1.1.2 弧度制1

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1.弧度制下的对称关系
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[典例]
π 若角 α 的终边与角 的终边关于直线 y＝x 对称， 6
且 α∈(－4π，4π)，则 α＝________.
[解析] π 如图所示，设角 的终边为 OA，OA 6
关于直线 y＝x 对称的射线为 OB，
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π 则以 OB 为终边且在 0 到 2π 之间的角为 ， 3 π 故以 OB 为终边的角的集合为 αα＝2kπ＋ ，k∈Z. 3 π ∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋ <4π， 3 13 11 ∴－ <k< . 6 6 ∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1. 11π 5π π 7π ∴α＝－ ，－ ， ， . 3 3 3 3
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[化解疑难] 角度制和弧度制的比较 (1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制． (2)1 弧度的角与 1 度的角所指含义不同，大小更不同． (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角 的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“° ”)不能省 略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 通常省略不写.
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[活学活用] 1． 若 α 和 β 的终边关于 x 轴对称， 则 α 可以用 β 表示为( A．2kπ＋β (k∈Z) C．kπ＋β (k∈Z)
解析：选 B
)
B．2kπ－β (k∈Z) D．kπ－β (k∈Z)
因为 α 和 β 的终边关于 x 轴对称，所以 α
＋β＝2kπ(k∈Z)．所以 α＝2kπ－β(k∈Z)．返回返回[例 1]
把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
2π (1)72° ；(2)－300° ；(3)2；(4)－ . 9 π 2π [解] (1)72° ＝72× ＝ ； 180 5
π 5π (2)－300° ＝－300× ＝－ ； 180 3
180 360 (3)2＝2× π ° ＝ π ° ； 2π 180 2π (4)－ ＝－ 9 × π ° ＝－40° . 9
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[随堂即时演练]
3 αα＝ π＋2kπ，k∈Z 4
7 ， 所有与 π 终边相同的角构成的集合为 4
3 ＝αα＝ π＋2k＋1π，k∈Z 4
7 S2＝ α α＝4π＋2kπ，k∈Z
，
3 ∴终边落在直线 y＝－x 上的角的集合为 S＝S1∪S2＝αα＝ π＋ 4 nπ，n∈Z.
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[例 3]
用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内
(不包括边界)的角的集合．
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[解]
(1)如图①， 330° 角的终边与－ 30° 角的终边相同，
π 将－30° 化为弧度，即－ ， 6 π 5π 而 75° ＝75× ＝ ， 180 12 ∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
π 5π θ2kπ－ <θ<2kπ＋ ，k∈Z 6 12
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[活学活用] 已知扇形的周长是 30 cm， 当它的半径和圆心角各取什么值 时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为 α(0<α<2π)，半径为 r，面积为 S， 弧长为 l，则 l＋2r＝30，故 l＝30－2r，
15 2 225 1 1 2 从而 S ＝ lr ＝ (30 － 2r)r ＝－ r ＋ 15r ＝－ r－ 2 ＋ 2 2 4 15 15 所以， 当 r＝ cm 时， α＝2， 扇形面积最大， π＋1<r<15， 2 225 最大面积为 cm2. 4
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[例 2]
(1)已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2，则扇形
的面积为________． (2)已知一半径为 R 的扇形， 它的周长等于所在圆的周长， 那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？ (1)[解析] 设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心
角为 2 rad，依据弧长公式可得 l＝2r，从而扇形的周长为 l ＋2r＝4r＝8，解得 r＝2，则 l＝4. 1 1 故扇形的面积 S＝ rl＝ ×2×4＝4 cm2. 2 2
.
π 7π (2)如图②，∵ 30° ＝ ，210° ＝ ，这两个角的终边所在 6 6 π 的直线相同，因此终边在直线 AB 上的角为 α＝kπ＋ ，k∈Z， 6
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π 又终边在 y 轴上的角为 β＝kπ＋ ，k∈Z， 2 从而终边落在阴影部分内 ( 不包括边界 ) 的角的集合为
π π θkπ＋ <θ<kπ＋ ，k∈Z 6 2 .
