4.2 空间图形的公理(公理4、定理)

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空间图形的公理及定理

空间图形的公理及定理公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。

公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）。

①经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面。

②经过两条相交直线，可以确定一个平面。

③经过两条平行直线，可以确定一个平面。

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理4平行于同一条直线的两条直线平行。

定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

（反之不成立）平行关系（判定）定理1若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（直线和平面）定理2如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（平面和平面）（性质）定理3如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。

（直线和平面）定理4如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

（平面和平面）垂直关系（判定）公理如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。

定理1如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线和此平面垂直。

（直线和平面）定理2如果哪一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。

（平面和平面）（性质）定理3如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

（直线和平面垂直）定理4如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们相交的直线垂直于另一个平面。

（平面和平面垂直）。

初中几何证明的所有公理和定理

初中几何证明的所有公理和定理几何学是数学的一个分支，研究平面和空间中的图形、形状、大小以及它们之间的关系。

在几何学中，有一些基本的公理和定理被广泛应用于证明其他几何结论。

以下是初中几何中常用的公理和定理。

一、公理1.尺规公理：任意两点可以用直尺连接，任意一点可以用剪刀间距来复原。

2.同位角公理：同位角互等。

3.平行公理：通过点外一条直线的直线，与这条直线平行的直线只有唯一一条。

4.直线偏转公理：过直线和不在直线上的一点，有且只有一条直线与该直线相交。

二、定理1.垂直平分线定理：平分一条线段的直线必垂直于该线段。

2.三角形内角和定理：三角形内角的和为180°。

3.直角三角形定理：在直角三角形中，两个直角三角形的边长和斜边相等。

4.点到直线的距离定理：点到直线的距离等于点到该直线上垂线的距离。

5.等腰三角形定理：等腰三角形的底边中点到顶点的距离等于底边的一半。

6.等边三角形定理：等边三角形的三条边相等。

7.三角形外角定理：三角形外角等于其对应内角的和。

8.直角三角形的勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

9.海伦公式：已知三角形的三边长，可以通过海伦公式求解其面积。

10.等周定理：等周的两角相等，反之亦成立。

11.三角形中位线定理：三角形两边中点连线中位线，且平分第三边。

12.周长定理：四边形周长等于各边长的和。

13.三角形周长定理：三角形的周长等于三边长的和。

14.三角形中线定理：三角形中线等分中位线，且平分第三边。

15.三角形终边定理：一个角的终边上的点，到另一个角所在的直线的距离永远相等。

16.五边形内角和定理：五边形的内角和是540°。

17.钝角三角形的边长关系：钝角三角形两边长的平方和小于斜边长的平方。

18.三角形的相似性定理：对应角等价、对应边成比例的两个三角形为相似三角形。

19.平行线的性质定理：平行条边分别过枚角且长度成正比，则连线为平行线。

20.重叠三角形定理：如果两个角和一个边分别相等，则两个三角形相等。

空间图形的公理4和等角定理

点．求证：
(1)四边形 BB1M1M 为平行四边形； (2)∠BMC＝∠B1M1C1.
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[证明]
(1)在正方形 ADD1A1 中，M，M1 分别为 AD，A1D1 的中点，∴MM1＝
AA1，MM1∥AA1，又∵AA1＝BB1，AA1∥BB1，∴MM1＝BB1，且 MM1∥BB1.∴四边形 BB1M1M 为平行四边形． (2)证法一由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形，
＜θ≤90° . 2．范围： 0°
3．当 θ＝ 90° 时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b .
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[双基自测]
1．两条异面直线是指( )
A．分别位于两个不同平面的直线 B．空间内不相交的直线 C．某一平面内的一条直线与这一平面外的一条直线 D．空间两条既不平行也不相交的直线
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全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）
4 空间图形的基本关系与公理
空间图形的公理 4 和等角定理
第 2 课时
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考
纲
定
位
重
难
突
破
1.了解公理 4 及等角定理．
重点：公理 4 和等角定理的应用．
2.会用公理 4 和等角定理进行简难点：异面直线所成的角的定义单的推理论证． 3.了解异面直线所成的角的定义，并会求异面直线所成的角. 及求法．疑点：异面直线所成角的范围易出错.
[解析] (1)如题图，在△ABD 中，

北师大版必修二数学4.2 空间图形的公理

安边中学高一年级上学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第课时备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：第 13 周集体备课一、课题： 4.2 空间图形的公理二、学习目标1、掌握空间图形的有关概念和有关定理；2、掌握平面的基本性质、公理4和等角定理。

三、落实目标【自主预习】1、空间直线与直线的位置关系（1）（2）（3）2、空间直线与平面的位置关系（1）（2）（3）3、空间平面与平面的位置关系（1）（2）4、公理：等角定理：______________________________________________图形表示：公理2：图形表示符号语言：公理1：图形表示符号语言：公理3：图形表示符号语言：公理4：图形表示符号语言：【巩固提升】1、已知AB//PQ ，BC//QR ，∠ABC=30°，则∠PQR 等于（）A.30°B.30°或150°C.150°D.以上结论都不对2、在空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形；（2）四边相等的四边形是菱形；（3）平行于同一条直线的两条直线平行；（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

