高二文科数学教案《212椭圆的简单几何性质》

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椭圆的简单几何性质教案

椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及其简单几何性质；2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念；3. 能够运用椭圆的性质解决相关问题。

教学重点：1. 椭圆的定义及简单几何性质；2. 椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念。

教学难点：1. 椭圆的性质在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 尺子、圆规等绘图工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的性质，复习圆的基本概念；2. 提问：圆有什么特殊的性质？它的形状是什么样的？二、新课导入（10分钟）1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹；2. 讲解椭圆的基本性质：椭圆的长轴、短轴、焦距等；3. 示例：绘制一个椭圆，并标出其长轴、短轴、焦距等。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生自主绘制几个椭圆，并标出其长轴、短轴、焦距等；2. 互相交流，检查答案。

四、巩固知识（10分钟）1. 讲解椭圆的性质在实际问题中的应用；2. 示例：解决一些与椭圆相关的几何问题。

五、课堂小结（5分钟）2. 强调椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念。

教学反思：六、案例分析：椭圆在现实生活中的应用（10分钟）1. 展示椭圆在自然界中的实例，如行星的运动轨迹、鸟蛋的形状等；2. 分析椭圆在这些实例中的作用和意义；3. 提问：椭圆在现实生活中还有哪些应用？七、互动探究：探索椭圆的面积公式（10分钟）1. 引导学生回顾圆形面积公式；2. 提问：椭圆的面积公式是什么？能否从圆的面积公式入手，探索椭圆的面积公式？3. 分组讨论，让学生自主探索椭圆的面积公式。

八、课堂练习：解决椭圆面积问题（10分钟）1. 让学生自主解决一些与椭圆面积相关的问题；2. 互相交流，检查答案。

九、拓展延伸：椭圆的进一步研究（10分钟）1. 介绍椭圆的一些更深入的性质，如离心率、焦距等；2. 引导学生思考：这些性质有什么实际应用？十、课堂小结与作业布置（5分钟）2. 强调椭圆的面积公式及其应用；3. 布置作业：解决一些与椭圆相关的实际问题。

《2.1.2 椭圆的简单几何性质》教案

《椭圆的简单几何性质》教案
教学目标
1.知识与技能：（1）、能根据椭圆方程，利用图像得出椭圆的简单几何性质，并能熟练运用。

（2）、会利用椭圆的几何性质求椭圆方程。

2.过程与方法：通过复习回顾椭圆的两种标准方程与图形总结出椭圆简单几何性质，培养学生的观察能力和归纳能力；通过椭圆简单几何性质应用的两种类型培养学生学以致用，举一反三的能力。

3.情感态度与价值观：通过探究椭圆的简单几何性质激发学生的积极性，获取学习数学的成就感。

教学重点：
椭圆的简单几何性质
教学难点：
椭圆几何性质的灵活应用
教学过程：
一、复习回顾
认真复习课本，完成知识梳理：
二、学以致用
（一）、由椭圆方程求椭圆的几何性质
例1、求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。

变式训练：求椭圆252522=+y x 的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。

（二）、利用椭圆的几何性质求标准方程
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）经过点P （-3,0），Q （0，-2）（2）焦点在x 轴上，长轴长是12，离心率是3
2；
变式训练：已知椭圆的长轴长是20，离心率是35
，求椭圆的标准方程。

三、拓展提升
已知椭圆短轴的一个端点与椭圆的两焦点的连线互相垂直，则此椭圆的离心率e=_______.
变式训练：若椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成正三角形, 则此椭圆的离心率e=_______.
课堂小结
（1）、知识收获：
（2）、数学思想：
课后作业。

