中值定理与导数习题
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
微分中值定理与导数的应用习题
第四章 微分中值定理与导数的应用习题§4.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2f π=， 故 )(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式 （１）当π<<x 0时，x xx cos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xx cos sin >． （２）当 0>>b a 时，bb a b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而 b b a b a a b a -<<-ln ．。
极限、导数、中值定理
x→ x
x→
x→+ x→−
x→+ x→−
解：笛卡尔曲线 x3
+
y3
− 3axy
=
0
的参数方程为
x
y
= 3at 1+ t3
= 3at 2 1+ t3
，
k
= lim
f (x)
= lim
3at 2
1+ t3
= lim t
= −1，
x→ x
t→−11 + t 3 3at t→−1
b
=
lim[
x→
f
(x) −
从而由介值定理知，至少有一点1 [1,2 ] (−1,1) ，使得
f
(1)
=
1[ 2
f
(1) +
f
(2 )] = 3 .
再 由 最 值 定 理 知 ， 至 少 有 一 点 [1,2 ] (−1,1) 使 得 f (x) 在 x = 处 取 得
则
f
(
x)
=
−1+ a − b
ax2
2 + bx,
, x = −1 ，显然 −1 x 1
f
(x) 在
(−
，
− 1)
(− 1，
1)
(1，
+
)上连
x, x 1
续，
故 f (x) 在 (− , + )上连续，只需要求在 x = 1， x = −1处连续，
而 lim f (x) = lim x = 1 ， lim f (x) = lim ax2 + bx = a + b ，知 a + b = 1①；
3微分中值定理与导数的应用习题
第三章微分中值定理与导数的应用1 •函数y =x2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕=2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕=3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕=4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕=5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。
T 6」6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。
7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。
L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。
9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y⑶当a汕＞«¥＜"¥10.用洛必达法则求下列极限:X _x⑵ lim e ~eT sin XIn R +丄］⑷ li%__¥—鈕 1arcta n —x⑸1x m1x1.1 -x1⑹ lim (cot X -一) T x(7)lim (cos X)⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .XIn (1 +x)⑴lim T X⑶ lim 沁—sina X T x-asin X — xcosx2~；x sinx11. 确定下列函数的单调区间。
⑷ y =1 n(x +J 1 + x 212. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间:⑷ y = In(x 2+1 )13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式:(11)lim(1-x)ta n 便'(2丿(12)tanx⑽ lim — - x -^l x「1 2 、—2x~e-1丿⑴ y = 2x 3-6x 2-18x -7⑵ y = 2x +8(X A O )x=x 3 -5x 2+3x +5/ \ -x⑵ y = xe= (x +1y +e x⑴当1 ,_______ x>0 时，1+ —x》u1+x2⑵当x>0 时，1+xl n(x+j1+x2)> J1 +x2⑶当兀 1 3 0cx£ —时，tanx〉x + -x2 314.列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。
高等数学微分中值定理与导数应用习题
微分中值定理与导数应用一、选择题1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【 】 A. π B. 2π C. 3πD. 4π2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】A. x lnB.x ln ln C.xln 1 D.)2ln(x -3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【 】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 6. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 8. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 10.函数256, y x x =-+在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 52D. 2 11.函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 212.函数y =在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 2 13.方程410x x --=至少有一个根的区间是【 】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2) 14.函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【 】A. 0B. 12-C. 1D.1215.已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【 】 A.± B. C. D. 13±16.设273+=x y ，那么在区间)3,(-∞和),1(+∞内分别为【 】 A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小 C.单调减小，单调增加 D.单调减小，单调减小二、填空题1. 曲线53)(23+-=x x x f 的拐点为_____________.2. 曲线x xe x f 2)(=的凹区间为_____________。
第03章微分中值定理与导数的应用习题详解
M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。
可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。
—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。
可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。
「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。
微分中值定理与导数的应用习题课(一)
【例3】设 f ( x)在[0, a]上连续, 在 (0, a)内可导, 且 f (a) 0 . 证明存在一点 (0, a), 使 f ( ) f ( ) 0. 分析 从结论 f ( ) f ( ) 0 看等价于方程 x f ( x) f ( x) 0 有实根，但若利用零点定理，无法验证 f (0) f (a) 0，所以
证明: 设 F ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x, 易知多项式函数F ( x)在[0, x0 ] 上连续且可导，由题设
F ( x0 ) 0 F (0).
由罗尔定理，存在 (0, x0 ), 使 F ( ) 0, 即 a0n n1 a1 (n 1) n2 an1 0, 这说明 就是方程 a0nx n1 a1 (n 1) x n2 an1 0 的一个小于 x 0的正根.
2
x 1)
分析 证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：
如果函数 f ( x)在区间 I上的导数恒为零，那么 f ( x)在区间 I上是一个常数.
