直线与双曲线的位置关系(强化训练)

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2008冬新教材双曲线离心率和直线位置关系

双曲线的离心率、直线与双曲线位置关系的练习1、设12F F ，分别是双曲线2222x y ab-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F A F ∠=且123A F A F =，则双曲线的离心率为（） A 2B 222、如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线离心率为（）A ．3B ．5C ．25D ．31+3、又曲线22221x y ab==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞4、若双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5、双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知O A A B O B 、、成等差数列，且B F 与F A同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设A B 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方6、如图M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足：6.P M P N +=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若2·1co s P M P N M P N-∠＝,求点P 的坐标.7、在以点O 为圆心，||4A B =为直径的半圆A D B 中，O D A B ⊥，P 是半圆弧上一点，30P O B ∠=︒，曲线C 是满足||||||M A M B -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F .若△O E F 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.8、已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x ．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值范围．已知双曲线1by ax2222=－(a ＞0,b ＞0)离心率e=332，过点A （0，－b ）和点B （a,0 ）的直线与原点的距离为23（1）求双曲线的方程。

直线与双曲线位置关系

直线与双曲线位置关系一、教学目标：1.掌握直线与双曲线的位置关系．2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．3.了解与双曲线有关的应用问题.二、教学重点、难点：1.对双曲线方程和性质的应用是本课时的重点和难点；2.本课时内容常与方程、函数、不等式以及平面向量结合命题，而且命题形式灵活，各种题型均有可能出现.三、教学方法：一学，二记，三应用四、知识梳理：1判别式∆.2.直线与双曲线位置关系的有关结论(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点，两条切线和两条与渐近线平行的直线；(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点，一条切线和两条与渐近线平行的直线；(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点，两条与渐近线平行的直线．3．直线与双曲线相交所得的弦长公式：设直线方程y =kx +m 与双曲线22a x +22by = 1(或22a y +22b x =1,其中a >b >0)交于P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2),则 | P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-=])(1[)(21212212x x y y x x ----=21k +|x 2- x 1| 或 | P 1P 2|=211k +|y 2-y 1| 五五.课前测试：1．若圆3)1()3(22=-+-y x 与双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（）A ．332 B ．27 C ．2 D ．72．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是 ( )A ．8 B ．9 C ．10 D ．123．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )(A) (－153，153) (B) (0，153) (C) (－153，0) (D) (－153，－1) 六、典例剖析题型一直线与双曲线的位置关系例1 （1）（几何法）(2019·广东惠州二调)过点P (2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条（2）（代数法）若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．⎝⎛⎭⎫－153，153B ．⎝⎛⎭⎫0，153C ．⎝⎛⎭⎫－153，0D ．⎝⎛⎭⎫－153，－1（3）（∆判别式与韦达定理）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4,0)，实轴长为43.(1)求双曲线C 的方程．(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围．（4）（选讲提升）设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3课堂小结：研究直线与双曲线位置关系问题的方法(1)将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)由直线的斜率与渐近线的斜率进行比较来判断直线与双曲线的位置关系．课堂练习1：若直线l 过点P (1,0)与双曲线1422=-y x 只有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ． 2条 D ．1条题型二与弦长有关问题例2 （弦长公式）若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．课堂练习2：直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m .题型三中点弦问题例3 （1）（求离心率）[2018·厦门二检] 斜率为2的直线l 被双曲线C :-=1(a>0,b>0)截得的弦恰被点M (2,1)平分,则C 的离心率是 .（2）（求双曲线方程）已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则双曲线E 的方程为_____________________________．(3) （求中点轨迹）已知斜率为2的直线与双曲线x 2-y 2=12相交于P 1和P 2两点，求线段P 1P 2中点的轨迹方程.（4）（求中点弦所在直线方程）给定双曲线x 2－y 22＝1，过点B (1,1)是否能作直线m ，使它与所给的双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的m 如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由．课堂练习3：已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A 、B 两点．若P 为AB 的中点，求直线AB 的方程．题型四综合题型例4 （求字母值或范围）若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点。

直线与双曲线的位置关系

第3课时直线与双曲线的位置关系一、直线与双曲线的位置关系1、一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)① 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba 时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离 2．弦长公式斜率为k (k ≠0)的直线l 与双曲线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|1x －2x |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 题型一、直线与双曲线的位置关系例1、已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，在下列条件下，求实数k 的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l 与双曲线没有公共点．[解析] ⎩⎨⎧x 2－y 2＝4y ＝k (x －1)，消去y 得，(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0(*)(1)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．(2)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎨⎧4－3k 2>01－k 2≠0，即－233<k <233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎨⎧4－3k 2＝01－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点． ③⎩⎨⎧4－3k 2<01－k 2≠0，即k <－233，或k >233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．综上所述，当－233<k <－1，或－1<k <1，或1<k <233时，直线与双曲线有两个公共点；当k ＝±1，或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k <－233，或k >233时，直线与双曲线没有公共点．例2、过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线l 与双曲线的交点为A 、B ，则|AB |＝__________________. [答案] 3题型二、中点弦问题例3、已知双曲线的方程为x 2－y 22＝1.试问：是否存在被点B (1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由．解法二：设存在被点B 平分的弦MN ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1， ①x 22－y 222＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－12(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线MN ：y －1＝2(x －1)．由⎩⎨⎧y －1＝2(x －1)x 2－y 22＝1，消去y 得，2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝－8<0.这说明直线MN 与双曲线不相交，故被点B 平分的弦不存在．例4、过点P (4,1)的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A 、B 两点，且P 为AB 的中点，求l 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减得： 14(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∵P 为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2. ∴y 2－y 1x 2－x 1＝1，即所求直线l 的斜率为1，∴l 方程为y －1＝x －4，即x －y －3＝0. 题型三、综合应用问题例5、直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后整理得，(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0－2k k 2－2>02k 2－2>0，解得k 的取值范围为－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2－k2x 1·x 2＝2k 2－2，假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (62，0)，则F A ⊥FB ， ∴(x 1－62)(x 2－62)＋y 1y 2＝0，即(x 1－62)(x 2－62)＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. (1＋k 2)x 1x 2＋(k －62)(x 1＋x 2)＋52＝0， ∴(1＋k 2)·2k 2－2＋(k －62)·2k 2－k 2＋52＝0，化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65，或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．例6、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，于是a 2＋b 2＝22，b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2.由OA →·OB →>2，得x A x B ＋y A y B >2.x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k 62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1.于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，又∵k 2<1，∴13<k 2<1，故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．例7、已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k 的值．[正解] 可分两种情况：(1)直线l 斜率不存在时，l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意；(2)直线l 斜率存在时，设l 方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0，当4－k 2＝0时，k ＝±2，即l 与双曲线的渐近线平行时，l 与双曲线只有一个公共点；当4－k 2≠0时，令Δ＝0，所以k ＝52.综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．课后作业一、选择题1．已知实数4、m 、9构成一个等比数列，m 为等比中项，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( ) A.306 B.7 C.306或7 D.56或7 [答案] C[解析] ∵4、m 、9成等比数列，∴m 2＝36，∴m ＝±6.当m ＝6时，圆锥曲线方程为x 26＋y2＝1，其离心率为306；当m ＝－6时，圆锥曲线方程为y 2－x 26＝1，其离心率为7，故选C.2．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2与直线y ＝ax (a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．a ＝1B ．0<a <1C ．a >1D ．a ≥1[答案] D[解析] 等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的渐近线方程为y ＝±x ，若直线y ＝ax (a >0)与等轴双曲线x 2－y 2＝a 2没有公共点，则a ≥1.3．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )[答案] C[解析] 方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b ＝1.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，但B 中直线有a <0，b <0矛盾，应排除；D 中直线有a <0，b >0矛盾，应排除；再看A 中双曲线的a <0，b >0，但直线有a >0，b >0，也矛盾，应排除；C 中双曲线的a >0，b <0和直线中a ，b 一致．应选C.4．已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等[答案] D[解析] ∵0<θ<π4，∴双曲线C 1的离心率e 1＝c a ＝cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1cos θ，而双曲线C 2的离心率e 2＝c a ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1＋sin 2θcos 2θ＝1cos 2θ＝1cos θ， ∴e 1＝e 2，故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点到其渐近线的距离不大于255a ，其离心率e 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．(1，3]D ．(1，5][答案] D[解析] 依题意(a,0)到渐近线bx ＋ay ＝0的距离不大于255a ， ∴|ba ＋0|b 2＋a 2≤255a ，解得e ≤5，又e >1，∴1<e ≤5，故选D.6．F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左右．．两支．．分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B.3 C. 5 D.7 [答案] D[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ，在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°， ∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e >1，∴e ＝ca ＝7，故选D.二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________________．[答案]3[解析] 由余弦定理(4a )2＋4c 2－4a 22×4a ×2c＝cos30°，∴23ac ＝3a 2＋c 2，等式两边同除以a 2得e 2－23e ＋3＝0， ∴e ＝ 3.8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A 、B 为椭圆的顶点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于__________________．[答案]5＋12[解析] 设中心在坐标原点的双曲线左焦点F ，实轴右端点A ，虚轴端点B ，FB ⊥AB ，则|AF |2＝|AB |2＋|BF |2，∵|AF |2＝(a ＋c )2，|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |2＝b 2＋c 2， ∴c 2－a 2－ac ＝0， ∵e ＝ca ，∴e 2－e －1＝0，∵e >1，∴e ＝5＋12.三、解答题9．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点．(1)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y ＝12x 对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1，消去y 得，(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.①依题意⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3② 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2③x 1x 2＝－23－a 2④∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，但y 1y 2＝a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1，由③④知，∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2＋1＝0. 解得a ＝±1且满足②.(2)假设存在实数a ，使A 、B 关于y ＝12x 对称，则直线y ＝ax ＋1与y ＝12x 垂直，∴a ＝－2.直线l 的方程为y ＝－2x ＋1. 将a ＝－2代入③得x 1＋x 2＝4. ∴AB 中点横坐标为2，纵坐标为y ＝－2×2＋1＝－3.但AB 中点(2，－3)不在直线y ＝12x 上．即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y ＝12x 对称．10．过双曲线x 29－y 216＝1的右焦点作倾斜角为45°的弦AB .求：(1)弦AB 的中点C 到右焦点F 2的距离；(2)弦AB 的长．[解析] (1)因为双曲线的右焦点为F 2(5,0)，直线AB 的方程为y ＝x －5.由⎩⎪⎨⎪⎧16x 2－9y 2－144＝0y ＝x －5，消去y ，并整理得7x 2＋90x －369＝0.如图，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－907，x 1·x 2＝－3697.设AB 的中点C 的坐标为(x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝－457，∴y ＝－807.∴|CF 2|＝(5＋457)2＋(807)2＝8027.(2)|AB |＝2·|x 1－x 2|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(810049＋14767)＝1927. 11．已知曲线C ：x 2－y 2＝1和直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠04k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2，且k ≠±1，∴k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)结合(1)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2.∵点O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2，∴S △AOB＝12|AB |d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0.∴k ＝0或k ＝±62.∴适合题意的k 的取值为0、62、－62.。