人教课标版高中数学选修2-1：《椭圆的简单几何性质(第1课时)》教案-新版

2.2.2 椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教学目标（一）学习目标1.给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；2.在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其相互关系；3.知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响. （二）学习重点1.用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2.椭圆的简单几何性质. （三）学习难点椭圆的离心率及椭圆几何性质的简单应用二.教学设计（一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第43页至第46页.（2）想一想：椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响？（3）写一写：焦点分别在,x y 轴上的椭圆的范围、对称性、顶点. 2.预习自测判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为a .（）（2）椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.（）（3）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为2212516x y +=.（）（4）已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=上，则24m +的最大值为4+.（）【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】通过椭圆的标准方程22221x y a b +=可认识到椭圆的相应几何量：长轴长2a ，短轴长2b ，离心率e ca=，x 的取值范围取值范围a x a -≤≤. 【思路点拨】通过椭圆的标准方程认识几何性质. 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√. （二）课堂设计 1.知识回顾椭圆的标准方程：当焦点在x 轴时，)0(12222>>=+b a b y a x当焦点在y 轴时，)0(12222>>=+b a b x a y2.新知讲解探究一：具体方程，认识图形 ●活动① 图形引发性质运用所学的知识，你能否画出方程14922=+y x 所对应的曲线？（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图.）预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图；预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x 轴y 轴的交点再连结；预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分；【设计意图】让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点.研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置.以椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质？【设计意图】引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度. 探究二：简化抽象、探究性质 ●活动① 归纳梳理、理解提升（1）范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b ≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤.说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里. （2）对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称.若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. （3）顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点.同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22R t O BF ∆中，2||O B b =，2||O F c =，22||BF a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222c a b =-. （4）离心率：椭圆的焦距与长轴的比e ca=叫椭圆的离心率.∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆.当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a+=.e 1,0c a b →→→⎧⎨⎩当时,椭圆图形越扁； e 00,c b a →→→⎧⎨⎩当时,椭圆越接近于圆. ●活动② 巩固基础、检查反馈例1.根据下列条件求椭圆的标准方程（1）28,e 3c ==；（2）过点(3,0)P ，离心率e =，求椭圆的标准方程. 【知识点】椭圆的标准方程以及离心率. 【解题过程】（1）8e ,1223c c a a e =∴===，又2222212880b a c =-=-= ∴椭圆标标准方程为22114480x y +=或22114480y x +=. （2）当椭圆的焦点在x 轴上时，3,c a c a ==∴=. 从而222963b a c =-=-=，∴椭圆的方程为22193x y +=.当椭圆的焦点在y 轴上时，3,c b a === 227a ∴=，∴椭圆方程为221927x y += ∴所求椭圆的方程为221927x y +=或22193x y +=. 【思路点拨】已知椭圆的某些性质，和与性质相关的条件求标准方程仍需先判定焦点位置，从而确定方程形式，并用待定系数的思想，求出方程中的,a b 值，得到方程.【答案】（1）22114480x y +=或22114480y x +=；（2）221927x y +=或22193x y +=.同类训练已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =，求m 的值. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，∴253m =⇒=. 【思路点拨】根据椭圆焦点的位置确定,,a b c 的值，结合离心率的定义建立方程求解.【答案】m =3或253. 例2.已知12,F F 分别为椭圆12222=+by a x 的左右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，求这个椭圆的离心率. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】由题意12PF F ∆为直角三角形，且90P ∠=，1260PF F ∠=，122F F c =，则12,PF c PF ==，所以由椭圆的定义知，122PF PF a +=，即2c a +=，得离心率e 1ca==. 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围.1-同类训练已知椭圆12222=+by a x (0)a b >>，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A B 、两点， 0OA OB ⋅=，求椭圆的离心率. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】2(,0)F c ，把x c =代入椭圆12222=+b y a x 得2(,)b A c a .由0OA OB ⋅=，结合图形得22||||OF AF =，即：22222e e 10e b c b ac a c ac a =⇒=⇒-=⇒+-=⇒=. 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围.. 例3.如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程.【知识点】椭圆的方程以及离心率. 【解题过程】分析：若设点(),M x y ，则MF =，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程.25:44,5d M l x MF M P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设是点到直线的距离，根据题意，点的轨迹就是集合4.5=22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得22 1.259x y +=即所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆.【思路点拨】利用条件直接求轨迹方程，我们可以将例3抽象为下面问题：点(,)P x y 与定点(,0)F c 的距离和它到一定直线2:a l x c=的距离之比是常数ca(0)a c >>，求点P 的轨迹方程. （记222b ac =-，则轨迹方程为22221x y a b+=.）【答案】221259x y +=.3.课堂总结知识梳理椭圆的简单几何性质：重难点归纳利用椭圆轴长、离心率、准线等性质求解椭圆方程时，需注意：（1）在,,,e a b c 四个参数中，只要知道其中的任意两个，便可求出其它两个，必须正确地掌握四个参数间的相互关系；（2）离心率的转化和变形：222e (1)c bb a e a a==⇒=⇒=-. （三）课后作业基础型自主突破1.若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为（） A.1 B.32 C. 3 D.83 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】由题意得a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m ，又c a ＝12，∴2－m 2＝12，∴m＝32.【思路点拨】利用椭圆离心率定义解题. 【答案】B2.椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1 (0<k <9)有（）A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长的短轴【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝8=，故选B. 【思路点拨】灵活利用椭圆a,b,c 三者关系. 【答案】B3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（） A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43， ∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. 【思路点拨】过焦点的直线利用椭圆的定义. 【答案】A.4.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为（） A.14 B.55 C.12 D.5－2 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝5 5.【思路点拨】利用椭圆的几何性质中量的关系.【答案】B5.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由已知，2a＝8,2c＝215，∴a＝4，c＝15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y216＋x2＝1.【思路点拨】利用条件求a,b,c的值.【答案】y216＋x2＝1.6.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤32.则长轴长的取值范围为________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵b＝1，∴c2＝a2－1，又c2a2＝a2－1a2＝1－1a2≤34，∴1a2≥14，∴a2≤4，又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1<a≤2，故长轴长2<2a≤4.【思路点拨】利用离心率的定义建立不等关系. 【答案】2<2a≤4能力型师生共研7.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆G的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，半焦距为c，则⎩⎨⎧2a ＝12，c a ＝32，∴⎩⎨⎧a ＝6，c ＝3 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.【思路点拨】利用椭圆a,b,c 三者关系以及椭圆定义解题. 【答案】x 236＋y 29＝18.椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴S ＝12×3×2＝3.【思路点拨】数形结合解题. 【答案】3 探究型多维突破9.已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段P A 中点M 的轨迹方程.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 24＝1.把⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y 代入x 208＋y 204＝1，得22(26)(2)184x y -+=，即22(3)12x y -+=为所求.【思路点拨】相关点转移法求轨迹.【答案】22(3)12x y -+=.10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，离心率e ＝22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 、B 是直线l ：x ＝22上的不同两点，若AF 1→·BF 2→＝0，求|AB |的最小值. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，S ＝12ab ＝42，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1.（2）由(1)知，F 1、F 2的坐标分别为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设直线l ：x ＝22上的不同两点A 、B 的坐标分别为A (22，y 1)、B (22，y 2)，则AF 1→＝(－32，－y 1)、BF 2→＝(－2，－y 2)，由AF 1→·BF 2→＝0得y 1y 2＋6＝0，即y 2＝－6y 1，不妨设y 1>0，则|AB |＝|y 1－y 2|＝y 1＋6y 1≥26，当y 1＝6、y 2＝－6时取等号，所以|AB |的最小值是2 6.【思路点拨】建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值得方法确定最值. 【答案】（1）x 24＋y 22＝1；（2）2 6. 自助餐1.过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为（） A.8,6 B.4,3 C.2， 3 D.4,2 3 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a .∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B. 【思路点拨】利用椭圆的几何性质量的关系解题. 【答案】B2.设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且，12:2:1PF PF =则△F 1PF 2的面积等于（） A.5 B.4 C.3 D.1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又12:2:1PF PF =，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B. 【思路点拨】充分利用椭圆的定义求出三角形三边解题. 【答案】B3.已知A ＝{1,2,4,5}，a ，b ∈A ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为（）A.34B.38C.316D.12 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵a ，b ∈A ，∴不同的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1共有16个. 由题意a 2<b 2，∴a ＝1时，b ＝2,4,5；a ＝2时，b ＝4,5； a ＝4时，b ＝5，共6个，∴所求概率P ＝616＝38. 【思路点拨】注意椭圆的焦点在y 轴上. 【答案】B4.已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)两个焦点，P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α，且当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则椭圆的标准方程为（） A.x 212＋y 23＝1 B.x 214＋y 25＝1 C.x 215＋y 26＝1 D.x 216＋y 27＝1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵当P 在短轴端点时，S △F 1PF 2最大，∴∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝bc ，∵c ＝3，∴b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝12，椭圆方程为x 212＋y 23＝1.【思路点拨】利用几何关系. 【答案】A5.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，∵(2)33m m m m m m +-=>++，∴m >m m ＋3.即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ==.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12). 【思路点拨】利用离心率的定义建立关系.6.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】解法一：设焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b ).在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2，而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b23b ＝2a .∴b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.解法二：设M(c，23b)，代入椭圆方程，得c2a2＋4b29b2＝1，∴c2a2＝59，∴ca＝53，即e＝53.【思路点拨】利用椭圆的几何关系结合椭圆离心率的定义解题.。

