所示，小明在位于点M 的家中购买了位于点C 处某商家的外卖食品，此时骑手在点C 正西方向的点A 处，与点C 的距离为1000米，地图显示，点C 在点M 的南偏西15 方向，点A 在点M 1.41≈ 1.73≈，2.45≈）．（1）求小明家点M 与商家点C 的直线距离；（精确到0.1）（2）骑手在商家点C 处取餐后，有两条路线可供选择：①C A M −−，速度为每分钟240米；②C B M −−，速度为每分钟320米．其中点B 在点C 的正东方向，在点M 的东南方向请你通过计算说明骑手应该选择哪条路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到0.1）25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于()()1,0,3,0A B −两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于点E ，过点P 作PF BC ⊥于点F ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）将该抛物线沿射线CB 方向平移，使得新抛物线经过（2）中PD +取得最大值时的点E ．点Q 为新抛物线上的一个动点，当QEB ACB ∠=∠时，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标，26．如图，四边形ABCD 是平行四边形，BCE 是以BC 为斜边的等腰Rt △，其直角顶点E 恰好在线段AD 上，点F 是线段CE 上一动点，连接BF 和DF ．（1）如图1，若点F 位于CE 的中点，BF =，60A ∠= ，求AE 的长；（2）如图2，若BF AB ⊥，求证：CD DF BF +=；（3）如图3，以BF 为直角边在上方作等腰Rt BFG ，BF BG =，连接GE ，若DE =，CD =，请直接写出BEG ∆周长的最小值，图1 图2 图32024—2025学年度上期高一七校第一次联考数学答案一、选择题：1．A 2．D 3．C 4．B 5．D 6．B 7．D 8．C 9．A 10．D二、填空题：11．1 12．1413．720 14．()2200172x −= 151π2− 16．11 1718．112 617三、解答题：19．（1）2223232893a a a a a a =+−−−+=−原式（2）()()()2111111111111a a a a a a a a a a a +−+−+ =−⋅=⋅=+++−− −原式 20．（1）（2）//AD BC ．②DAE BCF ∠=∠．③AE CF =④//AE CF21．（1）40a =，93b =，98c =．（2）七年级学生知识竞赛成绩较好，理由如下：（一条即可）①七年级被抽取的学生知识竞赛成绩的中位数94大于八年级被抽取的学生知识竞赛成绩的中位数93： ②七年级被抽取的学生知识竞赛成绩的众数98大于八年级被抽取的学生知识竞赛成绩的众数97；（3）()6800600110%20%10×+×−− 480420+900=（人）答：两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有900人．22．（1）设A 树苗种x 株，B 树苗种y 株，由题意得：100011002x y x y +==+解得：400600x y = = 答：计划A 树苗种400株，B 树苗种600株．（2）设第一队应安排m 名青年志愿者，由题意得：()400600253336m m =− 解得：16m =经检验：16m =是原分式方程的解，且符合题意．答：第一队应安排16名青年志愿者．23．（1）()13085y x x =<≤．()21008y x x =<≤ （2）135y x =的图象性质：在08,x y <≤随x 的增大而增大， 210y x=的图象性质：在08,x y <≤随x 的增大而减小； （3）4.18x <≤． 24．（1）过C 作CD AM ⊥于点D由题意得：30DMC ∠= ，45A ∠=在Rt ACD 中，1000AC =米CD AC ∴==（米） 在Rt DCM 中，30DMC ∠=21000 1.411410CM CD ∴==≈×=米答：小明家点M 与商家点C 的直线距离为1410米．（2）过C 作CE BM ⊥于点E由题意得：90DMB ∠= ，45B ∠= ，30MCE =在Rt ACD 中，AD CD ==米在Rt DCM 中，30DMC ∠=DM ∴==C A M ∴−−的距离为：10001000500 1.41500 2.452930AC AD DM +++≈+×+×米 C A M ∴−−所用时间为：293024012.2÷≈分钟在Rt MCE △中，CM =12ME MC ∴==米，CE =在Rt BCE 中，BE CE ==米BC ∴==C A M ∴−−的距离为：BC BE EM ++=++1000 1.73500 2.45500 1.41≈×+×+×3660=米C B M ∴−−所用时间为：366032011.4÷≈分钟12.211.4> ∴走路线C B M −−才能更快地将外卖送到．25．（1）把()()1,0,3,0A B −代入23y ax bx ++得：309330a b a b −+= ++= 解得：12a b =− = ∴抛物线的解析式为：223y x x =−++． （2）设直线BC 的解析式为y kx b =+把()()3,0,0,3B C 代入得：303k b b += = 解得：13k b =− = ∴直线BC 的解析式为3y x =−+设()2,23,P m m m −++则(),3E m m −+ 223PD m m ∴=−++()222333PE m m m m m ==−++−−+=−+2222549233253248PD m m m m m m m ∴+=−++−+=−++=−−+ ∴当54m =时，PD 最大，值为498，此时P 的坐标为563,.416（3）Q 的坐标为15,44 − 、3583,1236． 26．