证明：设 f ( x) arcsin x arccos x,(1 x 1)
因 f ( x) 1 1 0,(1 x 1) 1 x2 1 x2
试证在(a,
b)内至少存在一点 ,
使 f (b)
f (a)
f ( ) ln b
a
成立.
分析
将所证等式变形为
f (b)
f (a)
f ( ) 或
ln b ln a 1
f (b) f (a) ln b ln a
f ( x)
ln x
,
x
可见，应对 f ( x)与 ln
x 在[a,
b]上应用
ln b ln a 1
微分中值定理及导数应用双周练习卷
lim arctan( x a) arctan x
x
x 2
(0) 0
lim x
1
(
1 x
a
)2
2 x3
1
1 x
2
1 lim
2 x
x3 (2ax a2 ) (1 x2 )[1 ( x a)2 ]
()
1 2a
2
a
1
13、lim x0
tan x
x
x2
lim x0
1
e x2
tan x ln x
1
8 x3
由f ( x) 0,得 x 2
f (1) 1,
f (2) 1,
f (4) 1 4
最大值是 f (2) 1； 最小值是 f (1) 1
17、证明：arctan b arctan a b a .
证：设f ( x) arctan x，(不妨设b a) f ( x) C[a,b]， f ( x) D(a,b)
x
x
二、填空题(每题3分，共15分)
6、曲线y
4x 1 ( x 2)2
的渐近线是
y 0,
x 2.
解：
lim 4x 1 x ( x 2)2
0
y 0是水平渐近线
又
4x 1
lim
x 2
(
x
2)2
x 2是垂直渐近线
7、函数f ( x) 1 x 在[1, 2]上满足拉格朗日中 x
定理的 = 2 .
解： f ( ) f (2) f (1)
21
1
2
1 2
得 2 (舍负)
8、函数f ( x) x 2sin x在区间[0, ]上的
2
专升本高等数学(二)-导数的应用、中值定理及其应用
专升本高等数学(二)-导数的应用、中值定理及其应用(总分：94.53，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：5，分数：5.00)1.在下列函数中，以x=0为极值点的函数是______．∙ A.y=-x3∙ B.y=cosx∙ C.y=tanx-x∙ D.y=arcsinx-x（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：2.下列命题正确的是______．∙ A.在(a，b)内，f'(x)＞0是y=f(x)在(a，b)内为增函数的充分条件∙ B.可导函数的驻点一定是极值点∙ C.连续函数在[a，b]上的极大值必大于极小值∙ D.函数y=f(x)的极值点一定是此函数的驻点（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：3.已知y=f(x)在x0处有极大值，下列结论正确的是______．∙ A.f'(x0)=0，且f"(x0)＜0∙ B.f'(x0)=0，或f'(x0)不存在∙ C.f'(x0)=0∙ D.f"(x0)＜0（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：4.下列命题正确的是______．∙ A.若(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，则f"(x0)=0∙ B.若f"(x0)=0，则(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点∙ C.若f"(x0)=0，或f"(x0)不存在，则(x0，f(x0))可能为曲线y=f(x)的拐点∙ D.以上命题都不对（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：5.已知(0，1)是曲线y=ax3+bx+1上的拐点，则a，b的值是______．∙ A.a=1，b=-3∙ B.a≠0，b∈R∙ C.a=1，b=0∙ D.a∈R，b∈R（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：2，分数：2.00)6.曲线f(x)=x3-2x在点x=1的切线方程是 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=x-2．）解析：7.曲线y=x3-3x2-x的拐点坐标为 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：(1，-1)．）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：3，分数：87.50)证明下列等式或不等式．（分数：22.50）2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明一个函数是常数函数，分为两步：第一步先证其为常数，即证其导为0；第二步，再用特殊点求常数．设y=arcsinx+arccosx，由于[*]，得知函数y为常数函数．取x=0，得y=arcsin 0+arccos 0=[*]，所以 arcsinx+arccosx=[*])解析：＞1)．（分数：2.50）正确答案：(设[*]，由于[*]，在x＞1时恒有y'＞0，所以函数[*]在x＞1上是单调递增的函数．而y(1)=0，从而y(x)＞y(1)=0，即lnx-[*]，也即 [*])解析：(3).[0，3]上的最大值和最小值．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因为[*]，令y'=0，得驻点x=1，不可导点x=0，x=2．由于y(0)=0，y(2)=0，y(3)=[*]，所以最大值为y(3)=[*]，最小值为y(0)=0，y(2)=0．)解析：(4). 2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(为方便求导，把函数改写成指数对数形式：[*]，由于 [*] 令y'=0，得x=e．当x＜e时，y'＞0；当x＞e时，y'＜0．说明函数在x=e处取得极大值，且[*]．)解析：(5).求曲线y=ax3+bx2+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(求曲线y=ax3+bx2+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点．由y'=3ax2+2bx+C一0及已知得知：3a(-2)2+2b(-2)+c=0，44=a(-2)3+b(-2)2+c(-2)+d．由y"=6ax+2b=0及已知得知：6a+2b=0，-10=a+b+c+d．联立解得：[*])解析：(6). 2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(描绘函数[*]的图形．(1)函数y=f(x)定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)．x=-1为间断点．[*](2)f'(x)=0的根为x=1；f"(x)=0的根为x=2．