2.1.2《椭圆的简单几何性质》教学设计

2.1.2《椭圆的简单几何性质》第一课时科目：高二数学****************完成时间：2022年4月25日课型：新授课教学工具：多媒体设备◆知识与技能目标通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质，用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念.◆过程与方法目标能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图.引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中要通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解,而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点P的思考问题，探究椭的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过39圆的扁平程度量椭圆的离心率．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．教学过程设计教学步骤教师活动学生活动设计意图（一）导入一、情景导入：1.国家大剧院的半椭圆正视图；1. 2.椭圆的标准方程.在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.（二）椭圆的大小思考1：如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？1.范围由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22ax≤1,22by≤1即x2≤a2,y2≤b2所以|x|≤a，|y|≤b即－a≤x≤a, －b≤y≤b这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。

《2.1.2椭圆的简单几何性质》教学案2

《椭圆的简单几何性质》教学案学习目标：1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质； 2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系； 3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法.学习重点：椭圆的几何性质.学习难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质.学习过程：一、自主学习：1．椭圆定义：___________________________________________. 2．标准方程：___________________________________________. 3．问题：(1)椭圆曲线的几何意义是什么？(2)“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的y x ,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？(3)标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？(4)椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a ,,的几何意义各是什么？(5)椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？(6)画椭圆草图的方法是怎样的？ 4.由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )研究椭圆的性质.(利用方程研究，说明结论与由图形观察一致)(1)范围:从标准方程得出122≤a x ，122≤by ，即有a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称.原点叫椭圆的________，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距.(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点.在椭圆12222=+by a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆12222=+by a x 的顶点令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆12222=+by a x 的顶点因此椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B - 加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.21A A 叫椭圆的_______，21B B 叫椭圆的_______．长分别为b a 2,2b a ,分别为椭圆的_______和_______.椭圆的_______即为椭圆与对称轴的交点.至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称性，顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了．(4)离心率:发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同这种扁平性质由什么来决定呢？概念：____________________________. 定义式：____________________________. 范围：____________________________. 考察椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例二、合作探究：例1 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：(1)1162522=+y x (2)192522=+y x例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：(1)14922=+y x (2)1364922=+y x三、课堂练习：1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率2．如图，求椭圆12222=+by a x ，(0>>b a )内接正方形ABCD 的面积五、课堂小结我的收获：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法.。