高中数学-直线与双曲线的位置关系练习

高中数学-直线与双曲线的位置关系练习基础达标(水平一 )1.已知直线l过点(,0),且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有().A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】点(,0)即为双曲线的右顶点,过该点的直线有2条与双曲线渐近线平行且与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.【答案】C2.已知双曲线C:-=1的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=2,则|PF2|等于().A.4B.6C.8D.10【解析】依题意,有=,所以a=3,因为|PF1|=2,所以点P在双曲线的左支上,所以|PF2|-|PF1|=2a,解得|PF2|=8,故选C.【答案】C3.已知点P(3,-4)是双曲线-=1(a>0,b>0)渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若·=0,则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】由题意知,点E(-c,0),F(c,0),则·=(3+c,-4)·(3-c,-4)=9-c2+16=0,所以c2=25.可排除A,B选项.又D选项中双曲线的渐近线方程为y=±x,点P不在渐近线上,排除D选项,故C正确.【答案】C4.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是().A.B.C.D.【解析】由得(1-k2)x2-4kx-10=0.由题意得解得-<k<-1.【答案】D5.过双曲线-=1(a>0)右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点.则双曲线离心率的取值范围为.【解析】由题意可知从而4<<9,所以e=∈(,).【答案】(,)6.已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=3,则此双曲线的离心率为.【解析】因为F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点, 所以可设点F(-c,0),A(0,b),B(x B,y B),直线AF:y=x+b.由题意知,直线AF与渐近线y=x相交.联立两直线消去x,得y B=.由=3,得y B=4b,所以=4b,解得离心率e=.【答案】7.从双曲线x2-y2=1上一点Q作直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.【解析】设点P(x,y),Q(x0,y0),则点N(2x-x0,2y-y0),代入x+y=2,得2x-x0+2y-y0=2. ①因为PQ垂直于直线x+y=2,所以=1,即x-y-x0+y0=0. ②由①②得x0=x+y-1,y0=x+y-1.由点Q(x0,y0)在双曲线x2-y2=1上,代入双曲线方程,得点P的轨迹方程为2x2-2y2-2x+2y=1.拓展提升(水平二)8.已知双曲线-=1(a>0,b>0),若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A,B两点,且=3,则该双曲线离心率的最小值为().A.B.C.2 D.2【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A,B两点,且=3,所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支,即A在左支,B在右支.设点A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),因为=3,所以c-x1=3(c-x2),即3x2-x1=2c.因为x1≤-a,x2≥a,所以-x1≥a,3x2≥3a,所以3x2-x1≥4a,即2c≥4a,≥2,即e≥2,故选C.【答案】C9.已知双曲线-=1上存在两点P,Q关于直线y=x+b对称,且PQ的中点M在直线2x+y-2=0上,则实数b的值为().A.-10B.-8C.-2D.2【解析】因为点P,Q关于直线y=x+b对称,所以线段PQ的垂直平分线的方程为y=x+b,所以直线PQ的斜率为-1.设直线PQ的方程为y=-x+m,令点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M),由得x2+4mx-2m2-6=0,所以x P+x Q=-4m,所以x M=-2m,所以点M(-2m,3m).又因为PQ的中点M在直线2x+y-2=0上,所以-4m+3m-2=0,解得m=-2,由PQ的中点M也在直线y=x+b上,得b=5m,所以b=-10,故选A.【答案】A10.连接双曲线-=1和-=1(其中a>0,b>0)的四个顶点的四边形的面积为S1,连接四个焦点的四边形的面积为S2,则当的值最大时,双曲线-=1的离心率为.【解析】由题意可知S1=×2a×2b=2ab,S2=×2c×2c=2c2,∴===≤,当且仅当=,即a2=b2=c2-a2时等号成立,此时双曲线-=1的离心率为e==.【答案】11.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0. ①依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故解得-2<k<-.(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得②假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).则由FA⊥FB,得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0. ③把②式及c=代入③式,化简得5k2+2k-6=0,解得k=-或k=(舍去).可知当k=-时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.。

巩固练习直线与双曲线的位置关系文基础

【巩固练习】一、选择题1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是( )A ．3y x =±B ．13y x =± C ．y = D ．y x = 2．椭圆22214x y m +=与双曲线22212x y m -=有相同的焦点，则m 的值是( ) A ．±1 B ．1 C ．－1 D ．不存在3．已知双曲线方程为221205x y -=，那么它的半焦距是( )A ．5B ．2.5 C. D. 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4 D. 145. 已知双曲线的两个焦点为F 1(0)、F 20)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A. 22123x y -= B. 22132x y -= C. 2214x y -= D ．2214y x -= 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26二、填空题 7．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．8．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．9．已知双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________．10．设一个圆的圆心在双曲线221916y x -=的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________．三、解答题11.已知双曲线的中心在原点，焦点为F 1，F 2（0，），且离心率2e =，求双曲线的标准方程及其渐近线． 12．设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围：13．设双曲线2222by a x -=1（0<a<b ）的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线l 的距离为43c ，求双曲线的离心率. 14.两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：221211e e +=1. 15. 如图所示，已知F 1，F 2为双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的两个焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．【答案与解析】1.【答案】：C【解析】：将双曲线化为2213yx-=，以0代替1，得2203yx-=，即223y x=；即y=，故选C2.【答案】： A【解析】：验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2. ∴m2＝1，即m＝±1.3．【答案】： A【解析】：∵a2＝20，b2＝5，∴c2＝25，∴c＝5.4. 【答案】： A【解析】：双曲线mx2＋y2＝1的方程可化为：y2－21xm-＝1，∴a2＝1，b2＝－1m，由2b＝4a，∴4，∴m＝－1 4 .5. 【答案】： C【解析】：∵c|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.6.【答案】： D【解析】：|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.7．【答案】：⎡⎢⎣⎦【解析】：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝x ，当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是⎡⎢⎣⎦. 8．【答案】：3【解析】：已知双曲线方程为22194y x -=，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．9. 【答案】：53【解析】：由|PF 1|－|PF 2|＝2a 及|PF 1|＝4|PF 2|得： |PF 2|＝23a ，又|PF 2≥c －a ，所以23a ≥c －a ，c ≤53a ， ∴e ＝c a ≤53，即e 的最大值为53. 10．【答案】：163【解析】：由已知得双曲线的上顶点为A (0,3)，上焦点为F (0,5)，设圆心为P (x 0，y 0)，则y 0＝352+＝4.代入双曲线方程得2016194x -=，所以207169x ⨯=，故|PO |163=.11. 解析：由条件知焦点在y轴上，c =c a=2,2a b ==；所以双曲线的方程为221,44y x -=渐近线方程为y x =± 12.解析：由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0.242210.0 1.48(1)0.a a a a a a ⎧-≠⎪<≠⎨+->⎪⎩所以解得双曲线的离心率01,(2,).e a a e e e =<<≠∴≠+∞即离心率的取值范围为13．【解析】：由已知，l 的方程为ay+bx-ab=0,原点到l4c =, 又c 2=a 2+b 2, ∴24ab =，两边平方，得16a 2(c 2-a 2)=3c 4.两边同除以a 4并整理得3e 4-16e 2+16=0，∴e 2=4或243e =. ∵ 0<a<b, 1b a>,221b a >,得22222212a b b e a a +==+>, ∴e 2=4，故e=2. 14．解析：证明：双曲线22221x y a b-=的离心率22221122c c a b e e a a a +=⇒==；双曲线22221x yb a-=的离心率22222222c c a be eb b b+=⇒==.∴2222222212111a be e a b a b+=+=++.15.【解析】：∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a.∴|F1F2|＝PF2|，即2c＝，∴c2＝3a2.又∵c2＝a2＋b2，∴2a2＝b2.∴ba.故所求双曲线的渐近线方程为y＝x.。