A.1B.2C.3D.43、判断下列说法说否正确，并说明理由。

（1）一点和一条直线确定一个平面（2）经过一点的两条直线确定一个平面；（3）交于一点的三条直线确定一个平面；（4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内。

【检测反馈】1、例2：如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是（）A.平行B.相交且垂直C.异面直线D.相交成60° 2、下列四个说法，错误命题的序号是（） ①过三点确定一个平面； ②矩形是平面图形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域3、在空间四边形ABCD 中，E,F,G ,H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形反思栏A B C DE F H B CA D G。

几何图形的公理

几何图形的公理
contents
目录
• 平行线公理 • 三角形的不等式公理 • 欧几里得公理 • 圆的公理
01 平行线公理
定义
平线与已知直线平行。
解释
这个公理是几何学中关于平行线的基本性质，它说明了在平面内，通过一个不在给定直线上的点，只能做出一条与给定直线平行的直线。
如果线段AB被另一直线CD分为两段AC和BD，则有AC + BD <= AB。
性质
三角形不等式公理的性质1
在三角形ABC中，如果边BC上有点D，则AD <= AB + AC。
三角形不等式公理的性质2
在三角形ABC中，如果边BC上有点D，则BD + DC <= AB + AC。
三角形不等式公理的性质3
详细描述
圆具有一些基本的性质。例如，圆周角等于其所夹弧所对的圆心角的一半。此外，任何经过圆心的弦都会将圆分成两个相等的部分。这些性质在几何学中有着广泛的应用。
应用
总结词
圆在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，包括建筑设计、机械制造、天文学和物理学等领域。
详细描述
圆作为一种基本的几何图形，在许多领域中都有实际的应用。在建筑设计中，圆可以创造出优雅和和谐的视觉效果。在机械制造中，圆的精确性是不可或缺的，如轴承和齿轮的设计。在天文学和物理学中，圆也经常被用来描述星球的运动轨迹和光的传播路径等自然现象。
详细描述
在平面几何中，欧几里得公理用于证明各种定理和性质，如三角形的全等定理、勾股定理等。在立体几何中，欧几里得公理用于研究空间几何对象的形状和大小。在解析几何中，欧几里得公理用于将几何问题转化为代数问题，从而通过代数方法解决几何问题。

空间图形的基本关系与公理(2)

符号语言公理作用

P
l
l且P l.
（1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共一、判定两个平面相交的依据点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线；（2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上. 二、判定点在线上的依据 10
25
4
知识探究（二）：平面的基本性质2
观察下图，你能得到什么结论？
A
C
B
5
知识探究（二）：平面的基本性质2 文字语言
公理2 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
B A C 不在同一条直线上的三点A、B、 C⇒有且只有一个平面α，使 A∈ 面α ，B∈ 面α ，C ∈ 面α
一、确定平面的依据二、判断点线共面得依据.
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
8
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面
P
墙面

P
a
9
知识探究：平面的基本性质3 文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只有一条通过这个点的公共直线.
图形语言

P 且P
23
当堂练习4
下列结论正确的是（ D ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
24
当堂练习5
如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB , BC 的中点，求证：EF∥A1C1.

1.4.2 空间图形的公理4及等角定理课件(北师大必修2)

[通一类] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中E，
F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，
C1D1的中点．
求证：(1)EF 綊 E1F1； (2)∠EA1F＝∠E1CF1.
证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF 綊 BD.
同理，E1F1 綊 B1D1.
A．AB∥CD B．AB与CD是异面直线 C．AB与CD相交 D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
(
)
[错解]
如图，∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD.故选A. [错因] 错解的原因在于，认为线段AB,BC,CD在同
一个平面内．
[正解]
构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝
∠BCD(如图(1))；
[研一题]
[例 1] 如图所示，在棱长为 a 的正
方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N，P 分别为线
B1N BM 1 段 A1B， 1D1， 1B1 上的点， B A 若＝＝， B1D1 BA1 3
且 PN∥A1D1.求证：PM∥AA1.
B 1N 1 [自主解答] ∵PN∥A1D1，＝， B1D1 3 B 1P 1 得＝， B1A1 3 BM 1 又＝，∴PM∥BB1. BA1 3
而 BB1∥AA1， ∴PM∥AA1.
[悟一法] 空间中证明两直线平行的方法： ①借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、
平行四边形的性质，成比例线段平行．
②利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行．
[通一类] 1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将
平面CDFE沿EF翻折起来，使CD与C′D′的位置重合，