高二文科数学教案《椭圆的简单几何性质(一)》

2.1.2椭圆的简单几何性质（一）教学目标：椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）. 重点难点分析教学重点：椭圆的简单几何性质. 教学难点：椭圆的简单几何性质. 教学设计：【复习引入】1. 椭圆的定义是什么？2. 椭圆的标准方程是什么？【讲授新课】利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．以焦点在x 轴上椭圆为例12222=+by a x (a ＞b ＞0)． 1．范围椭圆上点的坐标(x , y )都适合不等式,122≤ax ,122≤b y 即x 2≤a 2，y 2≤b 2，∴|x|≤a ，|y|≤b ．椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．2．对称性在椭圆的标准方程里，把x 换成－x ，或把y 换成－y ，或把x 、y 同时换成－x 、－y 时，方程有变化吗？这说明什么？椭圆关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心。

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 3．顶点只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、 A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长．|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2．小结：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形. 4．离心率椭圆的焦距与长轴长的比ace =，叫做椭圆的离心率．∵a ＞c ＞0，∴0＜e ＜1．越小，因此椭圆越扁；，从而越接近时，越接近当221)1(c a b a c e -=因此椭圆越接近于圆；，越接近，从而越接近时，越接近当a b c e 00)2(. 0)3(222a y x c b a =+==为圆，方程成为，两焦点重合，图形变时，当且仅当练习教科书P.41练习第5题．例1 求椭圆16x 2＋25y 2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．解：把已知方程化成标准方程,1452222=+y x 这里a ＝5，b ＝4，所以.31625=-=c椭圆的长轴和短轴的长分别是2a ＝10和2b ＝8，ace =离心率. 焦点为F 1(－3, 0)、F 2(3, 0)，顶点是A 1(−5,0)、A 2(5,0)，B 1(0,−4)、B 2(0,4)．把已知方程化成标准方程,1452222=+y x:),(50y x x 坐标的范围内算出几个点的在≤≤先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性质画出整个椭圆．椭圆的简单作法:(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形； (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点； (3) 用曲线将四个顶点连成一个椭圆.例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 经过点P (－3, 0)、Q (0,－ 2);.5320)2(，离心率等于长轴的长等于解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点.即P 、Q 分别是椭圆长轴和短轴的一个端点.于是得a ＝3，b ＝2.又因为长轴在x 轴上，所以椭圆的标准方程是.14922=+y x(2)由已知，2a ＝20 ，,53==a c e ∴a ＝10 ，c ＝6. ∴b 2＝102－62＝64.∵椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上,∴所求椭圆的标准方程为16410022=+y x .16410022=+x y 或练习求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.解：，轴上，设椭圆方程为若焦点在)0(1:2222>>=+b a by a x x依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+=1116222b a b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==552b a 得：故椭圆方程为.152022=+y x 轴上，若焦点在y 同理求得椭圆方程为：：所以椭圆的标准方程为.14656515202222=+=+x y y x 或。

椭圆的简单几何性质优秀教案

椭圆的简单几何性质优秀教案引言本教案旨在介绍椭圆的简单几何性质，以帮助学生理解椭圆的特点和特性。

通过研究本教案，学生将能够掌握椭圆的定义、主要性质和相关计算方法。

椭圆的定义椭圆是平面上一条固定点F（称焦点）和一条固定线段L（称为准线段）之间的点的轨迹，使得从F到点P的距离与准线段L上的点P到L的距离之和为常数2a。

如下所示：椭圆的性质1. 椭圆的长轴是焦点F之间的线段，短轴是准线段L的垂直平分线段。

长轴和短轴的长度之比为a:b。

2. 椭圆的离心率e的计算公式为e = c/a，其中c是焦点F到椭圆中心的距离。

3. 椭圆的离心率范围为0 < e < 1。

当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一条直线段。

4. 椭圆的准线段L和长轴之间的夹角称为偏心角，偏心角的大小取决于离心率e的大小。

5. 椭圆的焦距为2ae，其中e是离心率。

相关计算方法1. 椭圆的周长计算公式为C = 4aE(e)，其中E(e)是第二椭圆积分，需要使用数值积分方法计算。

2. 椭圆的面积计算公式为A = πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

教学活动1. 使用白板或黑板绘制椭圆的定义和性质的图示，并解释相关概念。

2. 分组让学生自己计算给定的椭圆的周长和面积，并与同组同学讨论和比较结果。

3. 设计一些练题，让学生运用所学概念计算椭圆的相关信息。

4. 使用多媒体展示椭圆的实际应用场景，如行星轨道、卫星轨道等，以加深学生对椭圆的理解和感受。

总结本教案通过简洁明了的语言和图示介绍了椭圆的几何性质和相关计算方法。

通过对椭圆的定义、性质和计算的学习，学生能够更好地理解椭圆的特点和特性，并能够应用所学知识解决实际问题。

教师可以根据学生的实际水平和兴趣选择适当的教学方法和活动，提高学生的学习效果和兴趣。

高二文科数学教案《2.1.2 椭圆的简单几何性质(四)》

2.1.2 椭圆的简单几何性质(四) 复习导入
3. 当m 取何值直线l : y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144相切、相交、相离. 讲授新课
例1已知椭圆的两个焦点为),0,3(1-F ),0,3(2F 离心率为.2
3=e (1)求椭圆的方程；
(2)设直线l ：y =x +m ，若l 与椭圆交于P 、Q 两点，且∣PQ ∣等于椭圆的短轴长，求m 的值. 例2 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x ＋1与该椭圆交于点P 、Q ，且 ,0=⋅OQ OP ,2
10=PQ 求椭圆的方程. 例3 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l 过点P (0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当△AOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.
课后作业
《学案》P38面双基训练.。