直线与双曲线位置关系典例精析

直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2．弦长公式：设直线 ykx b 交双曲线于 P 1 x 1 , y 1 ， P 2 x 2 , y 2 ，则 P 1P 2 x 1x 2 1 k 21 k 2x 1 x 224x 1 x 2 ，或P 1P 2y 1y 2 1 11 1y 1y 224y 1 y 2 k0 ．k 2k 2二、基础自测1．经过点 P1,2 且与双曲线 4x 2 y 2 1仅有一个公共点的直线有（）2(A)4 条 (B) 3条(C) 2 条(D) 1条2．直线 y= kx 与双曲线 4x 2 y 216 不可能（）（ A ）相交（ B ）只有一个交点（ C ）相离（ D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线y 2x2的通径长是1619(A) 9 (B)9 (C)9(D)10424 ．若一直线 l 平行于双曲线的一条渐近线，则 l 与双曲线的公共点个数为．解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5．经过双曲线 x 2 y 2 8 的右焦点且斜率为2 的直线被双曲线截得的线段的长是．6．直线l在双曲线x2y21上截得的弦长为4，且l的斜率为 2，求直线l的方程．32三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1.如果直线y kx 1 与双曲线 x 2y 2 4 没有公共点，求k的取值范围．有两个公共点呢？解，所以△ =(b)240 ，所以b2 ，e c a2b2 1 (b)2 5 ，故选D.a a a a a2．(2010 ·安徽 )若直线 y＝kx＋2与双曲线 x2－ y2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是()A.15 ,15B. 0,15C.15 ,0D.15 ,133333y＝kx＋ 2，1k 202216k2 4 1k210 0解：由得 (1－ k )x －－＝，∴，解x2－y2＝ 64kx 10 0x1x20x1x20 15得－3 <k<－ 1.3、过点P( 7,5)与双曲线x2y21有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出725它们的方程。

2.3.2直线与双曲线的位置关系

O X
相离：相离：0个交点
Y
特殊的相交(与渐近特殊的相交与渐近线平行)：个交点线平行：1个交点
O
X
判断直线与双曲线位置关系的一般思路判断直线与双曲线位置关系的一般思路代数法: 代数法:
把直线方程代入双曲线方程
（2次系数等于）次系数等于0）次系数等于（2次系数不等于）次系数不等于0）次系数不等于
走向高考若不论K为何值，若不论为何值，直线 y = k ( x − 2) + b 与曲线为何值总有公共点，的取值范围是（的取值范围是 x − y =1总有公共点，则b的取值范围是（ B ）
2 2
A. − 3, 3 , B. − 3, 3 , C ( −2, 2 ) , D [ −2, 2]
弦长问题
x2 y2 − = 1 的右焦点 F2 , 例3、如图，过双曲线、如图， 3 6 o 的直线交双曲线于A，两点两点，倾斜角为 30 的直线交双曲线于，B两点，求|AB|。。
分析:求弦长问题有两种方法分析求弦长问题有两种方法: 求弦长问题有两种方法法一:如果交点坐标易求如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公法一如果交点坐标易求可直接用两点间距离公式代入求弦长; 式代入求弦长法二:但有时为了简化计算,常设而不求运用韦达法二但有时为了简化计算常设而不求,运用韦达但有时为了简化计算常设而不求定理来处理. 定理来处理
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的渐近线平行
计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离
相交（一个交点）相交（一个交点）相交
（两个交点）（一个交点）（无交点）两个交点）一个交点）无交点）

直线与双曲线的位置关系(分层练习)