4.2.2 空间图形的公理(二) 精品课

几何建立了联系，促进了数学学科间的知识的渗透．
栏目导引
第一章
立体几何初步
4.判定两直线为异面直线的常用方法有： (1)定义法：证明两条直线不同在任何一个平面内． (2)排除法：排除两直线共面(平行或相交)，则两直线是异面直线．
栏目导引
第一章
立体几何初步
失误防范
1.注意异面直线不具有传递性：即a与b异面、b与c 异面，而a与c不一定异面． 2.异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个量，是通过转化为相交直线所成角来解决，要注意两条异面直线所成的角的范围．例如：若异面直线所成的角为30°，则平移后的直线所成
定义
取值范围
特例
异面直线所成的角θ的取值范围： 0°<θ≤90° ______________________ 90° 当θ＝________时，a与b互相垂直，记作a⊥b
பைடு நூலகம்
栏目导引
第一章
立体几何初步
做一做例.下列正方体或三棱锥中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则其中直线PS与直线QR异面的一个图是 ( )
∴A1A∥E1E.
又∵A1A∥B1B，∴E1E∥B1B. ∴四边形E1EBB1是平行四边形．
∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
又∵∠C1E1B1与∠CEB两边的方向相同， ∴∠C1E1B1＝∠CEB.
栏目导引
第一章
立体几何初步
【点评】
空间等角定理实质上是由以下两
个结论合成的： (1)若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；(2)若一个角的两边与另一个角的两边
栏目导引
第一章
立体几何初步

2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1_4_2_2空间图形的公理(第2课时)学案北师大版必修2