《椭圆的简单几何性质》教学设计

椭圆的简单几何性质（1）教学设计杨华燕大附中2.2.2椭圆的简单几何性质（1）教学设计一、教学任务及对象1、教学内容分析《椭圆的简单几何性质》是选修2-1第二章第二节的内容，本节内容是在学生已经学过曲线与方程和椭圆的概念及其标准方程基础上引入的，是利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，它是由方程研究曲线的性质的一个应用，也是为后面学习利用双曲线、抛物线的标准方程研究其几何性质做铺垫，因此本节课起到承前启后的作用。

2、教学对象分析本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了椭圆的标准方程，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。

二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：1、知识与技能：使学生掌握椭圆的几何性质，初步学会运用椭圆的几何性质解决问题，进一步体会数形结合的思想。

2、过程与方法：通过数和形两条线研究椭圆的几何性质，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数形结合的思想方法；对椭圆的几何性质的归纳、总结时培养学生抽象概括能力；进一步强化数形结合思想。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。

三、重、难点分析重点：椭圆的简单几何性质难点：培养数形结合思想四、教学策略为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，采用“生本课堂”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣.2．学法分析本节课通过探究椭圆的几何性质，让学生体会数形结合思想，加深对解析几何的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．五、教学过程本节课中应把更多的时间、机会留给学生，让学生充分的交流、探究，积极引导学生动手操作、动脑思考。

椭圆的简单几何性质(教案)

椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。

2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。

3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。

2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。

2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。

3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。

三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。

2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。

3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。

四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。

2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。

3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。

五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。

2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。

3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。

教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。

2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。

3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。

六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。

2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。

3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。

七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。

椭圆的简单几何性质教案

椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义；2. 掌握椭圆的几何性质。

教学准备：1. 黑板、白板或投影仪；2. 教学素材：椭圆的定义、几何性质介绍。

教学步骤：步骤一：引入椭圆的概念1. 提问：你知道什么是椭圆吗？它有什么特点？2. 引导学生回忆：距离两个定点之和等于定长的点的集合。

3. 通过例子说明：如何用一个平面上的点集来定义椭圆。

步骤二：椭圆的基本定义1. 教师以图形的形式呈现椭圆的定义。

2. 教师解释：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的集合。

3. 引导学生回忆：两个定点称为焦点，定长称为焦距。

步骤三：椭圆的几何性质1. 教师介绍椭圆的几何性质，并逐个进行解释。

a. 椭圆的中心：定点连线的中点。

b. 半长轴和半短轴：焦点到椭圆上最远和最近的点所在的线段。

c. 焦距：两个焦点之间的距离。

d. 长轴和短轴：与半长轴和半短轴垂直的，通过中心的线段。

e. 弦：连接椭圆上两点的线段。

f. 离心率：焦距与长轴之比。

2. 引导学生观察图形，并回答相关问题。

步骤四：椭圆的推导与应用1. 教师给出一道例题，通过推导来解决问题。

2. 学生进行讨论，尝试解答问题。

3. 教师引导学生总结解题方法和思路。

步骤五：练习与拓展1. 学生个体或小组进行练习题，加深对椭圆性质的理解和应用。

2. 拓展问题：椭圆的方程和参数方程。

步骤六：总结与反思1. 教师与学生共同总结椭圆的简单几何性质。

2. 学生反思：通过本课学到了哪些知识，还有哪些困惑。

教学评价：1. 教师根据学生在课堂上的表现进行评价；2. 学生完成课后作业，教师批改并提供反馈；3. 课堂小测验或期末考试。

椭圆的简单几何性质教案

椭圆的简单几何性质教案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中数学选修2-1教学设计-椭圆的简单几何性质

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。

【学习目标】1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；2．椭圆与直线的关系．【重点】理解曲线的方程、方程的曲线【难点】求曲线的方程一、自主学习1.预习教材P46～ P48, 找出疑惑之处复习1：椭圆2211612x y+=的焦点坐标是（）（）；长轴长、短轴长；离心率．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？2.导学提纲问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？二、典型例题例1 。

教材46页例5变式：若图形的开口向上，则方程是什么？例2 教材47页例7变式：最大距离是多少？例3.教材50页2题三、拓展探究1．已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010a km =⨯，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．2．经过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．变式：已知椭圆2212x y +=，直线l ：y=kx-3，直线l 与椭圆有公共点，有一个公共点，有二不同的公共点，无公共点，分别讨论对应的k 的取值范围。

．四、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：五、课后巩固1．设P 是椭圆 2211612x y +=上一点，P 到两焦点的距离之差为2，则12PF F ∆是（）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形2．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）．C. 21 3．已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）．A. 95B. 3C. 94 4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为．5．椭圆2214520x y +=的焦点分别是1F 和2F ，过原点O 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若2ABF ∆的面积是20，则直线AB 的方程式是．6．教材49页8题7.教材50页1题。