直线与双曲线的位置关系（分层练习）[基础训练]1．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，且切点为T ，已知O 为坐标原点，M 为线段PF 1的中点(点M 在切点T 的右侧)，若△OTM 的周长为4a ，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34x B ．y ＝±43x C ．y ＝±35xD ．y ＝±53x答案：B 解析：设双曲线的右焦点为F 2，连接PF 2，由题意得|OM |＝12|PF 2|，因为△OTM 的周长为4a ，所以|TM |＋|OM |＋a ＝4a ，即|TM |＋12|PF 2|＝3a ，所以|TM |＋12(|PF 1|－2a )＝3a ，即|TM |＋12|PF 1|＝4a .因为M 为线段PF 1的中点，所以|PT |＝4a ，又|TF 1|＝c 2－a 2＝b ，所以|PF 1|＝4a ＋b ，则|PF 2|＝2a ＋b ，所以|OM |＝a ＋12b ，|TM |＝2a －12b .在Rt △OTM 中，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12b 2＋a 2，化简可得b a ＝43，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.2．[2020山东青岛一模]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 220－y 25＝1B ．x 25－y 220＝1C.3x 225－3y 2100＝1 D ．3x 2100－3y 225＝1答案：A 解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，l 与x 轴交于(－5,0)，∴⎩⎨⎧－b a＝－12，c ＝5，又a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝25，b ＝5， ∴双曲线的方程为x 220－y 25＝1. 故选A.3．[2019全国卷Ⅲ]已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )A.32 B ．52 C.72 D ．92答案：B 解析：如图，记双曲线的右焦点为F ，设左焦点为F ′，连接PF ′，PF ，由题意得F (3,0)，F ′(－3,0)，∵|OP |＝|OF |＝12|FF ′|＝3，∴∠F ′PF ＝90°，设|PF ′|＝m ，|PF |＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝4，m 2＋n 2＝36，故mn ＝m 2＋n 2－(m －n )22＝10. ∴S △OPF ＝12S △PF ′F ＝14mn ＝52，故选B.4．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A.2 B ．3 C ．2D ．5答案：A 解析：因为OM ⊥PF ，且|FM |＝|PM |，所以|OP |＝|OF |，∠OFP ＝45°，|OM |＝|OF |·sin 45°，即a ＝c ·22，所以e ＝ca ＝2，故选A.5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝θ，且θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，3＋1]B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋12，2 D ．[2，＋∞)答案：A 解析：设其左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1，易得∠F 1AF ＝π2，∠ABF ＝∠AF 1F ＝θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，∴|AF 1|＝2c cos θ，|AF |＝2c sin θ， ∴2a ＝2c |cos θ－sin θ|， ∴e ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4∈(1，3＋1]．6．[2020湖北武汉调研]过点P (4,2)作一直线，该直线与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．43答案：D 解析：解法一：由题意可知，点P 的位置如图所示，且直线AB的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2.由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)＋2，x 22－y 2＝1消去y ，得(1－2k 2)x 2＋(16k 2－8k )x －32k 2＋32k －10＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 2＋8k 1－2k 2，x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2.因为P (4,2)为AB 的中点，所以－16k 2＋8k1－2k 2＝8，解得k ＝1，满足Δ>0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，于是|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋12·82－4×10＝4 3. 故选D.解法二：由题意可知，点P 的位置如解法一中图所示，且直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－2y 21－2＝0，x 22－2y 22－2＝0，整理可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)．因为P (4,2)为AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1，所以直线AB 的方程为y ＝x －2.由⎩⎨⎧y ＝x －2，x 22－y 2＝1消去y ，得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1x 2＝10，于是|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋12·82－4×10＝4 3.7．[2020福建六校联考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，F A 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°.则双曲线C 的离心率为________．答案：43 解析：由于双曲线和圆都关于x 轴对称，又△APQ 的一个内角为60°，所以△APQ 为正三角形，则∠PFx ＝60°，所以x P ＝c ＋(a ＋c )cos 60°＝3c ＋a2，y p ＝(a ＋c )sin 60°＝3(c ＋a )2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c ＋a 2，3(c ＋a )2，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，整理得3e 2－e －4＝0，解得e ＝43.8．[2020山西太原联考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，再反向延长交另一条渐近线于N ，若2MF→＝FN →，则双曲线C 的离心率e ＝________. 答案：233 解析：解法一：如图所示．渐近线OM 的方程为bx ＋ay ＝0，右焦点为F (c,0)，因此，|FM |＝|bc |a 2＋b2＝b .过点F 作FP ⊥ON ，垂足为P ，则|FP |＝|FM |＝b .又因为2MF→＝FN →，所以|FN →|＝2b ，在Rt △FPN 中，sin ∠FNP ＝|PF ||FN |＝b 2b ＝12，所以∠FNP ＝π6，故在Rt △OMN 中，∠MON ＝π3，所以∠FON ＝π6，所以b a ＝33，即a ＝3b ，所以c ＝a 2＋b 2＝2b ，所以双曲线C 的离心率e ＝233. 解法二：由2MF →＝FN →知，|MF ||FN |＝12. 由渐近线的对称性知，∠NOF ＝∠MOF ，即OF 为∠NOM 的角平分线，则cos ∠NOM ＝|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，所以∠NOM ＝π3，∠NOF ＝∠MOF ＝π6. 因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以b a ＝tan π6＝33，所以e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 所以双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233.9．[2020山东泰安模拟]过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若F 1A →＝AB →，则双曲线的渐近线方程为________．答案：3x ±y ＝0 解析：设F 1(－c,0)，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．由⎩⎨⎧ y ＝x ＋c ，y ＝－ba x ，解得x ＝－ac a ＋b ，则x A ＝－aca ＋b.由⎩⎨⎧y ＝x ＋c ，y ＝b a x ，解得x ＝ac b －a ，则x B ＝ac b －a. 由F 1A →＝AB →可得－ac a ＋b ＋c ＝ac b －a ＋ac a ＋b ，整理得b ＝3a .所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0.10．[2020云南昆明一中月考]已知双曲线C 的中心为坐标原点，点F (2,0)是双曲线C 的一个焦点，过点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，直线l 交y 轴于点E .若|FM |＝3|ME |，则双曲线C 的方程为________．答案：x 2－y 23＝1 解析：由题意设双曲线C 的方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)．由点到直线的距离公式得|FM |＝b ，由|FM |＝3|ME |及勾股定理可得 |OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b 32－4. 又∵FE 与渐近线垂直，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4b 32－42＝a b .结合a 2＝4－b 2，得b 2＝3，a 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.[强化训练]1．[2020山东济南模拟]已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±22x C ．y ＝±32x D ．y ＝±233x答案：B 解析：由题意，知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，①|MF 1|＋|MF 2|＝p2.②联立①②，解得|MF 1|＝a ＋p 4，|MF 2|＝p4－a . 因为F 1F 2为直径，所以四边形F 1NF 2M 为矩形，则S ＝|MF 1|·|MF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 42－a 2，又32S ＝p 2，所以p 232＝p216－a 2，解得p 2＝32a 2.由|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2，得2a 2＋p 28＝4c 2，所以3a 2＝2c 2，所以a 2＝2b 2，即b a ＝±22，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 故选B.2．[2019天津卷]已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A.2 B ．3 C ．2D ．5答案：D 解析：由题意可知抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，又知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵|AB |＝4|OF |＝4，不妨设A 在B 上方， ∴A (－1,2)，又点A 在直线y ＝－ba x 上， ∴2＝－b a ·(－1)，∴ba ＝2， ∴双曲线的离心率e ＝1＋b 2a 2＝1＋4＝ 5.故选D.3．[2020河北五个一联盟联考]设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为 ( )A ．5B ． 5 C.53D ．54答案：A 解析：∵直线4x －3y ＋20＝0过双曲线C 的左焦点，令y ＝0，得x ＝－5，即F (－5,0)，∴c ＝5. 又知点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝205＝4. 设PF 的中点为M ，右焦点为F 0，连接OM ，则OM ⊥PF ，且|OM |＝4，∴|PF |＝6，连接PF 0，∵M 为PF 的中点，O 为FF 0的中点， ∴OM ∥PF 0且|OM |＝12|PF 0|，则|PF 0|＝2|OM |＝8，由双曲线的定义可知|PF 0|－|PF |＝2a ，即2a ＝8－6＝2，∴a ＝1.∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝51＝5. 故选A.4．[2020湖南长沙模拟]已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，P 是其一条渐近线上的一点，且以F 1F 2为直径的圆经过点P ，则△PF 1F 2的面积为( )A.22 B ．1 C.2D ．2答案：C 解析：设P (x 0，y 0)，不妨设点P 在双曲线C 的渐近线x －y ＝0上，因此可得x 0－y 0＝0.由题意知，F 1(0，2)，F 2(0，－2)，所以|F 1F 2|＝22，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，又以F 1F 2为直径的圆经过点P ，所以x 20＋y 20＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝0，x 20＋y 20＝2，得|x 0|＝1，于是S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|x 0|＝12×22×1＝ 2.故选C.5．[2019山西太原二模]已知点F 1，F 2分别是椭圆C 1和双曲线C 2的公共焦点，e 1，e 2分别是C 1和C 2的离心率，点P 为C 1和C 2的一个公共点，且∠F 1PF 2＝2π3，若e 2∈(2，7)，则e 1的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，23 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，255 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，73D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫73，255 答案：D 解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，它们的半焦距为c .不妨设点P 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，F 1，F 2分别为左、右焦点，则由椭圆和双曲线的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos 2π3，整理得4c 2＝3a 21＋a 22，即a 22＝4c 2－3a 21.所以1a 22＝14c 2－3a 21，c 2a 22＝c 24c 2－3a 21＝c 2a 214×c 2a 21－3，即e 22＝e 214e 21－3. 又e 2∈(2，7)，所以4<e 214e 21－3<7，结合0<e 1<1，解得73<e 1<255.故选D.6．[2020陕西质量检测]已知等腰三角形ABC 的底边端点A ，B 在双曲线x 26－y 23＝1的右支上，顶点C 在x 轴上，且AB 不垂直于x 轴，则顶点C 的横坐标t 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞ 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0> 6.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 216－y 213＝1，x 226－y 223＝1，两式相减并整理，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝x 02y 0. 又k MC ＝y 0x 0－t，由题意易知AB ⊥MC ，所以k MC ·k AB ＝y 0x 0－t ×x 02y 0＝－1，即x 0＋2(x 0－t )＝0，解得t ＝3x 02，又x 0>6，所以t >362.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若7FM→＝3FN →，则双曲线的渐近线方程为________．答案：y ＝±102x 解析：不妨设点M 在第一象限，则直线OM 的方程为y ＝ba x ，直线ON 的方程为y ＝－ba x ，又7FM →＝3FN →，所以|FM →||FN →|＝37.如图，过点M ，N 分别向x 轴作垂线交x 轴于点S ，T ，则|MS ||NT |＝|FM →||FN →|＝37.由题易知点F (c,0)到直线OM 的距离为|MF |＝bca 2＋b 2＝b ，则|OM |＝|OF |2－|MF |2＝a ，因为|OM |·|MF |＝|OF |·|MS |，所以|MS |＝abc .直线NF 的方程为y －0＝－a b (x －c )，即y ＝－a b x ＋acb ，与直线ON 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－ba x ，y ＝－a b x ＋acb ，解得⎩⎨⎧ x N ＝a 2c a 2－b 2，y N ＝abcb 2－a 2，|NT |＝y N ＝abc b 2－a 2，所以|MS ||NT |＝ab c abc b 2－a 2＝37，则b 2－a 2c 2＝37，7b 2－7a 2＝3(a 2＋b 2)，化简得4b 2＝10a 2，即b 2a 2＝104，所以b a ＝102，故双曲线的渐近线方程为y ＝±102x .8．双曲线C 的中心在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x . (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C 交于A ，B 两点，当k 为何值时，以线段AB 为直径的圆过原点？解：(1)设双曲线C 的方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝233，b a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝33，b ＝1，故双曲线C 的方程是3x 2－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，由Δ>0且3－k 2≠0，得－6<k <6且k ≠± 3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以线段AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，又x 1＋x 2＝－2k k 2－3，x 1x 2＝2k 2－3，所以y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，2所以k2－3＋1＝0，解得k＝±1.。

专题讲解直线与双曲线的位置关系(学生) - 副本

专题讲解直线与双曲线的位置关系基础卷一．选择题：1．设直线y =kx 与双曲线4x 2―y 2=16相交，则实数k 的取值范围是（A ）―2<k <2 （B ）―1<k <1 （C ）0<k <2 （D ）―2<k <02．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）不充分不必要条件3．直线y =x ―1被双曲线2x 2―y 2=3所截得的弦的中点坐标是（A ）(1, 2) （B ）(―2, ―1) （C ）(―1, ―2) （D ）(2, 1)4．等轴双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y =21x 交于A , B 两点，若|AB 则其方程为（A ）x 2―y 2=6 （B ）x 2―y 2=9 （C ）x 2―y 2=16（D ）x 2―y 2=25 5．直线l 过点(5, 0)，与双曲线2214y x -=只有一个公共点，则满足条件的l 有（A ）1条（B ）2条（C ）4条（D ）无数条6．若直线y =kx +1与曲线x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是（A ）―2<k <2 （B ）―2<k <―1 （C ）1<k <2 （D ）k <―2或k >2二．填空题：7．过点A (3, ―1)且被A 点平分的双曲线2214x y -=的弦所在的直线方程是 .8．直线y =mx ―1与双曲线22149x y -=有两个交点，则m 的取值范围是 . 9．过双曲线16x 2―9y 2=144的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，则|AB |等于 . 10．设双曲线12222=-by a x (a >0, b >0)的半焦距是c ，直线l 过两点(a , 0), (0, b )，已知原点到直线l 的距离为413c ，则双曲线的离心率为 .提高卷一．选择题： 1．直线y =kx ―1与双曲线22149x y -=有且只有一个交点，则k 的取值范围是内部学习资料2 （A ）k =±2110 （B ）k =±23 （C ）k =±2110或k =±23 （D ）k ∈∅ 2．过双曲线x 2―y 2=4的焦点且平行于虚轴的弦长是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．直线y =31(x ―27)与双曲线2219x y -=的交点个数是（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）4个4．斜率为2的直线l 被双曲线22154x y -=截得的弦长为25，则直线l 的方程是（A ）y =2x（B ）y =2x（C ）y =2x（D ）y =2x5．经过双曲线12222=-by a x (a >0, b >0)上任一点M ，作平行于实轴的直线，与渐近线交于P , Q 两点，则|MP |·|MQ |为定值，其值等于（A ）a 2 （B ）b 2 （C ）c 2 （D ）ab6．若直线y =m 与双曲线221925x y -=的两交点为P , Q ，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），则m 的值为（A ）±45 （B ）±54 （C ）±154 （D ）±415二．填空题：7．已知双曲线x 2―my 2=1 (m >0)的右顶点为A ，而B , C 是双曲线右支上两点，若△ABC为正三角形，则m 的取值范围是 .8．过点(0, 1)作直线l 与双曲线4x 2―ay 2=1相交于P , Q 两点，且∠POQ =2π（O 为坐标原点），则a 的取值范围是 .9．已知直线y =kx +1与双曲线x 2―2y 2=1只有一个公共点，则公共点的坐标是 .10．过双曲线12222=-by a x (a >0, b >0)的右焦点F 作渐近线y =b x a 的垂线，垂足为M ，与双曲线左、右两支分别交于A , B 两点，则双曲线的离心率的取值范围是 .三．解答题：11．已知双曲线的方程2212y x -=，试问是否存在被点(1, 1)所平分的弦？如果存在，求出所在直线；如果不存在，说明理由。