（1）过B 作BH AE ⊥于H F 是CE 的中点1122EF EC BE ∴== 设EF x =，2BE x =()(2222x x + 解得：2x = ∵ABCD 是平行四边形//AD BC ∴4BE ∴=45AEB EBC ∴∠=∠= BH EH ∴===60A ∠= AH ∴==AE AH EH =+=+图1（2）延长BE CD 、交于MBEC 是Rt ∆90MEC BEF ∴∠=∠= ，BE CE =90EBF EFB ∴∠+∠= BF AB ⊥ 90ABE EBF ∴∠+∠= ABE EFB ∴∠=∠ ABCD 是平行四边形//AB CM ∴M ABE ∴∠=∠M EFB ∴∠=∠()BEF CEM AAS ∴≅ BF CM ∴=，EF EM = ABCD 是平行四边形//AD BC ∴45DEF BCE ∴∠=∠=90MEC ∠=45DEF DEM ∴∠=∠= DE DE = ()DEF DEM SAS ∴≅△△DM DF ∴= CD DM CM += CD DF BF ∴+=图2（3）．。
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七校联考 数学试卷满分150分 考试时间120分钟一、填空题（本大题每题4分，满分56分）1. 平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()()1213A B -，，，，则OA AB ⋅=.2. 复数21ii+-的虚部为 . 3. 函数2sin sin 2y x x =-的最小正周期为 .4. 直线210x y -+=关于直线3x =对称的直线方程为 .5. 定义集合运算：{}*|A B z z xy x A y B ==∈∈，，.设{}{}1236A B ==，，，，则集合*A B的所有元素之和为 .6. 从集合{}12345，，，，中任取两数，其乘积不小于10的概率为 .7. 若实数a b m 、、满足25a b m ==，且212a b+=，则m 的值为 . 8. 若对于任意实数x ，都有()()()()2344012342222x a a x a x a x a x =++++++++，则3a 的值为 .9. 设等差数列{}n a 的公差d 为2-，前n 项和为n S ，则22limn n na n S →∞-= . 10. 函数()213arcsin452y x x π=-++的值域为 . 11. 与直线20x y +-=和圆221212700x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程为 .12. 已知S A BC 、、、是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA =，2AB BC ==，则球O 的表面积为 .13. 如果一个正四位数的千位数a 、百位数b 、十位数c 和个位数d 满足关系()()0a b c d --<，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”.那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为 .（直接用数字作答） 14. 某校数学课外小组在坐标纸上，为一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中1111x y ==，，当2k ≥时，1112144412144k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()3.73T =，()0.40T =.按此方案，在第2012棵树的种植点坐标应为 .二、选择题（本大题每题5分，满分20分）15. “||3x >成立”是“()30x x ->成立”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件16. 已知向量a 、b满足||1a = ，||2b = ，a 与b 的夹角为120︒，则|2|a b - 等于（ ）A ．3BC．517. 函数()1y f x =+为定义在R 上的偶函数，且当1x ≥时，()21x f x =-，则下列写法正确的是（ ）A. 132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B.213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C. 231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18. 椭圆22143x y +=上有n 个不同的点12n P P P 、、、()*N n ∈，F 是右焦点，{}n P F 组成公差1100d >的等差数列，则n 的最大值为（ ）A ．99B ．100C ．199D ．200三、解答题（本大题满分74分）19. （本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分） 在△ABC 中，2tan 3A =，1tan 5B =. （1）求角C 的大小；（2）如果△ABC，求最小的边长.20. （本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，15CC =，M 为棱1CC 上一点.（1） 若132C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值； （2） 是否存在这样的点M 使得BM ⊥平面11A B M ？若存在，求出1C M 的长；若不存在，请说明理由.21. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，*124N n n n a S n +=+∈，. （1） 设4n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（2） 若对于一切*N n ∈，都有1n n a a +≥恒成立，求a 的取值范围. 22. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 若函数()f x 定义域为R ，满足对任意12,R x x Î，有()()()1212f x x f x f x+?