点x=1和x=2把定义域划分成四个区间：(-∞，-1)，(-1，1]，[1，2]，[2，+∞)．(3)在各部分区间内f'(x)，f"(x)的符号、相应曲线弧的升降及凹凸，以及极值点和拐点等如下表所示．x (-∞，-1) (-1，1) 1 (1，2) 2 (2，+∞)f'(x) - + 0 - - -f"(x) - - - - 0 +f(x) [*] [*] 极大值点[*] 拐点[*](4)由于[*]．所以图形有一条水平渐近线y=2和一条铅直渐近线x=-1．(5)补充几个点，如算出x=1，x=2处的函数值．[*]从而得图形上的两个点[*]．又由于f(0)=2，[*]，f(-2)=-4，f(-4)=[*]，从而得图形上的4个点．M3(0，2)，[*]，M5(-2，-4)，[*]函数[*]的图形如下图所示．[*])解析：(7).欲用围墙围成面积为216m2的一块巨型的地，并在正中间用一堵墙将其隔成两块．问这块土地的长和宽选取多大尺寸时，才能使所用建筑材料最省?（分数：2.50）正确答案：(设s为围墙总长，长为x，宽为y．则x·y=216所以[*]．因为s=2x+3y=2x+[*]，所以令[*]，得x=18(为x=-18舍去)．且x=18是函数的唯一驻点．由结论知x=18是极小值点，也是最小值点．所以当x=18m，[*]时，所用材料最省．)解析：(8).y=x的交点处的切线方程．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由[*]得交点(1，1)．再由[*]，得切线方程为 [*])解析：(9). 2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(定义域为x≠-1．由[*]，得x=0，x=-2．列表讨论(见下表)．x (-∞，-2) (-2.-1) (-1，0) (0，+∞)f'(x) + - - +f(x) [*] [*] [*] [*]所以函数的单调递增区间为(-∞，-2)和(0，+∞)；单调递减区间为(-2，-1)和(-1，0)．)解析：求下列函数的极值．（分数：35.00）(1).y=e x cosx（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y'=e x cosx-e x sinx=e x(cosx-sinx)，令y'=0得x=kπ+[*]．又y"=-2e x sinx，当[*]时，[*]，函数有极大值[*]当[*]时，[*]，函数有极小值[*])解析：2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]，令f'(x)=0，得驻点x=1，不可导点x=0．列表讨论(见下表)．x (-∞，0) 0 (0，1) 1 (1，+∞)f’(z)+ - 0 +l厂(z) [*] 极大值点[*] 极小值点[*]故极大值f(0)=0，极小值[*]．)解析：(3).试证明：如果函数y=ax3+bx2+cx+d满足条件b2-3ac＜0，那么这个函数没有极值．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明：因y'=3ax2+2bx+c，要使可导函数没有极值，必使y'=0恒不成立．即使3ax2+2bx+c=0没有实数解，从而必须使一元二次方程的判别式Δ=(26)2-4·3ac＜0即b2-3ac＜0．) 解析：(4).试问a为何值时，函数f(x)=asinx+sin3x?它是极大值还是极小值?并求此极值．（分数：2.50）正确答案：(f'(x)=acosx+cos3x，当[*]时，f'(x)=0，得acos[*]+cosπ=0，从而a=2．又f"(x)=-asinx-3sin3x，[*]，所以有极大值[*][*])解析：(5).问函数y=x2＜0)在何处取得最小值?并求出最小值．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________正确答案：([*]，令y'=0得x=-3．又[*]．所以在x=-3时y有最小值，其值为27．)解析：(6).求函数-3，3]的最大值和最小值．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________正确答案：(由[*]得驻点x=-2，不可导点x=-5，x=1．而f(-3)=4，f(-2)=[*]，f(1)=0，f(3)=[*]．所以最大值是f(3)=[*]，最小值是f(1)=0．)解析：(7).求函数y=x2e-x的凹凸区间和拐点．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________正确答案：(因为y'=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2)y"=e-x(2x-x2)+e-x(2-2x)=e-x(x2-4x+2)令y"=0解得[*]．易判定[*]都是拐点．凹区间是(-∞，2-[*])∪(2+[*]，+∞)，凸区间是(2-[*]，2+[*])．)解析：(8).描绘函数y=e-x2的图形．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________正确答案：(对于[*](1)定义域为R．(2)易知其为偶函数，图像关于y轴对称，且有y'=-2xe-x2，y"=(4x2-2)e-x2令y'=0，得x1=0；令y"=0，得[*]．因此没有使y'，y"不存在的点．(3)讨论函数的性质，如下表所示．x [*] [*] [*] 0 [*] [*] [*]f'(x) + + + 0 - - -f"(x) + 0 - - - 0 +f(x) [*] 拐点[*] 极大值点[*] 拐点[*]可见，有两个拐点[*]≈(-0.7，0.6)，[*]≈(0.7，0.6)．一个极大值点(0，1)．(4)因[*]，所以有水平渐近线y=0．)解析：(9). 2.50）__________________________________________________________________________________________正确答案：([*])解析：(10).某工厂每天生产x支产品的总成本为元)．该产品独家经营，市场需求规律为x=75-3P，其中P为每支售价，问每天生产多少支时获利润最大?此时的每支售价为多少?（分数：2.50）正确答案：(设利润为L(x)，[*]，则L(x)=px-C(x)=[*]x2+32x-75求导得L'(x)=[*]+32，令L'(x)=0，得[*]+32=0，x=36，从而[*]．又L"(x)=[*]＜0，所以当每天生产36支时，获利润最大，此时每支售价为13元．)解析：(11).设计一个容积为Vm3的圆柱形无盖容器，已知每平方米侧面材料的价格是底面材料价格的1.5倍，问容器的底半径r与高h为多少时，材料总造价y最小?（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________正确答案：(在不影响问题解答的前提下，不妨设底面材料价格为1个单位．则y=πr2+2πrh·1.5由于V=πr2h，得[*]，代入上式得y=πr2+[*]．求导得y'=2πr-[*]，令y'=0，解得3V=2πr3．联立V=πr2h。