4.2 空间图形的公理(第2课时)1．空间图形的公理公理4 平行于同一条直线的两条直线平行．定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．异面直线 (1)异面直线的定义不共面(不同在任何一个平面内)的两条直线叫作异面直线． (2)空间两条直线的位置关系有且只有三种共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：在同一平面内，没有公共点.异面直线：不共面的两条直线，没有公共点．(3)异面直线所成的角过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角．如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作：a ⊥b .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．( ) (2)两条直线垂直，则一定相交．( )(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( )(4)两条直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )(5)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )(6)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )(7)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×(7)×题型一空间两直线位置关系的判定【典例1】已知a、b、c是空间三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c也是异面直线；③如果a、b是相交直线，b、c是相交直线，那么a、c也是相交直线；④如果a、b共面，b、c共面，那么a、c也共面．在上述命题中，正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[思路导引] 两条直线的位置关系拓展到空间中有且仅有三种：相交、平行、异面．根据具体情况，具体分析．[解析] ①a与c可能相交，也可能异面；②a与c可能相交，也可能平行；③a与c可能异面，也可能平行；④a与c可能不在一个平面内．故①②③④均不正确．[答案] A(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．[针对训练1] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．[解析] 根据题目条件知道直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A 1、B 、B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C “异面”．同理，直线AB 与直线B 1C “异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 相交于D 1点，所以③应该填“相交”．[答案] ①平行 ②异面 ③相交 ④异面题型二公理4及等角定理的应用【典例2】如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.[思路导引] (1)由中位线定理可证MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.从而应用公理4，可证MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，于是命题可证．(2)利用等角定理可证．[证明] (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.(1)空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． (2)求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．[针对训练2] 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.[证明] (1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.题型三异面直线所成的角【典例3】如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.[思路导引] (1)由于CG∥BF，即∠EBF(或其补角)为异面直线CG与BE所成的角．(2)由于BD∥FH，故∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．[解] (1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点．所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求．提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.[针对训练3] 如图，P 是平面ABC 外一点，PA ＝4，BC ＝25，D 、E 分别为PC 和AB 的中点，且DE ＝3.求异面直线PA 和BC 所成角的大小．[解] 如图，取AC 中点F ，连接DF 、EF ，在△PAC 中，∵D 是PC 中点，F 是AC 中点，∴DF ∥PA ，同理可得EF ∥BC ， ∴∠DFE 为异面直线PA 与BC 所成的角(或其补角)．在△DEF 中，DE ＝3，又DF ＝12PA ＝2，EF ＝12BC ＝5，∴DE 2＝DF 2＋EF 2.∴∠DFE ＝90°，即异面直线PA 与BC 所成的角为90°.1．过一点与已知直线垂直的直线有( )A．一条B．两条C．无数条D．无法确定[解析] 过一点与已知直线垂直的直线有无数条，包括相交垂直和异面垂直．[答案] C2．异面直线是指( )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析] 不相交的直线有可能是平行也有可能是异面，故A不正确；如图①中，aα，bβ，但是，a∩b＝A，故B不正确；如图②，aα，bα，但是a∩b＝A，故C不正确；D是异面直线的定义．[答案] D3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面[解析] a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D.[答案] D4．过直线l外两点可以作l的平行线条数为( )A．1 B．2C．3 D．0或1[解析] 以如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为例．令A 1B 1所在直线为直线l ，过l 外的两点A ，B 可以作一条直线与l 平行，过l 外的两点B ，C 不能作直线与l 平行，故选D.[答案] D探究空间中四边形的形状问题根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．【示例】如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．[思路分析] 欲证EFGH 为平行四边形，只需证EH ∥FG ，只需证BD ∥FG 且BD ∥EH . [证明] 连接BD ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD .因此EH ∥FG .又EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．[引申探究] (1)本例中若加上条件“AC ⊥BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ (2)本例中，若加上条件“AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？(3)本例中，若加上条件“AC ⊥BD ，且AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ [解] (1)由例题可知EH ∥BD ，同理EF ∥AC ，又BD ⊥AC ，因此EH ⊥EF ，所以四边形EFGH 为矩形．(2)由例题知EH ∥BD ，且EH ＝12BD ，同理EF ∥AC ，且EF ＝12AC .又AC ＝BD ，所以EH ＝EF .又EFGH 为平行四边形，所以EFGH 为菱形． (3)由(1)(2)可知，EFGH 为正方形．[针对训练] 如图所示，设E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD＝μ(λ，μ∈(0,1))，试判断四边形EFGH 的形状．[解] 连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AHAD＝λ， ∴EH ∥BD ，且EH ＝λBD . 在△CBD 中，CF CB ＝CGCD＝μ，∴FG ∥BD ，且FG ＝μBD ，∴EH ∥FG ，∴顶点E 、F ，G 、H 在由EH 和FG 确定的平面内． (1)当λ＝μ时．EH ＝FG ，故四边形EFGH 为平行四边形； (2)当λ≠μ时．EH ≠FG ，故四边形EFGH 是梯形．课后作业(六) (时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面D ．相交或异面[解析] 可能相交也可能异面，选D.[答案] D2．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )[解析] 易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．[答案] C3．异面直线a，b，有aα，bβ，且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交[解析] 若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．[答案] D4．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．C 1C 与AE 共面 C ．AE 与B 1C 1是异面直线D ．AE 与B 1C 1所成的角为60°[解析] 由于CC 1与B 1E 都在平面C 1B 1BC 内，故C 1C 与B 1E 是共面的，所以A 错误；由于C 1C 在平面C 1B 1BC 内，而AE 与平面C 1B 1BC 相交于E 点，点E 不在C 1C 上，故C 1C 与AE 是异面直线，B 错误；同理AE 与B 1C 1是异面直线，C 正确；而AE 与B 1C 1所成的角就是AE 与BC 所成的角，E 为BC 中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，D 错误．[答案] C5．已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列判断正确的是( ) A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )[解析] 取BC 的中点E ，连接ME ，EN ，又M 、N 分别为AB 、CD 的中点， ∴ME 綊12AC ，EN 綊12BD ，又在△EMN 中，ME ＋EN >MN ，∴12(AC ＋BD )>MN . [答案] D6．在四棱锥P －ABCD 中，各棱所在的直线互相异面的有________对.[解析] 以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD 是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．[答案] 87．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．[解析] 连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC ＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.[答案] 60°8．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．[解析] 依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.[答案] 60°9．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥CD ，EG ∥AB ，所以∠FEG 即为EF 与AB 所成的角(或其补角)，且FG ＝12CD ，EG ＝12AB ，所以FG ＝EG .又由AB ⊥CD 得FG ⊥EG ，所以∠FEG ＝45°.故EF 和AB 所成的角为45°.10．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：∠NMP ＝∠BA 1D.[证明] 如图，连接CB 1、CD 1，∵CD 綊A 1B 1∴四边形A1B1CD是平行四边形∴A1D∥B1C.∵M、N分别是CC1、B1C1的中点∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∵BC綊A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形∴A1B∥CD1.∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1∴MP∥A1B∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反∴∠NMP＝∠BA1D.应试能力等级练(时间25分钟)11．若直线a、b分别与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是( ) A．异面B．平行C．相交D．三种关系都有可能[解析] 以正方体ABCD－A1B1C1D1为例．A1B1、AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1∥AB；A1B1、BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB、BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交，故选D.[答案] D12．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于( )A ．5B ．6C ．8D ．10[解析] 如图，取AD 的中点P ，连接PM 、PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴MN ＝5.[答案] A13.如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1异面且与AD 1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．[解析] 与AD 1异面的面对角线分别为：A 1C 1、B 1C 、BD 、BA 1、C 1D ，其中只有B 1C 和AD 1所成的角为90°.[答案] 114．已知空间四边形ABCD 中，AB ≠AC ，BD ＝BC ，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF 是△BCD 的边BC 上的中线，则直线AE 与DF 的位置关系是________．[解析] 由已知，得E 、F 不重合．设△BCD 所在平面为α则DF α，A ∉α，E ∈α，E ∉DF ∴AE 与DF 异面． [答案] 异面15．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别为BC 和AD 的中点，将平面DCEF 沿EF 翻折起来，使CD 到C ′D ′的位置，G 、H 分别为AD ′和BC ′的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] ∵梯形ABCD 中，AB ∥CDE 、F 分别为BC 、AD 的中点∴EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )又C ′D ′∥EF ，EF ∥AB ，∴C ′D ′∥AB . ∵G 、H 分别为AD ′、BC ′的中点∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)＝12(AB ＋CD )∴GH 綊EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形．。