，则称()f x 为“V 形函数”；若函数()g x 定义域为R ，()g x 恒大于0，且对任意12,R x x Î，有()()()1212lg lg lg g x x g x g x +?，则称()g x 为“对数V 形函数”． （1）当()2f x x =时，判断()f x 是否为V 形函数，并说明理由； （2）当()22g x x =+时，证明：()g x 是对数V 形函数；（3）若()f x 是V 形函数，且满足对任意R x Î，有()2f x ³，问()f x 是否为对数V 形函数？证明你的结论．CBA B 123. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分） 设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>，2C 是以直线20x -=与20x +=为渐近线，以(0为一个焦点的双曲线．（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若1C 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，求p 的取值范围，并求FA FB ×的最大值；（3）若FAB D 的面积S 满足23S FA FB =，求p 的值．七校联考 数学试卷（理科）满分150分 考试时间120分钟一、填空题（本大题每题4分，满分56分）1. 平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()()1213A B -，，，，则OA AB ⋅=.答案：0解析： OA=（1,2），AB = （-2,2）0OA AB ∴⋅=2. 复数21ii+-的虚部为 . 答案：32解析：21i i+-+1313=1222i i i i i +==+- （2）（1+）∴复数21ii+-的虚部为32 3. 函数2sin sin 2y x x =-的最小正周期为 . 答案：π解析: 211sin sin 2cos2sin 222y x x x x =-=-- ∴函数2sin sin 2y x x =-的最小正周期为:π4. 直线210x y -+=关于直线3x =对称的直线方程为 . 答案：270x y +-=解析:设M （x,y ）为所求直线上的任意一点，则其对称点为（6-x,y ） 从而有：6210x y --+=所以直线210x y -+=关于直线3x =对称的直线方程为：270x y +-=5. 定义集合运算：{}*|A B z z xy x A y B ==∈∈，，.设{}{}1236A B ==，，，，则集合*A B的所有元素之和为 . 答案：21 解析:由题*A B ={3,6,12}，故集合*A B 的所有元素之和为216. 从集合{}12345，，，，中任取两数，其乘积不小于10的概率为 .答案：25解析:P=5121422105C ++== 7. 若实数a b m 、、满足25a b m ==，且212a b+=，则m 的值为 .答案：解析:在25a b m ==取对数得：11log 2,log 5m m a b==，0m > 又212a b+= ∴log 202m =220m ∴=m ∴=8. 若对于任意实数x ，都有()()()()2344012342222x a a x a x a x a x =++++++++，则3a 的值为 . 答案：-32解析:由 ()()()()2344012342222x a a x a x a x a x =++++++++结合二项式定理比较系数知：00114433441,20a C a C a C =+⨯=38a ∴=-9. 设等差数列{}n a 的公差d 为2-，前n 项和为n S ，则22limn n na n S →∞-= . 答案： -3解析: 22limnn na n S →∞-=212212112(1)[]1[2(1)]lim lim 3(1)(1)1n n a n a n n n n a n a n n→∞→∞------==-+-++-+10. 函数()213arcsin 452y x x π=-++的值域为 . 答案：[,]22ππ- 解析: ()()222111145[(2)1],4512222x x x x x ++=++≥++≤()21arcsin45622x x ππ∴≤++≤ 22y ππ∴-≤≤11. 与直线20x y +-=和圆221212700x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程为 .答案：22(3)(3=8x y -+-）解析:如图所示：易得：所求的圆的方程为22(3)(3x y -+-）12. 已知S A BC 、、、是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA =，2AB BC ==，则球O 的表面积为 .答案： 9π解析:由题知:,,SAC SAB SBC ∆∆∆均为直角三角形,O SC 是的中点，从而130=,22OB OA SC S OC ====所以球O 的表面积为9π13. 如果一个正四位数的千位数a 、百位数b 、十位数c 和个位数d 满足关系()()0a b c d --<，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”.那ACS么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为 .（直接用数字作答） 答案：3645解析: 构成“彩虹四位数”可以分为两类：一类是a b >且c<d ，此时共可得到4545⨯个“彩虹四位数”；一类是a b <且c>d ，此时共可得到3645⨯个“彩虹四位数”（首位不能为0） 据加法原理得：正四位数中“彩虹四位数”的个数为364514. 