《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)
第四章微分中值定理和导数的应用[单选题]1、曲线的渐近线为（）。
A、仅有铅直渐近线B、仅有水平渐近线C、既有水平渐近线又有铅直渐近线D、无渐近线【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察渐近线计算.因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。
[单选题]2、在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（）A、4B、2C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题]3、，则待定型的类型是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题]4、下列极限不能使用洛必达法则的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.[单选题]5、在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）.A、1B、2C、eD、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察中值定理的应用。
[单选题]6、如果在内，且在连续，则在上（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b).[单选题]7、的单调增加区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题]8、（）.A、-1B、0C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、设，则（）.A、是的最大值或最小值B、是的极值C、不是的极值D、可能是的极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D. [单选题]10、的凹区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】若求凹区间则就是求的区间，即6x+6>0，即x>-1.[单选题]11、的水平渐近线是（）.A、x=1，x=-2B、x=-1C、y=2D、y=-1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.[单选题]12、设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为，则P=4时的边际需求为（）.A、-8B、7C、8D、-7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，当P=4时，Q=-8.[单选题]13、设某商品的需求函数为，其中表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由弹性定义可知，[单选题]14、设函数在a处可导，，则（）.A、B、5C、2D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】因为f(x)可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.所以[单选题]15、已知函数（其中a为常数）在点处取得极值，则a=（）.A、1B、2C、0D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在点处取得极值，[单选题]16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？（）.A、9.5B、9C、8.5D、7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】设销量为Q，则Q=120+20(10-P)·2=520-40P利润此时即取得最大值.[单选题]17、若在（a,b）上，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（）A、增加且凹的B、减少且凹的C、增加且凸的D、减少且凸的【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、求极限=（）.A、2B、C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数在区间上的极大值点=（）.A、0B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】令，当时，当时，当时，函数有极大值.[单选题]20、设某商品的供给函数为，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、某产品产量为q时总成本C(q)=1100+，则q=1200时的边际成本为() A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，q=1200时的边际成本为2.[单选题]22、已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=()A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】，得到a=1.[单选题]23、极限=()A、-B、0C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，.[单选题]24、曲线y＝x3的拐点为（）．A、（0，0）B、（0，1）C、（1，0）D、（1，1）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．参见教材P108～109．（2015年4月真题）[单选题]25、曲线的水平渐近线为（）．A、y＝0B、y＝1C、y＝2D、y＝3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题因为，所以直线y＝1为曲线的水平渐近线．参见教材P110～111．（2015年4月真题）[单选题]26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（）．A、（－∞，－1）B、（－1，1）C、（1，＋∞）D、（－∞，＋∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】y＇＝3x2－3y＇＝0时，x＝±1．在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．因此选B．参见教材P100～101．（2015年4月真题）[单选题]27、已知函数（其中a为常数）在处取得极值，则a＝（）．A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】∵在处，取得极值点，∴参见教材P102～104。
第三章 微分中值定理和导数的应用习题66道
第三章 微分中值定理和导数的应用3．1 验证罗尔定理对函数21x y -=在区间]1,1[-上的正确性。