空间图形的公理(公理4、定理

空间图形的公理
目录
• 公理4 • 定理 • 空间图形的性质 • 空间图形的分类
01
CATALOGUE
公理4
公理4的表述
公理4：如果一条直线上的两点位于一个平面内，则该直线上所有点都位于这个平面内。
这条公理是空间图形的基础，它定义了平面和直线之间的关系，并确定了平面和直线的基本性质。
公理4的意义
02
CATALOGUE
定理
定理的表述
1 2
欧几里得平行公理
通过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。
角平分线定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3
勾股定理
直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
定理的证明
欧几里得平行公理的证明
通过反证法，假设过直线外一点有两条与已知直线平行的直线，则这两条直线必然相交于某一点，从而形成了一个新的平面，与已知直线相交，这与平行公理矛盾，因此假设不成立，所以过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
• 公理4的意义在于它为几何学中的平面和直线提供了严格的定义。这个公理表明，如果一条直线上的两点都位于一个平面上，那么整条直线都会在这个平面上。这个公理是几何学中平面和直线的基本性质，是后续几何定理和推论的基础。
公理4的应用
• 公理4的应用非常广泛，它涉及到几何学中的许多概念和定理。例如，在解析几何中，公理4用于确定平面和直线的方程；在立体几何中，公理4用于研究平面和直线的位置关系以及它们之间的度量性质。此外，公理4也是工程学、物理学和计算机图形学等领域中必不可少的工具。
空间图形的度量性质
总结词
度量性质是指空间图形具有大小和形状的属性，可以通过测量和比较来确定。

2018-2019学年北师大版必修2 1-4-2 空间图形的公理(二) 课件(37张)

1 1 且 EG＝2CD，GF＝2AB. 所以∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角或其补角，EG＝GF. 因为 AB⊥CD，所以 EG⊥GF.所以∠EGF＝90° . 所以△EFG 为等腰直角三角形．所以∠GFE＝45° ，即 EF 与 AB 所成的角为 45° .
课前预习
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4．2 空间图形的公理(二)
课前预习
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学习目标 1.掌握公理4及等角定理(重点)；2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角(重、难点)．
课前预习
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知识点一公理4
文字语言平行于同一条直线的两条直线平行符号语言图形语言 a∥c ⇒a∥b b∥c
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD. 同理FG∥BD，则EH∥FG. 故E，F，G，H四点共面． (2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH.故AC⊥BD.
课前预习
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课堂小结 1 ．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点． (2)求异面直线所成的角的一般步骤： ①作角：平移成相交直线．
②证明：用定义证明前一步的角为所求．
③计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．
(3)要特别注意平移所得的角可能是异面直线所成的角的补角，这是
使所证的直线都与这条直线平行． (2) 求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．

高中数学-北师大版必修二空间图形的公理4及等角定理课件

图 1-4-16
提示：如图，在空间中任取一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b，则两条相交直线 a′，b′所成的锐角或直角 θ 即两条异面直线 a，b 所成的角．
2．a′与 b′所成角的大小与什么有关，与点 O 的位置有关吗？通常点 O 取在什么位置？
提示：a′与 b′所成角的大小只由 a，b 的相互位置确定，与点 O 的选择无关，一般情况下为了简便，点 O 选取在两条直线中的一条直线上．
又∵A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， ∴四边形 A1KBQ 为平行四边形， ∴A1Q∥BK，由公理 4 有 A1Q∥CM，同理可证 A1P∥CN，由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反， ∴∠PA1Q＝∠MCN.
求异面直线所成的角 [探究问题] 1．已知直线 a，b 是两条异面直线，如何作出这两条异面直线所成的角？
如图 1-4-17，在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC
＝2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，若 EF＝ 3，求异面直线
AD，BC 所成角的大小.
【导学号：64442028】
图 1-4-17
[思路探究] 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线 AD，BC 平移到同一平面内解决．
[解] 如图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM. 因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点，所以 EM 12AD，FM 12BC，则∠EMF 或其补角就是异面直线 AD，BC 所成的角．因为 AD＝BC＝2，所以 EM＝MF＝1，在等腰△MEF 中，过点 M，作 MH⊥EF 于 H，
公理4的应用
如图 1-4-12，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边
AB，BC，CD，DA 的中点.
【导学号：64442027】