某校数学课外小组在坐标纸上，为一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中1111x y ==，，当2k ≥时，1112144412144k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()3.73T =，()0.40T =.按此方案，在第2012棵树的种植点坐标应为 .答案： 4,2514（）解析:由题知：21101444x x T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=32211444x x T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=43321444x x T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=1121444k k k k x x T T -⎡⎤--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=将上式叠加得：110444k k x x T T ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=k-11244k k k x k T -⎛⎫∴≥=-⎪⎝⎭当时， 20122012k x ∴==当时， 4 同理可得：201220122514k ∴==当时，y ，∴第2012棵树的种植点坐标应为：4,2514（）注:（1）此题还可以用列举法写出一些项，观察归纳得出周期，利用周期性求解 （2）利用5的剩余类，分类获解二、选择题（本大题每题5分，满分20分）15. “||3x >成立”是“()30x x ->成立”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件 答案： A解析: ||3x >33x x ⇔><-或，而()3030x x x x ->⇔><或 故“||3x >成立”是“()30x x ->成立”的充分非必要条件，所以选A16. 已知向量a 、b满足||1a = ，||2b = ，a 与b 的夹角为120︒，则|2|a b - 等于（ ）A ．3BC．5答案：C解析:|2|a b -=== C 17. 函数()1y f x =+为定义在R 上的偶函数，且当1x ≥时，()21x f x =-，则下列写法正确的是（ ）A. 132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B.213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C. 231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案： C解析:(1)f x + 函数y=为偶函数()1y f x x ∴==关于对称 ()y f x ∴=函数的图像如图所示：结合图像易知：2311()3223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，即231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选C 18. 椭圆22143x y +=上有n 个不同的点12n P P P 、、、()*N n ∈，F 是右焦点，{}n P F 组成公差1100d >的等差数列，则n 的最大值为（ ） A ．99 B ．100 C ．199 D ．200答案：D 解析:1||||,(21n P F PF d n n -=≥-），因为1100d >，所以1||||1,(21100n P F PF n n ->≥-），进而有：1100(||||)1,(2n n P F P F n <-+≥），若使n 的值最大，只需1100(||||)1,(2n P F PF n -+≥）最大，即使1||||n P F PF -最大，而1max (||||)312n P F PF -=-=，201n ∴<，∴n 的最大值为200，故选D 三、解答题（本大题满分74分）19. （本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分） 在△ABC 中，2tan 3A =，1tan 5B =. （1）求角C 的大小；（2）如果△ABC，求最小的边长.解：（1）21tan tan 35tan tan()1211tan tan 135A B C A B A B ++=-+=-=-=---⨯ 又0C π<<34C π∴=(2)由已知和（1）知：c b =为最小边长1tan 5B =∴sin 26B =sin 1sin c Bb C∴== ∴最小的边长为120. （本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，15CC =，M 为棱1CC 上一点.（1）若132C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值； （2）是否存在这样的点M 使得BM ⊥平面11A B M ？若存在，求出1C M 的长；若不存在，请说明理由.解：（1）过点M 做11MN C D 交1DD 于N,并连接1A N ,则1A MN ∠ 是异面直线1A M 和11C D 所成角由题可得：在1Rt A MN ∆中，1AB =,152A N ==115tan 2A N A MN MN ∴∠== ∴当132C M =时，异面直线1A M 和11CD 所成角的正切值为52（2）假设存在点M 使得BM ⊥平面11A B M ，并设1C M x = 则有111Rt BMB Rt B C M ∆∆1111C M B MB M BB ∴=245x x ∴+= 41x x ∴==或所以，当11C M =或4时，使得BM ⊥平面11A B M 21. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，*124N n n n a S n +=+∈，. （3） 设4n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（4） 若对于一切*N n ∈，都有1n n a a +≥恒成立，求a 的取值范围.