3．2 验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。
3．3 不用求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明0)(/=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。
3．4 试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
3．5 验证担格朗日定理对于函数x x f arctan )(=在区间[0，1]上的正确性。
3．6 对函数3)(x x f =及1)(2+=x x g 在区间[1，2]上验证柯西中值定理的正确性。
3．7 对函数x x f sin )(=，x x g cos )(=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π验证柯西中值定理的正确性。
3．8 对函数2)(x x f =，x x g =)(在区间[1，4]上验证柯西中值定理的正确性。
3．9 试证当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，|tan |||x x ≤（等号只有在0=x 时成立）。
3．10 证明下列不等式：（1）b a b a -≤-arctan arctan ；（2）y x y x -≤-sin sin ；（3）)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- （y x n >>,1）；（4）如果20παβ<≤<，试证：αβαβαββα22cos tan tan cos -≤-≤-； （5）设0>n ，试证：1111arctan 1arctan 1)1(122+<+-<++n n n n 。
3．11 试证：21arctan arcsin xx x -= （11<<-x ）。
3．12 若k x f =)(/，k 为常数，试证：b kx x f +=)(。
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)
>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。
【2019年整理】中值定理-XT
(a,b)使F( ) 0
F() [ f (x)g( x) f ( x)g( x)]x 0
例5 设 f ( x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1)内可导,且 f (0) 0, f (1) 1,试证 : 对任意给定的正数 a,b
注意到 f (0) f (1), 则有
f
( x0 )
1 2
f
(1 ) x02
1 2
f
(2 )(1
x0 )2
f ( x) 1,
f
(
x0 )
1 2
x02
1 (1 2
x0 )2
(
x0
1)2 2
1 4
又由 x0 [0,1] 知,
x0
1 2
1, 2
于是有
f
(
x0
)
1 2
由 x0 的任意性,可知命题成立.
f ( ) f (0) ( 0) f ( ), (0, )
(1)
f (1) f ( ) (1 ) f (), ( ,1)
(2)
注意到 f (0) 0, f (1) 1, 由 , 有
a
b
f ( ) f ( )
ab
f ( )
(3) 1 1 f ( ) a b f () f ( )
于是 1[ f ( x) f ( y)] f ( x y)
2
2
即 1[ x ln x y ln y] x y ln x y ,
2
2
2
即 x ln x y ln y ( x y)ln x y . 2
例10 设f (x)在x0的邻域内有直到n 1阶的导数,且 f (x0 ) f (x0 ) f (n1) (x0 ) 0, f (n) (x0 ) 0. 证明: n为偶数时, f (x0 )是极值; n为奇数时, f (x0 )不是极值.
中值定理练习题
中值定理练习题一、基本概念题1. 判断下列命题是否正确，并说明理由：若函数f(x)在[a, b]上连续，则在(a, b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)。
若函数f(x)在[a, b]上可导，且f'(x) = 0，则f(x)在[a, b]上恒为常数。
2. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)。
3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) =f(b)，证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = 0。
二、应用题1. 利用罗尔定理证明下列等式：sinπ = sin2πe^a = e^b，其中a = b2. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) = 0，f(b) = 1。
证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = 1/(b a)。
3. 设函数f(x)在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且f(0) = 0，f(1) = 1。
证明至少存在一点ξ∈(0, 1)，使得f'(ξ) = 1。
三、综合题1. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) =f(b)。
证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = f'(η)，其中η∈(a, b)。
证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)。
3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x) ≤ 0。
证明至少存在一点ξ∈[a, b]，使得f(ξ) = (f(b) f(a))/(ba)。
四、拓展题1. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x) ≠ 0。
第四章 中值定理与导数的应用习题
第四章 中值定理与导数的应用一、填空题1、函数4)(x x f =在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则ξ=_______.2、设)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，方程0)(='x f 有____个根，它们分别在区间_________上3.如果函数)(x f 在区间I 上的导数__________，那么)(x f 在区间I 上是一个常数.4、xx y 82+=(0>x )在区间_____单调减少，在区间_____单调增加. 5、.曲线)1ln(2x y +=在区间_____上是凸的,在区间_____上是凹的,拐点为_____6、若)(x f 在[a,b]上连续、在(a,b)内二阶可导且 _____ ，则)(x f 在[a,b]上的曲线是凹的.7、若()bx ax x x f ++=35在x = 1时有极值56，则a = ，b = . 8、()x f 二阶可导，()0x f '' = 0是曲线()x f y =上点_____为拐点的 条件.9、函数y=sinx-cosx 在区间(0,2π)内的极大值点是_____,极小值点是_____.10、函数2x y e -=的单调递增区间为_____，最大值为11、设函数()x f 在点0x 处具有导数，且在0x 处取得极值，则该函数在0x 处的导数()='0x f 。