《椭圆的简单几何性质》参考教案

椭圆的简单几何性质教学目标：(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;(3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备. 教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图教学难点:椭圆离心率的概念的理解.教学方法：讲授法课型：新授课教学工具：多媒体设备一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程.二、讲授新课：（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.] 已知椭圆的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x 1.范围[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x ，y 的范围就知道了.]问题1 方程中x 、y 的取值范围是什么?由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2所以 |x|≤a ， |y|≤b即－a≤x≤a, －b≤y≤b这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。

2.对称性复习关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标之间的关系：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；问题2 在椭圆的标准方程中①以－y代y②以－x代x③同时以－x代x、以－y代y,你有什么发现?（1）在曲线的方程里，如果以－y代y方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上时，它关于x的轴对称点P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称。

（2）如果以－x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于y轴对称。

选修2-1 2.2.2 椭圆的简单几何性质教案

2.2.2 椭圆的简单几何性质教学目标椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点，掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a 、b 、c 的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距，掌握离心率的定义及其几何意义，初步理解方程与几何性质间的联系。

教学重点椭圆的简单几何性质.教学难点椭圆的简单几何性质.（这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的）教学过程课题导入前面，我们研究讨论椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a b y a x ，（焦点在x 轴上）或)0(12222>>=+b a bx a y （焦点在y 轴上），接下来我们结合椭圆的标准方程研究椭圆有哪些几何性质。

我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆是标准方程是怎样的？它们有几种形式？我们前面刚刚学习了椭圆的标准方程，同学们还记得椭圆的标准方程吗？它有几种形式（板书）)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y（焦点在x 轴上）（焦点在y 轴上）讲授新课几何性质我们不妨对焦点在x 轴的椭圆的标准方程：12222=+by a x (a ＞b ＞0)进行讨论.在解析几何里，我们常常是从两个方面来研究曲线的几何性质：一是由曲线的图像去“看”曲线的几何特征（以形辅数），同时又由曲线的方程来“证”明它（以数助形）。

我们今天也用这种方法来研究椭圆的几何性质，1.范围：所谓范围，就是指椭圆图象上的所有的点在什么约束范围内，也就是说椭圆上所有的点的纵、横坐标应该在哪个范围内取值。

那么，你能从椭圆的图形上看出椭圆上所有的点所在的范围吗？如果我们过椭圆与x 轴的两个交点作两条平行于y 轴的直线，再过椭圆与y 轴的两个交点作两条平行于x 的直线（出示幻灯片）。

此时，你能说出椭圆的范围吗？这两组平行线所在的直线方程是？能从椭圆的标准方程中找出它来吗？结论：椭圆的范围是-a ≤x ≤a; -b ≤y ≤b请大家思考：对函数性质的研究常常是根据函数的解析来讨论的，那么我们能否从函数的思想出发，对椭圆的范围进行分析呢？将由函数的解析式研究函数的性质与由椭圆的方程研究椭圆的性质结合起来学习，有助于我们理解知识与知识之间的本质联系，对我们的进一步学习是大有益处的. 2.对称性：你能从椭圆的图形上看出椭圆的对称性吗？我们怎样由椭圆的标准方程来研究椭圆的对称性？想一想，我们前面在函数中是怎样研究函数图像的对称性的？在函数里，我们讨论过对称性，如果以如果以-x 代x 方程不变，那么曲线关于y 轴对称，同理，以-y 代y 方程不变，那么曲线关于x 轴对称，如果同时以-x 代x ，以-y 代y 方程不变，那么曲线关于原点对称.我们来看椭圆的标准方程，以-x 代x ，或以-y 代y 或同时以-x 代x ,-y 代y ，方程怎样改变？所以椭圆关于x 轴、y 轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.结论：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3.顶点：什么叫做椭圆的顶点？———椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.（板书）由刚才我们所学的第二条性质，标准方程下的椭圆的对称轴是哪个？那么标准方程下的椭圆的顶点就在坐标轴上。

最新人教版高中数学选修2-1第二章《椭圆的简单几何性质》示范教案(第1课时)