空间几何定理

空间集合初步定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.∵点A∈平面α,点B∈平面α,∴直线AB∈平面α公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.∵P∈α,P∈β∴α∩β=l且P∈l公理3：三点确定一个平面.公理4：平行于同一条直线的两直线互相平行.∵a∥b,b∥c∴a∥c推论1：经过这条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面点线定面.推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面线线定面.推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面线线定面.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.∵在∠ABC和∠A’B’C’中,AB∥A’B’,BC∥B’C’,且两个角的方向相同,∴∠ABC=∠A’B’C’定理2：过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.∵l在α内,A不在α内,B在α内,B不在l上,∴AB与l是异面直线.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.∵a不在α内,b在α内,a∥b,∴a∥α直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.∵l∥α∴l和α没有公共点∵m在α内∴l和m没有公共点又∵l,m在β内∴l∥m.定理5：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.a∥b,a⊥α得b⊥α也可直接用.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.∵a⊥m,a⊥n,m和n交于A,m在α内,n在α内∴a⊥α直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.∵a⊥α,b⊥α∴a∥b补充定理8：∵a⊥α,m在α内,∴a⊥m补充定理9：∵a⊥α,b⊥α,∴a∥b三垂线定理：∵m⊥OA,OA为斜线PA在α内的射影,m在α内∴m⊥PA两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两个相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.∵a∥β,b∥β,a、b相交于O,a在α内,b在α内,∴α∥β两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行.1∵α∥β,a在α内∴a∥β2∵α∥β,α与γ交于m,β与γ交于n∴m∥n平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.∵l⊥α,l在β内∴α⊥β平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.∵α⊥β,m在β内,m⊥AB于O,∴m⊥α。

空间点线面的位置关系及公理

1．四个公理公理1：若是一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在那个平面内(即直线在平面内)．公理2：通过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即能够确信一个平面)．公理3：若是两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过那个点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎨⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①概念：过空间任意一点P 别离引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：(]0，π2. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情形．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情形．5．等角定理空间中，若是两个角的两边别离对应平行，那么这两个角相等或互补．【知识拓展】1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．异面直线的判定定理通过平面内一点的直线与平面内不通过该点的直线互为异面直线．【试探辨析】判定以下结论是不是正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若是两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(4)通过两条相交直线，有且只有一个平面．()(5)没有公共点的两条直线是异面直线．()1．以下命题正确的个数为()①梯形能够确信一个平面；②假设两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多能够确信三个平面；④若是两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．32．(2016·浙江)已知相互垂直的平面α，β交于直线l.假设直线m，n知足m∥α，n⊥β，那么() A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n3．(2016·合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，那么以下判定正确的选项是() A．假设m∥α，n∥α，那么m∥nB．假设m⊥α，n∥β，α⊥β，那么m⊥nC．假设α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥lD．假设α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，那么l⊥α4.(教材改编)如下图，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，那么BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，那么直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．题型一平面大体性质的应用例1(1)(2016·山东)已知直线a，b别离在两个不同的平面α，β内，那么“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也没必要要条件(2)已知空间四边形ABCD(如下图)，E、F别离是AB、AD的中点，G、H别离是BC、CD上的点，且CG＝13BC，CH＝13DC.求证：①E 、F 、G 、H 四点共面；②三直线FH 、EG 、AC 共点．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 、H 别离为F A 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是不是共面？什么缘故？题型二判定空间两直线的位置关系例2 (1)(2021·广东)假设直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，那么以下命题正确的选项是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 最多与l 1，l 2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N别离是BC1，CD1的中点，那么以下判定错误的选项是() A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行(3)在图中，G、N、M、H别离是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的极点或所在棱的中点，那么表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有以下结论：①若a⊥b，a⊥c，那么b∥c；②若a⊥b，a⊥c，那么b⊥c；③若a∥b，b⊥c，那么a⊥c.其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3(2)(2016·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，那么以下命题中正确的选项是() A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交C．α∥β，β∥γ⇒α∥γD．a∥α，b∥β，α与β相交⇒a与b相交题型三求两条异面直线所成的角例3(2016·重庆模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面相互垂直，那么异面直线AP与BD所成的角为________．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，那么异面直线CE与BD所成角的余弦值为()16．构造模型判定空间线面位置关系典例已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，那么α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，那么m⊥n.其中所有正确的命题是________．1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，aα，b⊥β，那么“α∥β”是“a⊥b”的() A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也没必要要条件2．(2016·福州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F别离为棱AA1、CC1的中点，那么在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条3．关于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线4．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上别离取E，F，G，H四点，若是EF与HG交于点M，那么() A．M必然在直线AC上B．M必然在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M既不在AC上，也不在BD上5．四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，那么CD与P A所成角的余弦值为()6．以下命题中，正确的选项是()A．假设a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，那么a，b是异面直线B．假设a，b是两条直线，且a∥b，那么直线a平行于通过直线b的所有平面C．假设直线a与平面α不平行，那么此直线与平面内的所有直线都不平行D．假设直线a∥平面α，点P∈α，那么平面α内通过点P且与直线a平行的直线有且只有一条7．(2016·南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形．∠ACB＝90°，AC＝6，BC ＝CC1＝2，P是BC1上一动点，那么CP＋P A1的最小值为________．8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N别离为DE、BE、EF、EC的中点，在那个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．9．(2021·浙江)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N别离是AD，BC的中点，那么异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．10.(2016·郑州质检)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.假设M为线段A1C的中点，那么在△ADE翻折进程中，下面四个命题中不正确的选项是________．①BM是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.12.如下图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，假设DA＝1，且E为DA 的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F别离为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)假设A1C交平面DBFE于R点，那么P，Q，R三点共线．。