12、()x x f ln =在[1，e ]上满足拉格朗日定理条件，则在（1，e ）内存在一点=ξ ，使()()11=-⋅'e f ξ13、若()x f 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且()00=f ，()11=f ，由拉格朗日定理，必存在点∈ξ（0，1），使()()='⋅ξξf e f .14、()()()()321---=x x x x x f ，则方程()0='x f ，有 个实根。
专升本高等数学第三章 中值定理与导数的应用练习题
第三章 中值定理与导数的应用1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( )A ．18+=x yB ．142+=x yC ．21x y =D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,03．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( )A ．没有实根,B ．有且仅有一个实根,C ．有两个相异的实根,D ．有五个实根.4．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ．一个极值点. 5．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( )A ．17B ．11C ．10D ．96．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( )A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θB ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ.7．求极限x xx x sin 1sin lim 20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为x x 1lim 0→不存在，所以上述极限不存在C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x xxD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在8．设函数212x xy +=，在 ( )A ．()+∞∞-,单调增加B ．()+∞∞-,单调减少C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加9．曲线xe y x+=1 ( ) A ．有一个拐点 B ．有二个拐点 C ．有三个拐点 D ． 无拐点10．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( )A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D ． 只有水平渐近线11．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 () A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值12．求()201ln lim x x x x +-→13．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 014．求x xx 3cos sin 21lim 6-→π15．求()xx x 1201lim +→16．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。
微积分中值定理习题
1第三章 中值定理与导数的应用§1 中值定理一、 证明：当1>x 时，x e e x ⋅>。
二、证明方程015=-+x x 只有一个正根。
三、设)()(x g x f 、在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明在),(b a 内有一点ξ，使得 )()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-= 四、证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式)()(x f x f ='，且1)0(=f ，则x e x f =)(。
五、设函数)(x f y =在0=x 的某邻域内具有n 阶导数，且 )0()0()0()1(-=='=n f f f ， 试用柯西中值定理证明：10 !)()()(<<=θθ，n x f xx f n n §2 洛必达法则一、 求下列极限（1）2031)cos(sinlim xx x -→= （2）xx x x 30sin arcsin lim -→= （3）x x x 21sin 1)1cos(ln lim π--→= （4）x x x x 21cot ])1[ln( lim π--+→= （5）21)arcsin ( lim 0x xx x →= （6）x cb ac b a x x x x 1)( lim 1110+++++++→，其中0≠++c b a 。
§3 泰勒公式一、 求函数x x f tan )(=的二阶麦克劳林公式。
二、 求函数x xe x f =)(的n 阶麦克劳林公式。
、当40=x 时，求函数x y =的三阶泰勒公式。
三、 当10=x 时，求函数x x x f ln )(2=的n 阶泰勒公式。
2§4 函数单调性的判定法一、 确定下列函数的单调区间：（1）x x y ln 22-=；（2）)0())(2(32>--=a x a a x y ，二、证明：当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++；三、设在],[b a 上0)(>''x f ，证明函数a x a f x f x --=)()()(ϕ在],(b a 上是单调增加的。