直线与双曲线的位置关系教案

直线与双曲线的位置关系 xx 中学教者xxx教学目标:1、知识目标: 直线与双曲线的位置关系。

2、能力目标: 深化双曲线性质,提高分析问题,解决问题的能力。

3、德育目标: 事物之间即有区别又有联系的辩证观点。

教学重点: 直线与双曲线的位置关系及判断方法。

教学难点: 学生解题综合能力的培养。

教学时数: 两课时教学方法: 启发式教学过程:一、课题导入回忆直线与椭圆的位置关系及判断方法(将直线方程代入椭圆方程中得到一个一元二次方程,然后用判别式来判断)。

二、讲授新课通过观察第一组动画演示,学生能够直观的发现直线与双曲线的位置关系：相离:没有公共点。

相切:有一个公共点。

相交:有两个公共点。

通过观察第二组动画演示,使学生能够发现，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点。

练习：判断直线x y 21=与双曲线322=-y x 的位置关系。

例：已知直线l :1+=kx y ,双曲线422=-y x 。

问k 取何值时，直线与双曲线相交、相切、相离？分析：结合前面观察的结果和直线与椭圆位置关系的判断方法引导学生将直线方程代入双曲线方程中，得到一个方程,研究方程解的情况。

解：结论：直线与双曲线的位置关系的判断方法：把直线方程与双曲线方程联立，消去x （或y ）后得到一个方程。

若方程的二次项系数不为零，则方程为一元二次方程。

此时，当⊿ ＞0时，直线与双曲线相交；当⊿=0时，直线与双曲线相切；当 ⊿＜0时，直线与双曲线相离。

若方程的二次项系数为零，则方程为一元一次方程。

此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交，只有一个公共点。

得由⎩⎨⎧=-+=4122y x k x y 052122=---kx x k ）（。

是它们只有一个公共点直线与双曲线相交，但平行与双曲线的渐近线时，直线，即：当,101)1(2l k k ±==-时，即当101:)2(2±≠≠-k k 2016)1(20)2(222+-=-+=∆k k k ()个公共点。

直线与双曲线的位置关系知识点

直线与双曲线的位置关系知识点左右直线与双曲线的位置关系是高中几何教学中的一道重要考题，它涉及到直线、双曲线、圆、椭圆等曲线几何的知识，并且能包含诸多的数学思想。

做这道题的关键是要掌握直线与曲线的基本定义以及推导方法，因此先从基础知识开始系统讲解。

首先是直线：它是两个不同的实点A和B之间满足“所有点均等距”条件的线段组成的空间数学称之为直线。

它的特性有两个，一是它平行两旁，二是其距离从一点到另一点是唯一一条。

其次是双曲线：它是由圆周上等距离构成的一种曲线。

双曲线的几何特点有：它的位置关系与圆相似，两端的曲率反向，它的几何特性与圆形的弧有相似处，且两端的曲率是正负交替的。

那么接下来就是考虑直线与双曲线的具体位置关系了。

从图形上描述，可以得出：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线，两条双曲线交于一点时，直线也必定经过这一点，但是直线与双曲线的位置关系，尤其是是否会相切，则需要数学思考和推导。

从直线与双曲线的极坐标方程看，可以发现双曲线的当两个参数均相等时，即双曲线的曲线面上有一条与直线相切的切线，可以知道，双曲线与直线存在相切关系。

再来讨论双曲线当双曲线和直线平行时，两条双曲线也可能相切，因两条双曲线的拐点均等距离，因此当双曲线具有同一条拐点与另一条平行线上的拐点的特点时，就可以说双曲线与平行线相切。

最后要讲的是双曲线与圆的位置关系，文中提到双曲线的几何特点有，两端的曲率反向，因此双曲线和圆也可能存在相切关系。

当两端曲率正反交替时，双曲线就会切圆，而且双曲线的曲率正反交替程度越大，形成的轮廓就会越像一个圆。

所以，双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好在圆边上，则双曲线与圆就会相切。

总结起来，直线与双曲线的位置关系有以下几类：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线；双曲线与直线相切，并且当直线与双曲线平行时，双曲线也可能相切；双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好出现在圆边上时，双曲线与圆就可能相切。

直线与双曲线的位置关系

｜ AB ｜＝ 1 + 2 · (1 ＋2 )2 − 41 2
2 2
2
3
12 2 +8
16( 2 +1)
2
2
＝ 1+ ·
− 2 ＝ 1+ · 2 2
2
−2
−2
( −2)
4( 2 +1)
2
＝
＝4，解得 k ＝± .
2
2
｜ −2｜
当2－ k 2≠0时， x
考点三
例3
综上可知过 P 0，2 且与双曲线2 x 2－ y 2＝1有且只有一个公共点的直线
有4条.
考点二
例2
弦长问题
如图，过双曲线2 x 2－ y 2＝6的左焦点 F 1，作倾斜角为30°的直线交双
曲线于 A ， B 两点，则｜ AB ｜＝
16 3
5
.
设 A 点坐标为( x 1， y 1)， B 点坐标为( x 2， y 2).
B. x ＋2 y －1＝0
AB ｜＝4，则下列不满足条件的直线 l 为(
B )
设 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)，
当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x ＝ 3 ，
由ቐ
＝ 3，
2
−
2
2
得 y ＝±2，
= 1，
∴｜ AB ｜＝｜ y 1－ y 2｜＝4满足题意.
2 ＋ 2
2

3
6
2
所以 e ＝
＝1＋ 2 ＝，即 e ＝ .
2

2
2
4.
2

(2024·浙江金华模拟)过点 P (1，1)作直线 l 与双曲线 x 2－＝λ交于

知识讲解直线与双曲线的位置关系(理)

直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质双曲线双曲线的定义与标准方程双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)x y a b a b-=>>22221(0,0)y x a b a b-=>>要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点．直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP=12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：（1）利用定义转化（2）利用双曲线的几何性质（3）转化为函数求最值【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且122PF PF ac ⋅=，其中c =【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，又122PF PF ac ⋅=，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝12+，即双曲线的离心率为12+. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。

谈直线和双曲线的位置关系之(1)联立方程法

【专题九】登峰造极,唯我独尊——谈直线和双曲线的位置关系之（1）联立方程法直线与双曲线的位置关系题型包括①判断交点个数②判断相切、相交、相离三种位置关系③求弦长及三角形面积等问题；用到的思想是数形结合思想，方法是联立方程法，具体做法如下：① 联立方程：直线l ：)0(≠+=m m kx y双曲线C ：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12222b y ax m kx y ②消去y(或x) ，得到关于x(或y)的方程02)(222222222=----b a m a mkx a x k a ba) 讨论二次项系数为零和不为零两种情况ⅰ）为零，相交，且只有一个交点当0222=-k a b ，即abk ±=时，直线l 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C 相交于一点； ⅱ）不为零时，利用判别式△来判断当2220b a k -≠，即a b k ±≠时，2222(2)4()()(a m k b a k a k a ∆=------ ①0∆>时，直线l 与双曲线相交，有两个公共点②0=∆时，直线l 与双曲线相切，有且仅有一个公共点③0∆<时，直线l 与双曲线相离，无公共点【点拨】①直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么? ?（不一定）②直线与双曲线相交，必有两个公共点?（对吗，为什么?）③弦长公式：ⅰ） 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21（含x的方程）ⅱ）2122122124)(1111y y y y ky y k AB -++=-+=211()k a ∆=+（含y 的方程）④相交两点时，首先0∆>，ⅰ）若120x x >直线与双曲线交与单支；ⅱ）120x x <直线与双曲线交与两支；ⅲ）若120x x +>，且120x x >直线与双曲线交于右单支；ⅳ）若120x x +<，且120x x >直线与双曲线交于左单支。

直线与双曲线的位置关系(专题拓展)

直线与双曲线
(1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
(2)有两个公共点;
2
(2)
5 ＜k＜
2
5；
2
2
且k 1
(3)只有一个公共点;
(3)k=±1，或k= ± 5 ；
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ；
(5)与左支交于两点. - 5 k 1 2
一、交点——交点个数
1.过点P(1,1)与双曲线 x2 y2 1
②相切一点: ③相离:
△=0 △＜0
特别注意直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支
直线与圆锥曲线相交常考点
一、交点——交点个数二、弦长——弦长公式三、弦的中点的问题——点差法
一、交点——交点个数
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使
直线与双曲线的
位置关系专题复习
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
相切
相交
判断方法
（1）联立方程组
（2）消去一个未知数
（3） ∆<0
∆=0
∆>0
1) 位置关系种类
Y
O
X
种类:相离、相切、相交(0个交点，1个交点，1个交点或2个交点)
2)位置关系与交点个数
Y
相切:1个交点
相离:0个交点
O
（2）设直线l与y轴的交点为P，且
PA
5 12
PB,
求a的值。
所以17 12
x2
2a2 1 a2
.
5 12
x
2 2
2a2 1 a2
.