2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步4.2公理4及等角定理练习(含解析)北师大版必修2

第二课时公理4及等角定理填一填1.公理4(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)符号表述：a∥b，b∥c⇒a∥c.2．两条直线的位置关系(1)共面直线①平行直线：特征：在同一平面内没有公共点．记法：直线m与直线n平行，记作m∥n.②相交直线特征：在同一平面内有且只有一个公共点．记法：直线m与直线n相交于点A，记作m∩n＝A.(2)异面直线：特征：不共面的两条直线，没有公共点．3．等角定理空间中，两个角的两条边分别对应平行，这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2结论这两条相交直线所成的锐角(或直角)即为异面直线a，b所成的角范围记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°特殊情况当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.判一判1.2．两条异面直线所成的角一定是锐角．(×)3．和两条异面都相交的两直线必是异面直线．(×)4．如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．(√)5．空间等角定理为定义异面直线所成的角提供了理论依据．(√)6．如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．(√)7．对于直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.(√)8．空间三条直线a c异面．(×)想一想1.空间中，没有公共点的两条直线一定平行吗？提示：不一定，在平面内没有公共点的两条直线平行，在空间没有公共点的两条直线可能平行，也可能异面．2．证明两条直线平行的方法有哪些？提示：(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．3．运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法是什么？提示：(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．4．求两异面直线所成的角的三个步骤是什么？提示：(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.思考感悟：练一练1.空间任意两个角β为( )A．60° B．120°C．30° D．60°或120°答案：D2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )A．共面 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1与A1C1所成角的大小是________．答案：60°4．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( )A．0°<α<90° B．0°<α≤90°C．0°≤α≤90° D．0°<α<180°答案：B5．已知a，b，c是空间三条直线，则下列命题中正确命题的序号为________．①若a⊥b，b∥c，则a⊥c②若a，b相交，b，c相交，则a，c也相交③若a，b平行，b，c平行，则a，c也平行答案：①③知识点一公理4及等角定理的应用1．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，若∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于( ) A ．30° B．30°或150° C ．150° D．以上结论都不对解析：由空间等角定理，可知∠PQR 与∠ABC 相等或互补，故∠PQR ＝30°或150°. 答案：B2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱CC 1，BB 1及DD 1的中点，证明：∠BGC ＝∠FD 1E .证明：因为E ，F ，G 分别是正方体的棱CC 1，BB 1，DD 1的中点，所以CE 綊GD 1，BF 綊GD 1.所以四边形CED 1G 与四边形BFD 1G 均为平行四边形．所以GC 綊D 1E ，GB 綊D 1F .又∠BGC 与∠FD 1E 对应两边的方向相同，所以∠BGC ＝∠FD 1E .知识点二异面直线及所成的角3.如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，若EF ＝3，求异面直线AD ，BC 所成角是( )A ．30° B．45° C ．60° D．120°解析：如图，取BD 的中点M ，连接EM ，FM .因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，所以EM 綊12AD ，FM 綊12BC ，则∠EMF 或其补角就是异面直线AD ，BC 所成的角．因为AD ＝BC ＝2，所以EM ＝MF ＝1，在等腰△MEF 中，过点M 作MH ⊥EF 于H ，在Rt△MHE 中，EM ＝1，EH ＝12EF ＝32，则sin∠EMH ＝32，于是∠EMH ＝60°，则∠EMF ＝2∠EMH ＝120°.所以异面直线AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线AD ，BC 所成的角为60°.故选C.答案：C4．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．解析：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°. 又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ， (1)若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°. (2)若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综合知识公理4及等角定理5.如图，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解析：取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，所以EF ∥CD ，所以∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)．在Rt△EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE＝52. 在Rt△AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝22. 在Rt△ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝52. 在等腰△EBF 中，cos∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. 6．在四棱锥A －BCDE 中，底面四边形BCDE 为梯形，BC ∥DE .设CD ，BE ，AE ，AD 的中点分别为M ，N ，P ，Q .(1)求证：M ，N ，P ，Q 四点共面；(2)若AC ⊥DE ，且AC ＝3BC ，求异面直线DE 与PN 所成角的大小．解析：(1)证明：∵CD ，BE ，AE ，AD 的中点分别为M ，N ，P ，Q ， ∴PQ 为△ADE 的中位线，MN 为梯形BCDE 的中位线． ∴PQ ∥DE ，MN ∥DE ，∴PQ ∥MN ，∴M ，N ，P ，Q 四点共面． (2)∵PN 为△ABE 的中位线， ∴PN ∥AB .又BC ∥DE ，∴∠ABC 即异面直线DE 与PN 所成的角．又AC ⊥DE ， ∴AC ⊥BC ，在Rt△ACB 中，tan∠ABC ＝AC BC ＝3BCBC＝3，∴∠ABC ＝60°.∴异面直线DE 与PN 所成的角为60°.基础达标一、选择题1．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )A．相交 B．异面C．平行 D．异面或相交解析：由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．答案：D2.在三棱锥P－ABC中，PC与AB所成的角为70°，E，F，G分别为PA，PB，AC的中点，则∠FEG等于( )A．