提示：确定．
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[导入新知] 1．角度制与弧度制 (1)角度制． ①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制． 1 ②1 度的角：周角的 360 作为一个单位． (2)弧度制． ①定义：以 弧度作为单位来度量角的单位制． ②1 弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角．
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2．任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数 ， 负角的弧度数是一个 负数 ， 零角的弧度数是 0 . 3．角的弧度数的计算 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么， l 角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝ r .
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[类题通法] 用弧度制表示角应关注的三点 (1)用弧度表示区域角， 实质是角度表示区域角在弧度制下的 应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一． (2)在表示角的集合时， 可以先写出一周范围(如－π～π， 0～ 2π)内的角，再加上 2kπ，k∈Z. (3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x＝α＋kπ，k ∈ Z} ； 终 边 在 相 互 垂 直 的 两 直 线 上 的 角 的 集 合 可 以 合 并 为
[化解疑难] 角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记 180° ＝π rad，
180 π 充分利用 1° ＝ rad,1 rad＝ π ° 进行换算． 180
(2)方法： 设一个角的弧度数为 α， 角度数为 n， 则 α rad
180 π ＝ α·π ° ； n° ＝n· 180
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[提出问题] 问题 1：周角是多少度？是多少弧度？
提示：360° ，2π.
问题 2：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？
提示：180° ，π.
问题 3：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么 它们之间如何换算？ 提示：π＝180° .
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[导入新知] 1．弧度与角度的互化
角度化弧度 360° ＝ 2π rad 180° ＝ π rad 弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180°
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570π 19π 解：(1)α1＝－570° ＝－ ＝－ ， 180 6 750π 25π α2＝750° ＝ ＝ . 180 6 19π 5π ∵α1＝－ ＝－2×2π＋ ， 6 6 25π π α2＝ ＝2×2π＋ ， 6 6 ∴α1 是第二象限角，α2 是第一象限角．
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3π 3 (2)β1＝ ＝ ×180° ＝108° ， 5 5 设 θ＝ k· 360° ＋108° (k∈Z)， 则由－720° ≤θ<0° ， 得－720° ≤ k· 360° ＋108° <0° (k∈Z)， 解得 k＝－2 或 k＝－1， ∴在－720° ～0° 范围内，
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2π 2．在平面直角坐标系中，α＝－ ，β 的终边与 α 的终边分 3 别有如下关系时，求 β. (1)若 α，β 的终边关于 x 轴对称； (2)若 α，β 的终边关于 y 轴对称； (3)若 α，β 的终边关于原点对称； (4)若 α，β 的终边关于直线 x＋y＝0 对称．
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2π 解：(1)如图①，可得 β＝ ＋2kπ，k∈Z. 3 π (2)如图②，可得 β＝－ ＋2kπ，k∈Z. 3 π (3)如图③，可得 β＝ ＋2kπ，k∈Z. 3 π (4)如图④，可得 β＝ ＋2kπ，k∈Z. 6
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与 β1 有相同终边的角是－612° 和－252° ； π 1 β2＝－ ＝－ ×180° ＝－60° ， 3 3 设 γ＝k· 360° －60° (k∈Z)， 则由－720° ≤k· 360° －60° <0° (k∈Z)， 得 k＝－1 或 k＝0， ∴在－720° ～0° 范围内， 与 β2 有相同终边的角是－60° 和－420° .
180 π ° 1° ＝ 180 rad≈0.017 1 rad＝ π ≈57.30°
45 rad
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2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度 弧度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
0
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
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rad.
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[导入新知] 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l，α 为其圆心角，则
α 为度数 扇形的弧长
παR l＝ 180
α 为弧度数 l＝ αR
1 1 2 lR αR 2 2 S＝ ＝
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παR2 扇形的面积 S＝ 360
[化解疑难] 扇形的弧长及面积公式的记忆 (1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的 l 变形：|α|＝r⇔l＝r|α|. 1 (2)扇形的面积公式 S＝ lR 与三角形的面积公式极为相 2 似(把弧长看作底，把半径看作高)，可以类比记忆．
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[类题通法] 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝ π 180° 是关键，由它可以得到：度数× ＝弧度数，弧度 180 180 数× ＝度数． π
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[活学活用] 3π π 已知 α1＝－570° ，α2＝750° ，β1＝ ，β2＝－ . 5 3 (1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角； (2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在－720° ～0° 范围内，找出 与它们有相同终边的所有角．