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与双曲线的位置关系综合强化训练(附答案解析)

第1页共32页2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与双曲线的位置关系综合强化训练一、单选题1．（2022·全国高二课时练习）若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围为（）A ．(－2，2)B ．[－2，2)C ．(－2，2]D ．[－2，2]2．（2022·全国高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y ＝12x 交于A ，B 两点，若|AB |＝）A ．x 2－y 2＝6B ．x 2－y 2＝9C ．x 2－y 2＝16D ．x 2－y 2＝253．（2021·云南保山·（理））已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与直线:41l y x =+相交于M ，N 两点，直线l 上存在一点P 满足MP PN =，坐标原点为O ，直线OP 的斜率为2，则该双曲线的离心率为（）AB ．62CD ．34．（2020·江西上高二中）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左､右焦点，点(),0M a -，()0,N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S =（）A ．4B ．8C．D．5．（2021·广西崇左高中高二）已知点A ，B 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点，1F ，2F是双曲线的左、右焦点，若12F F =P 是双曲线上异于A ，B 的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积为定值4，则AB =（）A ．2B．C．D ．4第2页共32页6．（2021·河南商丘·（文））双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，虚轴的上端点为A ，直线FA 交双曲线C 的右支于点B ，且2FA FB =，则双曲线C 的离心率为（）A．BC ．2D7．（2022·全国高二课时练习）直线l 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，斜率为2，若l 与双曲线的两个交点分别在双曲线的左､右两支上，则双曲线的离心率e 的取值范围是（）A．)+∞B．(C．(D．)+∞8．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线221369x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与双曲线左支交于A ，B 两点，且3AB =，那么22AF BF +的值是（）A ．21B ．30C ．27D ．159．（2021·全国高二课时练习）设双曲线22221(0)x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(,0)a ，(0,)b 两点．已知原点到直线l的距离为4c ，则双曲线的离心率为（）A ．2BCD10．（2021·全国高二课时练习）已知A ，B ，P 是双曲线22221x y a b -=上不同的三点，且点A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为（）A．2B．2CD二、多选题11．（2021·福建泉州·）若双曲线()2212:102x y C b b -=>与椭圆222:184x y C +=有相同的左右焦点1F ，2F ，且1C ，2C 在第一象限相交于点P ，则（）A．1PF B ．1C 的渐近线方程为y x =±C ．直线2y x =+与1C 有两个公共点D ．12PF F △的面积为第3页共32页12．（2020·湖北省汉川市第二中学）已知双曲线C 的标准方程为2214y x -=，则（）A ．双曲线C 的离心率等于半焦距B ．双曲线2214x y -=与双曲线C 有相同的渐近线C ．双曲线C 的一条渐近线被圆()2211x y -+=D ．直线y kx b =+与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，213．（2021·江苏海门市第一中学高二期末）在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，直线l 过点F ，与双曲线C 的右支交于点A ，B ，点P 在双曲线C 的右支上，则（）A0y -=是双曲线C 的一条渐近线B ．点P20y -+=的距离的最小值为1C ．线段PF 的最短长度为1D ．线段AB 的最短长度为614．（2021·东莞市光明中学高二开学考试）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率，且双曲线C 的左焦点F在直线230x y ++上，,A B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记,PA PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的方程为2214x y -=B ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±C ．F 点到双曲线C 的渐近线距离为2D ．12k k ⋅为定值1415．（2021·江苏海安高级中学高二期末）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，AQ AB AQ FB ⋅=⋅ ，且3BQ FQ =，则下列结论正确的是（）第4页共32页A ．直线l 与x 轴垂直B ．C的离心率为23C ．C的渐近线方程为9y x =±D ．FQ OF =（其中O 为坐标原点）三、填空题16．（2021·湛江市第二十中学）双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 作x 轴垂线交E 于点A ，过F 作与E 的一条渐近线平行的直线交E 于点B ，且A 、B 在x 轴同侧，若30FAB ∠=o ，则E 的离心率为_______．17．（2021·四川省资中县第二中学高二月考（文））设1F ，2F 分别是双曲线222:54C x y m -=的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且满足227AF F B =（O 是坐标原点），则直线l 的斜率为______.18．（2021·辽宁抚顺·）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点.若C 的焦距为4，则ODE 面积的最大值为______.19．（2021·四川南江·高二期末（文））双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，点A ，B 是双曲线上关于原点对称的两点，点M 是双曲线上异于点A ，B 的动点，若直线MA ，MB 的斜率都存在且分别为12,k k ，则12k k ⋅的值为___________．20．（2021·江苏高二专题练习）在平面直角坐标系中，对于曲线()222:10y yx C a b a b-=>>，有下面四个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②过平面内任意一点M ，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线C 都有且只有一个公共点；③存在唯一的一组实数a ，b ，使得曲线C 上的点到坐标原点距离的最小值为1；④存在无数个点M ，使得过点M 可以作两条直线，这两条直线与曲线C 都恰有三个公共点.第5页共32页其中所有正确结论的序号是___________.四、解答题21．（2020·江西省靖安中学高二月考（理））双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，坐标原点到直线AB 的距离为32，其中(),0A a ，()0,B b -.（1）求双曲线的方程；（2）若1B 是双曲线虚轴在y 轴正半轴上的端点，过点B 作直线交双曲线于点M ，N ，求11B M B N →→⊥时，直线MN 的方程.第6页共32页22．（2021·江苏省溧水高级中学）已知双曲线22:19x C y -=的右顶点为A ，过(5,0)M 作直线l 交双曲线的右支于B ，C 两点（点B 在x 轴上方）.（1）设直线AB 的斜率为1k ，直线AC 的斜率为2k ，求12k k ⋅的值；（2）若2MB CM =，求直线l 的斜率.第7页共32页23．（2020·合肥市第十一中学高二月考（理））已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>过点()2,3，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A 、B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k ，PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；第8页共32页24．（2020·南昌市八一中学高二月考）已知双曲线2221x y a -=的渐近线倾斜角分别为30°和150︒，F 为其左焦点，P 为双曲线右支上一个动点.（1）求||PF 的取值范围，并说明理由；（2）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为,Q R ，求证：||||PQ PR ⋅为定值.第9页共32页25．（2018·惠州市惠城区湖滨学校高二月考（理））已知1-2,0F （）,22,0F （）,点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E .（1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.（i ）无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(,0)M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值.（ii ）在（i ）的条件下，求MPQ ∆面积的最小值.第10页共32页26．（2021·云南弥勒市一中高二月考（理））已知双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，短轴端点为M ，1260F MF ∠=︒．（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；（2）过点()1,0N 作椭圆C 的两条互相垂直的弦DE ，FG ，证明：过两弦DE ，FG 中点的直线恒过定点．第11页共32页27．（2021·西藏拉萨中学高二月考（文））已知抛物线1C ：22y px =(0p >)的焦点与双曲线2C ：221412x y -=右顶点重合.（1）求抛物线1C 的标准方程；（2）设过点()0,1的直线l 与抛物线1C 交于不同的两点A ，B ，F 是抛物线1C 的焦点，且1FA FB ⋅= ，求直线l 的方程.第12页共32页28．（2020·四川省眉山第一中学高二月考（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 经过2F ，斜率为1-，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，求1F AB 的面积．第13页共32页29．（2021·河南高二月考（理））已知过点()的双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=.（1）求双曲线C 的方程；（2）若O 是坐标原点，直线l ：1y kx =-与双曲线C 的两支各有一个交点，且交点分别是A ，B ，AOBk 的值.第14页共32页30．（2020·河南魏都·许昌高中高二月考（文））已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的离，且双曲线2214x y -=的一条渐近线被椭圆C 截得的弦AB（1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆C 的左右焦点1F ，2F 直线l ：y mx n =+的距离之积为1.若直线l 与两坐标轴正半轴相交，求直线l 在两坐标轴上的截距之积的最小值；2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与双曲线的位置关系综合强化训练参考答案1．A解：因为直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则2k ≠±，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由()26440k ∆=->，解得－2<k <2.故选：A.2．B设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0)，与y ＝12x 联立，得34x 2＝a 2，∴|AB |＝a ＝3，故选B.3．D解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，∵M ，N 在双曲线22221x y a b-=上，2211221x y a b -=∴①，2222221x y a b -=②，①−②得：2121221212x x y y b y y a x x +-=+- ，因为M ，N 也在直线41y x =+上，所以12124y y x x -=-，又因为P 为M ，N 的中点，所以1212,22x x y y P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，2OP k =，所以121212x x y y +=+，则228b a=，双曲线的离心率3e =，故选：D ．4．A【详解】由2c e a==，得2c a =，b =，故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN上，可设()P m ，其中[],0m a ∈-，由于()1,0F c -，()2,0F c ，即()12,0F a -，()22,0F a ，得()12,PF a m =---，()22,PF a m =- ，所以22221231346444PF PF m ma a m a a ⎛⎫⋅=+-=+- ⎪⎝⎭ .由于[],0m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅取得最小值，此时P y =，当0m =时，12PF PF ⋅ 取得最大值，此时P y =，则214S S =，故选：A .5．A【详解】设(,0)A a -，(,0)B a ，(,)P x y ，则PA y k x a=+，PB y k x a =-，所以222222222214PA PB x b a y y y b k k x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===+---，又因为12F F =，所以2c =c =．又因为222c a b =+，所以1a =，2b =，所以2AB =．故选：A ．6．B由题意得：()(),0,0,F c A b -，因为2FA FB = ，所以(),2B c b 又因为点B 在双曲线上，所以222241c b a b -=，即225c a=，所以e =，故选：B7．D【详解】双曲线中一条渐近线的斜率为b k a=，若过焦点且斜率为2的直线，与双曲线的左右两支有交点，则2b a >，即2222222445b a c a a c a >⇒->⇒>，即225c c a a >⇒>故选：D8．C【详解】由题意可知，2366a a =⇒=，21212AF AF a -==，21212BF BF a -==，两式相加得()22112224AF BF AF BF AF BF AB +-+=+-=，即222427AF BF AB +=+=.故选：C9．A因为直线l 过(,0)a ，(0,)b 两点．所以直线l 的方程为1x y a b+=，即0bx ay ab +-=，所以原点到l的距离d ==①．又222(0)c a b a b =+<<②，所以2ab =，即224b c a a ⋅，故2=，解得2e =或e =当e =223a b =，与a b <矛盾，所以2e =．故选：A10．D【详解】设()11,A x y ，()22,P x y ，因为点A ，B 连线经过坐标原点，根据双曲线的对称性，则()11,B x y --，所以2221212122212121PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-．因为点A ，P 在双曲线上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减，得2243PA PB b k k a ⋅==，所以222273a b e a +==，所以3e =．故选：D.11．BD 因为双曲线()2212:102x y C b b -=>与椭圆222:184x y C +=有相同的左右焦点1F ，2F ，所以2284b +=-，解得22b =，即221:122x y C -=，所以其渐近线方程为y x =±，焦点坐标为()12,0F -，()22,0F ，即B 正确；因为2y x =+与双曲线1C 的一条渐近线平行，且2y x =+过右焦点()22,0F ，所以直线2y x =+与1C 只有一个交点，即C 错；由2222122184x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2242x y ⎧=⎨=⎩，又1C ，2C 在第一象限相交于点P，所以(P ，因此1PF ==A 错，12PF F △的面积为121212PF F P S F F y =⋅=V D 正确.故选：BD.12．AD因双曲线C 的标准方程为2214y x -=，则1,2,a b c ===双曲线C 的离心率c e a==，即A 正确；双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，而双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，它们不同，B 不正确；因双曲线C 的渐近线和圆()2211x y -+=都关于x 轴对称，不妨选渐近线20x y +=，圆心(1，0)到直线20x y +=的距离d ==渐近线20x y +=被该圆所截弦长为=C 不正确；由2244y kx b x y =+⎧⎨-=⎩得222(4)2(4)0k x kbx b ---+=，2,0k b =±=时，方程组无解，直线与双曲线交点个数为0，2,0k b =±≠，方程组有一解，直线与双曲线交点个数为1，24k ≠时，2216(4)b k ∆=-+，若∆<0，则方程组无解，直线与双曲线交点个数为0，若0∆=，则方程组有一解，直线与双曲线交点个数为1，若0∆>，则方程组有两解，直线与双曲线交点个数为2，综上得直线y kx b =+与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，2，即D 正确.