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习题3一、填空题1．设，则有_________个根，它们分别位于_ _______区间；2．函数在上满足拉格朗日定理条件的；３．函数与在区间上满足柯西定理条件的；4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的；５．；6．；7．;8．函数的单调减区间是；9．设在可导，则是在点处取得极值的条件；10．函数在及取得极值，则；11. 函数的极小值是;12．函数的单调增区间为；13. 函数的极小值点是；14. 函数在上的最大值为，最小值为；14. 函数在的最小值为;15. 设点是曲线的拐点,则;16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为;17. 曲线的上凹区间为;18. 曲线的拐点为;19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点处的切线平行于轴,那么函数的表达式是;20. 曲线的拐点为;21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是;22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为;23. 曲线在的曲率;24. 曲线的曲率计算公式为;25. 抛物线在顶点处的曲率为;二. 单项选择题1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在内可导,且是在内至少存在一点,使得成立的( ).必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要2. 函数，则（）.在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立；在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立；3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且,,则必有( ).; ;4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ).; ; ;5. 函数,它在内( ).不满足拉格朗日中值定理的条件;满足拉格朗日中值定理的条件,且;满足中值定理的条件,但无法求出的表达式;不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论.6. 若在开区间内可导,且是内任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ).;7. 设是内的可导函数,是内的任意两点,则( ) .在之间恰有一个,使得在之间至少存在一点,使得对于与之间的任一点,均有8. 若在开区间内可导,且对内任意两点恒有,则必有( ).(常数)9. 已知函数,则方程有( ).分别位于区间内的三个根;四个根,它们分别为;四个根,分别位于分别位于区间内的三个根;10. 若为可导函数,为开区间内一定点,而且有,则在闭区间上必总有( ).11. 若,则方程( ).无实根有唯一实根有三个实根有重实根12. 若在区间上二次可微,且(),则方程在上( ).没有实根有重实根有无穷多实根有且仅有一个实根13. 求极限时,下列各种方法正确的是( ).用洛必达法则后,求得极限为0;因为不存在,所以上述极限不存在;原式=因为不能用洛必达法则,故极限不存在;14. 设为未定型, 则存在是也存在的( ).必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要条件15. 若与可导,, 且,则( ).必有存在,且必有存在,且如果存在,且如果存在,不一定有16. 函数在( ).单调增加单调减少单调增加,其余区间单调减少单调减少,其余区间单调增加17. 已知在上连续,在内可导,且当时,有,又,则( ).在上单调增加, 且;在上单调增加, 且;在上单调减少, 且;在上单调增加, 但正负符号无法确定.18. 当时,有不等式( )成立.当时,当时当时,当时19. 函数的图形,在( ).处处是凸的; 处处是凹的;为凸的,在为凹的为凹的,在为凸的. 20. 若在区间内,函数的一阶导数,二阶导数,则函数在此区间内是( ).单调减少,曲线上凹; 单调增加,曲线上凹;单调减少,曲线下凹单调增加,曲线下凹.21. 曲线的凹凸区间是( ).为其凹区间; 为其凸区间;当时,曲线是凸的, 时是凹的;当时,曲线是凹的, 时是凸的;22. 曲线( ).有一个拐点; 有二个拐点; 有三个拐点; 无拐点;23. 若点为曲线的拐点,则( ).必有存在且等于零; 必有存在但不一定等于零;如果存在,必等于零; 如果存在,必不等于零.24. 设函数在处有,在处不存在,则( ).及一定都是极值点; 只有是极值点;及都可能不是极值点; 及至少有一个点是极值点.25. 曲线 ( ).有极值点,但无拐点; 有拐点,但无极值点;是极值点, 是拐点; 既无极值点又无拐点.26. 若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则( ).极大值一定是最大值,极小值一定是最小值;极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值;极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值;极大值必大于极小值.27. 函数在区间上的最小值为( ).; 0 ; 1 ; 无最小值.28. 指出曲线的渐近线( ).没有水平渐近线,也没有斜渐近线;为垂直渐近线,无水平渐近线;既有垂直渐近线,又有水平渐近线;只有水平渐近线.29. 曲线的渐近线有( ).1条 ; 2条 ; 3条 ; 4条 ;30. 设在内可导,且对于任意,当时有,则( ).对于任意 ; 对于任意 ;函数单调增加 ; 函数单调增加.31. 设函数在上则或的大小顺序是( ).;; .32. 设有二阶连续导数,且,则( ).是的极大值; 是的极小值;是曲线的拐点;不是的极值, 不是曲线的拐点.33. 在区间内,方程( ).无实根 ; 有且仅有一个实根; 有且仅有两个实根; 有无穷多个实根34. 设时,与是同阶无穷小,则为( ).1 ;2 ;3 ;4 .35. 函数不可导点的个数是( ).3 ; 2 ; 1 ; 0 .36. 设函数在的某个邻域内连续，且为其极大值，则存在当时，必有（）。
；；37．函数在取得极值，则（）。
0 ；； 1 ； 2 。
38．下列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是（）。
；；；。
39．设为正整数，则（）。
； 1 ；0 ；40．=（）。
1 ；；；。