解:(1) *124n n n a S n +=+∈N ，n+1n 24n n S S S ∴-=+ 11n+1n 4344n n n S S ++∴-=+-()1n+1n 434n n S S +∴-=-CBA B 1又1a a =144S a ∴-=-当4a ≠时，数列{}n b 为以4a -为首项，以3为公比的等比数列，所以数列{}n b 的通项公式为：1(4)3n n b a -=- 当4a =时，0n b =也满足上式∴数列{}n b 的通项公式为：1(4)3n n b a -=-（2）由（1）知： 11n 1n 4(4)34,242(4)334n n n n n n n n S b a a S a --+=+=-+=+=-+211211222max 22(4)334,2(4)3342(4)33444449(),49()49()5333n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a -----+---≥=-+≥∴-+≥-+⎧⎫⎛⎫≥-∙-∙∴-∙=-⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭ 当时，即是递减数列，5a ∴≥-2112424,4n a a a a a ==+=+≥∴≥-当时，综上可知：a 的取值范围为:[4,+)-∞22. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 若函数()f x 定义域为R ，满足对任意12,R x x Î，有()()()1212f x x f x f x+?，则称()f x 为“V 形函数”；若函数()g x 定义域为R ，()g x 恒大于0，且对任意12,R x x Î，有()()()1212lg lg lg g x x g x g x +?，则称()g x 为“对数V 形函数”． （1）当()2f x x =时，判断()f x 是否为V 形函数，并说明理由； （2）当()22g x x =+时，证明：()g x 是对数V 形函数；（3）若()f x 是V 形函数，且满足对任意R x Î，有()2f x ³，问()f x 是否为对数V 形函数？证明你的结论．解：（1）121212()[()()]2f x x f x f x x x +-+=∴不满足对任意12,R x x Î，有()()()1212f x x f x f x +?∴当()2f x x =时，()f x 不是“ V 形函数”(2) ()22g x x =+的定义域为R ,且()22g x x =+>0212[()2]x x ++-2212+2+2x x （）（）=22212121---10x x x x --<（）22212121212lg[()[lg ()lg ()]lg[()2]lg[+2+2g x x g x g x x x x x ∴+-+=++- （）（）]0<∴对任意12,R x x Î，有()()()1212lg lg lg g x x g x g x +? ∴()g x 是对数V 形函数（3）()f x 为对数V 形函数1212121212121212lg[()][lg ()lg ()]lg[()]lg[()()]lg[()()]lg[()()]()()lg()()f x x f x f x f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x +-+=+-≤+-+=证明：,()2x R f x ∀∈≥ 都有12()+()f x f x ∴≥1212()()lglg10()()f x f x f x f x +∴≤≤=1212lg[()][lg ()lg ()]0f x x f x f x ∴+-+≤ 1212lg[()][lg ()lg ()]f x x f x f x ∴+≤+∴()f x 为对数V 形函数23. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分） 设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>，2C 是以直线20x -=与20x +=为渐近线，以(0为一个焦点的双曲线．（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若1C 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B，求p 的取值范围，并求FA FB ×的最大值；（3）若FAB D 的面积S 满足23S FA FB =，求p 的值． 解：（1）设双曲线2C 的标准方程为：22221y x a b -=则据题得：a bc ⎧=⎪⎨⎪=⎩又222a b c +=2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩∴双曲线2C 的标准方程为：22143y x -=（2）将22(0)y px p =>代入到22143y x -=中并整理得：22360x px -+= 设11221212(,),(,)0,0,0,0A x y B x y x x y y >>>>其中则21212(3)42603023p p x x x x ⎧∆=--⨯⨯>⎪⎪+=>⎨⎪=⎪⎩p ∴>又(,0)2pF 1212-)-+y 22p p FA FB x x y ∴= （（）21212()224p p x x x x =-+++22113(9922p p =-++=--+≤ ∴当且仅当p =FA FB ×的最大值为9（3）221cos sin 332S FA FBFA FB AFB FA FB AFB=?鬃?鬃 43tan ,cos 35AFB AFB ∴∠=∠=1212123,3,22px x x x y y +====()2121212222cos ()()()22242(3)3cos 52311120,)FA FB FA FBFA FB AFB p p p p FA FB x x x x x x p AFB p p p p ⋅⋅⋅∠===⋅+⋅++++-++∴∠==+∴--=∴== 舍，。