故选：AD13．ACD 双曲线方程是2213y x -=，则其渐近线方程是y =，A 正确；20y -+=0y -=平行，因此双曲线上点P20y -+=的距离无最小值．B 错；1a =，2c =，当P 是右顶点M 时，PF 取得最小值211MF =-=，C 正确；设AB 的斜率为k，则k <k >(2,0)F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为(2)y k x =-，由22(2)13y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2222(3)4(43)0k x k x k -+-+=，212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，AB ==226(1)3k k +=-，246(1)3AB k =+-，因为k <k >23k >，即230k ->，所以6AB >，当AB x ⊥轴时，在2213y x -=中，令2x =，得3=±y ，此时6AB =，综上AB 的最小值为6．D 正确．故选：ACD ．14．AD 由题可得52c e a ==，左焦点F 在直线2350x y ++上，可得()5,0F -，即5c =2222,1a b c a ∴==-=，∴双曲线C 的方程为2214x y -=，故A 正确；则双曲线C 的渐近线方程为12y x =±，故B 错误；∴F 点到双曲线C 515=，故C 错误；设()00,P x y ，02x >且00y >，满足220014x y -=，()()2,0,2,0A B - ，则2020001222000011422444x y y y k k x x x x -⋅=⋅===+---，故D 正确.故选：AD.15．AB由已知得(),0A a ，设(),0F c ，由AQ AB AQ FB ⋅=⋅ ，得()0AQ AB BF AQ AF ⋅+=⋅= ，所以l x ⊥轴，即:l x a =，A 正确；不妨设点Q 在第一象限，易知，Q x a =，Q Q by x b a==，即点(),Q a b ，设()00,B x y ，由3BQ FQ = ，得2BF FQ =，所以()()00,2,c x y a c b --=-，所以00322x c a y b =-⎧⎨=-⎩，即()32,2B c a b --．因为点()00,B x y 在双曲线上，所以()22223214a a b c b--=，整理得229120c ac a --=，所以291210e e --=，解得253e =或253e =（负值舍去），B 正确；222222225451139b c a e a a-+==-=-=⎝⎭，故C 的渐近线的斜率的平方为459，C 错误；不妨设点Q 在第一象限，则(),Q a b ，所以()22222FQ c a b c ac c OF =-+=-≠=，D 错误．故选：AB ．16233易知点(),0F c -，将x c =代入双曲线E 的方程，可得22221c y a b -=，解得2by a=±，设点2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点F 作与直线by x a =平行的直线为()b y x c a =+，联立()222210b y x c a x y a b y ⎧=+⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得22322a c x cb y ac ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点223,22a c b B c ac ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，因为30FAB ∠=o ，则直线AB 的倾斜角为120 ，则32222232ABb b bc ac a k a c a cc--===-+-+，即有23b c a =，即22222334b c a a ac c =-=-+，即2234340c a -+=，所以，()2320c a-=，所以，2333c e a ==2331733-如图，设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的右支上，连接2MF ，过点M 作右准线2a x c=的垂线MN ，记2MF x θ∠=，则由双曲线的第二定义知，2MF cMN a =，其中c e a=.即222cosMF eac MFcθ=-+，整理得，221cosbaMFeθ=-.由双曲线222:54C x y m-=，得2222154x ym m-=，所以225ma=，224mb=，离心率32e=，由题设直线l的倾斜角为θ，由227AF F B=，知227AF BF=，，所以()2271cos1cosb ba ae eθπθ=⨯---，或()2271cos1cosb ba ae eπθθ=⨯---，‘解得3cos4eθ=或3cos4eθ=-，把32e=代入，可求得60θ=︒或120θ=°.故直线l或.18．2【详解】不妨设D在第一象限，E在第四象限，联立方程组,,x a by x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得,,x a y b =⎧⎨=⎩故(),D a b ，同理可得(),E a b -，所以2ED b =.122ODE S a b ab =⨯=△.因为C 的焦距为4，所以2c =，2222c a b ab =+≥，解得2ab ≤，当且仅当a b ==ODE S 的最大值为2.故答案为：2.19．14【详解】设双曲线半焦距c，由题意知222222251244c c a b b e a a a a +==⇒==⇒=，设()11,A x y ，()00,M x y ，根据对称性可得()11,B x y --，则2211221x y a b -=，2200221x y a b -=()0101,x x y y ≠±≠±，两式相减得22221010220x x y y a b ---=，即2221022210y y b x x a-=-，由斜率坐标公式得2221010011222210100114y y y y y y b k k x x x x x x a ----⋅=⋅===----，所以12k k ⋅的值为14.故答案为：1420．①④解：当0y ≥时，曲线C ：()222210x y a b a b-=>>为焦点在x 轴上的双曲线，当0y <时，曲线C ：()222210x y a b a b+=>>为焦点在x 轴上的椭圆，所以双曲线和椭圆都关于y 轴对称，故①正确；当点M 在曲线上时，有无数条直线与曲线C 都有且只有一个公共点，故②错误；存在()()(),1,1,,1,a b b -三组实数使得曲线C 上的点到坐标原点距离的最小值为1，故③错误；当by x a≠±时，存在无数个点M ，使得过点M 可以作两条直线，这两条直线与曲线C 都恰有三个公共点，故④正确.故答案为：①④.21．（1）22139x y -=；（2）3y =-.【详解】（1）设直线AB ：=1x ya b-，由题意，32ba ⎧=⎪⎪⎨=，∴3a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22139x y -=.（2）由（1）得()0,3B -，()10,3B ，设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线MN ：3y kx =-，∴22339y kx x y =-⎧⎨-=⎩，∴223(3)9x kx --=，整理得()2236180k xkx -+-=，（1）∴12263k x x k +=-，()121221863y y k x x k +=+-=-，122183x x k =-，()()2121212399y y k x x k x x =-++=.∵()111,3B M x y →=-，()122,3B N x y →=-，110B M B N →→⋅=，∴()121212390x x y y y y +-++=，即22185499033k k +-+=--，解得25k =，∴k =1）有解，∴MN l：3y =-.22．（1）49-；（2）62解：（1）设直线l 的方程为5x my =+，与双曲线的方程2299x y -=联立，可得()()22291016090m y my m -++=-≠，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，可得122109m y y m +=--，122169y y m =-，1212290()109x x m y y m +=++=--，212121212(5)(5)5()25x x my my m y y m y y =++=+++22222161092255()25999m m m m m m m +=⋅+-+=----，由(3,0)A ，则12121222121212164333()992252709819y y y y k k x x x x x x m m =⋅===----++--++-；（2）若2MB CM =，则122(0)y y =-，即122y y =-，由（1）可得122109m y y m +=--，122169y y m =-，可得22109m y m -=--，2221629y m -=-，消去2y ，可得22728100m m -=，解得m =，由于B 在x轴的上方，可得m =即有直线l23．（1）由题意，双曲线C ：22221x y a b -=过点()2,3，两条渐近线的夹角为60°，可得22491a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，b =，或22491a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，无解．所以双曲线的方程为2213y x -=．（2）设A ()00,x y ，由双曲线的对称性，可得B ()00,x y --，设P (),x y ，则20220-⋅=-PA PBy y k k x x ，因为220033=-y x ，2233y x =-，所以20223-⋅==-PA PBy y k k x x ，即PA PB k k ⋅为定值3．24．（1）双曲线渐近线方程为3y x =±，又1b =，所以23a =，双曲线的标准方程为2213x y -=，则(F ，设00(,)P x y，0)x ∈+∞则22222000||((13x PF x y x =+=+-200413x =++所以2||5PF ≥+…所以||PF 的取值范围是[32,)++∞（2）因为22000000|3||3||3|||||224x y x y x y PQ PR -+-⋅=⋅=又220013x y -=，所以3||||4PQ PR ⋅=为定值.25．（1）由12122PF PF F F -=<知，点P 的轨迹E 是以F 1、F 2为焦点的双曲线右支，由22,22,3c a b ==∴=，故轨迹E 的方程为()2211.3y x x -=≥（2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()()11222,,,,y k x P x y Q x y =-，与双曲线方程联立消y 得()222234430k x k x k --++=，2212221223004034303k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪∴⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得k 2>3（i ）()()1212MP MQ x m x m y y ⋅=--+2210, 1.450m m m m 解得⎧-=∴=-⎨--=⎩,0MP MQ MP MQ ⊥∴⋅=，故得()()22231450m k m m -+--=对任意的23k >恒成立，2210, 1.450m m m m ⎧-=∴=-⎨--=⎩解得∴当m =－1时，MP ⊥MQ.当直线l 的斜率不存在时，由()()()2,3,2,31,0P Q M --及知结论也成立，综上，当m =－1时，MP ⊥MQ.（ii ）由（i ）知，()1,0M -，当直线l 的斜率存在时，2122163kPQ x xk+=-=-，M点到直线PQ的距离为d，则d=∴12MPQS PQ d∆====令23(0)k t t-=>，则MPQS∆=，因为1t>所以9MPQS∆=>当直线l的斜率不存在时，13692MPQS∆=⋅⋅=综上可知9MPQS∆≥，故MPQS∆的最小值为9.26．（1）因为双曲线的右焦点为(),0cbx ay-=b==在椭圆中，因为1260F MF∠=︒，则130F MO∠=︒，又OM b==12cos30OMa F M===，所以双曲线的方程为22143x y-=，椭圆C的方程为22143x y+=．（2）根据题意可得当直线DE与直线FG的斜率存在且不为0时，设直线DE 的方程为()10x my m =+≠，则直线FG 的方程设为11x y m=-+，联立2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，可得()2243690m y my ++-=，则()()22236363414410m m m ∆=++=+>．设()11,D x y ，()22,E x y ，则122643m y y m +=-+，()121228243x x m y y m +=++=+，所以DE 的中点2243,4343m R m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．同理可得FG 的中点22243,3434m m S m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以直线RS 的斜率()222222337434344414343RSm mm m m k m m m m --++==--++，所以直线RS 的方程为()222374434341m m y x m m m ⎛⎫+=- ⎪++-⎝⎭，整理可得()274741m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，所以直线RS 恒过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭；当直线DE 的斜率不存在时，弦DE 的中点()1,0N ，FG 的中点()0,0O ，此时过弦DE ，FG 的中点的直线为0y =，经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭．综上可得，过两弦DE ，FG 中点的直线恒过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭．27．（1）由题设知，双曲线222:1412x y C -=的右顶点为()2,0，∴22p=，解得4p =，∴抛物线1C 的标准方程为28y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为1y kx =+，联立218y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去y 得()222810k x k x +-+=，由0∆>得()222840k k -->，即2k <，∴12228k x x k -+=-，1221x x k =.又∵1FA FB ⋅=，()2,0F ，∴()()1212221FA FB x x y y ⋅=--+= ，∴()()()()()()2121212121224111251x x x x kx kx k x x k x x -+++++=++-++=，即2450k k +-=，解得1k =或5k =-，∴直线l 的方程为1y x =+或51y x =-+.28．（1）2213y x -=；（2）【详解】（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-，∴双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()12,0F -，()22,0F ，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩，得22470x x +-=，满足0∆>且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ==所以111622F AB S AB d =⋅=⋅⋅=△29．（1）221x y -=；（2）0k =.【详解】（1）因为双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=，所以可设双曲线C 的方程是()220x y λλ-=≠，则(21λ-=，解得1λ=.所以双曲线C 的方程是221x y -=.（2）由221,1,x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y 整理，得()221220k x kx -+-=.由题意知()22210,4810,k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩解得k <<且1k ≠±.设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221k x x k -+=-，12221x x k =--.因为l 与双曲线的交点分别在左､右两支上，所以120x x ⋅<，所以210k ->，所以11k -<<，则()1212OAB S x x =-△.所以()()(2221212124x x x x x x -=+-=，即2228811k k k ⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭，解得0k =或k =()1,1-/，所以0k =.30．（1）2212x y +=；（2）.【详解】（1）由椭圆C 的离心率为22=，整理得222a b =，椭圆C 的方程可化为22222x y b +=双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，假设渐近线12y x =被椭圆C 截得的弦为AB .把12y x =与22222x y b +=联立得两交点坐标为A ⎫⎪⎪⎝⎭，,B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由AB =222333⎛⎫⎛⎫⎛+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21b =，22a =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）点()11,0F -到直线l ：y mx n =+的距离1d =点()21,0F 到直线l ：y mx n =+的距离2d =由题意得2212211n m d d m -==+，即2221n m m -=+，若2221n m m -=+，则2221n m =+；若2221m n m -=+，则21n =-，不成立，所以2221n m =+.直线l 在x 轴上的截距为n m-，在y 轴上的截距为n ，因为直线l 与两坐标轴正半轴相交，所以0m <，0n >，直线l 在两坐标轴上的截距之积为2221n m m m +=≥=--当2m =-时取等号，所以直线l 在两坐标轴上的截距之积的最小值为。