20° B．70°C．110° D．70°或110°解析：因为E，F，G分别为PA，PB，AC的中点，所以EF∥AB，EG∥PC，所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角，又AB与PC所成的角为70°，所以∠FEG为70°或110°.答案：D3．一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．相交或平行或异面解析：如图分别为相交、平行、异面的情形．答案：D4．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则EG与FH的位置关系是( )A．异面 B．平行C．相交 D．重合解析：由题意画出图后，易得EG，FH是平行四边形EF－GH的对角线．答案：C5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线不一定存在；过点P与l，m都异面的直线有无数条．答案：B6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图所示)，l平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列结论一定不可能的是( )A．l与AD平行B．l与AB异面C．l与CD所成的角为30°D．l与BD垂直解析：假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，可得l∥B1C1，这与“l与B1C1不平行”矛盾，所以l与AD不平行．答案：A7.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为( ) A．90° B．60°C．45° D．0°解析：将三角形折成空间几何体，如图所示，HG与IJ是一对异面直线．因为IJ∥AD，HG∥DF，所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角，又∠ADF＝60°，所以HG与IJ所成的角为60°.答案：B二、填空题8．已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是________．解析：如图所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，由图可知AC与A1C1可能平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面9.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点． (1)直线AB 1和CC 1所成的角为________； (2)直线AB 1和EF 所成的角为________．解析：(1)因为BB 1∥CC 1，所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角，∠AB 1B ＝45°.(2)连接B 1C ，易得EF ∥B 1C ，所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角．连接AC ，则△AB 1C 为正三角形，所以∠AB 1C ＝60°.答案：(1)45° (2)60°10．在空间四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的形状是________．解析：如图，E ，F ，G ，H 分别为中点，所以EF 綊12AC ，GH 綊12AC ，所以EF 綊GH ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又AC ⊥BD ，所以FG ⊥GH .因为AC ＝BD ，所以FG ＝GH ，所以EFGH 为正方形．答案：正方形 11.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论： ①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．解析：由异面的定义判断可知③④正确．答案：③④12.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________．解析：还原成正方体如图所示，可知①正确．②AB∥CM，不正确．③正确．④MN⊥CD.不正确．答案：①③三、解答题13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，问(1)AM和CN是否是异面直线？(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解析：由于M，N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线．由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法．(1)不是异面直线．理由：因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形．所以A1C1∥AC，得到MN∥AC，所以A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内，则B∈平面CC1D1D，C∈平面CC1D1D.所以BC平面CC1D1D，这与ABCD－A1B1C1D1是正方体相矛盾．所以假设不成立，故D 1B 与CC 1是异面直线．14．已知点A 是△BCD 所在平面外一点，AD ＝BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且EF ＝22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角．解析：如图，设G 是AC 的中点，连接EG ，FG .因E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故EG ∥BC ，且EG ＝12BC ，FG ∥AD ，且FG ＝12AD .由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD ，BC 所成的角，即∠EGF 为所求的角．由BC ＝AD 知EG ＝GF ＝12AD ，又EF ＝22AD ，由勾股定理可得∠EGF ＝90°，即异面直线AD和BC 所成的角为90°.能力提升15.如图，在三棱锥A －BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AO ⊥OC ，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解析：取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ，由O 为BD 中点知OE ∥DC ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME 中，EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，因为OM 是Rt△AOC 斜边AC 上的中线，所以OM ＝12AC ＝1，取EM 的中点H ，连OH ，则OH ⊥EM ，在Rt△OEH 中，所以cos∠OEM ＝EH OE ＝12×221＝24. 16.如图，E ，F ，G ，H 分别是三棱锥A －BCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE EB ＝AH HD ＝λ，CF FB ＝CG GD ＝μ.(1)若λ＝μ，判断四边形EFGH 的形状；(2)若λ≠μ，判断四边形EFGH 的形状； (3)若λ＝μ＝12，且EG ⊥HF ，求AC BD的值．解析：(1)因为AE EB ＝AH HD ＝λ，所以EH ∥BD ，且EH ＝λ1＋λBD .① 又因为CF FB ＝CG GD ＝μ.所以FG ∥BD ，且FG ＝μ1＋μBD .②又λ＝μ，所以EH 綊FG (公理4)．因此λ＝μ时，四边形EFGH 为平行四边形．(2)若λ≠μ，由①②，知EH ∥FG ，但EH ≠FG ，因为λ≠μ时，四边形EFGH 为梯形．(3)因为λ＝μ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又因为EG ⊥HF ，所以四边形EFGH 为菱形．所以FG ＝HG .所以AC ＝(λ＋1)HG ＝32HG ＝32FG ，又BD ＝1＋μμFG ＝3FG ，所以AC BD ＝12.。