2.2.2椭圆的简单几何性质整体设计教材分析利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质．因此，本节在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力．同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，第1课时不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质．课时安排：本节内容共需约3个课时．第一课时主要讲性质1～3；第二节讲性质4及应用；第三课时讲直线与椭圆的有关问题．第1课时教学设计(一)教学目标知识与技能掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握a，b，c的几何意义以及a，b，c的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．过程与方法利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．情感、态度与价值观通过自主探究、交流合作使学生亲身体验探究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．重点难点教学重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法．教学难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的教学过程．学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点．教学过程引入新课提出问题：方程16x 2＋25y 2＝400表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？活动设计：情形1：列表、描点、连线进行作图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；情形3：方程变形，求出a ，b ，c ，联想椭圆画法，利用绳子作图；情形4：只作第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其他象限内的图形．辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯．设计意图：(1)问题设置来源于课本例题，选题目的有利于学生从多个角度进行思考和探索，培养学生的发散思维，第一问的解决体现了对二元二次方程的研究，为利用方程研究性质打下基础；(2)课堂教学体现学生自主探究知识的过程，问题的设置体现了研究问题角度的转变——用方程研究曲线性质的问题，同时使学生意识到椭圆的几何特征：范围、对称性、关键点；(3)实物投影展示学生的研究过程和研究成果，重在发现学生的思维差异和思维认识层次；(4)辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，发现问题，共同探讨，得到统一的认识．点评：(1)能够抓住椭圆的几何特征、范围、对称性、关键点作图； (2)研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；(3)本节课我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法．教师板书：椭圆的简单几何性质．探求新知问题：学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)有什么特点？(1)椭圆方程是关于x ，y 的二元二次方程；(2)方程的左边是平方和的形式，右边是常数1； (3)方程中x 2和y 2的系数不相等．设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备．【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围．实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维．学生活动过程：情形1：x 2a 2＋y 2b 2＝1变形为y 2b 2＝1－x 2a 2≥0，x 2≤a 2≤－a ≤x ≤a.这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围－a ≤x ≤a.同理，我们也可以得到y 的范围－b ≤y ≤b.情形2：可以把x 2a 2＋y 2b 2＝1看成sin 2α＋cos 2α＝1，利用三角函数的有界性来考虑x a ，yb 的范围．点评：你可能没有意识到，如果将a ，b 乘过去，就得到了⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acosα，y ＝bsinα，这是我们以后要学习的椭圆方程的另外一种表达方式，椭圆的参数方程，有兴趣的同学下课后可以阅读有关内容．所以我们在研究问题的过程中，结果并不重要，重要的是放宽研究问题的思路，拓宽我们的思维角度．谁还有其他的方法？情形3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以x 2a 2≤1，同理可以得到y 的范围．情景4：利用学习过函数的定义域、值域，这对研究椭圆的范围有何启示呢？由x 2a 2＋y 2b 2＝1，则y ＝±ba a 2－x 2，可通过求这个函数的定义域、值域得范围. 但y ＝±ba a 2－x 2是函数吗？学生(思考后)说不是.教师提问：怎么处理呢？学生活动：把 y ＝b a a 2－x 2和y ＝－baa 2－x 2分别看作是一个函数. 先求函数y ＝b aa 2－x 2的定义域、值域．利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得－a ≤x ≤a , 0≤y ≤b ，同样得 y ＝－b aa 2－x 2中－a ≤x ≤a , －b ≤y ≤0 ，于是得到范围．教师总结：只需求 y ＝b aa 2－x 2(0≤x ≤a) 的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围. 通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内．有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在 x 轴上的椭圆的草图了．教师在黑板上示范作图(先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，再用光滑曲线连接，并注意对称性)．设计意图：(1)传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；(2)通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现得异常活跃，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；(3)多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想．结论：由椭圆方程中x ，y 的范围得到椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形里．【问题2】自主探究：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性．实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：－x 代替x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称；－y代替y后方程不变，说明椭圆曲线关于x轴对称；－x、－y代替x，y后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称．问题设置：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？辨析与研讨：－x代替x后方程不变，就是用(－x，y)来代换方程中的(x，y)，方程不变，(－x，y)和(x，y)关于y轴对称，两点坐标都满足方程，而(x，y)是曲线上任意一点，因此椭圆曲线关于y轴对称；其他同理．相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．设计意图：(1)抓住椭圆标准方程的特点不放松，引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性；(2)在学生的表述过程中重视学生的思维方式，培养学生正确处理问题的思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；(3)多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美．【问题3】自主探究：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标．实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：在椭圆的标准方程中，令x＝0，得y＝±b，令y＝0，得x＝±a.顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)．相关概念：线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a,2b，a 和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．在椭圆的定义中，2c表示焦距，这样，椭圆方程中的a，b，c就有了明显的几何意义．设置问题：在椭圆标准方程的推导过程中令a2－c2＝b2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？学生探究：c表示半焦距，b表示短半轴长，因此，连结顶点B2和焦点F2，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即a2－c2＝b2.多媒体展示特征三角形．设计意图：(1)利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受，相关概念也容易理解，关键是a2－c2＝b2的几何意义，多媒体课件的展示体现了a，b，c的几何意义，从而得到a2－c2＝b2的本质．运用新知活动设计：阅读课本例4，你有什么认识？活动成果：(1)利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程化为标准方程，然后找出相应的a，b，c.(2)利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边长，以原点为中心画矩形；②由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；③用曲线将四个顶点连成一个椭圆；④画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．设计意图：(1)学生阅读交流提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的应用；(2)与开头相呼应，使学生认识到运用椭圆的简单几何性质能够简化作图过程．反思与评价：回顾知识的形成过程，同学交流，谈谈对本节课的认识：(1)知识与技能：椭圆的范围、对称性、顶点，初步学习了利用椭圆标准方程研究椭圆曲线性质的方法；(2)过程与方法：重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养了我们观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力；(3)情感、态度与价值观：善于观察，敢于创新，学会与人合作，感受到探究的乐趣，体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．设计意图：不会反思，就不会学习，通过反思，深化知识的形成过程，完善认知结构，掌握研究的方法和思路，拓宽思维角度，提高思维层次．课堂小结(1)椭圆的范围、长轴长、短轴长．(2)椭圆的对称性，对称轴、对称中心．布置作业(1)反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；(2)研究y 2a 2＋x 2b2＝1(a>b>0)的范围、对称性、顶点；(3)课后延伸：同学们再来观察椭圆的结构特征“方程中x 2和y 2的系数不相等”，因此当x 2和y 2的系数发生变化时，椭圆的形状是如何随之变化的？设计意图：课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，作业(1)强调研究方法的重要性，作业(2)是对学生学习效果的一种检验，作业(3)引导学生利用椭圆方程的结构特征自主研究椭圆的另一条性质——离心率；设计说明 1．课堂设计理念授人以鱼不如授人以渔．通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位．2.对教材的研究认识利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质．因此，在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力．同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，本节课不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质．3．课堂教学模式的设置自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主人，能够培养学生的思维能力．数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处．因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习．4．课堂练习题的说明如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础．为了不冲淡主题，课堂教学过程重在培养学生的研究方法，提高学生的思维能力．因此，在椭圆几何性质的其他课时中将适当增加相应的练习，强化学生对知识的掌握和应用．备课资料1．在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是()A．x2＝4y B．x2＋2xy＋y＝0C．x2－4y2＝5x D．9x2＋y2＝4答案：D2．设a，b，c分别表示同一椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，则a，b，c的大小关系是…()A．a>b>c>0 B．a>c>b>0C．a>c>0，a>b>0 D．c>a>0，c>b>0答案：C(设计者：靳祥利)教学设计(二)整体设计教材分析教材分析：椭圆的简单几何性质是本章的第二节第二课时，它是解析几何基本思想方法的具体体现；是用代数方法研究直线与圆的某些性质的平行发展，为即将研究双曲线、抛物线的几何性质奠定基础．学情分析：学生已经积累了函数方程、三角、不等式等相关知识，前面也学习了直线与圆这一章，初步掌握了解析几何的基本方法．本节课是在学完椭圆的定义和标准方程的基础上，利用标准方程的结构特征来探究椭圆的简单几何性质．教学目标知识与技能掌握椭圆的范围、对称性、顶点和轴等性质，掌握方程中a、b、c 的几何意义以及相互关系，初步尝试利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质．过程与方法学生通过自主探究，经历知识产生发展的过程，体验数学发现和创造的历程，进一步培养学生观察、分析、联想、类比等逻辑推理能力以及数形结合的思想方法，提高学生的数学素养．情感、态度与价值观通过学生自主探究、合作交流，使学生亲自体验研究知识的过程，从中体味成功的喜悦，由此激发学生积极主动的学习精神和探索勇气，培养学生的团队意识；通过计算、画图以及多媒体展示，使学生体会椭圆标准方程结构的和谐美和曲线的对称美，培养学生严谨的科学态度．重点难点教学重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点和轴的概念及其应用．教学难点：椭圆几何性质的形成过程，特别要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维层次的展现和思维能力的提高．教法学法教学活动采用“问题探究式”的教学模式，把学生需要掌握的知识转化成问题，引导学生分组讨论．将学生分成8个学习小组，展开竞争，最后评选出2个优秀小组．利用自制教具以及幻灯片、几何画板等多媒体手段，激发学习兴趣，提高课堂效率．学生则采用自主探究、合作交流的“研讨式”学习方式去体验知识的形成过程，参与问题的发现、解决过程，从而达到掌握知识、提高能力的目的．本节课坚持“以人为本，主动发展”的教学理念，采用“问题——探究——交流——反思”的课堂活动模式，通过直观感悟、画图操作、代数推理、上台板演等形式，从几何问题出发，用代数方法研究曲线的性质，最终又回到几何问题中去，充分体现了数与形的结合，初步掌握利用方程结构特征研究曲线几何性质的方法，渗透了数学思想方法，突出了教学重点，突破了难点，教学目标基本完成．整节课力主把更多的时间、机会留给学生，把探索的机会让给学生；把体会成功后的快乐送给学生，让学生在操作中探索，在探索中领悟，在领悟中理解，以体会数学之美，探究之趣．(设计者：牛传勇，本教学设计获山东省优秀课评选二等奖．)。