三. 计算题1. 求下列极限:;2.求极限: ;3.求极限: ;4. 求极限: ;5. 求极限: ;6. 求极限: ;7. 求极限: ;8. 求极限:;9. 求极限: ;10. 求极限: ;11. 求极限: ;12. 求极限: ;13. 求极限: ;14. 求极限: .15. 按(x-4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4.16. 应用麦克劳林公式, 按x幂展开函数f(x)=(x2-3x+1)3.17. 求函数按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.18.. 求函数按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式.19..求函数f(x)=tan x的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.20. 判定函数f(x)=arctan x-x单调性.21. 判定函数f(x)=x+cos x (0≤x≤2π)的单调性.22. 确定下列函数的单调区间:y=2x3-6x2-18x-7;23. 确定下列函数的单调区间:(x>0);24. 确定下列函数的单调区间:;25. 确定下列函数的单调区间:y=(x-1)(x+1)3;26. 确定下列函数的单调区间:27. 确定下列函数的单调区间:y=x n e-x(n>0, x≥0);28. 确定下列函数的单调区间:y=x+|sin 2x|.29. 判定下列曲线的凹凸性:y=4x-x2 ;30. 判定下列曲线的凹凸性: (x>0);31. 判定下列曲线的凹凸性: y=x arctan x ;32.. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:.y=x3-5x2+3x+5 ;33. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 : y=xe-x ;34. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: y=(x+1)4+e x;35. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 : y=ln(x2+1);36. 试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d中的a、b、c、d, 使得x=-2处曲线有水平切线, (1,-10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上.37. 试决定y=k(x2-3)2中k的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点.38. 求函数的极值:y=2x3-6x2-18x+7;39. 求函数的极值:y=x-ln(1+x) ;40. 求函数的极值:;41. 求函数的极值:;42. 求函数的极值:y=e x cos x ;43. 求函数的极值:;44. 求函数的极值:y=x+tan x .45. 试问a为何值时,函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.46. 求下列函数的最大值、最小值:y=2x3-3x2,-1≤x≤4;47. 问函数y=2x3-6x2-18x-7(1≤x≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.48. 问函数(x<0)在何处取得最小值？49. 问函数(x≥0)在何处取得最大值？50. 求椭圆4x2+y2=4在点(0, 2)处的曲率.51. 求曲线y=lnsec x在点(x,y)处的曲率及曲率半径.52. 求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径.53. 求曲线x=a cos3t,y=a sin 3t在t=t0处的曲率.四.证明题1.验证罗尔定理对函数y=ln sin x在区间上的正确性.2.验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间[0, 1]上的正确性.3.对函数f(x)=sin x及F(x)=x+cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性.4.不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f'(x)=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.5．证明恒等式: (-1≤x≤1).6．若方程a0x n+a1x n-1+ ⋅⋅⋅+ a n-1x=0有一个正根x0, 证明方程nx n-1+a1(n-1)x n-2 + ⋅⋅⋅+a n-1 =0a必有一个小于x0的正根.7．设a>b>0, n>1,证明:nb n-1(a-b)<a n-b n<na n-1(a-b) .8．设a>b>0, 证明:9．证明下列不等式:(1)|arctan a-arctan b|≤|a-b|;(2)当x>1时, e x>e⋅x.10．证明方程x5+x-1=0只有一个正根.11．证明下列不等式:当x>0时,;12. 证明下列不等式:当x>0时,;13. 证明下列不等式:当时, sin x+tan x>2x;14. 证明下列不等式:当时,;15．设=0, 证明多项式f(x)=a0+a1x+⋅ ⋅ ⋅+a n x n在(0,1)内至少有一个零点.16．设f(x)在[0, a]上连续, 在(0, a)内可导, 且f(a)=0, 证明存在一点ξ∈(0, a), 使f(ξ)+ξf'(ξ)=0.17．设0<a<b, 函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 试利用柯西中值定理,证明存在一点ξ∈(a, b)使.18．设f(x)、g(x)都是可导函数, 且|f'(x)|<g'(x), 证明: 当x>a时, |f(x)-f(a)|<g(x)-g(a).19．设函数在上连续，在内具有二阶导数，且连接点和的直线与交于点，证明：存在，使.20. 设在内连续, 在内可导,,且为单调增函数,令,证明:在为单调增函数.21. 设函数对一切,满足方程,证明:当在点处取得极值,则此极值必是极小值.22. 证明: 当时,.五.应用题1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20cm长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？2. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆,截面的面积为5m2,问底宽x为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省？3. .从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图),问留下的扇形的中心角ϕ取多大时,做成的漏斗的容积最大？4. 求内接于椭圆且两边分别平行于坐标轴的面积最大的矩形.5. 欲作一个容积为3000的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积造价的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计才能使得总造价最省?6. 已知球的半径为,试在它的内接圆柱体中,求出具有最大侧面积的圆柱体的底半径与高.7. 求点到曲线的最短距离.8. 一艘停泊在海之中的军舰,离海岸垂直距离9,离海岸上的兵营,今欲从舰上送信到兵营,已知送信人步行的速度为,划船速度是,问送信人应该在何处上岸,才能使信在最短的时间内到达兵营.(假定海岸线是直的)9. 与码头位于一条东西向直线形河流的同一侧,河岸边的厂离码头10公里,厂在码头的正北方4公里,今要在两厂之间修一条公路,如果延河岸筑路费用为3千元/公里,不沿河岸筑路费用为5千元/公里,问此公路沿河岸修筑几公里,才使筑路总费用最省?。