高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)：1.直线与双曲线相交

今天我们研究直线与双曲线相交，即直线与双曲线有一个或两个交点。

直线方程与双曲线方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程或一元一次方程，则（1）一元一次方程情形，直线与双曲线有一个交点等价于直线与双曲线的渐近线平行；（2）一元二次方程情形，直线与双曲线有一个有两个交点等价于直线与双曲线方程联立后方程有两个不同的解，其判别式大于0。

先看例题：例：若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6相交，求k 的取值范围。

解：由22=+26y kx x y ⎧⎨-=⎩得22410)0(1k x kx -－－＝，（1）直线与双曲线有两个公共点，即：()()222101641100k k k ⎧-≠⎪⎨∆=--⨯->⎪⎩，解得1515(1)(1,1)(1,33k ∈--⋃-⋃ （2）直线与双曲线有一个公共点，21=0k -，解得1k =± 综上有151533k -<< 整理：设直线l :y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b（1）若0222=-k a b 即a bk ±=，且0m ≠时，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；（2）若0222≠-k a b 即a bk ±≠，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点。

注意：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支。

再看一个例题，加深印象例：若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ()A.⎛ ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解：由22=+26y kx x y ⎧⎨-=⎩得22410)0(1k x kx -－－＝，∴()()222121210164110000k k k x x x x ⎧-≠⎪∆=--⨯->⎪⎨+>⎪⎪>⎩，解得13k -<<-，正确答案D.总结：1.直线与双曲线相交，即直线与双曲线有一个或两个交点。

直线与双曲线的位置关系(强化训练)

2008冬新教材双曲线离心率和直线位置关系

直线与双曲线位置关系

直线与双曲线的位置关系

高中数学-直线与双曲线的位置关系练习

巩固练习直线与双曲线的位置关系文基础

直线与双曲线位置关系典例精析

2.3.2直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系(分层练习)

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直线与双曲线的位置关系教案

直线与双曲线的位置关系知识点

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2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与双曲线的位置关系综合强化训练(附答案解析)

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