教学设计4：2.2.2 椭圆的简单几何性质

2.2.2 椭圆的简单几何性质x 2≤a 2且y 2≤b 2,则有｜x ｜≤a,｜y ｜≤b, 所以-a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b 。

2．对称性的发现与证明师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。

）学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。

师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？稍作提示容易发现中心对称性。

师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？师生讨论后，需要建立坐标系，确定椭圆的标准方程。

不妨建立焦点在x 轴上的椭圆的标准坐标系，它的方程就是22a x +22by =1。

师：这节课就以焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。

这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴，我们先证椭圆关于y 轴对称。

为了证明对称性，先作如下铺垫：（一起回顾）师：在第一册学过，曲线关于y 轴对称是指什么呢？生：曲线上的每一点关于y 轴的对称点仍在曲线上。

师：要证曲线上每一点关于y 轴的对称点仍在曲线上，只要证明-----生：曲线上任意一点关于y 轴的对称点仍在曲线上。

在学生尝试进行问题解决的过程中，当他们难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识的联系时，这就需要教师适时进行启发点拨。

师：同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么把x 换成-x 时，方程不变，则椭圆关于y 轴对称”。

请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。

教师对学生的证明进行评价。

师：用类似的方法可以证明椭圆关于x 轴对称,关于原点对称。

课件展示对称性并总结：方程22a x +22by =1表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对称中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心).教师引导学生对这一环节进行反思，即通过建立坐标系，用椭圆的方程研究椭圆的性质，这种方法我们今后经常用到。